傅里叶级数--新

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傅里叶变换教材

傅里叶变换教材第一章: 傅里叶级数1.1 引言傅里叶级数是分析周期性信号的一个重要工具。

本章将介绍傅里叶级数的定义、性质以及在信号处理中的应用。

1.2 傅里叶级数的定义在信号处理领域，周期信号通常使用傅里叶级数来描述。

傅里叶级数可以将一个周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的和。

数学上，一个周期为T的连续信号f(t)可以表示为以下形式的傅里叶级数：f(t) = a₀ + ∑[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]其中，a₀、aₙ、bₙ是系数，ω₀=2π/T是基础频率。

1.3 傅里叶级数的性质傅里叶级数具有以下几个重要性质：- 线性性: 傅里叶级数是线性的，即若f(t)和g(t)分别有傅里叶级数表示，那么αf(t) + βg(t)也有傅里叶级数表示，其中α和β是常数。

- 对称性: 若f(t)为实函数，则对应的傅里叶级数满足aₙ和bₙ的共轭对称关系。

- 周期性: 若f(t)为周期信号，并且其周期满足T₂ = nT₁（其中n为整数），则对应的傅里叶级数也具有周期性，且周期为T₂。

傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 信号分析: 傅里叶级数能够将信号分解为各种频率的成分，从而方便对信号进行分析和处理。

- 信号合成: 傅里叶级数的正弦和余弦函数可以通过调整系数的大小和相位来合成各种形状的周期信号。

- 信号压缩: 傅里叶级数可以用较少的系数表示一个周期信号，从而实现对信号进行压缩存储。

第二章: 傅里叶变换2.1 引言傅里叶级数适用于周期信号的分析，对于非周期信号，我们需要使用傅里叶变换。

本章将介绍傅里叶变换的定义、性质以及在信号处理中的应用。

2.2 傅里叶变换的定义傅里叶变换将一个连续信号f(t)转换为一个连续频谱F(ω)，其中ω表示频率。

数学上，傅里叶变换可以表示为以下形式：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，e^(-jωt)是指数项，j为虚数单位。

傅里叶级数

m=1
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2

傅里叶级数

u(t)的(傅1)里连叶续级或数只收有敛有于限个 E第m 一Em类间Em 断 (点Em ) 0,
(2)至多只有有限个极值2点
2
当t k时, u(t)的傅里叶级数收敛于u(t).
a0
1
u(t )dt 1
0
( Em )dt
1
0 Emdt
0
1
an
1
u(t)cos ntdt
0
( Em )cos ntdt
2
a0
u(t )dt
0
2
E sintdt
0
2E
[ cos t]0
4E ,ห้องสมุดไป่ตู้
an
2
2
u(t)cos ntdt
0
E sint cos ntdt
0
E
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
0
(n 1)
E
cos(n 1)t n1
cos(n 1)t n 1 0
[(
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数的收敛性
若周期为 2 的函数 f ( x) 可积，则
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn
sin nx)
问题:
a0
2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
?
f
(x)
要满足什么条件？
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,
cos nx,sin nx,

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。

它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。

本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。

一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。

它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。

在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。

将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。

傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。

线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。

对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。

频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。

傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。

此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。

二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。

它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。

傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。

傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。

傅里叶级数公式

傅里叶级数公式傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数表示周期函数的方法。

它由法国数学家傅里叶在19世纪提出，被广泛应用于信号处理、物理学、工程学等领域。

傅里叶级数的公式如下：\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))\]在这个公式中，$f(x)$表示周期为$2\pi$的函数，$a_0$表示函数的直流分量，$a_n$和$b_n$分别表示函数的交流分量的系数。

傅里叶级数的优点在于可以将任意周期函数分解为一系列简单的正弦函数和余弦函数，从而更好地理解和分析周期性现象。

对于一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$，我们可以通过计算其在一个周期内的积分来求解傅里叶系数。

具体的计算方法如下：\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx\]\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx\]\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx\]通过计算这些积分，我们可以得到傅里叶级数的系数。

根据这些系数，我们可以重新构造出原函数$f(x)$的近似值。

当我们取无限多个正弦函数和余弦函数时，傅里叶级数的近似值将趋近于原函数。

傅里叶级数的应用非常广泛。

在信号处理领域，傅里叶级数可以用来分析和合成信号。

通过将信号分解为一系列正弦函数和余弦函数，我们可以更好地理解信号的频谱特性，从而设计出更好的信号处理算法。

在物理学中，傅里叶级数可以用来描述波动现象，如声波、光波等。

通过将波动现象分解为一系列正弦函数和余弦函数，我们可以更好地理解波动的性质和传播规律。

在工程学中，傅里叶级数可以用来分析和设计电路、通信系统等。

通过将电路和信号分解为一系列正弦函数和余弦函数，我们可以更好地理解电路和信号的行为，从而设计出更好的工程方案。

傅里叶变换中的等式

傅里叶变换中的等式傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理、电子通信等领域有着广泛的应用。

傅里叶变换可以将一个函数在时间域（或空间域）中的表达转换为频域中的表达，从而揭示了信号的频谱特性。

在傅里叶变换中，有一些重要的等式，它们为我们分析和理解信号提供了便利。

傅里叶变换的核心思想是将一个时域连续函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加。

在傅里叶变换中，最基本的等式是傅里叶级数展开式。

傅里叶级数展开式告诉我们，任何一个周期函数都可以表示为一组基频率正弦和余弦函数的线性组合。

这个等式的形式是：$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i\omega_n x}$$其中，$c_n$是系数，$\omega_n$是频率，$e^{i\omega_n x}$是复指数函数。

傅里叶级数展开式为我们理解周期信号的频谱提供了基础。

通过对周期函数进行傅里叶级数展开，我们可以得到该函数的频谱，即确定了该信号中不同频率的分量的大小和相位。

在连续信号的傅里叶变换中，有一组重要的等式，它们分别是傅里叶变换的定义式、反变换的定义式和傅里叶变换的性质。

傅里叶变换的定义式为：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t} dt$$其中，$F(\omega)$是信号$f(t)$的傅里叶变换。

傅里叶反变换的定义式为：$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{i\omega t}d\omega$$其中，$f(t)$是信号的傅里叶反变换。

傅里叶变换的性质包括线性性、平移性、尺度性等。

这些性质为我们在频域中处理信号提供了方便。

例如，线性性质告诉我们，在频域中对两个信号进行加法运算等价于在时域中对这两个信号进行加法运算。

平移性质告诉我们，时域中的信号在频域中进行平移，频谱也会相应地发生平移。

傅里叶级数介绍

傅⾥叶级数介绍傅⾥叶变换能将满⾜⼀定条件的某个函数表⽰成三⾓函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅⾥叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅⾥叶变换和离散傅⾥叶变换。

最初傅⾥叶分析是作为热过程的解析分析的⼯具被提出的。

要理解傅⽴叶变换，确实需要⼀定的耐⼼，别⼀下⼦想着傅⽴叶变换是怎么变换的，当然，也需要⼀定的⾼等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅⽴叶级数变换是傅⽴叶变换的基础公式。

变换提出让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。

当时审查这个论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表⽰带有棱⾓的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。

法国科学学会屈服于拉格朗⽇的威望，拒绝了傅⽴叶的⼯作，幸运的是，傅⽴叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国⼤⾰命后因会被推上断头台⽽⼀直在逃避。

直到拉格朗⽇死后15年这个论⽂才被发表出来。

谁是对的呢？拉格朗⽇是对的：正弦曲线⽆法组合成⼀个带有棱⾓的信号。

但是，我们可以⽤正弦曲线来⾮常逼近地表⽰它，逼近到两种表⽰⽅法不存在能量差别，基于此，傅⽴叶是对的。

为什么我们要⽤正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以⽤⽅波或三⾓波来代替呀，分解信号的⽅法是⽆穷的，但分解信号的⽬的是为了更加简单地处理原来的信号。

傅里叶级数

∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限个第一类有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π

傅里叶变换

线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何周期信号都可用正弦函数的级数表示" 1822年发表"热的分析理论",首次提出"任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示" 返回

傅叶里级数公式

傅叶里级数公式傅里叶级数公式是一种数学工具，用于将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。

这个公式是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初发现的，它在物理学、工程学、信号处理等领域中得到了广泛的应用。

傅里叶级数公式的基本形式如下：$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$其中，$f(x)$是一个周期为$T$的函数，$a_0$、$a_n$和$b_n$是系数，$n$是一个正整数。

这个公式的意义是，任何一个周期为$T$的函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和，其中每个函数的振幅和相位由系数$a_n$和$b_n$决定。

傅里叶级数公式的推导过程比较复杂，需要用到一些高等数学知识，这里不再赘述。

但是，我们可以通过一个简单的例子来理解这个公式的应用。

假设我们有一个周期为$2\pi$的函数$f(x) = \sin(x)$，我们想要将它表示为一系列正弦和余弦函数的和。

根据傅里叶级数公式，我们可以计算出各个系数的值：$$a_0 = 0$$$$a_n = 0$$$$b_n = \frac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}$$将这些系数代入傅里叶级数公式中，我们可以得到：$$\sin(x) = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin(nx)$$这个公式的意义是，任何一个周期为$2\pi$的函数都可以表示为一系列正弦函数的和，其中每个函数的振幅和相位由系数$\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}$决定。

傅里叶级数公式的应用非常广泛，特别是在信号处理领域中。

例如，我们可以将一个音频信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，从而实现音频压缩和降噪等功能。

傅里叶级数

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)一种特殊的三角级数。

形如(1)的级数，其中αn(n=0,1,2,…)和b n(n=1,2,…)是与x无关的实数，称为三角级数。

特别,当(1)中的系数αn，b n可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时，级数(1)称为ƒ的傅里叶级数：(2)式中ƒ是周期2π的可积函数，即ƒ∈l(-π,π)。

此时，由公式(2)得到的系数αn，b n称为ƒ的傅里叶系数。

ƒ的傅里叶级数记为。

(3)当然,ƒ的傅里叶级数并不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于ƒ(x)。

假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x)，即，那么双方都乘以cos nx或sin nx后,在(－π,π)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。

所以,如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x)，级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。

问题往往是，给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。

J.-B.-J.傅里叶的建议是，利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,b n,就得到傅里叶级数(3)。

可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ【ƒ】收敛于ƒ。

傅里叶级数的收敛判别法常用的判别法有：①迪尼判别法对固定的点x，如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒贝格可积,则σ【ƒ】在点x收敛于s。

由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即(0<u≤h)，那么σ【ƒ】在x收敛于ƒ(x)，其中M ，h，α均为正数,且α≤1。

另外，当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ【ƒ】一致收敛于ƒ(x)。

②狄利克雷－若尔当判别法假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如［x-h,x+h］上分段单调，则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。

信号系统傅里叶公式大全

信号系统是研究信号和系统相互作用的学科，而傅里叶公式则是信号系统中的重要工具之一。

下面是傅里叶公式的一些常见形式：1. 傅里叶级数公式：$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\omega_n t + \varphi_n)$$其中，$f(t)$ 是信号$f(t)$ 的时域表示，$a_0, a_n, \omega_n, \varphi_n$ 是常数和角频率，$\cos(\omega_n t + \varphi_n)$ 是余弦函数。

2. 傅里叶变换公式：$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt$$其中，$F(\omega)$ 是信号$f(t)$ 的频域表示，$\omega$ 是角频率。

3. 逆傅里叶变换公式：$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \cos(\omega t) d\omega$$其中，$f(t)$ 是信号$f(t)$ 的时域表示，$F(\omega)$ 是信号$f(t)$ 的频域表示。

4. 离散傅里叶变换公式：$$F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n] \exp(-2\pi i k n / N)$$其中，$F[k]$ 是信号$f[n]$ 的频域表示，$f[n]$ 是信号$f[n]$ 的时域表示，$k$ 是频率索引，$N$ 是信号的长度。

5. 逆离散傅里叶变换公式：$$f[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} F[k] \exp(2\pi i k n / N)$$其中，$f[n]$ 是信号$f[n]$ 的时域表示，$F[k]$ 是信号$f[n]$ 的频域表示。

这些公式都是信号系统中的基本工具，对于信号处理、通信、控制系统等领域有着重要的应用。

傅里叶级数新

1
t0 2sin t
2
2
推论
1
sin( n 1)t

2 dt 1.
2sin t
2
引理2 (黎曼引理)若g(x)在[a, b]可积, 则
b
lim g(x)sin pxdx 0,
p a b
lim g(x)c , 有
sin
nx

4

2

cos
x

sin
x

1 2
sin
2x

2
9
cos 3x

1 3
sin
3x

1 4
sin
4x

.
在x , 上式右端收敛于
f ( 0) f ( 0) 0 .
2
22
例4 设
0, x 0, f (x) 1, 0 x ,
2
求f(x)的傅里叶级数.
解: a0

1

f (x)dx 1

2 f (x)dx 1
0

2 x dx 0,
02
an

1

f (x) cos nxdx 1

2
f (x) cos nxdx
0
1
2 x cos nxdx 1
称为n阶三角多项式. 显然, 三角级数(1)的和
函数S(x)存在时, 是一个周期为2π的函数.
与幂级数不同的是, S(x)不但不是无穷次可微的, 甚至是不连续的, 这非但不是缺点, 反而正是它的优点. 这使我们可以指望将较差的函数展开成形如(1)的三角级数.

信号与系统傅里叶级数表示

信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统中的傅里叶级数表示是一种将周期信号表示为
无穷级数的方法。

傅里叶级数是由法国数学家和物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的，该方法通过将一个周期信号分解为多个正弦波和余弦波的组合，来描述信号的频率成分。

一个周期信号可以表示为无穷级数的形式，每个项都是一个正弦波或余弦波，并且所有项的总和形成原始的周期信号。

在傅里叶级数中，每个项都是复数，表示该项的幅度和相位。

傅里叶级数的数学表达式如下：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\cos(n\omega t+\varphi_n)$
其中，$f(t)$是周期信号，$\omega$是信号的角频率，$n$是项的序号，$a_n$和$\varphi_n$分别是第$n$项的幅度和相位。

傅里叶级数在实际应用中非常重要，因为它揭示了周期信号的频率成分，并可用于分析、设计和控制各种信号处理系统。

通过分析傅里叶级数的系数，可以了解信号的频率成分，以及这些成分的幅度和相位信息。

这使得傅里叶级数成为信号处理、通信和控制系统等领域的重要工具。

傅里叶变换图解

这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

-------- 以上是定场诗-----------下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多一、啥叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。

而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。

但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。

是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。

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