全国通用版版高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修2_2
高中数学第1章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念a22a高二22数学
f2+Δx2-Δxf2-Δx,∴ lim Δx→0f2+Δx-f2-Δx 3Δx
=23Δlixm→0 f2+Δx2-Δxf2-Δx=23f′(2),故选 D.
答案:D
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题型三 函数变化率的应用 已知正弦函数 y=sin x,求该函数在 x=0 和 x=π2附
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3.若函数 f(x)=(2a+1)x+1,f ′(1)=3,则实数 a 的值为
() A.2
B.1
1 C.2
D.-12
解析:∵f′(1)= lim Δx→0
2a+11+ΔΔxx-2a+1=2a+1=3,
∴a=1.故选 B.
答案:B
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4.设 f(x)存在导数,且满足lim Δx→0
近的平均变化率,比较平均变化率的大小,并说明其含义. 【思路探索】 由于 Δx 可正可负,因此求出ΔΔxy后,要对 Δx
分类讨论.
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【解】 当自变量从 0 变到 Δx 时,函数的平均变化率为
k1=sin
Δx-sin Δx
0=sinΔxΔx.
当自变量从π2变到 Δx+π2时,函数的平均变化率为
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一物体的运动方程为 s=5t2+9,则其在
t=________时的瞬时速度为 30.
解析:由 lim Δt→0
ΔΔst =
lim
Δt→0
5t+Δt2+Δ9t-5t2+9=
lim
Δt→0
(10t+
5Δt)=10t=30,解得 t=3. 答案:3
高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修2
在 1.5 s 后,曲线在任何点的切线斜率都小于 0 且切线的倾 斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下 落,直到落地.
导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之,在曲线上取确 定的点,作曲线的切线,则可以根据切线斜率的符号及绝对值的 大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.
某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数 y=-x2+ 4x32≤x≤2来刻画,试分析该段斜坡的坡度的变化情况.
(-4.9-4.9Δt)=-4.9,
即在 t=2 s 时,烟花正以 4.9 m/s 的瞬时速度下降.
如图,结合导数的几何意义,我们可以看出: 在 t=1.5 s 附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速 度几乎为 0,达到最高点并爆裂;
在 0~1.5 s 之间,曲线在任何点的切线斜率都大于 0 且切线 的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来 越小的速度升空;
解析:ΔΔyx=fx0+ΔΔxx-fx0
=x0+Δx3-3x0+ΔΔxx2+1-x30+3x20-1
=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3x20-6x0.
所以
f′(x0)
=
lim
[(Δx)2
+
3x0Δx
-
3Δx
+
3x
2 0
-
6x0]
=
3x
20 -
Δx→0
6x0,于是 3x20-6x0=9,解得 x0=3 或 x0=-1,
解:因为ΔΔyx=[-x+Δx2+4xΔ+xΔx]--x2+4x =-2x·Δx+Δ4xΔx-Δx2=-2x+4-Δx,
所以 y′=lim
Δx→0
ΔΔyx=-2x+432≤x≤2.
由于 y′=-2x+4 在区间32,2上是减函数,且 0≤y′≤1,
2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意
1.1.3 导数的几何意义课时达标训练1.下列说法正确的是( )A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)不一定存在【解析】选D.曲线的切线和曲线除有一个公共切点外,还可能有其他的公共点,故A,B错误;f′(x0)不存在,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率不存在,但切线可能存在,故C错误,D正确.2.曲线在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为( )A.(-2,-8) B.(1,1),(-1,-1)C.(2,8) D.所以点P的坐标为(1,1),(-1,-1).3.函数的导数为( )A.x B.2x C.2 D.4【解析】选B.4.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.- 2 - 据预测,这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务,各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )【解析】选B.由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.5.已知f(x)对任意实数x,y 均满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f ′(0)=0,则f ′(3)=____________.【解析】令x=y=0,则f(0)=0.答案:66.求曲线在点P(1,2)处的切线方程.所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为y-2=2(x-1).即2x-y=0.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概
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1。
1。
1 变化率问题 1。
1。
2 导数的概念【学习目标】1。
通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景。
2。
会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.重点难点重点:求函数在某点附近的平均变化率.难点:会求函数在某点处的导数。
易混点:准确理解平均变化率和瞬时变化率.【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P2-6内容。
并完成书本上练习题及导学案上的问题导学.2。
独立思考,认真限时完成,规范书写。
课上小组合作探究,答疑解惑。
【问题导学】1.函数的变化率2.函数f(x)在x=x0处的导数函数y= f(x) 在x=x0处的称为函数y= f (x)在x=x 0处的导数,记作 ,即【合作探究】探究一 平均变化率的求法求2()21y f x x ==+在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率,并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值.解:探究二 函数变化率的应用已知正弦函数y=sinx ,求该函数在x=0和x=2π附近的平均变化率,比较平均变化率的大小,并说明其含义。
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课后课时精练课件
答案 D
解析 当 Δt 趋近于 0 时,-3Δt-6 趋近于-6,即 t=1 时该质点的瞬时 速度为-6 m/s.
答案
解析
4.函数 f(x)可导,则lim Δx→0
f1+Δ3Δxx-f1等于(
)
A.f′(1) B.不存在
C.13f′(1) D.以上都不对
A.1 C.2
B.-1 D.-2
答案 B
解析 ΔΔyx=f33- -f11=1-2 3=-1.
答案
解析
3.一质点运动的方程为 s(t)=5-3t2(位移单位:m,时间单位:s),若 该质点在 t=1 到 t=1+Δt 这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在 t=1 时的瞬时速度是( )
之
间
的
平
均
变
化
率
为
Δy Δx
=
fx0+ΔΔxx-fx0=x0+ΔΔxx2-x02=2x0+Δx=k1,又∵y=f(x)=x2 在 x0-Δx 到 x0
之间的平均变化率为ΔΔyx=fx0-fΔxx0-Δx=x20-xΔ0-x Δx2=2x0-Δx=k2,又∵
k1-k2=2Δx,而 Δx 的符号不能确定,故 k1,k2 大小不确定,选 D.
=2(Δx)2+4x0Δx+4Δx,
∴f′(x0)= lim Δx→0
ΔΔyx=Δlixm→0
2Δx2+4x0Δx+4Δx Δx
=lim (2Δx+4x0+4)=4x0+4. Δx→0
∴f′(x0)=4x0+4=8,解得 x0=1.
答案
B 级:能力提升练 11.航天飞机发射后的一段时间内,第 t s 时的高度 h(t)=5t3+30t2+45t +4,其中 h 的单位为 m,t 的单位为 s. (1)h(0),h(1)分别表示什么; (2)求第 1 s 内高度的平均变化率; (3)求第 1 s 末高度的瞬时变化率,并说明它的意义.
(全国通用版)高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义课件
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特别提醒: 区别 f′(x0) f′(x0)是具体的值,是数值 联系
在x=x0处的导数f′(x0)是导
函数f′(x)在x=x0处的函数值,
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每 因此求函数在某一点处的导 f′(x) 一点都存在导数而定义的一个 数,一般先求导函数,再计 算导函数在这一点的函数值 新函数,是函数
时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线y= f(x) 在点P处 的切线. (2)导数f′(x0)的几何意义:导数f′(x0)表示曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0)) 处
fx0+Δx-fx0 lim Δx f ′ ( x ) 的切线的斜率k,即k= 0 = Δx→0
[思考辨析 判断正误]
1.函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ )
2.函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值.
( √ )
3.直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( × )
题型探究
类型一
求切线方程
命题角度 1 例1
曲线在某点处的切线方程
思考1 割线PPn的斜率kn是多少?
答案 fxn-fx0 割线 PPn 的斜率 kn= . xn-x0
思考2
当点Pn无限趋近于点P时,割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有
什么关系?
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理
(1)切线的定义:设PPn是曲线y=f(x)的割线,当点Pn趋近于点P
解答
反思与感悟 过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0,f(x0)).
y1-fx0 (2)建立方程 f′(x0)= . x1-x0
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A版选
1.1.3 导数的几何意义【学习目标】1、了解导函数的概念;理解导数的几何意义。
2、会求导函数。
3、根椐导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程。
重点难点重点:利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程。
易混点:准确理解在某点处与过某点的切线方程。
【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P6-9内容.并完成书本上练习题及导学案上的问题导学.2.独立思考,认真限时完成,规范书写.课上小组合作探究,答疑解惑.【问题导学】1.导数的几何意义P x f x n 沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))(1)切线:如图,当点(,())(1,2,3,4)n n n时,割线PP n趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线,显然割线PP n 的斜率k n 趋当无限趋近于点P时,k n无限趋近于切线PT的斜率。
(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的,也就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率k= = ,相应地,切线方程为 .2.导函数从求函数f(x) 在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f/(x0)是一个的数,这样,当x变化时,f/(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称)。
y=f(x)的导函数有时也记作y/,即f/(x)= y/=.【合作探究】探究一 求曲线切线方程1.已知曲线C :314.33y x =+ (1)求曲线C 上在横坐标为2的点处的切线方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点?解:探究二 求切点坐标2.抛物线2y x =在点P 处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P 点的坐标及切线方程.探究三 导数几何意义的综合应用3.已知点M (0,-1),F (0,1),过点M 的直线l 与曲线31443y x x =-+在x=2处的切线平行。
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义a22a高二22数学
(1)∵切线与直线 y=4x-3 平行, ∴2x0=4,即 x0=2. ∴y0=x20+6=10.,即过曲线 y=x2+6 上点(2,10)的切线与 直线 y=4x-3 平行. ∴切线方程为 y-10=4(x-2),即 4x-y+2=0.
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(2)∵切线与直线 2x-y+5=0 垂直, ∴2x0·2=-1,得 x0=-14. ∴y0=x20+6=9176,即过曲线 y=x2+6 上点-14,9176的切线 与直线 2x-y+5=0 垂直. ∴切线的方程为 y-9176=-12x+14, 即 8x+16y-95=0.
∴-12-4a+b=-16,① 当 x=-2 时,-32+y+20=0,∴y=12, ∴f(-2)=8+4a-2b=12,② 由①②得ab==10,. 答案:(1,0)
12/8/5.已知曲线 f(x)=x2+6 的切线分别符合下列条件,求切线 的一般式方程:
(1)平行于直线 y=4x-3; (2)垂直于直线 2x-y+5=0.
S=12a-23a·a3=16a4=83, 解得 a=±2.
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课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng
quàn)
第二十八页,共四十三页。
1.下列说法正确的是( ) A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有 切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可 能存在
高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义5b22b高二22数学
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沿曲线趋于点A时,割线AB的极限(jíxiàn)
位置叫曲线在点A的切线。点A称为切
点。
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例1 求抛物线 的切线的斜率。
在点(1,1)处
解:在点(1,1)的切线(qiēxiàn)的斜率是
因此抛物线在点(1,1)处的切线(qiēxiàn)的斜率为2.
第七页,共十五页。
例2 求曲线 处的切线方程。
在点(-2,-2)
第八页,共十五页。
例2 求曲线 处的切线方程。
例3 求曲线 的切线方程。
在点(-2,-2) 过点(0,4)
第九页,共十五页。
例4 求曲线 的切线方程。
过点(2,2)
第十页,共十五页。
例2 求曲线 处的切线方程。
在 点(-2,-2)
例3 求曲线 的切线方程。
过 点(0,4)
例4 求曲线 的切线方程。
第一章 导数(Байду номын сангаасǎo
shù)
1.3导数的几何意义(yìyì)
第一页,共十五页。
设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 如果当 趋近于0时,平均变化
率
趋近于一个常
数l,那么常数l 函数 处的导数。记作
在点x0
第二页,共十五页。
第三页,共十五页。
第四页,共十五页。
第五页,共十五页。
在曲线的某点A附近取点B,当点B
过 点(2,2)
第十一页,共十五页。
小结 : (xiǎojié)
两个概念:
1、了解(liǎojiě)切线的定义
2、理解(lǐjiě)并掌握导数的几何意义
一个方法:
2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1-1.1.2
1.1.1-1.1.2 导数的概念[课时作业][A 组 基础巩固]1.自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率B .在x 0处的变化率C .在x 1处的变化量D .在区间[x 0,x 1]上的导数解析:根据平均变化率的概念知,选A.答案:A2.函数f (x )在x 0处可导,则li m h →0f x 0+h -f x 0h ( ) A .与x 0,h 都有关B .仅与x 0有关,而与h 无关C .仅与h 有关,而与x 0无关D .与x 0,h 均无关解析:由导数的概念可知,li m h →0f x 0+h -f x 0h无关.故选B.(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy ),则li m Δx →0 B .2x D .2+Δx 2 x,2+Δy ),2+1=2+2Δx +(Δx )2.∴Δy =(Δx )2+2Δx .∴Δy Δx=2+Δx . ∴li m Δx →0 Δy Δx =li m Δx →0 (2+Δx )=2.故选A. 答案:A4.若f ′(x 0)=-3,则li m h →0f x 0+h -f x 0-h h =( ) A .-3 B .-6C .-9D .-12解析:由题意可得:li m h →0 f x 0+h -f x 0-h h=li m h →0 f x 0+h -f x 0+f x 0-f x 0-h h=li m h →0 f x 0+h -f x 0h +li m h →0 f x 0-h -f x 0-h=f ′(x 0)+f ′(x 0)=2f ′(x 0)=-6.答案:B5.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( )A .圆B .抛物线C .椭圆D .直线解析:当f (x )=b 时,f ′(x )=0,所以f (x )的图象为一条直线,故应选D.答案:D6.已知一次函数y =kx +b 上的平均变化率为________.解析:Δy Δx =f n -f mn -m = k .t =________时的瞬时速度为1.=t +t 2+8t +Δt 7Δt +14t ,Δt +=1时,t =1140h →0 f x 0-3hh =________.解析:∵f ′(x 0)=li m h →0 f x 0+h -f x 0h =-3.∴li m h →0 f x 0+h -f x 0-3hh=li m h →0 f x 0+h -f x 0+f x 0-f x 0-3hh=li m h →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0+h -f x 0h +3·f x 0-3h -f x 0-3h=li m h →0 f x 0+h -f x 0h +3·li m h →0 f x 0-3h -f x 0-3h=f ′(x 0)+3f ′(x 0)=4f ′(x 0)=-12.答案:-129.求函数y =3x 2在x =1处的导数.解析:∵Δy =3(1+Δx )2-3×12=6Δx +3(Δx )2,∴Δy Δx=6+3Δx ,∴y ′|x =1=li m Δx →0 Δy Δx =li m Δx →0 (6+3Δx )=6. 10.已知f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(-1)=4,求a 的值.解析:因为Δy =f (x +Δx )-f (x )=a (x +Δx )3+3(x +Δx )2+2-(ax 3+3x 2+2)=3ax 2Δx +3ax (Δx )2+a (Δx )3+6x Δx +3(Δx )2,所以Δy Δx=3ax 2+3ax Δx +a (Δx )2+6x +3Δx , 所以Δx →0时,Δy Δx→3ax 2+6x , 即f ′(x )=3ax 2+6x ,所以f ′(-1)=3a -6=4,解得a =103. [B 组 能力提升]1.已知点P (2,8)是曲线y =2x 2上一点,则P 处的瞬时变化率为( )A .2B .4C .6D .8 解析:Δy =2(2+Δx )2-2×22=8Δx +2(Δx )2,Δy Δx =8Δx +Δx 2Δx =8+2Δx ,当Δx 无限趋近于0时,Δy Δx无限趋近于常数8. 答案:D2.函数f (x )=x 2在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0-Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1,k 2的大小关系是( )A .k 1<k 2B .k 1>k 2C .k 1=k 2D .无法确定解析:因为k 1=f x 0+Δx -f x 0Δx=2x 0+Δx , k 2=f x 0-f x 0-Δx Δx=2x 0-Δx , 又Δx 可正可负且不为零,所以k 1,k 2的大小关系不确定.答案:D3.若正方体的棱长从x =1到x =a 时正方体的体积膨胀率为21,则a 的值为________.解析:Δv =a 3-1,∴Δv Δx =a 3-1a -1=a 2+a +1=21, ∴a 2+a -20=0,∴a =4或a =-5(舍去).答案:44.已知f ′(x 0)=li m x →x 0 f x -f x 0x -x 0,f (3)=2,f ′(3)=-2,则li m x →3 2x -3f x x -3的值是________. 解析:li m x →3 2x -3f x x -3= li m x →3f x +f -x -3=li x -3f x -3+li m f-f x x -3,上式可化为li m x -x -3-3li m x →3 f x -f x -3=2-3×(-2)=T (t )=120t +5+15,其中T (t )为体温(单(3)求T ′(5),并说明它的实际意义.解析:(1)在t =0和t =10时,蜥蜴的体温分别为T (0)=1200+5+15=39,T (10)=12010+5+15=23,从t =0到t =10 min ,蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率ΔT Δt =T -T 10=-1610=-1.6(℃).它表示从t =0到t =10 min ,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)T ′(5)=li m Δt →0120+Δt +5+15-1205+5-15Δt = -1.2,它表示T =5 min 时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.6.巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A 处到B 处会感觉比较轻松,而从B 处到C 处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗?解析:山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB =Δy Δx =10-050-0=15, 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC =Δy Δx =15-1070-50=14, ∵h BC >h AB ,∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭.。
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义b22b高二22数学
合作探究 提素养
12/8/2021
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求曲线(qūxiàn)在某点处切线的方程
【例 1】 已知曲线 C:y=x3. (1)求曲线 C 在横坐标为 x=1 的点处的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?
[思路探究] (1)先求切点坐标,再求 y′,最后利用导数的几何意 义写出切线方程.
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1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同.
()
(2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.
(3)函数 f(x)=0 没有导函数.
() ()
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12/8/2021
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当堂达标 固双基
12/8/2021
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1.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x-y+1=0,
则( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0
D.f′(x0)不存在
[解析] 由切线方程可以看出其斜率是 2,又曲线在该点处的切 线的斜率就是函数在该点处的导数.
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①
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因为点 A(1,0),Px0,x10在切线上, 所以xx100--10=-x120, 解得 x0=12.故切线的斜率 k=-4. 故曲线过点 A(1,0)的切线方程为 y=-4(x-1), 即 4x+y-4=0.
高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(二)222数学
12/13/2021
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2.“函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)”“导函数 f′(x)”“导数”之 间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f′(x0),就是在该点处函数值的改变量与 自变量的改变量之比的无限趋近值,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数是对某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f(x)的 导函数 f′(x). (3)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函 数值.这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一.
答案:x+y-3=0
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4.已知函数 y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线 3x-y-2=0 平行, 则 f′(2)=________. 解析:因为直线 3x-y-2=0 的斜率为 3,所以由导数的几何意 义可知 f′(2)=3. 答案:3
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所以曲线 y=1x在 x=x0 处的切线的斜率为-x120. 故所求直线方程为 y-y0=-x120(x-x0). 由点(2,0)在所求的直线上, 得 x20·y0=2-x0,① 再由 P(x0,y0)在曲线 y=1x上,得 x0y0=1,② 联立①②可解得 x0=1,y0=1, 所以所求直线方程为 x+y-2=0. 【答案】 x+y-2=0
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导数的几何意义 (1)求曲线 y=f(x)=x3+2x-1 在点 P(1,2)处的切线方程. (2)求曲线 y=2x2-7 过点 P(3,9)的切线方程.
【解】 (1)易证得点 P(1,2)在曲线上, 由 y=x3+2x-1 得 Δy=(x+Δx)3+2(x+Δx)-1-x3-2x+1 =(3x2+2)Δx+3x·(Δx)2+(Δx)3,
高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念a22a高二22数学
2.球的半径从 1 增加到 2 时,球的体积平均膨胀率为________. 解析:因为 Δy=43π×23-43π×13=283π,
28π 所以ΔΔxy=2-3 1=283π. 答案:283π
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探究点 2 求瞬时速度 一质点的运动方程为 s=8-3t2,其中 s 表示位移
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探究点 1 求函数的平均变化率 求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变
化率,并求当 x0=2,Δx=0.1 时平均变化率的值.
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【解】 函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变 化率为 f(x0+Δx)-f(x0)
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2.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)=3t -t2.求此物体在 t=2 时的瞬时速度. 解:取一时间段[2,2+Δt], Δs=s(2+Δt)-s(2) =[3(2+Δt)-(2+Δt)2]-(3×2-22) =-Δt-(Δt)2, ΔΔst=-Δt-Δ(t Δt)2=-1-Δt, Δlit→m0ΔΔst=Δlit→m0(-1-Δt)=-1, 所以当 t=2 时,物体的瞬时速度为-1.
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(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步:求时间改变量Δt 和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0); 第二步:求平均速度-v =ΔΔst; 第三步:求瞬时速度,当Δt 无限趋近于 0 时,ΔΔst无限趋近于 的常数 v 即为瞬时速度,即 v=s′(t0).
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f(x0-Δ-x)Δ- x f(x0)或 f′(x0)=Δlxi→mx0f(x)x--xf(0 x0).
高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(一)222数学
【解】 (1)因为物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, 所以物体在 t∈[3,5]上的平均速度为ΔΔst=428=24(m/s).
12/12/2021
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1.逼近法求曲线上一点处的切线斜率
如图,设曲线 C 上一点 P(x,f(x)),过点 P 的一条割线交曲线 C
于另一点 Q(x+Δx,f(x+Δx)),则割线 PQ 的斜率为 kPQ= f((xx++ΔΔxx))--f(xx)=__f(_x_+__Δ_Δx_x)_-__f_(x_)_.
【解】 (1)-v =s(33)--0s(0)=(2×32+32×3)-0=8(m/s), 所以该质点在前 3 s 内的平均速度为 8 m/s. (2)-v =s(33)--2s(2)=2×32+2×3-2×22-2×2=12(m/s). 所以质点在 2 s 到 3 s 内的平均速度为 12 m/s. (3)因为s(3+ΔΔt)t-s(3)=2(3+Δt)2+2(3+ΔΔtt)-(2×32+2×3) =2Δt+14. 当 Δt 趋于 0 时,2Δt+14 无限趋近于 14. 所以质点在 3 s 时的瞬时速度为 14 m/s.
hù)
体在 t=t0 时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.
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1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 曲 线 上 给 定 一 点 P , 过 点 P 可 以 作 该 曲 线 的 无 数 条 割 线. ( √ ) (2)过曲线上任一点一定可作出一条切线.( × ) (3)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.( × ) (4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度,瞬 时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.( √ )
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1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.知识点一 导数的几何意义如图,P n 的坐标为(x n ,f (x n ))(n =1,2,3,4),P 的坐标为(x 0,y 0),直线PT 为在点P 处的切线.思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少? 答案 割线PP n 的斜率k n =f (x n )-f (x 0)x n -x 0.思考2 当点P n 无限趋近于点P 时,割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系? 答案 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k .梳理 (1)切线的定义:设PP n 是曲线y =f (x )的割线,当点P n 趋近于点P 时,割线PP n 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为曲线y =f (x )在点P 处的切线.(2)导数f ′(x 0)的几何意义:导数f ′(x 0)表示曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k =f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx.(3)切线方程:曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0). 知识点二 导函数思考 已知函数f (x )=x 2,分别计算f ′(1)与f ′(x ),它们有什么不同. 答案 f ′(1)=lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=2.f ′(x )=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx=2x ,f ′(1)是一个值,而f ′(x )是一个函数.梳理 对于函数y =f (x ),当x =x 0时,f ′(x 0)是一个确定的数,则当x 变化时,f ′(x )便是一个关于x 的函数,我们称它为函数y =f (x )的导函数(简称导数), 即f ′(x )=y ′=lim Δx →0f(x +Δx )-f (x )Δx.特别提醒:区别 联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值,是数值 在x =x 0处的导数f′(x 0)是导函数f ′(x )在x =x 0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这一点的函数值f ′(x ) f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数1.函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数.( √ )2.函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x =x 0处的函数值.( √ ) 3.直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( × )类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C :y =13x 3+43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程.考点 求函数在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程解 将x =2代入曲线C 的方程得y =4, ∴切点P (2,4).=2|x y'=lim Δx →0Δy Δx=lim Δx →0 13(2+Δx )3+43-13×23-43Δx =lim Δx →0[4+2Δx +13(Δx )2]=4, ∴k ==2|x y'=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y =x 2+1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 考点 求函数在某点处的切线方程 题点 求曲线的切线方程 答案 -3解析 ∵=2|x y'=lim Δx →0 ΔyΔx =lim Δx →0 (2+Δx )2+1-22-1Δx =lim Δx →0 (4+Δx )=4, ∴k ==2|x y'=4.∴曲线y =x 2+1在点(2,5)处的切线方程为y -5=4(x -2),即y =4x -3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是-3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求过点(-1,0)与曲线y =x 2+x +1相切的直线方程. 考点 求曲线在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程 解 设切点为(x 0,x 20+x 0+1), 则切线的斜率为k =lim Δx →0 (x 0+Δx )2+(x 0+Δx )+1-(x 20+x 0+1)Δx =2x 0+1.又k =(x 20+x 0+1)-0x 0-(-1)=x 20+x 0+1x 0+1,∴2x 0+1=x 20+x 0+1x 0+1.解得x 0=0或x 0=-2.当x 0=0时,切线斜率k =1,过(-1,0)的切线方程为y -0=x +1,即x -y +1=0.当x 0=-2时,切线斜率k =-3,过(-1,0)的切线方程为y -0=-3(x +1),即3x +y +3=0.故所求切线方程为x -y +1=0或3x +y +3=0.反思与感悟 过点(x 1,y 1)的曲线y =f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0,f (x 0)). (2)建立方程f ′(x 0)=y 1-f (x 0)x 1-x 0.(3)解方程得k =f ′(x 0),x 0,y 0,从而写出切线方程.跟踪训练2 求函数y =f (x )=x 3-3x 2+x 的图象上过原点的切线方程. 考点 求函数在某点处的切线方程 题点 求曲线的切线方程解 设切点坐标为(x 0,y 0),则y 0=x 30-3x 20+x 0, ∵Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0)=(x 0+Δx )3-3(x 0+Δx )2+(x 0+Δx )-(x 30-3x 20+x 0) =3x 20Δx +3x 0(Δx )2-6x 0Δx +(Δx )3-3(Δx )2+Δx , ∴Δy Δx=3x 20+3x 0Δx -6x 0+1+(Δx )2-3Δx , ∴f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx=3x 20-6x 0+1. ∴切线方程为y -(x 30-3x 20+x 0)=(3x 20-6x 0+1)·(x -x 0). ∵切线过原点,∴x 30-3x 20+x 0=3x 30-6x 20+x 0, 即2x 30-3x 20=0,∴x 0=0或x 0=32,故所求切线方程为x -y =0或5x +4y =0. 类型二 利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f (x )的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是( )A .0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)-f (2)B .0<f ′(2)<f (3)-f (2)<f ′(3)C .0<f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2)D .0<f (3)-f (2)<f ′(2)<f ′(3) 考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义 答案 C解析 k AB =f (3)-f (2)3-2=f (3)-f (2),f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2,f (2))处的切线的斜率, f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3,f (3))处的切线的斜率,根据图象可知0<f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2).反思与感悟 导数的几何意义就是切线的斜率,所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.跟踪训练3 若函数y =f (x )的导函数在区间[a ,b ]上是增函数,则函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象可能是( )考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义 答案 A解析 依题意,y =f ′(x )在[a ,b ]上是增函数,则在函数f (x )的图象上,各点的切线的斜率随着x 的增大而增大,观察四个选项的图象,只有A 满足. 类型三 求切点坐标例4 已知曲线f (x )=x 2-1在x =x 0处的切线与曲线g (x )=1-x 3在x =x 0处的切线互相平行,求x 0的值.考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切点坐标 解 对于曲线f (x )=x 2-1,k 1=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0.对于曲线g (x )=1-x 3,k 2=lim Δx →0g (x 0+Δx )-g (x 0)Δx=lim Δx →0 1-(x 0+Δx )3-(1-x 30)Δx=-3x 20.由题意得2x 0=-3x 20, 解得x 0=0或-23.引申探究若将本例条件中的“平行”改为“垂直”,求x 0的值. 解 ∵k 1=2x 0,k 2=-3x 20.根据曲线f (x )=x 2-1与g (x )=1-x 3在x =x 0处的切线互相垂直,知2x 0·(-3x 20)=-1,解得x 0=3366. 反思与感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标.(2)利用导数或斜率公式求出斜率.(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标. (4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.跟踪训练4 直线l :y =x +a (a ≠0)和曲线C :f (x )=x 3-x 2+1相切,则a 的值为________,切点坐标为________.考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切点坐标 答案3227⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,2327 解析 设直线l 与曲线C 的切点为(x 0,y 0),因为f ′(x )=lim Δx →0 (x +Δx )3-(x +Δx )2+1-(x 3-x 2+1)Δx =3x 2-2x ,则f ′(x 0)=3x 20-2x 0=1解得x 0=1或x 0=-13,当x 0=1时,f (x 0)=x 30-x 20+1=1,又点(x 0,f (x 0))在直线y =x +a 上,将x 0=1,y 0=1. 代入得a =0,与已知条件矛盾,舍去. 当x 0=-13时,f (x 0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-133-⎝ ⎛⎭⎪⎫-132+1=2327.将⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,2327代入直线y =x +a 中,得a =3227.1.如果曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为x +2y -3=0,那么( ) A .f ′(x 0)>0 B .f ′(x 0)<0 C .f ′(x 0)=0D .f ′(x 0)不存在考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义 答案 B解析 ∵切线x +2y -3=0的斜率为-12,∴f ′(x 0)=-12<0.2.设曲线f (x )=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a 等于( ) A .1 B.12 C .-12D .-1考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切点坐标 答案 A解析 因为f ′(1)=lim Δx →0 a (1+Δx )2-a ×12Δx=lim Δx →0 2a Δx +a (Δx )2Δx =lim Δx →0 (2a +a Δx )=2a , 所以2a =2,所以a =1.3.已知函数y =f (x )的图象如图所示,则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A .f ′(x A )>f ′(xB ) B .f ′(x A )<f ′(x B )C .f ′(x A )=f ′(x B )D .不能确定考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义 答案 B解析 由导数的几何意义,知f ′(x A ),f ′(x B )分别是切线在点A ,B 处切线的斜率,由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ).4.已知曲线y =f (x )=2x 2+a 在点P 处的切线方程为8x -y -15=0,则实数a 的值为________.考点 求函数在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程的应用 答案 -7解析 设点P (x 0,2x 20+a ). 由导数的几何意义可得,f ′(x 0)=lim Δx →0ΔyΔx=lim Δx →0 2(x 0+Δx )2+a -(2x 20+a )Δx =4x 0=8.∴x 0=2,∴P (2,8+a ).将x =2,y =8+a ,代入8x -y -15=0, 得a =-7.5.已知曲线f (x )=x 3在点(a ,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴,直线x =a 围成的三角形的面积为16,则a =________. 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切点坐标 答案 ±1解析 ∵f ′(x )=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx=lim Δx →0 (x +Δx )3-x 3Δx=3x 2, ∴曲线f (x )=x 3在点(a ,a 3)处的切线斜率为f ′(a )=3a 2, ∴切线方程为y -a 3=3a 2(x -a ), 即y =3a 2x -2a 3.令y =0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,0,由题设知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -23a |a 3|=16,得a=±1.1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率,即k =lim Δx →0 f(x 0+Δx )-f (x 0)Δx=f ′(x 0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f ′(x 0)是其导数y =f ′(x )在x =x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0);若已知点不在切线上,则设出切点坐标(x 0,f (x 0)),表示出切线方程,然后求出切点.一、选择题1.已知曲线y =12x 2-2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1,-32,则在点P 处的切线的倾斜角为( ) A .30°B .45°C .135°D .165°考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切线的倾斜角答案 B解析 曲线y =12x 2-2在点P 处的切线斜率为 k =lim Δx →0 12(1+Δx )2-2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12-2Δx=lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12Δx =1, 所以在点P 处的切线的倾斜角为45°,故选B.2.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =1,b =-1D .a =-1,b =-1 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切点坐标答案 A解析 由题意,知k ==0|x y'=lim Δx →0 (0+Δx )2+a (0+Δx )+b -b Δx=1, ∴a =1.又(0,b )在切线上,∴b =1,故选A.3.下列各点中,在曲线y =x 2上,且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14,116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切点坐标答案 D解析 设切点坐标为(x 0,y 0), 则0=|x x y'=lim Δx →0 (x 0+Δx )2-x 20Δx =2x 0=tan π4=1, 所以x 0=12,y 0=14. 4.如图,函数y =f (x )的图象在点P (2,y )处的切线是l ,则f (2)+f ′(2)等于( )A .-4B .3C .-2D .1考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 D解析 由图象可得函数y =f (x )的图象在点P 处的切线是l ,与x 轴交于点(4,0),与y 轴交于点(0,4),则可知l :x +y =4,∴f (2)=2,f ′(2)=-1,∴f (2)+f ′(2)=1,故选D.5.若曲线f (x )=x 2的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程为( )A .4x -y -4=0B .x +4y -5=0C .4x -y +3=0D .x +4y +3=0 考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程答案 A解析 设切点为(x 0,y 0),因为f ′(x )=lim Δx →0 (x +Δx )2-x 2Δx=lim Δx →0 (2x +Δx )=2x . 由题意可知,切线斜率k =4,即f ′(x 0)=2x 0=4,所以x 0=2.所以切点坐标为(2,4),切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0,故选A.6.设f (x )为可导函数,且满足lim x →0f (1)-f (1-x )2x =-1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为( )A .2B .-1C .1D .-2考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切线的斜率答案 D解析 ∵lim x →0 12·f (1)-f (1-x )x=12lim x →0 f (1)-f (1-x )x =12f ′(1)=-1, ∴f ′(1)=-2.由导数的几何意义,知曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为-2.7.已知曲线y 1=2-1x与y 2=x 3-x 2+2x 在x =x 0处的切线的斜率之积为3,则x 0的值为( ) A .-2B .1 C.12 D .2考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切点坐标答案 B解析 由题意知,y 1′=lim Δx →0 Δy 1Δx =1x 2, y 2′=lim Δx →0 Δy 2Δx=3x 2-2x +2, 所以两曲线在x =x 0处的切线的斜率分别为1x 20,3x 20-2x 0+2. 由题意可知,3x 20-2x 0+2x 20=3,所以x 0=1. 二、填空题8.若函数f (x )=x -1x,则它与x 轴交点处的切线方程为________________________. 考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程答案 2x -y -2=0或2x -y +2=0解析 f (x )=x -1x与x 轴交点坐标为(1,0),(-1,0), f ′(x )=lim Δx →0 f (x +Δx )-f (x )Δx=lim Δx →0 (x +Δx )-1x +Δx -⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x Δx=1+1x 2, f ′(1)=2,f ′(-1)=2,∴所求切线方程为y =2(x -1)或y =2(x +1),即2x -y -2=0或2x -y +2=0.9.已知函数y =ax 2+b 在点(1,3)处的切线斜率为2,则b a=________.考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 2解析 由题意知a +b =3, 又=1|x y'=lim Δx →0 a (1+Δx )2+b -(a +b )Δx=2a =2, ∴a =1,b =2,故b a=2.10.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标是-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________.考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用答案 4解析 设在P 点处切线的斜率为k ,则k ==-2|x y'=lim Δx →0 (-2+Δx )2-(-2+Δx )+c -(6+c )Δx=-5, ∴切线方程为y =-5x .∴点P 的纵坐标为y =-5×(-2)=10,将点P (-2,10)代入y =x 2-x +c ,得c =4. 11.设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4,则点P 横坐标的取值范围为________.考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切点坐标答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-12 解析 y ′=lim Δx →0 (x +Δx )2+2(x +Δx )+3-(x 2+2x +3)Δx=lim Δx →0 (2x +2)·Δx +(Δx )2Δx=lim Δx →0 (Δx +2x +2) =2x +2.设P 点横坐标为x 0,则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0+2.由已知得0≤2x 0+2≤1,∴-1≤x 0≤-12. 12.如图,函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则lim Δx →0 f (1+Δx )-f (1)Δx=________.考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 -2解析 由导数的概念和几何意义知,lim Δx →0 f (1+Δx )-f (1)Δx =f ′(1)=k AB =0-42-0=-2. 三、解答题13.已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2,求直线l 2的方程.考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 因为y ′=lim Δx →0 Δy Δx=lim Δx →0 (x +Δx )2+(x +Δx )-2-(x 2+x -2)Δx=2x +1, 所以=1|x y'=3,所以直线l 1的方程为y =3(x -1),即y =3x -3,设直线l 2过曲线y =x 2+x -2上的点P (x 0,x 20+x 0-2),则直线l 2的方程为y -(x 20+x 0-2)=(2x 0+1)(x -x 0).因为l 1⊥l 2,所以3(2x 0+1)=-1,x 0=-23, 所以直线l 2的方程为3x +9y +22=0.四、探究与拓展 14.已知函数f (x )=x 3,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,0作曲线f (x )的切线,则其切线方程为________________. 考点 曲线过某点处的切线方程题点 求曲线过某点的切线方程答案 y =0或3x -y -2=0解析 设切点为Q (x 0,x 30),得切线的斜率为 k =f ′(x 0)=3x 20,切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0),即y =3x 20x -2x 30. 因为切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,0, 所以2x 20-2x 30=0,解得x 0=0或x 0=1,从而切线方程为y =0或3x -y -2=0.15.已知函数f (x )=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx ,若曲线y =f (x )与曲线y =g (x )在它们的交点(1,c )处有公切线,求a ,b 的值.考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用 解 ∵f ′(x )=lim Δx →0 a (x +Δx )2+1-(ax 2+1)Δx=2ax , ∴f ′(1)=2a ,即切线斜率k 1=2a .∵g ′(x )=lim Δx →0 (x +Δx )3+b (x +Δx )-(x 3+bx )Δx=3x 2+b ,∴g ′(1)=3+b ,即切线斜率k 2=3+b .∵两曲线在交点(1,c )处有公切线,∴2a =3+b .又∵a +1=1+b ,即a =b ,故可得⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,b =3.。