反比例压轴难题
高考反比例函数压轴题
高考反比例函数压轴题
1. 题目背景
本题目是一道高考压轴题，考察学生对反比例函数的理解和运用。
反比例函数是高中数学的重要内容，掌握此类函数的性质和图
像变化规律对学生进一步研究和应用数学知识具有重要意义。
2. 题目要求
假设某公司生产某种产品，每天生产的数量与生产成本之间存
在一种反比例关系。
已知当生产数量为1000时，生产成本为5000；当生产数量为2000时，生产成本为2500。
请回答以下问题：
1. 写出该反比例函数的解析式。
2. 当生产数量为3000时，生产成本是多少？
3. 当生产成本为4000时，应该生产多少数量的产品？
3. 解题思路
1. 首先根据已知的两组数据可以得到两个点的坐标，分别为(1000, 5000)和(2000, 2500)。
2. 通过两点确定一条直线，根据反比例函数的性质可知，该直
线经过原点，即过(0, 0)点。
3. 根据两点式求直线的方程，得到反比例函数的解析式。
4. 根据解析式，可以使用给定的生产数量求得对应的生产成本，或者使用给定的生产成本求得对应的生产数量。
4. 答案
1. 反比例函数的解析式为 y = k / x，其中 k 为常数。
2. 当生产数量为3000时，生产成本为2500 / 2 = 1250。
3. 当生产成本为4000时，应该生产数量为5000 / 4 = 1250。
5. 总结
通过此题目的求解，学生能够加深对反比例函数的理解，并且
掌握如何根据已知条件求解未知数的方法。
这对于提高数学应用能
力和解决实际问题具有重要的作用。
中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习附答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．4．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．2．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
中考数学反比例函数-经典压轴题
，解得
，
∴ 一次函数解析式为 y=2x+2，
∵ 点 A 的横坐标是 1，
∴ 当 x=1 时，y=4，即 A（1，4），
把 A（1，4）代入反比例函数 y= ，可得 k=4，
∴ 反比例函数解析式为 y=
（2）解：解方程组
，可得
或
，
∴ B（﹣2，﹣2），
又∵ A（1，4），BH⊥y 轴，
∴ △ ABH 面积= ×2×（4+2）=6． 【解析】【分析】（1）先由 tan∠ CDO=2 可求出 C 坐标，再把 D 点坐标代入直线解析式， 可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出 A 坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线 解析式；（2）△ ABH 面积可以 BH 为底，高=yA-yB=4-(-2)=6.
5．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决 下面的问题．
（1）分别求出当 2≤x≤4 时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1 的最大值和最小 值；
（2）若 y= 的值不大于 2，求符合条件的 x 的范围；
（3）若 y= ，当 a≤x≤2 时既无最大值，又无最小值，求 a 的取值范围； （4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当 2≤x≤4 时有最小值为 1，求 m 的值． 【答案】 （1）解：y=2x+1 中 k=2＞0， ∴ y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x=2 时，y 最小=5；当 x=4 时，y 最大=9．
联立
，解得直线 PA 的方程为 y= x+ ﹣1，
联立
，解得直线 PB 的方程为 y=﹣ x+ +1，
∴ M（m﹣4，0），N（m+4，0），
中考数学与反比例函数有关的压轴题及答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y= ，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴= ，= = ，∵b=y1+1，AB=BP，∴= ，= = ，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1= • y1，解得x1=2，代入= ，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．【答案】（1）解：∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上，∴k= ×1= ，∴反比例函数表达式为y= .（2）解：∵A（，1），AB⊥x轴于点C，∴OC= ，AC=1，∵OA⊥OB，OC⊥AB，∴∠A=∠COB，∴tan∠A= =tan∠COB= ，∴OC2=AC•BC，即BC=3，∴AB=4，∴S△AOB= × ×4=2 ，∴S△AOP= S△AOB= ，设点P的坐标为（m，0），∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，∵P是x轴的负半轴上的点，∴m=﹣2 ，∴点P的坐标为（﹣2 ，0）（3）解：由（2）可知tan∠COB= = = ，∴∠COB=60°，∴∠ABO=30°，∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBD=60°，∴∠ABD=90°，∴BD∥x轴，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，∴E（﹣，﹣1），∵﹣ ×（﹣1）= ，∴点E在该反比例函数图象上【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=AC•BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵tan∠ABO= ，∴ = ，且OB=4，∴OA=2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴ = ，即 = ，解得CE=3，∴C（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣（2）解：设D（x，﹣），∵D在第四象限，∴DF=x，OF= ，∴S△DFO= DF•OF= x× =3，由（1）可知OA=2，∴AF=x+ ，∴S△BAF= AF•OB= （x+ ）×4=2（x+ ），∵S△BAF=4S△DFO，∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣，当x=3+ 时，﹣的值为3﹣，当x=3﹣时，﹣的值为3+ ，∵D在第四象限，∴x=3﹣不合题意，舍去，∴D（3+ ，3﹣）（3）解：∵D在第四象限，∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得，解得，∴直线AB解析式为y=﹣ x+2，联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或（舍去），∴D（6，﹣1），即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．6．如图，在菱形ABCD中，， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ,①求证：△△；②求DF的长.【答案】（1）解：连结BD（2）解：①②【解析】【分析】（1）连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出，又∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.7．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .设点E的坐标为（x, ）,∴ ,∴x=4m.∴为定值.（3）解：存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"由勾股定理得，GF= ，AD=∴ .由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.8．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B 点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，∴∠ADC=∠AEB=90°∵二次函数与y轴交于点C，点C坐标为（0，2）∵点A坐标（3，3）∴DA=AE=3∵∠DAC+∠CAE=90°∠EAB+∠CAE=90°∴∠DAC=∠EAB∴△ACD≌△ABE∴EB=CD=3-2=1OB=3+1=4∴点B的坐标为（4，0）将A（3，3）B（4，0）代入二次函数中得：解得：二次函数的解析式为：（2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得：m1=1；m2= （舍）∴m=1∴点Q坐标为(1,4)由勾股定理得：BC=2设圆的圆心为N∵圆经过点O，且∠COB=90°∴BC是圆N的直径，∴圆N的半径为，N的坐标为（2,1）由勾股定理得，QN=半径r= ，则≤QM≤（3）解：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P的坐标为当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P的坐标为综上所述，旋转中心P的坐标为或【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，求证△ACD≌△ABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点Q （m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，利用旋转180°可知，∥，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P 的坐标.9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DB=DP（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB，∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH=BQ∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP；（2）利用ASA判断出△CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP；（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出点H，点M，点Q，点C四点共圆，根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ，然后判断出△ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.10．综合与探究如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为( ，0).（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( ，0)，∴，解得：；∴ .（2）解：ΔAA′B是等边三角形；∵，解得：，∴A( )，B( )，过点A分别作AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，∴AC= ，OC= ，在RtΔAOC中OA= ，∵点A′与点A关于原点对称，∴A′( )，AA′= ，∵B( )，∴A′B=2-(- )= ，又∵A( )，B( )，∴AD= ，BD= ，在RtΔABD中AB= ，∴AA′=A′B=AB，∴ΔAA′B是等边三角形（3）解：存在正确的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；设点P的坐标为：（x，y）．①当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P为：；②当AB为对角线时，有，解得：，∴点P为：；③当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P为：；综合上述， , ,【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．11．如图，正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合)，与交于，延长线与交于点，连接 .（1）求证： .（2）求证：（3）若，求的值.【答案】（1）解：∵是正方形，∴，，∵是等腰三角形，∴，，∴，∴，∴（2）解：∵是正方形，∴，，∵是等腰三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，（3）解：由(1)得，，，∴，由(2) ，∴，∵，∴，在中，，∴【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到，由（2）可得，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1， y1）和N（x2， y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【答案】（1）解：抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）∴y=-x2-6x-5．（2）解：如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标（，），∵△OCP是等腰直角三角形，∴ =∴b=2．∴点P的坐标（1，1）．（3）解：如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线 x=2．∵点M（x1， y1）和N（x2， y2）在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2-x1＜x2-2，∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．13．小明利用函数与不等式的关系，对形如 ( 为正整数)的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：的范围的符号+﹣由表格可知不等式的解集为．②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：的范围的符号+﹣+由表格可知不等式的解集为________．③对于不等式，请根据已描出的点画出函数(x+1)的图象；观察函数的图象补全下面的表格：的范围的符号+﹣________________由表格可知不等式的解集为________．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如 ( 为正整数)的不等式，先将按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为________．②不等式的解集为________．【答案】（1）或；+；-；或（2）或或；或且【解析】【解答】(1)②由表格可知不等式的解集为或，故答案为：或；③当时，，当时，，由表格可知不等式的解集为或，故答案为：+，﹣，或；(2)①不等式的解集为或或，故答案为：或或；②不等式的解集为或且，故答案为：或且【分析】根据题意可知在表格中写出相应的函数值的正负性，借此来判断相应的不等式的解集.（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．14．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y= 中，得：kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC= bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．15．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长.【答案】（1）15（2）解：如图①中，在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，∴∠B+2∠BAD=90°，∴△ABD是“准互余三角形”，∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠B+∠BAE=90°，∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，∴CE= ，∴BE=5﹣ = .（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，∴A、B、F共线，∴∠A+∠ACF=90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，∴x=9或﹣16（舍去），∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC=【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=90°，解得，∠B=15°；【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；。
中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案
则
，
解得
．
故直线 AP 的函数关系式为 y=x+3，
则点 C 的坐标（0，3），OC=3，
∴ S△ AOP=S△ AOC+S△ POC
= OC•AR+ OC•PS
又∵ 点 F 在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴ k=12，
∴ 该函数的解析式为 y= （x＞0）
（2）解：由题意知 E，F 两点坐标分别为 E（ ，4），F（6，
∴ 当 k=12 时，S 有最大值．S 最大=3
【解析】【分析】）当 F 为 AB 的中点时，点 F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解
C 与 D 横纵坐标乘积相等，求出 b 的值确定出 B 坐标，进而求出 k 的值，确定出双曲线解 析式；（3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双 曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．
5．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3），把直线 OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点 B（6，m），与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点．
（1）求 m 的值； （2）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； （3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1
， 是四边
形 OACD 面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵ 反比例函数的图象都经过点 A（3，3），
人教版数学中考二轮复习：《反比例函数》压轴题专题训练(包含答案)
《反比率函数》压轴题专题训练1．在平面直角坐标系中，点A，B为反比率函数y＝（k＞0，x＞0）上的两个动点，以A，B 为极点结构菱形ABCD．（ 1）如图 1，点A，B横坐标分别为1， 4，对角线BD∥x轴，菱形ABCD面积为，求k 的值．（ 2）如图 2，当点A，B运动至某一时辰，点C，点 D恰巧落在 x 轴和 y 轴正半轴上，此时∠ ABC＝90°，求点 A，B 的坐标．2．如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比率函数y＝的图象订交于点A（2，n），与 x 轴订交于点 B．（1）求k的值以及点B的坐标；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（ 3）在y 轴上能否存在点，使+ 的值最小？若存在，恳求出点P的坐标；若不存P PA PB在，请说明原因．3．如图，已知反比率函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过 A 作 AC⊥ y 轴于点 C．点B 为反比率函数图象上的一动点，过点B作⊥轴于点，连结．直线与x轴的BD x D AD BC负半轴交于点E．（1）求反比率函数的表达式；（2）若BD＝ 3OC，求△BDE的面积；（3）能否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，恳求出点B的坐标；若不存在，请说明原因．4．如图，四边形OABC是矩形， A、 C分别在 y 轴、 x 轴上，且 OA＝6cm，OC＝8cm，点 P 从点 A 开始以2cm/ s 的速度向 B 运动，点 Q从点 B 开始以1cm/ s 的速度向 C运动，设运动时间为 t ．2（ 1）如图（ 1），当t为什么值时，△BPQ的面积为 4cm？（ 2）当t为什么值时，以B、 P、 Q为极点的三角形与△ABC相像？（ 3）如图（ 2），在运动过程中的某一时辰，反比率函数y＝的图象恰巧同时经过P、Q两点，求这个反比率函数的分析式．5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝ x﹣1的图象与 x 轴， y 轴分别交于点A，B，与反比率函数y＝的图象交于点C， D， CE⊥x 轴于点 E，＝．（1）求反比率函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作 ? ECMN，点M在一次函数y＝x﹣ 1 的图象上，设点M的横坐标为a，当边 MN与反比率函数y＝的图象有公共点时，求 a 的取值范围．6．如图，在直角坐标平面内，函数y＝（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4）， B（ a，b）此中 a＞1，过点 A 作 x 轴垂线，垂足为C，过点 B作 y 轴垂线，垂足为D，联络 AD，DC， CB，若△ ABD的面积为4，（ 1）求点B的坐标；（ 2）在x轴的负半轴上能否存在点E，使△ DOE∽△ DOC，假如存在求出点E 的坐标，如果不存在，请说明原因．7．如图，直线AB经过 A（1，0）、 B（0，1）两点，动点P 在曲线 y＝（x＞0）上运动，PM⊥ x 轴，垂足分别为点M、 N， PM、 PN与直线 AB分别交于点E、 F．（1）求证：矩形OMPN的面积为定值；（2）求AF?BE的值；（3）求动点P到直线AB的最短距离．8．已知点A（1，）．（1）将点A绕点O逆时针旋转 30°获得点B，作出图形并直接写出点B的坐标；（2）将点O绕点A旋转 60°后获得点C，点E在直线AC上，且AE＝AO，若点E在反比率函数 y＝的图象上，求m的值；（ 3）在（ 1）的条件下，点D（3，﹣1），若将线段BD向右平移1个单位长度后与反例函数 y＝的图象有且仅有一个公共点，请直接写出n 的取值范围．9．如下图，某双曲线y＝（k＞0，x＞0）上三点A、B、C的横坐标分别为1、2、 3．（ 1）若A点的纵坐标为5，则B点的纵坐标是；（2）若AB＝ 2BC，该双曲线的分析式；（3）将点A绕点B顺时针旋转 90°到点D，连结BD、CD，若△BCD是直角三角形，直接写出知足条件的 k 值．10．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥ OB，AB⊥x 轴于点 C，点 A（，1）在反比率函数y ＝的图象上．（ 1）求反比率函数y＝的表达式；（ 2）在x 轴的负半轴上存在一点，使得＝，求点P的坐标；P S△AOP S△AOB（ 3）若将直线绕点B 按逆时针方向旋转α°（ 0＜α＜ 180）后使得旋转后的直线与AB双曲线在第三象限的分支只有一个公共点．直接写出α 值．11．已知在平面直角坐标中，点（，）在第一象限内，⊥且＝，反比率函数yA m n AB OA AB OA＝的图象经过点A，（ 1）当点B的坐标为（ 4， 0）时（如图），求这个反比率函数的分析式；（ 2）当点B在反比率函数y＝的图象上，且在点 A 的右边时（如图2），用含字母m，n 的代数式表示点 B 的坐标；（ 3）在第（ 2）小题的条件下，求的值．12．如图 1，直线y＝x与双曲线y＝交于 A，B 两点，依据中心对称性能够得悉OA＝ OB．（ 1）如图 2，直线y＝ 2x+1 与双曲线y＝交于 A， B 两点，与坐标轴交点C， D两点，试证明： AC＝ BD；（ 2）如图 3，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于 A， B 两点，与坐标轴交点C， D两点，试问： AC＝ BD还建立吗？（ 3）假如直线y ＝+3 与双曲线y＝交于，两点，与坐标轴交点，两点，若 +x A B C D DB DC≤ 5，求出k的取值范围．13．如图①，在矩形中，＝ 4，＝3，分别以、所在的直线为x 轴、y轴，建OABC OA OC OC OA立如下图的坐标系，连结OB，反比率函数 y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点 F，直线 l ： y＝kx+b 经过点 E 和点 F．（1）求反比率函数的分析式；（2）连结OE、OF，求△OEF的面积；（ 3）在第一象限内，请直接写出对于x 的不等式+ ≤的解集：．kx b（ 4）如图②，将线段绕点O 顺时针旋转必定角度，使得点B的对应点H恰巧落在xOB轴的正半轴上，连结BH，作 OM⊥BH，点 N为线段 OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．14．如图，直线y＝ ax+b（ a≠0）与双曲线（k≠ 0）交于一、三象限内的A， B 两点与x 轴交于点 C，点 A 的坐标为（2，m），点 B 的坐标为（﹣1， n），cos∠ AOC＝（ 1）求该反比率函数和一次函数的分析式；（ 2）点Q为y轴上一点，△ABQ是以 AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；（ 3）点P（s，t）（s＞ 2）在直线AB上运动， PM∥x 轴交双曲线于M， PN∥y 轴交双曲线于 N，直线 MN分别交 x 轴， y 轴于 E， D，求的值．15．已知△OAB的边BA⊥x轴于A，E为OB中点，反比率函数y＝（x＞0）的图象经过点E，交 AB于点 F．（ 1）若OA＝ 4，BF＝ 3，求k的值（ 2）在（ 1）的条件下，过点E 作⊥轴于，为双曲线上第一象限内一点，作MN EG y G M⊥x 轴于，交于，若∥，求的长，并判断四边形的形状．N EG H EN MG EN MGNE（ 3）如图 2，若的分析式y ＝x（≥0）图象上一点，P为上一点，过点P作xOB x OB轴的垂线交x 轴于，交反比率函数图象于点，以为斜边作等腰直角三角形，PR R Q PQ PQSS 点也在反比率函数y＝（ x＞0）的图象上，若△OPQ的面积为6，直接写出k的值．参照答案1．解：（ 1）连结AC，交BD于点E，∵点 A， B 横坐标分别为1， 4，对角线BD∥ x 轴，∴BE＝4﹣1＝3，∵四边形 ABCD是菱形，∴BD＝2BE＝6，AC⊥ DB，∵菱形 ABCD面积为，∴× BD× AC＝，∴AC＝，∴AE＝CE＝设点 B（4， a），则点 A（1，+a）∵点 A， B 为反比率函数y＝（k＞0，x＞0）上的两个点，∴4a＝1×（+a）∴a＝，∴k＝4a＝；（ 2）如图，过点 A 作 AE⊥ y 轴于点 E，过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F，∵四边形 ABCD是菱形，∠ ABC＝90°，∴四边形 ABCD是正方形，∴AD＝CD＝ BC，∠ ADC＝∠ DCB＝90°，∴∠ ADE+∠ EAD＝90°，∠ EDA+∠CDO＝90°，∠ DCO+∠ CDO＝90°，∠ BCF+∠ DCO＝90°，∴∠ EAD＝∠ CDO＝∠ BCF，且∠ AED＝∠ DOC＝90°， AD＝ CD，∴△ AED≌△ DOC（ AAS）∴AE＝DO， ED＝OC，同理可得： BF＝OC， CF＝DO，设点 A（ m，）∴AE＝DO＝ CF＝m， DE＝ OC＝ BF＝﹣ m，∴点 B坐标（，﹣m）∴（﹣m）＝∴ m＝，m＝﹣（舍去）12∴点A（，），点B（，）．2．解：（ 1）把点A（ 2，n）代入一次函数y＝x﹣2，可得 n＝﹣2＝3；把点（ 2， 3）代入反比率函数y ＝，A可得 k＝ xy＝2×3＝6，∵一次函数y＝x﹣2与 x 轴订交于点B，∴x﹣2＝0，解得 x＝，∴点 B的坐标为（，0）；（ 2）∵点A（ 2， 3），B（，0），∴AB＝＝＝，∵四边形 ABCD是菱形，∴AD＝AB＝，AD∥BC，∵点 C在 x 轴正半轴上，点D在第一象限，∴D（2+，3）；（ 3）存在，如图，作点B（，0）对于y轴的对称点Q的坐标为（﹣，0），连结AQ交y轴于点P，此时 PA+PB的值最小，设直线 AQ的分析式为： y＝ kx+b，则，解得：，∴直线 AQ的关系式为y＝x+，∴直线 AQ与 y 轴的交点为P（0，）．3．解：（ 1）∵反比率函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），∴ m＝8，∴反比率函数y＝（x＞0）．（2）∵AC⊥y轴，A（ 4，2），∴ OC＝2，∵BD＝3OC，∴ BD＝6，∵BD⊥x 轴，∴B（，6），∵C（0，2），设直线解得BC的分析式为，y＝kx+b，则有，∴直线 BC的分析式为y＝3x+2，∴ E（﹣，0），∴DE＝+＝2，∴ S＝×DE× BD＝6．△BED（ 3）存在．如图，设BD交 AC于 F．设 B（ a，），∵A（4，2）∴ AC＝4，∵四边形 BCDE是平行四边形，∴DE＝AC＝4，且 CF∥DE，∴△ BCF∽△ BED，∴＝，即＝，解得a＝，∴A（2，6），且 C（0，3），∴B（，）．4．解：（ 1）由题意AB＝ OC＝8cm， AO＝ BC＝6cm，∠ B＝90°，∵PA＝2t ， BQ＝t ，∴ PB＝8﹣2t ，2∵△ BPQ的面积为4cm，∴?（ 8﹣ 2t） ?t＝ 4，解得 t ＝2，∴ t ＝2s 时，△ PBQ的面积为4．（ 2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得 t ＝．②当△ BPQ∽△ BCA时，＝，∴＝，解得 t ＝，∴ t 为s 或s 时，以 B、 P、Q为极点的三角形与△ABC相像．（3）由题意P（2t， 6），Q（ 8， 6﹣t），∵反比率函数 y＝的图象恰巧同时经过 P、 Q两点，∴ 12t＝ 8（ 6﹣t），解得 t ＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比率函数的分析式为y＝．5．解：（ 1）由题意A（1，0）， B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠ OAB＝∠ CAE＝45°∵AE＝3OA，∴ AE＝3，∵EC⊥x 轴，∴∠AEC＝90°，∴∠ EAC＝∠ ACE＝45°，∴ EC＝AE＝3，∴ C（4，3），∵反比率函数 y＝经过点 C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴ D（﹣3，﹣4）．（ 2）如图，设M（ a， a﹣1）．当点 N在反比率函数的图象上时，N（ a，），∵四边形 ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴ | a﹣1﹣| ＝ 3，解得 a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），∴ M（6，5）或（﹣2，﹣3），察看图象可知：当边MN与反比率函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6 或﹣ 3≤a≤﹣ 2．6．（ 1）解：∵函数y＝（x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），∴ m＝4．∴ y＝，设 BD，AC交于点 J，据题意，可得B点的坐标为（ a，）， D点的坐标为（0，）， J 点的坐标为（1，），∵ a＞1，∴DB＝a， AE＝4﹣．由△ ABD的面积为4，即a（4﹣）＝4，得 a＝3，∴点 B的坐标为（3，）．（ 2）由（ 1）可知，C（ 1， 0），当 OE＝OC＝1时，△ DOC≌△ DOE知足条件，此时E（﹣1，0）．7．（ 1）证明：设P（ m， n），由题意m n＝，∴ S＝mn＝＝定值．矩形 OMPN（ 2）证明：过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足为D、C，则△ AOB，△ FCA，△ DBE为等腰直角三角形，设（，），则＝，＝，＝y0，＝x0，P x0y0FC y0DE x0AF BE∴AF?BE＝ y0? x0＝2x0y0，又 y0＝，即 2x0y0＝ 1，∴ AF?BE＝1；（ 3）解：平行于AB的直线 l 的分析式为y＝﹣ x+b，设 l 与双曲线的独一公共点Q坐标为（ x， y），联立，得 2x2﹣ 2bx+1＝ 0，由△＝ 4b2﹣8＝ 0，得b＝（﹣舍去），∴ x＝，y＝，即 Q点的坐标为（，），连结OQ交 AB于 T．由题意直线OQ的分析式为y＝ x，由，解得，∴T（，），∴OQ＝1， OT＝，∴TQ＝1﹣，∴动点 P 到直线 AB的最短距离为1﹣．8．解：（ 1）如图 1 中，作AH⊥x轴于H．∵A（1，），∴ OH＝1， AH＝， OA＝＝ 2，∴ tan ∠AOH＝＝，∴∠ AOH＝60°，∴点 A绕点 O逆时针旋转30°获得点B，点 B 在 y 轴上，∴ B（0，2）．（ 2）如图1 中，由题意AE＝3，若点 O绕点 A顺时针旋转60°获得点 C′，则 C′（﹣1，），则E 的坐标为（ 4，）或E2（﹣ 2，），可得＝ 4或﹣ 2；E1m若点 O绕点 A 逆时针旋转60°获得点C，则C（ 2，0），利用相像易求 E 的坐标为 E4（，）或 E3（，），可得 m＝．综上所述， m＝4，﹣2，或．（ 3）由题意，线段BD平移后的坐标B′（1，2）， D′（4．﹣1），当反比率函数的图象经过点B′时，n＝2，当反比率函数的图象经过点D′时，n＝﹣4，当反比率函数的图象与直线B′ D′相切于F（，）时，n＝，察看图象可知：当﹣4≤n＜0 或0＜n＜ 2 或n＝时，线段B′ D′与反例函数y＝的图象有且仅有一个公共点．9．解：（1）由题意A（1，5），∵点A在y＝上，∴ k＝5，∴B（2，），故答案为（）（ 2）∵A（ 1，k）、B（ 2，）、C（3，）2∴ AB＝2， BC＝∵AB＝2BC2 2∴AB＝4BC∴，解得．（3）∵A（ 1，k）、B（ 2，）、C（ 3，）又∵点 A 绕点 B顺时针旋转90°到点 D，∴D（）2∴ BD＝2， CD＝2， BC＝222①当∠ BCD＝90°时， BC+CD＝ BD可得，解得222②当∠ CBD＝90°时， CB+BD＝ CD，可得，解得 k＝0（舍去）222③当∠ BDC＝90°时， BD+CD＝ CB可得，无解，综上所述，知足条件的k 的值为9±3．10．解：（ 1）∵A（，1）在反比率函数y＝的图象上，∴k＝∴．（2）∵A（， 1），AB⊥x轴于点C，∴ OC＝， AC＝1，∵ OA⊥OB， OC⊥AB，∴∠ A＝∠ COB，∴ tan ∠A＝＝ tan∠ COB＝，2∴ OC＝AC?BC，即BC＝3，∴ AB＝4，∴，，设点∴P的坐标为（m，0），，解得，∵P 为 x 轴的负半轴上的点，∴ m＝﹣，∴点 P的坐标为（）．（ 3）将线段绕点B 逆时针旋转 60°获得线段，则的分析式为y＝﹣x﹣2，BA BEBE 由，消去 y 获得x2+6x+3＝0，∵△＝ 62﹣ 4? ?3 ＝ 0，∴直线 BE与反比率函数只有一个交点，此时α＝ 60，察看图象可知当90＜α＜ 180 时，直线BE与反比率函数只有一个交点，综上所述，知足条件的α： 90＜α＜ 180 或α＝ 60．11．解：（ 1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，∵OA＝AB，∠ OAB＝90°，∴△ AOB为等腰直角三角形，∴ AC＝OC＝ BC＝ OB＝2，∴ A（2，2），将 x＝2， y＝2代入反比率分析式得：2＝，即k＝4，则反比率分析式为y＝；（ 2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，∵∠ OAB＝90°，∴∠ OAE+∠ BAD＝90°，∵∠ AOE+∠ OAE＝90°，∴∠ BAD＝∠ AOE，在△ AOE和△ BAD中，，∴△ AOE≌△ BAD（ AAS），∴AE＝BD＝ n， OE＝ AD＝ m，∴DE＝AE﹣ AD＝n﹣ m， OE+BD＝ m+n，则 B（m+n， n﹣ m）；（ 3）由A与B都在反比率图象上，获得mn＝（ m+n）（ n﹣ m），整理得：n 2﹣ 2＝，即（）2+ ﹣1＝0，m mn这里 a＝1， b＝1， c＝﹣1，∵△＝ 1+4＝ 5，∴＝，∵A（ m， n）在第一象限，∴ m＞0， n＞0，则＝．12．解：（ 1）如图 2 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵AE∥y 轴，∴S＝S＝，△AOE△ AEF∵BF∥x 轴，∴S＝S＝，△BEF△ OBF∴S＝S，△AEF△ BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（ 2）如图 3 中，如图 1 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵AE∥y 轴，∴S△＝S△＝，AOE AEF∵BF∥x 轴，∴S＝S＝，△BEF△ OBF∴S＝S，△AEF△ BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（ 3）如图 3﹣ 1 中，当k＜ 0 时，∵直线 y＝ x+3与坐标轴交于C， D，∴C（0，3）， D（﹣3，0），∴OC＝OD＝3，CD＝3，∵ CD+BD≤5，∴BD≤2，当 BD＝2时，∵∠ CDO＝45°，∴ B（﹣1，2），此时 k＝﹣2，察看图象可知，当k≥﹣2时， CD+BD≤5，当 k＞0时，同法可适当＝2 时， （﹣ 5，﹣ 2），此时 k ＝10，BDB察看图象可知，当 k ≤10 时， + ≤5，CD BD13．解：（ 1）在矩形 ABCO 中，∵ OA ＝BC ＝ 4，OC ＝ AB ＝ 3，∴ B （ 3， 4）， ∵ OD ＝DB ，∴ D （ ， 2），∵ y ＝ 经过 D （ ， 2），∴ k ＝ 3，∴反比率函数的分析式为 y ＝ ．（ 2）如图①中，连结 OE ， OF ．由题意 E （，4）， F （3， 1），∴S △ ＝S 矩形﹣S △ ﹣S △ ﹣S △ ＝12﹣ ×4× ﹣ ×3×1﹣ ×3×（ 3﹣ ）＝OEFABCOAOEOCFEFB．（ 3）察看图象可知：在第一象限内，对于x 的不等式 kx+b≤的解集为：0＜x＜或x ＞3．故答案为： 0＜x＜或x＞3．（ 4）如图②中，作NJ⊥BD于 J．HK⊥ BD于 K．由题意 OB＝ OH＝5，∴CH＝OH﹣ OC＝5﹣3＝2，∴BH＝＝＝2，∴ sin ∠CBH＝＝，∵ OM⊥BH，∴∠ OMH＝∠ BCH＝90°，∵∠ MOH+∠ OHM＝90°，∠ CBH+∠ CHB＝90°，∴∠ MOH＝∠ CBH，∵OB＝OH， OM⊥BH，∴∠MOB＝∠ MOH＝∠ CBH，∴ sin ∠JOD＝，∴ NJ＝ON?sin∠NOD＝ON，∴NH+ ON＝ NH+NJ，依据垂线段最短可知，当J， N， H 共线，且与HK重合时， HN+ON的值最小，最小值＝ HK的长，∵OB＝OH， BC⊥OH， HK⊥OB，∴ HK＝BC＝4，∴ HN+ ON是最小值为4．14．解：（ 1）如图，连结OA，作 AH⊥ OE于 H．∵ cos ∠AOC＝＝＝，∴OA＝，∴AH＝＝3，∴A（2，3），∵点 A在 y＝上，∴k＝6，∴，∴B（﹣1，﹣6），设直线AB 的分析式为y＝+ ，则有，ax b解得∴直线 AB的分析式为： y＝3x﹣3（ 2）如图，过点A 作⊥交于，连结，设交y轴于．AQ AB OD Q BQ PB T由题意（ 0，﹣ 3），（1， 0），＝＝，＝＝ 2，T C CT AT∵∠ OTC＝∠ ATQ，∠ TOC＝∠ TAQ＝90°，∴△ TOC∽△ TAQ，∴＝，∴＝，∴TQ＝，∴OQ＝QT﹣ OT＝﹣3＝，∴Q（0，），Q′（0，﹣）当 BQ′⊥ AB时，同法可得0，）或（0，）．综上所述，知足条件的点Q坐标为（（3）∵P（s，t），PM∥x轴，PN∥y轴，∴ M（， t ）， N（ s，），∴PM＝s﹣．PN＝ t ﹣，∵PN∥OD，∴∠ MNP＝∠ ODE，∴tan ∠CDE＝ tan ∠MNP，∴＝＝＝，∵点 P在直线 y＝3x﹣3上，∴ t ＝3s﹣3，∴＝﹣＝＝＝1．15．解：（ 1）如图 1，过点E作ET⊥x轴于T．设 F（4， a），∴ B（4，3+a），∵ BA⊥x 轴，∴ ET∥AB，∵E 为OB中点，∴ OE＝EB，∴ OT＝TA， TE＝ AB，∴E（2，），∵反比率函数y＝（x＞0）的图象经过点E， F，∴k＝4a＝2×，∴a＝1， k＝4．（ 2）如图 2，由（ 1）知，a＝1，∴E（2，2），设 M（ b，），则 G（0，2）， N（ b，0），∴CN＝2， MN＝，∴MC＝MN﹣ CN＝﹣2，GC＝ b，∵MG∥EN，∴∠ MGC＝∠ CEN，∠ GMC＝∠ CNE，∴△ MGC∽△ NEC，∴＝，∴＝，∴ b＝1，∴N（1，0）， EN＝＝，∵GC＝CE＝1， MC＝ NC＝2，且 MN⊥ GE，∴四边形 MGNE为菱形．（3）设P（m，m），∴Q（m，），∵以 PQ为斜边作等腰直角三角形 PQS，∴ S 点的纵坐标为，横坐标为m+，由题意：．解得或（舍弃）∴ k＝18．。
相似、反比例函数、二次函数、正方形矩形菱形 等 中考压轴题 难题 易错题
一．解答题（共19小题）1．（2011•吉林）如图，在平的直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线y=在第一象限经过点D．（1）求双曲线表示的函数解析式；（2）将正方形ABCD沿X轴向左平移1个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中的双曲线上．考点：反比例函数综合题。
分析：（1）根据已知得出AO，BO的长度，进而得出△AOB≌△DEA，求出D点坐标，进而得出解析式；（2）利用△AOB≌△DEA，同理可得出：△AOB≌△BFC，即可得出C点纵坐标，如果点在图象上，利用纵坐标求出横坐标即可．解答：解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E．∵直线y=﹣2x+2与x轴，y轴相交于点A．B，∴当x=0时，y=2，即OB=2．当y=0时，x=1，即OA=1．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD．∴∠BAO+∠DAE=90°．∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAO=∠ADE∵∠AOB=∠DEA=90°∴△AOB≌△DEA∴DE=AO=1，AE=BO=2，∴OE=3，DE=1．∴点D 的坐标为（3，1）把（3，1）代入y=中，得k=3．∴y=；（2）过点C作CF⊥y轴，反比例、相似中考难题、易错题、压轴题∵△AOB≌△DEA，∴同理可得出：△AOB≌△BFC，∴OB=CF=2∵C点纵坐标为：3，代入y=，∴x=1，∴应该将正方形ABCD沿X轴向左平移2﹣1=1 个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中的双曲线上．故答案为：1．点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，根据图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质得出是解题关键．2．（2011•吉林）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A﹣B﹣﹣C﹣﹣E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B﹣﹣C﹣﹣E﹣﹣D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s时，y=2cm2；当x=s时，y=9cm2．（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．（3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时x的值．（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．考点：二次函数综合题。
中考数学反比例函数-经典压轴题附答案
中考数学反比例函数-经典压轴题附答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.2．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．4．如图，过原点O的直线与双曲线交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线于点P.（1）当m＝2时，求n的值；（2）当OD：OE＝1：2，且m＝3时，求点P的坐标；（3）若AD＝DE，连接BE，BP，求△PBE的面积.【答案】（1）解：∵点A（m，n）在双曲线y＝上，∴mn＝6，∵m＝2，∴n＝3；（2）解：由（1）知，mn＝6，∵m＝3，∴n＝2，∴A（3，2），∵OD：OE＝1：2，设OD＝a，则OE＝2a，∵点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，∴D（a，0），E（0，﹣2a），∴直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，∵点A（3，2）在直线y＝2x﹣2a上，∴6﹣2a＝2，∴a＝2，∴直线DE的解析式为y＝2x﹣4①，∵双曲线的解析式为y＝②，联立①②解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或，∴P（﹣2，﹣3）；（3）解：∵AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n），∴E（0，﹣n），D（ m，0），∴直线DE的解析式为y＝ x﹣n，∵mn＝6，∴m＝，∴y＝ x﹣n③，∵双曲线的解析式为y＝④，联立③④解得，∴（点A的横纵坐标，所以舍去）或，∴P（﹣2m，﹣2n），∵A（m，n），∴直线AB的解析式为y＝x⑤.联立④⑤解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或∴B（﹣m，﹣n），∵E（0，﹣n），∴BE∥x轴，∴S△PBE＝ BE×|y E﹣y P|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝ mn＝3.【解析】【分析】（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A点坐标，设OD＝a，则OE＝2a，得D（a，0），E（0，﹣2a），直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，把点A（3，2）代入求出a，再联立两函数即可求出交点P；（3）由AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，故A（m，n），E（0，﹣n），D（ m，0），求得直线DE 的解析式为y＝ x﹣n，又mn＝6，得y＝ x﹣n，与y＝联立得，即为P点坐标，由直线AB的解析式为y＝ x与双曲线联立解得B （﹣m，﹣n），再根据S△PBE＝ BE×|y E﹣y P|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于3.5．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO交双曲线于点C1，∵点A与点C1关于原点对称，∴AO=C1O，∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得 =﹣，∴直线AC3的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。
中考数学反比例函数-经典压轴题附答案解析
中考数学反比例函数 -经典压轴题附答案解析一、反比例函数1．如图，矩形 OABC 的顶点 A 、 C 分别在 x 、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、 y 轴正半轴交于点 F ，G ，求折痕 FG 所在直线的函数关系式． 【答案】 （1）∵反比例函数 y= （k ≠0）在第一象限内的图象经过点E （3， ）， ∴反比例函数的表达式为 y= ．又∵点 D （m ，2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴2m=2 ，解得： m=1（2）解：设 OG=x ，则 CG=OC ﹣OG=2﹣x ，∵点 D （ 1， 2）， ∴CD=1．在 Rt △CDG 中，∠DCG=9°0，CG=2﹣x ，CD=1，DG=OG=x ， ∴CD 2+CG 2=DG 2 ，即 1+（ 2﹣ x ） 2=x 2 ，解得： x= ，∴点 G （0， ）．过点 F 作 FH ⊥ CB 于点 H ，如图所示．D （m ，2）和 AB 边上的点E （3，由折叠的特性可知： ∠GDF=∠GOF=9°0 ，OG=DG ，OF=DF ． ∵∠ CGD+∠CDG=90 ，°∠CDG+∠ HDF=90 ，° ∴∠ CGD=∠HDF ，∵∠ DCG=∠ FHD=90 ，°∴△ GCD ∽△DHF ，∴ =2 ，∴DF=2GD= ，∴点 F 的坐标为（ ，0）．设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b ，∴折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=﹣ x+【解析】 【分析】（ 1）由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值， 再由点 B 在反比例函数图象上，代入即可求出 m 值；（ 2）设 OG=x ，利用勾股定理即可得 出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出 x 值，从而得出点 G 的坐标．再过点 F 作 FH ⊥CB 于点 H ，由此可得出 △GCD ∽△DHF ，根据相似三角形的性质即可求出线段 DF 的长 度，从而得出点 F 的坐标，结合点 G 、 F 的坐标利用待定系数法即可求出结论．∴有 ，解得：2．如图，一次函数y=kx+b 的图象交反比例函数y= （x> 0）的图象于A（4，-8）、 B （m，-2）两点，交x 轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x>0）的图象于A（4，-8），∴k=4 ×（-8）=-32．∵双曲线y= 过点B（m，-2），∴m=16 ．由直线y=kx+b 过点 A ， B 得：，解得，反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当0<x<4或x>16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵ O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），分三种情况：① 若OB∥AP，OA∥ BP，∵O（0，0），A（4，-8），∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移 4 个单位，向下平移8 个单位得到P 点坐标为（20，-10）；② 若OP∥ AB，OA∥ BP，∵A（4，-8），B（16，-2），∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12 个单位，向上平移 6 个单位得到P 点坐标为（12，6）；③ 若OB∥ AP，OP∥AB，∵B（16，-2），A（4，-8），∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12 个单位，向下平移 6 个单位得到P 点坐标为（- 12，-6）；∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m ，-2）代入反比例函数y= （x> 0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b 中，列方程组求k、b 即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x 的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．3．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB 和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x 满足什么范围时，直线AB 在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC 的面积等于△OAB 的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点 C 的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣ 3 ）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2 ，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x<﹣2或0<x<3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO 交双曲线于点C1 ，∵点 A 与点C1 关于原点对称，∴AO=C1O，∴△ OBC1的面积等于△ OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ，则△OBC2的面积等于△ OBC1的面积，∴△ OBC2的面积等于△ OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB 的解析式为y= x ，可设直线C1C2 的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2 的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（）；如图，过 A 作OB的平行线，交双曲线于点C3 ，则△OBC3 的面积等于△ OBA的面积，设直线AC3 的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得=﹣，∴直线AC3 的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B 的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB 在双曲线的交点坐标为A,B，X 取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点 C 的坐标。
中考数学反比例函数-经典压轴题含详细答案
中考数学反比例函数-经典压轴题含详细答案一、反比例函数1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.3．如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，（1）求直线MN的解析式；（2）求k的值．【答案】（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，∴直线OA的解析式为y=x，∴将OA向上平移个单位后，N（0，），可设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0，）代入，可得b= ，∴直线MN的解析式为y=x+（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，∴△MDN∽△ABO，∴ = =2，设A（a，a），则AB=a，∴MD= a=DN，∴DO= a+ ，∴M（ a， a+ ），∵双曲线经过点A，M，∴k=a×a= a×（ a+ ），解得a=1，∴k=1．【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.4．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．【答案】（1）解：由题意知，点A（a，），B（b，﹣），∵AB∥x轴，∴，∴a=﹣b；∴AB=a﹣b=2a，∴S△OAB= •2a• =3（2）解：由（1）知，点A（a，），B（b，﹣），∴OA2=a2+（）2， OB2=b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA=OB，∴OA2=OB2，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2=（）2﹣（）2，∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（﹣）= ，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，a﹣b≠0，∵a+b≠0，∴1= ，∴ab=3（舍）或ab=﹣3，即：ab的值为﹣3；（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．理由：如图，∵a≥3，AC=2，∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，）的左上方，∴C（a﹣2，），∴D（a﹣2， +2），设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F，∴F（a﹣2，），∴FC= ﹣ = ，∴2﹣FC=2﹣ = ，∵a≥3，∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，∴≥0，∴2﹣FC≥0，∴FC≤2，∴点F在线段CD上，即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．【解析】【分析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．∵CE⊥x轴，∴∠CEB=90°．在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．∵点C在反比例函数y= 的图象上，∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴S△DFO= ×|﹣6|=3．∵S△BAF=4S△DFO，∴4+ =4×3，解得：n= ，经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，∴点D的坐标为（，﹣4）．【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．6．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求m的值；（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），∴经过点A的反比例函数解析式为：y= ，而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），∴m=（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），与x轴、y轴分别交于C、D两点，而这些OA的解析式为y=x，设直线CD的解析式为y=x+b代入B的坐标得： =6+b，∴b=﹣4.5，∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，分别把A、B、D的坐标代入其中得：解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5（3）解：如图，设E的横坐标为x，∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，∴S1= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×OC，= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×4.5，= （﹣0.5x2+4x）×4.5，而S= （3+OD）×OC= （3+4.5）×4.5= ，∴（﹣0.5x2+4x）×4.5= ，解之得x=4± ，∴这样的E点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+ ，0.5）．【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函数图像上，代入即可求得m的值；（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S 的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐标.7．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），∵F为AB的中点，∴F（6，2），又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，∴该函数的解析式为y= （x＞0）（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），∴，==== ，∴当k=12时，S有最大值．S最大=3【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．8．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．【答案】（1）y=；y=（2）解：如图1，∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，∴△AOB的面积为1（3）解：解法一：如图2，依题意可知双曲线的“半双曲线”为，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴CM= ，CN= ．∴MN= ﹣ = ．同理PM=m﹣ = ．∴S△PMN= MN•PM=∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ ≤2．∴4≤k≤8，解法二：如图3，依题意可知双曲线的“半双曲线”为，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．连接OM，∵，∴△PMN∽△OCM．∴．∵S△OCM=k，∴S△PMN= ．∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ ≤2．∴4≤k≤8．【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．故答案为y= ，y= ；【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．9．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB ＝4；∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝，∵S△ABD＝AB•DN＝AD•DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，∵△AMN∽△ABP，∴，即当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB•AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），∴，整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ ，k2＝2﹣当点P在B点下方时，∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB•AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）∴化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，综合以上所得，当k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等于【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA 证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2−4k−2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝−（4k＋3），解关于k的一元二次方程.10．如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°.（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的最小值；（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M 的坐标.【答案】（1）解：如图1中，∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，∴∠CBE=60°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∠BCE=30°，∵C（0，- ），∴OC= ，OF=OC•tan30°= ，CF=2OF=3 ，由翻折可知：FO′=FO= ，∴CO′≥CF-O′F，∴CO′≥ ，∴线段O′C的最小值为（2）解：①如图2中，当B′D′=B′M=BD= 时，可得菱形MND′B′.在Rt△AMB′中，AM=2B′M=2 ，∴OM=AM-OA=2 -3 ，∴M（3 -2 ，0）.②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意B′M=2OB=6，此时AM=12，OM=12-3，可得M（3 -12，0）.③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，由∠D′B′M=∠DBO可得，所以B′M=则在RT△AM B′中，AM=2B′M= ，所以OM=OA-AM=3 - ，所以M（3 - ，0）.④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，MB′=B′D′= ，可得AM=2 ，OM=OA+AM=3 +2 ，所以M（3 +2 ，0）.综上所述，满足条件的点M的坐标为（3 +2 ，0）或（3 -12，0）或（3 -，0）或（3 +2 ，0）【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠CBE的度数，由垂直的定义可求出∠BCE的度数，由点C的坐标求出OC的长，再在Rt△OCF中，利用解直角三角形求出OF的长；然后利用折叠的性质，可得到FO′的长，然后根据CO′≥CF-O′F，可求出线段O′C的最小值。
中考数学反比例函数-经典压轴题附答案解析
中考数学反比例函数 -经典压轴题附答案解析一、反比例函数1．如图，矩形 OABC 的顶点 A 、 C 分别在 x 、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、 y 轴正半轴交于点 F ，G ，求折痕 FG 所在直线的函数关系式． 【答案】 （1）∵反比例函数 y= （k ≠0）在第一象限内的图象经过点E （3， ）， ∴反比例函数的表达式为 y= ．又∵点 D （m ，2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴2m=2 ，解得： m=1（2）解：设 OG=x ，则 CG=OC ﹣OG=2﹣x ，∵点 D （ 1， 2）， ∴CD=1．在 Rt △CDG 中，∠DCG=9°0，CG=2﹣x ，CD=1，DG=OG=x ， ∴CD 2+CG 2=DG 2 ，即 1+（ 2﹣ x ） 2=x 2 ，解得： x= ，∴点 G （0， ）．过点 F 作 FH ⊥ CB 于点 H ，如图所示．D （m ，2）和 AB 边上的点E （3，由折叠的特性可知： ∠GDF=∠GOF=9°0 ，OG=DG ，OF=DF ． ∵∠ CGD+∠CDG=90 ，°∠CDG+∠ HDF=90 ，° ∴∠ CGD=∠HDF ，∵∠ DCG=∠ FHD=90 ，°∴△ GCD ∽△DHF ，∴ =2 ，∴DF=2GD= ，∴点 F 的坐标为（ ，0）．设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b ，∴折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=﹣ x+【解析】 【分析】（ 1）由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值， 再由点 B 在反比例函数图象上，代入即可求出 m 值；（ 2）设 OG=x ，利用勾股定理即可得 出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出 x 值，从而得出点 G 的坐标．再过点 F 作 FH ⊥CB 于点 H ，由此可得出 △GCD ∽△DHF ，根据相似三角形的性质即可求出线段 DF 的长 度，从而得出点 F 的坐标，结合点 G 、 F 的坐标利用待定系数法即可求出结论．∴有 ，解得：2．如图，一次函数y=kx+b 的图象交反比例函数y= （x> 0）的图象于A（4，-8）、 B （m，-2）两点，交x 轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x>0）的图象于A（4，-8），∴k=4 ×（-8）=-32．∵双曲线y= 过点B（m，-2），∴m=16 ．由直线y=kx+b 过点 A ， B 得：，解得，反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当0<x<4或x>16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵ O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），分三种情况：① 若OB∥AP，OA∥ BP，∵O（0，0），A（4，-8），∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移 4 个单位，向下平移8 个单位得到P 点坐标为（20，-10）；② 若OP∥ AB，OA∥ BP，∵A（4，-8），B（16，-2），∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12 个单位，向上平移 6 个单位得到P 点坐标为（12，6）；③ 若OB∥ AP，OP∥AB，∵B（16，-2），A（4，-8），∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12 个单位，向下平移 6 个单位得到P 点坐标为（- 12，-6）；∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m ，-2）代入反比例函数y= （x> 0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b 中，列方程组求k、b 即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x 的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．3．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB 和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x 满足什么范围时，直线AB 在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC 的面积等于△OAB 的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点 C 的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣ 3 ）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2 ，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x<﹣2或0<x<3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO 交双曲线于点C1 ，∵点 A 与点C1 关于原点对称，∴AO=C1O，∴△ OBC1的面积等于△ OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ，则△OBC2的面积等于△ OBC1的面积，∴△ OBC2的面积等于△ OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB 的解析式为y= x ，可设直线C1C2 的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2 的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（）；如图，过 A 作OB的平行线，交双曲线于点C3 ，则△OBC3 的面积等于△ OBA的面积，设直线AC3 的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得=﹣，∴直线AC3 的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B 的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB 在双曲线的交点坐标为A,B，X 取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点 C 的坐标。
反比例函数压轴难题
中考压轴题反比例函数一．解答题（共30小题）1．（2015•邵阳）如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n=，求n的值．2．（2015•宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y 轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．3．（2015•梅州）如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，a=，b=，试判断a，b的大小关系，并说明理由．4．（2015•黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；（2）若AB=，求k的值；（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）5．（2015•威海）如图1，直线y=k1x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A，B，直线y=k2x与反比例函数y=的图象交于点C，D，且k1•k2≠0，k1≠k2，顺次连接A，D，B，C，AD，BC分别交x轴于点F，H，交y轴于点E，G，连接FG，EH．（1）四边形ADBC的形状是；（2）如图2，若点A的坐标为（2，4），四边形AEHC是正方形，则k2=；（3）如图3，若四边形EFGH为正方形，点A的坐标为（2，6），求点C的坐标；（4）判断：随着k1、k2取值的变化，四边形ADBC能否为正方形？若能，求点A的坐标；若不能，请简要说明理由．6．（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x 轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．7．（2015•常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．8．（2015•玉林）已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若=，求△ABC的面积．9．（2015•漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===2﹣．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线y=x﹣1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．10．（2014•枣庄）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A坐标为（m，2），点B坐标为（﹣4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求四边形OCBD的面积．11．（2014•徐州）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B 分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．（1）k=；（2）试说明AE=BF；（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．12．（2014•淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．13．（2014•泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．14．（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．15．（2014春•慈溪市期末）如图，直线y=﹣x+1与x，y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=（x＞0）上的一动点，PM⊥x轴与M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E（1）求E、F两点的坐标（用a，b的式子表示）；（2）当a=时，求△EOF的面积．（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究：①BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由；②∠EOF的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．16．（2014秋•渝中区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，E是BC上一点，∠AED=90°，AB=6，SIN∠AEB=，矩形ABCD的点B与O重合，BC在x轴上，现有一张硬纸片△MGN，∠MGN=90°，点M在x轴上，点G在ED上，NG=3，N与E重合．现将△MGN以每秒1个单位的速度沿EB方向在x轴上匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD方向向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接QP，当点P到达终点D时，△MGN和点P同时停止运动，设运动时间x秒．（1）若反比例函数的图象经过点D，求该反比例函数的解析式．（2）在整个运动过程中，设△MGN与△ABE重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（3）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．17．（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF 上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2013•镇江）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式的解集．19．（2013•义乌市）如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．20．（2013•盐城模拟）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．21．（2013•成都模拟）在平面直角坐标系中，函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C；过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AB、AD、BC、CD．（1）求m的值；（2）求证：CD∥AB；（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．22．（2013•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．（1）求直线y=kx和双曲线的函数关系式；（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t 之间的函数关系式；（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2013秋•江岸区校级月考）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A、B，与x、y轴交于C、D，且满足+（a+）2=0．（1）求反比例函数解析式；（2）当AB=BC时，求b的值；（3）如图2，当b=2时，连OA，将OA绕点O逆时针旋转60°，使点A与点P重合，以点P为顶点作∠MPN=60°，分别交直线AB和x轴于点M、N，求证：PM平分∠AMN．24．（2012•北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2）．（1）求d的值；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．25．（2012•泰州）如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．26．（2012•淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．27．（2012•广安模拟）如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线，直线y2=k2x+b1，y3=k3x+b2，且点A（2，5），点B（﹣6，n）在双曲线的图象上（1）求y1和y2的解析式；（2）若y3与直线x=4交于双曲线，且y3∥y2，求y3的解析式；（3）直接写出的解集．28．（2012•南安市质检）如图，已知双曲线（k为常数）与直线l相交于A、B两点，第一象限内的点M（点M在A的左侧）是双曲线上的一动点，设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点．（1）若直线l的解析式为，A点的坐标为（a，1），①求a、k的值；②当AM=2MP时，求点P的坐标．（2）若AM=m•MP，BM=n•MQ，求m﹣n的值．29．（2012•西湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），点C，D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长；（2）若当△EFG的面积为时，点G恰在的图象上，求k的值；（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的的图象上，以A，C，Q，R 为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．30．（2012•城厢区校级模拟）已知：C为反比例函数上一动点，过点C作直线l⊥x轴于A点，连接OC，过C点作CD⊥OC交曲线于点D（D在C右侧），连接OD，过D点作DB∥x轴交直线l于B点，S△AOC=4．（1）求k的值；（2）当OA=4时，在直线l上是否存在异于C的点P，使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）把△BCD沿CD翻折，当B点恰好落在OD上时，四边形OCBD的面积是否随着点C 的运动而发生变化？若不变，请求出其面积；若变化，请说明理由．中考压轴题反比例函数参考答案一．解答题（共30小题）1．；2．；3．平行；4．；5．平行四边形；； 6．；7．；8．；9．；10．；11．3；12．6；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。
反比例函数压轴题精选(含标准答案)
中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。
下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE S S ∆∆=经典例题例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ；(2) 如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=例2．如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 .例3．如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xm y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xm y =和一次函数b kx y +=(2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．例4．如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)k y k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．图2图4y例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解读式；过点D，与线段AB （2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1y x b2相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．。
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案一、反比例函数1．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．2．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。
(完整版)反比例函数压轴题集含答案,推荐文档
反比例函数压轴题集含答案一．选择题1．如图转动一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上作无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，则A翻滚到A2时，共经过的路径长为（）cm．A．3.5πB．4.5π C．5πD．10π二．填空题2．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBD的两边在坐标轴上，点A为（0，6），点B为（6，0），E、F分别为OB、BD边上的中点，以BE，BF为边作矩形BEGF．将矩形BEGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中OE、DF所在的直线交于点M．（1）当将矩形BEGF绕点B顺时针旋转30°时，∠OMD=．（2）当将矩形BEGF绕点B转一周时，则点M所经过的路径长为．4．如图，边长为1的正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，顶点A与坐标原点O 重合，点B在x轴上．将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动，当点D 第一次落在x轴上时，D点的坐标是，D点经过的路径的总长度是；当点D第2014次落在x轴上时，D点经过的路径的总长度是．5．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果都保留π）三．解答题6．如图，在平面直角坐标系xOy中，动点A（a，0）在x轴的正半轴上，定点B （m，n）在第一象限内（m＜2≤a），在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF，连接FD，点M为线段FD的中点，作BB1⊥x轴于点B1，作FF1⊥x轴于点F1．（1）填空：由≌△，及B（m，n）可得点F的坐标为，同理可得点D的坐标为；（说明：点F，点D的坐标用含m，n，a的式子表示）（2）直接利用（1）的结论解决下列问题：①当点A在x轴的正半轴上指定范围内运动时，点M总落在一个函数图象上，求该函数的解析式（不必写出自变量x的取值范围）；②当点A在x轴的正半轴上运动且满足2≤a≤8时，求点M所经过的路径的长．7．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，点B的坐标为（﹣1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O．（1）在旋转过程中，点B所经过的路径长是多少？（2）分别求出点A1，B1的坐标；（3）连接BB1交A1O于点M，求M的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=的图象经过点C（3，m）．（1）m=，点B的坐标为（）；（2）将这个菱形沿y轴负半轴方向平移，当顶点B落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离．9．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线L上，且沿着L向右作无滑动翻滚，当它翻滚类似于开始的位置A4B4C4D4时（如图所示），得A2B2C2D2、A3B3C3D3①标注好点A所对应的点A2，A3的位置及把相应的字母填在直线L上的两括号内．②求顶点A所经过的路线长．10．如图，边长为2的正六边ABCDEF在直线l上按顺时针方向作无滑动的翻滚．（1）当正六边形绕点F顺时针旋转度时，A落在点A1位置；（2）当点A翻滚到点A2的位置时，求点A所经过的路径长．11．如图，在平面直角坐标系中，A（，0），B（，2）．把矩形OABC逆时针旋转30°得到矩形OA1B1C1，（1）求B1点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形OA1B1C1面积的直线l方程；（3）设（2）中直线l交y轴于点P，直接写出△PC1O与△PB1A1的面积和的值及△POA1与△PB1C1的面积差的值．12．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C 的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．13.如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于．14.如图，已知直线l：y=﹣2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，平移直线l交y=于C、D两点，且CD=2AB，若AC=5，求D点坐标及k的值．15．如图，直线l：y=﹣2x﹣2，与x轴y轴交于A，B两点，平移直线l交双曲线y=（x＞0）于C，D两点，且CD=2AB，连接AC，交y轴于E点，S△ABC =3S△ABE，求k的值．反比例函数压轴题集含答案参考答案一．选择题（共2小题）1．A；二．填空题（共5小题）2．（5，）；（+896）π；3．90°；6π；4．（3，0）；π；（1007+）π；5．；；；三．解答题（共31小题）6．△FOF1；OBB1；（﹣n，m）；（a+n，a﹣m）；7．；8．4；8，4；9．；10．60；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．15：7：14．；25．；26．；27．；。
反比例函数压轴题解题方法
反比例函数压轴题解题方法摘要：1.反比例函数压轴题的重要性2.反比例函数压轴题的常见类型与考点3.解反比例函数压轴题的策略与技巧4.提高解题能力的建议正文：在中考数学中，反比例函数压轴题往往是让学生感到棘手的题目。
为了帮助大家攻克这一难题，本文将详细解析反比例函数压轴题的解题方法，并提供一些实用的技巧。
一、反比例函数压轴题的重要性反比例函数是初中数学的重要内容，其在压轴题中的占比相当高。
掌握反比例函数的解题方法，不仅有助于应对中考数学，还能为高中数学的学习打下坚实基础。
二、反比例函数压轴题的常见类型与考点反比例函数压轴题通常涉及反比例函数与其他函数（如一次函数、二次函数）的综合，考查学生的函数解析能力、图象分析能力以及数形结合思想。
常见类型包括：1.反比例函数与一次函数的综合：主要考查反比例函数的基本定义及性质，以及一次函数的基本定义及性质。
2.反比例函数与二次函数的综合：主要考查反比例函数的基本定义及性质，以及二次函数的性质、顶点、对称轴等。
三、解反比例函数压轴题的策略与技巧1.认真审题，挖掘隐含条件：正确理解题意，找出题目中的关键信息，为解题奠定基础。
2.探求解题思路：根据题目类型和已知条件，尝试寻找解题突破口，如利用图象、解析式等。
3.正确写出解答过程：简洁明了地呈现解题思路和计算过程，避免涂抹和混淆。
四、提高解题能力的建议1.加强基础知识训练：熟练掌握反比例函数的定义、性质及相关公式，打好基本功。
2.提高阅读能力：培养自己快速理解、分析问题的能力，提升解题效率。
3.多做练习，总结经验：通过大量练习，了解自己的薄弱环节，总结解题规律和技巧。
4.学会数形结合：利用数形结合思想，将问题直观化，降低解题难度。
总之，掌握反比例函数压轴题的解题方法，需要同学们在基础知识、解题技巧和思维能力方面下功夫。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)压轴综合专练(含解析)
人教版九年级数学下册第二十六章《反比例函数》压轴综合专练1．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．2．如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，反比例函数y＝在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD＝4．（1）求反比例函数解析式；（2）求点C的坐标．3．如图，一次函数y＝kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y＝﹣（x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x＝a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA＝PB？4．如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．（2）点E在线段CD上，S△ABE＝10，求点E的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB 恰好经过点O．（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积．7．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，4），直线y＝﹣x+b（b≠0）与双曲线y＝在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b＝﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ＝S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知点A、P在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y＝x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．（1）求点A的坐标和k的值；（2）求的值．9．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上一点（不与B、C两点重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）图象与AC边交于点E．（1）请用k表示点E，F的坐标；（2）若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式．10．如图，已知直线y＝ax+b与双曲线y＝（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b＝y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB＝BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．11．如图，一次函数y＝﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），且与y轴相交于点C，与双曲线y＝相交于点P．（1）求b的值；（2）作PM⊥PC交y轴于点M，已知S△MPC＝4，求双曲线的解析式．12．如图，直线y＝k1x+7（k1＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（k2＞0）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为，点C横坐标为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB＝，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．（1）求直线l的表达式；（2）若反比例函数y＝的图象经过点P，求m的值．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点F的坐标．15．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+1与反比例函数y＝的图象有两个交点A（﹣1，m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），连接DE．（1）求k的值；（2）求四边形AEDB的面积．参考答案1．解：（1）把A（1，4）代入y＝得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得：当0＜x＜1或x＞4时，kx+b＜；∴不等式kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，∵直线AB与x轴交于点C，∴点C坐标为（5，0），∵△ABP的面积为6，∴×PC×4﹣PC×1＝6，∴PC＝4，∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．2．解：（1）∵∠ABO＝90°，S△BOD＝4，∴×k＝4，解得k＝8，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，∴A点坐标为（4，8），设直线OA的解析式为y＝kx，把A（4，8）代入得4k＝8，解得k＝2，∴直线OA的解析式为y＝2x，解方程组得或，∵C在第一象限，∴C点坐标为（2，4）．3．解：由P（﹣1，n）在y＝﹣上，得n＝4，∴P（﹣1，4），∵F为PE中点，∴OF＝n＝2，∴F（0，2），又∵P，F在y＝kx+b上，∴，解得．∴直线l的解析式为：y＝﹣2x+2．（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，∵PA＝PB，∴点D为AB的中点，又由题意知A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣，D点的纵坐标为4，∴得方程﹣2a+2﹣＝4×2，解得a1＝﹣2，a2＝﹣1（舍去）．∴当a＝﹣2时，PA＝PB．4．解：（1）由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y＝，将A（1，6）代入得：k＝6，则反比例解析式为y＝；（2）设E（x，0），则DE＝x﹣1，CE＝6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE＝∠BCE＝90°，连接AE，BE，则S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE＝（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC＝×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1＝﹣x＝10，解得：x＝3，则E（3，0）．5．解：（1）∵AB∥x轴，∴∠ABO＝∠BOD，∵∠ABO＝∠CBD，∴∠BOD＝∠OBD，∵OB＝BD，∴∠BOD＝∠BDO，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴B（1，）；∵双曲线y＝经过点B，∴k＝1×＝．∴双曲线的解析式为y＝．（2）∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，∴∠A＝30°，∴AB＝2OB，∵AB＝BC，∴BC＝2OB，∴OC＝OB，∴C（﹣1，﹣），∵﹣1×（﹣）＝，∴点C在双曲线上．6．解：（1）∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝2+4＝6．∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝＝＝．∴OA＝2，CE＝3．∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线AB的解析式为y＝﹣x+2．设反比例函数的解析式为y＝（m≠0），将点C的坐标代入，得3＝，∴m＝﹣6．∴该反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积＝4×1÷2＝2，△BOC的面积＝4×3÷2＝6，故△OCD的面积为2+6＝8．7．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，4），∴k＝﹣1×4＝﹣4；（2）当b＝﹣2时，直线解析式为y＝﹣x﹣2，∵y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD＝×2×2＝2；（3）存在．当y＝0时，﹣x+b＝0，解得x＝b，则C（b，0），∵S△ODQ＝S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x＝﹣b时，y＝﹣x+b＝2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y＝﹣的图象上，∴﹣b•2b＝﹣4，解得b＝﹣或b＝（舍去），∴b的值为﹣．8．解：（1）∵点B在直线y＝x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，∴当y＝﹣1时，x﹣3＝﹣1，解得x＝2，∴B（2，﹣1）．设点A的坐标为（2，t），则t＜﹣1，AB＝﹣1﹣t．∵S△OAB＝4，∴（﹣1﹣t）×2＝4，解得t＝﹣5，∴点A的坐标为（2，﹣5）．∵点A在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，∴﹣5＝，解得k＝﹣10；（2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n），∴Q（﹣m，n），∵点P在反比例函数y＝﹣的图象上，点Q在直线y＝x﹣3的图象上，∴n＝﹣，n＝﹣m﹣3，∴mn＝﹣10，m+n＝﹣3，∴＝＝＝＝﹣．9．解：（1）E（，4），F（6，）；（2）∵E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），∴S△ECF＝EC•CF＝（6﹣k）（4﹣k），∴S△EOF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ECF＝24﹣k﹣k﹣S△ECF＝24﹣k﹣（6﹣k）（4﹣k），∵△OEF的面积为9，∴24﹣k﹣（6﹣k）（4﹣k）＝9，整理得，＝6，解得k＝12．∴反比例函数的解析式为y＝．10．解：（1）∵直线y＝ax+b与双曲线y＝（x＞0）交于A（1，3），∴k＝1×3＝3，∴y＝，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2＝＝1，∴B（3，1），∵直线y＝ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4，∴P（4，0）；（2）如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴＝，＝＝，∵b＝y1+1，AB＝BP，∴＝，＝＝，∴B（， y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1＝•y1，解得x1＝2，代入＝，解得y1＝2，∴A（2，2），B（4，1）．（3）根据（1），（2）中的结果，猜想：x1，x2，x0之间的关系为x1+x2＝x0．11．解：（1）∵一次函数y＝﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），∴b+2+b＝0，解得：b＝﹣1．（2）过点P作PB⊥MC于点B，如图所示．将b＝﹣1代入一次函数解析式，得：y＝﹣x﹣1．当x＝0时，y＝﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1），∴OC＝1，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1＝OC，∴∠ACO＝45°．∵PM⊥PC，∴△PMC为等腰直角三角形，∵PB⊥MC，∴PB＝MC，∴S△PMC＝CM•PB＝PB2，∵S△PMC＝4，∴PB2＝4，即PB＝2或PB＝﹣2（舍去），∵点P在第二象限，∴点P的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）﹣1＝1，∴点P的坐标为（﹣2，1）．∵双曲线y＝经过点P，∴k＝﹣2×1＝﹣2，∴双曲线的解析式为y＝﹣．12．解：（1）∵当x＝0时，y＝7，当y＝0时，x＝﹣，∴A（﹣，0）、B（0、7）．∴S△AOB＝|OA|•|OB|＝×（﹣）×7＝，解得k1＝﹣1．∴直线的解析式为y＝﹣x+7．∵当x＝1时，y＝﹣1+7＝6，∴C（1，6）．∴k2＝1×6＝6．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）∵点C与点D关于y＝x对称，∴D（6，1）．当x＝2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整点为（2，4）；当x＝3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整点为（3，3）；当x＝4时，反比例函数图象上的点为（4，），直线上的点为（4，3），此时可得整点为（4，2）；当x＝5时，反比例函数图象上的点为（5，），直线上的点为（5，2），此时，不存在整点．综上所述，符合条件的整点有（2，4）、（3，3）、（4，2）．13．解：（1）∵A（2，0），∴OA＝2．∵tan∠OAB＝＝，∴OB＝1，∴B（0，1），设直线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线l的表达式为y＝﹣x+1；（2）∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧，∴点P的横坐标为﹣1，又∵点P在直线l上，∴点P的纵坐标为：﹣×（﹣1）+1＝，∴点P的坐标是（﹣1，），∵反比例函数y＝的图象经过点P，∴＝，∴m＝﹣1×＝﹣．14．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，∴点C的坐标为C（8，4），设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，解得：x＝5，∴点B的坐标为B（5，0），设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，根据题意得方程组，解此方程组得：或∵点F在第一象限，∴点F的坐标为F（6，）．15．解：（1）如图所示，延长AE，BD交于点C，则∠ACB＝90°，∵一次函数y＝﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），∴m＝2+1＝3，∴A（﹣1，3），∵反比例函数y＝的图象经过A（﹣1，3），∴k＝﹣1×3＝﹣3；（2）∵BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），∴令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+1，∴x＝，即B（，﹣2），∴C（﹣1，﹣2），∴AC＝3﹣（﹣2）＝5，BC＝﹣（﹣1）＝，∴四边形AEDB的面积＝△ABC的面积﹣△CDE的面积＝AC×BC﹣CE×CD＝×5×﹣×2×1＝．。
反比例函数压轴题精选(含答案)
中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II) OBAC S k =矩形。
下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。
(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。
经典例题例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=例2．(陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=),(),,(2211y x By x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .解析：因为A ，B 在反比例函数xy 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y x B y x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(山东威海)如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．解：(1)∵反比例函数xmy =的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴m=(－2)×( －5)＝10． ∴反比例函数的表达式为xy 10=．∵点C ﹙5，n ﹚在反比例函数的图象上， ∴2510==n ．∴C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ， ∴所求一次函数的表达式为y ＝x －3．(2) ∵一次函数y=x －3的图像交y 轴于点B ，∴B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴OB ＝3．∵A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，∴S △AOC= S △AOB+ S △BOC=()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．（福建福州）如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，． 点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x =>的交点，428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，． 过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点C 在双曲线8y x=上，当8y =时，1x =． ∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8y x=上， 4COE AOF S S ∴==△△COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．（3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m，．过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·． 解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，． 例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线1y x b 2过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．图3O AyBFQE Px图4O x AyBF E QP【答案】解：（1）设反比例函数的解析式k y x， ∵反比例函数的图象过点E （3，4），∴k43，即k=12。
反比例函数压轴题精选(含答案)
2009-2013年中考反比率函数之阳早格格创做典范论断：如图，反比率函数k 的几许意思： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==；(II ) OBAC S k =矩形.底下二个论断是上述论断的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形.(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=.典范例题例1.(1)(兰州)如图，已知单直线(0)k y x x=>通过矩形OABC 边AB 的中面F 且接BC 于面E ，四边形OEBF 的里积为2，则k = 2 ；(2)如图，面A B 、为直线y x =上的二面，过A B 、二面分别做y 轴的仄止线接单直线1(0)y x x=>于C D 、二面，若2BD AC =，则224OC OD -= 6例2．(2013陕西)如果一个正比率函数的图象与一个反比率函数xy 6=的图象接),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x--值为 24 .剖析：果为A ，B 正在反比率函数xy 6=上，所以611=yx ，咱们知讲正比率函数与反比率函数的接面坐标闭于本面成核心对付称，果此),(),,(2211y x B y x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(2010山东威海)如图，一次函数b kx y +=的图象与反比率函数xm y =的图象接于面A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，接y 轴于面B ，接x 轴于面D ．(1) 供反比率函数xm y =战一次函数b kx y +=(2) 对接OA ，OC ．供△AOC 的里积．解：(1)∵反比率函数xm y =的图象通过面A ﹙－2∴m =(－2)×( －5)＝10．∴反比率函数的表白式为xy 10=．∵面C ﹙5，n ﹚正在反比率函数的图象上，∴2510==n ．∴C 的坐标为﹙5，2﹚．∵一次函数的图象通过面A ，C ，将那二个面的坐标代进b kx y +=，得⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ， ∴所供一次函数的表白式为y ＝x －3．(2) ∵一次函数y =x －3的图像接y 轴于面B ，∴B 面坐标为﹙0，－3﹚．∴OB ＝3．∵A 面的横坐标为－2，C 面的横坐标为5，∴S △AOC = S △AOB + S △BOC =()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．（2007祸修祸州）如图，已知直线12y x =与单直线(0)k y k x=>接于A B ，二面，且面A 的横坐标为4．（1）供k 的值；（2）若单直线(0)k y k x=>上一面C 的纵坐标为8，供AOC △的里积；（3）过本面O 的另一条直线l 接单直线(0)k y k x=>于P Q ，二面（P 面正在第一象限），若由面A B P Q ，，，为顶面组成的四边形里积为24，供面P 的坐标．解：（1）面A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴面A 的坐标为(42)，． 面，面A 是直线12y x =与单直线(0)k y k x=>的接428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图1，面C 正在单直线上，当8y =时，1x =∴面C 的坐标为(18)，． 过面A C ，分别搞x 轴，y 轴的垂线，垂脚为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△． 3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，过面C A ，分别搞x 轴的垂线，垂脚为E F ，， 面C 正在单直线8y x=上，当8y =时，1x=． ∴面C 的坐标为(18)，．面C ，A 皆正在单直线8y x=上，4COE AOF S S ∴==△△COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．（3）反比率函数图象是闭于本面O OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是仄止四边形．1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形． 设面P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m，． 过面P A ，分别搞x 轴的垂线，垂脚为E F ，， 面P A ，正在单直线上，4PQE AOF S S ∴==△△．图2 图3图4若04m <<，如图3，POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·． 解得2m =，8m =-（舍来）．∴(24)P ，． 若4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得8m =，2m =-（舍来）．(81)P ∴，． ∴面P 的坐标是(24)P ，或者(81)P ，． 例5.(山东淄专) 如图，正圆形AOCB 的边少为4，反比率函数的图象过面E （3，4）． （1）供反比率函数的剖析式；（2）反比率函数的图象与线段BC 接于面D ，直线1y x b 2过面D ，与线段AB 相接于面F ，供面F 的坐标；（3）对接OF ，OE ，商量∠AOF 与∠EOC 的数量闭系，并道明． 【问案】解：（1）设反比率函数的剖析式kyx， ∵反比率函数的图象过面E （3，4），∴k 43，即k=12.∴反比率函数的剖析式12yx. （2）∵正圆形AOCB 的边少为4，∴面D 的横坐标为4，面F 的纵坐标为4.∵面D 正在反比率函数的图象上，∴面D 的纵坐标为3，即D （4,3）.∵面D 正在直线1yx b 2上，∴134b2，解得b=5.∴直线DF 为1yx 52.将y 4代进1yx 52，得14x 52，解得x 2.∴面F 的坐标为（2，4）.（3）∠AOF ＝12∠EOC .道明如下：正在CD 上与CG =CF =2，对接OG ，对接EG并延少接ｘ轴于面H . ∵AO =CO =4，∠OAF =∠OCG =900，AF =CG =2，∴△OAF ≌△OCG （SAS ）.∴∠AOF =∠COG .∵∠EGB =∠HGC ，∠B =∠GCH =900，BG =CG =2， ∴△EGB ≌△HGC （AAS ）.∴EG =HG . 设直线EG ：ymxn ，∵E （3，4），G （4，2），∴43m n 24m n =+⎧⎨=+⎩，解得，m 2n=10=⎧⎨⎩－. ∴直线EG ：y 2x10.令y2x10=0，得x 5.∴H （5，0），OH =5.正在R ｔ△AOF 中，AO =4，AE =3，根据勾股定理，得OE =5.∴OH =OE .∴OG 是等腰三角形底边EH 上的中线.∴OG 是等腰三角形顶角的仄分线.∴∠EOG =∠GOH .∴∠EOG =∠GOC =∠AOF ，即∠AOF ＝12∠EOC .例 6.(2009山东威海)一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴接于面,M N ，与反比率函数ky x=的图象相接于面,A B ．过面A 分别做AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂脚分别为,C E ；过面B 分别做BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂脚分别为F D ，，AC 与BD 接于面K ，对接CD ．（1）若面A B ，正在反比率函数k y x=的图象的共一分收上，如图1，试道明：①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．（2）若面A B ，分别正在反比率函数k y=的图象的分歧分收上，如图2，则AN 与BM 解：（1）①AC x ⊥轴，AE ⊥BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴ AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴1111OC x AC y x y k ===，，，∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形 2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形．∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形，∴AEDK CFBK S S =矩形矩形②由（1）知AEDK CFBK S S =矩形矩形．∴AKDK BK CK =．∴AK BKCK DK= 90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD∥AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是仄止四边形．∴AN CD =．共理BM CD =．AN BM ∴=．（2）AN 与BM 仍旧相等．AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，∴AEDK BKCF S S =矩形矩形∴AK DK BK CK =．∴CK DKAK BK=．K K ∠=∠，∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥．AC y ∥轴，∴四边形ANDC 是仄止四边形．∴AN CD =．共理BM CD =．∴AN BM =．)y AB1SyP 1P 2P 3 P4 P 52y x =第一部分训练一、采用题1.(2009年鄂州)如图，直线y =mx 与单直线y =xk 接于A 、B 二面，过面A做AM ⊥x 轴，垂脚为M ，连结BM ,若ABM S ∆=2，则k 的值是 A .2B .m －2C .mD .42.(2009兰州) 如图，若正圆形OABC 的顶面B 战正圆形则面ADEF 的顶面E 皆正在函数1y x=（0x >）的图象上，E 的坐标是（，）.3.(2009泰安）如图，单直线)0(＞k xk y =通过矩形OABC 的边BC 的中面E ，接AB 于面D .若梯形ODBC 的里积为3，则单直线的剖析式为 A ．xy 1=B ．x y 2=C ．x y 3=D ．xy 6=4.（2009仙桃）如图，已知单直线)0k (xk y ＞=通过直角三角形OAB 斜边OB 的中面D ，与直角边AB 相接于面C ．若△OBC 的里积为3，则k ＝____________．5.(2009年牡丹江市)如图，面A 、B 是单直线3y x=上的面，分别通过A 、B 二面背x 轴、y 轴做垂线段，若1S =阴影，则12S S +=． 6.（2009年莆田）如图，正在x 轴的正半轴上依次截与112233445OA A A A A A A A A ====，过面12345A A A A A 、、、、分别做x 轴的垂线与反比率函数()20y x x=≠的图象相接于面12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其里积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．．y xOBCAABCD EyxOM第4题图 第5题图 第6题图7.（2009年包头）已知一次函数1y x =+与反比率函数k y x=的图象正在第一象限相接于面A ，与x 轴相接于面C AB x ，⊥轴于面B ，AOB △的里积为1，则AC 的少为8.（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与单直线xy 2-=接于),(),,(2211y x B y x A 二面,则122183y x y x -的值为A .－5 B .－10 C .5 D .10【问案】B9.（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 正在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过面C 的单直线k y x=接OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的里积等于3，则k 的值A ．等于2 B．等于34C ．等于245D ．无法决定【问案】B第7题图 第8题图 第9题图10.（2010是单直线y = kx (k >0) 上的面，A 、B 二面的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延少线接x 轴于面C ，若S △AOC =6．则k=．【问案】411.（2010安徽蚌埠二中）已知面（1，3）正在函数)0(>=x xk y 的图像上.正圆形ABCD 的边BC 正在x 轴上，面E 是对付角线BD 的中面，函数)0(>=x xky 的图像又通过A 、E 二面，则面E 的横坐标为__________.【问案】612.（2010四川内江）如图，反比率函数y ＝kx(x ＞0)的图象通过矩形OABC 对付角线的接面M ，分别与AB 、BC 相接于面D 、E ．若四边形ODBE 的里积为6，则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【问案】B第10题图 第11题图 第12题图y O AC ByBA oO ABCDxy图5—2图5—1输出y取相反数42取倒数取倒数输入非零数xPQM13.（2011山东东营）如图,直线l 战单直线(0)k y k x=>接于A 、B 明面,P 是线段AB 上的面（不与A 、B 沉合）,过面A 、B 、P 分别背x 轴做垂线,垂脚分别是C 、D 、E ,对接OA 、OB 、OP ,设△AOC 里积是S 1、△BOD 里积是S 2、△POE 里积是S 3、则A . S 1＜S 2＜S 3B . S 1>S 2>S 3C . S 1=S 2>S 3D . S 1=S 2<S 3 【问案】D14.（2011河北）根据图5—1所示的步调，得到了y 与x 的函数图象，过面M 做PQ ∥x 轴接图象于面P ,Q ，对接OP ,OQ .则以下论断 ①x ＜0时，x2y =，②△OPQ 的里积为定值，③x ＞0时，y 随x 的删大而删大 ④MQ =2PM ⑤∠POQ 不妨等于90°其中精确的论断是A ．①②④B ②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤ 【问案】B15.（2011苦肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD 的对付角线BD 通过坐标本面，矩形的边分别仄止于坐标轴，面C 正在反比率函数221k k y x++=的图象上.若面A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为A ．1B ．－3C ．4D ．1或者－3【问案】DxyO ABCD图 6接x16.（2011四川乐山）如图，直线6y x =-轴、y 轴于A 、B 二面，P 是反比率函数过面P 4(0)y x x=>图象上位于直线下圆的一面，做x 轴的垂线，垂脚为面M ，接AB 于面E ，过面P 做y 轴的垂线，垂脚为面N ，接AB 于面F .则AF BE ⋅= A ．8 B ．6 C ．4 D ．62【问案】A17.（2012•德州）如图，二个反比率函数战的图象分别是l 1战l 2．设面P 正在l 1上，PC ⊥x 轴，垂脚为C ，接l 2于面A ，PD ⊥y 轴，垂脚为D ，接l 2于面B ，则三角形P AB 的里积为A ． 3B ． 4C ．D ．5 解解：∵面P 正在y =上，∴设P 的坐标是（a ，）， ∵P A ⊥x 轴，∴A 的横坐标是a ，∵A 正在y =﹣上，∴A 的坐标是（a ，﹣）， ∵PB ⊥y 轴，∴B 的纵坐标是， ∵B 正在y =﹣上，∴代进得：﹣， 解得：x =﹣2a ，∴B 的坐标是（﹣2a ，）， ∴P A =﹣（﹣）=，PB =a ﹣（﹣2a ）=3a ， ∵P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴P A ⊥PB ， ∴△P AB 的里积是：P A ×PB =××3a =．故选C ．18.（2012祸州）如图，过面C (1，2)分别做x 轴、y 轴的仄止线，接直线y ＝－x ＋6于A 、B 二面，若反比率函数y ＝kx(x ＞0)的图像与△ABC有大众ABCOxy面，则k 的与值范畴是 A ．2≤k ≤9 B ．2≤k ≤8C ．2≤k ≤5D ．5≤k ≤8解问：解：∵面C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4，∴面A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)，根据反比率函数系数的几许意思，当反比率函数与面C 相接时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相接于面(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，∵ 1≤x ≤4，∴当x ＝3时，k 值最大，此时接面坐标为(3，3)， 果此，k 的与值范畴是2≤k ≤9．故选A ．19.（2012临沂）如图，若面M 是x 轴正半轴上任性一面，过面M 做PQ ∥y 轴，分别接函数1(0)k y x x=>战2(0)k y x x=>的图象于面P 战Q ，对接OP 战OQ ．则下列论断精确的是A ．∠POQ 不可能等于90°B ．12k PMQMk = C ．那二个函数的图象一定闭于x 轴对付称； D ．△POQ 的里积是()1212k k +故选：D ．20.（2012湖北黄石）如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x=图像上的二面，动面(,0)P x 正在x 正半yxOABP轴上疏通，当线段AP 与线段BP 之好达到最大时，面P 的坐标是DA . 1(,0)2B . (1,0)C . 3(,0)2D . 5(,0)2【解问】解：∵把A （1/2 ，y 1），B （2，y 2）代进反比率函数y =1/ x 得：y 1=2，y 2=1/2 ，∴A （1/2 ，2），B （2，1/2 ），∵正在△ABP 中，由三角形的三边闭系定理得：|AP －BP |＜AB ，∴延少AB 接x 轴于P ′，当P 正在P ′面时，P A －PB =AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之好达到最大， 设直线AB 的剖析式是y =kx +b ，把A 、B 的坐标代进得： 2=1/2k +b ,1/2=2k +b ，解得：k =－1，b =5/2 ，∴直线AB 的剖析式是y =－x +5/2 ，当y =0时，x =5/2 ，即P （5/2 ，0），故选D ．21.(2012湖北随州)如图，直线l 与反比率函数x y 2=的图象正在第一象限内接于A 、B 二面，接x 轴的正半轴于C 面,若AB ：BC =(m 一l )：1(m >l )则△OAB 的里积(用m 表示)为A .m m 212-B .mm 12-C . m m )1(32-D .m m 2)1(32-问案：B22.（2013江苏苏州）如图，菱形OABC 的顶面C 的坐标为(3，4)，顶面A 正在x 轴的正半轴上．反比率函数y ＝k x(x ＞0)的图象通过顶面B ，则kB AoxylOxyB AC 的值为A ．12B ．20C ．24D ．32【问案】D ．解：过C 面做CD ⊥x 轴，垂脚为D ．∵面C 的坐标为（3，4），∴OD =3，CD =4．∴OC = OD 2+CD 2=32+42=5．∴OC =BC =5．∴面B 坐标为（8，4）， ∴k =32．∵反比率函数y =k x（x ＞0）的图象通过顶面B ，23.（2013山东临沂）如图，等边三角形OAB 的一边OA 正在x边的中轴上，单直线y ＝3x正在第一象限内的图象通过OB面C ，则面B 的坐标是 A ．（1，3）B ．（3，1）C ．（2，23）D ．（23，2）【问案】：C ．24.(2013湖北孝感）如图，函数y =﹣x 与函数的图象相接于A ，B 二面，过A ，B 二面分别做y 轴的垂线，垂脚分别为面C ，D ．则四边形ACBD 的里积为A ．2 B ．4 C ． 6 D ．8 解问：解：∵过函数的图象上A ，B 二面分别做y 轴的垂线，垂脚分别为面C ，D ，∴S △AOC =S △ODB =|k |=2， 又∵OC =OD ，AC =BD ， ∴S △AOC =S △ODA =S △ODB =S △OBC =2， ∴四边形ABCD 的里积为：S △AOC +S △ODA +S △ODB +S △OBC =4×2=8． 故选D ．25.（2013四川内江）如图，反比率函数（x ＞0）的图象通过矩形OABC 对付角线的接面M ，分别于AB 、BC 接于面D 、E ，若四边形ODBE 的里积为9，则k 的值为A ． 1B ． 2C ．3 D ．4 解问：解：由题意得：E 、M 、D 位于反比率函数图象上，则S △OCE =，S △OAD =，过面M 做MG ⊥y 轴于面G ，做MN ⊥x 轴于面N ，则S □ONMG =|k |， 又∵M 为矩形ABCO 对付角线的接面， ∴S 矩形ABCO =4S □ONMG =4|k |，由于函数图象正在第一象限，k ＞0，则++9=4k ， 解得：k =3．故选C ．26.(2013四川乐山)如图，已知第一象限内的面A 正在反比率函数y = 2x的图象上，第二象限内的面B 正在反比率函数y = kx 的图象上，且OA ⊥0B ，cotA = 33，则k 的值为A ．－3B .－6C .－ 3D .－2 3 27.（2013贵州省黔东北州）如图，直线y =2x 与A 做单直线y =正在第一象限的接面为A ，过面AB ⊥x 轴于B ，将△ABO 绕面O 转动90°，得到△A ′B ′O ，则面A ′的坐标为A .()1,0B . ()1,0或者()1,0-C . ()2,0或者()0,2-D . ()2,1-或者()2,1-解问：解：联坐直线与反比率剖析式得：，消来y得到：x2=1，解得：x=1或者﹣1，∴y=2或者﹣2，∴A（1，2），即AB=2，OB=1，根据题意绘出相映的图形，如图所示，可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，根据图形得：面A′的坐标为（﹣2，1）或者（2，﹣1）．故选D．28. （2013•威海）如图，正在仄里直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比率函数的图象通过面A ，反比率函数的图象通过面B，则下列闭于m，n的闭系精确的是（）A．m=﹣3n B．m=﹣n C．m=﹣n D．m =n解问：解：过面B做BE⊥x轴于面E，过面A做AF⊥x轴于面F，设面B坐标为（a ，），面A的坐标为（b ，），∵∠OAB=30°，∴OA =OB，设面B坐标为（a ，），面A的坐标为（b ，），则OE=﹣a，BE =，OF=b，AF =，∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，∴∠OBE=∠AOF，又∵∠BEO=∠OF A=90°，∴△BOE∽△OAF ，∴==，即==，解得：m=﹣ab，n =，故可得：m=﹣3n．故选A．二、挖空题Oxy ABC1.（2010湖北武汉）如图，直线y ＝33x b -+与y 轴接于B ，C 二面A ，与单直线y ＝k x正在第一象限接于面面，且AB ⋅AC ＝4，则k ＝． 问案：32.（2010 祸修德化）如图，直线43y x =与单直线6ky x =（0x >）接于面A ．将直线43y x =背下仄移个接单位后，与单直线k y x=（0x >）接于面B ，与x 轴则于面C ，则C 面的坐标为___________；若2AO BC=，k =．【问案】（)0,29，12 3.（2010湖北衡阳）如图，已知单直线)0k (xk y ＞=通过直角三角形OAB 斜边OB 的中面D ，与直角边AB 相接于面C ．若△OBC 的里积为3， 则k ＝____________．【问案】24.（2011宁波市）如图，正圆形A 1B 1P 1P 2的顶面P 1、P 2正在反比率函数y ＝2x （x ＞0）的图像上，顶面A 1、B 1分别正在x 轴战y 轴的正半轴上，再正在其左侧做正圆形P 2P 3A 2B 2，顶面P 3正在反比率函数y ＝2x （x ＞0）的图象上，顶面A 3正在x 轴的正半轴上，则面P 3的坐标为 【问案】（3＋1，3－1）5.（2011安徽芜湖）如图，正在仄里直角坐标系中圆形有一正圆形AOBC ，反比率函数k y x=通过正AOBC 对付角线的接面，半径为（422）的圆内切xy第16题图BCEDoQ PA 于△ABC ，则k 的值为． 【问案】46.（2011湖北武汉市）如图，ABCD 的顶面A ，B 的坐标分别是A （－1，0），B （0，－2），顶面C ，四边D 正在单直线y =xk 上，边AD 接y 轴于面E ，且形BCDE 的里积是△ABE 里积的5倍，则k =_____． 【问案】127.（2011湖北孝感）如图，面A 正在单直线1yxC 、D 上，面B 正在单直线3yx上，且AB ∥x 轴，正在x 轴上，若四边形ABCD 的里积为矩形，则它的里积为. 【问案】28.（2011湖北荆州，16，4分）如图，单直线C，2(0)yx x通过四边形OABC 的顶面A 、∠ABC ＝90°，OC 仄分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻合后得到△AB＇C ，B ＇面降正在OA 上，则四边形OABC 的里积是. 【问案】29.（2012浙江温州）如图，已知动面A 正在函数AC ⊥y4=y x(x >o )的图象上，AB ⊥x 轴于面B ，轴于面C ，延少CA 至面D ，使AD =AB ，延少BA 至面Ｅ，使AE =AC .直线DE 分别接x 轴，y轴于面P ,Q .当QE ：DP =4:9时，图中的阳影部分的里积等xy第16题图HF BCEDoQ PA 于____________.如图，做EF ⊥y 轴，DH ⊥x 轴，由题意得： △QEF ∽△DHP ，∵QE ：DP =4:9设AC = a ,则AB =4a，49EF HP ,HP =94a ，∵△AED ∽△DHP ，∴424648==,==49934EA AD a a a a a DH HP a 得到：得：得：S 阳影=2218+2a a=413+3=33）10.（2012•聊乡）如图，正在直角坐标系中，正圆形的核心正在本面O ，且正圆形的一组对付边与x 轴仄止，面P （3a ，a ）是反比率函数y =（k ＞0）的图象上与正圆形的一个接面．若图中阳影部分的里积等于9，则那个反比率函数的剖析式为．解问： 解问：解：∵反比率函数的图象闭于本面对付称，∴阳影部分的里积战正佳为正圆形里积的，设正圆形的边少为b ，则b 2=9，解得b =6， ∵正圆形的核心正在本面O ， ∴直线AB 的剖析式为：x =3， ∵面P （3a ，a ）正在直线AB 上， ∴3a =3，解得a =1， ∴P （3，1）， ∵面P 正在反比率函数y =（k ＞0）的图象上， ∴k =3， ∴此反比率函数的剖析式为：y =． 故问案为：y =11.（2012•衢州）如图，已知函数y =2x 战函数的图象接于A 、B 二面，过面A 做AE ⊥x 轴于面E ，若△AOE 的里积为4，P 是坐标仄里上的面，且以面B 、O 、E 、P 为顶面的四边形是仄止四边形，则谦脚条件的P 面坐标是P 1（0，﹣4）P 2（﹣4，﹣4）P 3（4，4）解问：解：如图∵△AOE 的里积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8，∵函数y=2x战函数的图象接于A、B二面，∴A、B二面的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以面B、O、E、P为顶面的仄止四边形公有3个，∴谦脚条件的P面有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．故问案为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．12.(2012苦肃兰州)如图，M为单直线y＝3x上的一面，过面M做x轴、y轴的垂线，分别接直线y＝－x＋m于面D、C 二面，若直线y＝－x＋m与y轴接于面A，与x 轴相接于面B，则AD•BC的值为．解问：解：做CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，对付于y＝－x＋m，令x＝0，则y＝m；令y＝0，－x＋m＝0，解得x＝m，∴A(0，m)，B(m，0)，∴△OAB等腰直角三角形，∴△ADF战△CEB皆是等腰直角三角形，设M的坐标为(a，b)，则ab＝，CE＝b，DF＝a，∴AD＝DF＝a，BC＝CE＝b，∴AD•BC＝a•b＝2ab＝2．故问案为2．13.（2012.深圳）如图，单直线ky(k0)x=>与⊙O正在第一象限内接于P、Q二面，分别过P、Q二面背x轴战y轴做垂线，已知面P坐标为(1，3)，则图中阳影部分的里积为．【问案】4.【分解】∵⊙O正在第一象限闭于y=x对付称，ky(k0)x=>也闭于y=x对付称，P面坐标是（1，3），∴Q面的坐标是（3，1），∴S阳影=1×3+1×3－2×1×1=4.14.(2012•扬州)如图，单直线y ＝通过Rt △OMN 斜边上的面A ，与直角边MN 相接于面B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的里积为5，则k 的值是 12 ．解问： 过A 面做AC ⊥x 轴于面C ，如图，则AC ∥NM ，∴△OAC ∽△ONM ，∴OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON ，而OA ＝2AN ，即OA ：ON ＝2：3，设A 面坐标为(a ，b )，则OC ＝a ，AC ＝b ， ∴OM ＝a ，NM ＝b ，∴N 面坐标为(a ，b )， ∴面B 的横坐标为a ，设B 面的纵坐标为y ， ∵面A 与面B 皆正在y ＝图象上，∴k ＝ab ＝a •y ， ∴y ＝b ，即B 面坐标为(a ，b )，∵OA ＝2AN ，△OAB 的里积为5，∴△NAB 的里积为， ∴△ONB 的里积＝5＋＝，∴NB •OM ＝，即×(b －b )×a ＝，∴ab ＝12，∴k ＝12．故问案为12．15.（2012武汉）如图，面A 正在单直线y =的第一象限的那一收上，AB 笔直于x 轴与面B ，面C 正在x 轴正半轴上，且OC =2AB ，面E 正在线段AC 上，且AE =3EC ，面D 为OB 的中面，若△ADE 的里积为3，则k 的值为．解问：解：连DC ，如图，∵AE =3EC ，△ADE 的里积为3，∴△CDE 的里积为1， ∴△ADC 的里积为4，设A 面坐标为（a ，b ），则AB =a ，OC =2AB =2a ，而面D 为OB 的中面，∴BD =OD =b ，∵S 梯形OBAC =S △ABO +S △ADC +S △ODC ，∴（a +2a ）×b =a ×b +4+×2a ×b ，∴ab =，C把A （a ，b ）代进单直线y =，∴k =ab =．16.(2012成皆)如图，正在仄里直角坐标系xOy中，直线AB 与x 轴、y 轴分别接于面A ，B ， 的与反比率函数k y x=(k 为常数，且0k >)正在第一象限图象接于面E ，F ．过面E 做EM ⊥y 轴于M ，过面F 做FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 接于面C ．若BE 1BF m=(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的里积为1S ，△OEF 的里积为2S ，则12S S =________． (用含m 的代数式表示)问案：11mm （k 的几许意思，线段比的转移，里积的几种供法） 17.（2013湖北黄冈）已知反比率函数y ＝6x正在第一象限的图象如图所示，面A 正在其图象上，面B 为x 轴正半轴上一面，对接AO 、AB ，且AO ＝AB ，则S △AOB ＝．【问案】6．【剖析】如下图，过面A 做AC ⊥OB于面C ，∵AO ＝AB ，∴OC ＝BC ．而AC ＝AC ，AO ＝AB ，∴△AOC ≌△ABC ．∴S △AOC ＝S △ABC ．设面A 的坐标为(x ，y )(x ＞0，y ＞0)，则xy ＝6，AC ＝y ，OC ＝x ，∴S △AOB ＝2S △AOC ＝6．＝2×12×OC ·AC ＝xy18.（2013四川宜宾）如图，直线x y 34=与单直线)0(>=x xk y 接于面A ，将直线x y 34=背左仄移29个单位后，与单直线)0(>=x xk y 接于面B ，与x 轴接于面C ，若2=BCAO，则k =．【问案】12．【剖析】最先供出仄移后直线的剖析式，而后直线x y 34=与单直线)0(>=x x ky 二剖析式联坐圆程组供出面A 的纵坐标，仄移后的直线剖析式x y 34=－6与单直线)0(>=x xky 二剖析式联坐圆程组，供出面B 的纵坐标，根据相似三角形对付应边成比率的本量可得A 、B 的纵坐目标比等于AO ：BC ，而后列出圆程供解即可．19.（2013四川泸州）如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 正在函数()10y x x=>的图像上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆皆是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……1A A n n -皆正在x 轴上（n 是大于或者等于2的正整数），则面3P 的坐标是；面n P 的坐标是（用含n 的式子表示）． 【问案】；【剖析】过面P 1做P 1E ⊥x 轴于面E ，过面P 2做P 2F ⊥x 轴于面F ，过面P 3做P 3G ⊥x 轴于面G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3皆是等腰直角三角形，可供出P 1，P 2，P 3的坐标，进而归纳出普遍顺序得出面P n 的坐标．21.（2013山东日照）如左图，直线AB 接单直线xk y =于Ａ、B ，接x 轴于面C ,B 为线段AC 的中面，过面B 做BM ⊥x 轴于M ，连结OA .若OM =2MC ,S ⊿OAC =12.则k 的值为___________. 【问案】8【剖析】过面A 做AD ⊥x 轴于面D ,则△ADO 的里积为21k ,∵BM ⊥x 轴,∴AD ∥BM , ∵B 为线段AC 的中面，∴BM 为△ADC 的中位线，∴DM =MC , ∵OM =2MC , ∴OD =DM =MC . ∴S ⊿OAC =3S ⊿OAD ,=12=k 23，∴k =8.22.（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶面A正在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比率函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC接于面D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，面E的坐标为．【问案】．（，）．【剖析】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比率函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC接于面D，E，∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），∴易供直线AB的剖析式是：y=x+2﹣a．又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA=90°，∴直线y=x与直线DE笔直，∴面D、E闭于直线y=x对付称，则=，即ab=3．又∵面D正在直线AB上，∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，解得，a=，∴面E的坐标是（，）．23.（2013•自贡）如图，正在函数的图象上有面P1、P2、P3…、P n、P n+1，面P1的横坐标为2，且后里每个面的横坐标与它前里相邻面的横坐目标好皆是2，过面P1、P2、P3…、P n、P n +1分别做x 轴、y 轴的垂线段，形成若搞个矩形，如图所示，将图中阳影部分的里积从左至左依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1= 4 ，S n =．（用含n 的代数式表示）解问： 解：当x =2时，P 1的纵坐标为4，当x =4时，P 2的纵坐标为2，当x =6时，P 3的纵坐标为， 当x =8时，P 4的纵坐标为1， 当x =10时，P 5的纵坐标为：， 则S 1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]； S 2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]； S 3=2×（﹣1）=2×=2[﹣]；Sn =2[﹣]=；故问案为：4，．24.（2013•遵义）如图，已知直线y =x 与单直线y =（k ＞0）接于A 、B 二面，面B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为单直线y =（k ＞0）上一面，且正在第一象限内，若△AOC 的里积为6，则面C 的坐标为（2，4）．解问：解：∵面B （﹣4，﹣2）正在单直线y =上，∴=﹣2，∴k =8，根据核心对付称性，面A 、B 闭于本面对付称，所以，A （4，2）， 如图，过面A 做AE ⊥x 轴于E ，过面C 做CF ⊥x 轴于F ，设面C 的坐标为（a ，），则S △AOC =S △COF +S 梯形ACFE ﹣S △AOE =×8+×（2+）（4﹣a ）﹣×8，=4+﹣4，=，∵△AOC 的里积为6，∴=6，整治得，a 2+6a ﹣16=0，解得a 1=2，a 2=﹣8（舍来），∴==4，∴面C 的坐标为（2，4）．故问案为：（2，4）．25.(2013年武汉)如图，已知四边形ABCD 是仄止四边形，BC ＝2AB ，A ，B 二面的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 二面正在反比率函数)0(<=x xk y 的图象上，则k 的值等于．问案：－12剖析：如图，过C 、D 二面做x 轴的垂线，垂脚为F 、G ，CG 接AD 于M 面，过D 面做DH ⊥CG ，垂脚为H ，∵CD ∥AB ，CD =AB ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ）， ∴DH =AO =1，CH =OB =2，设C （m ，n ），D （m －1，n－2），则mn ＝（m －1）（n －2）=k ，解得n =2－2m ， 设直线BC 剖析式为y =ax +b ，将B 、C 二面坐标代进得2b n am b =⎧⎨=+⎩，又n =2－2m ，＝BC ＝22(2)m n +-＝25m ，AB ＝5，果为BC2AB ，解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－12 26.(咸宁)如图，一次函数y ax b =+的图像与x 轴、y 相接轴接于A B 、二面，与反比率函数k y x=的图象于C D 、二面，分别过C D 、二面做y 轴、x 轴的垂线，垂脚为E F 、，对接CF DE 、.有以下四个论断：①CEF DEF S S ∆∆=；②AOB FOE ∆∆∽；③DCE CDF ∆∆≌；FED CB A o xyyx第15题图DCBAO④AC BD =.其中精确的论断是 . 三、解问题)0(＞k xky =1.(2010兰州) 如图，P 1是反比率函数正在第一象限图像上的一面，面A 1的坐标为(2，0)．（1）当面P 1的横坐标渐渐删大时，△P 1OA 1的里积 将怎么样变更？（2）若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，供此反比率函数的剖析式及A 2面的坐标．2.（2010内受呼战浩特）正在仄里直角坐标系中，函数y ＝m x（x ＞0，m是常数）的图像经过面A （1，4）、面B （a ，b ），其中a ＞1.过面A 做x 中的垂线，垂脚为C ，过面B 做y 轴的垂线，垂脚为D ，AC 与BD 相接于面M ，连结AD 、DC 、CB与AB .（1）供m 的值；（2）供证：DC ∥AB ；（3）当AD ＝BC 时，供直线AB 的函数剖析式.【问案】解：（1）∵面A （1，4）正在函数y ＝m x的图像上，∴4＝1m ，得m ＝4.……………………………2分（2）∵面B （a ，b ）正在函数y ＝m x的图像上，∴ab ＝4.又∵AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D 接AC 于M ，∴AC ⊥BD 于M ∴M （1，b ），D （0，b ），C （1，0） ∴tan ∠BAC ＝BM AM＝14a b--＝1a ab b--＝1b，tan ∠DCM ＝DM MC＝1b……………4分∴tan ∠BAC ＝tan ∠DCM ， 所以钝角∠BAC＝∠DCM，DC ∥AB………………………………………………6分（3）设直线AB 的剖析式为y ＝kx ＋b∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是仄止四边形或者等腰梯形.①四边形ABCD 是仄止四边形时，AC 与BD 互相仄分，又∵AC ⊥BD ，∴B （2，2）∴422k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的剖析式为：y ＝－2x ＋6.………………8分 ②当四边形ABCD 是等腰梯形时， BD 与AC 相等且笔直，∵AC ＝BD ＝4， ∴B （4，1）∴共理可供直线AB 的剖析式为y ＝－x ＋5.…………………10分3.（2010年祸修省泉州）咱们简单创造：反比率函数的图象是一个核心对付称图形.您不妨利用那一论断办理问题.如图，正在共背来角坐标系中，正比率函数的图象不妨瞅做是：将x 轴地圆的直线绕着本面O 顺时针转动α度角后的图形.若它与反比率函数xy 3=的图象分别接于第一、三象限的面B 、D ，已知面)0,(m A -、)0,(m C .（1）间接推断并挖写：不管α与何值，四边形ABCD 的形状一定是; （2）①当面B 为)1,(p 时，四边形ABCD 是矩形，试供p 、α、战m 有值；②瞅察预测：对付①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的面B 公有几个？(不必道理)（3）试商量：四边形ABCD 能不克不迭是菱形？若能, 间接写出B 面的坐标, 若不克不迭, 道明缘由. 【问案】解：（1）仄止四边形…………（3分）（2）①∵面)1,(p B 正在x y 3=的图象上，∴p31=∴3=p ………………………………（4分）过B 做E x BE 轴于⊥，则13==，BE OE 正在BOE Rt ∆中，3331tan ===OEBE α α=30° ∴2=OB又∵面B 、D 是正比率函数与反比率函数图象的接面， ∴面B 、D 闭于本面O 成核心对付称∴OB =OD =2 ∵四边形ABCD 为矩形，且)0,(m A -)0,(m C ∴2====OD OC OB OA ∴2=m ；②能使四边形ABCD 为矩形的面B 公有2个； （3）四边形ABCD 不克不迭是菱形.法一：∵面A 、C 的坐标分别为)0,(m -、)0,(m ∴四边形ABCD 的对付角线AC 正在x 轴上.又∵面B 、D 分别是正比率函数与反比率函数正在第一、三象限的接面.∴对付角线AC 与BD 不可能笔直. ∴四边形ABCD 不克不迭是菱形法二：若四边形ABCD 为菱形，则对付角线AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相仄分，果为面A 、C 的坐标分别为（－m ，0）、（m ，0）所以面A 、C 闭于本面O 对付称，且AC 正在x 轴上. 所以BD 应正在y 轴上，那与“面B 、D 分别正在第一、三象限”冲突，所以四边形ABCD 不可能为菱形.4.（2010广西柳州）如图，过面P (－4，3)做x 轴、y 轴的垂线，分别接x 轴、y 轴于A 、B 二面，接单直线xk y =（k ≥2）于E 、F 二面．（1）面E 的坐标是________，面F 的坐标是________；（均用含k 的式子表示）（2）推断EF 与AB 的位子闭系，并道明您的论断；（3）记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是可有最小值？若有，供出其最小值；若不，请道明缘由．解：（1）E （－4，－4k ），F （3k ，3） ……3分（2）（证法一）论断：EF ∥AB道明：∵P （－4，3）∴E （－4，－4k ），F （3k ，3），即得：PE =3+4k ，PF =3k +4 …∵1212433+=+=k k PEPA ，1212344+=+=k kPFPB ∠APB =∠EPF ∴△P AB ∽△PEF ∴∠P AB =∠PEF ∴EF ∥AB （证法二）论断：EF ∥AB道明：∵P （－4，3）∴E （－4，－4k ），F （3k ，3），即得：PE =3+4k ，PF =3k +4 …正在Rt △P AB 中，tan ∠P AB =34=PAPB正在Rt △PEF 中，tan ∠PEF =344343=++=k k PEPF ∴tan ∠P AB =tan ∠PEF∴∠P AB =∠PEF ∴ EF ∥AB（3）（要领一）S 有最小值 ∵k S S S S FBO EAO PAOB PEDF +=++=∆∆12矩形四边形 ∴k S S S S PEF PEF PEDF EOF +-=-=∆∆∆12四边形由（2）知，)43)(43(2121++=⋅⋅=∆k k PF PE S PEF∴S =k S S S PEF OEF PEF --=-∆∆∆122=3)6(1211222-+=+k k k 又∵k ≥2，此时S 的值随k 值删大而删大，∴当k =2时，37=最小S ∴S 的最小值是37（要领二）S 有最小值．分别过面E 、F 做PF 、PE 的仄止线，接面为P ′．由（2）知，P ′⎪⎭⎫⎝⎛-43k k ， ∵四边形PEP ′为矩形，∴S △P ′EF = S △PEF∴S =S △PEF － S △OEF = S △P ′EF － S △OEF = S △OME +S 矩形OMP ′N + S △ONF=21222k k k ++=22k +k =3)6(1212-+k 又∵k ≥2，此时S 的值随k 值删大而删大， ∴当k =2时，S 最小=37∴S 的最小值是37．5.（2010 四川绵阳）如图，已知正比率函数y = ax （a ≠0）的图象与反比1，2－率函致xk y =（k ≠0）的图象的一个接面为A （－k 2），另—个接面为B ，且A 、B 闭于本面O 对付称，D 为OB 的中面，过面D 的线段OB 的笔直仄分线与x 轴、y 轴分别接于C 、E ．（1）写出反比率函数战正比率函数的剖析式；（2）试估计△COE 的里积是△ODE 里积的几倍．【问案】（1）由图知k ＞0，a ＞0．∵面A （－1，2－k 2）正在xk y =图象上，∴ 2－k 2 =－k ，即k 2－k －2 = 0，解得k = 2（k =－1舍来），得反比率函数为xy 2=．此时A （－1，－2），代人y = ax ，解得a = 2，∴正比率函数为y = 2x ．（2）过面B 做BF ⊥x 轴于F ．∵A （－1，－2）与B 闭于本面对付称，∴B （1，2），即OF = 1，BF = 2，得OB =5．由图，易知Rt △OBF ∽Rt △OCD ，∴OB : OC = OF : OD ，而OD = OB ∕2 =5∕2，∴OC = OB · OD ∕OF ．由Rt △COE ∽Rt △ODE 得5)5225()(22=⨯==∆∆OD OC S SODECOE， 所以△COE 的里积是△ODE 里积的5倍． 7.（2010湖北荆州）已知：闭于x 的一元二次圆程()01222=+-+k x k x 的二根21,x x 谦脚02221=-x x ，单直线xk y 4=(x ＞0)通过Rt △OAB 斜边OB 的中面D ，与直角边AB 接于C （如图），供OBC △S ． 【问案】解：()01222=+-+k x k x 有二根 ∴()041222≥--=∆k k 即41≤k由02221=-x x 得：()()02121=+-x x x x当021=+x x 时，()012=--k 解得21=k ，分歧题意，舍来当021=-x x 时，21x x =，()041222=--=∆k k 解得：41=k 切合题意∴单直线的剖析式为：xy 1=过D 做DE ⊥OA 于E ，则21121S S OCA ODE =⨯==∆∆ ∵DE ⊥OA ，BA ⊥OA∴DE ∥AB ∴△ODE ∽△OBA∴42=⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆OD OB S S ODE OBA ∴2214=⨯=∆OBA S∴23212=-=-=∆∆∆OCA OBA OBCS S S 8．（2010北京）已知反比率函数y = k x的图像通过面A （—3，1）（1）试决定此反比率函数的剖析式．（2）面O 是坐标本面，将线段OA 绕面O 顺时针转动30°得到线段OB ，推断面B 是可正在反比率函数的图像上，并道明缘由．（3）已知面P （m ，3m +6）也正在此反比率函数的图像上（其中m＜0），过p 面做x 轴的的垂线，接x 轴于面M ，若线段PM 上存留一面Q ，使得△OQM 的里积是12，设Q 面的纵坐标为n ，供n 2－23n +q 的值．【问案】解：（1）由题意德 1=13-解得k = －3∴反比率函数的剖析式为y = 3x-（2）过面A 做x 轴的垂线接x 轴于面C ，正在Rt △AOC 中，OC =3，AC =1可得OA =22OC AC +=2，∠AOC =30°由题意，∠AOC =30°，OB =OA =2，∴∠BOC =60°过面B 搞x 轴的垂线接x 轴于面D ，正在Rt △BOD 中，可得，BD =3，OD =1∴面B 坐标（－1，3）将x =－1代进y = 3x-中，得y =3．∴面B （－1y = x-的图像上．（3）由y =xy =∵面P （m ，+6）正在反比率函数的y = 的图像上，m ＜0 ∴m+6 ）=210m ++=∵PQ ⊥x 轴∴Q 面的坐标（m ，n ） ∵△OQM 的里积为12∴12OM .QM =12∵m ＜0 ∴m .n =－1 ∴22220m nn ++=∴21n -=-∴298n ++=．9.（2011广东广州市）已知Rt △ABC 的斜边AB 正在仄里直角坐标系的x 轴上，面C （1，3）正在反比率函数y = k x 的图象上，且sin ∠BAC = 35．（1）供k 的值战边AC 的少； （2）供面B 的坐标．【问案】（1）把C （1，3）代进y = kx 得k =3设斜边AB 上的下为CD ，则sin ∠BAC =CD AC =35∵C （1，3）∴CD =3，∴AC =5（2）分二种情况，当面B 正在面A 左侧时，如图1有： AD =52－32=4，AO =4－1=3∵△ACD ∽ABC ∴AC 2=AD ·AB ∴AB =AC 2AD =254∴OB =AB －AO =254－3=134此时B 面坐标为（134，0）。
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中考反比例函数压轴题精选一．选择题（共15小题）1．（2015•朝阳）如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF=；④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x ＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）A．8 B．10 C．3D．43．（2014•盐城）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l 为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．4．（2013•沙坪坝区校级模拟）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．（2013•杭州模拟）如图，点M是反比例函数y=在第一象限内图象上的点，作MB⊥x 轴于点B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1=A1M，△A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2=A2M，△A2C2B的面积记为S2；则S1：S2等于（）A．2：1 B．：1 C．：1 D．3：16．（2012•杭州校级一模）一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，DAC与BD交于点K，连接CD．对于下述结论：①S四边形AEDK=S四边形CFBK；②AN=BM．③AB∥CD；不论点A，B在反比例函数的图象的同一分支上（如图1）；还是点A，B 分别在反比例函数的图象的不同分支上（如图2），都正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（2012•如东县校级三模）如图，▱ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），顶点C，D在双曲线上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE 面积的5倍，则k的值等于（）A．12 B．10 C．8 D．68．（2011•乐山）如图，直线y=6﹣x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P 作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F．则AF•BE=（）A．8 B．6 C．4 D．9．（2011•眉山）如图，直线y=﹣x+b（b＞0）与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：①OA=OB②△AOM≌△BON③若∠AOB=45°，则S△AOB=k④当AB=时，ON﹣BN=1；其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2011•化州市二模）如图，两个反比例函数和（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，下列说法正确的是（）①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积等于k2﹣k1；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．A．①②B．①②④ C．①④D．①③④11．（2011•如皋市一模）如图，直线y=k和双曲线相交于点P，过点P作PA0垂直于x 轴，垂足为A0，x轴上的点A0，A1，A2，…A n的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…A n：分别作x轴的垂线，与双曲线（k＞0）及直线y=k分别交于点B1，B2，…B n和点C1，C2，…C n，则的值为（）A．B．C．D．12．（2011•诸城市校级模拟）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中，正确的结论有（）A．1 B．2 C．3 D．413．（2011•监利县校级模拟）如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA=（n≥2的自然数）；当n=2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a2，a3，a4，…，a2010，则=（）A．B．2021054 C．2022060 D．14．（2010•黄石）如图，反比例函数（k＞0）与一次函数的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（）A．k=，b=2 B．k=，b=1 C．k=，b=D．k=，b=15．（2010•泰兴市校级一模）如图，点A是双曲线y=（k＞0，x＞0）上一动点，AD⊥y轴于D，延长AD交双曲线y=﹣（x＜0）于点B，BC∥y轴交x轴于E，交AO的延长线于点C，则下列说法正确的个数是（）①当k=1时，四边形AOEB的面积是4.5；②当△EOC的面积是4时，k=2；③当k一定时，BD：AD的值一定；④当点A离原点O最近时，且AO=OC，则OB=2．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共15小题）16．（2015•宁波）如图，已知点A，C在反比例函数y=（a＞0）的图象上，点B，D在反比例函数y=（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值是．17．（2015•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为．18．（2015•贵港）如图，已知点A1，A2，…，A n均在直线y=x﹣1上，点B1，B2，…，B n 均在双曲线y=﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，A nB n⊥x轴，B n A n+1⊥y轴，…，记点A n的横坐标为a n（n为正整数）．若a1=﹣1，则a2015=．19．（2015•黔南州）如图，函数y=﹣x的图象是二、四象限的角平分线，将y=﹣x的图象以点O为中心旋转90°与函数y=的图象交于点A，再将y=﹣x的图象向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为．20．（2015•丽水）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．（1）k的值为．（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是．21．（2015•盘锦）如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x 轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=．22．（2015•杭州模拟）线段OA=2（O为坐标原点），点A在x轴的正半轴上．现将线段OA 绕点O逆时针旋转α度，且0＜α＜90．①当α等于时，点A落在双曲线上；②在旋转过程中若点A能落在双曲线上，则k的取值范围是．23．（2015•杭州模拟）如图1，点A在第一象限，AB⊥x轴于B点，连结OA，将Rt△AOB 折叠，使A点与x轴上的动点A′重合，折痕交AB边于D点，交斜边OA于E点，（1）若A点的坐标为（8，6），当EA'∥AB时，点A'的坐标是；（2）若A'与原点O重合，OA=8，双曲线的图象恰好经过D、E两点（如图2），则k=．24．（2014•聊城）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，A n，分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…P n，再分别过P2，P3，P4，…P n作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，P n B n﹣1⊥A n﹣1P n ，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，B n﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，P n﹣1P n，得到一﹣1组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△P n﹣1B n﹣1P n，则Rt△P n﹣1B n﹣1P n的面积为．25．（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k=4，则△OEF的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG=，则k=1．其中正确的命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．26．（2014•云阳县校级模拟）如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是．27．（2014•元宝区校级二模）如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为．28．（2014•乌海模拟）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为．29．（2014•武侯区一模）已知双曲线y=与直线y=x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是．30．（2013•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…记点A n的横坐标为a n，若a1=2，则a2=，a2013=；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是．中考反比例函数压轴题精选参考答案一．选择题（共15小题）1．C；2．B；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．A；9．D；10．C；11．C； 12．C； 13．B； 14．D； 15．C；二．填空题（共15小题）16．6；17．6+2；18．2；19．（2，0）；20．2；（2，-）； 21．2；22．30°或60°；0＜k≤2；23．（5，0）；； 24．；25．②④； 26．；27．2；28．y=-；29．1；30．-；-；0、-1；。