七年级幂的运算

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北师大版七年级下册辅导班教案第一讲幂的运算

首先，对于幂的基础概念，我需要通过更多的生活实例来帮助学生建立起直观的认识。例如，可以通过实际测量和计算长方形、正方形的面积和体积，让学生感受到幂的运算在实际问题中的应用。
其次，在教学过程中，我要更加注重引导学生主动参与。通过设计一些互动环节，让学生在实践中掌握幂的运算。这样既能激发学生的学习兴趣，也有助于提高他们的动手能力和解决问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂的基本概念。幂是表示相同因数相乘次数的数学表达式，它是进行快速运算和简化表达式的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了幂在计算面积、体积等实际问题中的应用，以及它如何帮助我们简化计算过程。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调同底数幂的乘除法则和幂的乘方、积的乘方这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了幂的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对幂的运算的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了幂的运算，我发现学生们对于这个概念的理解程度不尽相同。有的学生能够迅速抓住幂的定义和运算规律，但也有一些学生在同底数幂的乘除运算和负指数的理解上遇到了一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注意以下几点：
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握幂的定义及表示方法，理解幂的数理意义。
-熟练运用同底数幂的乘法、除法法则，并能解决相关问题。
-掌握幂的乘方和积的乘方的运算规律，能够灵活应用。
-理解并掌握负整数指数幂的概念及运算方法。

幂的运算【十大题型】—2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列(沪科版)(解析版)

幂的运算【十大题型】【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】 (1)【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】 (3)【题型3 利用幂的运算法则比较大小】 (5)【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】 (8)【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】 (9)【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】 (11)【题型7 幂的混合运算】 (13)【题型8 新定义下的幂的运算】 (15)【题型9 负整数指数幂】 (19)【题型10 利用科学记数法表示小数】 (21)【知识点1 幂的运算】①同底数幂的乘法：a m ·a n =a m+n 。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(a m )n =a mn 。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n =a n b n 。

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④同底数幂的除法：a m ÷a n =a m -n 。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】【例1】（2023春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：(1)(45)2019×(−1.25)2020；(2)(−9)3×(−23)3×(13)3．【答案】(1)54(2)8【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；（3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可．【详解】（1）解：原式=(45)2019×(54)2020=(45)2019×(54)2019×54=(45×54)2019×54=1×54=54；（2）解：原式=(−9)3×[(−23)×13]3=(−9)3×(−29)3=[(−9)×(−29)]3=23=8．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则．【变式1-1】（2023春·山东烟台·七年级统考期中）计算(−54)2023×(−0.8)2022的结果是（） A ．1B ．−1C ．54D ．−54 【答案】D【详解】解：(−54)2023×(−0.8)2022=(−54)×(−54)2022×(−45)2022 =(−54)×[(−54)×(−45)]2022=−54，故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是积的乘方运算的逆运用进行化简．【变式1-2】（2023春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6【答案】500000【分析】根据积的乘方即可求出答案．【详解】原式=35×(23)5×56=（3×23）5×56=25×55×5=（2×5）5×5=5×105=500000【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．【变式1-3】（2023春·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：(1)325×202.3+87%×2023−21×20.23；(2)(−1.5)2024×(23)2023 【答案】(1)2023(2)1.5【分析】（1）先变形，再利用乘法分配律合并计算；（2）先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方二次变形，再计算即可．【详解】（1）解：325×202.3+87%×2023−21×20.23=175×10×20.23+87×20.23−21×20.23 =34×20.23+87×20.23−21×20.23=(34+87−21)×20.23=100×20.23=2023；（2）(−1.5)2024×(23)2023 =(−1.5)2023×(23)2023×(−1.5) =(−32×23)2023×(−1.5) =(−1)2023×(−1.5)=1.5【点睛】本题考查了乘法分配律，积的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式．【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】【例2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若x m =2，x n =5，则x 3m−2n = ．【答案】825【分析】逆用同底数幂的除法公式及幂的乘法公式，化成已知条件的形式，再计算即可求解..【详解】解：x3m−2n=x3m÷x2n=(x m)3÷(x n)2=23÷52=825.故答案为：825【点睛】本题考查同底数幂的除法及幂的乘法公式的逆运算，熟练掌握公式后再灵活变通是解题关键.【变式2-1】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则2a−2b+1的值为．【答案】4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】：∵2a=18，2b=3，∴2a-2b+1=2a÷（2b）2×2=18÷32×2=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，解题关键是将原式进行正确变形．【变式2-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y2m=3，求(x2m)3+ (y m)6−(x2y)3m⋅y m的值．【答案】-5【详解】∵x3m=2，y2m=3，(x2m)3+(y m)6−(x2y)3m⋅y m=(x3m)2+(y2m)3−(x6m y3m⋅y m)=(x3m)2+(y2m)3−(x3m y2m)2=22+33−(2×3)2=−5.【点睛】考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d 且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为．【答案】2【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54和a ＜b ＜c ＜d 即可得到a ，b ，c ，d 的值，故可求解．【详解】∵10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54，3不是10000的公约数，∴3b =1则b =0∴2a ×4c ×5d =10000∵整数a 、b 、c 、d 满足a ＜b ＜c ＜d∴10000=2−2×43×54符合题意∴a =-2，b =0，c =3，d =4∴4a +3b +2c +d =-8+0+6+4=2故答案为：2．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．【题型3 利用幂的运算法则比较大小】【例3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）如A =999999，B =119990，是比较A ，B 大小（） A ．A >BB ．A <BC ．A =BD ．A 、B 大小不能正确【答案】CA 和B 进行转化变成同底数幂的形式，再进行比较即可．【详解】解：∵A =999999=(99911)9=(11910)9，B =119990=(11910)9， ∴A =B ；故选：C ．【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．【变式3-1】（2023春·山西晋中·七年级统考期中）阅读探究题：【阅读材料】比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数(或指数)相同的情况下，比较指数(或底数)的大小，如：25>23，55>45．在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=(33)10=330，∵30>25，∴330>325．∴2710>325．(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ）A．同底数幂的乘法B．同底数幂的除法C．幂的乘方D．积的乘方(2)类比解答：比较254，1253的大小．(3)拓展提高：比较3555，4444，5333的大小．【答案】(1)C(2)254<1253(3)5333<3555<4444【分析】（1）根据幂的乘方运算法则判断即可；（2）根据幂的乘方运算法则解答即可；（3）根据幂的乘方运算法则解答即可．【详解】（1）上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质，故答案为：C；（2）∵254=(52)4=58，1253=3)3=59，58<59，∴254<1253；（3）∵3555=(35)111=243111，4444=(44)111=256111，5333=(53)111=125111，125111<243111<256111，∴5333<3555<4444．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．【变式3-2】（2023春·江苏·七年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=(a3)5= 25=32，b15=(b5)3=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“<”或“>”）．【答案】<【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知，∵x35=(x5)7=27=128，y35=(y7)5=35=243，243>128，∴x35<y35，∴x<y，故答案为：<．【点睛】本题考查利用幂的乘方比较未知量的大小，熟练掌握幂的乘方的运算法则（底数不变，指数相乘）是解题的关键．【变式3-3】（2023春·河北张家口·七年级统考阶段练习）阅读：已知正整数a,b,c，对于同底数，不同指数的两个幂a b和a c(a≠1)，若b>c，则a b>a c；对于同指数，不同底数的两个幂a b和c b，若a>c，则a b>c b．根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：2882（填“>”“<”或“=”）；(2)比较233与322的大小（写出具体过程）；(3)比较9913×10210与9910×10213的大小（写出具体过程）．【答案】(1)>(2)233<322，过程见解析(3)9913×10210<9910×10213，过程见解析【分析】（1）根据材料提示，正整数a,b,c，对于同底数，不同指数的两个幂a b和a c(a≠1)，指数越大，值a b和c b，底数越大，值越大，由此即可求解；（2）根据幂的运算将233与322转换成同指数，不懂底数的两个幂，进行比较即可；（3）将9913×10210与9910×10213转换为同底数不同指数，同指数不同底数的形式，结合材料提示即可求解．【详解】（1）解：∵28=(24)2=162，16>8，∴162>82，故答案为：>．（2）解：∵233=(23)11=811，322=(32)11=911，8<9，∴811<911，∴233<322．（3）解：∵9913×10210=9910×993×10210=(99×102)10×993，9910×10213=9910×10210×1023= (99×102)10×1023，993<1023，∴(99×102)10×993<(99×102)10×1023，∴9913×10210<9910×10213．【点睛】本题主要考查幂的知识，幂的乘方，积的乘方等运算的综合，掌握以上知识及运算是解题的关键．【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】【例4】（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）若a+b+c=1，则(−2)a−1×(−2)3b+2×(−2)2a+3c的值为 .【答案】16【分析】根据同底数幂的乘法可进行求解．【详解】解：∵a+b+c=1，∴(−2)a−1×(−2)3b+2×(−2)2a+3c=(−2)a−1+3b+2+2a+3c=(−2)3(a+b+c)+1=16；故答案为16．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键．【变式4-1】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知2x+y=1，则4x·2y的值为．【答案】2【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．【详解】解：∵2x+y=1，∴4x·2y=(22)x·2y=22x·2y=22x+y=21=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．【变式4-2】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知2x+4y−3=0，则4x⋅16y−8的值为（）A．3B．8C．0D．4【答案】C【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法将原式化为22x+4y−8，再整体代入计算即可．【详解】解：∵2x+4y−3=0，即2x+4y=3，∴原式=22x⋅24y−8=22x+4y−8=23−8=8−8=0，故选：C．【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的前提，将原式化为22x+4y−8是正确解答的关键．【变式4-3】（2023春·广西崇左·七年级统考期中）若2a+3b−4c−2=0，则9a×27b÷81c的值为．【答案】9【分析】由幂的乘方进行化简，然后把2a+3b−4c=2代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵2a+3b−4c−2=0，∴2a+3b−4c=2，∴9a×27b÷81c=32a×33b÷34c=32a+3b−4c=32=9；故答案为：9．【点睛】本题考查了幂的乘方的运算法则，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】【例5】（2023春·上海浦东新·七年级统考期中）已知42x⋅52x+1−42x+1⋅52x=203x−4，求x的值；【答案】x=4【分析】根据积的乘方的逆运算即可解得．【详解】解：42x⋅52x+1−42x+1⋅52x=203x−442x⋅52x⋅５−４⋅42x⋅52x=203x−4202x⋅５−４⋅202x=203x−4202x=203x−42x=3x−4x=4【点睛】此题考查了积的乘方的逆运算，题解的关键是转化成同底数．【变式5-1】（2023春·河北邯郸·七年级校考期中）计算：(1)已知2⋅8n⋅32n=225，求n 的值；(2)已知n 是正整数，且x3n=2，求(3x3n)2+(−2x2n)3的值．【答案】(1)3；(2)4．【分析】（1）由2⋅8n⋅32n=2⋅(23)n⋅(25)n=2⋅23n⋅25n=28n+1=225，得到一元一次方程8n+1=25，即可求解；（2）把(3x3n)2+(−2x2n)3变形为(3x3n)2−8(x3n)2，再把x3n=2代入计算即可．【详解】（1）解：∵2⋅8n⋅32n=2⋅(23)n⋅(25)n=2⋅23n⋅25n=28n+1=225，∴8n+1=25，解得n=3.（2）解：∵(3x3n)2+(−2x2n)3=(3x3n)2−8(x3n)2，当x3n=2时，原式=(3×2)2−8×22=36−32=4．【变式5-2】（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若2a=3，2b=7，2c=m，且a+b=c，则此时m值为．【答案】21【分析】根据同底数幂的乘法运算法则求解即可．【详解】解：∵2a=3，2b=7，∴2a⋅2b=2a+b=21，∵a+b=c，∴2c=21，又2c=m，∴m=21，故答案为：21．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟练掌握运算法则：a m⋅a n=a m+n．【变式5-3】（2023春·山东淄博·七年级统考期中）若52×5m=510，9n÷3n=3，则m+n=．【答案】9【分析】根据幂的运算即可得出：{2+m=10n=1，求出m、n的值，即可得出答案．【详解】解：∵52×5m=510，9n÷3n=3，∴52+m=510，32n÷3n=3n=3，∴{2+m=10n=1，解得{m=8n=1，∴m+n=9．故答案为：9．【点睛】此题考查了同底数幂相乘和同底数幂相除的运算，利用幂的运算得出方程组解出字母的值是解题的关键．【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】【例6】（2023春·江苏泰州·七年级校考期中）若x=2m+1，y=4m−1．(1)当m=2时，分别求x，y的值．(2)用只含x的代数式表示y．【答案】(1)x=5；y=15(2)y=x2−2x【分析】（1）将m=2代入x=2m+1，y=4m−1中计算即可；（2）由x=2m+1可得2m=x−1，再根据幂的乘方运算解答即可．【详解】（1）解：将m=2分别代入x=2m+1，y=4m−1中∴x=22+1=5，y=42−1=15；（2）解：∵x=2m+1，∴2m=x−1，∴y=4m−1=(2m)2−1=(x−1)2−1=x2−2x．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练利用幂的乘方的逆运算对式子进行变形．【变式6-1】（2023春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）已知2x−4=m，用含m的代数式表示2x正确的是（）A．16m B．8m C．m+4D．m4【答案】A【分析】利用幂的除法的逆运算即可求解．【详解】解：∵2x−4=m，=m，∴2x24∴2x=16m，故选：A．【点睛】本题考查了幂的除法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．【变式6-2】（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+y之间关系是．【答案】xy=x+y【分析】由条件可得(43x)y=2021y,(47y)x=2021x,可得43xy⋅47xy=(43x)y×(47y)x=2021y×2021x=2021x+y,而43xy×47xy=(43×47)xy=2021xy,从而可得答案．【详解】解：∵43x=2021,47y=2021，∴(43x)y=2021y,(47y)x=2021x,∴43xy⋅47xy=(43x)y×(47y)x=2021y×2021x=2021x+y,而43xy×47xy=(43×47)xy=2021xy,∴2021xy=2021x+y,∴xy=x+y.故答案为：xy=x+y.【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键．【变式6-3】（2023春·江西南昌·七年级南昌市第十九中学校考期末）若a m=a n(a>0且a≠l，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果8x=25，求x的值；(2)如果2x+2+2x+1=24，求x的值；(3)若x=5m−3，y=4−25m，用含x的代数式表示y．【答案】(1)x=53(2)x=2(3)y=−x2−6x−5【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x化为底数为2的幂，解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1=24变形为2x(22+2)=24即可解答；（3）由x=5m−3可得5m=x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．【详解】（1）解：8x=(23)x=23x=25，∴3x=5，解得x=5；3（2）解：∵2x+2+2x+1=24，∴2x×22+2x×2=24∴6×2x=24，∴2x=4，∴x=2；（3）解：∵x=5m−3，∴5m=x+3，∵y=4−25m=4−(52)m=4−(5m)2=4−(x+3)2，∴y=−x2−6x−5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．【题型7 幂的混合运算】【例7】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）计算：(1)a4+(−2a2)3−a8÷a4；(2)2a2b⋅5ab2−3ab⋅(ab)2．【答案】(1)−8a6(2)7a3b3【分析】（1）运用积的乘方、同底数幂相除及合并同类项进行求解；（2）运用积的乘方、单项式乘以单项式进行运算．【详解】（1）解：a4+(−2a2)3−a8÷a4=a4−8a6−a4=−8a6；（2）解：2a2b⋅5ab2−3ab⋅(ab)2=10a3b3−3ab⋅a2b2=10a3b3−3a3b3=7a3b3．【点睛】此题考查了积的乘方、同底数幂相除、单项式乘以单项式及合并同类项的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．【变式7-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）计算：(1)2x3y2⋅(−2xy2z)2；(2)(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2．【答案】(1)8x5y6z2；(2)−16x6．【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案；（2【详解】（1）解：2x3y2⋅(−2xy2z)2=2x3y2⋅4x2y4z2=8x5y6z2；（2）解：(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2=−8x6+x6−9x6=−16x6．【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式7-2】（2023春·上海青浦·七年级校考期中）计算：(−12xy2)2⋅8x4y2−(2x2y2)3．【答案】−6x6y6【分析】分别按照幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式的运算法则进行计算，最后合并同类项即可．【详解】解：(−12xy2)2⋅8x4y2−(2x2y2)3=14x2y4⋅8x4y2−8x6y6=2x6y6−8x6y6=−6x6y6【点睛】本题考查了整式的乘法运算．用到的知识点有幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的因式相乘；单项式乘单项式，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母和字母指数不变，作为积的因式．【变式7-3】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）计算：a n−5(a n+1b3m−2)2+(a n−1b m−2)3(−b3m+2)．【答案】0【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式的计算法则求解即可．【详解】解：原式=a n−5(a2n+2b6m−4)+(a3n−3b3m−6)(−b3m+2)=a3n−3b6m−4+(−a3n−3b6m−4)=a3n−3b6m−4−a3n−3b6m−4=0．【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键.【题型8 新定义下的幂的运算】【例8】（2023春·上海徐汇·七年级上海市第四中学校考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a…，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．(1)计算以下各对数的值：log24＝_____，log216＝_____，log264＝_____．(2)写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M+log a N=_____（a>0且a≠1，M>0，N>0）．(4)设a n＝N，a m＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1)2，4，6(2)log24+log216=log264(3)log a(MN)(4)证明见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216=log264；（3）由特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a(MN)．（4）设log a M＝b1，log a N＝b2，根据同底数幂的运算法则：a m⋅a n=a m+n和给出的材料证明结论．【详解】（1）∵22=4，24=16，26=64∴log24=2，log216=4，log264=6，故答案为：2，4，6；（2）∵4×16＝64，log24=2，log216=4，log264=6，∴log24+log216=log264，故答案为：log24+log216=log264；（3）由（2）的结果可得log a M+log a N=log a(MN)，故答案为：log a(MN)．（4）设log a M＝b1，log a N＝b2，则a b1=M，a b2=N∴MN=a b1a b2=a b1+b2，∴b1+b2＝loga（MN），∴log a M+log a N=log a(MN)．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．（2023春·广东揭阳·七年级校考期中）若定义表示3xyz，表示−2a b c d，【变式8-1】则运算的结果为（）A．−12m3n4B．−6m2n5C．12m4n3D．12m3n4【答案】A【分析】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案．【详解】解：根据定义得：=3×m×n×2×（-2）×m2×n3=-12m3n4，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据新定义列出算式是解决问题的关键．【变式8-2】（2023春·江苏淮安·七年级期中）定义一种幂的新运算：x a⊕x b=x ab+x a+b，请利用这种运算规则解决下列问题：(1)22⊕23的值为；(2)若2p=3,2q=5,3q=7，求2p⊕2q的值；【答案】(1)96(2)22【分析】（1）根据新运算规则计算，即可求解；（22+2p+q，再由幂的乘方和同底数幂的逆运算计算，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：22⊕23=22×3+22+3=26+25=96；故答案为：96（2）解：∵2p=3,2q=5,3q=7，2p⊕2q=2pq+2p+q=(2p)q+2p×2q=3q+2p×2q=7+3×5=22【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的逆运算，利用新运算规则是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏·七年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果a c=b．我们叫(a,b)为“雅对”．例如：因为23=8，所以(2,8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立．证明如下：设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，则(3,15)=m+n，即(3,3)+(3,5)=(3,15)．(1)根据上述规定，填空：(2,4)=_________；(5,1)=_________；(3,27)=_________．(2)计算(5,2)+(5,7)=___________，并说明理由．(3)利用“雅对”定义证明：(2n,3n)=(2,3)，对于任意自然数n都成立．【答案】(1)2；0；3(2)(5,2)+(5,7)=(5,14),理由见解析(3)见解析【分析】（1）由于22=4，50=1，33=27根据“雅对”的定义可得；（2）设（5，2）=m，（5，7）=n，利用新定义得到5m=2，5n=7，根据同底数幂的乘法得到5m•5n= 5m+n=14，然后根据“雅对”的定义得到（5，14）=m+n，从而得到（5，2）+（5，7）=（5，14）；（3）设：（2n，3n）=a，（2，3）=b，利用新定义得到（2n）a=3n，2b=3，根据幂的乘方得到（2n）a=（2b）n，从而得到a=b，所以（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．【详解】（1）∵22=4，∴(2,4)=2；∵50=1，∴(5,1)=0；∵33=27，∴(3,27)=3故答案为：2；0；3；（2）（5，2）+（5，7）=（5，14）；理由如下：设（5，2）=m，（5，7）=n，则5m=2，5n=7，∴5m•5n=5m+n=2×7=14，∵（5，14）=m+n，∴（5，2）+（5，7）=（5，14）；故答案为：（5，14）；（3）设（2n，3n）=a，（2，3）=b，∴（2n）a=3n，2b=3，∴（2n）a=（2b）n，即2an=2bn，∴an=bn，∴a=b，即（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（a m）n=a mn（m，n是正整数）．【题型9 负整数指数幂】【例9】（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知x=1+7n，y=1+7−n，则用x表示y的结果正确的是（）A．x+1x−1B．x+1x+1C．xx−1D．7−x【答案】C【分析】将y变形为y=1+17n，再将x=1+7n变形为7n=x−1，代入即可．【详解】解：y=1+7−n=1+17n，∵x=1+7n，∴7n=x−1，∴y=1+17n =1+1x−1=xx−1，故选：C．【点睛】本题考查了负整数指数幂，以及分式的化简，熟练掌握负整数指数幂的运算是解题的关键．【变式9-1】（2023下·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期中）若a=(0.3)2，b=−3−2，c=(−13)−2，则a，b，c的大小关系为（用“＜”连接）．【答案】b＜a＜c【分析】根据a=(0.3)2=0.09，b=−3−2=−132=−19，c=(−13)−2=1(−13)2=9，比较即可．【详解】∵a=(0.3)2=0.09，b=−3−2=−132=−19，c=(−13)−2=1(−13)2=9，∴−19＜0.09＜9，故b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点睛】本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键．【变式9-2】（2023上·陕西·七年级校考阶段练习）已知x=3−q，y−1=21−p，z=4p27−q，用x，y表示z的代数式为．【答案】4x3y2．【分析】由于z=4p•27-q=（22）p•（33）-q=（2p）2•（3-q）3，题目要求用x，y表示z，又x=3-q，那么关键是用y的代数式表示2p．由y-1=21-p，根据负整指数幂的意义，可知2p=2y．【详解】由y-1=21-p，得y＝2p−1＝2p2，所以2p=2y．z=4p•27-q=（22）p•（33）-q=（2p）2•（3-q）3=（2y）2•x3=4x3y2．【点睛】本题综合考查了幂的运算性质、负整指数幂的意义及代数式的恒等变形．本题能够由已知条件y-1=21-p，得出2p=2y是解题的关键．【变式9-3】（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）若x2−12x+1=0，则x4+1x4的个位数字是．【答案】2【分析】根据已知可得x+x−1=12，进而根据完全平方公式的得出x2+x−2，x4+x−4，即可求解．【详解】解：由题设知x≠0，于是有x+x−1=12．于是x2+x−2=(x+x−1)2−2=122−2=142，x4+x−4=(x2+x−2)2−2=1422−2．故x4+x−4的个位数字为2．【点睛】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，将已知等式变形是解题的关键．【题型10 利用科学记数法表示小数】【例10】（2023·河北邯郸·校考一模）把0.00258写成a×10n（1≤a<10，n为整数）的形式，则a+n为（）A．2.58B．5.58C．−0.58D．−0.42【答案】D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10-3．故a=2.58，n=-3，则a+n=-0.42．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式10-1】（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期末）某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是（）A．0.05毫米B．0.005C．0.0005毫米D．0.00005毫米【答案】C【详解】科学记数法a×10n，n=-4，所以小数点向前移动4位．5×10-4=0.0005，故选C.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式10-2】（2023上·重庆渝中·七年级统考期末）人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国某种芯片的制作工艺已达到28纳米，居世界前列．已知1纳米＝1×10﹣9米，则28纳米等于多少米？将其结果用科学记数法表示为．【答案】2.8×10-8米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将28纳米用科学记数法表示为2.8×10-8米，故答案为：2.8×10-8米．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式10-3】（2023下·江苏镇江·七年级校考期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto−10−27，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．1幺−10−24．一个光子的质量约为1.1×10−23幺克．换算后约为ronto克．【答案】1.1×10−20【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可．=1.1×10−20ronto克【详解】一个光子的质量约为1.1×10−23幺克．换算后约为1.1×10−2310−2710−24故答案为1.1×10−20．【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法．。

第1讲幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义

第1讲幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --；（2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅；（4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；（2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝，（﹣3）4＝；（2）关于除方，下列说法错误的是；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝；517⎛⎫⎪⎝⎭＝．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于．（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝，10m ×10n ＝．（m ，n 均为正整数）（2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题：（1）将指数35125=转化为对数式：．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞（3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立；（3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______；（3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。

七年级下册数学幂的乘方与积的乘方

一、概述乘方是数学中常见的运算方式，而在七年级下册数学课程中，乘方的概念和运算更是重要的一部分。

其中，幂的乘方和积的乘方是学习乘方的重要内容，通过对这两个概念的深入理解和掌握，可以帮助学生更好地应用乘方运算解决实际问题，提高数学能力。

二、幂的乘方1. 幂的概念幂指的是将一个数自身相乘若干次，比如2的3次幂即为2乘以2乘以2，记作2^3。

2. 幂的运算规则a. 同底幂相乘：若a^n × a^m，即底数相同，指数相加，底数不变。

b. 同底幂相除：若a^n ÷ a^m，即底数相同，指数相减，底数不变。

c. 幂的乘方：(a^n)^m = a^(n×m)，即一个数的幂再乘以一个数的幂等于这个数的幂的乘积。

3. 举例说明若有2^3 × 2^2，则根据同底幂相乘的规则，底数2不变，指数相加得到2^(3+2)=2^5，因此2^3 × 2^2=2^5。

三、积的乘方1. 积的概念积的乘方指的是将一个数的积自身相乘若干次，比如(2×3)的4次幂即为2×3乘以2×3乘以2×3乘以2×3，记作(2×3)^4。

2. 积的乘方运算规则a. 积的乘方展开：(a×b)^n = a^n × b^n，即括号中的积的乘方等于括号里的各项的乘方相乘。

b. 积的乘方合并：a^n × a^n = (a^n)^2 = a^(2n)，即同底数的乘方相乘等于底数不变，指数相加。

3. 举例说明若有(2×3)^4，则根据积的乘方展开的规则，括号中的积的乘方等于2的4次幂乘以3的4次幂，即(2^4) × (3^4)。

四、应用举例1. 计算器计算通过计算器进行幂的乘方和积的乘方的计算。

2. 实际问题通过应用题来帮助学生更好地理解幂的乘方和积的乘方在解决实际问题中的应用。

五、总结通过对幂的乘方和积的乘方的理解和掌握，学生可以更好地进行乘方运算、解决实际问题。

第八章幂的运算(小结思考)(课件)七年级数学下册(苏科版)

中的
①③④ ⁠(填序号).
11.若a＝1.01×10－6，b＝1.01×10－5，c＝9.99×10－4，则a，b，c按从
解：∵a＝1.01×10－6＝0.00000101，
a＜b＜c
小到大的顺序排列为________________．
12.如果等式（2a-1）a+2=1，则a的值为
-2或1或0
____________.
A. x2m
B. x2m+1
C. x2m+2
D. xm+2
3.等式− = (−) ( ≠ )成立的条件是（ A ）
A. n是奇数 B. n是偶数
C.n是正整数
D. n是整数
课堂检测
4.生物学家发现一种病毒，用1015个这样的病毒首尾连接起来，
可以绕长约为4万km的赤道1周，一个这样的病毒的长度为（ B ）
加、减法
合并同类项（见七上第三章）
n个 am
乘
法
同底数幂的乘法运算性质：
am·an=am+n （m、n是正整数）
除
法
同底数幂的除法运算性质：
am÷an=am-n （m、n是整数，a≠0）
乘
方
am … am= amn
(am)n = am·
幂的乘方运算性质：
(am)n=amn （m、n是正整数）
积的乘方运算性质：
课堂检测
(2) 1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n(其中n为正整数).
解:(2) 设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n①.
将等式两边同时乘3，
得3S＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋3n＋1②.
②－①，得3S－S＝3n＋1－1.

七年级下数学幂的运算)

第一周周末学案幂的运算【知识要点】1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数，指数。

用公式表 .2。

幂的乘方法则：幂的乘方,底数，指数 . 用公式表示为 .3。

积的乘方法则：积的乘方,把积的每一个因式，再把所得的积。

用公式表示为 .4。

同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数，指数。

用公式表示为。

5。

我们规定:a 0=,a -n = 。

【基础演练】1、计算:－(－3)2＝ p 2·（—p ）·（-p)5=（—2x 3y 4）3=（x 4）3=_______ (a m ）2=________， m 12=（ )2=( ）3=（）4。

2、（1)若a m ·a m =a 8,则m=(2）若a 5·(a n ）3=a 11，则n= 3、用科学记数法表示：（1）0.00000730=（2）-0。

00001023= 4、一种细菌的半径为3.9×10-5m ，用小数表示应是 m 。

氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529厘米。

用科学记数法表示这个距离为5、已知a m =3， a n =9, 则a 3m —2n = .6、用小数或分数表示下列各数。

（1）2-5 （2）1。

03×10-4 (3）2)23(- (4）（-3)—4 7、下列计算正确的是（）A 。

22x x x =+ B.523x x x =⋅ C 。

532)(x x = D.222)2(x x =8、下列各运算中，正确的是（ )A 。

2523a a a =+B .6239)3(a a =-C 。

326a a a =÷D .4)2(22+=+a a9、如果(),990-=a ()11.0--=b ,235-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c ,那么c b a ,,三数的大小为 A.c b a >> B 。

b a c >> C.b c a >> D.a b c >>10、已知（a x ·a y ）5=a 20 (a ＞0,且a ≠1)，那么x 、y 应满足( )A x+y=15B x+y=4C xy=4D y=11、填空（1)。

苏科版七年级下册数学《幂的运算》课件

你还记得吗？
4.同底数幂的除法法则
文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减
字母表示： am÷an=am-n （a≠0 m,n是正整数 m>n）
扩大：
am÷an÷ap=am-n-p （a≠0 m,n，p是整数）
考考你
a8 ÷a3 =a8-3=a5
(½)5÷(½)3 =(1/2)5-3=(1/2)2=1/4 (-s)7÷(-s)2 =(-s)7-2=(-s)5=-s5
=4b4
(5) a8÷a4=a2 ×
=a4
(6) (-z)6÷(-z)2=-z4 ×
=z4
幂的运算中的方法与技能
类型一：熟练使用公式，正确进行各种计算
(1)m19÷m14·m3÷m2
=m5·m3÷m2 =m8÷m2
或=m19-14+3-2 =m6
=m6
(2)(x-y)8÷(x-y)4÷(y-x)3
am-n=am÷an amn= (an)m anbn= (ab)n
幂的运算中的方法与技能
类型二：逆用公式进行计算
例1.已知am=4，an=2.
求①am+n的值．②am-n的值．③ a3m+2n的值．④ a2m-n的值=am·an=m÷an=a3m·a2n
=a2m÷an
=4×2 =4÷2
=(am)3·(an)2
=(-x2n-2 ) ·(-x5) ÷x2n+1 =x2n+3÷x2n+1 =x2 (4)4-(-1/2)-2-32÷(-3)0 =4-4-9÷1 =4-4-9 =-9
注意：运算时第一确定
所含运算类型，理清运算顺序，用准运算法则
幂的运算中的方法与技能
类型二：逆用公式进行计算

七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义

第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。

沪科版七年级数学下册8.1幂的运算8.1.1同底数幂的乘法优秀教学案例

3.创设互动环节，让学生分享自己在生活中遇到的同底数幂乘法问题，增加学生之间的交流和合作。
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考同底数幂乘法的规律，如“为什么同底数幂相乘时，指数要相加？”
2.鼓励学生提出问题，培养学生的疑问意识和批判性思维，引导学生主动探索同底数幂乘法的本质。
3.创设问题情境，让学生运用同底数幂的乘法知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.鼓励学生分享自己的思路和方法，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
（四）总结归纳
1.引导学生进行自我反思，总结自己在学习同底数幂乘法过程中的优点和不足，明确下一步的学习目标。
2.组织学生进行同伴评价，鼓励学生相互鼓励和肯定，培养学生的积极心态。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的思维过程和解决问题的能力，给予及时的反馈和指导。
2.组织学生进行同伴评价，鼓励学生相互鼓励和肯定，培养学生的积极心态。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的思维过程和解决问题的能力，给予及时的反馈和指导。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例引入同底数幂的乘法，例如计算一个正方体的体积，引导学生感受同底数幂乘法在实际生活中的应用。
2.通过多媒体展示同底数幂乘法的实际应用场景，如物理中的浮力计算、化学中的浓度计算等，让学生了解同底数幂乘法的重要性。
3.创设互动环节，让学生分享自己在生活中遇到的同底数幂乘法问题，增加学生之间的交流和合作。
（二）讲授新知
1.引导学生复习已学过的幂的定义和性质，为学生提供知识基础。
2.讲解同底数幂的乘法概念和运算法则，通过示例演示同底数幂相乘的规律。
3.小组合作学习：将学生分成小组，鼓励学生之间进行讨论和合作，共同探讨同底数幂乘法的规律。这种小组合作学习方式能够培养学生的团队合作能力和沟通能力，提高学生的学习效果。

初一数学七年级下《幂的运算》复习

数学七年级下《幂的运算》复习一、知识回顾1.同底数幂的乘法 ·m n m na a a +=2.幂的乘方：()m n mna a =3.积的乘方： ()n n nab a b =4.同底数幂相除： m n m na a a -÷=5.零指数幂和负整数指数幂：① 10=a (a ≠ ) ② 1p p aa=-(a ≠ P 为数) 在运用法则进行运算时，要注意以下几点：① 首先判别计算类型，其次再运用该类型的运算法则进行计算，切记，不用类型运算运用不同的法则。

② 运算中还要注意运算顺序，先乘方，再乘除。

③ 运算时要注意符号变化，—1的奇数次幂等于—1，—1的偶数次幂等于1。

（也包括负奇数，负偶数）④ 如果是有关负整数指数次幂的运算，我们可把负整数指数幂转化为正整数次幂后再进行计算。

⑤ 注意公式的正反运用，灵活变形，6.科学计数法：一般地，一个数利用科学记数法可以写成na 10⨯的形式（其中是整数，＜n a 101≤）二、知识学习（一）填空题1． (－3xy)2＝ x 2＋x·x ＝ ()-=1222ab ______________， 3. (2m －n)3·(n －2m)2＝ (a 2b)2÷a 4= ．4．（34-）10（0.75）11= 。

：[]421245)(a a a ⋅÷=__________。

5．[(-x)3]2;= [(-x)2]3= (-2mn 2)3=(y 3)2.(y 2)4=_________6．最薄的金箔的厚度为0.000000091m ，用科学记数法表示为________ m;7．我国国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法可表示为___________平方千米8、代数式（2x+3）x+2016的值为1，x 为___________（二）选择题1、()4223a a a ⋅+等于（）（A ）92a （B ）62a （C ） 86a a + （D ） 12a2、下列运算中正确的是（）（A ）632x x x =⋅（B ）()532x x =（C ）xx x 132=÷（D ）()x x x x x 212322--=+- 3、00813.0用科学记数法表示为（）（A ）31013.8-⨯（B ）4103.81-⨯（C ） 41013.8-⨯ （D ）3103.81-⨯4、在下列四个算式：()()()2232736,a a a a a --=--=-，()()()3633423,a a a a a a -÷=-÷-=-，正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5、计算25m ÷5m 的结果为（）(A) 5 (B)20 (C) 5m （D ）20m6、已知2a =3,2b =6,2c =12,则a 、b 、c 的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b ④b+c=2a+3,其中正确的个数( )A.1个B.2个C. 3个D.4个7、下列各式计算正确的是（）(A)527()a a =．(B)22122x x -=(C)236326a a a ⨯= (D)826a a a ÷= 8、若23.0-=a ，23--=b ，231-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c ，051⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d ，则（）A ．a ＜b ＜c ＜dB ．b ＜a ＜d ＜cC ．a ＜d ＜c ＜bD ．c ＜a ＜d ＜b（三）解答题1、计算1、 24·4m ·8m-12、n n n x x x⋅÷)(243、4－(－2)－2－32÷(－3)0 4、0.125 2004×（-8）20055、(－a 3)2·(－a 2)36、 (p －q)4÷(q －p)3·(p －q)27 、(－3a)3－(－a)·(－3a)2 8、4－(－2)-2－32÷(3.14-π)02、已知：a m =2,a n =3求: (1) a 2m +a 3n (2) a 2m+3n (3) a 2m－ 3n 的值3、已知a 是大于1的实数，且有a 3+a -3=p ，a 3-a -3=q 成立．（1）若p+q=4，求p-q 的值；4、已知a ＝2－555，b ＝3－444，c ＝6－222，请用“>”把它们按从小到大的顺序连接起来，并说明理由5、有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜。

幂的运算(第1课时)(沪科版)

注意公式中的底数和指数可以是一个数、字母或一个式子.
4.创新应用. （1）已知an－3·a2n+1=a10,求n的值;
公式运用：am·an=am+n 解：n－3+2n+1=10,
n=4; （2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.
公式逆用：am+n=am·an 解：xa+b=xa·xb=2×3=6.
练一练
判断对错：
（1）(am )n amn
（2）a 2 • a5 a10
（3）(a 2 )10 a 20
（4）[( 3)2 ]3 ( 3)6
4
4
（5）(b n1 ) 2 b 2n2
（6）[( x y)2 ]5 (x y)10
（× ）（× ）（√ ）（ ×）（√ ）（√ ）
(2)(b5)5 =b5×5=b25;
(3)(an)3=an×3=a3n;
(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m;
(5)(y2)3 ·y=y2×3·y=y6·y=y7;
(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6 －a3×4 =2a12-a12 =a12.
注意：一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．
练一练
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)x4·x6=x24 ( × )
（2） x·x3=x3 ( × )
(3) x4+x4=x8 ( × )
(4) x2·x2=2x4 ( × )
(5)(－x)2 ·(－x)3 = (－x)5 ( √ ) (6)a2·a3－ a3·a2 = 0 ( √ )
当堂练习
1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正.
(1)b3·b3=2b3 ×

北师大七年级下第1讲：幂的运算

第一讲：幂的运算1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，幂的除法）；2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.【例1】计算：（1）()()()a a a -⋅-⋅-34（2）()5322m m m +-⋅-（3）()()6235332x x x x x x ⋅-+-⋅+⋅ （4）；（5）．+⋅=m n m n a a a ,mn 35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+23(2)(2)x y y x -⋅-幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【例1】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【例2】已知282+=y x ，939-=x y ,求x+2y 的值．【例3】已知，则＝．积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.()=m n mn a a ,mn 23[()]a b --32235()()2y y y y +-22412()()m m x x -+⋅3234()()x x ⋅322,3mm ab ==()()()36322mm m m a b a b b +-⋅()=⋅n n n ab a bn【例1】计算：（1）（2）【例2】下列等式正确的个数是( )． ① ② ③④ ⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例3】已知22=mx ，求()()22332n m x x -的值.同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【例1】计算：（1）83x x ÷ （2）3()a a -÷ （3）52(2)(2)xy xy ÷ （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例2】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-24(2)xy -24333[()]a a b -⋅-()3236926x yx y -=-()326m m a a -=()36933a a =()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯【例3】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【变式】已知以m a =2，n a =4，k a =32．则32m n ka+-的值为．零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nn a a-=（a ≠0，n 是正整数）.【例1】计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【例2】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【例3】已知1327m=，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则nm 的值＝________．负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.【例1】用科学记数法：3×410-= ．（写成小数形式）【例2】把0.00000002写成如（2）的科学记数法10na ⨯的形式是：．一、选择题 1、的结果是( )．A.0B.C.D.2、将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．21)3()61()2(-<<-- B ．201)3()2()61(-<-<-C ．102)61()2()3(-<-<-D ．120)61()3()2(-<-<-3、下列计算中，错误的个数是( )． ① ② ③④ ⑤A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 4、下列计算中正确的是( )． A.212a a xx x ++÷=B.()()6322xy xy x y ÷=C.()12529x x x x ÷÷=D.()42332n nn n x xx x +÷=()()2552aa -+-72a -102a 102a -()23636xx =()2551010525a b a b -=-3328()327x x -=-()42367381x yx y =235x x x ⋅=二.填空题1、化简：(1)＝_______；(2)＝_______．2、若，则＝______．3、()()532aa -÷-=__________,201079273÷÷=__________,02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.4、一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m .5、已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是．三.解答题1、若，求的值．2、先化简，后求值：()()23424211212a b a b ab----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭，其中23a b ==-，.33331)31(b a ab +-()()322223aa a +⋅2,3nna b ==6n2530x y +-=432xy⋅一.选择题 1、的值是( )．A. B.C.D.2、下列计算正确的是( )．A.B. C.D.3、下列计算中正确的是( )． A.212a a xx x ++÷=B.()()6322xy xy x y ÷=C.()12529x x x x ÷÷=D.()42332n nn n x xx x +÷= 4、近似数0.33万表示为（） A ．3.3×210- B ．3.3000×310C ．3.3×310D ．0.33×4105、若成立，则( )．A. ＝6，＝12B. ＝3，＝12C. ＝3，＝5D. ＝6，＝5二.填空题 1、若，则＝_______．2、若，则＝______；若，则＝______．3、______； ______；＝______．4、=-+-01)π()21(______，()011 3.142--++＝______．5、()3223a b-＝______，()22a b---＝______．6、若n 是正整数，且，则＝__________.三.解答题2nn a a +⋅3n a+()2n n a+22n a+8a ()33xy xy =()222455xyx y -=-()22439xx -=-()323628xyx y -=-()391528m n a ba b =m n m n m n m n ()319xaa a ⋅=x 38ma a a ⋅=m 31381x +=x ()322⎡⎤-=⎣⎦()33n ⎡⎤-=⎣⎦()523-210na =3222()8()n n a a --1、（1）若，求的值．（2）若，求、的值．2、已知2x =3，2y=5．求：（1）2x y+的值；（2）yx -2的值；（3）212x y +-的值．3335n n x x x +⋅=n ()3915n m a b b a b ⋅⋅=m n。

第04讲幂的运算(一)-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课(沪教版,上海专用)

第04讲幂的运算（一）模块一：同底数幂的乘法1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：na 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，na 表示有n 个a 连续相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()53-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示()33333-⨯⨯⨯⨯；527⎛⎫ ⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：()239-=，()3327-=-．特别地：当n 为奇数时，()nn aa -=-；而当n 为偶数时，()nnaa -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．【例1】1. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1）5622⨯；（2）23a a a ⋅⋅；（3）24()()a b a b +⋅+；（4）235()()()x y x y x y -⋅-⋅-．【例2】2. 下列各式正确吗？不正确的请加以改正．（1）347()()x x x -⋅-=-；（2）246()()x x x --=-；（3）()()121mm m a a a ++--=；（4）5552b b b ⋅=；（5）4610b b b +=；（6）15052x x x =⋅；（7）5525x x x ⋅=；（8）33c c c ⋅=．3. 计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()()()332a a a --⋅--；（2）()()23x y y x --；（3）()()()212222m m x y x y x y -+---．【例4】4. 如果2111m n n x x x -+⋅=，且145m n y y y --⋅=，试求m 、n 的值．模块二：幂的乘方1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()m n mn a a =（m 、n 都是正整数）【例5】5. 计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()42a -；（2）24()a -；（3）2()n n a ；（4）()832；（5）()432⎡⎤-⎣⎦；（6）()33b -；（7）()43x -；（8）323()()x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦．6. 计算：（1）()()684393x x -；（2）()()432332a a a a - ；（3）()2122n n n a a a +++；（4）()()()3834222632x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．【例7】7. 已知23m n a a ==，，求23m n a +的值．【例8】8. 比较大小：（1）比较下列一组数的大小：在552，443，334，225；（2）比较下列一组数的大小：31416181279，，；（3）比较下列一组数的大小：4488，5366，6244．模块三：积的乘方1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：()nn n ab a b =（n 是正整数）3、积的乘方的逆用：()n n n a b ab =．例9】9. 计算：（1）()333m n -；【（2）43213a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()32242a b --；（4）541103⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭．【例10】10. 计算：（1）342()a b -；（2）3532()4x y ；（3）23[()]a b -+．【例11】11. 计算：（1）32332()()y y y ⋅⋅；（2）2323[()]a a a -⋅⋅-；（3）()()3222632x y x y ⎡⎤⎡⎤---+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦．【例12】12. 已知：1123326x x x ++-⋅=，求x 的值．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）13. 计算202120223223⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（）A. 32-B. 23-C. 202232⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 202223⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022秋·上海长宁·七年级上海市娄山中学校考阶段练习）14. 下列运算正确的是（）．A. 5510x x x +=B. ()4312x x --=C. 333(2)8xy x y -=- D. ()527()x x x-⋅-=（2022秋·上海·七年级校考模拟）15. 已知5a ＝3，5b ＝2，5c ＝12，则a 、b 、c 之间满足数量关系（）A. a ＋2b ＝cB. 4a ＋6b ＝cC. a ＋2b ＝12cD. 3a ＋2b ＝12c（2022秋·上海·七年级校考模拟）16. 已知3a x =，2b x =，那么a b x +的值是（）A. 5B. 6C. 8D. 9（2022秋·上海·七年级校考模拟）17. 代数式()322a 的计算结果是（）A. 62a B. 56a C. 58a D. 68a （2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）18. 在下列运算中，计算正确的是（）A. 628a a += B. 1628a a a-= C. 628a a a⋅= D. ()268aa =（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）19. 下列计算中，正确的是（）A. 336a a a += B. 326a a a ⋅= C. ()239a a = D. ()326a a -=-（2022秋·上海·七年级校联考期末）20. 下列计算正确的是（）A. 235x x x += B. 235x x x ⋅=C. 236x x x ⋅= D. ()325x x =（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）21. 计算：()22xy -=_______________．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）22. 计算：()()()529a a a -⋅-⋅-=________．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）23. 已知4m n m n x x x +-⋅=，则m =___________（2022秋·上海金山·七年级校联考期末）24. 已知103n =，且104m =，则210m n +=___________．（2022秋·上海·七年级校考期中）25. （1） ()322⎡⎤-=⎣⎦____________（结果用幂的形式表示）；（2）()523-=______________．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）26. 若2m a =，3n a =，则3m n a +=________．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）27. 计算：2322332a b a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________；（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）28. 计算()()2200320030.045⎡⎤⨯-=⎣⎦__________．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）29. 计算：()()23634423a a a -⋅--．（2022秋·上海·七年级校考模拟）30. 已知36452,n n n n x x x x =+⋅求的值（2022秋·上海·七年级校考模拟）31. 计算：5763234()2()x x x x x ⋅+⋅-+32. （﹣12）2015•（﹣2）2016的计算结果是（）A. 2B. ﹣2C. 4D. ﹣433. 下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34. 计算：3232xy ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________．35. 计算：200520062332⎛⎫⎛⎫-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=________．36. ()()()()7256a a a a a ⋅-⋅-⋅-⋅-．37. 计算：()()23223xy xy ---÷第04讲幂的运算（一）模块一：同底数幂的乘法1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()53-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示()33333-⨯⨯⨯⨯；527⎛⎫ ⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：()239-=，()3327-=-．特别地：当n 为奇数时，()nn a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．【例1】【1题答案】【答案】（1）112 （2）6a （3）()6a b + （4）()10x y -【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（3）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（4）根据同底数幂的乘法法则计算即可．【小问1详解】解：5622⨯562+=112=；【小问2详解】解：23a a a ⋅⋅123a ++=6a =；【小问3详解】解：24()()a b a b +⋅+24()a b +=+6()a b =+；【小问4详解】解：235()()()x y x y x y -⋅-⋅-235()x y ++=-10()x y =-【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握底数不变，指数相加是解题的关键．【例2】【2题答案】【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为：()()4626x x x x --=-=--（3）不正确，正确为：()()()12121m m m m a a a a +++--=-=-（4）不正确，正确为：5510b b b ⋅=（5）不正确，不能计算（6）不正确，正确为：5510x x x ⋅=（7）不正确，正确为：5510x x x ⋅=（8）不正确，正确为：34c c c ⋅=【解析】【分析】根据同底数幂相乘的法则进行判断即可．【小问1详解】()()34347()()x x x x x -⋅-=-⋅-=-，故（1）正确【小问2详解】不正确，正确为：()()4626x x x x --=-=--【小问3详解】不正确，正确为：()()()12121m m m m a a a a +++--=-=-【小问4详解】不正确，正确为：5510b b b ⋅=【小问5详解】不正确，他们不是同类项，不能合并【小问6详解】不正确，正确为：5510x x x ⋅=【小问7详解】不正确，正确为：5510x x x ⋅=【小问8详解】不正确，正确为：34c c c ⋅=【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，正确理解同底数幂的乘法法则是解题的关键．【例3】【3题答案】【答案】（1）8a（2）()5y x -（3）()232m x y +-【解析】【分析】（1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；（2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；（3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可。

七年级数学下册 8.1 同底数幂的乘法怎样理解“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”素材 (新版)苏科版

怎样理解“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”？
幂的运算性质的表达式是a m·a n =a m+n（m，n均为正整数）
（1）左边两个幂的底数相同，而且是相乘的关系；右边所得到的一个幂，底数仍不变，指数相加。

可见，这一性质由乘法运算降为加法运算（指数相加）。

对于这一性质，不仅要记住结论，更重要的是掌握结论导出过程。

因为这个推导过程体现了“由特殊到一般的数学思想方法”。

掌握这一方法对于学好数学（当然也包括其他学科）是非常重要的。

（2）公式中的字母a既可以表示数，也可以表示单项式，还可表示多项式。

（3）当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则仍成立，即a m·a n·a p=a m+n+p（m，n，p 都是正整数）。

（4）只有“同底数”的幂相乘才能用这个法则。

千万不要出现类似下面的错误：a2·（－a）3=a5。

这里出错的原因是因为这两个底数不同，一个是a，一个是－a，而强用了法则。

（5）注意可逆用公式a m+n=a m·a n（m，n都是正整数）。

沪科版七年级下册数学幂的运算第3课时课件

15
-
2 3
12
；
解：原式=﹣215 312 315 212
﹣ 8 ； 27
（3）（（--xx22
y）7 y）4
;
（4）a2m1 a（m m是正整数）.
解：原式=﹣xx184yy47 ﹣x6 y3；
解：原式=
a
m
am am
a
am1.
2.下面的计算对不对？如果不对，请改正.
（1）a5 a a5;
第8章整式乘法与因式分解
8.1 幂的运算第3课时
学习目标
1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则;
2.会用同底数幂的除法法则进行计算.（重点、难点）
回顾与思考问题:幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？
幂
an
指数
底数同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即aman=am＋n（m，n都是正整数）
典例精析
例1 计算：
（1）x8 ; x5
解：（1）x8 =x85 x3； x5
（2）（（xxyy））52 ;
（2）（（xxyy））52 （xy）52 （xy）3 x3 y3；
（3）（（--xx））94 ;
（4）xx2n33（n为正整数）.
例2 计算：
（1）（x 1）3 （x 1）2; （2） 2x 2 y3 xy 2.
情境导入
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了实验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
（1）怎样列式？ 1012÷109
（2）视察这个算式，它有何特点？

七年级初一数学复习重难点知识

第1单元整式的乘除1.幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数. 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，⑴ 同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）． ⑵ 幂的乘方．幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：()nm mna a =（,m n 都是正整数）．⑶ 积的乘方．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：()nn naba b =（n 是正整数）．⑷ 同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m na a a -÷= （0a ≠，m ，n 都是正整数）⑸ 规定()010a a =≠；1pp a a-=（0a ≠，p 是正整数）．预习检测同底数幂的乘法法则：【例1】如果把()2x y -看作一个整体，下列计算正确的是（）A ．()()()235222x y y x x y -⋅-=- B ．()()()224222x y y x x y -⋅-=-- C ．()()()()23272222x y y x x y x y -⋅--=- D ．()()()235222x y y x x y -⋅-=--幂的乘方的性质【例2】计算：⑴ ()54x； ⑵ ()32a b ⎡⎤+⎣⎦； ⑶ ()435a a ⋅； ⑷ ()()23211n n a a -+⋅积的乘方的法则应用【例3】计算：⑴ ()4xy - ⑵ ()322ab -零指数、负指数【例4】已知0a ≠,下列等式不正确的是( )A. 0(7)1a -= B. 201()12a += C. 0(1)1a -= D.01()1a=2. 整式的乘法⑴ 单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.比如：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c .⑵ 单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶ 多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++预习检测单项式乘以单项式【例5】计算：（1）332x x x ⋅⋅ （2）()2x x -⋅- （3）()32a单项式乘以多项式【例6】计算⑴()()24231x x x -⋅+- ⑵221232ab ab ab ⎛⎫-⋅⎪⎝⎭ 多项式乘以多项式【例7】计算下列各式：⑴ ()()253x y a b ++ ⑵ ()()234x x -+ ⑶ ()()32x y x y +-3.乘法公式（1）平方差公式活动1 知识复习多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x －1）；（2）（a+2）（a －2）；（3）（3－x ）（3+x ）；（4）（2m+n ）（2m －n ）．再计算：（a+b ）（a －b ）=a 2－ab+ab －b 2=a 2－b 2．得出平方差公式（a+b ）（a －b ）= a 2－b 2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．活动3 请用剪刀从边长为a 的正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？图1 图2图1中剪去一个边长为b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a 2－b 2）．在图2中，长方形的长和宽分别为（a +b ）、（a －b ），所以面积为（a +b ）（a －b ）．这两部分面积应该是相等的，即（a +b ）（a －b ）= a 2－b 2．平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

7年级第5讲幂的运算(二)

《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．1、幂的运算概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数．含义：n a中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，n a表示有n个a连续相乘．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：()33---=-⎡⎤⎣⎦；()33-+-=⎡⎤⎣⎦．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．幂的运算（二）知识结构知识精讲内容分析（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．3、特别地：当.n .为奇数时，()nn a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．（1）同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．（2）幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）．（3）积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：()nn n ab a b =（n 是正整数）．（4）同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m ，n 都是正整数）（5）规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）．一、选择题1. 化简()()23x x -⋅--⎡⎤⎣⎦，结果是（） A ．6x - B ．6xC ．5xD ．5x -【难度】★ 【答案】【解析】例题解析2. 下列各式计算过程正确的是（）A ．33336x x x x +==＋B ．3336·2x x x x ==C ．350358··x x x x x ==＋＋D ．()32235x x x x +⋅-=-=-【难度】★ 【答案】【解析】3. 下列计算：①()2525x x =；②()257x x ＝；③()5210x x ＝；④()752·x y xy =；⑤()1052·x y xy =；⑥.()555x y xy =；其中错误的有（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★ 【答案】【解析】4. 下列计算中，运算错误的式子有（）（1）33354a a a =－；（2）2m m m x x x =＋；（3）62·3n m n m =＋；（4）12·m m a a a =＋＋；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★ 【答案】【解析】5. 计算()()1009922-+-所得的结果是（）A ．－2B ．2C ．992-D ．992【难度】★★ 【答案】【解析】6. 计算()()()22b a a b b a ---的结果是（）A ．()5a b - B ．()5a b --C ．()6a b - D ．()6a b --【难度】★★ 【答案】【解析】7. 当n 是正整数时，下列等式成立的有（）（1）()22m m a a =（2）()22m m a a =（3）()22m m a a =- （4）()22mm a a =-A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【难度】★★ 【答案】【解析】8. 计算：()3211n n x x x -+⋅⋅的结果为（） A ．33n x + B ．63n x + C ．12n xD ．66n x +【难度】★★ 【答案】【解析】9. 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156【难度】★★ 【答案】【解析】二、填空题（1）()()()()()235x x x x x -⋅-⋅-+-⋅-=__________；（2）()()3223a b b a ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=__________；【难度】★ 【答案】【解析】10. 计算：()()2003200422______-+-=．【难度】★ 【答案】【解析】11. 计算：()()20052004232-+⨯-=_______________．【难度】★ 【答案】【解析】12. 比较大小：（1）()()422_____4--；（2）()()355_____3--．【难度】★ 【答案】【解析】13. 计算：()32122n m n m ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭=_______________．【难度】★★ 【答案】【解析】14. 长为32.210⨯米，宽是41.510⨯厘米，高是2410⨯米的长方体的体积为____________．【难度】★★ 【答案】【解析】15. 若25m =，26n =，则212m n ++=_______________．【难度】★★ 【答案】【解析】16. 已知2m a =，3n a =，则32m n a +=__________．【难度】★★ 【答案】【解析】17. 若53022x y +-=，则432x y ⋅=_______________．【难度】★★ 【答案】【解析】18. 设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小，用<号连接：________________．【难度】★★ 【答案】【解析】19. 若111999a =，222111b =，则a 、b 的大小关系，用<号连接：_________________．【难度】★★ 【答案】【解析】20. 已知：227371998a b c ⋅⋅=，其中a 、b 、c 是自然数，则()2016a b c --=_________________．【难度】★★ 【答案】【解析】21. 你能比较两个数20092008和20082009的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n n +的大小(n 是自然数)，然后，我们分析2n =，2n =，3n =，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号)①21____12；②32____23；③43____34；④54____45；⑤65____56…（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出1n n +和()1nn +的大小关系是_______．（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20092008 ____20082009．【难度】★★★ 【答案】【解析】三、简答题22. 计算：（1）()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-；（2）()()()()()2345a a a a a -⋅-⋅-⋅-⋅-；（3）()()()()n a ba b a b a b a b +++++个；（4）()()66666-⨯⨯-⨯⨯-．【难度】★ 【答案】【解析】23. 计算：（1）()()32422393m n m n +-；（2）()()32242433a b ab a ⋅-⋅；（3）()()()()32232238a b a a b -+⋅-⋅-；（4）()()()33223733345a a a a a a -⋅+-⋅-⋅．【难度】★ 【答案】【解析】24. 计算：()()()3421332229m n n m n m ⎡⎤----⎣⎦ 【难度】★ 【答案】【解析】25. ()()43242142x y x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【难度】★ 【答案】【解析】26. 当n 是正整数时，求()()212222n n+-+⋅-.的值．【难度】★ 【答案】【解析】27. 比较大小：20.4a =-，214b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()24c =-，214d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】【解析】28. 已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，则a 、b 、c 、d 、e 的大小关系．【难度】★★ 【答案】【解析】29. 计算：（1）1011000.254⨯；（2）()()200220030.1258-⨯-．【难度】★★ 【答案】【解析】30. 计算：()()25331133223a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】【解析】31. 已知：5n a =，3n b =，求()2nab -．【难度】★★ 【答案】【解析】32. 已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >．求下列各式的值：（1）()4m a ；（2）()3m n a +．【难度】★★【答案】【解析】33. 若15m x =，3n x =，求()42m n x +-的值．【难度】★★【答案】【解析】34. 已知4m a =，3n a =，22p a =，求324m n p a ++的值．【难度】★★【答案】【解析】35. 已知5x a =，25x y a +=，求x y a a +的值．【难度】★★【答案】【解析】36. 若2340x y +-=，求927x y ⋅的值．【难度】★★【答案】【解析】37. 已知：13205x y +-=，12305x y --=，求832x y ⋅．【难度】★★【答案】【解析】38. 已知22n a =，求()()223223n n a a -的值．【难度】★★【答案】【解析】39. 已知：232122192x x ++-=，求x ．【难度】★★【答案】【解析】40. 解方程：313333648x x ++-=-．【难度】★★【答案】【解析】41. 已知742521052m n ⋅⋅=⋅，求,m n 的值．【难度】★★【答案】【解析】42. 如果()2323k a b c+比()24582k a a a a bc ⎡⎤⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦的次数大1，那么k 的值是多少？【难度】★★【答案】【解析】43. 比较552，443，335，226这4个数的大小关系．【难度】★★【答案】【解析】44. 比较1615与1333的大小关系．【难度】★★★【答案】【解析】45. 比较5553、4444、3335的大小．【难度】★★★【答案】【解析】46. 已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小．【难度】★★★【答案】【解析】47. 若n 为不等式2003006n >的解，求n 的最小正整数值．【难度】★★★【答案】【解析】48. 已知：123n a ++++=，求代数式()()()()()122321n n n n nx y x y x y x y xy ---的值．【难度】★★★【答案】【解析】49. 已知：22737471998a b c d ⋅⋅⋅=，其中a 、b 、c 、d 为自然数，求a b c d --+的值．【难度】★★★【答案】【解析】50. 已知2001200367M =+，2003200167N =+，比较M 、N 的大小关系．【难度】★★★【答案】【解析】。

七年级秋季班-第3讲：幂的运算

幂的运算内容分析本节课幂的运算主要分为三部分，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方．需要掌握三种运算的法则，重点是能够熟练地进行同底数幂的乘法，乘方和积的乘方以及加减的混合运算，难点是要灵活运用运算法则处理综合问题．知识结构模块一：同底数幂的乘法知识精讲1、同底数幂的乘法法则同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．即：a m⋅a n=a m+n（m、n 都是正整数）．例题解析【例1】在①a2n⋅a n=a3n；②22 ⋅33 =65 ；③32⋅32=81；④a2⋅a3=5a；⑤(-a)2 ⋅(-a)3 =a5中，计算正确的式子有（）个．A . 4B . 3C . 2D .1【难度】★【答案】【解析】【例2】计算：（1）a5 ⋅a10 ⋅a4 ；（2）(-a)4 ⋅(-a)3 ⋅(-a)2 ⋅(-a)；（3）2a ⨯ 2b ⨯ 2c ；（4）(a +b)3 ⋅(a +b)2 ．【难度】★【答案】【解析】【例3】计算：（1）(-x)2 ⋅x n+3 ⋅x1-n ；（2）x2n ⋅(-x)3 ⋅x n ．【难度】★【答案】【解析】【例4】计算：（1）x3 ⋅x4 +(-x)⋅(-x)3 ⋅x3 ；（2）a m+2a n-1 +a m-1 ⋅a n+2 +a n ⋅a m+1 ；（3）(x - 2 y)m-1 ⋅(2 y-x)2 ⋅(x - 2 y)2m+1 ．【难度】★【答案】【解析】；【例5】用科学记数法表示： (4.6 ⨯103 )⨯ (2.5 ⨯105 )= ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例6】计算： 2100 ⋅ (-2)100=(-2)1001+ (-2)1002=【难度】★★ 【答案】【解析】【例7】（1） 2 ⨯ 8 ⨯16 ⨯ 2n = ；（2）已知： 3⨯ 9 ⨯ 3n = 243 ，则n = ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例8】（1）若a x + y = 28 ， a x = 7 ，求a y 的值．（2）如果a m = 3 ， a n = 4 ，求a m +n 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例9】已知2x =a ，2y =b ，求2x+y + 23x+ 2 y 的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例10】已知x > 1 ，y > 1 ，x a-b ⋅x2b-1 =x8 ，y a-1 ⋅y5-b =y7 ，求a、b 的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知n为正整数，试计算：(-a)2n+1 ⨯(-a)3n+2 ⨯(-a)．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结1、底数不同的幂应该如何进行乘法运算？2、当幂的指数为奇数或偶数时，运算结果的应该注意什么？2、幂的乘方运算法则幂的乘方，底数不变，指数相乘．即： (a m )n= a mn （m 、n 都是正整数）．【例12】计算：（1） - (x 2 )3；（2） (-a 4 )2 ；（3） (a 2n )4；（4）⎡(-2)3 ⎤4；（5） (-x4 )3；（6）⎡(a + b )2 ⎤3⋅ (a + b )2 ． ⎣ ⎦⎣ ⎦【难度】★ 【答案】【解析】【例13】计算(x 2 )3⋅ (-2x )4的结果是（）．A .16x 9【难度】★ 【答案】【解析】B .16x 10C .16x 12D .16x 24【例14】若 n 是正整数， -a n = -(-a )n(a ≠ 0) 成立的条件是（）．A . n 是奇数B . n 是偶数C . n 是正整数D . n 是整数【难度】★★ 【答案】【解析】模块二：幂的乘方知识精讲例题解析⎣ ⎦ ⎣ ⎦【例15】已知： (x m )n = x 20 ，则mn (mn -1) 的值是．【难度】★★ 【答案】【解析】【例16】(-a 2 )n（ n 为正整数） =．【难度】★★ 【答案】【解析】【例17】计算：（1） 4(x 3 )8- 7(x 4 )6+ 2(x 2 )3⋅ (x 3 )2⋅ (x 2 )6；（2） (x 4 )2+ (x 2 )4- x (x 2 )2⋅ x 3 - (-x )3⋅ (-x 2 )2⋅ (-x ) ；（3） 2(x a +1 )2+ x a ⋅ x a +2 ；（4）⎡(a - b )n ⎤2 ⋅ ⎡(b - a )n -1 ⎤2⋅ (a - b )2n +1 ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例18】如果2 ⋅ 8n ⋅16n = 222 ，求n 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例19】已知10m-1 = 3 ，10n+1 = 5 ，求102m+n 的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例20】已知a2n=2，求(2a3n )2 - 3(a2 )2n 的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例21】比较大小：（1）已知a = 8131 ，b = 2741 ，c = 961 ，比较a ， b ， c 的大小关系．（2）比较255 ，344 ，533 ，622 这4 个数的大小关系．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结1、吗？23、积的乘法法则积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即： (ab )n= a n b n （n 是正整数）．【例22】下列计算中，正确的是（）．A . (a 3 )4= a 7C . (-a )4⋅ (-a )3= a 7B . a 3 + a 4 = a 7D . (-ab )2= a 2b 2【难度】★ 【答案】【解析】⎛ 1 ⎫2【例23】若 x ⎪ ⎝ ⎭A . 1 2 【难度】★ 【答案】【解析】= 1 ，则 x 的值是（）．B . 2C . ±2D . -2模块三：积的乘方知识精讲例题解析【例24】(x 5m +n ⋅ y 2m -n )2= x 12 y 30 ，则m =， n = ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】已知 M 4 = a 8b 12 ，求 M 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例26】化简：（1） (-x 3 y 3 )2- (-x 2 y 2 )3；（2） (-3x 3 )2- (-x 2 )3 + (-2x )2- (-x )3．【难度】★★ 【答案】【解析】【例27】用简便方法计算：（1） ⎛ - 3 ⎫2007 ⎪ ⋅ ⎛ 3 1 ⎫2007 ⎪ ；（2） ⎛ - 2 ⎫2009 ⎪ ⎛ 3 ⎫2010⋅ ⎪；（3） ⎛ - 1 ⎫12 ⎪ ⨯ 88．⎝ 10 ⎭ ⎝ 3 ⎭⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎝ 4 ⎭【难度】★★ 【答案】【解析】【例28】已知 x 2n = 3，求(3x 3n )2- 4(x 2 )2n的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例29】已知3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 63x -4 ，求 x 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例30】确定399 ⨯ 7100 ⨯11101 的末位数是几，简单说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】⎛ 50 ⎫a【例31】（1）若整数a 、b 、c 满足 27 ⎪ ⎛ 18 ⎫b ⋅ 25 ⎪ ⎛ 9 ⎫c ⋅ 8⎪ = 8 ，求a 、b 、c 的值．999⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭119（2）已知 P =【难度】★★★ 【答案】【解析】999 ,Q = ，比较 P 、Q 的大小关系．990【习题1】若(a n ⋅ b m ⋅ b )3= a 9b 15 ，则m =， n = ．【难度】★ 【答案】【解析】【习题2】(-a )2⋅ a m +3 ⋅ a 1-m 的计算结果是．【难度】★ 【答案】【解析】【习题3】计算⎛ - 1 ⎝ 2 A . 1 a 4b 24 【难度】★ 【答案】【解析】⎫3 a 2b ⎪ ⎭的结果为（）．B . 1 a 6b 38C . - 1a 6b 38D . - 1 a 5b 38【习题4】(-a 3 )5⋅ (-a 6 )2=．【难度】★ 【答案】【解析】随堂检测2 ⎝ ⎭⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎫3⎛1 ⎫4【习题5】 - 2 ⎪ ⋅ - 2 ⎪ ⋅ - 2 ⎪ 的计算结果是（）．⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 ⎫91 ⎛ 1 ⎫91A ． - ⎪⎝ ⎭B ． 29C ． - - 2 ⎪D ． - 29【难度】★★ 【答案】【解析】【习题6】若3⋅ 9n ⋅ 27n = 326 ，则n = ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】已知4a +2 ⋅ 3 a +2 = 122a -2 ，则a = ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】计算： 64 ⨯ 4m -1 ⨯ 4m +1 ．【难度】★★ 【答案】【解析】⎣【习题9】已知 ⎡⎢(a n 【难度】★★ 【答案】【解析】3⎤6⎥⎦ = a 36 ，求n 的值．【习题10】若2x + 5y = 4 ，求4x ⋅ 32y 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题11】已知3m = a ， 3n = b ，分别用a 、b 表示32m +2n 和33m +4n ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题12】已知2a = 3 ， 2b = 6 ， 2c = 12 ，求证： 2b = a + c ．【难度】★★ 【答案】【解析】)⎣ ⎦【习题13】计算：（1） -(a - b )2k +1⋅ (b - a )2k(a - b )2k -1（ k 为正整数）；（2） 3(a 2 )4⋅ (a 3 )3- (-a )⋅ (a 4 )4+ (a 4 )2⋅ (-a 3 )⋅ (a 2 )3；（3） (-2a )6- (-3a3 )2+ ⎡- (-2a )2⎤3；（4） 410 ⨯ 520 ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题14】若 a = 78 ， b = 87 ，用a 、b 的代数式表示5656 ．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题15】已知22x +3 - 22x +1 = 192 ，求 x ．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题16】已知a = 255 ， b = 344 ， c = 433 ，比较a 、b 、c 的大小关系．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题17】若n 为不等式n200 > 6300 的解，求n 的最小正整数值．【难度】★★★【答案】【解析】【习题18】已知2x+2 = 6 ，求2x +5 的值．【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】如果2a+1 = 32 ，则a = ．【难度】★【答案】【解析】【作业2】计算：3a3 ⋅a4 + 2a ⋅a4 ⋅a2 - 4a5 ⋅a2 ．【难度】★【答案】【解析】⨯13 5 3【作业3】计算：【作业4】计算：（1） ⎛ 5 ⎫2002⎛ 13 ⎫2001；（2） (0.125)15⨯ (215 )3．⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【难度】★★ 【答案】【解析】【作业5】若1284 ⨯ 83 = 2n ，则n = ．【难度】★★ 【答案】【解析】⎛ 1 ⎫100100{⎡2 ⎤2004}2003【作业6】 ⎪ ⎝ ⎭⨯ (-3) = ， - ⎣-(-1) ⎦= ．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业7】已知 x 2n = 3，求(4x 2n )3-64 (x 4n )2的值．【难度】★★ 【答案】【解析】3【作业8】已知2m =x ，45m =y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y = ．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】若2x + 3y - 4 = 0 ，求9x ⋅ 27y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知(-x)a+2 ⋅x2a ⋅(-x)3 =x32 ，a是正整数，求a的值．【难度】★★★【答案】【解析】【作业11】已知n为正整数，化简：(-x2 )n +(-x n )2 ．【难度】★★★【答案】【解析】【作业12】已知：3x+1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x+1 = 216 ，试求x 的值．【难度】★★★【答案】【解析】。