42空间角

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高三数学专题复习42立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离求解强化练习试题

立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离求解1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12 D ．－123．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B.22C. 3 D ．3 2 4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，325．如图K42－1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为1，则异面直线AD 1和C 1D 所成角的余弦值是( )图K42－1 A.55 B ．－55 C.15 D.256．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角(如图K43－2)，则B 、D 间的距离为( )图K42－2A．1 B．2 C. 2 D．2或 27．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长度分别为6,4,4，则其顶点到底面的距离为( )A.143B．217 C.62211D.21738．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为( )A. 3B.22C.2λ3D.55图K42－39．如图K42－3，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为π4时，AE＝( )A．1 B.12C．2－ 2 D．2－ 310．已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，E为OC的中点，且OA＝1，OB＝OC＝2，则平面EAB与平面ABC夹角的余弦值是________．11．如图K42－4，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于________．K42－4图K42－512．如图K42－5，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α的夹角为30°，AO＝BO＝BC＝a，则AC＝________.13．如图K42－6，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________．图K42－614．(10分)如图K42－7，放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC－A1B1C1与正三棱锥B－ACD组成，其中，AB⊥BC.它的正视图、俯视图、侧视图的面积分别为22＋1,22＋1,1.(1)求直线CA1与平面ACD所成角的正弦值；(2)在线段AC1上是否存在点P，使B1P⊥平面ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．图K42－715．(13分) 如图K42－8，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．图K42－816．(12分如图K42－9，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC上，且不与点C重合．1(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．图K42－9。

人体坐姿与乘坐空间舒适性校核规范

人体坐姿与乘坐空间舒适性校核规范1 范围本校核规范适用于三踏板、方向盘、地板、座椅等数据初步布置到位后坐姿与乘坐空间舒适性校核。

本校核规范适用于整车开发或改型设计中对人体坐姿和乘员空间舒适性有影响时所进行的校核。

本校核规范中以SAE 成人男子95百分位作为基准，根据不同车型要求使用不同百分位人体进行校核。

2 规范性引用文件下列文件中的条款通过本规范的引用而成为本规范的条款。

凡是注日期的引用文件，其随后所有的修改单（不包括勘误的内容）或修订版均不适用于本规范。

然而，鼓励使用者研究是否可使用这些文件的最新版本。

凡是不注日期的引用文件，其最新版本适用于本规范。

GB/T 11559-1989汽车室内尺寸测量用三维H点装置GB/T11563-1995汽车H点确定程序GB/T 15759-1995人体模板设计和使用要求GB/T 19234-2003 乘用车尺寸代码SAE J826 JUN2002 H-Point Machine and Design Tool Procedures and SpecificationsSAE J1052 AUG2002 Motor Vehicle Driver and Passenger Head Position3 基本术语3.1 H点指三维H点装置的躯干和大腿的铰接中心，它位于此装置的两侧H点标记钮间的装置的中心线上。

3.1.1 “R点”即“乘坐基准点”指制造厂规定的设计H点，该点：确定了由制造厂规定的座椅每个设计乘坐位置的最后面的正常驾驶和乘坐位置，它考虑了所有的座椅可能调节状态（水平、垂直及倾斜）。

具有相对于所设计的车辆的结构建立的坐标。

模拟人体躯干和大腿铰接中心位置。

作为安放二维人体样板的参考点。

3.1.2 汽车座椅H点指三维H点装置的躯干线和大腿中心线的交点。

是用三维H点装置测得的，此装置应选用适当腿长数据，并安装在制造厂规定的座椅的正常驾驶或乘坐姿势时最后位置。

空间角的计算课件

H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH

17 17 4 15

2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =

总复习《第42讲立体几何中的向量方法(3)》

cos
n1 n2 n1 n2

cos n1 n2 n1 n2
z
A
x
D
C
B
E
y
第5题解析：
△方法？
非用不可 !
●在哪建系？
越对称越好！
●各个点的坐标莫求错？
F点是关键.
一失足成千古恨！
●公式莫求错？
煮熟的鸭子飞了！
课堂总结
□利用空间向量解题不良症状：
症状1. 建系时不说明三线两两垂直. 症状2. 盲目建系，应让更多点在坐标轴（平面）上.
症状3. 细心不够，计算频频出错.
症状4. 法向量的坐标不够简练.
症状5. 使用公式有误.
总复习第41讲
立体几何中的向量方法（3）
一.空间角的求法线线所成角 D C E 形 A θ O B
AB CD AB CD
线面所成角 A
θ B
二面角
A
O θ B
图
O
AB n AB n
向量法 cos
sin
cos
n1 n2 n1 n2
二面角

第8讲向量法求空间角

30
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
训练 2 (2022·全国甲卷)在四棱锥 P -ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，CD ∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝ 3.
(1)证明：BD⊥PA； (2)求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值．
31
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
则cos θ＝__□1__|c_o_s__〈__u_，__v_〉__|___＝_□_2__||uu_|·|_vv_||__．
2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，
直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝_□_3_|_co_s__〈__u_，__n_〉__|
∴A→B1＝(－2 2， 3， 2)， C→B1＝(－ 2， 3， 2)，C→B＝(0， 3，0)．
28
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
设平面 BCC1B1 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··CC→→BB1＝＝00，，即－3y＝2x＋0， 3y＋ 2z＝0，
令 x＝1，则 y＝0，z＝1，∴n＝(1，0，1)．
AC 所在直线为 y 轴，AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B( 3，1，0)，C1(0，2，2)，∴A→1B＝( 3，1，
－2)，A→C1＝(0，2，2)，
∴|cos〈A→1B，A→C1〉|
＝
（
3）2＋31×2＋0＋（1－×22）－2×2×202＋22＋22＝14，
12
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
设平面 A′BCD′的法向量为 n＝(x，y，z)，

空间中角的范围

空间中角的范围
【实用版】
目录
1.空间中角的概念
2.角的范围及其分类
3.空间角的性质和应用
正文
一、空间中角的概念
在数学中，角是由两条射线共同确定的图形部分，通常用一个小圆圈表示。

在空间中，角是由两个射线或两个向量所围成的部分。

与平面上的角类似，空间中的角也可以分为锐角、直角、钝角等不同类型。

二、角的范围及其分类
1.锐角：锐角是指小于 90 度的角。

在空间中，两个向量所围成的角如果是锐角，那么这两个向量之间的夹角一定是锐角。

2.直角：直角是指等于 90 度的角。

在空间中，两个向量所围成的角如果是直角，那么这两个向量之间的夹角一定是直角。

3.钝角：钝角是指大于 90 度小于 180 度的角。

在空间中，两个向量所围成的角如果是钝角，那么这两个向量之间的夹角一定是钝角。

4.平角：平角是指等于 180 度的角。

在空间中，两个向量所围成的角如果是平角，那么这两个向量之间的夹角一定是平角。

5.优角：优角是指小于 180 度且大于 90 度的角。

在空间中，两个向量所围成的角如果是优角，那么这两个向量之间的夹角一定是优角。

三、空间角的性质和应用
空间角具有许多重要的性质，例如，任意两个角之和等于它们所夹的
平面角的度数，任意两个角的差等于它们所夹的平面角的补角的度数等。

这些性质在解决空间几何问题时非常有用。

此外，空间角还可以用于解决一些实际问题，例如，在计算机图形学中，空间角常用于计算物体的旋转和翻转，以及确定物体之间的相对位置等。

3.2.3空间的角的计算

问题情境
我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交直线所成的角来度量．
如何用向量的方法来求空间二面角的大小呢？
1
建构数学
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个平面所成的角．
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．
如图：二面角 α-l-β 的大小为 θ，A，B∈l，AC α，BD β, AC⊥l，
BD⊥l ，则 θ＝< AC , BD >＝< CA , DB >．
l
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B D
2
数学应用
例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求二面角 A1 BD C1 的大小．
3
练一练
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°， ∠BCA＝90°，点 D，E 分别在棱 PB 和 PC 上，且 DE//BC．
①求证：BC⊥平面 PAC； ②当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； ③是否存在点 E，使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由．
4
回顾小结
本节课学习了以下内容： 1．用向量方法解决二面角的计算问题． 2．注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．
5

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3向量法解决空间角和距离问题省公开课一等奖

则点 P0 到直线 l 的距离 d＝＝|1a| |P→P0|·|a|2－|P→P0·a|2.
|P→P0|2－P→P|a0|·a2
11/64
(2)点到平面距离用空间向量法求点到平面距离详细步骤以下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图，设 n＝(a，b，c)是平面 α 的一个法向量， P0(x0，y0，z0)为 α 外一点，P(x，y，z)是平面 α 内
答案解析
A. 2
√B. 3
C. 5
D.3
以O为坐标原点，建立如图所表示空间直角坐标系.
由题意可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
∴A→B＝(－1，2，0)，B→C＝(0，－2，2)，
|A→B|＝
1＋4＋0＝
→→ 5，|AB→·BC|＝
2.
|BC|
∴点 A 到直线 BC 的距离 d＝ 5－2＝ 3.
∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ 3，求异面直线
A1B与AO1所成角余弦值大小.
解答
14/64
反思与感悟
在处理立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角区分.
√D.
615或－
15 6
0，－1，3·2，2，4 由 1＋9× 4＋4＋16 ＝
－2＋12 10× 24＝
615，
知这个二面角的余弦值为 615或－ 615，故选 D.
1 2 3 4 555/64
2.已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB

向量法求空间角(高三一轮复习)

A→1B·A→E＝(A→B－A→A1)·(A→C＋λA→A1)＝－16λ.
所以cos〈A→1B，A→E〉＝
→→ A1B·AE →→
＝
|A1B||AE|
2－＋λ2λ2，
因为异面直线A1B与AE所成角的余弦值为3102，所以 2＋λ 2λ2＝3102，解得λ＝34，
所以C1E＝1.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
因为AA1⊥平面ABC，故以点O为坐标原点，O→B
，O→C
，
→ AA1
的方向分别为x，y，
z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
则A(0，－2,0)，B(2 3，0,0)，M(0,0,4)，N( 3，－1,4)，
则A→M＝(0,2,4)，B→N＝(－ 3，－1,4)，
— 30 —
则nn··AA→→DB＝＝－－xx＋＋z＝3y0＝，0，取y＝ 3，
则n＝(3， 3，3)，
又因为C(－1,0,0)，F0， 43，34，
所以C→F＝1， 43，34，所以cos〈n，C→F〉＝|nn|·|CC→→FF|＝
6 21×
7＝4 7 3， 4
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
(1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD 上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD 所成的角的正弦值．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 27 —
解 (1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE，在△ABD和△CBD 中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝ CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝ E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

高中空间几何求各种角的公式

在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。

以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。

-对顶角：对顶角相等。

-同位角：同位角相等。

-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。

2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。

-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。

-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。

3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。

-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。

这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。

第三章3.2第二课时空间向量与空间角距离

返回
(2)∵DE∥平面 PFB， ∴点 E 到平面 PFB 的距离等于点 D 到平面 PFB 的距离．设平面 PFB 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
则n·FB＝0， n·FP ＝0
⇒x－＋x2＋y＝2z＝0，0，
令 x＝2，得 y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，又∵ FD ＝(－1,0,0)，
返回
(2)∵ PB·AD＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0， ∴PB⊥AD. 又∵PB⊥DM，∴PB⊥平面 ADMN.
即 PB为平面 ADMN 的一个法向量．
因此〈 PB，DB〉的余角即是 BD 与平面 ADMN 所成的角．
∵cos〈
PB
，
DB
〉＝ |
PB·DB ＝ PB|·| DB| 2
4 2×2
AD是平面 ABB1A1 的一个法向量．设直线 BE 和平面 ABB1A1 所
成的角为 θ，
则 sin θ＝||BBEE|··|AADD||＝23×1 1＝23.
故直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23.
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求二面角
[例 3] (新课标全国卷)如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝12AA1，D 是棱 AA1 的中点，DC1⊥BD.
(1)求证：PB⊥DM； (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角．
返回
[解] 如图，以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，
设 BC＝1，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)， D(0,2,0)，C(2,1,0)，M(1，12，1)．
(1)证明： PB·DM ＝ (2,0，－2)·1，－32，1＝0， ∴PB⊥DM.
返回

必修2数学§42

A B
D
C
证明：
易得则A∈ ，B∈α ，故AB α 综上：梯形ABCD是平面图形
α
因ABCD为梯形，故AD‖BC，所以AD，BC确定一平面 α
α
同理CD
α
不要小看“如图”两字，否则A，B，C就成了“半路上杀出来的程咬 ①课本P:51 Ex5 练习1.共面金”.
没有“如图”两字，就必须要用其他语言来交代A、B、C，设引2. 已知：a∥b∥c，且直线d与a，b，c都相交
a b
为了便于证明，首先要进行三大语言的互译，即将原题改写成正规格式
证明：因a∥b，故直线a，b确定一平面α 因a∩c=A,故A∈c， A∈α. 由公理1可知c α 综上：a，b，c共面同理 B∈c， B∈α.
练习1.共面
①课本P:51 Ex5
引1.证明：梯形是平面图形
已知：如图，四边形ABCD为梯形求证：梯形ABCD是平面图形
A B C
α
Q
R
P
练习3. 共点 ③课本P:53
β E A
Ex3
H B
D
K
G
α
分析：（1）题根2也.
F
C
（2）先证K点在下面上，同理可得K点在后面上，
即K点是下面和后面的一个公共点…
④如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点.
（1）求证：直线DM与A1D1中相交（2）若N是A1B1的中点，求证：DM，D1A1，C1N三直线交于同一点
3.两题根-----公理3
（公理1、3的综合应用） 3.两题根-----课本P:78 Ex8
β B S A C
α
题根2：课本P:78 Ex8

2022年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第六章立体几何 42 Word版含答案

考点测试42 空间点、直线、平面间的位置关系一、基础小题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A解析“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.2．下列命题正确的个数为( )①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．3. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．4．以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析①正确，否则三点共线和第四点必共面；②错，如图三棱锥，能合题意但A、B、C、D、E不共面；③错，从②的几何体知；空间四边形为反例可知，④错．5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．肯定是异面直线B．肯定是相交直线C．不行能是平行直线D．不行能是相交直线答案 C解析由已知得，直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不行能为平行直线，若b∥c，则a ∥b，与已知a、b为异面直线相冲突．6．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是( )A．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行B．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不相交C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点答案 C解析对A：a与b可能有交点；对B，D：a与b可能平行，故选C.对C：可用反证法，若b与a不异面，而且a∩b＝∅，则a∥b.又a∥c，从而b∥c，与b∩c＝A冲突．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )A．45° B．60°C．90° D．120°答案 B解析如图，连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故两直线所成的角即为∠HGB＝60°.8. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．答案③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．二、高考小题9．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析解法一：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.解法二：由于l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l 与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线冲突，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D.10．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由于直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A.11．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论肯定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取l1为BC，l2为CC1，l3为C1D1.满足l1⊥l2，l2⊥l3.若取l4为A1D1，则有l1∥l4；若取l4为DD1，则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定，故选D.三、模拟小题12．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行C．垂直D．异面答案 C解析当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案 A解析由于DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又由于AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，由于OM ⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.14．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四周体ABCD(如图2)，则在空间四周体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A ．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又由于BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.15．下列正方体或四周体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是( )答案 D解析解法一：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”推断)对选项A，易推断PR∥SQ，故点P、Q、R、S共面；对选项B，易推断QR∥SP，故点P、Q、R、S共面；对选项C，易推断PQ∥SR，故点P、Q、R、S共面；而选项D中的RS、PQ为异面直线，故选D.解法二：如图，可知选项A、B中的四点共面．对于选项C，易知可构成平行四边形．故选D.16．三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为( )A．1 B．13C．33D．63答案 D解析如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设AB＝a，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝3a，A1D1＝2a，∴sin∠A1BD1＝63，故选D.17．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，肯定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，肯定存在很多条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不肯定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，肯定存在与直线m垂直的直线．答案②④解析对于①，若直线m⊥α，假如α、β相互垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的全部直线，则在平面β内，肯定存在很多条直线与直线m垂直，故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，肯定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．一、高考大题1．四周体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四周体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H. (1)求四周体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．解(1)由该四周体的三视图可知BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四周体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．2．一个正方体的平面开放图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)推断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：由于ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.由于ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH. 由于EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.二、模拟大题3．如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．(1)求证：PC⊥AD；(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；(3)求点D到平面PAM的距离．解(1)证明：取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由于ABCD是∠ABC＝60°的菱形，所以∠ADC＝60°，AD＝CD，所以△ACD是正三角形，所以OC⊥AD，又△PAD是正三角形，所以OP⊥AD，又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD.(2)存在．当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．证明：取棱PB的中点Q，连接QM，QA，由于M为PC的中点，所以QM∥BC，在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD，所以A，Q，M，D四点共面．(3)点D到平面PAM的距离即为点D到平面PAC的距离，由(1)可知PO⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高，在Rt△POC中，PO＝OC＝3，PC＝6，在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝6，边PC上的高AM＝PA2－PM2＝102，所以S△PAC＝12PC·AM＝12×6×102＝152，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D －PAC ＝V P －ACD ，得13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ，即13×152·h ＝13×34×22×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.4. 如图所示，平面四边形ADEF 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面垂直，AD ⊥CD ，AD ⊥ED ，AF ∥DE ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝2ED ＝xAF .(1)若四点F 、B 、C 、E 共面，AB ＝a ，求x 的值； (2)求证：平面CBE ⊥平面EDB .解 (1)∵AF ∥DE ，AB ∥DC ，AF ∩AB ＝A ，DE ∩DC ＝D ， ∴平面ABF ∥平面DCE .∵四点F ，B ，C ，E 共面，∴FB ∥CE ， ∴△ABF 与△DCE 相像．∵AB ＝a ，∴ED ＝a ，CD ＝2a ，AF ＝2ax，由相像比得AF ED ＝AB CD ，即2ax a ＝a 2a，所以x ＝4.(2)证明：不妨设AB ＝1，则AD ＝AB ＝1，CD ＝2，在Rt △BAD 中，BD ＝2，取CD 中点为M ，则MD 与AB 平行且相等，连接BM ，可得△BMD 为等腰直角三角形，因此BC ＝2，由于BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ，又由于平面四边形ADEF 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面垂直，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，ED ⊥AD ，所以ED ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥DE ，又由于BD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面EDB ，∵BC ⊂平面ECB ，∴平面CBE ⊥平面EDB .5．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)由于AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又由于E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .由于EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)由于平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC ，由于BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又由于AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 由于SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .6. 如图，在直二面角E －AB －C 中，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.(1)证明：FB ⊥面PAC ；(2)求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．解 (1)证明：易得FB ＝4， cos ∠PFA ＝cos ∠BFA ＝32，在△PAF 中，PA ＝PF 2＋FA 2－2PF ·FA ·cos∠PFA＝9＋12－2×3×23×32＝ 3. ∵PA 2＋PF 2＝3＋9＝12＝AF 2，∴PA ⊥BF .∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面ABEF . ∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC ⊥BF . ∵PA ∩AC ＝A ，∴BF ⊥平面PAC .(2)过P 作PM ∥AB ，PN ∥AF ，分别交BE ，BA 于M ，N ，∠MPC 或其补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC . 易得PN ＝MB ＝32，AN ＝32，NC ＝AN 2＋AC 2＝52，BC ＝22，PC ＝PN 2＋NC 2＝7，MC ＝MB 2＋BC 2＝352，cos ∠MPC ＝14＋7－3542·12·7＝－327＝－3714.∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为3714.。

初中几何42个模型及题型

初中几何42个模型及题型几何学是数学中的一个重要分支，学习几何可以让学生更深入地理解空间和几何关系。

初中几何有42个模型及题型，涵盖平面几何、立体几何等多方面，是初中学生最重要的学习内容，也是初中数学教学活动的重要部分。

一、平面几何模型和题型1.：主要是求圆的性质、属性、相关长度、面积、弧长和面积的计算题。

2.线：主要是求直线的性质、属性、空间关系，以及它们相互关系上出现的问题。

3.点：主要是求点的相对位置关系，以及空间中的各种几何体中点的性质及长度和面积的求解。

4.形：主要是求解一般图形的性质、属性、空间关系，以及它们相互关系上出现的问题。

5.：主要是求解角的性质、属性、空间关系，以及它们相互关系上出现的问题。

6. 三角形：主要是求解三角形的各种性质、属性、空间关系，以及它们的几何形状、运算、求解等。

7.行四边形：主要是求解平行四边形的性质、属性、空间关系，以及它们相互关系上出现的问题。

8.方形：主要是求解正方形的性质、属性、空间关系，以及它们相互关系上出现的问题。

二、立体几何模型和题型1.：主要是求解球的性质、属性、体积、表面积等。

2.柱：主要是求解圆柱的性质、属性、体积、表面积等。

3.以及圆柱的切面：主要是求解球的各种切面的性质，以及圆柱的轴面、切面等的性质。

4.行四面体：主要是求解平行四面体的性质、属性、体积、表面积等。

5.面体：主要是求解六面体的性质、属性、体积、表面积等。

6.棱锥：主要是求解四棱锥的性质、属性、体积、表面积等。

7.棱柱：主要是求解四棱柱的性质、属性、体积、表面积等。

8.分体：主要是求解四棱锥的各种切面的性质，以及四棱柱、四分体等的性质。

以上是初中几何42个模型及题型，平面几何包括直线、定点、图形、角和三角形等，立体几何包括球、圆柱、平行四面体、六面体、四棱锥、四棱柱和四分体等。

几何学是数学中重要的分支，学习几何可以让学生在解决实际问题中加深理解，开阔视野。

学习几何过程中，要注意思维灵活，多练习，掌握几何中的关系，逐渐熟练掌握概念，以便在实际的空间环境中运用几何的技巧解决问题。

新高考数学空间角精品课件

课前基础巩固
课堂考点探究
第42讲空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .

so42-的空间构型键角

so42-的空间构型键角1.引言文章1.1 概述部分的内容可以是这样的：引言部分旨在介绍文章的主题和相关背景信息。

本文的主题是SO42-的空间构型和键角。

SO42-是一种二价阴离子，由4个氧原子和1个硫原子组成。

SO42-离子在化学中具有广泛的应用，如在环境科学、材料科学和生物化学等方面都有重要意义。

SO42-的空间构型是指离子中各个原子的三维排列方式。

这种构型的确定对于理解SO42-离子的物理性质和化学性质具有重要意义。

SO42-的空间构型可以通过X射线衍射、红外光谱和核磁共振等实验手段进行研究和确定。

键角是指两个相邻原子与中心原子之间的角度。

对于SO42-离子来说，硫原子是中心原子，四个氧原子是相邻原子。

键角的大小和形状直接影响了SO42-离子的空间构型，进而影响了其化学性质。

因此，研究SO42-离子的键角的影响因素对于深入理解其化学性质具有重要意义。

在本文中，我们将首先介绍SO42-的空间构型，包括其晶体结构和化学构型。

其次，我们将重点讨论键角的影响因素，如电子云排斥、静电作用力和原子大小等。

最后，我们将总结SO42-的空间构型，并探讨键角对其化学性质的影响。

通过对SO42-离子的空间构型和键角的研究，我们可以更好地理解其在化学反应中的行为和性质，并为相关领域的研究提供有价值的参考。

下一节将详细介绍SO42-的空间构型。

文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：1.2 文章结构本文将分为以下几个部分进行讨论：第一部分是引言部分，首先会对本文的主题进行概述，介绍SO42-离子的特点以及其在化学中的重要性。

随后，会给出本文的结构和目的。

第二部分是正文部分，主要分为两个小节进行讨论。

首先，会详细介绍SO42-离子的空间构型，包括其原子的排列方式和键长。

其次，会探讨影响SO42-离子空间构型的因素，如离子核电荷、键长和键角等。

这一部分将通过相关实验和理论研究的结果，为读者呈现出SO42-离子在空间中的结构特点以及这些特点的形成原因。