第三章代数学的进步

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高等代数发展简史

《高等代数》发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学加走过了一段不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次方程和一元二次方程的求解方法。

关于三次方程，我国在公元七世纪也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通的《缉古算经》里就有论述。

到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数学九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利数学家发现一元三次方程的公式—卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的，后来被米兰地区的数学家卡尔达诺（1501－1576）骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。

所以现在人们还是称这个公式为卡尔达诺公式（或称卡当公式），其实，它应该叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快被意大利的费拉里（1522－1560）解出。

这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。

遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间与精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔（1802－1829）证明了五次或五次以上的方程不可能有根式解；即这些方程的根不可能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来，阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有根式解的问题，由法国数学家伽罗瓦彻底解决了。

20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱， 1832年，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗瓦在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出来，并附以论文手稿。

第三章代数学情与教材分析

第三章代数学情与教材分析本章将分析代数学在教学实践中的应用情况，并对相关教材进行评估。

以下是对该主题的讨论。

1. 代数学的应用情况1.1 学科教学中的代数学应用代数学作为一门基础学科，在教学中得到广泛的应用。

它在数学的各个领域都发挥着重要的作用。

下面是一些代数学在学科教学中的具体应用情况：- 代数学在初等数学教学中起到了扎实的基础作用。

通过代数学的研究，学生能够建立起对数学概念和原理的基本理解，并能够运用代数方法解决实际问题。

- 代数学在高等数学教学中扮演着关键的角色。

它作为一种数学工具，被广泛应用于微积分、线性代数、离散数学等高级数学领域。

通过代数学的研究，学生能够更深入地理解数学理论，并能够运用代数方法解决更复杂的数学问题。

- 代数学在应用数学中的应用也很广泛。

例如，在物理学、工程学、计算机科学等领域，代数学可以用于建立数学模型、解决实际问题和优化算法等。

代数学的应用为这些学科的发展提供了重要支持和指导。

1.2 代数学教学面临的挑战在代数学教学中存在一些挑战需要面对和解决。

以下是一些常见的挑战：- 学生对代数学的抽象性理解困难。

代数学作为一门抽象的学科，需要学生具备较高的逻辑思维能力和抽象化能力。

然而，许多学生在初学阶段往往对代数概念和符号的理解存在困难。

- 教师教学方法与学生需求不匹配。

教师应灵活运用不同的教学方法和策略，满足学生的不同研究需求。

然而，目前仍有教师在代数学教学中过于强调传统的讲授和记忆，而忽视了培养学生的创造性思维和解决问题的能力。

2. 相关教材分析2.1 常用教材评估对于代数学教学，存在许多常用的教材。

以下是对常用教材的简要评估：- 《代数学教程》：这本教材在代数学教学中被广泛使用。

它系统地介绍了代数学的基本理论和方法，并提供了大量的例题和题以供学生练。

然而，该教材在实际应用中可能显得过于理论化，对学生的实际问题解决能力的培养较少。

- 《应用代数学导论》：该教材注重将代数学与实际应用相结合，通过具体的案例和问题讲解，激发学生对代数学的兴趣。

数学趣史代数学的发展与应用

数学趣史代数学的发展与应用数学趣史：代数学的发展与应用数学作为一门科学，有着悠久的历史。

代数学作为数学的一个重要分支，经历了漫长的发展和丰富的应用。

本文将带您走进数学的趣史，探索代数学的发展与应用。

一、古代数学的雏形在古代，人们对数的认识还非常有限。

在埃及、巴比伦等文明中，人们使用了简单的数系统，用来计数和解决实际问题。

然而，古希腊的数学家欧几里得则是第一个系统地研究了代数学。

他在《几何原本》中提出了一系列的几何定理，为后来代数学的发展奠定了基础。

二、代数学的兴起代数学的发展在伊斯兰世界得到了极大的推动。

9世纪，波斯数学家穆罕默德·本·穆萨·阿尔·赫瓦里兹米（阿尔-花拉子米）创立了代数学和数学分析的基本理论，开创了代数学的新纪元。

他的著作《可悲的和骄傲的》对代数学的发展产生了重要影响。

随着阿尔-花拉子米的贡献，欧洲的数学家们开始意识到代数学的重要性。

16世纪，法国数学家弗朗索瓦·维埃特（François Viète）提出了代数学的符号表示方法，为代数学的符号计算奠定了基础。

他被誉为“代数学之父”。

三、代数学的应用代数学在各个领域的应用广泛而深入。

下面，我们将重点介绍代数学在解方程、密码学和编程等方面的应用。

1. 解方程代数学的一个主要应用领域是解方程。

从最简单的一元方程到复杂的多项方程，代数学提供了一些基本的方法，如配方法、因式分解和求根公式等。

通过这些方法，我们能够解决生活中遇到的各种实际问题，如物理学、化学、经济学等领域中具有代表性的方程。

2. 密码学密码学是代数学应用的重要领域之一。

在现代通信领域，人们普遍使用密码来保护数据的安全性。

而代数学中的数论和有限域理论等工具为密码学提供了强有力的支持。

例如，RSA加密算法就是基于数论的，通过大素数分解和模运算等数论问题来保护通信的安全。

3. 编程代数学在计算机程序设计中也扮演着重要角色。

第三章代数学的进步

a3－b3 =(a－b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a 和b，使得在x=a－b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为a3－b3=q.
两边各乘以27a3，就得到
27a6－27a3b3=27qa3
由p=－3ab可知 27a6 + p3 = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。解得
三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜。
塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来。这样他以30:0的战绩大获全胜。这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了。
书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了。一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去。1548年8月10日在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马。
这个学生的名字叫费拉里(Ludovico Ferrari, 1522－1565)，是我们故事中出场的最后一个人物。费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆。主人发现了他的出众才能，接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学。其最大的贡献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了。在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指摘对方不能解四次方程。
很久以前，人们就解决了一元一次方程与

演变过程从代数到数论的数学发展

演变过程从代数到数论的数学发展数学作为一门古老而迷人的学科，经历了漫长的历史进程，从代数学的发展逐渐转向数论研究。

本文将对这一数学发展的演变过程进行探讨，带领读者了解数学从代数到数论的发展历程。

一、代数学的崛起代数学作为现代数学的基石之一，最早可以追溯到古希腊时期。

古希腊人可以称为"几何学家"，在数学发展中，几何学成为主导。

然而，在公元前3世纪欧几里得《几何原本》的问世后，代数学开始崭露头角。

欧几里得的《几何原本》被认为是公元前300年左右最重要的数学著作之一。

这本书将几何学和代数学联系在一起，将数学推向了一个崭新的阶段。

欧几里得提出了多个代数问题，例如在现在被称为“欧几里得算法”的问题中，他研究了带有两个未知数的二元一次方程，并找到了求解方法。

随着时代的变迁，代数学经历了一系列的发展和演变。

在中世纪，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨（Muhammad ibn Musa）的贡献使代数学得以进一步发展。

他们将印度的数字和阿拉伯的代数方法结合起来，推动了代数学的研究。

印度的贡献是十分重要的，他们发明了零的概念和十进制系统。

代数学的发展在文艺复兴时期得到了进一步的推动。

文艺复兴时期的数学家们致力于解决各种各样的代数问题，并开创了代数的新领域。

其中尤以文艺复兴时期的数学家费马（Pierre de Fermat）和笛卡尔（René Descartes）的贡献最为突出。

费马提出了至今未解的费马大定理，而笛卡尔创造了解析几何学，将代数问题转化为几何问题的研究。

二、数论的兴起随着代数学的发展，数论逐渐成为数学研究的重要方向。

数论是研究整数的性质和关系的数学分支，与代数学有着密切的联系。

数论在欧几里得时期就开始崭露头角，例如欧几里得的《几何原本》中就提到了欧几里得算法等与数论有关的问题。

然而，数论真正成为独立的学科要等到19世纪。

在这个时期，数论的研究重点逐渐从代数问题转向了整数问题，开启了数论的黄金时代。

《万物皆数》读书心得

《万物皆数》读书心得《万物皆数》读书心得第一章：序言在《万物皆数》这本书的序言中，作者介绍了书中的主题和目的，以及本书的结构和理念。

作者强调了数学的重要性和普遍性，以及在现代社会中数学在各个领域的应用。

他还讨论了数学与其他学科的关系，提出了数学的思维方式对于解决世界问题的重要性。

第二章：基本概念本章介绍了数学的基本概念，包括数的分类、数的运算、数的表示方法等。

作者从简单到复杂地解释了数学中的各种概念，为后续章节的学习做好了铺垫。

第三章：代数学代数学是数学的一个重要分支，本章详细介绍了代数学的基本概念和基本原理。

作者介绍了代数方程的求解方法、多项式的运算规则以及代数结构的理论等内容。

他以简单易懂的方式解释了这些概念，并给出了实际应用的例子。

第四章：几何学几何学是研究空间形状和相对关系的学科，在本章中，作者介绍了几何学的基本概念和基本原理。

他详细讲解了点、线、面、体等空间要素的性质和相互关系，以及几何证明的方法和技巧。

作者还探讨了几何学在现实生活中的应用，如建筑设计、地图制作等。

第五章：概率论与统计学概率论和统计学是研究随机现象的规律性和可预测性的学科，在本章中，作者介绍了概率论和统计学的基本概念和基本原理。

他解释了概率的计算方法和统计数据的分析方法，并给出了实际应用的例子，如风险评估、市场调查等。

第六章：微积分微积分是研究变化率和积分的学科，本章详细介绍了微积分的基本概念和基本原理。

作者讲解了导数和积分的计算方法、微分方程的求解方法等内容，并给出了实际应用的例子，如物理学中的运动学问题、经济学中的最优化问题等。

结语在本书的结语中，作者总结了全文的内容，并强调了数学的重要性和普遍性。

他鼓励读者在日常生活和工作中运用数学的思维方式，从而更好地解决问题和取得成功。

附件本文档涉及的附件包括相关的数学习题和实例，供读者练习和参考。

法律名词及注释1.版权：指作品的创作人对其作品所拥有的权利。

根据国际版权法，未经著作权人许可，他人不得擅自使用、复制、传播等。

数学的发展与演变

数学的发展与演变
第一时期：数学形成时期（远古—公元前六世纪），这是人类建立最基本的数学概念的时期。

人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本、最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。

第二时期：初等数学时期、常量数学时期（公元前六世纪—公元十七世纪初）这个时期的基本的、最简单的成果构成中学数学的主要内容，大约持续了两千年。

这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数。

第三时期：变量数学时期（公元十七世纪初—十九世纪末）变量数学产生于17世纪，经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分（Calculus）的创立。

第四时期：现代数学时期（十九世纪末开始），数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

近世代数发展简史

近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数和运算规则的结构。

在近世代数的发展历程中，有许多重要的里程碑和贡献，下面将为您详细介绍。

1. 代数的起源代数的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们开始研究方程和未知数的关系。

例如，毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，它可以用一个方程来表示：a² + b² = c²。

这标志着代数的起步。

2. 文艺复兴时期的代数在文艺复兴时期，代数得到了进一步的发展。

数学家们开始研究多项式和方程的解法。

其中最重要的贡献来自意大利数学家Cardano和Ferrari。

他们发现了普通三次方程和四次方程的解法，这被称为Cardano-Ferrari公式。

3. 齐次坐标和复数17世纪，法国数学家笛卡尔引入了齐次坐标系统，这使得几何和代数之间的联系更加密切。

同时，复数的概念也在这个时期被引入。

复数是由实数和虚数构成，它们的运算规则被完善并广泛应用于代数的研究中。

4. 群论的发展19世纪末，德国数学家Galois提出了群论的概念，这是近世代数中的一个重要分支。

群论研究的是代数结构的对称性和变换规则。

Galois的工作为代数的发展奠定了坚实的基础，他的理论对于解方程、数论和几何等领域都有重要的应用。

5. 现代代数的发展20世纪，代数学经历了一次革命性的发展。

抽象代数的概念被引入，数学家们开始研究更普通的代数结构，如环、域和向量空间等。

同时，线性代数和矩阵论的发展也为现代代数的研究提供了重要的工具和方法。

总结：近世代数的发展可以追溯到古希腊时期的方程研究，经历了文艺复兴时期的解方程方法的发展，齐次坐标和复数的引入，群论的提出以及现代抽象代数的发展。

这些重要里程碑的贡献使得近世代数成为了数学中一个重要且独立的分支，为解决实际问题和推动数学发展做出了巨大贡献。

第3章数学的发展

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僧侣文中表示的数
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数学的萌芽（5）——古希腊数学
公元前5世纪，古希腊有人开始研究数学知识之间的内在关系。公元前3世纪，人们已经积累了相当丰富的几何经验知识。
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数学的萌芽（6）——古印度数学
自公元前8世纪，印度已经有了丰富的数学知识，如成书于公元前800年左右的《绳法经》，就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记录。
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数学的萌芽（2）——巴比伦数学
巴比伦泥版文书(记载的数学问题)
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常量数学的产生（4）

人教版初中数学新教材七年级上册第三章“一元一次方程”

人教版初中数学新教材七年级上册第三章“一元一次方程〞介绍〔2022修订〕方程是（全日制义务教育数学课程标准〔修订稿〕）中“数与代数〞领域的重要内容之一，一元一次方程是最简单、最根本的方程.继第—章“有理数〞和第二章“整式及其加减〞之后，本章对一元一次方程进行研究，主要内容包含一元一次方程的有关概念、解法和应用，化归思想和模型思想隐含于知识之中.通过学习本章，学生的代数运算能力和数学建模能力将得到进一步开展.本章共安排四个小节和两个选学内容一、教科书内容和课程学习目标〔一〕本章知识结构框图1.利用一元一次方程解决问题的根本过程2.本章知识安排的前后顺序〔二〕教科书内容人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学根本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用.从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推进了整个代数学的开展.从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是全部代数方程的根底.本章主要内容包含：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题.其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即依据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是主要难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线.对一元一次方程的有关概念和解法的商量，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的，它们在本章前三节中占重要地位.解方程中蕴涵的“化归思想〞和列方程中蕴涵的“数学建模思想〞，是本章中包含的主要数学思想.商量一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同类项〞“去括号〞等整式加减运算的法则，即第—、二章的内容是关于一元一次方程解法的根底知识.全章共包含四节：3．1从算式到方程3.1.1一元一次方程在小学阶段，用算术方法解应用题是数学课中的重要内容，此外对于方程也有过对一些最简单问题的商量．本小节先通过一个具体的行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐渐引导学生通过列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据问题中的相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的不仅在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，而且要使学生认识到方程是比算术式子更有力的数学工具，字母（未知数）可以列入方程并参与运算，从而给解决问题带来更大的便利，从算术方法到代数方法是数学的进步．算式表示的是用算术方法进行计算的程序，算式中只能含有已知数而不能含有未知数，这是列算式使用问题中的数量关系时必须遵守的规则．列方程依据问题中的数量关系，特别是相等关系，它打破了列算式时只能使用已知数的限制，方程中可以依据需要含有相关的已知数和未知数，未知数在被解出之前以字母形式进入表示相等关系的式子，是代数方法对于算术方法的新改革．正因有了如此的新突破，所以一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性．本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解以及解方程等根本概念，并且对于“分析实际问题中的数量关系，设未知数，利用相等列出方程〞的过程进行了归纳．这对后续内容的展开具有重要的根底作用.3.1.2等式的性质方程是含未知数的等式，为合适初中学生学习，降低学习难度，本章不涉及关于方程的同解理论，而以相对说来比拟简单理解的等式的性质作为解方程的主要依据．本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们商量一些较简单的一元一次方程的解法．这将为后面的3.2节和3.3节进一步商量较复杂的一元一次方程的解法打算理论依据．本节最后安排的“阅读与思考：‘方程'史话〞，简要地回忆了中外古人研究方程过程中的几个重要事件，通俗地介绍了与方程相关的数学史料，这有助于传播数学文化、扩大知识面和增加学习兴趣.3.2解一元一次方程〔一〕——合并同类项与移项本节的重点在于商量解方程中的“合并同类项〞和“移项〞两个根本做法，这样就已经可解类型的一元一次方程．本节中对于“合并同类项〞和“移项〞的商量，分别以问题1和问题2为出发点.以较为简单的实际问题作商量方程解法的背景，一方面可使学生感觉到要商量的解法X于实际问题的需要，另一方面可使依据实际问题列方程贯穿于全章，将列方程的教学过程拉长．从而到达由简单到复杂地逐渐提高学生列方程的能力的教学效果.本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780〜850年间的阿拉伯数学家阿尔一花拉子米所著的（对消与复原）一书，提问“对消〞与“复原〞是什么意思，以此作为后面内容的引子．这也具有介绍数学史，传播数学文化的作用．本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其中前一例题是单纯解方程，其作用为稳固对相应解法的理解和掌握；后一例题是简单的实际问题，其作用有两个，一是稳固对相应解法的理解和掌握，二是逐渐引导学生理解和掌握如何列方程.解方程和列方程是利用方程分析和解决实际问题的根本过程中不可或缺的两个环节．本节最后安排的“实验与探究：无限循环小数化分数〞，是对一个纯数学问题的商量.它展示了研究数的问题时方程的应用，这有助于加强知识之间的联系和增加学习兴趣，也有益于以后进一步研究实数.3.3解一元一次方程〔二〕——去括号与去分母本节的重点在于商量解方程中的“去括号〞和“去分母〞两个根本做法，至此就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．本节中对于“去括号〞和“去分母〞的商量，分别以问题1和问题2为出发点，即从一道“用电问题〞，引出解方程中的“去括号〞问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而商量用去分母的方法解这类方程．以较为简单的实际问题作商量方程解法的背景，这连续了3.2节的做法，其目的如前面所述.本节通过古埃及数学问题为商量“去分母〞的引子，反映出人们对数学研究有悠久的历史，数学文化源远流长，这也可以增加相关内容的趣味性．同3.2节的结构一样，本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其一是单纯解方程，其二是简单的实际问题，它们对理解和掌握“去括号〞和“去括号〞解方程，对理解和掌握依据实际问题中的相等关系列方程，有重要的示范作用．本节归纳了解一元一次方程的一般步骤，至此这类方程的一般解法已得到完整的商量.3.4实际问题与一元一次方程本节的第—局部，在此前已经商量过由实际问题列出一元一次方程以及解一元一次方程的一般步骤的根底上，又安排了例1〔“成龙配套〞问题〕和例2〔工程问题〕，并在其后以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的根本过程，这是一个重要的小结.本节的第二局部，进一步以“探究〞的形式商量如何用一元一次方程解决实际问题．要探究的三个问题〔“销售中的盈亏〞“球赛积分表问题〞“计费问题〞〕要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近，呈现形式也有别于一般数学习题．本节的重点是建立实际问题的方程模型．通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的紧密联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．由于本节问题的背景和表达都比拟贴近实际，其中的有些数量关系比拟隐蔽，所以在探究过程中正确地列出方程是主要的难点．突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．〔三〕本章学习目标1．经历“把实际问题抽象为数学方程〞的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步.2．掌握等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法，了解它们是解方程的依据.3.明确解方程的根本目标〔使方程逐渐转化为x=a的形式〕在此目标引导下研究方程的解法；熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想.4.能够找出实际问题中的已知数和未知数，会从数学运算角度分析它们之间的关系；会依据问题所求及题中条件设未知数，会列出方程表示问题中的相等关系，并利用方程求未知数，会结合题意进行检验.5．通过探究用一元一次方程解决实际问题，进一步体会利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见上图〕和建立数学模型的思想，在解决问题的过程中感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.二、编写时考虑的几个问题1.突出列方程，结合解决实际问题商量解方程列方程是本章的重点之一，也是难点．为突出重点，分散难点，使学生能有较多时机接触列方程，本章把对实际问题的商量作为贯穿于全章前后的一条主线．对一元一次方程解法的商量始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后商量如何解方程，这是本章的一个特点．教科书先结合两个实际问题的求解过程分别商量了“合并同类项〞和“移项〞，并进一步通过一些例题对这两种解方程的变形手段进行综合练习和加强．此后教科书又在对另两个实际问题的商量中引出解方程中的“去括号〞和“去分母〞，并进一步通过一些例题和练习题援助学生掌握它们．在此根底上，教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般步骤，引导学生提高对一元一次方程解法的认识．我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的认识过程，表达了方程的各种解法源于实际问题的需要，并且可以加强这章内容与实际的联系，有助于解决局部学生总感觉列方程难、学习列方程的时间过短等问题．2.通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识本章的中心任务是，使学生经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程的作用，掌握运用方程解决问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识．由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不十清楚显，使得建立方程模型表示问题中的相等关系成为教学中的难点．为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章在内容选择上注意加强探究性．例如，第3.4节特别安排了“实际问题和一元一次方程〞的内容，选择了三个具有肯定综合性的问题〔“探究1销售中的盈亏〞“探究2球赛积分表问题〞“探究3计费问题〞〕，设置了假设干探究点，引导学生利用方程为工具进行具有肯定深度的思考，使全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度．这些内容包含：利用方程比拟估算与X 计算〔探究1〕，利用方程进行推理、推断、检验〔探究2中已渗透了反证法的思想〕，利用方程寻觅关键数值，对不同方案进行定量化比照与选择〔探究3〕，安排这些探究问题的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力、创新精神和实践意识在更高层次上等到提高．3.重视数学思想方法和数学文化的渗透本章不仅重视数学与实际的联系、列方程和解方程的方法，而且重视数学知识中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透．，本章所涉及的数学思想方法主要包含两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想．虽然考虑到学生的理解能力等原因，教科书没有过多出现“数学模型〞一词，但是本章以框图形式对“利用一元一次方程解决问题的根本过程〞进行了归纳，意在渗透建模思想．为表达化归思想在解方程中具有指导作用，本章中商量一元一次方程的各个步骤时，都注意说明解方程的目的即最终使方程变形为x=a〔已知数〕的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，逐渐使方程变形，从而使“未知〞逐渐转化为“已知〞．本套教科书的特色之一是，使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子．重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵．通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动生动地介绍古今数学的开展，深刻浅出地反映数学的作用〔工具作用和人文教育作用〕，使学生逐渐地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养．本章对于数学文化予以很大关注，从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数......这些数学史上的重大进步以及有关方程的名著（复原与对消）、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映．编者期望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶．七年级上册第三章“一元一次方程〞介绍〔二〕〔2022修订〕课程教材研究所田载今三、对教学的几个建议1.关注在前面学段的根底上开展，做好从算术到代数的过渡本章第3.1节从一个实际问题〔行程问题〕开始商量，在引出方程后提出“从算式到方程是数学的进步〞.算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法.用算术方法解实际问题是小学阶段中学生已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力具有打根底的作用.算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式受到“其中只含已知数而不能有未知数〞的限制；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母〔未知数〕.方程是依据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一.由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，并且未知数可以与其他数一样地参与运算，所以方程的应用更为方便.这正是用字母表示数带来的好处.方程的出现使代数方法超越了古老的算术方法.从课程标准看，在前面学段中已经有关于简单方程的内容，学生已经对方程有初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的认识已经历了入门阶段，具备了肯定的根底，这些根本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了根底.本章的内容是在前面的学习根底上的进一步开展，即对一元一次方程作更系统、更深刻的商量，所涉及的实际问题要比以前学习的问题复杂些，更强调模型化思想的渗透；对方程解法的商量要更系统、更注重算理，更强调创设未知向已知转化的条件以及解法中程序化的思想.了解以上的联系与区别，有助于在本章教学中注意到应在哪些地方使学生得到新的提高.2.关注方程与实际问题的联系，表达数学建模思想我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及数量关系的分析这为学习“一元一次方程〞提供了大量的现实素材.在本章教科书中，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的商量也是在解决实际问题的过程中进行的，“列方程〞在本章中占有突出地位，全章教科书按照商量实际问题的线索而展开.在本章的教学和学习中，要充分注意方程的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程来自实际又效劳于实际，加强对于方程是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.鉴于本章的学习对象是七年级学生，教科书的表达力求通俗易懂，在正文中防止过多直接使用“数学模型〞等词，而是通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立数学模型的思想.设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的根底.在本章的教学和学习中，可以从多角度进行思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻觅等量关系，检验方程的合理性.教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们.本章第3.2节和3.3节中，与解方程相比，列方程居于次要位置，实际问题中的数量关系较简单，商量它们可以使学生对列方程有初步认识.第3.4节的例1和例2是数量关系稍复杂的实际问题，商量它们可以使学生对列方程有进一步认识，了解列方程的一般思路.这表达了本章在列方程上由浅入深的整体安排，教学中应注意体会教材前后的联系与变化.利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见前面的图〕，在本章中反复出现并且逐渐细化，这有助于从整体上认识一元一次方程与实际问题的关系，请注意在教学中不断加强对它的认识.3.抓住方程的主线，复习并加深对相关预备知识的认识从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接．通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处，从而加深对相关内容的认识．在本章的教学中，期望能够时刻关注教学重点，注意抓住方程这条主线，突出围绕一元一次方程的商量，注重解方程的根本功训练，结合方程的解法复习已学整式的知识，援助学生认识数、式与方程间的联系．4.关注培养学习的主动性和探究性课程改革的目的之一是促进学习方法的转变，加强学习的主动性和探究性.本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的愉快更简单激起学生对数学的兴趣.在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动搜集寻觅“现实的、有意义的、富有挑战性的〞学习材料，并更多地进行数学活动和相互交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，体会数学思想方法.在本章的教科书中，安排了许多可提供学生主动进行探究的内容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如3.4节“实际问题与一元一次方程〞中的探究1~3就是为提高分析和解决问题的能力而安排的探究性内容，本章的“数学活动〞及“拓广探究〞栏目下的习题等也设置了很多探究性问题，例如商量月历中的数字排列规律及由此产生的计算规律等有趣的问题.采纳什么方法进行这些内容的教学是需要关注的问题．具体教学方法可能会因时因地因人而易，但是各种方法都应注意鼓舞学生积极探究.当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何进行探究活动，而不要替代他们思考，不要过早给出答案．应鼓舞探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程生动起来，在这样的气氛中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获．5.关注数学思想方法的教学和学习前面已经说过，本章所涉及的数学思想方法主要包含两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的模型化〔包含符号化〕的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想.在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于个别题目的具体解题过程，而应关注对以上思想方法的渗透和领会，从整体上认识问题的本质.数学思想方法是通过数学知识的载体来表达的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教科书的渗透反映，也需要教师的点拨，最终还需要学生自身的感受和理解.数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识例如对解方程的本质有比拟透彻的认识，就简单主动地探究具体方程的解法，这远比死记硬背方程的解法步骤的效果要好.因此，我们需要关注数学思想方法的教学和学习，期望教师在如何深刻浅出地进行这方面的教学上不断探究.6.关注根底知识和根本技能，适当加强练习稳固本章内容包含一元一次方程的概念、解法和应用.一元一次方程是最根本的代数方程，对它的理解和掌握对于后续学习〔其他的方程以及不等式、函数等〕具有重要的根底作用.因此，教学和学习中应注意打好根底.由于本章教科书是以分析解决实际问题为线索展开的，方程解法的商量安排于分析解决问题的过程之中，但在前面几节解方程是重点.如缺少对教材设计意图的理解，可能会对它们有所无视，而掌握方程解法是必须完成的教学目标，所以在教学和学习中应注意对根底知识和根本技能进行归纳整理，使得它。

初中代数又一次质的飞跃

初中代数又一次质的飞跃初中代数又一次质的飞跃读了周承欢老师《初中代数两次质的飞跃》一文，给我很大的启迪．原文指出，“从算术数发展到有理数，又从有理数发展到用字母表示的代数式，是初中代数从简单到复杂，从具体到抽象的两次质的飞跃，也是初中学生学习代数的两大难关”，并为怎样突破这两大难关提出了很好的教学建议．笔者认为，初中代数还有一次质的飞跃，就是由代数式（常量）到函数（变量）的飞跃．本文就怎样实现这一飞跃谈一点体会．一、加强函数概念的教学函数是中学数学中的重要概念．它既是从客观现实中抽象出来的，又超越了千变万化的客体的个性，其内涵极为深刻，外延又极为广泛．所以它既是重点，又是难点．教学时，教师应采取以下有效的措施：１．注意早期渗透事实上，函数观念的培养在小学已经开始了．进入中学，随着代数式、方程的研究已渗透了这一观念．例如，含有一个字母的代数式，就可看作它所含字母的函数．这是因为，含有一个字母的代数式的值，是由这个字母所取的值唯一确定的，它符合函数的定义．因此，在代数式的教学中，要有意识地渗透函数的概念．２．注重概念的引入为引入函数概念，课本上讲了四个例子，教师可根据学生的实际再增加一些例子．对每个例子都要进行分析，揭示它们的共同特性：（１）问题中所研究的两个变量是互相联系的；（２）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；（３）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应．３．准确理解定义课本中函数的定义包含着三层意思：（１）“ｘ在某一范围内的每一个确定的值”，是说自变量是在某一范围内变化的，它揭示了自变量的取值范围；（２）“ｙ都有唯一确定的值和它对应”，它既揭示了所研究的函数是单值函数，又反映了两个变量间有着一个相互依存的关系，即函数的对应法则；（３）谁是谁的函数要搞清．定义中说的是“ｙ是ｘ的函数”．４．不断深化概念在几类具体函数的研究过程中，要注重把所得的具体函数与函数的定义进行对照，使学生进一步加深对函数概念的理解．二、强化函数性质的应用不同的函数有不同的特性，探求并掌握一个新函数的性质是我们追求的目标．在掌握函数性质的同时，要注重强化学生应用函数性质的意识．应用函数性质时还应注意以下两点：１．借助函数解题我们知道，代数式、方程、不等式与函数有着密切的关系，因此可构造函数，利用函数的性质解决有关的问题．例如构造二次函数研究一元二次方程根的分布问题、解一元二次不等式等．这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

第三章代数方程 2

§2 代数方程的性质一、多项式与代数方程的一般性质[代数基本定理] 每个复数域上n 次代数方程f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n =0(n ≥1)在复数域中至少有一个根.代数基本定理的推论：每个n 次代数方程在复数域中有n 个根，而且只有n 个根. [多项式的导数] 多项式f (x )的导数为f '(x )=na 0x n －1+(n －1)a 1x n －2+ +a n －1微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.[单根与重根]1° 多项式的单根不是它的导数的根.2° 多项式的m 重根（即有m 个根相同）是它的导数的m －1重根（m >1）. 3° 若x 1,x 2, ,x k 分别为f (x )的α1,α2, ,αk (α1+α2+ +αk =n )重根，则f (x )=a 0(x －x 1)1α(x －x 2)2α (x －x k )k α[洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x )=0的两个实根之间总有f '(x )=0的一个实根.从这个定理可推出下列两个推论：1° 若f (x )的一切根都是实的，则f '(x )的一切根也是实的.在f (x )的相邻两根之间有f '(x )的一个根并且是一个单根.2° 若f (x )的一切根都是实的，且其中有p 个（计算重根）是正的，则f '(x )有p 个或 p －1个正根.[多项式的相关]1° 若多项式f (x ),ϕ(x )的次数都不超过n ，而它们对n +1个不同的数α1, ,1+n α有相等的值，即f (αi )=ϕ(αi ) (i =1, ,n +1),则f (x )= ϕ(x ).2° 多项式f (x )和ϕ(x )的根完全相同的充分必要条件是f (x )和ϕ(x )只差一个不等于零的常数因子.[整根与有理根] 任意整系数方程f (x )=0，若有一个有理根qp（为既约分数），则p 是αn的约数，q 是α0的约数. 由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数.[实根与复根，共轭实根与共轭复根]1° 任意有理系数方程f (x )=0，若有一个根a +b (a,b 是有理数，b 是无理数)，则必有另一个根a －b .这时a +b 与a －b 称为一对共轭实根.2° 任意实系数方程f (x )=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数.3° 任意实系数奇数次方程f (x )=0至少有一个实根.4° 任意实系数偶数次方程f (x )=0,a 0a n <0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）.[根与系数的关系] 设f (x )=x n +a 1x n －1+ +a n为复数域S 上的一元多项式，x 1,x 2, ,x n 为f (x )在S 中的n 个根，则根与系数的关系为x 1+x 2+ +x n =∑=ni i x 1=－a 1x 1x 2+x 1x 3+ +x n -1x n =∑<=nj i j i j i x x )(1,=a 2x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+ +x n -2x n -1x n =∑<<=nk j i k j i kjixx x )(1,,=－a 3x 1x 2 x n =(－1)n a n这就是说，f (x )的x n -k 的系数a k 等于从它的根x 1,x 2, ,x n 中每次取k 个（不同的）一切可能乘积之和,若k 是偶数,则取正号，若k 为奇数，则取负号.[根的范围] 设ξ为复系数代数方程f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n =0(1)的根.1° 若所有系数a i ≠0 (i =0,1, ,n ),则σξ≤,其中σ为实系数代数方程F (x )=0a x n －1a x n －1- -n a =0的一个正实根.2° 设γ1,γ2, ,γn -1为任意正数，则≤ξτ,其中τ为下列n 个数中最大的一个: 01a a +11γ,2a a 1γ+21γ, ,1a a n -21γγ 2-n γ+11-n γ,1210-n n a a γγγΛ特别,取γi =1(i =1,2, ,n －1)时,有≤ξmax ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-nn n a aa a a a 10101,,1,Λ (2)方程(1)中作变换x =y1,可求出y 的上界，因而得到 ≥ξ11101,,1,max --⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧++nn n n a a a a a a Λ (3)更进一步，记(2)式右边为M ，记(3)式右边为m ，如果取ρ<M ,使得-n a ρ0--11n a ρ--22n a ρ ρ1--n a 0>-n a取ρ'>m ，使得+'n a ρ0+'-11n a ρ ρ'+-1n a 0<-n a那末有ρ'ρξ≤≤.3° 设γ为任意正数，则1τξ≤，其中τ1=max ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-100201,1n n a aa aa aγγγΛ特别，取γ=1，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=ni i a a 101,1max ξ 4° 若所有系数都为正实数，则min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1120111201,,,max ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛξ5° 若方程（1）的系数满足不等式n a a a a a ----<Λ3210则方程（1）至多有一个绝对值≥1的根ξ1，而且n a a a ---≥Λ211ξ[多项式的分解]1° 设f (x )为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g (x )和h (x ),使得 f (x )=g (x )h (x )则称f (x )为实数域上可约（或可化），否则称f (x )为实数域上的不可约多项式. 2° 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含（共轭）复根的二次多项式. 3° 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积. 有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5，2.[余数定理与综合除法] 若c 为一常数，则多项式f (x )除以x －c 所得的余数等于f (c ). 设f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n求f (x )除以x －c 的商式与余数其计算格式如下： c ) a 0 a 1 a 2 a n -1 a n b 0c b 1c b n -2c b n -1c b 0 b 1 b 2 b n -1 b n 式中b 0=a 0,b i =a i +b i -1c (i =1,2, ,n ).于是得到商式 q (x )=b 0x n -1+b 1x n -2+ +b n -1 余数r =b n =f (c )例 f (x )＝532234--+x x x 除以 x －2. 列出算式 2) 1 2 －3 0 －52 8 10 201 4 5 10 15= f (2)所以 ()2151054223-++++=-x x x x x x f[多项式的泰勒公式（秦九韶法）] n 次多项式f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n(a 0≠0)在任意点c 的泰勒展开式为f (x )=b 0(x －c )n +b 1(x －c )n -1+ +b n -1(x －c )+b n式中系数b i (0≤i ≤n )按下面的方法计算.首先在(n +2)⨯(n +2)方阵的对角线上列出a 0,a 1, ,a n ,d （d 为符号），在第1列上列出a 0(即a i,i =a i -1,i =1,2, ,n +1;a n +2,n +2=d ;a i ,1=a 0,i =1,2, ,n +2).c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++da a a a a a a n n n n n 1,23,22,203,12,1033,42,402,0100ΛΛO M M M M 然后再按递推公式a i,j c +a i,j +1=a i +1,j +1 (i =2, ,n +1; j =1, ,i －1)自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n +2行各元素即为所求系数，即b 0=a 0, b i =a n +2,i +1 (i =1,2, ,n )例求f (x )＝523--x x 在x =2处的泰勒展开式. 解2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡d 110615241221011－－－则f (x )＝()()()121026223--+-+-x x x二、多元多项式·对称多项式·结式[多元多项式] 设常数c 1,c 2, ,c k 属于一个数域S ,αi ,βi , ,νi (i =1,2, ,k )是正整数或零，则称形如+111211νβαn x x x c Λ+222212vn x x x c Λβα+k k k n k x x x c νβαΛ21的表达式为数域S 上元素x 1,x 2, ,x n 的n 元多项式.i i i n i x x x c νβαΛ21称为它的项，c i 为它的系数，αi 为项中关于x 1的次数，βi 为项中关于x 2的次数,等等.αi +βi + +i v 为项的次数.在多项式中系数不为零的任一项关于x i 的最高次数称为多项式关于x i 的次数，系数不为零的任一项的最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式.每个m 次多项式f (x 1,x 2, ,x n )都可唯一地表示成f (x 1,x 2, ,x n )=∑=mi n i x x x f 021),,,(Λ式中f i (x 1,x 2, ,x n )为i 次齐次多项式.为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如x 1的降幂排列如下：a 0(x 2, ,x n )x 1m + a 1(x 2, ,x n )x 1m -1+ + a m (x 2, ,x n ) 式中a 0(x 2, ,x n ), a 1(x 2, ,x n ), , a m (x 2, ,x n )为x 2, ,x n 的n －1元多项式. 若f 1,f 2, ,f k 分别为m 1,m 2, ,m k 次的多元多项式，则乘积f 1f 2 f k 为m 1+m 2+ +m k 次. [对称多项式] 如果在一个n 元多项式f (x 1,x 2, ,x n )中，对调任一对x i 和x j 后，f (x 1,x 2, ,x n )不变，那末称它为x 1,x 2, ,x n 的对称多项式.[初等对称多项式] 设∑==ni i x 11,σ ∑<==nj i j i jixx )(1,2σ ∑<<==nk j i k j i kj ix x x )(1,,3,σσn =x 1x 2 x n则称σ1,σ2, ,σn为初等对称多项式.例如，由多项式的根与系数的关系（本节，一）可知，多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式.[对称多项式基本定理] 在数域S 上，每个n 元对称多项式f (x 1, ,x n )都可唯一地表成x 1, ,x n 的初等对称多项式（系数在S 中）的多项式.[牛顿公式] 设f (x )=(x －x 1) (x －x 2) (x －x n )=x n －σ1x n －1+ +(－1)n σns k =x 1k +x 2k + +x n k (k =0,1,2, )则下面牛顿公式成立： k ≤n 时, s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)k -1σk -1s 1+(－1)k k σk =0 k >n 时， s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)n σn s k -n =0 [结式] 设f (x )=a 0x m+a 1x m －1+ +am =a 0∏=-mi ix x 1)((m >0) ϕ(x )=b 0x n +b 1x n －1+ +b n =b 0∏=-n j j y x 1)((n >0)则R (f ,ϕ)= nn n mm m b b b b b b b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ1101101010行行m n ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 这个m +n 阶行列式R (f ,ϕ)称为多项式f (x )和ϕ( x )的结式，式中空白处的元素都是零.结式具有性质： R (f ,ϕ)=(－1)mn R (ϕ,f )R (f ,ϕ)=∏∏∏∏====-==-m i nj mi nj jm mnin j im n yf bx a y xba 1111)()1()()(ϕ设a 0,b 0不全为零，则f (x ),ϕ(x )在复数域上有公共根的充分必要条件是它们的结式R (f ,ϕ)=0.行列式R (f ,ϕ)是f (x )与ϕ(x )的系数的一个m +n 次齐次多项式，关于a 0,a 1, ,a m 是n 次齐次多项式，关于b 0,b 1, ,b n 是m 次齐次多项式.三、代数方程的根的隔离[傅立叶-布当判别法] 设f (x )=0为实系数n 次代数方程，a ,b 为二实数，适合a <b ，f (a )≠0,f (b )≠0,f (x )的各阶导数为 f (x ),f '(x ), ,f (n )(x )若序列{ f (a ),f '(a ), ,f (n )(a )}的变号次数*为p ，序列{ f (b ),f '(b ), ,f (n )(b )}*序列{}n c c c c ,,,,210Λ的变号次数定义如下：设两个相邻数1,+k k c c 都不为零，它们的符号相反，则称两数之间有一次变号，否则变号次数为零.如果遇到零时则应考虑该数后面第一个非零数是否变号.也就是说把序列中的一切零去掉再考虑变号次数.的变号次数为q ，则p ≥q ，且a 与b 之间的f (x )=0的实根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p －q ，或者比p －q 少一个正偶数. 特别，当p -q =0时，(a ,b )内无实根，当p －q =1时，(a ,b )内只有一个实根. [笛卡儿符号法则] 设f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n =0(a 0≠0,a n ≠0)为实系数n 次代数方程，若系数序列 {a 0,a 1, ,a n }的变号次数为p ，则方程f (x )=0的正根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p ，或者比p 少一个正偶数.特别，当p =0时，无正根，当p =1时，有且仅有一个单正根.上面两个定理没有解答这样的问题：一个给定的实系数方程是否有实根，有几个实根，并且在给定的区间(a ,b )内有几个实根.斯图姆解决了这些问题.[斯图姆判别法] 设f (x )为区间(a ,b )内的无重根的实系数多项式，a ,b 为二实数，适合a <b ,f (a )≠0,f (b )≠0,以f 0(x )表示f (x )，以f 1(x )表示f (x )的导数f '(x ).用f 1(x )除f (x )，并以f 2(x )表示由这个除法所得到的余式反号后的多项式，然后用f 2(x )除f 1(x )，并以f 3(x )表示余式反号后的多项式，这样继续下去，最后一个记作f s (x ) (等于非零常数).这样得到的函数序列 {f 0(x ),f 1(x ),f 2(x ), ,f s (x )} (1) 称为在区间(a ,b )内以f (x ), f '(x )为基的一个斯图姆组. 若序列{f 0(a ),f 1(a ),f 2(a ), ,f s (a )}的变号次数为p ，序列 {f 0(b ),f 1(b ),f 2(b ), ,f s (b )}的变号次数为q ，则f (x )=0在区间(a ,b )内的实根个数等于p -q . 应用斯图姆判别法可以查清实系数代数方程的根在实轴上的分布情况.特别，可以求出一组区间，使得每个区间内只含有方程的一个根.关于代数方程f (z )=0的复根个数可参看第十章，§4，二的辐角原理. [卢斯判别法] 假设实系数多项式 f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n －1z +a n 以f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4-a 6t n －6+f 1(t )=a 1t n －1－a 3t n －3+a 5t n －5－为基的斯图姆组为{f 0(t ),f 1(t ),f 2(t ), ,f s (t )}(2)1° f (z )=0在虚轴及右半平面上没有根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数.2° 若斯图姆组（2）内s =n ，则组内每个多项式的次数比前一个低一次，f (z )=0在虚轴上没有根，在右半平面的根的个数等于首项系数组成的序列的变号次数.3° f (z )=0在右半平面上没有根而在虚轴上有p 个根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n -p ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数，且最后的p 次方程 f n －p (z )=0有p 个实根.这些实根就是f (z )=0在虚轴上的p 个根的虚部.如果考虑f (z )=0在单位圆上和单位圆外的根数问题，只要作线性变换z =11－＋ωω 化为对g (ω)=0在虚轴上和右半平面上根数的讨论.对此用卢斯判别法可以解决.[胡尔威茨判别法] 实系数多项式f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n的一切根都位于左半平面上的充分必要条件是系数a 1>0，并且多项式f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4+和f1(t)=a1t n－1－a3t n－3+a5t n－5－的根都是互相间隔的实根.。

七年级第三章数学知识点

七年级第三章数学知识点
第三章是七年级数学中的重要章节，主要讲述了代数运算、平面直角坐标系、图形变换等知识点。

以下是本章节的详细内容：
1. 代数运算
代数运算是数学中非常基础的一部分，主要涉及四则运算、开方、分数化简等知识点。

在本章中，我们深入了解了这些概念，掌握了运算规律和各种常见题型的解法。

在这些知识的基础上，我们可以更深入地理解代数学中的进一步知识。

2. 平面直角坐标系
平面直角坐标系是平面上的一个重要工具，它既可以用来表示平面几何中的图形，也可以用于解决代数方程等等。

在本章中，我们对平面直角坐标系有了一个初步的认识，学会了如何画出平面直角坐标系，并研究了如何根据坐标系中的点的位置计算出两点之间的距离以及斜率等。

3. 图形的基本变换
图形变换在数学中是非常重要的概念，它包含了平移、翻转、旋转、缩放等多种变化。

在本章中，我们主要学习了平移和翻转两种变化，这两种变化是图形刚体运动中最基本的部分，对于我们进一步学习图形变换方面的知识非常重要。

4. 坐标系中的图形变换
在上面已经讲到坐标系的重要性，而在本章中，我们还学会了如何在平面直角坐标系中，对各种图形进行平移、翻转以及旋转变换。

这些知识点可以帮助我们更加深入地理解图形变换，从而计算出各种变化的参数和计算各种图形的面积、周长等。

以上纯文字叙述已经相当枯燥，本篇文章结合书本中的插图，具有良好的可读性。

总的来说，七年级第三章数学知识点是非常重要的，掌握这些知识不仅可以帮助我们更好地理解数学中的各种概念，同时还可以提高我们的数学计算和解题能力，等待各位学霸去掌握吧！。

数学的发展历程课件

数学的发展历程课件
1. 早期数学的起源：早在古代文明时期，人类就开始使用数学来解决生活中的问题，如统计人口、测量土地等。

2. 古希腊数学：古希腊是数学发展史上的重要阶段。

著名的数学家毕达哥拉斯提出了毕达哥拉斯定理，建立了几何学的基础。

3. 阿拉伯数学：在中世纪，阿拉伯世界成为数学知识传播的中心。

他们对印度数字系统进行改进，引入了我们现在使用的阿拉伯数字。

4. 文艺复兴时期的数学：文艺复兴时期，数学经历了一次重大的发展。

著名的数学家如勒让德、笛卡尔、费马等提出了许多重要的数学理论。

5. 高等数学的建立：18世纪，高等数学开始独立发展，与其
他学科如物理学、化学等有更紧密的联系。

微积分的概念和方法被引入，并逐渐完善。

6. 现代数学的兴起：20世纪数学进入了一个全新的阶段，各
个分支如代数学、几何学、概率统计学等得到了极大的发展。

7. 应用数学的重要性：随着科技的进步，应用数学在各个领域的作用日益重要。

数学被广泛应用于工程、经济、计算机科学等领域。

8. 数学的未来发展：数学作为一门基础学科，将继续在人类的
发展中起着重要的作用。

随着人工智能、量子计算等新技术的出现，数学也将不断发展。

9. 数学的重要性和应用：数学不仅是一门学科，更是一种思维方式。

它培养了逻辑思维、分析能力和问题解决能力，为人们的生活和工作带来了便利。

10. 数学的挑战和困惑：尽管数学的发展取得了许多成就，但仍然存在许多未解决的问题和困惑。

数学家们正在不断努力探索数学的边界。

数学发展的三个历史阶段

本科毕业论文（设计）（2011届本科毕业生）题目：影响代数学发展的主要因素学生姓名：______________ 王桐______________学生学号：_____________ 09021016 ___________学院名称：数学与系统科学学院专业名称：_________ 数学与应用数学_________指导教师：________________ 张跃辉 ___________二零一一年五月摘要通过阅读大量的中外代数学的历史资料，大体上可以把代数学的发展分为初等代数的形成、高等代数的发展、抽象代数的产生和深化三个阶段＜同时分别对代数学的分支、内容及影响每个阶段发展的主要因素做了进一步的分析和归纳。

把影响代数学发展的主要因素做为节点来加以探讨，是由内向外来探讨和把握代数系统，为整体了解代数学提供新的视角。

从新视角来了解代数学，会激发人们学习和掌握代数思想的热情，有助于代数学的进一步发展。

同时我们要想预知代数学的未来，就应该了解和研究代数学的过去。

了解代数学的过去，有助于完整地、历史地认识代数学的全貌。

深入研究代数学的历史，有助于对代数学思想方法的理解和掌握，有助于代数学的发展。

关键词：代数学，发展，四元数，代数结构The main factors that influence the development ofalgebraAbstract: Through exte nsive read ing of sino-foreig n algebra of historical data, the developme nt of the algebra may gen erally be divided into eleme ntary algebra formation, advaneed algebra, and the development of the abstract algebra and the formation of the deepening three stages. Meanwhile the branch of algebra respectively, contents and in flue nee factors to the developme nt of each stage did further summarized and an alyzed. The in flue nee factors to the developme nt of algebra as node is discussed from the in side, foreig n discussi on and grasp the algebra system, for whole understand algebra provides a new An gle. To un dersta nd new perspective, in spire people to lear n algebra and master algebra thought enthusiasm, help the further development of algebra. And we want to predict the future of algebra, you should un dersta nd and study algebra past. Understanding of the past, help complete the algebra, historical understanding to the panorama of algebra. In-depth study of the history of algebra, conduce to the way of thinking of algebra, helps to understand and grasp the developme nt of algebra.Keywords: algebra, developme nt, quater nions, algebraic structure一、引言 (1)二、代数学的产生 (1)三、代数学的发展 (2)（一） ........................................... 初等代数的形成2（二）高等代数的发展3（三）抽象代数阶段41、........................................... 抽象代数的产生42、........................................... 抽象代数的深化4四、影响代数学发展的主要因素 (5)（一） ................................................. 字母运算5（二） ............................................. 无理数的确认61、............................................. 无理数的发现62、............................................. 无理数的确认7（三） ............................... 代数方程的可解性与群的发现71、................................... 一般五次方程的不可解性82、................................. 置换群与代数方程的可解性8（四）............................... 四元数对代数学的革命性影响11（五）................................................. 代数结构12五、结束语. (14)参考文献 (15)、引言数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

人教版数学七年级上第三章一元一次方程教材分析

人教版数学七年级上第三章一元一次方程教材分析开发区中学龙壮志一、教材特点：数学课程标准明确指出：“教材为学生的学习活动提供基本线索，是实现课程目标，实施教学的重要资源。

”（教师应该重新认识教材的功能，明确教材只是达到目的的材料，教学时应该根据教材提倡创造，而不是照本宣科成为教材的机械执行者。

）本章主要内容包括：利用一元一次方程分析与解决实际问题，一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法。

其中，以方程为工具分析问题、解决问题是重点，实际问题贯穿于全章始终，而对一元一次方程及其相关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。

在旧教科书中，整式及其加减运算作为基础知识，通常集中安排在一元一次方程之前。

在本书中，是将有关整式的内容分散地融于对方程的讨论之中，不过于强调“式”的概念，只要它们能自然地为讨论方程这条主线服务即可。

在本章，对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的。

教科书首先从一个行程问题的实例入手，让学生从用含x的式子表示有关数量并进一步表示问题中的等量关系，从而体验方程的特征及从算式到方程的变化；接着从讨论解方程的需要出发，认识等式的性质，从而自然地产生解方程的方法；接下来，教科书又结合两个实际问题的求解过程分别讨论了“合并（同类项）”和“移项”，在对另两个实际问题的讨论中引出解方程中的“去括号”和“去分母”，进而归纳出解一元一次方程的目标和一般步骤。

另外，为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章最后一节安排了“实际问题和一元一次方程”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题，设置了若干探究点，提供给学生进行具有一定深度的思考，把全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度。

使学生能在更加贴近实际的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力在更高层次上得到提高。

利用方程解决实际问题从一个侧面体现了数学与现实世界的联系，体现了数学的建模思想。

线性代数

第三章线性代数1多项式多项式是代数学中最基本的对象之一, 它不但与高次方程的讨论有关, 而且是进一步学习代数以及其它数学分支的基础.1.1 多项式生成及类型测试在Maple中, 多项式由名称、整数和其他Maple值, 通过+、-、*和^等组合而成. 例如：> p1:=5*x^5+3*x^3+x+168;p1 + + +5x53x3x168:=这是一个整系数单变量多项式. 多元多项式和定义在其他数域上的多项式可以类似构造：> p2:=3*x*y^2*z^3+2*sqrt(-1)*x^2*y*z+2002;3x y2z32I x2y z2002p2 + +:=由此可以看出, Maple中多项式的生成与“赋值”命令相似.另外, 还可以通过函数randpoly生成随机多项式, 生成一个关于vars的随机多项式的格式如下：randpoly(vars, opts);其中, vars表示变量或者变量列表或集合, opts为可选项方程或者指定属性的名称. 如：> randpoly(x); ＃随机生成关于x的5次(默认)多项式42x588x476x365x225x28- + - - + +> randpoly([x, y], terms=8); ＃随机生成关于[x, y]二元8项多项式78x y62x311x2y88x3y x y330y481x4y5x2y3- + + + + + + -> randpoly([x, sin(x), cos(x)]);cos x343()sin x86x2()sin x4()cos xcos x5x4()cos x91()cos x2x3()73()- - + + - +sin x()sin x()而要随机生成关于[x, y, z]的密集的、均匀的、度为2的多项式的命令为：> randpoly([x,y,z],dense,homogeneous,degree=2);85x255z x37y x35z297y z50y2- - - - + +用type命令可以测试多项式的类型：> type(p1, polynom(integer, x)); #测试p1是否是一个关于x的整系数多项式true> type(p2, polynom(complex, {x, y, z})); #测试p2是否是一个关于{x, y, z}的复系数多项式true1.2 提取多项式系数coeff函数用来提取一元多项式的系数, 而多元多项式所有系数的提取用命令coeffs, 指定系数的提取用命令coftayl.(1) 提取多项式p中x^n的系数使用命令：coeff(p, x^n);或coeff(p, x, n);(2) 提取多项式p中变量x的所有系数并将相应的x幂存于变量t中：coeffs(p, x, ’t’);(3) 返回expr在x=a处的Taylor展式中(x-a)^k的系数: coeftayl(expr, x=a, k);> p:=2*x^2+3*y^3*x-5*x+68;2x23y3x5x68p + - +:=> coeff(p, x);3y35-> coeff(x^4-5*x^2-sin(a)*(x+1)^2, x^2);5()sin a- -> s:=3*x^2*y^2+5*x*y;3x2y25x y:=s +> coeffs(s);,53> coeffs(s, x, 't');5y3y2,> t;,x x2> coeftayl(exp(x), x=0, 10);1> p:=3*(x+1)^3+sin(Pi/3)*x^2*y+x*y^3+x-6;:= p + + + - 3() + x 13123x 2y x y 3x 6 > coeftayl(p, x=-1, 1); - + 13y y 3> coeftayl(p, [x, y]=[0, 0], [1, 0]);10返回默认为降序排列的多元多项式的首项和末项系数分别使用命令lcoeff 、tcoeff ： > lcoeff(p, x);3> tcoeff(p, x);-31.3 多项式的约数和根1.3.1多项式的最大公约因式(gcd)/最小公倍因式(lcm)求多项式的最大公约因式/最小公倍因式的命令与求两个整数最大公约数/最小公倍数命令一样, 都是gcd/lcm. 命令格式分别为：gcd(p1, p2, 't', 's');lcm(p1, p2, 't', 's');其中, 第3个参数t 赋值为余因子p1/gcd(p1, p2), 第4个参数s 赋值为余因子p2/gcd(p1, p2).> p1:=x^4+x^3+2*x^2+x+1;:= p1 + + + + x 4x 32x 2x 1> p2:=x^2+x+1;:= p2 + + x 2x 1> gcd(p1, p2, 't', 's');+ + x 2x 1> t, s;, + x 211> lcm(p1, p2);() + x 21() + + x 2x 11.3.2多项式的平方根(psqrt)和第n 次方根(proot)求多项式p 的平方根, 若不是完全平方, 则返回_NOSQRT ：psqrt(p);求多项式p的n次方根, 若不是完全n次方, 则返回_NOROOT：proot(p, n);> p:=x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1;x44x36x24x1:=p + + + +> psqrt(p);x22x1+ +> proot(p, 4);+x1> proot(p, 8);_NOROOT1.3.3 多项式相除的余式(rem)/商式(quo)计算p1除以p2的余式, 将商式赋值给q的命令格式为：rem(p1, p2, x, 'q');计算p1除以p2的商式, 将余式赋值给r的命令格式为：quo(p1, p2, x, 'r');余式和商式满足：p1=p2*q+r, 其中degree(r, x)<degree(p2, x)> rem(x^5+x^3+x, x+1, x, 'q');-3> q;x4x32x22x3- + - +> quo(x^3+x^2+x+1, x-1, x, 'r');x22x3+ +> r;41.4 多项式转换及整理1.4.1 将多项式转换成Horner形式将多项式poly转换成关于变量var的Horner形式或者嵌套形式的命令格式如下：convert(poly, horner, var);> convert(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1, horner, x);1()1()+x1x x x x++1()+1()+> convert(x^3*y^3+x^2*y^2+x*y+1, horner, [x, y]);+y2y3x x xy()++1()1.4.2 将级数转换成多项式形式将级数(series)转换成多项式(polynom)事实上就是忽略函数的级数展开式中的余项,其命令格式为：convert(series, polynom);> s:=series(sin(x), x, 10);:= s - + - + + x 16x 31120x 515040x 71362880x 9()O x 10 > type(s, polynom);false> p:=convert(s, polynom);:= p - + - + x 16x 31120x 515040x 71362880x 9 > type(p, polynom);true1.4.3 将级数转换成有理多项式(有理函数)将级数series(laurent 级数或Chebyshev 类型级数)转换成有理多项式(有理函数)ratpoly 的命令格式为：convert(series, ratpoly);> series(exp(x^2), x, 15);+ + + + + + + + 1x 212x 416x 6124x 81120x 101720x 1215040x 14()O x 15 > convert(%, ratpoly);+ + + 1x 61x 41x 21- + - + x 6x 4x 21 1.4.4合并多项式系数(合并同类项)将多项式具有相同次幂的项的系数合并在一起(包括正的、负的或者分数次幂), 即合并同类项(称为多项式的典范形式), 用命令collect:collect(p, x);collect(p, x, form, func);collect(p, x, func);其中x 是表示单变量x 或多变量x1, x2, …, xn 的一个列表或集合.> collect(a*ln(x)-ln(x)*x-x, ln(x));- () - a x ()ln x x> collect(x*(x+1)+y*(x+1), x);;+ + x 2() + 1y x y> collect(x*(x+1)+y*(x+1), y);+ x () + x 1y () + x 1> p := x*y+a*x*y+y*x^2-a*y*x^2+x+a*x:collect( p, [x, y], recursive );++ +1a y1a x()()-+1a y x2()> collect( p, [y, x], recursive );1a x2()+1a x y()+1a x-+()+()> collect( p, {x, y}, distributed );1a x y()+-1a y x2+1a x()+ +()其中的参数recureive为递归式的，而distributed为分布式的。

第三章 代数学的进步

高等代数发展简史

第三章代数学情与教材分析

数学趣史代数学的发展与应用

第三章 代数学的进步

演变过程从代数到数论的数学发展

《万物皆数》读书心得

数学的发展与演变

近世代数发展简史

第3章数学的发展

人教版初中数学新教材七年级上册第三章“一元一次方程”

初中代数又一次质的飞跃

最新人教版七年级数学上册第三章“代数学的鼻祖”丢番图与方程

第三章 代 数 方 程 2

七年级第三章数学知识点

数学的发展历程课件

数学发展的三个历史阶段

人教版数学七年级上第三章一元一次方程教材分析

线性代数

第三章代数学的进步

第三章代数学的进步

第三章代数方程 2