(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
相似三角形的判定--角角一、内容及内容解析：1.内容：两角分别相等的两个三角形相似。
2.内容解析：三角形相似的判定是在学习了三角形内角和性质，三角形全等、多边形相似及三角形相似的后续学习，它是相似多边形中最为简单的相似图形。
在探究“两角分别相等的两个三角形相似”的过程中，学生看书自学，先度量发现结论成立，再通过作与∆A'B'C'相似的三角形，把证明三角形相似转化为三角形全等的问题。
此判定的学习具有承上启下的作用，培养学生对知识转化的能力和化繁为简的思想。
相似三角形是今后学习锐角三角函数和圆的知识基础，另外在学习物理等相关方面也要用到相似三角形的知识。
基于以上分析，本节课的教学重点是：判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”。
二、教学目标：1.课程标准：经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。
掌握判定两个三角形相似的基本方法。
2. 知识与技能：通过经历两个三角形相似条件的探索过程，发现“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法。
3.过程与方法：进一步发展学生的自学、探究、交流能力、合情推理能力和初步的逻辑推理意识，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。
4.情感、态度与价值观：通过自学，激发学生学习兴趣，培养学生自主学习的能力，培养学生主动、愉快的学习情感。
三、教学问题诊断分析在判定定理证明的过程中，教科书做了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用中介三角形与原三角形全等，这种转化的方法学生往往很难想到。
不同于以往证角相等的方法，也会给定理的证明带来一定的难度。
本节课的教学难点是：判定定理“两脚分别相等的两个三角形相似”的证明。
四、学情分析：1.九年级学生已经具备了一定的图形之间关系的认识。
2.学生在由合情推理向演绎推理的过渡阶段，合情推理的说理更加透彻。
3.经历过探索全等三角形判定，通过类比不难得到相似三角形的判定。
4.数学知识间的转化能力，对于学生们来说还不能更好地运用，有待于今后的训练。
人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教学设计
人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教学设计一. 教材分析人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》是本节课的主要内容。
本节课主要介绍了相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，以及三角形的相似性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对于图形的变换和判定有一定的了解。
但是，学生对于相似三角形的判定方法可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。
此外，学生可能对于证明过程的书写和逻辑推理能力还需加强。
三. 教学目标1.理解相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
2.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握相似三角形的判定方法，能够运用到实际问题中。
2.教学难点：对于相似三角形的判定方法的证明过程的理解和运用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解相似三角形的判定方法，引导学生理解和掌握。
2.案例分析法：通过分析具体的例题，让学生直观地理解相似三角形的判定方法。
3.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学的知识，并能够灵活运用。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示相似三角形的判定方法和相关例题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“在建筑设计中，如何通过一个已知的建筑设计图来设计一个与之相似的新建筑？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
通过PPT课件和例题，让学生直观地理解每种判定方法的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些相似三角形的判定练习题。
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《三角形相似的判定》教学设计
指导思想：
这节课是探索性题目的教学课。
设计这节课的主要目的一方面是通过探索性题目的教学，体现分析问题的思维方法，培养学生研究问题的习惯，引导学生从结论出发找到需要的条件，使问题得以解决；另一面是通过图形的变式，拓展学生的思维，加强思维的完整性和严谨性。
教学过程中从同学们较熟悉的与三角形一边平行的直线截三角形这种情况入手，截线由平行三角形的一边变到不平行，到过三角形的一顶点，再到截三角形两边的延长线。
通过简单图形的变形，引导学生如何从结论出发，结合图中的已知条件找到使讨论成立的条件，使问题得到解决，增强学生的自信心，使学生有一定的成就感。
为后面的练习——如何从复杂图形中找到这些简单图形做好准备。
目的要求：
1、进一步掌握三角形相似的判定方法，提高学生分析问题解决问题的能力。
2、通过探索性题目的教学，体现分析问题的思维方法，培养学生研究问题的习惯。
教学重点：
三角形相似的判定方法，会运用这些方法判定三角形是否相似
教学难点：
如何由已知命题的结论，寻找使结论成立的题设
教学关键：
在教学中，提醒学生去发现一此规律，使学生在解题证明时更加自觉
C
附：课堂教学流程图
开始
问题引入。
人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教案
人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教案一. 教材分析人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》这一节，主要让学生掌握相似三角形的判定方法。
教材通过具体的例题，让学生理解并掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对于三角形的边长和角度有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，推导出相似三角形的判定方法。
三. 教学目标1.了解相似三角形的判定方法，能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。
2.能够解决实际问题，运用相似三角形的判定方法。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。
2.教学难点：理解并掌握相似三角形的判定方法，能够解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索，让学生自主发现相似三角形的判定方法。
同时，结合例题讲解，让学生在实践中掌握这些方法。
六. 教学准备1.PPT课件：包括相似三角形的判定方法、例题讲解等。
2.练习题：包括基础题和提高题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对相似三角形的思考。
例如：在建筑设计中，如何根据一个建筑物的缩小模型，计算出实际建筑物的尺寸？2.呈现（10分钟）介绍SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过PPT课件展示相关的例题。
引导学生思考和探索，让学生自主发现这些判定方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一道练习题，运用所学的判定方法进行解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）请各组代表上台讲解他们的解题过程，其他同学进行评价和提问。
教师总结学生的解题方法，并进行点评。
5.拓展（10分钟）出示一些提高题，让学生独立解答。
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《27.2.1相似三角形的判定（2）》教学设计
【教材】人教版数学九年级下册第二十七章第二节
【教学对象】九年级学生
【授课教师】
【教学目标】
学生已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的变换。
相似作为图形变换的一种，学生对它的学习应该是比较轻松的。
另外学生在上两节也已了解了三角形相似的概念，掌握了相似三角形判定的预备定理，这为探究三角形相似的条件做好了知识上的准备，使学生能主动参与本节课的操作、探究。
【教学目标】
1.经历三角形相似的判定定理的探索过程，进一步培养学生探究、合作交流能力，养成动手、动口、动脑的习惯。
2.理解三边成比例的两个三角形相似及两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定定理，并能运用两个判定定理解决简单的问题。
3.体会类比、转化及分类讨论的数学思想在数学中的作用。
【教学重点】理解三角形相似的两个判定定理。
【教学难点】会运用两个判定定理进行说理和计算。
【教具准备】相似三角形纸片模型、多媒体课件。
【教学过程设计】
学内容
教
教学内容。
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相似三角形的判定（第三课时）教案教学目标知识与技能目标：掌握三角形相似的判定定理3，理解定理的证明方法，并能初步运用定理解决相关问题。
过程与方法目标：通过三角形相似的判定定理3的学习，让学生领悟类比、转化等数学思想方法，培养学生创新思维、发散思维能力。
情感与态度目标：通过自主探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考的好习惯，同时培养学生的团队合作精神。
教学重点相似三角形的判定定理3及其应用教学难点相似三角形判定定理3的证明方法.教学过程新课导入导入一:学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?【引导语】根据前面的学习,我们判断三角形相似需要对应边成比例,而图纸中的三角形只知道角的大小,我们只测量角的大小,能否判定三角形相似?这就是本节课的学习任务.导入二:【复习提问】(1)三角形相似的判定定理1和2的内容是什么?(2)用什么方法证明判定定理1和2 ?【师生活动】学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.导入三:观察老师手中的一副三角尺和你手中的三角尺,其中含有相同锐角(30°与60°或45°与45°)的两个直角三角尺形状相同吗?它们分别满足什么条件?【导入语】有两个锐角相等的两个直角三角尺相似,那么对于任意两个有两个角相等的三角形是否相似呢?这就是我们今天探究的主要内容.[设计意图] 以生活实例为情景导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣;通过复习三角形相似的判定方法及证明思路,为本节课学习另一个判定定理做好铺垫;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利地实现旧知识到新知识的迁移.新知构建一、两角分别相等的两个三角形相似思路一【动手操作】(1)同桌两个人分别画出△ABC,其中∠A=37°,∠B=65°.(2)分别测量AB,BC的长度(或测量AC,AB的长度),判断两个三角形是否相似.(3)根据操作、测量,猜想判定三角形相似的方法.(4)能证明你的猜想吗?写出已知、求证和证明过程.【教师提示】类比判定定理1,2的证明方法,通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中.(5)用文字语言叙述你的结论,并用几何语言表示.【师生活动】在教师的指导下,学生完成画图、测量、猜想,小组合作交流结果后,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并对学生的板书进行点评.【课件展示】两角分别相等的两个三角形相似.如图所示,已知在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.求证△ABC∽△A'B'C'.证明:如图所示,在线段A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'.∵DE∥B'C',∴∠A'DE=∠B',又∠B=∠B',∴∠B=∠A'DE,又∵∠A=∠A',A'D=AB,∴△A'DE≌△ABC,∴△ABC∽△A'B'C'.【几何语言】如图所示,∵∠B=∠B',∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.思路二【思考】(1)相似三角形的判定定理1,2的证明思路是什么?(在一个三角形的一边上截取与另一个三角形一边相等的线段,作平行线构造相似三角形,通过证明截得的三角形与已知三角形全等得证)(2)三角形在放大镜的观察下,得到三角形与原三角形是相似的,对应角是不变的,反过来,满足两个对应角相等的三角形是否相似呢?(3)教师用几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.分别测量三角形的三边,得到三角形三边对应的比相等.(4)猜想你观察到的结论,你能证明你的猜想吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同完成猜想、证明,学生板书证明过程,教师帮助有困难的学生,对学生的证明过程进行指导,规范书写.【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似.(证明过程、几何语言同思路一)[设计意图]学生通过动手操作、猜想、归纳、验证等数学活动(思路二教师借助几何画板让学生观察验证),得到三角形相似的判定定理3,并引导学生将文字语言转化为几何语言和符号语言,提高学生分析问题的能力和学习数学的兴趣.二、一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似【思考】(1)证明直角三角形全等的方法有哪些? (SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(2)证明直角三角形相似可以用哪些方法?(三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似) (3)类比直角三角形全等的判定方法,如果一条直角边和斜边分别成比例,两个直角三角形相似吗? (4)尝试证明你的结论.【师生活动】 学生思考回答,作出猜想,小组合作交流证明思路,板书书写过程,教师帮助有困难的学生,并对学生的回答和板书点评.【课件展示】 一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 如图所示,在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,∠C =90°,∠C'=90°,''''C A ACB A AB =.求证Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'.【教师引导分析】 由于三边成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设==k ,用勾股定理分别求出BC ,B'C'的值,求得=k ,从而得证.证明:设==k ,则AB =kA'B',AC =kA'C'.由勾股定理,得BC =22AC AB -,B'C'=2''2''A C A B -.∴k CB C B k C B C A k B A k C B AC AB CB BC ==-=-=''''''2''22''2'22''..'∴''''''C CA ACB A ABC B B ==∴Rt△ABC ∽Rt △A'B'C'.【追问】 你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗? (一个锐角相等或两边成比例)[设计意图] 通过教师设计的问题,学生思考后合作交流,类比直角三角形全等的判定,探索出直角三角形相似的判定方法,学生亲身经历知识的形成过程,体会数学的严谨性,提高分析问题的能力,让学生在探索中使数学思维得到提升. 三、例题讲解(教材例2)如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8.E 是AC 上一点,AE =5,ED ⊥AB ,垂足为D.求AD 的长.解:∵ED ⊥AB ,∴∠EDA =90°,又∠C =90°,∠A =∠A ,∴△AED ∽△ABC ,∴ABAEAC D =A ∴AD ==ABAE.AC 4.【教师引导归纳】 通过证明三角形相似,得到三角形的对应边成比例求线段的长是常用的方法.如图所示,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,图中共有哪几对相似三角形?并选择其中一对进行证明.【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,针对学生的困难进行引导分析,然后学生独立完成,并用文字语言叙述该题的结论.〔解析〕由CD⊥AB,得∠ADC=∠CDB=90°,所以图中共有三个直角三角形,根据直角三角形的两锐角互余,可得∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°,由同角的余角相等,得∠B=∠ACD,∠A=∠BCD,根据两角分别相等的两个三角形相似易得△ACD∽△ABC,△CDB∽△ACB,△ACD∽△CBD.解:(1)△ACD∽△ABC,△CDB∽△ACB,△ACD∽△CBD.(2)答案不唯一.证明△ACD∽△ABC如下:∵∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,∴∠B=∠ACD,又∵∠ACB=∠ADC=90°,∴△ACD∽△ABC.【归纳】直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.[设计意图]通过例题的分析解答,巩固证明三角形相似的判定方法,体会通过证明三角形相似可以证明角相等、线段成比例,也可以计算线段的长,培养学生归纳总结能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.[知识拓展](1)在有一组对应角相等的情况下,可以从两个方面选择突破口:寻找另一组对应角相等;寻找两个三角形中夹这个已知角的两条边的比相等.(2)直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.(3)若两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边成比例或斜边和一条直角边成比例,则这两个直角三角形相似.课堂小结1.相似三角形的判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.2.直角三角形相似的判定方法:一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似.巩固练习1、如图C是线段BD上的一点，AB⊥BD.ED⊥BD.AC⊥EC学生交流，自主完成证明过程证明：∵AB⊥BD、ED⊥BD∴∠ABC=∠CDE=90°∴∠1+∠A=90°∵AC⊥EC∴∠1+∠2=90°∴∠A=∠2∴△ABC∽△CDE2、如图所示,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证△ADF∽△DEC;(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.布置作业教材第42页习题27.2第2,4题.教材第43页习题27.2第7题.板书设计1.两角分别相等的两个三角形相似2.一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似3.例题讲解例1例2。
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
27.2.1 相似三角形的判定第一课时一、教学目标1.核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.2.学习目标掌握平行线分线段成比例定理和推论、相似三角形判定的预备定理；并且会进行简单应用.3.学习重点平行线分线段成比例定理和推论的应用，相似三角形判定的预备定理及其应用.4.学习难点平行线分线段成比例定理及推论、相似三角形判定的预备定理的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1. 阅读教材P29-30，思考：什么是平行线分线段成比例定理？如何得到此定理？任务2. 阅读教材P30，思考：什么是平行线分线段成比例定理的推论？此定理是如何得来的？任务3. 阅读教材P30-31，思考：相似三角形判定的预备定理是什么？怎么证明呢？2.预习自测1.在△ABC 与C B A '''∆中，如果 ∠A=∠A '，∠B=∠B '，∠C=∠C '，且k A C CAC B BC B A AB =''=''=''，那么△ABC 与C B A '''∆_______，记作 _________，其中k 就是两个相似三角形的 ______； 如果 k = 1，那么这两个三角形_______. 【知识点：相似三角形定义，相似比，三角形全等】2.已知△ABC ∽△EFD ，若∠ABC=70°，∠ACB=60°，则∠FED=______度.【知识点：相似三角形性质】3.如图，AD//BE//CF ，且AB=6，BC=12，EF=10，则DE=_______. 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】 （二）课堂设计 1.知识回顾1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似.2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.3.成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a ：b=c ：d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段. 2.问题探究问题探究一 什么是相似三角形？●活动1 阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念 回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？相似比为1的两个三角形有怎样的关系？归纳 如图，在△ABC 和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，==,AB BC ACk A B B C A C =''''''即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC 与△A′B′C′相似记作 “△ABC ∽△A′B′C′”.相似比为1的两个三角形全等.说明：(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例； （2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形.(3)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上.(4)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性.若当△ABC ∽△A′B′C′时，==,AB BC AC k A B B C A C =''''''则△A′B′C′∽△ABC 时，1==.A B B C A C AB BC AC k''''''= （5）相似三角形具有传递性：即若△ABC ∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC ∽△A″B″C″； ●活动2 例题讲解，相似三角形定义的应用例 如图，△ABC ∽△DEF ，其中AB ＝6，DE ＝9， 指出对应边、对应角，并求出相似比.解：对应边分别是：AB 与DE ，BC 与EF ，AC 与DF. 对应角分别是：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F. ∵AB ∶DE ＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上.问题探究二 什么是平行线分线段成比例定理？●活动1 探究定理 应用多媒体展示问题，让学生自主去探索.问题：如图，任意画两条直线m 、n ，再画三条与m 、n 都相交的平行线1l 、 2l 、3l ，分别度量1l 、 2l 、3l 在m 上截得的两条线段AB ，BC 和在n 上截得的两条线段DE ，EF 的长度，AB DE BCEF与相等吗？任意平移3l ，AB DE BCEF与 还相等吗？探究：如图，小方格的边长都是1，直线 1l ∥2l ∥3l ，分别交直线m ，n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 .问题1：计算12122323,A AB B A A B B ，你有什么发现？ 问题2：将2l 向下平移到如图的位置，直线m ，n 与2l 的交点分别为2A ，2B ，问题1中的结论还成立吗？计算试一试.问题3：还可以得到那些对应线段的比值相等？学生讨论，通过计算12122323,A AB B A A B B 可以发现：将2l 平移到其他位置，上述结果一样.还可得到下面的比例式：于是有，平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.可简记为：===.上上上上下下，，下下全全全全说明：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等. ●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用例：如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AF 交BE 于点H ，下列结论中错误的是( )A.BHAHHCHD=B.AD BCDF CE =C.HC HD HEDF= D.AF BEDF CE= 详解：根据AB ∥CD ∥EF ，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解.∵AB ∥CD ∥EF ，,,,BH AH AD BC AF BEHC HD DF CE DF CE∴===故选项A ，B ，D 正确.∵CD ∥EF ，∴ ,HC HD HEHF故选项C 错误.点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断.在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之 间的关系，即平行线分线段成比例.●活动3 应用练习1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则x=________.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】421解：2.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F.已知，则的值为（ )A.23 B.32 C.52 D.53【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】解：D问题探究三 平行线分线段成比例定理有怎样的推论呢？●活动1 利用多媒体演示，引导学生得出行线分线段成比例定理的推论. 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况.在图 (1)中，把4l 看成平行于△ABC 的边BC 的直线；在图 (2)中，把3l 看成平行于△ABC 的边BC 的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.数学表达式： 如图，∵DE ∥BC ，,,.AD AE AD AE BD CEDB EC AB AC AB AC∴=== ●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质推论的应用例1.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且 EF ∥BC ， （1）如果AE = 7，EB=5，FC = 4，那么AF 的长是多少？ （2）如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么FC 的长是多少？ 【知识点：平行线分线段成比例定理推论；数学思想：数形结合】 详解：(1)∵EF ∥BC ， ∴AE EB ＝AF FC. ∵AE ＝7，EB ＝5，FC ＝4， ∴AF ＝AE·FC EB ＝7×45＝285.(2)∵EF ∥ BC ， ∴AE AB ＝AFAC. ABCEF∵AB ＝10，AE ＝6，AF ＝5， ∴AC ＝AB·AF AE ＝10×56＝253，∴FC ＝AC －AF ＝253－5＝103.点拨：写比例式时，注意线段的对应关系.例2：如图，F 是平行四边形ABCD 的边CD 上一点，连接BF ，并延长BF 交AD 的延长线于点E. 求证：.DEDFAE DC=【知识点：平行线分线段成比例定理推论】解析： 先根据平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AD ∥BC. ∴EBEFAE DE =（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.同理可得.EFDFEB DC= ∴DCDFAE DE =. 点拨：本题是证明等积式的典型题.要证明 a cbd=， 经常要把它转化为两个等式：.a e e c bf f d ==和我们通常把e f叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式. ●活动3 应用练习1.如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 交于点O ，则下列比例式中不成立的是( )ABCDEFA.OC ∶OD ＝OA ∶OBB.OC ∶OD ＝OB ∶OAC.OC ∶AC ＝OD ∶DBD.BD ∶AC ＝OB ∶OA【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】解：B2.如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝6 cm ，CD ＝9 cm ，BF ＝7 cm.则BC ＝________.【知识点：平行线分线段成比例定理定理的推论；数学思想：数形结合】 解：17.5问题探究四 相似三角形判定的预备定理是什么？ ●活动1 分组讨论，探究相似三角形判定的预备定理 提出问题：在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所得的三角形与原三角形相似吗？如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，△ADE 与△ABC 有什么关系？分析引导：直觉告诉我们，△ADE 与△ABC 相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC.由前面的结论可得，AD AB ＝AE AC .而DEBC 中的DE 不在△ABC 的边BC 上，不能直接利用前面的结论.但从要证的AE AC ＝DEBC 可以看出，除DE 外，AE ，AC ，BC 都在△ABC 的边上，因此只需将DE 平移到BC 边上去，使得BF＝DE ，再证明AE AC ＝BFBC就可以了.只要过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ，BF 就是平移DE 所得的线段.师生活动：先证明两个三角形的角分别相等. 如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A ＝∠A. ∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C. 再证明两个三角形的边成比例. 过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴AD AB ＝AE AC ，BF BC ＝AE AC. ∵四边形DBFE 是平行四边形，∴DE ＝BF ， ∴DE BC ＝AE AC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC. 这样，我们证明了△ADE 和△ABC 的角分别相等、边成比例，所以△ADE ∽△ABC ， 追问：若点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，△ADE 与△ABC 是否还相似呢？因此，我们有如下判定三角形相似的定理.相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(定理的证明由学生独立完成)ADE定理的几何语言表述： ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC.●活动2 例题讲解，相似三角形判定的预备定理的应用例1：如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AB ＝7，AD ＝5，DE ＝10，求BC 的长.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】 解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DE BC， ∴BC ＝AB·DE AD ＝7×105＝14.点拨 在根据相似三角形写比例式时，对应线段不要写错了.例2：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB. 求证：△ADE ∽△EFC.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵EF ∥AB ， ∴△EFC ∽△ABC ，∴△ADE ∽△EFC点拨：利用平行线得三角形相似，是判定三角形相似的常用方法.●活动3 应用练习1.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为( )A.4B.7C.3D.12【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：B2.在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为___________.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、分类讨论】解：6或12问题探究五如何巧作平行线构造相似三角形解题？解题时，往往会遇到要求的线段比或要证的比例式找不到成比例的线段，与相似三角形联系不上，或者说图中没有平行线也根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是解决这类几何题的一种重要方法.而作平行线构造三角形相似是常用方法.活动1 合作探究，巧作平行线构造相似三角形解题技巧1：连接线段的中点构造相似三角形例1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP：PQ：QD.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：题中无平行线，又无相似三角形，得不到成比例的线段，无法求出三条线段的比，需构造出平行线.由题意，D 、F 分别是AC 、EC 的中点，连接DF 可得DF//AE ，由此平行得线段成比例可求.解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC. ∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线.∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE.∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BPBD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE. ∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ. ∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝APDF .设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQ ：QD ＝AP ：DF ＝3：2.∴BP ：PQ ：QD ＝5：3：2.点拨：当题中已知有多条线段的中点时，可将中点与中点连接，构造三角形中位线，得到平行线.口诀是“中点连中点，构造中位线”.技巧2：过顶点作平行线构造相似三角形例2.如图，在△ABC 中，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BEEC的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求BEEC ，不能与已知条件BF ：AF ＝3：2联系起来，求不出.因此可作平行线，得到成比例线段，把它们联系起来，再求出. 解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G. ∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝DF. 又∵∠ADF ＝∠CDG. ∴△ADF ≌△GDC.∴AF ＝CG. ∵BF ：AF ＝3：2，∴AB ：AF ＝5：2. ∵AB ∥CG.∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52. 点拨：过顶点作平行线构造相似三角形，是常用之法.本题也可过顶点B 作AE 的平行线与CF 的延长线相交求；也可过顶点A 作CB 的平行线与CF 的延长线相交求. 技巧3：过分点作平行线构造相似三角形例3.如图，在△ABC 中，AM MD ＝4，BD DC ＝23，求AEEC 的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求AEEC ，需作平行线，构造相似三角形，利用成比例线段求.解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图. 易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵BD DC ＝23，∴BD BC ＝25.∴DN CE ＝BD BC ＝25. ∵AM MD ＝4，∴AE DN ＝AMMD ＝4. ∴AE EC ＝DN EC ·AE DN ＝25×4＝85. 点拨：点D 、M 、E 分别为线段BC 、AD 、AC 的分点，过它们任一点作平行线都可求.活动2 应用练习AD1.如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，23=CD BD ，E 为中点，求FBAF的值. 【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：如图，过点D 作DP ∥CF 交AB 于点P ， ∴△AFE ∽△APD ，.△BPD ∽△BFC.∴ED AE FP AF =，PFBPDC BD =. ∵E 为AD 中点，BD=2CD ， ∴AE=ED ，∴AF=FP. ∵23=CD BD ，∴23=PF BP . ∴52=FB AF2.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理】证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BDCF .∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF. ∴BP CP ＝BD EC . 3.课堂总结 【知识梳理】(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 【重难点突破】（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.（2）平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，利用平行线得线段成比例的基本思路是：①善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形： “型”或“ 型”，得到相应的比例式；②平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似.（4）解与线段成比例有关的问题时，往往会遇到求解的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加平行线构造相似三角形是解决这类问题的一种重要方法. 4.随堂检测1.如图，△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝75°，∠A ＝60°，则∠C 等于( )A.45°B.60°C.75°D.80° 【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】 的值为2.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，若AB=4，BC=6，DE=2，则EF（ ）A.34B.3C.12D.31【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】点A ，B ，3.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于交于点G ，C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D ，E ，F ，AC 与DF 相且AG ＝5，GB ＝3，BC ＝10，则DE EF的值为( )A. 21B.135 C. 53 D.54【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】4.如图， △ABC 中D ，DE//BC ，DF//AC ，则下列比例式中正确的是（ ） A.AE BD EC AD = B.AE CF EC FB= C.BF AD BD FC = D.EC CFAE BF =【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，CE ∶AE ＝5∶3，DE ＝12，则BC 等于( )A.32B.24C.20D.16 【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】（三）课后作业 基础型 自主突破1.下列各组三角形一定相似的是（ ）.A.两个直角三角形B.两个都有一个内角等于130°的钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形 【知识点：相似三角形】2.如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶7.若BC ＝14，则EF 的长是( )A.3B.6C.7D.8【知识点：相似比；数学思想：数形结合】3.已知，如图，AB ∥CD ∥EF ，则下列结论不正确的是( )A.AC CE ＝BD DFB.AC AE ＝BD BFC.BD CE ＝AC DFD.AE CE ＝BF DF【知识点：平行线分线段成比例定理】4.如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=CD ，F 是CD 上一点，连接AF.延长CD 到H ，连接BH ，分别交AF 、AD 于G 、E ，则图中相似三角形共有( )A.2对B.3对C.4对D.5对 【知识点：相似三角形判定的预备定理】5.如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，BC=12，EF=10，DE=6，则AC= .【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】 6.如图，AB//CD ，AE=3，DE=2，则B CCE=_________.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】能力型 师生共研7.已知在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD AB ＝27，那么AECE 的值等于____.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且EF ：FC=3：5，CD=3，则BE 的长为________.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】9.如图所示l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝2BC ，DF ＝15 cm ，AG ＝12 cm ，求GF ，AF ，EF 的长.【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】10.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC.延长DC 到G ，连接AG ，分别交对角线BD 、边BC 于点E ，F. 求证：EG EF ⋅=2EF .【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：转化思想】探究型 多维突破11.如图，已知△ABC ，延长BC 到点D ，使CD ＝BC.取AB 的中点F ，连接FD 交AC于点E.(1)求AEAC的值；(2)若AB ＝6，FB ＝EC ，求AC 的长.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】12.如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交CD 于点G ， （1）若)0( m m EF AF=，求CD CG的值（用含m 的代数式表示）. （2）（拓展迁移）如图2，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)A B B Ca bab C D B E==>>，求EFAE的值（用含,a b 的代数式表示）.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、类比、转化思想】 自助餐1.如图，AB ∥CD ∥EF ，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）【知识点：平行线分线段成比例定理】2.如图，△ABC中，∠ADE=∠ABC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【知识点：相似三角形判定的预备定理】3.如图，点E是平行四边形ABCD的边BC上一点，BE：EC=5：7，AE交BD于F，则BF：BD等于( )A.5：17B.5：7C.5：12D.7：12【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】4.如图，直线l1∥l2，AF：FB＝3：4，BC：CD＝3：2，则AE：EC为( )A.3：2B.4：3C.2：1D.15：8【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】5.如图，正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 中点，MN=4，线段MN 的两端点在CD 、AD 上滑动，当△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似时，DM 长为（ ）.NMED CBAA.554 B.558 C.554或558 D.554或556 【知识点：相似三角形，正方形，勾股定理；数学思想：数形结合，分类讨论】 6.如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝10，那么EF 的长是( )A.38 B.310 C.720 D.514 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】7.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，BD ∶DF=4∶5，AE=27，那么AC=_______.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】8.如图，AM 分别交平行四边形ABCD 的对角线BD 、边CD 于P 、N ，交BC 的延长线于M ，若MN=10，PN=8，则AP 的长为_______.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】9.如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 上一点，且ED AE 54=，CE 的延长线交AB 于F ，若AF=8，则AB= .【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】10.如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；（3）若AB=20，BC=24，CA=12.求AD 、DC 的长. 【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】11.如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，AC ＝24 cm ，菱形ADEF 的顶点在△ABC 的边上，求EF 的长.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合，方程思想】 12.如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则： (1)求证：EFCD AB 111=+；(2)请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 间的关系式，并给出证明.【知识点：相似三角形判定的预备定理，三角形面积；数学思想：数形结合】五.参考答案 预习自测1.相似 ABC ∆∽C B A '''∆ 相似比 全等2.50°3.∵AD//BE//CE ，∴EF DE BC AB =，∴10126DE=，∴DE=5. 随堂检测 1.C 2.B 3.D 4.B 由FBCF DB AD EC AE == 5.A 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C4.C5.19.26.52能力型 7.52 8.4.89.∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝AG GF ＝DEEF＝2，∴GF ＝12AG ＝6cm ，∴AF ＝18 cm ，∴EF DF ＝13，∴EF ＝13DF ＝5 cm10.∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，∴AE EF ＝DEBE ，又∵AB ∥CD ，∴AE EG ＝BE DE ，∴AE 2EF·EG ＝1，∴AE 2＝EF·EG 探究型11.解：(1)如图，过点C 作CM ∥AB ，交DF 于点M. ∵点C 为BD 的中点，∴点M 为DF 的中点，CM ＝12BF ＝12AF.∵CM ∥AB ，∴△AEF ∽△CEM.∴AE CE ＝AFCM ＝2.∴AE ＝2CE.∴AE AC ＝AE AE ＋CE ＝2CE 2CE ＋CE ＝23.(2)∵AB ＝6，∴FB ＝12AB ＝3.又∵FB ＝EC ，∴EC ＝3. ∴AC ＝3EC ＝9.12.(1)如图1，作EH ∥AB 交BG 于点H ，则△EHF ∽△ABF ， ∴,AB AFm AB mEH EH EF===. △BCG∵AB=CD ，∴CD mEH =，EH ∥AB ∥CD ，∴△BEH ∽∴2CG BC EH BE ==，∴CG=2EH ，∴.22CD mEH mCG EH == (2)如图2，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ，则有 EH ∥AB ∥CD. ∵EH ∥CD ，∴△BCD ∽△BEH.∴b BEBC EH CD ==.∴CD ＝bEH. 又a CDAB=，∴AB ＝aCD ＝abEH. ∵EH ∥AB ，∴△ABF ∽△EHF. ∴ab EHabEHEH AB EF AF ===. ∴1+=+=+=ab EFEFEF AF EF EF AF EF AE . 自助餐 1.c 2.B 3.A图1图24. D 由题意得43==FB AF BD AG ，∵25=CD BC ，∴815=CD AG ，∴815==CD AG EC AE . 5.C 由题意得AE=53，5343=DM 或5346=DM ，∴558554或=DM . 6. C 由题意得25410===AB CD AE DE ，∴75=DA DE ，∴75==DA DE AB EF ，即754=EF ， ∴720=EF . 7. 12 由题意得：54==DF BD CE AC ，5427=-AC AC ， ∴AC=12.8. 12 ∵AB ∥DN ，∴ΔABP ∽ΔNDP ，∴DPBPPN AP =.∵AD ∥BM ， ∴ΔADP ∽ΔMBP ，∴DP BP AP MP =，∴AP MP PN AP =，即APAP 188=，∴AP=12. 9. 28 过点D 做DM ∥FC 交AB 与点M ，∴94==AD AE AM AF ，∵D 为BC 中点，∴BM=FM. ∴144=AB AF ，∴1448=AB ，∴AB=28. 10.（1）;ADCA CABC DCAB ==(2)∠BAC=∠CDA ，∠B=∠DCA ，∠ACB=∠DAC; （3）∵,DAAC CABC DCAB ==又AB=20，BC=24，CA=12;6,121224,===∴AD AD AD CA CA BC 即.10122420,===DC DC CA BC DC AB ，即11.设菱形的边长为x ，由题意知EF ∥AB ，DE ∥AC ，∴CB CE AB EF =，BCBFAC DE =， ∴1==+=+=+BC BC BC BE CE BC BE CB CE AC DE AB EF ，∴13024=+x x ，解得x ＝340， ∴EF=340cm. 12.（1）证明：∵AB ∥EF ，∴DBDFAB EF =. ∵CD ∥EF ，∴DBBFCD EF =.∴1==+=+DB DBDB BF DB DF CD EF AB EF . ∴EFCD AB 111=+. (2)关系式为：BEDBDCABDS S S ∆∆∆=+111.证明如下：分别过A 作AM ⊥BD 于M ，过E 作EN ⊥BD 于N ，过C 作CK ⊥BD 交BD 的延长线于K ，由题设可得：ENCK AM 111=+. ∴EN BD CK BD AM BD ⋅=⋅+⋅211211211. 即BED BDCABDS S S ∆∆∆=+111.。
人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定(两角法)优秀教学案例
（一）导入新课
在导入新课时，我会通过展示一些生活中的实际例子，如建筑物的构造、艺术作品的设计等，让学生感受到相似三角形的判定在实际生活中的应用。接着，我会提出一些与本节课相关的问题，如“为什么两角法能够判定两个三角形相似？”、“在实际问题中，如何运用两角法判定相似三角形？”等。通过问题的引导，激发学生的思考兴趣，引出本节课的主题。
2.培养学生运用相似三角形的性质解决实际问题的能力，如计算图形的面积、解决几何构造问题等。
3.引导学生理解相似三角形与全等三角形的区别，并能运用相应的判定方法解决相关问题。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、对比等方法，让学生深入理解两法，培养学生团队协作能力和沟通表达能力。
在教学过程中，我将以生动的语言、丰富的实例和实际问题，激发学生的学习兴趣，让他们在掌握知识的同时，提高自己的思维能力和解决问题的能力。同时，注重培养学生的团队协作和沟通能力，使他们能够在学习过程中，形成积极的情感态度和价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
本章节的教学过程中，我将注重情境的创设，以激发学生的学习兴趣和思考能力。在引入两角法这一概念时，我会通过展示生活中的实际例子，如建筑物的构造、艺术作品的设计等，让学生感受到相似三角形的判定在实际生活中的应用。同时，我会设计一些有趣的数学题目，让学生在解决实际问题的过程中，自然地引入两角法的概念和判定条件。
人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定（两角法）优秀教学案例
一、案例背景
“人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定（两角法）”这一章节，是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行授课的。在此之前，学生已经学习了三角形的各种性质，如内角和定理、外角定理等，并能够运用这些性质解决一些简单的问题。然而，对于相似三角形的判定，尤其是两角法，他们可能存在一定的理解难度。
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
学法
引导归纳探究
教
学
反
思
一、复习引入
（1）我们已学习过 哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，
如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△AB C相似吗？
这节课我们来研究这个问题
二、探究新课
问题1：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）
的两个三角板大小可能不同， 它们相似吗？试着说说理由．
问题2：在△ABC与△A′B′C′中，如果满足∠A=∠A＇，∠B=∠B＇，
那么能否判定这两个三角形相似？试着解决这个问题
教、学过程
个性化随笔
三角形的相似判定定理3________________________的两个三角形相似
求 证：△ABC为直角三角形。
(3)CD是Rt三角形ABC斜边AB上的高，BC=4，AB=10，求BD的长
四、收获与反思
表达式
例2.如 图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E是AC上
一 点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D．求AD的长．
三、课堂练习
1、解决前面问题（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
2、如图，（1）在Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高，请找出图中
有哪几对 相似三角形，并证明你的结论．
（2）在△ABC中，CD是边AB上的高， =AD·BD，
课
题
27.2相似三角形的判定（五）
教
学
目
标
初步掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理3，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；培养学生与他人交流、合作的意识和品质
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
发现：
归纳总结:
平行线分线段成比例定理:两条直线被所截，所得的对应线段
表达式：
活动2:平行线分线段成比例定理推论
思考:1、如果把上图中两条直线相交,交点A刚落到 上,如图(1)
所得的对应线段成比例吗?依据是什么 ?
2、如果把图中两条直线相交,交点A刚落到 上,如图（2），所得的对应线段
教学
重点
理解掌握平行线分线段成比平行线分线段成比例定理及应用．
教法
学法
引导、归纳、探究
教
学
反
思
一.复习引入
(1)相似多边形的主要特征是什么?
(2)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形
二.新课
1．对应角，对应边的两个三角形，叫做相似三角形．
2．相似三角形的，各对应边
在△ABC与△DEF中,如果∠ A=∠A，∠B=∠B，∠C=∠C且 = = =k
我们就说△ABC与△DEF相似,记作,k就是它们的.
反之，如果△ABC∽△DEF,则有∠A=∠A∠B=∠B，∠C=∠C且 = =
(3)问题:如果k=1,这两个三 角形有怎样的关系?
明确:(1)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形
(2)用符号“ ∽”表示相似三角形，如△ABC∽△DEF
(3)当△ABC与△ABC'的相似比为k时,△DEF与△ABC
课
题
27.2相似三角形的判定（一）
教
学目标
理解掌握平行线分线段成比例定理，在平行线分线段成比例定理探究过程中,让学生运用“操作一比较一发现一归纳”分 析 问题。在探究平行线分线段成比例定理过程中,培养学生与 他人交流、合作的意识和品质，在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定2》优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的观点和思考，培养学生的合作精神和团队意识。
2.设计小组讨论任务，让学生在实践中探究相似三角形的判定和性质，提高学生的实际操作能力。
3.引导学生进行小组评价，培养学生的评价能力和自我反思意识。
2.创设有趣的数学故事或情景，激发学生对相似三角形知识的兴趣，引发学生的探究欲望。
3.通过生活实例，让学生感受到相似三角形在现实生活中的应用，提高学生的数学应用意识。
（二）问题导向
1.设计符合学生认知水平的问题，引导学生思考相似三角形的判定条件和性质。
2.鼓励学生提出问题，培养学生的提问意识和批判性思维。
3.引导学生通过解决问题，自主发现相似三角形的判定条件和性质，提高学生的实际问题解决能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的观点和思考，培养学生的合作精神和团队意识。
2.设计小组合作任务，让学生在实践中探究相似三角形的判定和性质，提高学生的实际操作能力。
3.引导学生进行小组评价，培养学生的评价能力和自我反思意识。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定2》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定2》，主要内容包括相似三角形的性质、判定及其应用。在相似三角形的判定2中，学生需要掌握两个三角形相似的判定条件，并能够运用这些判定条件解决实际问题。
2.采用合作学习、探究学习等教学方法，鼓励学生积极参与课堂，提高学生的合作精神和团队意识。
3.利用图形计算器等工具，让学生在实践中巩固所学知识，提高学生的操作技能和实际应用能力。
人教版数学九年级下册27.2.1：相似三角形的判定优秀教学案例
3.总结：相似三角形在实际生活中的应用广泛，本节课我们将学习相似三角形的判定方法。
（二）讲授新知
1.利用多媒体课件、模型等教学资源，为学生提供丰富的感性材料，帮助学生直观地理解相似三角形的判定过程。
在教学ห้องสมุดไป่ตู้价方面，我将采用多元化评价方式，既关注学生的知识掌握程度，也关注学生在过程与方法、情感态度与价值观等方面的表现。通过评价，让学生认识到自己在学习过程中的优点和不足，激发他们不断进步的动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体课件展示建筑工人师傅制作模板的实际案例，引导学生思考相似三角形在生活中的应用。
2.讲解相似三角形的定义、性质及判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS等。
3.结合实例，讲解相似三角形在实际问题中的应用，如建筑、工程等领域。
（三）学生小组讨论
1.引导学生分组讨论，共同探究相似三角形的判定方法。
2.设计实践性任务，如制作相似三角形的模型，让学生在合作中加深对知识的理解。
3.组织小组竞赛，激发学生的学习兴趣，提高学生的合作能力。
本节课旨在让学生在掌握相似三角形判定方法的基础上，能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。同时，通过小组合作、讨论交流等环节，培养学生的团队协作精神、表达能力和逻辑思维能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的定义及其判定方法，理解相似三角形的性质。
2.培养学生运用相似三角形解决实际问题的能力，如在建筑、工程等领域中的应用。
2.问题导向的教学策略：通过设计具有启发性的问题，引导学生思考相似三角形的定义和判定方法，使得学生在解决问题的过程中能够自主地探索和发现知识，提高了学生的思维能力和解决问题的能力。
新人教版数学九年级下册第27章27.2相似三角形的判定(教案)
-对于一些复杂的几何图形，能够准确找到相似三角形的对应角和对应边，进而解决问题。
举例：针对SAS与ASA、AAS之间的区别，通过具体例题和图形进行讲解，强调SAS判定定理中两边和夹角的关系，以及ASA、AAS中两角和一边的关系。对于实际问题，可以设计一些与生活相关的习题，如房屋建筑设计中的相似三角形问题，引导学生从实际情境中抽象出相似三角形的模型。对于复杂的几何图形，教师应引导学生学会画辅助线、寻找对应关系，以便准确找到相似三角形，进而求解。通过这些方法，帮助学生突破教学难点，提高解题能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的三角形？”比如，放大镜下的三角形和原来的三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的判定方法。
4.激发学生数学探究兴趣，引导他们主动探索相似三角形的判定方法，培养数学探究和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的定义及其性质，特别是对应角相等、对应边成比例的特点；
-熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS判定定理判断两个三角形是否相似；
-能够应用相似三角形的性质和判定方法解决具体问题，如求线段长度、角度大小等。
举例：在讲解相似三角形的性质时，强调对应角相等、对应边成比例的概念，并通过具体图形进行展示，使学生直观感受这一性质。在讲解判定定理时，通过多个例题，让学生掌握如何使用SSS、SAS、ASA、AAS定理判断相似三角形。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1相似三角形判定定理1优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活实例导入：以日常生活中的几何现象为切入点，如建筑设计、物品摆放等，引导学生关注相似三角形的判定方法在实际生活中的应用。通过生动有趣的情景创设，激发学生的学习兴趣，提高他们的观察能力和实践能力。
2.问题情境创设：教师提出具有挑战性和针对性的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入相似三角形的判定方法。例如：“如何在只知道两个三角形相似的情况下，求出第三个三角形的边长？”等问题，引导学生思考和探索。
在教学过程中，教师将以关爱的心态和人性化的语言，关注每一个学生的成长。教师将注重培养学生的团队协作精神，让他们在合作中发现问题、解决问题，共同进步。教师将通过对生活实例的剖析，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的学习兴趣和探究欲望。教师将采用多元化的评价方法，关注学生的知识掌握程度，更注重培养学生的学习兴趣、创新能力和道德品质。教师将让学生在挑战中成长，体验到学习的乐趣，培养克服困难的勇气和信心。最终，使学生在数学学科的学习中，收获知识、提升能力、成长为人格健全的社会人才。
2.利用生活实例，让学生在实践中感受相似三角形的判定方法，提高学生的动手操作能力和问题解决能力。
3.注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在课堂上充分展示自己，提高自信心。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情，感受数学的魅力。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，使学生体会到的成功的喜悦，培养克服困难的勇气和信心。
在教学过程中，我以生活中常见的几何现象为切入点，激发学生的学习兴趣。通过设计富有启发性的问题和实践活动，引导学生主动探究相似三角形的判定方法。在教学方法上，我采用小组合作、讨论交流的方式，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力和沟通能力。同时，注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在课堂上充分展示自己，提高自信心。
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
27.2.1 相似三角形的判定第二课时一、教学目标1．核心素养通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．2．学习目标（1）初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．（2）能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．3．学习重点掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．4．学习难点（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 三边成比例的三角形相似吗？如何证明？任务2 两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？如何证明？2．预习自测1．三边__________的两个三角形相似．2．两边_________且夹角_______的两个三角形相似．3．不能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是( )A ．=AB BC AC B C A C A B =''''''B ． AB A B AC A C ''=''，且∠A ＝∠A′ C ．AB BC A B A C =''''，且∠B ＝∠A′ D． AB AC A B A C =''''，且∠B ＝∠C′ （二）课堂设计1．知识回顾1．三角形全等的判定方法：SSS 、SAS2．相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．全等三角形与相似三角形的关系：相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．2．问题探究问题探究一 三边成比例的两个三角形相似吗？●活动1 提出问题，引导学生探究引入：判定两个三角形全等我们有SSS 的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？探究:任意画ΔABC 和ΔA′B′C′，使ΔA′B′C′的各边长都是ΔABC 各边长的k 倍，△ABC ∽ΔA′B′C′吗？1．操作： 度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例．2．猜想：在ΔABC 和ΔA′B′C′中，如果AB BC CA A B B C C A ==''''''，那么ΔABC ∽△A′B′C′．3．证明：分析：这时可在A′B′上截取A′D=AB，再过D 作DE//B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC ≌△A′DE，则可得到△ABC ∽△A′B′C′．4．归纳：三角形相似的判定方法1：三边成比例的两个三角形相似．5．推理格式：∵AB BC CA A B B C C A ==''''''，∴△ABC ∽△A′B′C′． ●活动2 例题讲解，相似三角形判定1的应用例：下面图中小正方形的边长均为1，则左面图中的三角形(阴影部分)与右面图中的△ABC 相似的是（ ）让学生讨论解决。
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
相似三角形判定定理教学设计设计导学【学习目标】1. 知识层面掌握三角形相似的判定定理(三边成比例的两个三角形相似)．2. 能力层面经历观察、发现、探索三角形相似的判定定理的过程，体会类比的数学思想在探索数学问题中的广泛应用，并在探索过程中体验学习的乐趣，培养和增强学习数学的兴趣．【教学重难点】1. 重点：掌握三角形相似的判定方法，会运用判定定理判定两个三角形相似．2. 难点：会准确的运用三角形相似的判定定理判断两个三角形是否相似．课前延伸【知识梳理】1．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′，且__都等于k __，我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．2．相似三角形的判定方法(预备定理)：__平行于三角形一边的直线和其他两边相交__，所构成的三角形与原三角形相似．3．如图27－2－71，E 是▱ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )图27－2－71A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对课内探究一、课堂探究1(问题探究，自主学习)1．(1)在△ABC 中，AB ∶BC ∶CA ＝2∶3∶4，在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝1，C ′A ′＝2，当B ′C ′＝__32__时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.(2)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝4，A ′C ′＝3.若BC ∶B ′C ′＝__2∶1__，则△ABC ∽△__A ′B ′C ′__．2．已知在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，CA ＝6.(1)如果DE ＝10，那么当EF ＝__252__，FD ＝__15__时，△DEF ∽△ABC ；(2)如果DE ＝10，那么当EF ＝__12__，FD ＝__8__时，△FDE ∽△ABC .二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)1．根据下列条件，判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由：(1)AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，DE ＝18 cm ，EF ＝24 cm ，DF ＝30 cm ； (2)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，DE ＝12 cm ，EF ＝18 cm ，DF ＝21 cm. 2．如图27－2－72，已知AB AD ＝BC DE ＝AC AE，证明：∠BAD ＝∠CAE .图27－2－72 图27－2－733．如图27－2－73所示，在正方形网格中有两个三角形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，求证：△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.4．如图27－2－74所示，一名学生制作劳技作品，他把△ABC 各边中点连接得到的△DEF 涂色，试证明涂色的部分与原三角形相似．图27－2－745．已知△ABC 的三边长分别为20 cm ，50 cm ，60 cm ，现要利用长度分别为30 cm 和60 cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似．要求以其中一根为一边，将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边．那么另外两边的长度(单位： cm)分别为( D )A ．10，25B ．10，36或12，36C ．12，36D ．10，25或12，36三、课堂反馈训练1．若把△ABC 各边分别缩小为原来的13，得到△A 1B 1C 1，下面结论正确的是( D )A ．△ABC 与△A 1B 1C 1不一定相似 B ．△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为1∶3 C ．△ABC 与△A 1B 1C 1各对应角不等D ．△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为3∶12．如图27－2－75，在4×4的正方形网格中分别有一个三角形，其中是相似三角形的是( D )图27－2－75A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④3．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角( D )A ．都扩大为原来的5倍B ．都扩大为原来的10倍C ．都扩大为原来的25倍D ．都与原来相等4．若△ABC 各边分别为AB ＝25 cm ，BC ＝20 cm ，AC ＝15 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝__3__ cm 时，△ABC 与△DEF 相似．5．根据下列各组条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由． (1)AB ＝3.5 cm ，BC ＝3.5 cm ，CA ＝4 cm, A ′B ′＝10.5 cm ，B ′C ′＝7.5cm，C′A′＝12 cm；(2)AB＝4 cm，BC＝6 cm，CA＝8 cm, A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，C′A′＝24 cm；(3)AB＝2 2 cm，BC＝4 6 cm，CA＝8 cm, A′B′＝ 2 cm，B′C′＝2 3 cm，C′A′＝4 cm.课后提升1. 强强为了装饰自己的房间，想要制作两个三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2.你认为他可以如何选料使这两个三角形相似？2. 如图27－2－76，小辉在图纸上画了一个等边三角形ABC，接着在AB；BC；CA 上分别取点A1；B1；C1，且AA1＝BB1＝CC1，得到△A1B1Cv1；再在A1B1；B1C1；C1A1上分别取点A2、B2、C2，且A1A2＝B1B2＝C1C2，得到△A2B2C2；….按此方法，小辉画出一个非常漂亮的几何图案，小辉发现图案中的△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2…都是相似三角形．请你以△ABC和△A1B1C1为例说明其中的原因．图27－2－76【学习目标】1．知识与技能掌握如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似的判定定理．2．过程与方法类比全等三角形的条件，经历猜想结论、画图探究、多种方法验证(度量和推理)，由此探究得到相似三角形的判定定理，在此基础上进一步了解类似于判定三角形全等没有“边边角”，相似三角形的判定方法中也没有“边边角”．【学习重难点】1. 重点：掌握如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似的判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．2. 难点：(1)探究三角形相似的条件．(2)运用三角形相似的判定定理解决问题．课前延伸1．如图27－2－77，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有( C )A．1个B．2个C．3个D．多于3个图27－2－77 图27－2－782．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图27－2－78，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1，a2，a3…若要使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( C )A．24 B．25 C．26 D．27课内探究一、复习引入1．已经学过相似三角形的哪些判定方法？2．说说三边成比例的两个三角形相似与全等三角形的判定条件SSS的区别与联系是什么？3．类比全等三角形的判定条件SAS，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似吗？如图27－2－79，若△ABC与△A′B′C′满足以下条件：ABA′B′，ACA′C′，∠A＝∠A′，那么△ABC与△A′B′C′ 相似吗？图27－2－79二、探究发现1．在练习本上利用刻度尺和量角器画△ABC与△A′B′C′，满足以下条件：AB A′B′，ACA′C′＝k(给定的值)和∠A＝∠A′.量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角分别相等吗？2．在第1题的基础上，改变∠A或k值的大小，再用同样的方法试一试，是否有同样的结论？3．想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形是否能相似呢？试着画画看．三、定理应用例1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm；(2)AB＝4 cm，AC＝8 cm ，BC＝6 cm，A′B′＝12 cm，A′C′＝21 cm，B′C′＝18 cm.例2 已知：如图27－2－80，P为△ABC的中线AD上的一点，且BD2＝PD•AD，求证：△ADC∽△CDP.图27－2－80 图27－2－81变式训练：如图27－2－81所示，△ABC，△DCE，△FEG为三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB＝3，BC＝1，连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R(1)试说明△BFG∽△FEG，并求出BF的长；(2)观察图形，请你得出一个与点P相关的问题，并进行解答．四、课堂训练反馈：1．如图27－2－82所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，5AC－3AB＝0，点P从点B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动，若点P，Q分别从点B，C同时出发，经过多长时间，△CPQ与△CBA相似？图27－2－822．如图27－2－83所示，点D在△ABC的边AB上，当满足怎样的条件时，△ACD 与△ABC相似，试分别加以列举．图27－2－83课后提升一、判断题：1．顶角相等的两个等腰三角形是相似三角形．( √ )2．两个等腰直角三角形是相似三角形．( √ )3．底角相等的两个等腰三角形是相似三角形．( √ )4．两个直角三角形一定是相似三角形．( × )5．一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似．( × )6．有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形．( √ )7．三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似．( √ )8．所有的正三角形都相似．( √ )二、填空题1．如图27－2－84，在△ABC中，AC是BC，DC的比例中项，则△ABC∽__△DAC__，理由是__两边成比例且夹角相等的两上三角形相似__．2．如图27－2－85，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽__△CAB__，理由是__三边成比例的两个三角形相似__．图27－2－84 图27－2－85 图27－2－86 图27－2－87 3．如图27－2－86，∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠D ，AB ＝2AD ，若BC ＝3 cm ，则DE ＝__1.5__ cm.4．如图27－2－87，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM ＝5或5时，△ADE 与△MNC 相似．三、选择题1．如图27－2－88，下列条件中不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADEC .AE AC ＝DEBCD ．∠C ＝∠AED图27－2－88 图27－2－892．在▱ABCD 中，点E 在BC 边上，AE 交BD 于点F ，若BE ∶EC ＝4∶5，则BF ∶FD 等于( D )A ．4∶5B ．5∶4C ．5∶9D ．4∶93．如图27－2－89，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝1，则AD 的长是( D )A ．1B . 2C ．2D ．4四、解答题如图27－2－90，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ABD＝∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明．图27－2－90 图27－2－91五、用数学的眼光看世界如图27－2－91，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝50米，你能知道小河的宽是多少吗？。
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
相似三角形的判定定理3(两角分别相等的两个三角形相似)一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法：“两角对应相等，两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法的运用．三、教学过程：1．复习提问（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．2. 引出课题如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？3. 探究1师：由于“ASA(AAS)”中只有一条边，是不能写出对应边的比的，那么就剩下两个角了，即两角分别相等的两个三角形相似吗？如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，为什么？教师引导学生在稿纸上按要求画图．学生动手画图、测量、独立研究．三角形相似的判定方法3：两角分别相等的两个三角形相似．4. 例题讲解：例1 如图，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，求证：PA ·PB=PC ·PD 。
分析：要证PA •PB=PC •PD ，需要证PBPC PD PA ，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧所对的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法得两三角形相似．证明：略例2 已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）．5.探究2：师：判定两个直角三角形是否全等时，除了用那些一般的方法外还可以用“HL ”的方法，那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢？如图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AB A ′B ′＝AC A ′C ′.判断Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′是否相似，为什么？∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.C B C A k B A k C B AC AB C B BC''''-''=''-=''222222师：所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：师：已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？学生思考、讨论．师（分析）：要证Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，可设法证AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝BC B ′C ′.若设AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝k ，则只需证BC B ′C ′=k. 师：现在请同学们写出具体的步骤，然后与课本上的对照，将不完善的地方改正．学生证明并修改．证明：设AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝k ，则AB ＝kA ′B ′，AC ＝kA ′C ′ 由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2∴ BC B ′C ′= AB A ′B ′=AC A ′C ′∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.判定两个直角三角形相似的方法:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．四、课堂练习B C ''=k C B C B k =''''=1．教材P35 例2P36的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；(对)（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．(不对)五、作业1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ． 求证：FDEF BF AF ．2．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE •CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．六、 教学反思节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除了前面讲过的针对任意三本角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似这一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．前面已经学习了几种三角形相似的判定方法，所以这节课以学生为主导，教师加以提示、纠正、鼓励学生自己探索，讨论得出新的判定定理，培养学生的动手能力，勇于探索的精神．。
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练习题目内容
10
成
1、三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？
27.2.1
-1
2、已知：如图，AB∥EF ∥CD，则△AOB 与___似三角形。
能力
练
3、如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点
Ｏ，则图中与△ABC 相似的三角形共有多少个?请你写出
2
的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
法 2、经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法
的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题
和解决问题的一些基本方法。
描
1、积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 情感态度 2、感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学
述
与价值观 问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信
27.2-
心。
3
3、在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学
具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值
项目
内
容
解决措施
平行线分线段成比例定
教学重点 理和三角形相似的预备 学生预习到位，通过动手操作理解
定理。
教学难点
探索平行线分线段成比 例定理和三角形相似的 预备定的过程。
通过课件展示引导学生自主探索，理 解并掌握
习 27.2-
质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成
1 知识与能 比例。
力 2、理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形相
目
似的预备定理，并会应用计算。
3、培养合情推理能力，发展空间观念.
1、初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题
标 27.2- 过程与方 和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单
(最新)数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案
第二十七章相似相似作为图形的一种变换是全等变换的拓广和发展，也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础．同时相似被广泛应用于现实生活中．本章也处于学生逻辑推理证明进一步巩固和提高的重要阶段，通过训练提高学生分析解决实际问题的能力．一、课程学习目标：1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段．2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边的比相等、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题．3．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化．4．结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辨证唯物主义世界观的教育．二、本章知识结构框图：三、本章双基：重点：相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定．难点：相似三角形的判定定理的证明．基本知识：比例基本性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，位似的定义及性质．基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实际问题，会画位似图形．基本思想方法：类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函数思想．基本实践活动：制作地图，测建筑物的高，测河宽等．四、课时安排：预备知识比例的概念和性质 2课时27．1 图形的相似 2课时27．2 相似三角形共7课时相似的判定 4课时相似的性质 2课时相似的应用 1课时27．3 位似 2课时数学活动小结 2课时五、教学建议：1．突出图形性质的探索过程，重视实验操作和逻辑推理的有机结合．2．注意联系实际，突出建模思想．3．重视运用类比和转化的数学思想方法学习本章知识．4．进一步培养推理论证能力．5．从运动变换的角度学习，加强学生对图形的认识和理解．6．注意把握好教学要求．7．重视信息技术的应用． 六、各节教学要点：27．1图形的相似一、预备知识：1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是n m b a ::=，或写成nmb a =． 2．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如dcba =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质：（实质是比例式与等积式的互化）的比例中项）、为，则；若，则若c a b ac b cbb a bc ad d c b a (2====． 4．比例的性质：（1）更比：d bc ad c b a ==，则若．（2）反比：cd a b d c b a ==，则若． （3）合比：若d cb a =，则d dc b b a +=+或dd c b b a -=-；推广：若d c b a =，则d k c k d k c k b k a k b k a k 43214321++=++（分母不能为0）． （4）等比：如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ，那么ban d b m c a =++++++ ； 推广：如果n md c b a === ，那么b a n k d k b k m k c k a k tt =++++++ 2121（分母不能为0）．5．证明比例式的常用方法：（1）“见比设k”：（以等比性质证明为例）∵)0(≠+++===n d b n md c ba ， ∴设k ====nmd c b a ．则nk m dk c bk a ===，，， ． 又∵0≠+++n d b ，∴bak n d b n d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(．（2）利用等式性质：（以合比性质证明为例）证明一：∵d c b a =， 证明二：∵d cb a =， ∴11±=±d cb a ． ∴bc ad =． ∴ddc b b a ±=±． ∴bd bc bd ad ±=±． ∴)()(d c b b a d ±=±． ∴ddc b b a ±=±．（3）利用比例的性质：（以等比性质证明为例）∵d cb a =，∴dbc a =（更比）． ∴d db c c a +=+（合比）． ∴bad c d b c a ==++（更比）． 同理：ban d b m c a =++++++ ． 注意：教材对于成比例线段和比例的性质的要求有所降低．本章要求了解线段的比、成比例线段的相关概念：如比的前项、后项，比例的项、外项、内项等，同时掌握比例的基本性质即可．对于合比、等比等性质，可以很容易由比例的基本性质推出，可以向学生介绍，不作一般教学要求．另外，由于对成比例线段的要求的降低，教科书在后面叙述相似多边形性质时，使用的是“对应边的比相等”，而不是“对应线段成比例”，这一点在教学时也应引起注意． 二、图形的相似：1．相似图形：我们把这种形状相同的图形叫做相似图形． 2．相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边的比相等．3．相似多边形的判定：两个边数相同的多边形，对应角都相等，对应边的比都相等，同时满足上述条件的两个多边形相似． 例1．下列图形中，必是相似形的是（ ）． A ．都有一个角是40°的两个等腰三角形 B ．都有一个角为50°的两个等腰梯形 C ．都有一个角是30°的两个菱形 D ．邻边之比为2：3的两个平行四边形27．2 相似三角形 27．2．1 相似三角形的判定一、相似三角形的概念：1．相似三角形：三组对应角分别相等，三组对应边的比分别相等的两个三角形相似． 注：（1）如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在对应位置，如A 与D ，B 与E ，C 与F 相对应，这样比较容易找出对应角和对应边． （2）相似比带有顺序性：如：△ABC∽△A’B’C’的相似比为k A C CAC B BC B A AB ===''''''，反过来△A’B’C’∽△ABC 的相似比为kCA A C BC C B AB B A 1''''''===． （3）全等三角形是相似比为1的相似三角形，因此全等三角形是相似三角形的特殊情况．二、相似三角形的判定定理：1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 注：（1） 对于这个定理，由于没有平行线分线段成比例的定理的基础，无法进行常规证明．因此教科书仅就其特殊情况（这条直线过三角形一边的中点）进行了证明，对于一般情况，可以采用合情推理的方式处理，也可以利用面积给予证明．已知：如图，△ABC 中，DE∥BC，交AB 、AC 于D 、E ． 求证：△ADE∽△ABC 证明：连接CD 、BE ． ∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，CDE BDE S S ∆∆=． ∴ACD ABE S S ∆∆=又∵AC AES S ABCABE =∆∆，AB AD S S ABC ACD =∆∆． ∴ACAE AB AD =． 过点D 作DF∥AC，交BC 于F ．同理BC BFAB BD =． ∴BCCFAB AD =． 又∵四边形DECF 是平行四边形， ∴DE =CF ．∴BCDEAB AD =． ∴BCDEAC AE AB AD ==． 又∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC．（2）当平行于三角形一边的直线和其他两边延长线相交时，所构成的三角形也和原三角形相似．2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．ABC OD E FAB CDE ABCDE3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 注：（1）三角形相似的判定与三角形全等的判定方法类似，可以通过弱化定义和类比全等判定两方面来研究、记忆、理解．相似三角形的判定也是从“边边边”的情况开始的． （2）相似三角形判定定理的证明是在其中一个三角形内部构造一个与另一个三角形全等的三角形，利用前面的引理，证明这个三角形与它相似，在这里利用了相似的传递性． （3）“边边角”依然不成立． 反例：如图，BD=BC ，∠A=∠A，BCABBD AB ，但△ABD 与△ABC 不相似．5．直角三角形的特殊判定：（1）如果两个直角三角形的斜边的比和另一个对应的直角边的比相等，那么这两个直角三角形相似．（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似． 三、基本图形：1．平行型2．交叉型27．2．2相似三角形应用举例一、知识点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实地距离．2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应的高的比．3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉所成的角，物体越小或距离越远，视角越小；盲区：观察者看不到的区域；仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．4．会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度．27．2．3 相似三角形的周长与面积一、知识点：1． 相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等．（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． （2）周长比等于相似比． （3）面积比等于相似比的平方． 2． 相似多边形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等． （2）周长比等于相似比． （3）面积比等于相似比的平方．注意：本节课的关键词就是相似比。
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AD
AE
A B = 0.52
A C = 0.52
如图,在△ABC 中 DE//BC,
D
E
且 DE 交 AB 于点 D,
B
交 AC 于 E, △ADE
与△ABC 有什么关系?
并说明理由.
(2) 生 思 考 后口述过程.
给学生一定的
C
时间思考,讨 论.师生共同 总结.
归纳小结
学生在学
平行于三角形一边的直线和其它 案中写出证明
A D = 4.25厘米 A E = 4.76厘米
AE E C = 0.95
DE E B = 0.95
A B = 8.22厘米 A C = 9.19厘米
A
两条直线被一组平等线所截,所得 AD
AE
l5 A
l4 l1 D
A B = 0.52
A
A C = 0.52
D
E
F l2
E
的对B 应线C段l3 成比例.
似．
过 在平行线分线段成比例定理探究过程中，让学生运用
程 “操作—比较—发现—归纳”分析问题．
方
法
情 在探究平行 线分线段成比例定理过程中，培养学生与
感 他人交流、合作的意识和品质．
态
度
教学 重点
理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
教学 难点
平行线分线段成比例定理应 用．
二、【教学流程】
1
教
学
二次备
相似三角形的判定 教学设计
一、【教材分析】
教
(1) 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽
学
△ ABC．
知
目
(2) 知道当△ABC 与△ ABC 的相似比为 k 时，△
识 标
技
ABC与△ABC 的相似比为 1 ．
k
(3) 理解掌握平行线分线段成比例定理．
能
(4) 会利用平行线分线段成比例判定两个三角形相
试证明．
教师给学生一
(3 )归纳小结
定的时间，并
平行于三角形一边的直线截其它 巡 视 解 题 情
两边(或两边的延长线),所得对应线 况 . 教 师 最 后
段成比例.
引导规范过
程，并板演.
A D = 4.25厘米 A E = 4.76厘米
【探究 3】相似三角形的判定 A B = 8.22厘米 A C = 9.19厘米 A
D
E
B
C
B
C
学生仔细 观察图形，教
师要有意识引
导学生进行归
纳总结.
【探究 2】 (1)思考: 图 3 中 AB AE DE 吗？
BC AC BC
利用图 3 证明你的结论．
学生独立
3
(2) 小组探究交流:图 3 的结论在图 2 思 考 , 尝 试 写
中存在吗？写出对应线段的比，并尝 出证明过程，
判定方法: 平行于三角形一边的直线和其它 两边(或两边的延长线)相交,所得三 角形与原三角形相似.
四、【教后反思】
7
8
B． AD DE
AB BC
D． AD AE
DB EC
2.已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共
对内容
有____对相似三角形．
给学生充分时 的升华
A
B
O
补
E
F
偿
C
D
提 3．如图,已知 DE ∥
高 BC,AE=50c m,EC=30cm,
间独立思考解 理解认
答
识
完成后师生间
展评．
BC=70cm, ∠BAC=450,∠D 距离墙 改.
作 1.4m,BD 长 0.55m,求梯子的长.
业
A
D
E
B
C
6
三、【板书设计】
27.2 图形的相似
定义: 表示方法: △ABC∽△A′B′C′， “∽”读作：相似于．
两条直线被一组平等线所截,所得 的对应线段成比例.
两条直线被一组平等线所截,所得 的对应线段成比例.
教学问题设计
师生活动
环
课
节
【问题 1】
（1）相似多边形的主要特征是什么？
【问题 2】它们是相似三角形吗？为 复习引入， 通过回
什么？相似比是多少？
加强新旧知识 顾已学
间的联系，为 知识，
学习相似多边 引出新
形作好铺垫. 课，使
【问题 3】
教师引导学 学生充
情 相似三角形的表示方法： 景 △ ABC 与△A′B′C′相似，
(1)求∠AED 和∠ADE 的大
C
小;(2)求 DE 的长.
E
A
DB
5
1.通过本节课的学习你有什么收获？
小 2. 你还有哪些疑惑？ 结
学生独立思 考，师生梳理 本课的知识点 及及注意问 题.
1. 必做题:课本 P42 第 4 题.
2. 选做题： 如图,AB 是紧靠在墙壁上的长梯,
学生课下独立 完成，教师批
生回顾上节课 分理解
所学内容.
新旧知
创 记作：△ABC∽△A′B′C′，“∽”读
识的联
设 作：相似于．
系与区
注意：对应顶点写在对应位置，不能 老师指出， 别．
错位．
在相似多边形
中，最简单的
就是相似三角 通过与
形，其定义与 所学知
相似多边形定 识 类
义相同，即对 比，更
应角相等，对 好地学
2
应边成比例的 习新知
两边(或两边的延长线)相交,所得三 过程
角形与原三角形相似.
4
尝 试 课本 P31 练习 1、2 题 应 用
对教材
学生独立思考 知识的
解答
加固
完成后师生间 强化运
展评．
用
1. 1.已知如图△ABC 中 DE ∥BC 下列
比例式不成立的是（ ）
A． AD AE
AB AC
C． AD DE
DB BC
三角形叫 做相 识．
似三角形．并
强调相似与全
等写法一样，
对应顶点要写
在对应位置．
【探究 1】
1.观察演示课件，图中哪些线段对 教 师 多 媒
应成比例？
体展示，提出
问题，鼓励学
生积极发言师
生共同分析讨
论. 自
主
探 究
2.归纳总结. AE = 3.45厘米 D E = 4.35厘米
E C = 3.64厘米 E B = 4.60厘米