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函数的自然定义域

函数的自然定义域
函数的自然定义域是所有使得函数有意义的输入值的集合。

换句话说，自然定义域是函数能够接受的有效输入的范围。

对于一个简单的函数，比如 f(x) = 1/x，其自然定义域是除了 x = 0 以外的所有实数。

因为当 x = 0 时，分母为零，函数就没有定义。

对于另一个复杂的函数，比如f(x) = √(x-3)，其自然定义域是所有使得 x-3 ≥ 0 的实数。

因为当 x-3 < 0 时，根号下的值就是负数，函数就没有定义。

需要注意的是，在某些情况下，函数可以在自然定义域之外进行扩展，但扩展后的函数可能会有不同的性质和行为。

因此，在进行数学推导和分析的时候通常只考虑函数的自然定义域。

函数的定义域和值域

函数的定义域和值域函数是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的关系。

在函数中，有两个重要的概念需要关注，即定义域和值域。

定义域指的是函数输入的所有可能值构成的集合，而值域则是函数输出的所有可能值构成的集合。

一、定义域的概念和计算方法定义域是函数输入值的范围，它决定了函数能够接受哪些数作为输入。

我们可以通过以下方式计算函数的定义域：1. 在给定的函数中，寻找使得函数在数学上有意义的输入值。

2. 对于分式函数，要注意分母不能为零。

找出使得分母为零的值，然后将这些值排除在定义域之外。

3. 对于根式函数，要保证根号下的值为非负数。

找出使得根号下的值小于零的情况，将这些值排除在定义域之外。

4. 在数轴上，画出函数的图像并观察其范围。

例如，对于函数f(x) = √(x-1)，我们需要保证根号内的值不小于零，即 x-1 ≥ 0，解得x ≥ 1。

因此，定义域为一切大于等于1的实数。

二、值域的概念和计算方法值域表示函数的所有可能输出值构成的集合。

我们可以通过以下方式计算函数的值域：1. 分析函数的表达式和图像，确定函数的上下界。

2. 对于连续函数，值域为函数图像所覆盖的纵坐标范围。

3. 对于分段函数，值域为每个分段函数的值域的合集。

例如，对于函数 g(x) = x^2，由于 x 的平方永远大于等于零，所以值域即为非负实数集合[0, +∞)。

三、定义域和值域的关系函数的定义域和值域之间存在一种对应关系。

当输入值属于定义域中的某个数时，函数会根据定义域和函数的表达式计算出相应的输出值，并将其纳入值域。

因此，定义域和值域是密切相关的，它们互相影响和制约着函数的性质。

在实际问题中，合理确定函数的定义域和值域是解决问题的关键。

通过准确地确定函数的定义域和值域，我们可以更好地理解和分析函数的性质，并应用函数进行实际计算和建模。

总结起来，函数的定义域和值域是函数学习中的重要概念。

定义域决定了函数的输入范围，而值域则表示函数的输出范围。

函数的值域与定义域分析

函数的值域与定义域分析在数学的广袤天地中，函数是一个极为重要的概念。

而函数的值域与定义域，则是理解和研究函数的关键要素。

首先，咱们来聊聊什么是函数的定义域。

简单说，定义域就是函数中自变量的取值范围。

比如说，对于一个分式函数，分母不能为零；对于一个根式函数，根号下的式子必须大于等于零。

这就像是给自变量设定了一个活动范围，只有在这个范围内，函数才有意义。

举个例子，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，这里 x 就不能等于 1 ，因为要是 x 等于 1 ，分母就成零了，整个式子就没意义啦。

所以，这个函数的定义域就是 x 不等于 1 ，用数学语言表示就是 x ∈（∞， 1) ∪（1, ＋∞）。

再比如，函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，为了让根号下的式子有意义， x ＋ 2 就得大于等于零，解这个不等式，就能得到 x 大于等于－2 ，所以它的定义域就是 x ∈－2, ＋∞）。

定义域的确定，不仅取决于函数的表达式，还可能受到实际问题的限制。

比如说，在一个描述时间、长度、面积等实际量的函数中，自变量的值通常不能是负数，也不能超出实际可能的范围。

说完定义域，咱们再来看看值域。

值域呢，就是函数因变量的取值范围。

也就是说，在给定的定义域内，函数输出的所有可能的值的集合。

还拿上面的例子来说，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，因为 x 不等于1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的值趋近于正无穷或者负无穷；当 x 趋近于正无穷或负无穷时，f(x) 趋近于零但不等于零。

所以，这个函数的值域就是 y ∈（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。

对于函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，因为根号下的数总是非负的，而且根号下 x ＋ 2 可以取到零以及大于零的任何值，所以这个函数的值域就是 y ∈ 0, ＋∞）。

确定函数的值域有时候并不容易，需要我们对函数的性质有深入的理解。

比如，对于二次函数，我们可以通过分析其开口方向和顶点坐标来确定值域；对于一些复杂的函数，可能需要用到求导等高等数学的方法。

函数的概念、定义域的变换

函数的概念、定义域与解析式的变换一、知识梳理＆方法总结1. 函数定义一个或者多个x 对应一个y ，据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 一条曲线是函数图象的充要条件是：图象与平行于y 轴的直线至多只有一个交点。

2. 函数的三要素定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则，当两个函数的定义域、值域、对应法则都相同的时候，这两个函数为同一函数，实际应用中只须判断定义域和对应法则相同，则值域必然相同，即为同一函数，但是当值域与对应法则相同时未必是同一函数。

3. 复合函数若()()(),(),y f u u g x x a b u m n ==∈∈,,,，那么()y f g x =⎡⎤⎣⎦称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。

4. 具体函数定义域① 分母不能为0② 0次幂的底数不能为0，即)0(00≠=a a ③ 偶次根式下大于等于0④ 有限个函数的四则运算得到新函数其定义域是这有限个函数的定义域交集（作除法时还要去掉使除式为零的x 值）；⑤ 对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件限制 5. 抽象复合函数的定义域① ()f x 的定义域为[,]a b ,求[()]f g x 的定义域⇒()a g x b ≤≤② [()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域⇒当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域 ③ [()]f g x 的定义域为[,]a b ，求[()]f h x 的定义域⇒()g x 的值域()h x =的值域总结：① 定义域是x 的范围——函数的定义 ② 括号的范围不变——元变限不变6. 分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集，分段函数也可以具有严格单调性. 7. 求函数解析式的常用方法(1) 待定系数法(已知所求函数的类型)； (2) 换元(配凑)法；(3) 赋值法——对已知等式进行赋值，从而出方程组或者直接得出解析式。

函数的三要素(定义域、值域、对应法则)

函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。

定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。

下面一一介绍。

一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。

(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。

(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。

（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。

通俗一句话就是括号里的取值范围一样。

3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点函数的定义域题点求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17，所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x ＜2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________．答案 [－4,0)∪(0,1)解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．（3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．答案 (0,1]解析函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点求函数的解析式题点待定系数法求函数解析式解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)，即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式解方法一设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式解方法一设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。

(整理)函数的定义域与值域

函数的值域求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一.遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题更是少的屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因而求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化.一、函数的值域的概念一般的，设函数)(x f 的定义域为I ，函数值的集合{}I x x f ∈|)(叫做函数的值域，.值域还可以理解为函数值的取值范围.二、常见函数的值域(结合图像理解)1．一次函数 )0(≠+=k b kx y 的定义域是R ，值域也是R . 2．二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，当0>a 时，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2或⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac 当0<a 时，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.或⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ac 44,2 3．反比例函数 )0(≠=k xk y 定义域为{}0|≠x x 或()()+∞⋃∞-,00,，值域为{}0|≠y y 或()()+∞⋃∞-,00,.4．常函数 c y =的定义域为R ，值域为{}c 5．指数函数 )1,0(≠>=a a a y x 的定义域为R ，值域{}0|>y y 6．对数函数 )1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为{}0|>x x ，值域为R . 7．幂函数 3x y =的定义域为R ，值域为R .21x y =的定义域为[)+∞,0，值域为[)+∞,08．三角函数x y sin =和x y cos =的定义域为R ，值域为[]1,1-x y tan =的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠Z k k x x ,2|π，值域为R . 9．对勾函数0,>+=k xk x y 的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，值域为()()+∞⋃-∞-,,k k 三、常见函数在给定区间上的值域1. 一次函数2. 二次函数3. 反比例函数四、图像法若给定函数能够作出图象，则可通过观察图象直接得出该函数的值域，但必须保证函数的图象要非常精确，尤其在一些关键的线(渐近线、分界限、对称轴等)和关键点（顶点、交点、间断点、孤立点、端点、定点等，及这些点的虚实情况）.主要处理分段函数的值域. 1.41-+-=x x y 答：[)+∞,5 2.13+--=x x y 答：[]4,4-五、单调性法如果函数)(x f 在[]b a ,上单调递增，则其值域为[])(),(b f a f ；如果函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则其值域为[])(),(a f b f .例1 x x y --=1例2 11--+=x x y (]2,0x x y -++=11 []2,2分子有理化例3 22)5(22310--+=--+=x x x x x y 解：令θcos 25=-x则[]7251)4sin(2245,44,5)4sin(25cos 2sin 2sin 2)5(2,0,1cos 10cos 220)5(2222≤≤-≤+≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+++=++==--∈⇒≤≤-⇒≥-⇒≥--y y x x πθπππθπθθθθπθθθ，六、定义法对于有些函数不能作出图像，单调性又不明确，要求出这些函数的值域需要从定义域（x 的取值范围）出发，从内到外经过对应关系层层退出，直到求出函数值y 的取值范围.主要用来处理复合函数的值域(对函数)(),(x g u u f y ==先求出)(x g u =的值域充当)(u f y =的定义域，从而求出))((x g f y =的值域的方法). 1.52+=x y 2.)352(log 221++-=x x y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,849 3.11-+-=x x y七、分离常数法（齐次分式函数）1. 一次齐次分数函数 ),0(bc ad ac bax d cx y ≠≠++=例1 11+-=x x y例2 112+-=x x y例3 x x y -+=53例4 121+-=x x y例5 1213+-=x x y2. 部分二次齐次分数函数 122+--=x x x x y 解：111111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x x y 八、换元法（形如d cx b ax y +++=的值域问题）1.x x y -+=1 令11≤-=x xt 则 0≥t 注意新旧两元范围的变化 2.21x x y -+= 三角换元令)0(cos πθθ≤≤=x3.21x x y -= 三角换元令αsin =x九、判别式法-----函数的值域就是使关于x 的方程)(x f y =在定义域有解的y 的取值范围. 形如22221121c x b x a c b x a y ++++=，其中021≠a a ，且分子分母无非常数公因式.十、基本不等式法例1求函数xx y 1+=的值域例2求函数)0(122>+=x x x y 的值域十一、十二、几何法利用几何上的一些结论，如两点间的线段最短、直线外一点与直线（或平面）上各点连线中垂线断最短.十三、反求法用y 来表达x ，适用于x 的范围知道，且能用y 来表达x例1 11+-=x x e e y例2 2cos 31cos 2-+=x x y [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,351, x x y sin 2sin 2+-= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31 求函数的值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法都有极强的针对性，每一种方法又不是万能的，要顺利的解答求函数的值域问题，必训熟练掌握各种技巧方法.函数的图像知识网络清点。

第01讲_函数的概念与定义域(学生版)A4

第01讲函数的概念与定义域一. 函数的定义1. 传统定义：在某个变化过程中有两个变量,x y，如果对于在某个范围内的任何一个，都有唯一的y值与之对应，则成y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量.2. 现代定义：设,A B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作()()y f x x A=∈，其中x叫做自变量，x的取值集合A 叫做函数的定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x B∈叫做函数的值域．二. 相同函数x的判定函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域()f A和对应法则f.当函数的定义域A函数的概念与表示因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的符号没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.三. 区间的概念及表示设,a b 是两个实数，且a b <，则,a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”,用,+∞-∞作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.四. 映射1．对应关系设有两个非空集合,A B ,如果有法则f ，把集合A 和集合B 的一个子集的元素联系起来，那么就形成了集合A 到集合B 的一个对应．它是两个集合中的元素之间的一种联系．2. 映射的概念设,A B 是两个非空集合，按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，那么，这样的对应关系就叫从集合A 到集合B 的3. 象与原象若f 是从A 到B 的映射，那么与A 中的元素x 对应的B 中的元素y 叫做x 的象，x 称为原象． 4. 一一映射如果f 是从集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，我们称这个映射为从集合A 到集合B 的一一映射 5. 函数与映射的关系对于定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化，所以函数也就是非空数集到非空数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.五. 函数的表示方法1. 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 2. 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质． 3. 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．一. 注意事项1. 函数符号()y f x =意义是“y 是x 的函数”，可以用任意的字母表示，如“()y g x =”；其中的()f x 表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x ；2. ()f a 与()f x 既有区别又有联系，()f a 表示当自变量x a =时函数()f x 的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，一般情况下是一个变量；()f a 是()f x 在x a =时的一个特殊值。

函数概念教案

函数概念教案函数概念教案1教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3 求下列函数的值域：①＝；②＝．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①＝2－x2；②＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．函数概念教案2各位领导老师：大家好！今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。

关于定义域的知识点

关于定义域的知识点随着我们学习数学的深入，有关于定义域的知识点就会不可避免地出现在课程中。

定义域是什么？为什么它在数学中如此重要？在本文中，我将带你深入理解定义域的概念及其实际应用。

一、定义域的基本概念在数学中，函数是一种非常基础和重要的概念。

而定义域则是函数的一个部分，它告诉我们函数可以接受的输入值的范围。

简单来说，定义域是一个函数的“有效输入”的集合。

它表示所有可以传递到函数中的有效参数类型。

让我们来看一些例子。

1. 如果有一个函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，那么定义域就是所有非零实数。

因为当 $x$ 为零时，函数没有意义。

2. 如果有一个函数 $g(x) = \sqrt{x-3}$，那么它的定义域是所有大于或等于3的实数，因为对于 $x$ 小于3的数，函数的值就没有定义。

所以说，定义域决定了一个函数的使用范围和有效性。

如果我们试图将超出定义域的数值输入到函数中，就会得到无法解释的结果或错误。

因此，在研究一个函数的性质时，定义域是必须要了解的。

二、为什么定义域那么重要虽然定义域在数学中显得十分基础，但它的实际应用却十分广泛。

在工程学、科学、经济学等领域，定义域都扮演着非常重要的角色。

让我们来看几个例子。

1. 在工程学中，一个重要的问题是对某些现象进行建模。

例如，工程师在设计一架飞机时，需要使用函数来描述飞机高度和速度之间的关系。

但函数的一个必要前提是，它必须定义在我们所感兴趣的范围内。

如果我们试图将负高度（地下）输入到函数中，我们将得到一个完全没有意义的结果。

2. 在经济学中，一个企业会使用收入和成本之间的函数来管理其运营。

这里定义域是业务模型的一个重要组成部分，它告诉我们生产成本不可能为负数。

通过了解定义域，企业可以更好地了解其经营状况，并制定更好的策略。

3. 在科学中，天文学家使用函数来描述天体之间的运动。

同样的，定义域是天体质量和距离之间的限制。

如果这些限制被突破了，就会导致科学研究的错误或失误。

定义域的取值范围总结

定义域的取值范围总结一、定义域为全体实数集的函数有些函数的定义域是全体实数集，即函数的自变量可以取任意实数值。

例如，常数函数f(x) = c的定义域为全体实数集，其中c为常数。

这是因为无论自变量x取任何实数值，函数f(x)的结果始终为c。

二、定义域为有理数集的函数有些函数的定义域是有理数集，即函数的自变量只能取有理数。

例如，分式函数f(x) = \frac{1}{x}的定义域为除以0以外的所有有理数。

由于分母不能为0，所以自变量x不能取0。

三、定义域为整数集的函数有些函数的定义域是整数集，即函数的自变量只能取整数。

例如，阶乘函数f(x) = x!的定义域为整数集。

这是因为阶乘只能对整数进行运算，对于非整数的自变量，阶乘函数的结果没有定义。

四、定义域为非负实数集的函数有些函数的定义域是非负实数集，即函数的自变量只能取非负实数。

例如，平方根函数f(x) = \sqrt{x}的定义域为非负实数集。

因为对于负数，平方根函数的结果没有定义。

五、定义域为区间的函数有些函数的定义域是一个区间，即函数的自变量只能在该区间内取值。

例如，线性函数f(x) = ax + b的定义域可以是整个实数集，也可以是一个有限区间。

具体的定义域取决于实际问题中的限制条件。

六、定义域为离散集合的函数有些函数的定义域是一个离散集合，即函数的自变量只能取集合中的特定值。

例如，离散函数f(x) = \begin{cases} 0, & x \in \mathbb{Z} \\ 1, & x \notin \mathbb{Z} \end{cases}的定义域是整数集，函数值只能取0或1。

七、定义域为无穷集合的函数有些函数的定义域是一个无穷集合，即函数的自变量可以取无穷多个值。

例如，正弦函数f(x) = \sin(x)的定义域是整个实数集。

正弦函数的周期性使得其定义域变为无穷集合。

八、定义域为空集的函数有些函数的定义域是一个空集，即函数没有定义域。

函数的概念(定义域,值域,解析式)

讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数问题的灵魂-定义域问题-学会解题之高三数学多题一解(解析版)

函数问题的灵魂——定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．方法一直接法万能模板内容使用场景函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板第一步找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：（1）分式中分母不为0；（2）偶次方根中被开方数非负；（3） 0x 的底数不为零；（4）对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；（5）正切函数tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．第二步列出不等式（组）；第三步解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域．【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =-- ） A ．[]1,2 B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)1,2【答案】C【分析】根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可.【详解】解：由题意得：1020x x ->⎧⎨-≥⎩ 解得12x x >⎧⎨≤⎩，即()f x 的定义域为(]1,2.故选：C.【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()261xf x x x x =-++-的定义域为（）A ．(][)23∞∞--⋃+，，B ．[)(]3112-⋃，，C ．[)(]2113-⋃，，D ．()()2113-⋃，，【答案】C【分析】由具体函数的定义域列出方程式即可得出答案.【详解】由26010x x x ⎧-++≥⎨-≠⎩，解得：23x -≤≤且1x ≠.故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】由题意，得2sin102x π-≥，1sin22x π≥，所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈，解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B【变式演练2】5．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22ln 2y x x a x =+++的定义域为[)1,+∞，则=a （） A ．-3 B ．3C ．1D ．-1【答案】A【分析】根据题意可知1x =为方程220x x a ++=的一个根，从而可求出a 的值【详解】由22020x x a x ⎧++≥⎨+>⎩，得2202x x a x ⎧++≥⎨>-⎩，由题意可知上式的解集为[)1,+∞，所以1x =为方程220x x a ++=的一个根，所以120a ++=，得3a =-，故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,4【答案】D【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解.【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤；当0a <时，无法满足定义域为R ．综上所述：04a ≤≤，D 正确．故选：D【变式演练3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【答案】[1，+∞）【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x =++的定义域为R ，即为ax 2+2x +1≥0恒成立，若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立；当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0，解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立．综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．方法二抽象复合法万能模板内容使用场景涉及到抽象函数求定义域解题模板利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（） A ．(0,)+∞ B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∈函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∈112x -≤≤，1122x ≤+≤∈函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ ∈24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为[24，]．故选：D【变式演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31g x x =-的定义域为（） A ．1,43⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所()f x (,)a b [()]f g x ()a g x b <<[()]f g x [()]f g x (,)a b ()f x a x b <<()g x ()f x以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.【变式演练5】11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（） A ．M N B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x -+=+，则{}10M x x =-<<， ()2122log 2xf x x -=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．方法三实际问题的定义域万能模板内容使用场景函数的实际应用问题解题模板第一步求函数的自变量的取值范围；第二步考虑自变量的实际限制条件；第三步取前后两者的交集，即得函数的定义域．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为( ) A ．()10,20 B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【答案】A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围. 【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为.①21305h t t =-求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数. 【答案】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ，描述见解析. 【解析】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ≤≤，对于数集{|026}t t ≤≤中的任一个数t ，在数集{|0845}h h ≤≤中都有唯一确定的数21305h t t =-与之对应. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.【高考再现】1．【2017山东理】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ，则A B ⋂=（A ）（1，2）（B ）（C ）（-2，1）（D ）[-2，1)【答案】D【考点】 1．集合的运算2．函数的定义域3．简单不等式的解法．【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理． 2．【2016·全国卷①】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D【解析】 y ＝10lg x ＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意． 3．【2014山东．理3】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（）A ．)21,0(B ．),2(+∞C ．),2()21,0(+∞D ．),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C ．【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性． 4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】由解得或，故选D ．【考点定位】函数的定义域与二次不等式．【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解．本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．【答案】．【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．6.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞．【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．22(x)log (x 2x 3)f [3,1](3,1)(,3][1,)-∞-+∞(,3)(1,)-∞-+∞0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 3-<x 1>x 256()4||lg 3x x f x x x -+=--(2,3)(2,4](2,3)(3,4](1,3)(3,6]-C ()y f x =()f x 2564||0,03x x x x -+-≥>-22,2,3x x x -≤≤>≠()f x (2,3)(3,4]C7．【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += ．【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数，所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数，所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以32a b +=-．【考点定位】指数函数的性质．【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用． 8．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ ．【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域．由已知得2760x x +-≥，即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-．【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．【反馈练习】1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，只需21020x x x -≠⎧⎨->⎩，解得102x x ≠⎧⎨<<⎩，即函数定义域为{|01x x <<或12}x <<.故选D.2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数21y x =-A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )()()221log 21f x x x x =+--()1,2()(),02,-∞+∞()(),11,2-∞()()0,11,2A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->，即11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以()0,1A B =，故选：A. 【名师点睛】本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答. 【详解】函数()y f x =的定义域是[1，3]， ∈1213x ≤-≤，解得12x ≤≤．又0x >，且1x ≠，∈(]1,2x ∈．故函数()h x 的定义域是(]1,2．故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，则函数()211f x x --的定义域为（） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．()()0,11,2 D ．()(),11,1-∞--【答案】C【分析】先求出()f x 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域. 【详解】因为函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，故1211x -<-<，所以()f x 的定义域为()1,1-，故函数()211f x x --中的x 需满足：211110x x -<-<⎧⎨-≠⎩，故02,1x x <<≠，故函数()211f x x --的定义域为()()0,11,2.故选：C5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.6．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（） A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由复合函数的定义域求得集合B ，记2()1g x x x =-+，问题转化为求()g x 在x B ∈时的最小值，从而得参数范围．【详解】∈()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∈114x ≤≤，12134x -≤-≤，则12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．令()21g x x x =-+，x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，即a 大于()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．∈213()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∈()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为113416g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∈实数a 的取值范围是13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．7．（2019·河北张家口中学月考）若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】∵函数f （x ）的定义域为R ，∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ， ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；40cm ()y cm ()x cm ()10,20()0,10()5,10[)5,10②m ≠0时，则2080m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解得0＜m <8．综上得，实数m 的取值范围是[0,8)，故选A ．【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．8．（2022·全国·高三专题练习）函数()1ln 34y x x=-+的定义域是________ 【答案】()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，所以()3,00,4x ∞⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭. 所以函数的定义域为()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 故答案为：()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 9．（2022·全国·高三专题练习）函数()()02112y x x x =++-的定义域是________．【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果．【详解】函数()()02lg 2112x y x x x -=+++-的解析式有意义，由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<，故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-．故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-10．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）函数()1f x x=-的定义域为___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数、分式及根式的性质列不等式组求定义域. 【详解】由解析式知：010x x >⎧⎨->⎩可得01x <<，所以函数定义域为(0,1).故答案为：(0,1)11．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lg 1tan π14y x x =+-___________. 【答案】11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】使对数的真数大于零，二次根式的被开方数大于等于零列出不等式组，结合正切函数的性质求解.【详解】由题意得：21tan π0πππ,2140x x k k x +>⎧⎪⎪≠+∈⎨⎪-≥⎪⎩Z ，解得1142x -<<. 故答案为：11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭. 12．（2023·全国·高三专题练习）函数()()21lg 2f x x x +-的定义域是_______．【答案】1[,2)2- 【分析】依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域【详解】由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤< 则函数()()21lg 2f x x x =++-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2- 13．（2023·全国·高三专题练习）函数()()22log 29142f x x x =-+-的定义域为___________. 【答案】()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【详解】由题意可知()22log 291420x x -+->，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此229144x x -+>，求解可得2x <或52x >．故答案为：()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 14．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lgcos 25f x x x =-的定义域为______．【答案】335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【分析】由题意可得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，分别令k =-1、0、1，综合即可得答案.【详解】由题意得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，令k =-1，解得35,2x π⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，令k =0，解得,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令k =1，解得3,52x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，定义域为335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 故答案为：335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域.【答案】定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【解析】如图，连接AD ，过,B C 分别作AD 的垂线，垂足为,E F ，因为AB BC CD a ++=，所以20BC EF a x ==->，即02a x <<，因为120ABC ︒∠=，所以60A ︒∠=，所以2x AE DF ==， 3BE x =，13()2(2)222x x x y BC AD BE a x ⎤=+⋅=-++=⎥⎣⎦)222333333)323a a x x x ax x ⎫-=-=-⎪⎝⎭，故当3a x =时，y 23，故它的定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. AB BC CD a ++=120ABC ︒∠=【点睛】本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．(1)设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置．【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033km 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+，求得π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=，则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+-，则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+ π10sin 103cos 20,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ= 此时π101010tan103(km)63OP =-=- 所以确定污水处理厂的位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033 km 17．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 为曲线与x 轴的交点.(1)若直线l 过原点，且斜率为-2，与曲线交于点D ，求此时等腰梯形ABCD 的面积；(2)若设2CD x =，等腰梯形ABCD 的面积为()S x ，写出函数()S x 的解析式，并求出函数的定义域. 【答案】(1)12+；(2)()()2211S x x x =+-，定义域为()0,1【分析】（1）联立方程得到2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，再计算面积得到答案.（2）计算得到()2,21D x x --，根据面积公式得到解析式，再计算定义域得到答案. (1)直线l 方程为：2y x =-，22214y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，222x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去），故2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2AB =，()1222122S =+⨯=+(2)2CD x =，()2,21D x x --，故()()()22122212112S x x x x x =+⨯-=+-， ()22104y x y +=≥，2CD x =，故01x <<，故定义域为()0,1.。

值域和定义域的概念-概述说明以及解释

值域和定义域的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述值域和定义域是数学中常用的概念，它们在函数、映射以及集合等各个领域都具有重要的作用。

值域和定义域分别描述了函数在自变量和因变量方面的取值范围，对于理解函数的性质和研究函数的特点具有重要意义。

在数学中，函数是描述两个集合之间的对应关系的一种工具。

其中，自变量集合中的元素通过函数映射到因变量集合中的元素。

值域和定义域就是用来描述函数映射的这种取值关系的范围。

定义域是指函数中自变量的取值范围，也就是使函数有意义的自变量的集合。

在函数的图像中，定义域可以看作是自变量所对应的横坐标的取值范围。

定义域决定了函数的输入范围，它限制了函数可以接受的自变量的取值。

值域是指函数中因变量的取值范围，也就是函数在定义域上对应的因变量的集合。

在函数的图像中，值域可以看作是函数图像所覆盖的纵坐标的取值范围。

值域决定了函数的输出范围，它描述了函数所有可能的输出结果。

对于一个特定的函数，其定义域和值域可以有不同的限制和性质。

在一些简单的函数中，定义域和值域往往是整个实数集，即函数能够接受任意实数作为自变量，同时能够得到任意实数作为因变量。

但是在一些特殊的函数中，定义域和值域可能会受到其他条件的限制。

理解和分析函数的定义域和值域对于解题和理论研究都具有重要意义。

通过确定函数的定义域和值域，我们可以判断函数的可行性、特征和性质。

在实际问题中，确定函数的定义域和值域也对解决一些特定条件下的问题具有指导作用。

本文将着重介绍和探讨值域和定义域的概念及其在数学中的重要性。

我们将从定义的角度出发，详细说明值域和定义域的含义，并探讨其在函数理论中的应用。

通过深入研究和分析，我们可以更好地理解和应用这两个概念，提高数学问题的解决能力。

1.2 文章结构文章结构部分的内容:本文主要包括引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要概述了本文的主题和目的。

通过引言，读者可以对值域和定义域的概念有个初步的了解，并对文章的内容有一个整体的认识。

函数的概念及其定义域

2．1函数概念学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？答案因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义函数的概念．梳理函数的概念：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像．知识点二函数三要素思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？答案两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．梳理一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定．两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围．在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义．(2)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.注意：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．知识点三复合函数及其定义域函数的形成过程就是从定义域中拿出一个元素，经过法则搅动一下．这相当于对于原材料，经过一个加工厂加工一下，得到一个产品，即函数值．但有些时候，一个产品需要经过不止一个加工厂，得到一个最终产品．如下：CBA把A C →叫做f 和g 的一个复合．()2f x x =+， 2()g x x =，x 先被f 作用，再被g 作用，记为2[()](2)g f x x =+．这样就可以拿一些简单的函数生成一些复杂的函数．注意[()]g f x 与[()]f g x 不是同一个函数，如上面例题中，2[()]2f g x x =+．再比如你爸爸的妈妈和妈妈的爸爸不可能是同一个人．但有时，[()]f g x 与[()]g f x 是相同的，如()1()2f x x g x x =+=+，．梳理复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

高中数学必修一函数解题方法

函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。

一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。

其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。

由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。

若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。

例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。

例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。

(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。

解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。

例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。

例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。

例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。

二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。

求定义域自变量注意事项

求定义域自变量注意事项定义域是函数中自变量的取值范围。

在定义一个函数的定义域时，有几个注意事项需要特别关注：1. 函数中的自变量可以是数字、代数式、几何实体或其他类型的变量。

在确定定义域时，要清楚自变量的类型，以确定合适的取值范围。

2. 自变量的取值范围通常有约束条件。

例如，对于函数f(x) = 1/x，x 不能等于0，因为在数学中除以0 是没有意义的。

所以，定义域为除了0 以外的所有实数。

3. 定义域的范围可以通过直接给出，也可以通过排除不满足条件的值来确定。

例如，对于函数f(x) = sqrt(x)，x 只能取非负实数，因此我们可以直接给出定义域为[0, +∞)。

又如，对于函数f(x) = 1/(x-2)，由于x-2 不能等于0，所以定义域为除了x = 2 以外的所有实数。

4. 在确定定义域时，要考虑函数的合理性和可行性。

例如，对于函数f(x) = sqrt(2x-x^2)，我们需要考虑根号里面的数值是非负的，即2x-x^2≥0，通过简单的代数运算可以得到定义域为[0, 2]。

5. 在数学中，有些函数的定义域是全体实数，即所有实数都可以作为自变量。

例如线性函数f(x) = ax+b，二次函数f(x) = ax^2+bx+c，或者指数函数f(x) = a^x，它们的定义域都为全体实数。

6. 在解析几何中，我们经常将定义域限定在满足特定条件的几何实体上。

例如，对于平面上点A(x, y)到原点距离的函数f(x, y) = sqrt(x^2+y^2)，定义域为整个平面上除了原点之外的所有点。

7. 当定义多个变量的函数时，定义域的确定会更加复杂。

它可能涉及到多个条件和约束。

例如，对于函数f(x, y) = 1/(x-y)，我们需要考虑除数不能为零和分母的实数要满足的条件。

在使用函数进行数学建模、解题或数据处理时，定义域是一个重要的要素。

正确确定定义域可以保证函数的合理性和有效性，避免无效的操作和结果。

专升本数学定义域求解技巧

专升本数学定义域求解技巧数学中，函数的定义域指的是函数中自变量可能取值的范围。

求解函数的定义域是数学中常见的问题，对于专升本数学考试来说也是一个重要的考点。

下面我将为你详细介绍一些求解函数定义域的技巧。

首先，我们需要了解一些常见函数的定义域。

1. 平方根函数：常见的平方根函数有根式函数y = √(ax+b)，也叫做开平方函数。

对于开平方函数来说，其定义域要求被开方的表达式大于等于0，即ax+b≥0。

因此，定义域可以表示为ax+b≥0的解集。

2. 分式函数：分式函数是以分数形式表示的函数，例如y = 1/(x-2)。

对于分式函数来说，其定义域要求分母不为0，即x-2≠0。

因此，定义域可以表示为x≠2的解集。

3. 指数函数：指数函数是以指数形式表示的函数，例如y = 2^x。

对于指数函数来说，其定义域是全体实数集R。

4. 对数函数：对数函数是以对数形式表示的函数，例如y = log(x)。

对于对数函数来说，其定义域要求x大于0，即x>0。

因此，定义域可以表示为x>0的解集。

在实际应用中，常见函数的定义域通常是在已知数集中满足一定条件的范围。

下面给出一些求解函数定义域的常见技巧：1. 根式函数的定义域求解：(1) 对于一次根式函数y = √(ax+b)，要求ax+b≥0，即ax≥-b。

这时，我们需要根据不等式求解的基本方法，将ax≥-b拆分成ax>-b和ax=-b两种情况，然后分别求解。

最后，将两种情况的解集取并集即可得到根式函数的定义域。

(2) 对于复合根式函数，如f(g(x)) = √(x-2)，我们需要在f(x)的定义域基础上，进一步考虑g(x)的定义域。

以该例子为例，首先考虑√(x-2)的定义域，要求x-2≥0，即x ≥2。

然后，再考虑f(g(x))整体的定义域，将x≥2的条件带入g(x)中，得到g(x)的定义域，并取两者的交集即可得到f(g(x))的定义域。

2. 分式函数的定义域求解：(1) 对于一次分式函数，如y = 1/(x-2)，要求分母x-2≠0，即x≠2。

函数的概念解析式及定义域

得0＜m＜34，因此m的取值范围是[0，34)．
【点评】(1)1.函数定义域：函数y＝f(x)(x∈A)是一种特殊的映射f：A→B(A、B是非空数集)，其原象集A就是函数的定义域．
2．求函数定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
【解析】(1)因为对任意x∈R，有 f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2. 又由f(2)＝3，得f(3－22＋2)＝3－22＋2，即f(1)＝1. 若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.
(2)因为对任意x∈R，
4．给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对任意的大于k的正整数n：f(n)
＝n－k，设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值
为
．
a(a为正整数)
【解析】∵f(n)在 n>1 时的解析式是 f(n)＝n－1. 根据给出的函数值必须是正整数，可得只要 f(1)的值为正整数即可．
a(a为正整数)(n 1)
(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理数指数幂的含义，了解实数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型．
3．对数函数 (1)理解对数函数的概念以及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)．

函数定义域的类型

2、抽象函数类型：抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解。一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个函数的定义域。一般有四种情况
（1）已知f(x)定义域，求f[g(x)]的定义域其解法是：已知f(x)定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解 a ≤g(x) ≤b,即为所求的定义域。
练习：已知f (2x 1)的定义域为[2,5],求f ( x)的定义域。
[3,9]
（3）已知 f[g(x)]定义域，求f[h(x)]的定义域其解法是:已知f[g(x)]定义域是[a,b]求f[h(x)]的定义域:由a ≤x≤b,求 g(x)的值域[c,d],再令c≤h(x)≤d,解得x,即为所求定义域。
5、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例7、求函数y log2 ( x2 2x 3)的单调区间
6、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
0 x a 1 解 :由f ( x)的定义域为[0,1], 则g ( x)必有 0 x a 1 a x 1 a a x 1 a 1 1 0 a , x [a,1 a] 当0 a 时，a x 1 a； 2 2 1 1 a , x { } 1 1 所以 2 2 当a 时，x ； 2 2 1 a , x不存在，函数不存在 1 2 当a 时，x不存在，函数也不存在。 2
3、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

学习函数的定义域应注意的问题

学习函数的定义域时应注意的几个问题麻城市第三中学张兆祥邮编438300 函数的定义域是函数的三要素之一，与函数有关的问题都应先考虑函数的定义域。

在学习函数的定义域时，下面几个问题应引起注意。

一函数的定义域应写成集合或区间的形式。

二函数的定义域是非空的。

例求函数.解析；当a﹥0时，函数的定义域为【12a，+∞），当a﹤0时，函数的定义域为（- ∞，12a】。

不需要考虑a=0的情况。

三由几个函数经过四则运算所得的新函数的定义域是各个函数的定义域的交集。

例已知函数f（x）定义域为（1，5），g（x）的定义域为（-2，4），求h（x）= f（x）+ g（x）的定义域.解析；h（x）的定义域是（1，5）与（-2，4）的交集，故为（1，4）.四分段函数是一个函数，故分段函数的定义域是各段自变量的范围的并集。

2x-1 （x﹥1）例已知函数f（x）= ，则f（x）的定义域为（-∞，x+1 （x﹤-1）-1）⋃（1，+∞）。

五已知函数f（x）定义域，求f【g（x）】的定义域.例已知函数f（x）定义域为（1，2）,求f（2x-1）的定义域.解析: f（2x-1）的定义域是指x的范围，而不是2x-1的范围。

故由f（x）定义域为（1，2）得1﹤2x-1﹤2，所以1﹤x﹤32，即f（2x-1）的定义域为（1，32）。

六已知f【g（x）】的定义域，求f（x）定义域。

例已知f（2x+1）的定义域为（1，2），求f（x）定义域解析: f（2x+1）的定义域为（1，2）是指其中x的范围是（1，2），而不是2x+1的范围是（1，2），先由x的范围求出2x+1的范围是（3，5），故f（x）中x的范围是（3，5），即f（x）定义域是（3，5）。

七函数的定义域与函数有意义是有区别的。

例（1）已知函数f（x）a﹤0且a为常数）的定义域为（-∞，1】，求a的取值范围。

（2）已知函数f（x）（a﹤0且a为常数）在（-∞，1】上有意义，求a的取值范围。