通州区2017—2018学年度高三三模考试文科数学试题

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2018年北京市通州区高考数学三模试卷(文科)

2018年北京市通州区高考数学三模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合S={x|x<0或x>2}，T={x|1<x<3}，则S∩T=()A.(2, 3)B.(1, 2)C.(1, 3)D.(0, 1)∪(2, 3)【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义计算即可．【解答】集合S={x|x<0或x>2}，T={x|1<x<3}，则S∩T={x|2<x<3}=(2, 3)．2. 若复数z=(2+i)(1−i)，则z的模等于（）A.2B.√5C.√10D.3√2【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】∵z=(2+i)(1−i)=3−i，∴|z|=√32+(−1)2=√10．3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.4B.9C.16D.21【答案】B【考点】程序框图由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得 n =1，S =0执行循环体，S =1，n =3不满足条件n >6，执行循环体，S =4，n =5 不满足条件n >6，执行循环体，S =9，n =7此时，满足条件n >6，退出循环，输出S 的值为（9）4. 若x ，y 满足{x ≤33x −2y −3≥0x +y −2≥0 ，则yx 的最大值为（）A.12B.1C.32D.2【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】由约束条件得到可行域如图：则yx 的最大值为表示原点与区域内A 点连接的直线的斜率的最大，所以最大值为：33=(1) 故选：B ．5. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0, +∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是（） A.f(−π)<f(−2)<f(3) B.f(−2)<f(3)<f(−π) C.f(−π)<f(3)<f(−2) D.f(3)<f(−2)<f(−π) 【答案】 B奇偶性与单调性的综合【解析】运用偶函数的定义，可得f(−2)=f(2)，f(−π)=f(π)，再由f(x)在[0, +∞)上为增函数，即可得到所求大小关系．【解答】f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)在[0, +∞)上为增函数，可得f(−2)=f(2)，f(−π)=f(π)，由2<3<π，可得f(2)<f(3)<f(π)，即f(−2)<f(3)<f(−π)，6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（）A.1B.√2C.√3D.2【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：原三棱锥为P−ABC．其中PA⊥底面ABC，AC⊥CB，PA=AC=BC=(1)可得这个三棱锥最长棱的棱长是PB．【解答】由三视图可知：原三棱锥为P−ABC．其中PA⊥底面ABC，AC⊥CB，PA=AC=BC=(1)∴这个三棱锥最长棱的棱长是PB=√PA2+AB2=√3．故选：C．7. 已知非零向量a→，b→，则“a→⋅b→>0”是“a→，b→夹角为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】a →⋅b →>0时，a →与b →的夹角为锐角或零角【解答】a →⋅b →>0时，a →与b →的夹角为锐角或零角，不一定是锐角，故充分性不成立．而a →与b →的夹角为锐角或零角时，有a →⋅b →>0，必要性成立，8. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列数据最接近33611000052的是(参考数据：lg3≈0.477)( )A.10−37B.10−36C.10−35D.10−34【答案】 B【考点】对数的运算性质【解析】根据题意，对33611000052取对数可得lg 33611000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8，即可得33611000052≈10−35.8，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，对于33611000052，有lg 33611000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8，则33611000052≈10−35.8，分析选项：B 中10−36与其最接近，故选B .二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点(12,y)，则sinα=________．【答案】 −√32【考点】单位圆与周期性由已知先求y 的值，进而利用任意角的三角函数的定义即可得解．【解答】解：∵ 角α以Ox 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点(12,y)， ∴ y =−√1−(12)2=−√32，∴ sinα=y r=−√321=−√32．故答案为：−√32.抛物线y 2=2px(p >0)的准线与双曲线x 2−y 24=1的两条渐近线所围成三角形的面积等于2，则p =________．【答案】 2【考点】双曲线的特性【解析】写出抛物线y 2=2px(p >0)的准线与双曲线x 2−y 24=1的两条渐近线方程，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积求解即可．【解答】抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−p2，双曲线x 2−y 24=1的两条渐近线方程分别为：y =2x ，y =−2x ，这三条直线构成等腰三角形，底边长为：2p ，三角形的高为：p2，因此，所求三角形面积：12×2p ×p2=2，解得P =(2)设P(n, n 2)是函数y =x 2图象上的动点，当点P 到直线y =x −1的距离最小时，n =________．【答案】 12【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由点到直线的距离公式求得n 为何值时，距离最小．【解答】P(n, n 2)是函数y =x 2图象上的动点，则点P 到直线y =x −1的距离为 d =2√2=|(n−12)2+34|√2，∴ 当n =12时，d 取得最小值．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a 2>ab >c 2”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．【答案】1，0，−1（此题答案不唯一）【考点】命题的真假判断与应用【解析】举例说明“若a >b >c ，则a 2>ab >c 2”是假命题即可．【解答】当a =1，b =0，c =−1时，满足a >b >c ，不满足a 2>ab >c 2；∴ 若a >b >c ，则a 2>ab >c 2”是假命题．在△ABC 中，∠C =90∘，∠B =30∘，AC =2，P 为线段AB 上一点，则|PB →+PC →|的取值范围为________．【答案】 [√3, 2√7] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，即有直线AB 的方程，设P(x, y)，求得PB →=(2√3−x, −y)，PC →=(−x, −y)，再由向量的平方即为模的平方，转化为二次函数的最值，即可得到所求取值范围．【解答】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得C(0, 0)，A(0, 2)，B(2√3, 0)，则直线AB 的方程为2√3y2=1，设P(x, y)，则y =2√3，0≤x ≤2√3， PB →=(2√3−x, −y)，PC →=(−x, −y)，则|PB →+PC →|2=(2√3−2x)2+(2y)2=4x 2+4y 2−8√3x +12 =4x 2+4(2√3)2−8√3x +12=163x 2−40√33x +28=163(x −5√34)2+3，由x =5√34∈[0, 2√3]，可得|PB →+PC →|的最小值为√3，x=0时，则|PB→+PC→|的最大值为2√7，即|PB→+PC→|的取值范围为[√3, 2√7]．某学校开展一次“五•四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第1、2题满分都是15分，第3题满分是20分．每个问题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有6名选手只答对其中一道题，有12名选手只答对其中两道题．答对第1题的人数与答对第2题的人数之和为26，答对第1的人数与答对第3题的人数之和为24，答对第2题的人数与答对第3题的人数之和为22．则参赛选手中三道题全答对的人数是________；所有参赛选手的平均分是________．【答案】2,29.5【考点】众数、中位数、平均数【解析】列方程组求出答对1题，2题，3题的人数，再求出全班人数，即可求得三道题全答对的人数与平均分．【解答】设x1、x2、x3分别表示答对1题，2题，3题的人数，则有{x1+x2=26x1+x3=24x2+x3=22，解得x1=14，x2=12，x3=10；又只答对一题的人数为6，只答对两题的人数为12，设答对三题的人数为x，则全班人数为6+12+x；∴6×1+12×2+3x=36，解得x=2，∴三道题全答对的人数是2；所有参赛选手的平均分是x=120×(14×15+12×15+10×20)=29.(5)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知{a n}是等差数列，满足a1=2,a4=14，数列{b n}满足b1=1,b4=6，且{a n−b n}是等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若∀n∈N∗，都有b n≤b k成立，求正整数k的值．【答案】解：(1)设{a n}的公差为d，则d=a4−a13=4，所以a n=2+4(n−1)=4n−2．故{a n}的通项公式为a n=4n−2(n∈N∗)．设c n=a n−b n，则由题意可知{c n}为等比数列．c1=a1−b1=2−1=1,c4=a4−b4=14−6=8设{c n}的公比为q，则q3=c4c1=8，故q=2．则c n=2n−1，即a n−b n=2n−1，所以b n=4n−2−2n−1(n∈N∗)，故{b n}的通项公式为b n=4n−2−2n−1(n∈N∗)．(2)由题意，b k应为数列{b n}的最大项．由b n+1−b n=4(n+1)−2−2n−4n+2+2n−1=4−2n−1(n∈N∗)．当n<3时，b n+1−b n>0,b n<b n+1，即b1<b2<b3；当n=3时，b n+1−b n=0，即b3=b4；当n>3时，b n+1−b n<0,b n>b n+1，即b4>b5>b6>⋯．综上所述，数列{b n}中的最大项为b3和b4．故k=3或4时，∀n∈N∗都有b n≤b k成立．【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：(1)设{a n}的公差为d，则d=a4−a13所以a n=2+4(n−1)=4n−2．故{a n}的通项公式为a n=4n−2(n∈N∗)．设c n=a n−b n，则由题意可知{c n}为等比数列．c1=a1−b1=2−1=1,c4=a4−b4=14−6=8=8，故q=2．设{c n}的公比为q，则q3=c4c1则c n=2n−1，即a n−b n=2n−1，所以b n=4n−2−2n−1(n∈N∗)，故{b n}的通项公式为b n=4n−2−2n−1(n∈N∗)．(2)由题意，b k应为数列{b n}的最大项．由b n+1−b n=4(n+1)−2−2n−4n+2+2n−1=4−2n−1(n∈N∗)．当n<3时，b n+1−b n>0,b n<b n+1，即b1<b2<b3；当n=3时，b n+1−b n=0，即b3=b4；当n>3时，b n+1−b n<0,b n>b n+1，即b4>b5>b6>⋯．综上所述，数列{b n}中的最大项为b3和b4．故k=3或4时，∀n∈N∗都有b n≤b k成立．−x)cosx−2sin2x．已知函数f(x)=1+2√3cos(π2(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；brack时，−1≤f(x)≤2．(Ⅱ)求证：当x∈[0,π2【答案】（I）∵f(x)=1+2√3cos(π2−x)cosx−2sin2x=2√3sinxcosx+cos2x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，∴f(x)的最小正周期为π；(II)证明：∵0≤x≤π2，∴π6≤2x+π6≤7π6．∴−12≤sin(2x+π6)≤1．则−1≤2sin(2x+π6)≤2．故−1≤f(x)≤(2)【考点】二倍角的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的定义域和值域【解析】(Ⅰ)利用诱导公式、倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式求周期；(Ⅱ)由x的范围求得相位的范围，则f(x)的范围可求，结论得证．【解答】（I）∵f(x)=1+2√3cos(π2−x)cosx−2sin2x=2√3sinxcosx+cos2x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，∴f(x)的最小正周期为π；(II)证明：∵0≤x≤π2，∴π6≤2x+π6≤7π6．∴−12≤sin(2x+π6)≤1．则−1≤2sin(2x+π6)≤2．故−1≤f(x)≤(2)某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0, 0.5),[0.5, 1),…,[4, 4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；( III)在[1.5, 2)、[2, 2.5)这两组中采用分层抽样抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．【答案】（I）由频率分布直方图知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在[0, 0.5)的频率为0.08×0.5=0.(04)同理，在[0.5, 1)，[1, 1.5)，[1.5, 2)[2, 2.5)，[2.5, 3)[3, 3.5)，[3.5, 4)，[4, 4.5]的频率分别为0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02；由0.04+0.08+0.15+0.5a+0.25+0.15+0.07+0.04+0.02=1，解得a=0.40；(II)设“活动时间”的中位数为m小时，因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47<0.5，所以2≤m<2.(5)由0.47+0.50×(m−2)=0.5，解得m=2.06，所以估计中位数为2.06；(III)在[1.5, 2)、[2, 2.5)这两组中采用分层抽样抽取9人，[1.5, 2)内抽取9×0.40.4+0.5=4人，[2, 2.5)内应抽取5人，再从这9人中随机抽取2人，基本事件数为C92=36，抽取的两人恰好都在同一个组的基本事件是C42+C52=6+10=16，所求的概率为P=1636=49．【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差【解析】（I）由频率和为1列方程求出a的值；(II)利用中位数两边频率相等求出中位数的大小；(III)采用分层抽样求出两组抽取的人数，再利用基本事件计算所求的概率值．【解答】（I）由频率分布直方图知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在[0, 0.5)的频率为0.08×0.5=0.(04)同理，在[0.5, 1)，[1, 1.5)，[1.5, 2)[2, 2.5)，[2.5, 3)[3, 3.5)，[3.5, 4)，[4, 4.5]的频率分别为0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02；由0.04+0.08+0.15+0.5a+0.25+0.15+0.07+0.04+0.02=1，解得a=0.40；(II)设“活动时间”的中位数为m小时，因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47<0.5，所以2≤m<2.(5)由0.47+0.50×(m−2)=0.5，解得m=2.06，所以估计中位数为2.06；(III)在[1.5, 2)、[2, 2.5)这两组中采用分层抽样抽取9人，[1.5, 2)内抽取9×0.40.4+0.5=4人，[2, 2.5)内应抽取5人，再从这9人中随机抽取2人，基本事件数为C92=36，抽取的两人恰好都在同一个组的基本事件是C42+C52=6+10=16，所求的概率为P=1636=49．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAB 为等边三角形，E是PB中点，平面AED与棱PC交于点F．（1）求证：AD//EF；（2）求证：PB⊥平面AEFD；（3）记四棱锥P−AEFD的体积为V1，四棱锥P−ABCD的体积为V2，直接写出V1V2的值．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AD//BC．因为AD平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD//平面PBC．因为AD⊂平面AEFD，平面AEFD∩平面PBC=EF，所以AD//EF．（2）证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB．因为PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB．因为△PAB为等边三角形，E是PB的中点，所以PB⊥AE．因为AE⊂平面AEFD，AD⊂平面AEFD，AE∩AD=A，所以PB⊥平面AEFD．（3）解：由（1）知，V1=V C−AEFD，V E−ABC=V F−ADC=V C−ADF=23V C−AEFD=23V1，因为V BC−AEFD =V C−AEFD +V E−ABC =53V 1，所以V P−ABCD =V 1+53V 1=83V 1，所以V 1V 2=38．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以AD//BC ．因为AD 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD//平面PBC ．因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD ∩平面PBC =EF ，所以AD//EF ．（2）证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以AD ⊥AB ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD =AB ， AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB ．因为PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥PB ．因为△PAB 为等边三角形， E 是PB 的中点，所以PB ⊥AE ．因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE ∩AD =A ，所以PB ⊥平面AEFD ．（3）解：由（1）知， V 1=V C−AEFD ，V E−ABC =V F−ADC =V C−ADF =23V C−AEFD =23V 1，因为V BC−AEFD =V C−AEFD +V E−ABC =53V 1，所以V P−ABCD =V 1+53V 1=83V 1，所以V 1V 2=38．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点P(2√3,√3)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过(0, −1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，试问：是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a =√2b ．所以椭圆C 的方程为x 22b 2+y 2b 2=1．又椭圆C 经过点P(2√3,√3)，代入椭圆方程得b =3．所以a =3√2．故所求椭圆方程为x 218+y 29=1．(2)由已知动直线l 过(0,−1)点．当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+(y +1)2=16；当l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=9．所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点．因此，所求点T 如果存在，只能是点(0,3)．以下证明以AB 为直径的圆恒过点T(0,3)，当l 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点T(0,3)；当l 与x 轴不垂直时，设l:y =kx −1．由{y =kx −1,x 218+y 29=1得(2k 2+1)x 2−4kx −16=0．由(0,−1)在椭圆内部知Δ>0成立．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k2k 2+1,x 1x 2=−162k 2+1．又TA →=(x 1,y 1−3),TB →=(x 2,y 2−3)，所以TA →⋅TB →=x 1x 2+(y 1−3)(y 2−3)=x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4) =(1+k 2)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16 =(1+k 2)−162k 2+1−4k4k 2k 2+1+16=0．所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T(0,3)．所以存在一个定点T(0,3)满足条件．【考点】椭圆的定义【解析】【解答】解：(1)因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a =√2b ．所以椭圆C 的方程为x 22b 2+y 2b 2=1．又椭圆C 经过点P(2√3,√3)，代入椭圆方程得b =3．所以a =3√2．故所求椭圆方程为x 218+y 29=1．(2)由已知动直线l 过(0,−1)点．当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+(y +1)2=16；当l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=9．所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点．因此，所求点T 如果存在，只能是点(0,3)．以下证明以AB 为直径的圆恒过点T(0,3)，当l 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点T(0,3)；当l 与x 轴不垂直时，设l:y =kx −1．由{y =kx −1,x 218+y 29=1得(2k 2+1)x 2−4kx −16=0．由(0,−1)在椭圆内部知Δ>0成立．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k2k 2+1,x 1x 2=−162k 2+1．又TA →=(x 1,y 1−3),TB →=(x 2,y 2−3)，所以TA →⋅TB →=x 1x 2+(y 1−3)(y 2−3)=x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4) =(1+k 2)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16 =(1+k 2)−162k 2+1−4k4k 2k 2+1+16=0．所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T(0,3)．所以存在一个定点T(0,3)满足条件．已知函数f(x)=e x x 2+2x+b的定义域是R ，且有极值点．(Ⅰ)求实数b 的取值范围；(Ⅱ)求证：方程f(x)=12恰有一个实根．【答案】（1）由f(x)=e x x 2+2x+b的定义域是R ，知4−4b <0得b >1，∴ f ′(x)=e x (x 2+2x+b−2x−2)(x 2+2x+b)2=e x (x 2+b−2)(x 2+2x+b)2，由f ′(x)=0得x 2=2−b ≥0，故b ≤(2)当b =2时，f ′(x)=x 2e x(x 2+2x+2)2≥0，函数f(x)在R 上单调递增，无极值点．所以实数b 的取值范围为 1<b <(2)（2）证明：由(Ⅰ)知函数f(x)的两个极值点为m =−√2−b ∈(−1,0)，n =√2−b ∈(0,1)，极小值f(n)=e nn+2n+b =e n(2−b)+2n+b=e n2n+2．下面证明e n2n+2>12：记g(x)=e x−(x+1)(0≤x<1)，g′(x)=e x−1≥0，所以g(x)在[0, 1)上是单调递增函数．所以当x∈(0, 1)时，g(x)>g(0)=0，即e x>x+1，由n=√2−b∈(0,1)知，e n2n+2>n+12n+2=12．这说明f(x)=12在(m, +∞)上无解．又f(−2)=e−2b <1e<12，f(m)>f(n)>12，且f(x)在(−∞, m)上单调递增，所以f(x)=12在(−∞, m)上恰有一解．综上所述，f(x)=12在R上恰有一解．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求导数，定义域是R，知4−4b<0得b>1；由f′(x)=0得x2=2−b≥0，故b≤(2)当b=2时，函数f(x)在R上单调递增，无极值点，即可求实数b的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数f(x)的两个极值点为为m=−√2−b∈(−1,0)，n=√2−b∈(0,1)，说明在f(x)=12(m, +∞)上无解，在(−∞, m)上恰有一解．【解答】（1）由f(x)=e xx2+2x+b的定义域是R，知4−4b<0得b>1，∴f′(x)=e x(x2+2x+b−2x−2)(x2+2x+b)2=e x(x2+b−2)(x2+2x+b)2，由f′(x)=0得x2=2−b≥0，故b≤(2)当b=2时，f′(x)=x2e x(x2+2x+2)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值点．所以实数b的取值范围为1<b<(2)（2）证明：由(Ⅰ)知函数f(x)的两个极值点为m=−√2−b∈(−1,0)，n=√2−b∈(0,1)，极小值f(n)=e nn2+2n+b =e n(2−b)+2n+b=e n2n+2．下面证明e n2n+2>12：记g(x)=e x−(x+1)(0≤x<1)，g′(x)=e x−1≥0，所以g(x)在[0, 1)上是单调递增函数．所以当x∈(0, 1)时，g(x)>g(0)=0，即e x>x+1，由n=√2−b∈(0,1)知，e n2n+2>n+12n+2=12．这说明f(x)=12在(m, +∞)上无解．又f(−2)=e−2b <1e2<12，f(m)>f(n)>12，且f(x)在(−∞, m)上单调递增，所以f(x)=12在(−∞, m)上恰有一解．综上所述，f(x)=12在R上恰有一解．。

2018北京市通州区高三(三模) 数学(文)

2018北京市通州区高三（三模）数学（文）本试卷共150分。

考试时长120分钟。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|02}S x x x =<>或，{|13}T x x =<<，则ST =（A ）(2,3)（B ）(1,2)（C ）(1,3)（D ）(0,1)(2,3)（2）若复数(2i)(1i)z =+-，则z 的模等于（A ）2（B ）5（C ）10（D ）32（3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）4 （B ）9 （C ）16 （D ）21（4）若,x y 满足3,3230,20,x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩≤≥≥则y x 的最大值为（A ）12（B ）1 （C ）32（D ）2（5）设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则(2),(π),(3)f f f -- 的大小顺序是（A ）(π)(2)(3)f f f -<-< （B ）(2)(3)(π)f f f -<<- （C ）(π)(3)(2)f f f -<<-（D ）(3)(2)(π)f f f <-<-（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（7）已知非零向量a,b ，则“0>⋅a b ”是“a,b 夹角为锐角”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（lg30.477≈）（A ）3710-（B ）3610-（C ）3510-（D ）3410-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省通州高级中学2018届高三第三次质量检测考试数学试卷

江苏省通州高级中学2018届第三次质量检测考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答卷纸上．）1．已知集合{}101A -＝，，，[0)B +∞＝，，则A B ＝ ▲ ． 2．复数1i za +＝(i 为虚数单位)，若||z ，则正实数a 的值为 ▲ ． 3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在用茎叶图表示如右图，则该组数据的方差为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，输出的S 值为 ▲ ．5．口袋中有形状大小都相同的1只白球和2只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px ＝的焦点与双曲线22145x y -的右焦点重合，则抛物线的准线方程为 ▲ ．7．已知某圆锥和某圆柱高相等，体积也相等，则圆锥的底面半径r 1和圆柱的底面半径r 2的比值为 ▲ ． 8．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(P -为终边上一点，则2πcos2+sin ()4-θθ的值为 ▲ ．9．已知x ，y ＞0，且34y x y1-＝，则x y +的最小值为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax ＋b 2在x ＝1处取得极大值4，则a ＋b 的值为 ▲ ． 11．已知n S 为等比数列{a n }的前n 项和，1231a a a ++=，公比132q ＝，则15S 的值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，已知AB ＝2，cos B 2AC 2－BC 2的最小值是 ▲ ． 13．已知M ，N 是不等式组24020240x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤，≥，≥所表示平面区域内的两个动点，若向量(32)-＝，n ，则MN →·n 的最大值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ ．（第4题图）二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应在答卷纸相应位置上写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是AE ，DF 的交点．（1）求证：GH ∥平面CDE ；（2）求证：BD ⊥平面CDE ．16．（本题满分14分）三角形ABC 中，A ＝45○，BC ＝2．（1）若cos C ＝513，求三角形ABC 的面积S ；（2）求AB →·AC →的最大值．某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T型”部分是由两个矩形相接而成,圆面部分的圆周是A，C，D，F的外接圆．（1）若圆的半径为5dm，AF＝8dm，EF＝2dm，CD＝6dm，求“T型”部分的面积．（2）若“T型”部分为宽为1 dm的两个矩形相接而成．要求如下：①“T型”部分的面积不得小于8dm2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T型”部分的面积取8dm2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的椭圆C，长轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A，B为椭圆C上的两点，满足60AOB∠︒＝，①若A为椭圆的右顶点，求直线AB的方程；②求△AOB面积S的取值范围．已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[]1e ，上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）若无穷数列{}n a 满足：若存在正整数m n ，，满足m n a a =，必有11m n a a ++=，则称{}n a 具有性质P ．（1）若{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ．（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由．（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin (*)n n n a b a n +=+∈N ，对任意的1b ，{}n a 都具有性质P ，求证：存在1a ，使得1(*)n b b n N =∈．江苏省通州高级中学2018届第三次质量检测考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．【选做题】本题包括B 、C 两小题，请在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值3=λ及对应的一个特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(12)-，变换成(915)，求矩阵M ．C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)在直角坐标系中，参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）的直线l ，与以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为6cos ρθ=的曲线C 相交于弦AB ，若点(20)M ，，求M AM B ⋅的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)一次活动中，某中学预备从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当志愿者，学生的名额分配如下表: （1）若从201人是高一年级学生的概率；（2）若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．23．(本小题满分10分)已知E(2，2)是抛物线C：y2＝2px上一点，经过点(2，0)的直线l与抛物线C交于A，B 两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x＝－2于点M，N．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O为原点，求证：∠MON为定值．江苏省通州高级中学2018届第三次质量检测考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答卷纸上．）1．已知集合{}101A -＝，，，[0)B +∞＝，，则A B ＝ ▲ ．{}01， 2．复数1i z a+＝(i 为虚数单位)，若||z 则正实数a 的值为 ▲ ．2 3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在用茎叶图表示如右图，则该组数据的方差为 ▲ ．5 4．执行如图所示的伪代码，输出的S 值为 ▲ ．185．口袋中有形状大小都相同的1只白球和2只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为 ▲ ．496．若抛物线22y px ＝的焦点与双曲线22145x y -的右焦点重合，则抛物线的准线方程为 ▲ ．3x =-7．已知某圆锥和某圆柱高相等，体积也相等，则圆锥的底面半径r 1和圆柱的底面半径r 2的比值为 ▲ ．8．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(P -为终边上一点，则2πcos2+sin ()4-θθ的值为 ▲ ． 9．已知x ，y ＞0，且34y x y1-＝，则x y +的最小值为 ▲ ．310．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax ＋b 2在x ＝1处取得极大值4，则a ＋b 的值为 ▲ ．1 11．已知n S 为等比数列{a n }的前n 项和，1231a a a ++=，公比132q ＝，则15S 的值为 ▲ ．31 12．在△ABC 中，已知AB ＝2，cos B 2AC 2－BC 2的最小值是 ▲ ．6 13．已知M ，N 是不等式组24020240x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤，≥，≥所表示平面区域内的两个动点，若向量(32)-＝，n ，则MN →·n 的最大值为 ▲ ．1014．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ ．{13，56，43}（第4题图）二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应在答卷纸相应位置上写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是AE ，DF 的交点．（1）求证：GH ∥平面CDE ；（2）求证：BD ⊥平面CDE ．【解答】（1）G 是,AE DF 的交点，∴G 是AE 中点，又H 是BE的中点， ∴EAB ∆中，AB GH //， CD AB //，∴//GH CD ，又∵,CD CDE GH CDE ⊂⊄平面平面 ∴//GH 平面C D E（2）平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，∵AD ED ⊥，ED ADEF ⊂平面 ∴ED ⊥平面ABCD ， ∴BD ED ⊥，又∵CD BD ⊥，CD ED D ⋂= ∴CDE BD 平面⊥ 16．（本题满分14分）三角形ABC 中，A ＝45○，BC ＝2．（1）若cos C ＝513，求三角形ABC 的面积S ；（2）求AB →·AC →的最大值．【解答】（1）因为cos C ＝513，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1213． ---------2分由正弦定理得c ＝a sin A ·sin C ＝22sin C ＝24213．----------4分又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝17226，--------6分所以S ＝12ac sin B ＝408169． --------8分（2）AB →·AC →＝bc cos A ＝22bc ．因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以4＝b 2＋c 2－2bc ． ----------------10分因为b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，所以4＋2bc ≥2bc ，所以bc ≤4＋22，-----------12分所以AB →·AC →≤2＋22，即AB →·AC →的最大值为2＋22．---------14分17．（本题满分14分）某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T 型”部分是由两个矩形相接而成,圆面部分的圆周是A ，C ，D ，F 的外接圆．（1）若圆的半径为5dm ，AF ＝8dm ，EF ＝2dm ，CD ＝6dm ，求“T 型”部分的面积．（2）若“T 型”部分为宽为1 dm 的两个矩形相接而成．要求如下：①“T 型”部分的面积不得小于8dm 2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T 型”部分的面积取8dm 2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．分析：本题不是要求最低成本，而是要判断设计师的观点：当“T 型”部分的面积取8dm 2且两矩形的长相等时，成本是最低的.即圆的面积最小.故只要考虑当“T 型”部分的面积取8dm 2时，圆面积最小时，看“两矩形的长相等” 是否成立.或者考虑当“两矩形的长相等” 时，圆面积最小时，看““T 型”部分的面积取8dm 2” 是否成立.此时圆面积确定.解：（1）两部分面积之和＝5×6＋2×8=46 dm ；（2）设一个矩形长AF =x （dm ），则CM =8﹣x （dm ）．18x <<设圆半径为r （dm(8)1x =-+，(9)x --222211(9)2(944r x x x r -=----22112(9(9)44x x x -=-+-，2211(9)449x x x-+-=-设9(1,8)t x =-∈516911()422t t =+-≥，2121112516416r ≥+=，min r = 当4t =即5x =即5,3AF CM ==时等号成立，则不同意他的观点. 18．（本题满分16分）在平面直角坐标xOy 中，已知焦点在x 轴上的椭圆C ，长轴长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A ，B 为椭圆C 上的两点，满足60AOB ∠︒＝，①若A 为与椭圆的右顶点，求直线AB 的方程； ②求△AOB 面积S 的取值范围． M N19．（本题满分16分）已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[]1e ，上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得a y x x '=-，由题意，13a -=，所以2a =-． ………………………………3分（2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+，因为对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，问题等价于函数()()2F x h x x =-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数．6分所以()20a F x x x '=+-≥在()0,+∞上恒成立，即22a x x -≥在()0,+∞上恒成立，所以()2max21a x x -=≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．……………………………8分（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln a m x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <． (10)分由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x x--+--++'=--==．因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+． ① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………12分 ② 当11e a <+≤，即0e 1a <-≤时，()m x 在1x a =+处取最小值．令()11ln(1)10m a a a a +=+-++<，即11ln(1)a a a ++<+，可得11ln(1)a a a++<+．考查式子1ln 1t t t +<-，因为1e t <≤，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分 ③ 当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0ea m a +=-+<，解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-． …………………………16分20．（本题满分16分）若无穷数列{}n a 满足：若存在正整数m n ，，满足m n a a =，必有11m n a a ++=，则称{}n a 具有性质P ．（1）若{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ．（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由．（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin (*)n n n a b a n +=+∈N ，对任意的1b ，{}n a 都具有性质P ，求证：存在1a ，使得1(*)n b b n N =∈．【解析】（Ⅰ）∵{}n a 具有性质P ，已知252a a ==，∴36a a =，47a a =，58a a =， ∴678345a a a a a a ++=++，又43a =，52a =，66821a a a ++=，∴3213216a =--=．（Ⅱ）设{}n b 公差为d ，{}n c 公比为0q >，∵51480b b d -==，∴20d =，∴2019n b n =-，∵451181c q c ==， ∴13q =，∴513n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5120193n n n n a b c n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，∵182a =，582a =而2212748a =+=，6130410133a =+=，15a a =但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ．(3)江苏省通州高级中学2018届第三次质量检测考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．【选做题】本题包括B 、C 两小题，请在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值3=λ及对应的一个特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(12)-，变换成（9，15）求矩阵M ．解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故3,3a b c d =⎧⎨=⎩++． 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩++．联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)在直角坐标系中，参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）的直线l ，与以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为6cos ρθ=的曲线C 相交于弦AB ，若点(20)M ，，求M AM B ⋅的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)一次活动中，某中学预备从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当志愿者，学生的名额分配如下表:（1）若从201人是高一年级学生的概率；（2）若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解： (I)设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A ，则()3815320210110==C C C A P答:若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为3815 (II)解法1:ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31．所以 ()8116323104004=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ； ()8132323113114=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ；()2788124323122224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ；()818323131334=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ；()811323140444=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ．随机变量ξ的分布列为:所以3814813812811810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法2: 随机变量ξ服从参数为4，31的二项分布，即ξ~)31,4(B ．随机变量ξ的分布列为:所以334=⨯==np E ξ 即X 的数学期望是2．23．(本小题满分10分)已知E (2，2)是抛物线C ：y 2＝2px 上一点，经过点(2，0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（不同于点E ），直线EA ，EB 分别交直线x ＝－2于点M ，N ．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O 为原点，求证：∠MON 为定值．解：（1）将()2,2E 代入22y px =，得1p =，所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2（2）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，解：设直线l 方程为2x my =+，与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=，则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+= 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+ ，同理可得：22242N y y y -=+ 又4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-，12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++0=所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2。

【全国区级联考】北京市通州区2018届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版)

通州区2017—2018学年度高三摸底考试数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，集合，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】选D2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】A. 在定义域上既不是增函数，也不是减函数；B. 在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；C. 在其定义域上既是奇函数又是增函数D. 在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数故选C3. 一个算法的程序框图如图所示，如果输出的值是，那么输入的值是A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，∵输出的结果为1，当时，；当时，，故选B．【点睛】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．4. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为三棱锥，直观图为侧棱垂直于底面，高为4，底面为底边长，为4，高为4的等腰三角形，该四面体的体积是故选A．5. 已知，那么“直线与垂直”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与垂直，则故“直线与垂直”是“”的必要不充分条件故选B6. 已知，，，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A. ,故不成立；对于B.，故不成立对于C，，故不成立故选D7.已知点，点满足线性约束条件为坐标原点，那么的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】点满足线性约束条件∵令目标函数画出可行域如图所示，联立方程解得在点出取得最小值：故选D【点睛】此题主要考查简单的线性规划问题以及向量的内积的问题，解决此题的关键是能够找出目标函数.8. 如图，各棱长均为的正三棱柱，，分别为线段，上的动点，且∥平面，则这样的有A. 条B. 条C. 条D. 无数条【答案】D【解析】过作交于过作连结使得，则平面平面，则∥平面，因为为线段上的动点，所以这样的有无数条选D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 已知复数的实部与虚部相等，那么实数_______.【答案】2【解析】复数，由题意复数的实部与虚部相等，则实数 2即答案为210. 已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是_______.【答案】3..................【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，解题的关键弄清抛物线的焦点坐标为，准线方程为11. 在△ABC中，已知，，，那么_______.【答案】【解析】因为．由余弦定理知，所以：即答案为12. 已知向量，，若，，，则，夹角的度数为_______.【答案】【解析】由题则!，夹角的余弦值即答案为13. 已知圆的圆心在轴上，半径长是，且与直线相切，那么圆的方程是_______.【答案】，【解析】设圆心∵圆心在轴上、半径为的圆与直线相切∴圆心到直线的距离为∴圆的方程为，或14. 已知函数（1）若，则的零点是_______.（2）若无零点，则实数的取值范围是_______.【答案】(1). (2).【解析】（1）若，则，令可得，即的零点是（2）若无零点,则如图所示当此时，应有，当如图所示，此时应有，综上可得三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）单调递增区间是（Ⅱ）最大值和最小值分别为和．【解析】试题分析：（I）由三角函数的恒等变换化简解析式可得，由周期公式可求，由可解得的单调递增区间．（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质也可求出在区间上的最大值和最小值．试题解析：（Ⅰ）因为．所以的最小正周期由，得所以的单调递增区间是（Ⅱ）因为，所以.所以当，即时，函数取得最大值是.当，即时，函数取得最小值．所以在区间上的最大值和最小值分别为和．16. 某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示.（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业. 若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.注：方差【答案】（Ⅰ）88，48.4.（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用茎叶图求解乙地对企业评估得分的平均值和方差即可．（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88，89，93，95共4个，乙区优秀企业得分为86，95，96共3个．列出从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件，求出得分的绝对值的差不超过5分的个数．即可求解概率．试题解析：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是，方差是.（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有，，，，，，，，，，，共组，设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件，则事件包含有，，，，，，，共组.所以所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是17. 已知数列的前项和为，，.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）因为，，分别令可求出，的值；（Ⅱ）因为，所以，所以，由此可得数列是首项，公比是的等比数列.所以因为，所以最后由分组求和法可求数列的前项和.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以所以所以所以（Ⅱ）因为，所以，所以所以因为所以数列是首项，公比是的等比数列.所以因为，所以所以所以数列的前项和18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在棱上求作一点，使得，并说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析。

北京通州区第三中学2018年高三数学文联考试题含解析

北京通州区第三中学2018年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周， ?的最大值为（）A．B． +C．D． +2参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，把?转化为含有θ的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案．【解答】解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，则?=（）?（）===﹣cosθ﹣cosθcos+sinθsin=﹣=．∴当时， ?的最大值为．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题．2. 过双曲线的焦点作渐近线的垂线，则直线与圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定参考答案：C3. 设全集,，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 已知A，B为抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两点，OA⊥OB(O为坐标原点)，若AB所在直线的斜率为，且与x轴交于(4，0)点，则抛物线C的方程为( )A.y2＝2xB.y2＝4xC.y2＝8xD.y2＝12x参考答案：B5. 已知p，q是两个命题，那么“是真命题”是“是假命题”的（）A. 既不充分也不要必要条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件参考答案：C【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，得解【详解】因为“p∧q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以￢p是假命题，由“￢p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p∧q是真命题”，即“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：C．【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题．6. 已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．34 B．22 C．12 D．30参考答案：B由该几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示：其中，正方体是棱长为，，，∴∴故选B.7. 已知实数、满足，则的最大值为A. B. C. D.参考答案：C8. 设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为（）A． [0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（-1，0]参考答案：A略9. 已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10. 的展开式中的系数是（）A．1 B．2 C．3 D．12参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若动直线过点，以坐标原点O为圆心，OA为半径作圆，则其中最小圆的面积为.参考答案：12. 如图，在Rt△ADE中，是斜边AE的中点，以为直径的圆O与边DE相切于点C，若AB＝3，则线段CD的长为．参考答案：13. 对于一切实数x，令［x］表示不大于x的最大整数，记f(x)= ［x］，若a n=f()(n∈N+),S n为数列｛a n｝的前n项和，则S4n= ．参考答案：2n2-n略14. 数列中，,则的通项参考答案：15. 设函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值为．参考答案：﹣4【考点】函数的值．【分析】由已知先求出f（﹣2）=4﹣2=，从而f（f（﹣2））=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=4﹣2=，f（f（﹣2））=f（）==﹣4．故答案为：﹣4．16. 在锐角中，，，则的值等于；的取值范围为.参考答案：；.略17. 如果实数满足条件，则的最大值为_________．参考答案：考点：简单线性规划．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高三试卷—2018通州高三上期末数学(文)试题及答案

……………………11 分
理由：因为 AB AE BE ，点 F 是 BE 的中点，所以 AF BE. 因为平面 ABE 底面 BCDE ，所以 AF 平面 BCDE. 所以 AF CP. 因为 CP DF ， AF DF F ，所以 CP 平面 ADF. 因为 AD 平面 ADF ，所以 CP AD. ……………………14 分
19.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在 x 轴上，过点 0, 1 ，离心率 e 2 ，
2
所以 b 1， c 2 . ……………………2 分 a2
所以由 a2 b2 c2 ，得 a2 2. ……………………3 分
所以椭圆 C 的标准方程是 x2 y2 1. ……………………4 分 2
（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点 F 作斜率为 k 直线 l ，所以直线 l 的方程是 y k(x 1) .
1．已知集合 A x Z | x2 2x 0 ，集合 B 1, 0,1 ，那么 A B 等于
A．1
B．0,1
C．0,1, 2
D．1,0,1, 2
2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是
A． y 1 x
B．
y
1 2
x
C． y x3
D． y log2 x
3．一个算法的程序框图如图所示，如果输出 y 的值是1，那么输入 x 的值是
所以
2k
2k 2 2 1 2k 2
k
km
1
4k 2 2k
2
2km
0.
所以
4k 2km 1 2k 2
0.
所以 4k 2km 0.……………………12 分因为 k 0 ，所以 m 2. ……………………13 分
20. 解：（Ⅰ）因为函数 f x x a ln x ，且 a 1，所以 f x x ln x ， x 0, .

通州区2017—2018学年度高三摸底考试

高三数学（理）摸底试卷第 2页（共 4 页）
人数
36
114
244
156
50
（Ⅰ）现用分层抽样的方法从这 600 人中抽取 20 人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的 20 名学生中，要随机选取 2 名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为 X ，求 X
的分布列与数学期望.
A． 2 2
B． 3 2
C．1
D． 2
第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上．
9．已知复数 2i a 的实部与虚部相等，那么实数 a _______. i
10．二项式

2
x

1 x

6
的展开式中的常数项是_______.
PA 0, PC1 0,
即
x 2z 2x
y
0, 0.

所以 n 2, 4,1 .
……………………8 分
设平面
PAD
的法向量为
m

0,1,
0
，
所以 cos n, m
4
4 21 .
211 21
又二面角 C1 AP D 为锐角，

2
x

.
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求
f
x
在区间
0，π2

上的最大值和最小值．
16．（本题满分 13 分）某次有 600 人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定 85 分及其以上为优秀.

2017-2018学年江苏省南通市通州区高三(上)学业水平测试数学试卷与解析word(文科)(1月份)

2017-2018学年江苏省南通市通州区高三（上）学业水平测试数学试卷（文科）（1月份）一.填空题1．已知复数z满足（1+i）z=2i，则复数z的模为．2．已知集合A={1，2}，B={a，a2+1}，若A∩B={1}，则实数a的值为．3．双曲线=1的焦距为．4．某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．将3个球随机放入编号为1，2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子里都有球的概率为．7．设a，b∈R，关于x的不等式组的解集为{x|1≤x≤4}，则a﹣b的值为．8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的体积为．9．设等差数列{a n}的公差不为0，且2a1=a10，若a k是a1与a2k的等比中项，则实数k的值为．10．设函数f（x）=2cos（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若，f （π）=0，且f（x）的周期大于π，则φ的值为．11．若正实数a，b满足3a+b=2，则的最小值为．12．在平面直角坐标系xoy中，已知圆M：x2+（y﹣3）2=a2（a＞0），点，B（1，0），C（3，2），若圆M上存在点P，使得∠BPC=90°，∠PAB=45°，则a 的值为．13．定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），当x∈[0，2]时，f（x）=x2+x，则函数g（x）=f（x）﹣|log2（x﹣1）|的零点个数为．14．已知向量，||=1，||≤2，||=3，对于任意的向量，都有|•|+|•|≤2，则•的最大值是．二.解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，．（1）求角A的大小；（2）若三角形ABC的三个顶点都在单位圆上，且b2+c2=5，求边b，c的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为线段AD上一点，且AC ⊥BE．（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；（2）若∠PCD=90°，求证：CD∥平面PBE．17．如图，某小区内有两条互相垂直的道路l1与l2，平面直角坐标系xoy的第一象限有一块空地OAB，其边界OAB是函数y=f（x）的图象，前一段曲线OA是函数y=k图象的一部分，后一段AB是一条线段．测得A到l1的距离为8米，到l2的距离为16米，OB长为20米．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB（其中PQ，OB为两底边）．问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积．18．在平面直角坐标系xoy中，F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，过左焦点F1的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）若MF2与x轴垂直，且，求椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的左项点为A，过点A与直线l平行的直线交椭圆C于点P，交y 轴于点Q．求证：为定值．19．已知函数f（x）=e x+m（x+1），其中m∈R，e是自然对数的底数．（1）若直线y=2x+2是曲线y=f（x）的一条切线，求m的值；（2）讨论f（x））的单调性；（3）若f（x）在R上有两个零点，求m的取值范围．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且S n=．（1）求证：数列{S n2}为等差数列；（2）从数列{S n2}中抽出k个不同的项按一定次序组成新数列{b k}．①若b1≤3，且b1b2，b2b3，b3b1成等差数列，求b1+b2+b3的值；②是否存在偶数k，使得b 1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省南通市通州区高三（上）学业水平测试数学试卷（文科）（1月份）参考答案与试题解析一.填空题1．已知复数z满足（1+i）z=2i，则复数z的模为．【解答】解：由（1+i）z=2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．2．已知集合A={1，2}，B={a，a2+1}，若A∩B={1}，则实数a的值为0．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+1}，A∩B={1}，∴a=1或a2+1=1，当a=1时，B={1，2}，A∩B={1，2}，不成立；当a2+1=1时，a=1，B={0，1}，A∩B={1}，成立．故实数a的值为0．故答案为：0．3．双曲线=1的焦距为6．【解答】解：双曲线=1，可得a=，b=，则c=3，双曲线的焦距为：2c=6．故答案为：6．4．某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为．【解答】解：五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环，∴这组数据的平均数为×（10+x+10+7+9）=9，解得x=9；∴这组数据的方差是s2=×[2×（10﹣9）2+（7﹣9）2+2×（9﹣9）2]=．故答案为：．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【解答】解：模拟程序语言的运行过程，得：I=1，满足条件I＜100，执行循环体I=3，S=9满足条件I＜100，执行循环体I=5，S=13…满足条件I＜100，执行循环体I=99，S=201满足条件I＜100，执行循环体I=101，S=2×101+3=205此时，不满足条件I＜100，退出循环，输出S的值为205．故答案为：205．6．将3个球随机放入编号为1，2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子里都有球的概率为．【解答】解：将3个球随机放入编号为1，2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子里都有球包含的基本事件个数m==6，∴每个盒子里都有球的概率p==．故答案为：．7．设a，b∈R，关于x的不等式组的解集为{x|1≤x≤4}，则a﹣b 的值为9．【解答】解：根据题意，⇒⇒x2+bx+a≤0，若不等式组的解集为{x|1≤x≤4}，则x2+bx+a≤0的解集为{x|1≤x≤4}，则方程x2+bx+a=0的两个根为1、4，则有1+4=﹣b，即b=﹣5，1×4=a，即a=4，则a﹣b=9；故答案为：9．8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的体积为．【解答】解：∵正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，侧面积为，取AC中点D，连结BD，过S作SO⊥底面ABC，交BD于O，则BD==，OD==，∴3S==2，解得SD=，△SAC∴SO===1，∴它的体积为==．故答案为：．9．设等差数列{a n}的公差不为0，且2a1=a10，若a k是a1与a2k的等比中项，则实数k的值为4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d不为0，且2a1=a10，可得2a1=a1+9d，即a1=9d，可得a n=a1+（n﹣1）d=（n+8）d，a k是a1与a2k的等比中项，可得a k2=a1a2k，即为（k+8）2d2=9d•（2k+8）d，可得k2﹣2k﹣8=0，解得k=4（﹣2舍去），故答案为：4．10．设函数f（x）=2cos（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若，f （π）=0，且f（x）的周期大于π，则φ的值为﹣．【解答】解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）的周期大于π，其中ω＞0，|φ|＜π，∴＞π，∴0＜ω＜2．∵=2cos（+φ），∴cos（+φ）=1，∴+φ=2nπ，n∈Z①，∵f（π）=2cos（ωπ+φ）=0，∴ωπ+φ=kπ+，k∈Z，即ωπ=kπ+﹣φ，②．∴×（kπ+﹣φ ）+φ=2nπ，故有φ=﹣，令k=n=0，求得φ=﹣，故答案为：．11．若正实数a，b满足3a+b=2，则的最小值为7．【解答】解：根据题意，若3a+b=2，则有3a+b+1=3，=3++=3+（3a+b+1）（+）=3+（6++）=5+（+）≥5+（2）=7；即的最小值为7；故答案为：7．12．在平面直角坐标系xoy中，已知圆M：x2+（y﹣3）2=a2（a＞0），点，B（1，0），C（3，2），若圆M上存在点P，使得∠BPC=90°，∠PAB=45°，则a的值为．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），P在圆上，则有m2+（n﹣3）2=a2，①又由点，B（1，0），AB都在x轴上，若∠PAB=45°，则有K PA==1，变形可得n=m+，②，若∠BPC=90°，则BP⊥PC，则有K PB×K PC=﹣1，即，变形可得：n2﹣2n+m2﹣4m+3=0，③，联立①②③，解可得：a=，故答案为：．13．定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），当x∈[0，2]时，f（x）=x2+x，则函数g（x）=f（x）﹣|log2（x﹣1）|的零点个数为32．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，且为R上的偶函数，根据周期性画出函数y=f（x）的图象和y=|log2（x﹣1）|的图象，如下：根据y=|log2（x﹣1）|的图象在（2，+∞）上单调递增函数，当x=65时，log264=6，∴当x＞65时，y=|log2（x﹣1）|的图象与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有32个交点，故答案为：32．14．已知向量，||=1，||≤2，||=3，对于任意的向量，都有|•|+|•|≤2，则•的最大值是．【解答】解：设向量=（1，0），=（3cosα，3sinα），则α∈[0，π]，∴•=3cosα；设x∈[0，π]，且α﹣x∈[0，π]，∴cosx+3cos（α﹣x）=cosx+3cosαcosx+3sinαsinx=（3cosα+1）cosx+3sinαsinx≤=，||+||≤2（cos＜，＞+3cos＜，＞）≤2≤2，解得cosα≤；∴≤；∴•的最大值是．故答案为：．二.解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，．（1）求角A的大小；（2）若三角形ABC的三个顶点都在单位圆上，且b2+c2=5，求边b，c的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵．∴2×﹣cos2A+sin2A=，化简可得：sin（2A﹣）=，…5分又∵△ABC是锐角三角形，∴﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，可得A=…7分（2）由，可得：a=2sinA=，…10分由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：3=b2+c2﹣bc，可得：bc=2，…12分又因为b2+c2=5，解得：b=1，c=2，或b=2，c=1…14分16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为线段AD上一点，且AC ⊥BE．（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；（2）若∠PCD=90°，求证：CD∥平面PBE．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PA⊥BE，∵AC⊥BE，PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC，∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC．（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵∠PCD=90°，∴PC⊥CD，∵PA∩PC=P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴CD⊥AC，∵在平面ABCD内，AC⊥BE，∴CD∥BE，∵CD⊄平面PBE，BE⊂平面PBE，∴CD∥平面PBE．17．如图，某小区内有两条互相垂直的道路l1与l2，平面直角坐标系xoy的第一象限有一块空地OAB，其边界OAB是函数y=f（x）的图象，前一段曲线OA是函数y=k图象的一部分，后一段AB是一条线段．测得A到l1的距离为8米，到l2的距离为16米，OB长为20米．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB（其中PQ，OB为两底边）．问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积．【解答】解：（1）把A（16，8）代入y=k，可得k=2，∵B（20，0），得直线AB：y=﹣2x+40，∴f（x）=，（2）设梯形的高为t米，则0＜t＜8，且P（，t），Q（20﹣t，t），∴PQ=20﹣t﹣t2，∴梯形的面积为S（t）=[（20﹣t﹣t2）+20]×t=﹣t3﹣t2+20t，由S′（t）=﹣t2﹣t+20=﹣（3t﹣20）（t+8），由S′（t）=0，解得t=，当S′（t）＞0时，即0＜t＜，函数S（t）单调递增，当S′（t）＜0时，即t＞，函数S（t）单调递减，当t=时，S（t）取得最大值，即为最大值为，答：梯形的高为米时，该社区活动中心的占地面积最大，且最大面积为平方米．18．在平面直角坐标系xoy中，F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，过左焦点F1的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）若MF2与x轴垂直，且，求椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的左项点为A，过点A与直线l平行的直线交椭圆C于点P，交y 轴于点Q．求证：为定值．【解答】解：（1）由题意M（c，），∵，∴=，得N（﹣，﹣），∵点N在椭圆上，∴+=1，解得e=，证明：（2）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN的方程为y=k（x+c），（斜率显然存在），直线AQ的方程为y=k（x+a），由，得（a2k2+b2）x2+2a2k2cx+a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|=•=，由可得（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2b2=0，∴﹣a•x p=，从而x p=，∴y p=k（+a）=，∴=（+a，）=（，），又Q（0，ka），∴=（a，ka），∴•=+=，∴=a．19．已知函数f（x）=e x+m（x+1），其中m∈R，e是自然对数的底数．（1）若直线y=2x+2是曲线y=f（x）的一条切线，求m的值；（2）讨论f（x））的单调性；（3）若f（x）在R上有两个零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（x0，y0），∵f′（x）=e x+m，∴切线的斜率k=e+m，∴切线方程为y﹣[+m（x0+1）]=（e+m）（x﹣x0），即y=（e+m）x+﹣x0+m，∵切线方程为y=2x+2，∴e+m=2，﹣x0+m=2，∴x 0=0，∴x0=0，∴m=1；（2）f′（x）=e x+m，①当m≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，②当m＜0时，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣m），若f′（x）＞0，则x＞ln（﹣m），∴f（x）在（ln（﹣m），+∞）上为增函数，若f′（x）＜0，则x＜ln（﹣m），∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣m）上为减函数，（3）当m≥0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）至多只有一个零点，当﹣1≤m＜0时，0＜﹣m≤1，ln（﹣m）≤0，由（2）知，f（x）min=f（ln（﹣m））=mln（﹣m）≥0，由于f（﹣1）=＞0，∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣m）上有一个零点，设t（x）=e x﹣（1+x+x2），则t′（x）=e x﹣（1+x），由（2）知，当m=﹣1时，t′（x）在（﹣∞，0）为减函数，在（0，+∞）上为增函数，∴t′（x）≥t′（0），∴t（x）在R上为增函数，∴当x＞0时，t（x）＞t（0）=0，即e x＞1+x+x2，∴f（﹣2m）=e﹣2m+m（﹣2m+1）＞[1+（﹣2m）+（﹣2m）2]+（﹣2m2+m）=1﹣m＞0，设h（x）=2x﹣lnx，x＞0，由h′（x）=2﹣=，知当0＜x＜时，h′（x）＜0，当x＞，h′（x）＞0，即h（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴h（x）≥h（）=1﹣ln，∴2x＞lnx在（0，+∞）上恒成立，∴﹣2m＞ln（﹣m），∴f（x）在（ln（﹣m），+∞）上有一个零点，∴当m＜﹣1时，f（x）在R上有2个零点，综上，若f（x）在R上有两个零点，则m的范围是（﹣∞，﹣1）．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且S n=．（1）求证：数列{S n2}为等差数列；（2）从数列{S n2}中抽出k个不同的项按一定次序组成新数列{b k}．①若b1≤3，且b1b2，b2b3，b3b1成等差数列，求b1+b2+b3的值；②是否存在偶数k，使得b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n=，由a1=S1=（a1+），可得a1=1（负的舍去），可得2S n=S n﹣S n﹣1+，2=1，即有S n2﹣S n﹣1则数列{S n2}为首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得S n2=n，①b1b2，b2b3，b3b1成等差数列，可得2b2b3=b1b2+b3b1，即2=+，设b2＜b3，若b1=1，则2=+，无解；若b1=2，则1=+，b3显然不为1，b2≥3，b3≥4，则1=+≤+无解；若b1=3，则=+，b2显然不为1，b2≥2，所以=﹣≥﹣=，所以4≤b3≤6，容易得b2=2，b3=6适合，则b1+b2+b3=11；②若b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列，则2b2b3=b1b2+b3b4，2b3b4=b2b3+b4b5，…，2b k﹣1b k=b k﹣2b k﹣1+b k b1，所以2=+=+=…=+，（*）令c i=（i=1，2，…，k﹣2），则=c1c3c5…c k﹣1，+c1c3c5…c k﹣3，所以（*）即为2=c1+=c2+=…=c k﹣2若c1=1，则ci均为1，所以bi=bi+2，i=1，2，…，k﹣2，不合题意；若0＜c1＜1，则＞1，即0＜c2＜1，以此类推，可得0＜ci＜1，i=1，2，…，k﹣2，+c1c3c5…c k﹣3，矛盾；这与2=c k﹣2若c1＞1，可类似得到矛盾，综上可得，不存在偶数k，使得b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2018届北京市通州区下学期高三三模考试数学(文科)试题(解析版)

2018届北京市通州区下学期高三三模考试数学（文科）试题一、单选题1．若集合，，则A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义计算即可．【详解】集合，则故选：A．【点睛】题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2．若复数，则的模等于A．2 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】∵，．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为A．4 B．9 C．16 D．21【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得执行循环体不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，；此时，满足条件，退出循环，输出的值为9．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．若满足则的最大值为【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】由约束条件得到可行域如图：则的最大值为表示原点与区域内点连接的直线的斜率的最大，所以最大值为故选：B ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题；求目标函数的最优解，利用其几何意义．体现了数形结合的思想．5．设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则()2f -， ()πf -， ()3f 的大小顺序是（）． A ． ()()()π23f f f -<-< B ． ()()()π32f f f ->>- C ． ()()()π32f f f -<<- D ． ()()()π23f f f ->-> 【答案】B【解析】由题，设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，故与0的距离越远，函数值越大，所以()()()π32f f f ->>-．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：原三棱锥为．其中，．可得这个三棱锥最长棱的棱长是PB．【详解】由三视图可知：原三棱锥为．其中，．∴这个三棱锥最长棱的棱长是故选：C．【点睛】本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的有关计算，属于基础题．7．已知非零向量，则“”是“夹角为锐角”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件时，与的夹角为锐角或零角.由此判断即可.【详解】时，与的夹角为锐角或零角，不一定是锐角，故充分性不成立．而与的夹角为锐角或零角时，有，必要性成立，故选：B．【点睛】本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，以及必要而不充分条件的判断，属基础题．8．标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据题意，对取对数可得，即可得，分析选项即可得答案．【详解】据题意，对取对数可得，即可得本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．二、填空题9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点，则____.【答案】【解析】【分析】由已知先求的值，进而利用任意角的三角函数的定义即可得解．【详解】∵角以为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点，．故答案为：.【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．10．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则____.【答案】【解析】【分析】的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积求解即可．【详解】抛物线的准线为，双曲线的两条渐近线方程分别为：，这三条直线构成等腰三角形，底边长为：，三角形的高为：，因此，所求三角形面积：，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．11．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，____.【答案】【解析】【分析】由点到直线的距离公式求得为何值时，距离最小．【详解】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为∴当时，取得最小值．故答案为：．【点睛】12．能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____.【答案】（此题答案不唯一）【解析】【分析】举例说明“若，则”是假命题即可．【详解】当时，满足，不满足；∴若，则”是假命题．故答案为：1，0，-1．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，注意本题答案不唯一．13．在△中，，，，为线段上一点，则的取值范围为____.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得点的坐标，即有直线的方程，设，求得，再由向量的平方即为模的平方，转化为二次函数的最值，即可得到所求取值范围．【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，则直线的方程为设，则，则|由可得的最小值为，时，则的最大值为即的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查向量的加减运算，考查向量的模的求法，以及二次函数的最值求法，考查转化思想和坐标法的运用，以及运算能力，属于中档题．14．某学校开展一次“五四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第1、2题满分都是15分，第3题满分是20分．每个问题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有6名选手只答对其中一道题，有12名选手只答对其中两道题．答对第1题的人数与答对第2题的人数之和为26，答对第1的人数与答对第3题的人数之和为24，答对第2题的人数与答对第3题的人数之和为22．则参赛选手中三道题全答对的人数是____；所有参赛选手的平均分是____．【答案】【解析】【分析】列方程组求出答对1题，2题，3题的人数，再求出全班人数，即可求得三道题全答对的人数与平均分．设分别表示答对1题，2题，3题的人数，则有，解得；又只答对一题的人数为6，只答对两题的人数为12，设答对三题的人数为，则全班人数为；，解得，∴三道题全答对的人数是2；所有参赛选手的平均分是故答案为：2，29.5．【点睛】本题考查了求平均数以及应用问题，也考查了方程思想，属难题.．三、解答题15．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若，都有成立，求正整数的值.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求出数列的通项公式，求出的首项和第四项，得到其公比，进一步求其通项公式，则的通项公式可求；（Ⅱ）由题意，应为数列的最大项．然后求出，再对分类讨论求得满足成立的正整数的值．【详解】（Ⅰ）解：设的公差为，则所以.故的通项公式为（）.设，则为等比数列.，设的公比为，则，故.则，即所以（）故的通项公式为（）.（Ⅱ）解：由题意，应为数列的最大项.由（）当时，，，即；当时，，即；当时，，，即综上所述, 数列中的最大项为和.故存在或，使，都有成立.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，考查推理论证能力，属中档题．16．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用诱导公式、倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式求周期；（Ⅱ）由的范围求得相位的范围，则的范围可求，结论得证．【详解】（I）解：因为，所以的最小正周期为.（II）证明：因为，所以.所以.所以.所以.【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是基础题．17．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（III）在[1.5，2）、[2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．【答案】（1）a=0.40（2）2.06（3）【解析】【分析】（I）由频率和为1列方程求出a的值；（II）利用中位数两边频率相等求出中位数的大小；（III）采用分层抽样求出两组抽取的人数，再利用基本事件计算所求的概率值．【详解】（I）解：由频率分布直方图，可知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5，1），[1,1.5），[1.5，2）[2，2.5），[2.5，3）[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]的频率分别为0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02由解得a=0.40．（II）解：设“活动时间”的中位数为m小时．因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．由0.50×（m2）=0.50.47，解得m=2.06．所以估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．（III）解：由题意得平均户外活动时间在[1.5，2），[2，2.5）中的人数分别有20人、25人，按分层抽样的方法分别抽取4人、5人，记作A，B，C，D及a，b，c，d，e从9人中随机抽取2人，共有36种，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（A，e），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（B，e），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（C，e），（D，a ），（D，b），（D，c），（D，d），（D，e），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）在同一组的有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d）（c，e），（d，e）．共16种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率．【点睛】本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．18．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得；（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．【详解】（I）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.（II）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面，平面，，所以平面.（III）解：由（Ⅰ）知，则．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．已知椭圆过点，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线交椭圆于，两点，试问：是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在一个定点满足条件.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得，可以将椭圆的方程设为，将点的坐标代入方程，计算可得的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，按直线的位置关系分2种情况讨论，当与轴垂直时，易得结论，当与轴不垂直时，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系，分析可得结论，综合2种情况即可得答案．【详解】（Ⅰ）解：因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以.所以椭圆的方程为.又椭圆经过点，代入椭圆方程得.所以. 故所求椭圆方程为.（Ⅱ）解：由已知动直线过点.当与轴平行时，以为直径的圆的方程为；当与轴重合时，以为直径的圆的方程为.所以两圆相切于点，即两圆只有一个公共点.因此，所求点如果存在，只能是点.以下证明以为直径的圆恒过点：当与轴垂直时，以为直径的圆过点；当与轴不垂直时，设.由得.由在椭圆内部知成立.设，则.又，，所以.所以，即以为直径的圆恒过点.所以存在一个定点满足条件.【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．属中档题.20．已知函数的定义域是，且有极值点．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：方程恰有一个实根．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）求导数，定义域是，知得；由得，故．当时，函数在上单调递增，无极值点，即可求实数的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的两个极值点为，，说明在在上无解，在上恰有一解．【详解】（Ⅰ）解：由的定义域是，知得．，由得，故．当时，，函数在上单调递增，无极值点．所以实数的取值范围为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数的两个极值点为，，极小值．下面证明：记，所以在上是单调递增函数所以当时，，即由知，．这说明在上无解．又，，且在上单调递增，所以在上恰有一解.综上所述，在上恰有一解．【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试文科试题

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤ 0}，则AB 等于A.{}1 B . {}12，C. {}0123，，，D. {}10123，，，，- 2. 已知向量(),2a =m ,()1,1a =+n ，若mn ，则实数a 的值为A. 23-B. 2-C. 2或1- D . 2-或13. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，()31xf x =-，则()2f -等于A . 8- B. 8 C. 109-D. 89.4. 执行右面的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为A.5k <？B. 5?k ≥ C . 6?k < D.6?k ≥5. 已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为A. B.C.D.6. “0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A. 24 B. 28C.20+D. 20+8.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 按逆时针方向旋转至OD ．在旋转的过程中，记AOP ∠ 为x ，OP 所经过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ．对于函数()f x 给出以下4个结论：①142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，为减函数；③()()4f x f x π+-=； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称．其中正确结论的个数为A. 1 B . 2 C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i(1+i)的虚部为______．10.若点()2,0P 到双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =______ ．11. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值等于______ ．12．若锐角△ABC 的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于______．13．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．14. 已知函数()22,2,log , 2.x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()2sin 22sin 16f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．（本小题13分）已知数列{}n a的前4项依次成公比为q的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且18a=，41a=-.（Ⅰ）求q及5a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的前n项和n S.17．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年a b c n的值，并计算这n名乘客乘车平均消费金额；求,,,（Ⅲ）某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站，中途任选一站出站一次，之后再从该站乘车．若想两次乘车花费总金额最少，可以选择中途哪站下车？（写出一个即可）18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A BC - 中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =， E ，F 分别为BC ，11A B 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11BBC C ；（Ⅱ）求三棱锥11C EFB -的体积；（Ⅲ）在线段1AE 上是否存在一点M ，使直线MF 与平面11BBC C 没有公共点？若存在，求1A M ME的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点()0,1A(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若在直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）2019. 1第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．110 11．212．713．254 14．114k ≤≤三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）15．解：（Ⅰ）()12cos 2cos 222f x x x x =-+12cos 22x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以的最小正周期为22T ππ==． ………………7分（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值1；当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．………………………13分16．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前4项依次成等比数列，所以341a a q =⋅，即318q -=⋅．所以12q =-，从而2312a a q =⋅=．因为数列{}n a 从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d ，所以433d a a =-=-，从而544a a d =+=-．所以12q =-，54a =-； …………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，214a a q ==-．当1n =时，118S a ==，当2n =时，2124S a a =+=，当3n ≥时，2123(2)[(2)1)]319(2)9222n n n S a a n a d n n ---=++-+=-+-，此式对2n =也成立．综上所述，2813199,222n n S n n n =⎧⎪=⎨-+-≥⎪⎩，，．…………………………………………13分17．（Ӏ）记两站间票价5元为事件A ．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A 中基本事件数为15个.所以两站间票价为5元的概率()526P A =. .............4分（Ⅱ）由表格数据知10.20.8a b +=-=，所以15250.8n +=，即50n =．所以150.3a n ==，250.5b n==，50(1525)10c =-+=． .............8分记n 名乘客乘车平均消费金额为x ，3104155254.350x ⨯+⨯+⨯== ............10分（Ⅲ）双桥，通州北苑．（写出一个即可） . ........... 13分18．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A BC -中，因为△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ． ……………………………… ………………1分又1AA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以1AA AE ⊥．因为11BB AA ，所以． ……………………………………………2分因为1BCBB B =，BC ⊂平面11BBC C ，1BB ⊂平面11BBC C ，所以． …………………………………………………3分所以平面ABC ⊥平面11BBC C ； …………………………………………………4分（Ⅱ）解：………………5分取11BC 的中点D ，连结DE ，则 1DEBB ，1DE BB =，所以，3DE =． ………………6分又F 是11A B 的中点，所以111C F AB ⊥，1C F =7分所以1111111111111111332322FB C A B C E FB C V S DE S DE A B C F DE -∆∆=⋅=⨯⋅=⨯⨯⋅⋅=即三棱锥11C EFB -9分（Ⅲ）解：在1AE 上存在一点M ，满足题意. 取1AE 中点M ，连结MF ． ………………10分因为F 是11A B 的中点，所以MF 是11AB E ∆的中位线，所以1MFB E ． ………………………………………………………………11分因为MF ⊄平面11BBC C ，1B E ⊂平面11BBC C ，所以MF平面11BBC C ， ………………………………………………12分即直线MF 与平面11BBC C 没有公共点． ………………………………………………13分所以11A MME=． ………………………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ． ………………………………5分由2213x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分过M 做MQ ⊥NP 于Q ，则Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，，所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）当1a =时，21()2x f x e x x =--，所以'()1x f x e x =--，'(0)0f =，()01f =．所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =． …………………………………3分（Ⅱ）因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以'()0x f x e x a =--≥恒成立，即'()f x 的最小值()min 0f x '≥．令()'()xg x f x e x a ==--，则'()1x g x e =-．在(,0)-∞，'()0g x <，()f x '单调递减；在(0,)+∞，'()0g x >，()f x '单调递增．所以min ()(0)1f x f a '==-．所以10a -≥，即1a ≤．所以若()f x 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是(]1-∞，．……………………7分（Ⅲ）当0x <时，22()32(1)5t x x a a x '=--++，因为30>，2103a a -+>，所以()t x '在(,0)-∞单调递减，且()5t x '>；当0x >时，()()xt x f x e x a ''==--，由（Ⅱ）知()t x '在(0,)+∞递增，且()1t x a '>-．若对任意的实数1x ，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，则（ⅰ）当10x <时，20x >．所以15a -≤，即4a ≥-；（ⅱ）当10x >时，20x <．所以15a -≥，即4a ≤-．综合（ⅰ）（ⅱ）可得4a =-．……………………………………………………13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分20．（本小题13分）已知函数()21()R 2x f x e x ax a =--∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()()()322,0,152,0f x x t x x a a x x x ⎧>⎪=⎨--++-<⎪⎩对任意的实数()110x x ≠，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，求a 的值．。

通州区2017—2018学年度高三三模考试文科数学试题答案

通州区2017—2018学年度高三三模考试数学（文）试卷本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）210 ）2（11）12（12）101>>-（此题答案不唯一）（13）（14）2；29.5三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，满足12a =，414a =，数列{}n b 满足11b =，46b =，且{}n n a b -是等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若*n ∀∈N ，都有n k b b ≤成立，求正整数k 的值. （Ⅰ）解：设{}n a 的公差为d ，则4143a a d -== 所以2(1)442n a n n =+-⨯=-.故{}n a 的通项公式为42n a n =-（*n ∈N ）. 设n n n c a b =-，则{}n c 为等比数列.111211c a b =-=-=，4441468c a b =-=-=设{}n c 的公比为q ，则3418c q c ==，故2q =. 则12n n c -=，即12n n n a b --=所以1422n n b n -=--（*n ∈N ）故{}n b 的通项公式为1224---=n n n b （*n ∈N ）.（Ⅱ）解：由题意，k b 应为数列{}n b 的最大项. 由1114(1)2242242nn n n n b b n n --+-=+---++=-（*n ∈N ）当3n <时，10n n b b +->，1n n b b +<，即123b b b <<；当3n =时，10n n b b +-=，即34b b =；当3n >时，10n n b b +-<，1n n b b +>，即456b b b >>>综上所述, 数列{}n b 中的最大项为3b 和4b . 故存在3k =或4，使*n ∀∈N ，都有n k b b ≤成立. （16）（本小题13分）已知函数2()1cos()cos 2sin 2f x x x x π=+--. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当[0,]2x π∈时，1()2f x -≤≤.（I ）解：因为()cos cos2f x x x x =+2cos2x x +2sin(2)6x π=+，所以()f x 的最小正周期为π.（II ）证明：因为02x π≤≤，所以72666x πππ+≤≤.所以1sin(2)126x π-+≤≤. 所以12sin(2)26x π-+≤≤. 所以1()2f x -≤≤.（17）（本小题13分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5），[0.5，1）， …，[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（III ）在[1.5，2）、[2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．（I ）解：由频率分布直方图，可知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5，1），[1,1.5），[1.5，2）[2，2.5），[2.5，3）[3，3.5），[3.5，4）， [4，4.5]的频率分别为0.08，0.15，0.5a ，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02 由102.004.007.015.025.05.015.008.004.0=++++++++a 解得a =0.40．（II ）解：设“活动时间”的中位数为m 小时．因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m ＜2.5．由0.50×（m -2）=0.5-0.47，解得m =2.06．所以估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．（III ）解：由题意得平均户外活动时间在[1.5，2），[2，2.5）中的人数分别有20人、 25人，按分层抽样的方法分别抽取4人、5人，记作A ，B ，C ，D 及a ，b ，c ，d ，e活动时间（小时）从9人中随机抽取2人，共有36种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（A ，e ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（B ，e ），（C ，D ），（C ，a ），（C ，b ），（C ，c ），（C ，d ），（C ，e ），（D ，a ），（D ，b ），（D ，c ），（D ，d ），（D ，e ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ）在同一组的有：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ）（c ，e ），（d ，e ）．共16种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率164369==p ．（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F . （Ⅰ）求证：//AD EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，直接写出12V V 的值. （I ）证明：因为正方形ABCD ，所以//AD BC . 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD 平面PBC EF =，所以//AD EF .（II ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD AB ⊥. 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB . 因为PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.因为PAB ∆为等边三角形，E 是PB 中点，所以PB AE ⊥.因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE AD A ⋂=，所以PB ⊥平面AEFD .AE BCDFP（III ）解：1238V V =.（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点P ，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过(0,1)-的直线l 交椭圆于A ，B 两点，试问：是否存在一个定点T ，使得以AB为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）解：因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a =.所以椭圆C 的方程为222212x y b b+=.又椭圆C经过点P ，代入椭圆方程得3b =.所以a =. 故所求椭圆方程为221189x y +=. （Ⅱ）解：由已知动直线l 过(0,1)-点.当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为22(1)16x y ++=；当l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点. 因此，所求点T 如果存在，只能是点(0,3). 以下证明以AB 为直径的圆恒过点(0,3)T ：当l 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点(0,3)T ；当l 与x 轴不垂直时，设:1l y kx =-. 由221,1189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(21)4160k x kx +--=.由(0,1)-在椭圆内部知0∆>成立. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222416,2121k x x x x k k -+==++. 又11(,3)TA x y =-u u r，22(,3)TB x y =-u u r，所以12121212(3)(3)(4)(4)TA TB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--u u r u u r21212(1)4()16k x x k x x =+-++222164(1)41602121kk k k k -=+-+=++. 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点(0,3)T . 所以存在一个定点(0,3)T 满足条件.（20）（本小题13分）已知函数()2e 2xf x x x b=++的定义域是R ，且有极值点．（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求证：方程()12f x =恰有一个实根．（Ⅰ）解：由()2e 2xf x x x b=++的定义域是R ，知440b -<得1b >．()()()()()222222e 222e 222x x x x b x x bf x xx b xx b ++--+-'==++++，由()0f x '=得220x b =-≥，故2b ≤．当2b = 时，()()222e 022xx f x xx '=≥++，函数()f x 在R 上单调递增，无极值点．所以实数b 的取值范围为 12b << ．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数()f x 的两个极值点为()1,0m =-，()0,1n =，极小值()()2e e e 22222n n nf n n n b b n b n ===++-+++．下面证明e 1222n n >+：记()()e 1x g x x =-+()01x ≤<，()e 10x g x '=-≥ 所以()g x 在[)0,1上是单调递增函数所以当()0,1x ∈时，()()00g x g >=，即e 1xx >+由()0,1n =知，e 1122222n n n n +>=++．这说明()12f x =在(),m +∞上无解．又()22e 112e 2f b --=<<，()()12f m f n >>，且()f x 在(),m -∞上单调递增，所以()12f x =在(),m -∞上恰有一解. 综上所述，()12f x =在R 上恰有一解．。

2017届南通市三模数学试卷与参考答案word版

市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ．【答案】564．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ．【答案】75006．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ．【答案】1107．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是 ▲ ．9．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．（第4题）【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ．【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ．【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅u u u r u u u r的取值围是 ▲ ．【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是 ▲ ．【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值围是 ▲ ．【答案】3(2)2-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分（第12题）（第16题）ABCDP M N因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A ，所以1A =，所以()π()sin 3fx x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα+-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP =AD ，M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点．求证：（1）MN ∥平面PAB ；（2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …… 6分（2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． …… 10分又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，（第17题）所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k+++-=，所以12x x ==，所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+，所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，，所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=，所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014x FD =+． …… 10分同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，，所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+- 22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=- 128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，O AC B DlEF Qx yDE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算1503()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以OF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ．（1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， …… 1分设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 21|1|211tk k -=+，解得244t k t =-． …… 3分代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t +，． …… 5分所以211()1424t t tEF t t =+-++，即14EF t t=+（02t <<）． …… 7分 ODl E（第18题）方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ．因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t=+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减．所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>，所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增．所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）． OC（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分因为m p r ，，成等差数列，所以1()2p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为131()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，，此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ．例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ．（1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调．【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分（2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当12a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增．若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=，所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=，所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=，即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ，分别交AB 于点E ，F ．求证：PE PC PF PD ⋅=⋅．【证】连结PA ，PB ，CD ，BC ．因为∠PAB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠PAB =∠PBA ，所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ，所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，，解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-．（第21-A 题）令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π(32)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分又因为点π(32)4，在圆C 上，所以π32=cos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分方法二：点π(32)4，的直角坐标为(33)，，因为圆C 过点(00)，，(33)，，所以圆心C 在直线为30x y +-=上．又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥．【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，所以45544a b c d a bcd a +++=≥． ① …… 4分同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．作答，解答时应D ACBSPE （第22题）写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =．（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，所以(222)SB =-u u r ，，，(012)SC =-u u u r ，，，(00DS =u u u r，设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ，由10SB ⋅=u u r n ，10SC ⋅=u u u rn ，得2220x y z +-=且20y z -=．取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ．设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =u u u r ，，，(111)CE =-u u u r，，．设CP CB λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==u u u r ，，，，，所以(1211)PE CE CP λλ=-=---u u u r u u u r u u u r，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =u u u r，，是平面SAD 的一个法向量．设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP =u u u r ，，，CP u u u r ，所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分（2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试文科答案

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．11011．212．713．25414．114k≤≤三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）15．解：（Ⅰ）()12cos2cos22f x x x x=-+12cos22x x=+sin26xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭．所以的最小正周期为22Tππ==．………………7分（Ⅱ）因为0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．当262xππ+=，即6xπ=时，()f x取得最大值1；2019. 1当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．………………………13分 16．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前4项依次成等比数列，所以341a a q =⋅，即318q -=⋅．所以12q =-，从而2312a a q =⋅=．因为数列{}n a 从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d ，所以433d a a =-=-，从而544a a d =+=-．所以12q =-，54a =-； …………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，214a a q ==-．当1n =时，118S a ==，当2n =时，2124S a a =+=，当3n ≥时，2123(2)[(2)1)]319(2)9222n n n S a a n a d n n ---=++-+=-+-，此式对2n =也成立．综上所述，2813199,222n n S n n n =⎧⎪=⎨-+-≥⎪⎩，，．…………………………………………13分 17．（Ӏ）记两站间票价5元为事件A ．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A 中基本事件数为15个.所以两站间票价为5元的概率()526P A =. .............4分（Ⅱ）由表格数据知10.20.8a b +=-=，所以15250.8n+=，即50n =．所以150.3a n ==，250.5b n==，50(1525)10c =-+=． .............8分记n 名乘客乘车平均消费金额为x ，310415525 4.350x ⨯+⨯+⨯== ............10分（Ⅲ）双桥，通州北苑．（写出一个即可） . ........... 13分18．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A BC -中，因为△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ． ……………………………… ………………1分又1AA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以1AA AE ⊥．因为11BB AA ，所以． ……………………………………………2分因为1BCBB B =，BC ⊂平面11BBC C ，1BB ⊂平面11BBC C ，所以． …………………………………………………3分所以平面ABC ⊥平面11BBC C ； …………………………………………………4分（Ⅱ）解： ………………5分取11BC 的中点D ，连结DE ，则 1DE BB ，1DE BB =，所以，3DE =． ………………6分又F 是11A B 的中点，所以111C F AB ⊥，1C F =7分所以11111111111111113323222FB C A B C E FB C V S DE S DE A B C F DE -∆∆=⋅=⨯⋅=⨯⨯⋅⋅=即三棱锥11C EFB -的体积为2．………………9分（Ⅲ）解：在1AE 上存在一点M ，满足题意. 取1AE 中点M ，连结MF ． ………………10分因为F 是11A B 的中点，所以MF 是11AB E ∆的中位线，所以1MF B E ． ………………………………………………………………11分因为MF ⊄平面11BBC C ，1B E ⊂平面11BBC C ，所以MF 平面11BBC C ， ………………………………………………12分即直线MF 与平面11BBC C 没有公共点． ………………………………………………13分所以11A M ME=． ………………………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ …………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ． ………………………………5分由2213x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分过M 做MQ ⊥NP 于Q ，则Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，，所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）当1a =时，21()2x f x e x x =--，所以'()1x f x e x =--，'(0)0f =，()01f =．所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =． …………………………………3分（Ⅱ）因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以'()0x f x e x a =--≥恒成立，即'()f x 的最小值()min 0f x '≥．令()'()xg x f x e x a ==--，则'()1x g x e =-．在(,0)-∞，'()0g x <，()f x '单调递减；在(0,)+∞，'()0g x >，()f x '单调递增．所以min ()(0)1f x f a '==-．所以10a -≥，即1a ≤．所以若()f x 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是(]1-∞，．……………………7分（Ⅲ）当0x <时，22()32(1)5t x x a a x '=--++，因为30>，2103a a -+>，所以()t x '在(,0)-∞单调递减，且()5t x '>；当0x >时，()()x t x f x e x a ''==--，由（Ⅱ）知()t x '在(0,)+∞递增，且()1t x a '>-．若对任意的实数1x ，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，则（ⅰ）当10x<时，20x>．所以15a-≤，即4a≥-；（ⅱ）当10x>时，20x<．所以15a-≥，即4a≤-．综合（ⅰ）（ⅱ）可得4a=-．……………………………………………………13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学文科试题含答案

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷2019年1月第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤ 0}，则A B I 等于A.{}1B. {}12， C. {}0123，，， D. {}10123，，，，- 2. 已知向量(),2a =m ,()1,1a =+n ，若P m n ，则实数a 的值为A. 23-B. 2-C. 2或1-D. 2-或13. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，()31xf x =-，则()2f -等于A. 8-B. 8C. 109-D. 89.4. 执行右面的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为A.5k <？B. 5?k ≥C. 6?k <D.6?k ≥5. 已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.B.C.D.6. “0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．4.考试结束后，请将答题卡交回．BCPD7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. 24B. 28C.2045+D. 2046+8.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 按逆时针方向旋转至OD ．在旋转的过程中，记AOP ∠ 为x ，OP 所经过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ．对于函数()f x 给出以下4个结论：①142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，为减函数； ③()()4f x f x π+-=； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称．其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i(1+i)的虚部为______．10.若点()2,0P 到双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =______ ．11. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值等于______ ．12．若锐角△ABC 的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于______．13．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．14. 已知函数()22,2,log , 2.x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知函数()2sin 22sin 16f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前4项依次成公比为q 的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且18a =，41a =-.（Ⅰ）求q 及5a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .17．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：。

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