北京市海淀区2019届高三一模数学(文)试题及答案

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2019年海淀高三一模文数试卷及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2019.04阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.C 8.B 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.110.6,411.4812.(1,2)-（答案不唯一）13.,214.2,[0,)+∞三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（共13分）解：（I）因为522a a +=，2d =所以11252102a d a +=+=，所以14a =-所以26n a n =-(II)21()52m m a amS m m+==-又912a =，1524a =因为915,,m S a a 是等比数列，所以2915()m a S a =所以2560m m --=6,1m m ==-因为*m ∈N ，所以6m =16.（共13分）解：（Ⅰ）π(0))cos014f a =+=212a +=所以1a =-（Ⅱ）()cos()cos 14f x x x π=--(2sin 2cos )cos 1x x x =+-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+π4x =+由图象得0ππ242x +=所以0π8x =函数()f x 的单调增区间为31(ππ,ππ)88k k -+，k ∈Z17.（共14分）解：（I）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB又因为,D E 分别为1111,A C B C 的中点，所以DE 11A B 于是DE ABAB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF所以AB 平面DEF(II)在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC⊥又AC BC⊥1BC CC C = ，1,BC CC ⊂平面11C BC B 所以AC ⊥平面11C BC B EF ⊂平面11C BC B 所以AC EF⊥又因为12BC CC ==，1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC 所以1EF CB ⊥，又1AC CB C = ，1,AC CB ⊂平面1ACB 所以EF ⊥平面1ACB 又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF （Ⅲ）1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅=18.（共13分）解：(Ⅰ)人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ)设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则3()10P A =（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1234,,,a a a a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即12,a a 从4个地区中任取2个地区共有6种情况，()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，()()()()()1213142324,,,,,,,,,a a a a a a a a a a 则5()6P B =19．（共13分）解：（Ⅰ）当6,0a x =>时，3215()6132f x x x x =-+-所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x (0,2)2(2,3)3(3,)+∞'()f x +0-0+()f x 极大值极小值所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)(Ⅱ)当0a <时，若0x <，则3215()132f x x x ax =---，所以2'()5(5)f x x x a x x a=--=--因为0,0x a <<，所以'()0f x >若0x >，则3215()132f x x x ax =-+-，所以2'()5f x x x a=-+令'()0,f x =2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x (,0)-∞02(0,)x 2x 2(,)x +∞'()f x +无定义-0+()f x 极大值极小值因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值20.（共13分）解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c=又222b c a +=所以b c ==，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一：设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m y k x +1AM MP k k ⋅=-22112142m m m m m m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩0m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二：设(,)m m M x y ，因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上，又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219(24x y ++=222219(142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0m mx y =⎧⎪⎨=⎪⎩，20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+，其中0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得224M k x -=+，2421M k y k =+显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=241MP k k k k k+=--+1k =-得212k =，2k =±，0M x =所以2M AM +（Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+，则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+，令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my +121122112232635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--，直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+--12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+--令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==，所以直线NQ 恒过定点(2,0).。

北京市海淀区2019届高三期中练习一模数学文试题解析版

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）本试卷共 4 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题国要求的一项。

(1) 已知会合P x 0x 2，且 M P ，则 M 能够是(A)0,1(B)13，(C)1,1 (D) 0,5答案：A考点：会合的运算。

分析：依题意， M是 P 的子集，只有 A 切合。

(2) 若x0是函数f ( x)log 2 x 1的零点，则x(A) 1 x00(B)0 x0 1(C) 1 x0 2 (D) 2 x0 4答案：C考点：函数的零点。

分析：由于 f （ 1）＝－ 1， f （2）＝1，即 f （ 1）?f （ 2）＜ 0，2所以，函数在（ 1,2）内有零点，所以， 1 x02(3 若角的终边在第二象限，则以下三角函数值中大于零的是(A)sin( + )(B)co s( + )(C)sin()(D)co s()22答案：D考点：三角函数的符号、引诱公式。

分析：角的终边在第二象限， sin( +) ＝cos＜ 0， A 不符；2co s( +)＝sin＜0， B 不符；2sin() ＝sin＜ 0， C 不符；cos() ＝ co s＞0，所以， D 正确。

(4)已知 a b ，则以下结论中正确的选项是(A) c 0,a b c(B) c 0,a b c(C) c 0,a b c(D) c 0,a b c答案：D考点：不等式的性质。

分析：（A）不必定建立，如 a＝ 1，b＝ 10，c＝－ 1，a b c 不建立；（ B）也不必定建立，如 a＝， b＝ 10， c＝－ 1，a b c不建立；（ C）不建立，由于a b ， c0，所以， a b c 恒建立，所以（D）必正确(5) 抛物线W : y24x 的焦点为 F ，点 A 在抛物线形上，且点 A 到直线x 3 的距离是线段AF 长度的2倍，则线段 AF 的长度为(A)1 (B)2 (C)3(D)4答案：B考点：抛物线的性质。

北京市海淀区2019-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科共9页

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 (文科) 2019.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240o的值为A ．12-B ． 12C． D2. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥车速O40506070800.0100.0350.030a频率组距正视图左视图俯视图8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________. 10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且2a =，求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率. 17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形，AC BD O =I ，侧棱1AA ⊥BD,点F 为1DC 的中点．（I ）证明：//OF 平面11BCC B ；（II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,af x x x=++其中0a >. （I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值；（II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =L *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.A BC1B 1C 1A D F1D O（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参考 2019．1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分）解：（I ）Θx x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分 )(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3sin(=+∴πA , ...............................7分3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+= 得到3A π= . ...............................9分,23b a =Θ且Bb A a sin sin = , ....................................10分sin bB =, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0Θ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分（II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 2223121323{,}, {,},{,},{,},{,}a b a b b b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ）Θ四边形ABCD 为菱形且AC BD O =I ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分（II ）Θ四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =I 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD Θ平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分（II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分....................................10分综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+；当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=o ，所以120DOC ∠=o . ............................................4分所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分（II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ，依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ，代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6ty x =+得，212272224(2)63636t t t y t t -=+=++. ..................................9分同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24ty x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，代入(2)2ty x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分所以MQ NQ k k =，所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分 20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分（Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈，都有1212t t x x -=- ；因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2019年最新(统考)北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)及答案解析

北京市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}2．圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=13．执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．B．C．D．36．在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上D．点D在CB的延长线上7．若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a= ．10．已知等比数列{a n}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q= ，其前4项和S4= ．11．若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p= ．12．若x，y满足则的最大值是．13．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω=，a的最小值是．14．阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为，你的理由是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+a n+1}的前n项和．16．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地有a，b两种“共享单车”（以下简称a型车，b型车）．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a型车．，b两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计4月该地区租用两种车型的用户比例．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=e x﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=e x﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，则集合A∩B={x|2＜x＜3}．故选：A．2．圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1故圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，故选：C3．执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，y=5不满足条件=，执行循环体，x=1，y=4不满足条件=，执行循环体，x=2，y=2满足条件=，退出循环，输出x的值为2．故选：C．4．若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】据a，b的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．【解答】解：设f（x）=x+lnx，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞b，∴f（a）＞f（b），∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb”，∴f（a）＞f（b），∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论．【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为=，故选B．6．在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上D．点D在CB的延长线上【考点】向量的三角形法则．【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD′，这样便可说明点D和点D′重合，从而得出点D在CB的延长线上．【解答】解：==；如图，作，连接AD′，则：=；∴D′和D重合；∴点D在CB的延长线上．故选D．7．若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，讨论x≤a和x＞a时，f（x）∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数的值域为[﹣1，1]，当x≤a时，f（x）=cosx∈[﹣1，1]，满足题意；当x＞a时，f（x）=∈[﹣1，1]，应满足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．【解答】解：因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”．把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关故选C．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a= 2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z=a（1+i）﹣2=a﹣2+ai为纯虚数，∴a﹣2=0，a≠0，则实数a=2故答案为：2．10．已知等比数列{a n}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q= 2 ，其前4项和S4= 15 ．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3，=8，解得a2，q，利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a4=a5，a4=8，∴q2=a2q3，=8，解得a2=q=2．∴a1=1．其前4项和S4==15．故答案为：2，15．11．若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p= 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），即可求出p．【解答】解：因为抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，∴p＞0，所以抛物线的准线为x=﹣，依题意，直线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），所以p=4故答案为：4．12．若x，y满足则的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：则的几何意义表示平面区域内的点与点（0，0）的斜率的最大值，由解得A（1，）显然过A时，斜率最大，最大值是，故答案为：．13．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω= 2 ，a的最小值是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公式求ω，然后由图象过的已知点求出a．【解答】解：由已知函数图象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f（x+a））=sinω（x+a）且（，1）在图象上，所以sin2（+a）=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0时a的最小值为；故答案为：2；．14．阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为①，你的理由是数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．【考点】收集数据的方法．【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论【解答】解：选①，理由为：数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．故答案为：①；数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+a n+1}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．（II）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，因为a1+a2=6，a2+a3=10，所以a3﹣a1=4，所以2d=4，d=2．又a1+a1+d=6，所以a1=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n．（Ⅱ）记b n=a n+a n+1，所以b n=2n+2（n+1）=4n+2，又b n+1﹣b n=4（n+1）+2﹣4n﹣2=4，所以{b n}是首项为6，公差为4的等差数列，其前n项和．16．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地有a，b两种“共享单车”（以下简称a型车，b型车）．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a型车．，b两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计4月该地区租用两种车型的用户比例．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”．利用列举法能求出抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b 型车的比例为50%40%+50%50%=45%，由此能同市场4月租用a，b型车的用户比例．【解答】解：（Ⅰ）依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”．如下列表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件发生共有3种情况，所以事件A概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，所以市场4月租用a，b型车的用户比例为．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得，即可证明：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为A=2B，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB．（Ⅱ）解：由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，因为b=2，c=4，A=2B，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因为A+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB∥平面FAC．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA为棱锥P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出结果．（Ⅲ）推导出AD⊥PB，AE⊥PB，从而PB⊥平面EAD，进而OF⊥平面EAD，由此能证明平面EAD⊥平面FAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，所以OF∥PB，又因为OF⊂平面FAC，PB⊄平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P﹣ABD的高．因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因为E为PB中点，所以S△PAE=S△ABE，所以．证明：（Ⅲ）因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE⊂平面EAD，AD⊂平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以OF⊥平面EAD，又OF⊂平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又，b2=a2﹣c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，，．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，可得，解得x1，代入椭圆方程，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又因为，所以c=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，所以，所以．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，则有，所以|BH|=1，所以H（1，0），所以x1=1，代入椭圆方程，求得，所以P（4，±3）．20．已知函数f（x）=e x﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=e x﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a的方程，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出g（x）的导数，可得单调区间和极值，且为最值；（Ⅲ）显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，运用零点存在定理可得g（x）的零点范围，可设g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．讨论x＜0时，0＜x＜x0时，x＞x0时，g（x）的符号，可得f（x）的极值，进而得到f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x﹣x2+ax的导数为：f′（x）=e x﹣2x+a，由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=﹣1．（Ⅱ）g'（x）=e x﹣2，令g'（x）=0，得x=ln2，所以x，g'（x），g（x）的变化情况如表所示：．（Ⅲ）证明：显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．又g（ln2）＜0，g（2）=e2﹣5＞0，由零点存在性定理，存在唯一实数x0∈（ln2，2），满足g（x0）=0，即，，综上，g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．所以x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；0＜x＜x0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；x＞x0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以f（0）是极大值，f（x0）是极小值，，因为g（1）=e﹣3＜0，，所以，所以f（x0）＞0，因此x≥0时，f（x）＞0．因为f（0）=1且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以一定存在c＜0满足f（c）＞0，所以存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．。

最全总结--离心率

离心率一．一般求值定义法例1.（北京市海淀区2019届高三4月期中练习（一模）数学文试题）13.已知椭圆和双曲线．经过的左顶点和上顶点的直线与的渐近线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率______；双曲线的离心率________ .【答案】(1). (2).解析：椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为：，A（－2,0），B（0,1），直线AB的方程为：，因为，所以B为AP的中点，设P（x，y），则，解得：，即P（2，2）双曲线的渐近线为：，点P在渐近线上，所以，，所以，，双曲线中：a＝1，b＝1，所以，c＝，离心率为：＝，【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b 得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.举一反三1.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）6.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C解析：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得故选C．（安徽省安庆市2019届高三模拟考试（二模）数学文试题）14.若双曲线的一条渐近线方程是，则此双曲线的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可求得a,然后利用离心率公式计算即可.【详解】根据双曲线方程可知其渐近线方程为,而已知是一条渐近线方程，则有，解得，又b=2,,则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题.方程法例2.（山东省济南市2019届高三3月模拟考试理科数学试题）11.设，分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C解析：设，则由椭圆的定义，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故选C项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.举一反三1.（梧州市、桂林市、贵港市等2019届）设，，分别是椭圆的左、右、上顶点，为坐标原点，为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为.若到轴的距离为，则的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】C解析：如图示过H作轴于点G，则相似，,即故即，即故选：C.2.（济南市2019届）设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，为过点，，的圆与椭圆的一个交点，且，则的值为__________.【答案】解析：设过三点的圆的圆心为是通径的一半，是圆中的一条弦，根据圆的对称性可知的坐标，，整理得整理得解得，舍去负根【点睛】本题考查椭圆的几何关系与圆的几何关系.综合程度较大，属于难题.3.（武邑中学2019届）已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为______．【答案】解析：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得，，，则，设PA的倾斜角为，则，当m 取得最大值时，最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为，代入，可得，即，，，，双曲线的实轴长为，双曲线的离心率为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).4. 如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右两个焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为（）A ．2 B C ．2 D 【答案】D . 解析：矩形对角线长相等，将直线y=x 代入曲线方程)0,0(1x 2222>>=-b a by a ，解得2222a b b a x -±=，所以c ab b =-2222a 2，即024e 24=+-e 解得22e 2+=已知渐近线方程求离心率，或离心率求渐近线方程例1．(2017·全国卷Ⅲ改编)双曲线x 2a 2－22y b ＝1(a ＞0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝21x ，则e ＝________.解析：因为渐近线方程的斜率跟离心率都是比值关系焦点在x 轴上，则令a=2, b=1, 541c 222=+=+=b a 25e ==a c 例2.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：因为渐近线方程的斜率跟离心率都是比值关系焦点在X 轴上，则令a=1, c=3,222b a c -==2 x x ab2y ±=±= 举一反三1.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选A 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12 x ，即x ±2y＝0.2.(2018·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．±2C ．±12D ．±22解析：选B3.(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y2a 2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 2a 2－x 20＝1，即9a 2－24＝1，解得a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±ba x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a ＞0，b ＞0)．二．利用题目中的几何关系例1.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A.（0，1）B.10,2⎛⎤⎥⎝⎦C. 0,2⎛⎝⎦D. 2⎫⎪⎪⎣⎭解析：由于满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则对椭圆上任意一点P ，21PF F ∠均为锐角，如图1-12所示，只需顶点位置的顶角为锐角即可，，π401<∠<BO F 4s s i n 1πin BO F e <∠=，故选C12sin,,2121<≤=∠e e PF F P F F θθ的取值范围为则若是椭圆上的任意一点，是椭圆的两个焦点，举一反三1.（东莞市2019届15）设双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则的最小值等于__．【答案】16 【解析】试题分析：考点：双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.2.（衡水中学2018届）已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为A．B．C．D．【答案】B∴，∴∴。

北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(文科)试题(含答案)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ，且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 0B ．12±C ．1±D ．22±4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 .13.在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为；（Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.232，12.0 13.3214.622，三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===，21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===，353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为Y 0123P156155630561056115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD（Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,,),(,,)DP DB =-=013210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3y x =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为5719（Ⅲ）法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22MF MB BF λ=+=-+-因为MFPC ，所以(0,3,3)MF PC μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+22221k =+因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220 得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x -0 + ()h x]极小值Z因为()'()x x a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Zx(,)022(,)+∞2所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=，所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个，当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n '()F x -0 + ()F x]极小值Z当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=. （Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β=其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。

2019 年北京市海淀区高考数学一模试卷及答案(文科)

2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项．1．（5分）已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是（）A．{0，1}B．{1，3}C．{﹣1，1}D．{0，5}2．（5分）若x0是函数的零点，则（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜4 3．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．sin（π+α）D．cos（π+α）4．（5分）已知a＜b，则下列结论中正确的是（）A．∀c＜0，a＞b+c B．∀c＜0，a＜b+c C．∃c＞0，a＞b+c D．∃c＞0，a＜b+c 5．（5分）抛物线W：y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线上，且点A到直线x＝﹣3的距离是线段AF长度的2倍，则线段AF的长度为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中a+b＝1，且a＞b．若四个侧面的面积中最小的为，则a的值为（）A．B．C．D．7．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，且a1＞1，则“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q ≥1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为（）第一节第二节第三节第四节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．4B．5C．6D．7二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知i是虚数单位，若（1﹣i）（a+i）＝2，a∈R，则a＝．10．（5分）在△ABC中，，则c＝，S△ABC＝．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T值为．12．（5分）已知向量＝（1，﹣2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为．13．（5分）已知椭圆和双曲线．经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|＝|BP|，则椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝．14．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），则（I）当k＝1时，d（1）＝；（Ⅱ）若d（k）≥2，则k的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d＝2，且a2+a5＝2，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S m，a9，a15成等比数列，求m的值．16．（13分）已知函数的图象经过点（O，l），部分图象如图所示．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求图中x0的值，并直接写出函数f（x）的单调递增区间．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF；（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ACB1的体积．18．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922111715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝6时，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）既有极大值又有极小值．20．（14分）已知椭圆的左顶点为A（﹣2，0），两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点P（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项．1．（5分）已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是（）A．{0，1}B．{1，3}C．{﹣1，1}D．{0，5}【分析】根据集合子集的定义进行判断即可．【解答】解：A.0∈M，1∈M，则M⊆P成立，B.3∉M，则M⊆P不成立，C．﹣1∉M，则M⊆P不成立，D.5∉M，则M⊆P不成立，故选：A．【点评】本题主要考查集合关系的判断，根据元素关系结合集合子集的子集的定义进行判断是解决本题的关键．2．（5分）若x0是函数的零点，则（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜4【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．【解答】解：x0是函数的零点，函数在x＞0时，是增函数，可得：f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝1﹣0，所以f（1）f（2）＜0，函数的零点在：（1，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．3．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．sin（π+α）D．cos（π+α）【分析】由角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．【解答】解：角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，对于A，＝cosα＜0，错误；对于B，cos（）＝﹣sinα＜0，错误；对于C，sin（π+α）＝﹣﹣sinα＜0，错误；对于D，cos（π+α）＝﹣cosα＞0，正确；故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题．4．（5分）已知a＜b，则下列结论中正确的是（）A．∀c＜0，a＞b+c B．∀c＜0，a＜b+c C．∃c＞0，a＞b+c D．∃c＞0，a＜b+c 【分析】根据不等式的关系，结合特称命题和全称命题的性质分别进行判断即可．【解答】解：A若a＝1，b＝2，c＝﹣1，满足a＜b，但a＞b+c不成立；B，若a＝9.5，b＝10，c＝﹣1，a＜b+c不成立；C，因加a＜b，c＞0，所以，a＜b+c恒成立，故C错误，D．∃c＞0，a＜b+c成立，故选：D．【点评】本题主要考查特称命题和特称命题的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．5．（5分）抛物线W：y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线上，且点A到直线x＝﹣3的距离是线段AF长度的2倍，则线段AF的长度为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意画出图形，设A（x0，y0），则点A到直线x＝﹣3的距离是x0+3，|AF|＝x0+1，由题意可得：x0+3＝2（x0+1），求得x0，再由抛物线焦半径公式求解．【解答】解：如图，由抛物线方程y2＝4x，得焦点坐标为F（1，0），直线方程为x＝﹣1，设A（x0，y0），则点A到直线x＝﹣3的距离是x0+3，|AF|＝x0+1，由题意可得：x0+3＝2（x0+1），得x0＝1．∴线段AF的长度为x0+1＝1+1＝2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中a+b＝1，且a＞b．若四个侧面的面积中最小的为，则a的值为（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解侧面积，转化求解a即可．【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，P﹣ABCD，侧面积S P AB＝，，S PCD＝，S PCD＝，四个侧面的面积中最小的为，可得，a+b＝1，且a＞b，解得a＝，故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的侧面积，判断几何体的形状是解题的关键．7．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，且a1＞1，则“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q ≥1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在等比数列中，若a n＞1，即a n＝a1q n﹣1＞1，当q＝1时，满足条件，当q≠1时，当n﹣1＞0恒成立，则q＞1，综上q≥1成立，反之当q≥1是，则a n＝a1q n﹣1＞1成立，即“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q≥1”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式是解决本题的关键．8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据分类计数原理即可求出．【解答】解：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物选第2节，地理有2种选法，其他任意选即可，故有2A22＝4种，若生物选第3节，则地理只能选第一节，政治只能选第4节，自习选在第二节，故有1种，根据分类计数原理可得4+1＝5种，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知i是虚数单位，若（1﹣i）（a+i）＝2，a∈R，则a＝1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．【解答】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i＝2，∴，即a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．10．（5分）在△ABC中，，则c＝6，S△ABC＝．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝42+52﹣2×4×5×＝36，解得：c＝6，∴sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T值为48．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：T＝2，x＝2+2＝4，T＞40否，T＝2×4＝8，x＝4+2＝6，T＞40否，T＝6×8＝48，x＝6+2＝8，T＞40是，故输出T＝48，故答案为：48【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．12．（5分）已知向量＝（1，﹣2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为（﹣1，2）（答案不唯一）．【分析】利用向量共线列出方程，利用向量的模转化求解x的值，推出结果．【解答】解：设＝（x，y），由可得：y＝﹣2x，＝（1+x，﹣2+y），由，可得＜，把y＝﹣2x代入，可得（x+1）2+（﹣2x﹣2）2＜5，化简可得x2+2x＜5，解得：﹣2＜x＜0，取得x＝﹣1，可得y＝2，所以＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查向量共线以及向量的坐标运算，是基本知识的考查．13．（5分）已知椭圆和双曲线．经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|＝|BP|，则椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝．【分析】根据椭圆标准方程求出椭圆的离心率，根据条件确定B是AP的中点，求出P 的坐标，代入双曲线求出m的值即可求双曲线的离心率．【解答】解：椭圆中a＝2，b＝1，所以c＝，离心率e1＝，A（﹣2，0），B（0，1），直线AB的方程为：y＝x+1因为|AB|＝|BP|，所以B为AP的中点，设P（x，y），则，解得，即P（2，2），双曲线的渐近方程为y＝x，点P在渐近线上，所以2＝，得m＝1，双曲线中a＝1，b＝1，c＝，即双曲线的离心率e2＝，故答案为：，．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，结合椭圆离心率和双曲线离心率的公式以及双曲线渐近线的性质是解决本题的关键．14．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），则（I）当k＝1时，d（1）＝2；（Ⅱ）若d（k）≥2，则k的取值范围是[0，+∞）．【分析】（I）k＝1时画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值即可；（Ⅱ）由题意知y＝kx+1是过点（0，1）的直线，结合题意画出图形，利用图形求出k 的取值范围．【解答】解：（I）当k＝1时，约束条件为，画出约束条件表示的平面区域，如图1所示，则区域Ω内的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为|AB|＝1﹣（﹣1）＝2；（Ⅱ）由题意知，y＝kx+1是过点（0，1）的直线，由图形知，若d（k）≥2，则k的取值范围是[0，+∞）．故答案为：（Ⅰ）2，（Ⅱ）[0，+∞）．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d＝2，且a2+a5＝2，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S m，a9，a15成等比数列，求m的值．【分析】（Ⅰ）利用数列的递推关系式，求出公差，然后求解数列通项公式；（Ⅱ）利用S m，a9，a15成等比数列，列出方程，即可求解m的值．【解答】（共13分）解：（I）因为a5+a2＝2，d＝2所以2a1+5d＝2a1+10＝2，所以a1＝﹣4所以a n＝2n﹣6（II）又a9＝12，a15＝24因为S m，a9，a15是等比数列，所以所以m2﹣5m﹣6＝0m＝6，m＝﹣1因为m∈N*，所以m＝6【点评】本题考查的等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．16．（13分）已知函数的图象经过点（O，l），部分图象如图所示．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求图中x0的值，并直接写出函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意根据图象经过点（O，l），求得a的值．（Ⅱ）根据五点法作图求出图中x0的值，再根据正弦函数的单调性写出函数f（x）的单调递增区间【解答】解：（Ⅰ）根据函数的图象经过点（O，l），可得，所以，a＝﹣1．（Ⅱ）∵＝（2sin x+2cos x）cos x﹣1＝2sin x cos x+2cos2x ﹣1＝sin2x+cos2x＝，由图象得，所以，，f（x）＝sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调增区间为，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于中档题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF；（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ACB1的体积．【分析】（I）根据中位线定理和平行公理可得AB∥DE，故而AB∥平面DEF；（II）证明EF⊥CB1，EF⊥AC得出EF⊥平面AB1C，故而平面ACB1⊥平面DEF；（III）代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：（I）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB，又因为D，E分别为A1C1，B1C1的中点，所以DE∥A1B1，于是DE∥AB，又AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF．（II）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，又EF⊂平面BCC1B1，∴AC⊥EF，又BC＝CC1＝2，CC1⊥BC，∴侧面BCC1B1为正方形，故BC1⊥CB1，而E，F分别为B1C1，BB1的中点，连结BC1，∴EF‖BC1，∴EF⊥CB1，又AC∩CB1＝C，AC⊂平面ACB1，CB1⊂平面ACB1，∴EF⊥平面ACB1，又EF⊂平面DEF，∴平面ACB1⊥平面DEF．（Ⅲ）S＝＝＝1，∴．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922111715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．【分析】（Ⅰ）结合表格数据进行判断即可（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可【解答】解：（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为a1，a2，a3，a4，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即a1，a2从4个地区中任取2个地区共有6种情况，（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4）则．【点评】本题主要考查概率的计算，结合古典概型的概率公式利用列举法是解决本题的关键．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝6时，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）既有极大值又有极小值．【分析】（Ⅰ）求a＝6且x＞0时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，从而求得f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）由a＜0时，讨论x＜0和x＞0时，利用导数研究函数f（x）的单调性，从而判断函数f（x）是否存在极大与极小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝6，且x＞0时，，所以f'（x）＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），令f'（x）＝0，得x＝2，或x＝3；当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，2）2（2，3）3（3，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（0，+∞）上的单调递增区间是（0，2），（3，+∞），单调递减区间是（2，3）；（Ⅱ）当a＜0时，若x＜0，则，所以f'（x）＝x2﹣5x﹣a＝x（x﹣5）﹣a；因为x＜0，a＜0，所以f'（x）＞0；若x＞0，则，所以f'（x）＝x2﹣5x+a；令f'（x）＝0，△＝25﹣4a＞0，所以有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2＜0；不妨设x2＞0，所以当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+无定义﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗因为函数f（x）图象是连续不断的，所以当a＜0时，f（x）即存在极大值又有极小值．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了分类讨论思想与方程根的应用问题，是中档题．20．（14分）已知椭圆的左顶点为A（﹣2，0），两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点P（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．【分析】（Ⅰ）由已知可得a＝2，b＝c，又b2+c2＝a2，求得，即可得所以椭圆方程．（Ⅱ）设M（x m，y m），可得，解得，可得（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意，设直线MN的方程为x＝my+1，由得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，，，求得，，直线NQ的方程为，令y＝0，得＝2，即可．【解答】解：（Ⅰ）因为A（﹣2，0），所以a＝2因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b＝c，又b2+c2＝a2，所以，所以椭圆方程为（Ⅱ）设M（x m，y m），因为AM与MN垂直，所以点M在以AP为直径的圆上，又以AP为直径的圆的圆心为，半径为，方程为，，（舍）所以（Ⅲ）直线NQ恒过定点（2，0）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意，设直线MN的方程为x＝my+1，由得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，显然，△＞0，则，，因为直线PQ与AM平行，所以，则PQ的直线方程为，令，则，即，，直线NQ的方程为，＝令y＝0，得因为2my1y2＝3（y1+y2），故，所以直线NQ恒过定点（2，0）．【点评】本题考查圆锥曲线、圆和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与椭圆的联立，确定直线NQ的方程．第21页（共21页）。

2019北京市海淀区高三数学文科期末练习答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参考 2019．1一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分）解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA , ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分（II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ）四边形ABCD 为菱形且ACBD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分（II ）四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x-'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分（II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+；....................................10分当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分（II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ，依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ，代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ，代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分所以MQ NQ k k =，所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分（Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈，都有1212t t x x -=- ；因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2019海淀高三一模数学(文科)试题

2019海淀高三一模数学（文科）试题2019.4选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R2. 设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a << 3．函数1()x f x x+=图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)C. (1,0)D. (1,1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为A. 25 B ．24 C. 23 D ．225.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为A ． 29 B. 13 C. 49D. 596. 在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是7. 已知函数221, 1,()1, 1,x ax x f x ax x x ⎧++≥⎪=⎨++<⎪⎩ 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是A ．22(1)1x y -+= B ．．2212x y += C. 2y x = D ．221x y -=非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算21i=+__________________.10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.12. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______ 13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤a b ，则y x -的取值范围为 .PDCBA1A 1D 1B 1C 左视主视乙丙甲14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________；()f x 的最大值为 ________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.16. （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.17. （本小题共13分）如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 12AD CD AB ==，且O 为AB 中点.( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .CBDBACDOP18. （本小题共14分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小；（Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值.答案及评分参考 2019．4选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=- …………………3分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分（II ）因为180A B C =-- …………………7分所以tan tan[180()]tan()1A B C B C=-+=-+=- …………………9分又0180A <<，所以135A =. …………………10分因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以sin C =， …………………11分由sin sin a c A C=，得a =. …………………13分16. （共13分）解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分所以12n n a a +-=对*N n ∈成立，所以{}n a 是等差数列， …………………4分所以有212nn a a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分（II ）存在. …………………7分由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分所以由 112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分17. （共13分）证明: (I) 因为O 为AB 中点，所以1,2BO AB =…………………1分又//,AB CD 12CD AB =，所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD所以//BC 平面POD . …………………5分 (II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为平行四边形， …………………6分又AD CD =,所以ADCO 为菱形，所以 AC DO ⊥， …………………7分因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，所以PO AB ⊥ ， …………………8 分又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD平面PAB AB = ，所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥，又PODO O =，所以AC ⊥平面POD . …………………12分又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分B AC DO PBACD O P18. （共14分）解：（I ）因为2211'()a ax f x x x x -=-+=， …………………2分当1a =， 21'()x f x x-= ，令'()0f x =，得 1x =，…………………3分又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '()f x x所以1x =时，()f x 的极小值为1 . …………………5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分（II ）解法一：因为2211'()a ax f x x x x -=-+=，且0a ≠，令'()0f x =，得到1x a= ，若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分（1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减，故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e =+=+，由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………9分（2）当10x a =>，即0a >时，① 若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e<<，即1a >时，则有所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a a a=+，由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<，得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意. …………………14分解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，即001ln 0a x x +<，因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+，令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e= …………………9分 1因为(0,)x e∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+，只要10ae +<，得1ae <-，即1(,)a e∈-∞- …………………11分所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln1a g a e e e e=+⋅=-，由10ae-<，得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ . …………………14分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a -==，所以2234a b =， ① …………………1分又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ， ② …………………2分由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③…………7分设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=. ……… 9分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………10分又点O 到直线l 的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立…………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而P点为(2,0),(2,0)-，直线l为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 ……13分所以点O到直线l的距离最小值为2……14分20.（共13分）解: (I)因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-. …………………3分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①…………………5分当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m<<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+ .…………………7分（III）设M为{}12100,,,a a a中的最大值.由（II）可以知道，()g m的最小值为()g M. 下面计算()g M的值.123()100Mg M b b b b M=++++-1231(100)(100)(100)(100)Mb b b b-=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]Mk k M k=-+++-数学试卷12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++， ∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市高三一模考试数学文试题真题(2019年word版含答案)

2019年北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为，你的理由是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21xg x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题 9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ；设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”，则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =，所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=，得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =．（Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-，所以23cos 4B =，因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=．18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高．因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形，所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=，因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=，所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=．（Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =.又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ，所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =．设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==，所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =，代入椭圆方程，求得132y =±，所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =，即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增，所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+，因为(1)30g e =-<，323()402g e =->，所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。

【精选五套高考模拟卷】2019年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1}2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣33．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．27．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若）C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为______．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=______．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______，C的方程为______．12．在2这三个数中，最小的数是______．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2019？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|﹣2≤x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：A．2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量，且，∴1×9﹣t2=0，解得t=±3故选：C3．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i，可得：进入循环的条件为n≤5，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得z=i，n=1不满足条件n＞5，S=i1，n=2不满足条件n＞5，S=i2，n=3不满足条件n＞5，S=i3，n=4不满足条件n＞5，S=i4，n=5不满足条件n＞5，S=i5，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S=i5=i．故选：D．4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+y，平移y=﹣x+y，由图象知当直线y=﹣x+y经过点A直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，3），则z=+3=，故选：C．5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V==，故选：A．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，即可得到x0=1．【解答】解：抛物线W：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，则PF⊥x轴，可得x0=1，故选：B．7．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，化简解出即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，∴x+α+2kπ=+x﹣α，或π﹣（x+α）+2kπ=+x﹣α，解得，（k∈Z）．∴α=”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78【考点】进行简单的合情推理．【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1= 2 ．【考点】数列递推式．【分析】通过，利用a2﹣a1=S2﹣2S1计算即得结论．【解答】解：∵，∴a2﹣a1=（a1+a2）﹣2a1=S2﹣2S1=（4﹣8）﹣2（1﹣4）=2，故答案为：2．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，一条渐近线的斜率为k==tan=1，解得a=b=，则双曲线的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．故答案为：（，0），﹣=1．12．在2这三个数中，最小的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵=＞1，log32＞=，∴在2这三个数中，最小的数是．故答案为：．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（﹣）=sin（﹣+φ）=﹣1，故+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是6，7，8 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，可以保证由四点共面，即可得出结论．【解答】解：由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，即可保证有四点共面，由正方形的性质，四点共面时，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，∴k的所有可能取值是6，7，8．故答案为：6，7，8．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理解出；（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2019？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）通过设数列{a n}的公比为q，利用2a1+a1q=0及a1≠0可知q=﹣2，进而通过a3=12可知首项a1=3，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S n＞2019等价于（﹣2）n＜﹣2019，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为S2+a1=0，所以2a1+a1q=0，因为a1≠0，所以q=﹣2，又因为，所以a1=3，所以；（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．理由如下：由（I）可知，令S n＞2019，即1﹣（﹣2）n＞2019，整理得（﹣2）n＜﹣2019，当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于2n＞2019，解得n≥11；综上所述，所以满足S n＞2019的正整数n的最小值为11．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．所以BC⊥平面PAB．…．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．所以MN∥平面ABCD．…．解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．所以AM的长就是点A到MN的距离，…．而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．【解答】解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．则…．…．∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…．（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a1，b6），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），所以，即两名同学成绩均为优良的概率为．…．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）令f（x）=0，可得零点；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（3）结合单调性，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，运用不等式的性质，即可得到a的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣2，切点为（0，1），即有切线的方程为y=﹣2x+1；（2）由f（x）=0，可得x=1，即零点为1；由x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=2处，f（x）取得极小值，且为﹣，无极大值；（3）由（2）可得f（2）取得极小值﹣，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，由﹣≤f（x1）＜0，0＜﹣f（x2）＜，可得＞f（x1）﹣f（x2）≥﹣恒成立．即有a的最小值为2．2019年9月10日数学高考模拟试卷（文科）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析

北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学（文）试题1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】是虚数单位，，化简得到根据复数相等的概念得到实数的值为.故答案为：A。

2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，若，则A：，当两个数值小于0时就不一定成立；B. ，当b=0时，不成立；C. ，当两者均小于0时，根式没有意义，故不正确；D. ，是增函数，故正确。

故答案为：D。

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则的值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】根据平均数的概念得到根据选项得到：.故答案为：B。

5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D.6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】两直线平行的充要条件为且故.故是两直线平行的充分必要条件。

故答案为：C。

7. 在中，是的中点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据向量的运算得到设BC=x,,代入上式得到结果为.故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。