课本例题作业

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新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)

新编人教版精品教学资料2015版人教A 版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学伍海军 ****************1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．改编如图是一个几何体的三视图（单位：cm ）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==．故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++1221322382=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．这个几何体的体积121332ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．O OO 'O '22OO在Rt BB C''∆中，BC '==cos BB BC θ'===' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm )，所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm )．3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。

九年级上册第六单元名著导读：《水浒传》课本知识总结与典型例题

专题01 名著阅读《水浒传》（古典小说）课本知识总结与典型例题【1 基本知识点扫描】【书籍基本信息】作者：施耐庵朝代：明代【书籍的地位】典型设问：为什么说《水浒传》是一本奇书？《水浒传》为“造反者”树碑立传，渲染他们豪侠仗义、除暴安良的英雄壮举，是中国历史上第一部歌颂农民起义的长篇小说。

【主要内容概括】典型设问：《水浒传》主要讲了什么？作为一部英雄史诗般的小说，《水浒传》记述了梁山好汉们从起义到兴盛再到最终失败的全过程。

小说通过写众多草莽英雄不同的人生经历和反抗道路，鲜明地表现了“官逼民反”的主题。

【作品特点】典型设问1：本书的艺术手法/艺术特点/文章特点/作品特点是什么？答题策略1：课本知识点内容、材料语段情节结合典型设问2：文本用了……的方法，有什么好处？答题策略2：书上的知识点、结合书中相应的情节或语段、效果句【作品特点1】栩栩如生的人物形象:文中人物大都形象鲜明，给人留下深刻印象，其中尤以宋江、吴用、林冲、鲁智深、武松、李逵等人最具神采。

作者在塑造这些粗豪、侠义的人物时，非常注意表现他们之间的共性和个性。

如鲁智深和李逵，同是疾恶如仇、侠肝义胆、脾气火爆的人物形象（共性），但鲁智深粗中有细，豁达明理；李逵头脑简单，直爽率真（个性）。

如林冲和武松，同是小说浓墨重彩刻画的人物，又都武艺高强，有勇有谋。

（共性）但林冲曾是东京八十万禁军教头，是上层人物被迫造反的典型；武松则是个下层侠义之士，崇尚的是义，有仇必复，有恩必报，是下层英雄好汉中最富有血性和传奇色彩的人物。

（个性）【作品特点2】结构很有特点:作者采取先分后合的链式结构。

前四十回先讲述单个英雄人物的故事，然后百川汇海，逐步发展到水泊梁山大聚义。

第七十回以后，写他们归顺朝廷，走向失败。

效果：这使小说环环相扣，线索分明。

【作品特点3】语言很有特点:语言上，《水浒传》用的是古代白话。

特点/效果:质朴生动，洗练明快，富有表现力。

典例分析：“景阳冈武松打虎”一节，写武松“一步步上那冈子来。

新人教版五年级数学上册课本练习二十

1.你认识下面这些道路交通警示标志么？一块标志牌的面积大约是多少平方分米？
2.指出下面掩个三角形的底和高，并分别计算出它们的面积。

3.你能想办法计算出每个三角形的面积吗?
4.要在公路中间的一块三角形空地(见下图)上种草坪。

1m²草坪的价格是12元。

种这片草坪需要多少钱?
5.一块玻璃的形状是一个三角形，它的底是12.5 dm.高是7.8 dm,每平方米玻璃的价钱是68元，买这块玻璃要用多少钱?
6.下表中给出的是三角形或平行四边形的底和高，算出每个图形的面积，填在空格里。

三角形平行四边形底/cm 8 62 25 9.6 12.5 78 高/cm 3.5 48 16 6.3 16 12.6
面积/cm²
7.己知一个三角形的面积和底(如图)，求高。

8.下图中哪几对三角形的面积相等?（两条虚线互相平行。

）
你还能画出和三角形ABC而积相等的三角形吗?
9.图中的平行四边形被分成两个三角形，它们的的面积各是270 m²，求平行四边形的周长。

10.下图平行四边形底边的中点是A，它的面积是48 m²。

求涂色的三角形的面积。

---精心整理，希望对您有所帮助。

电工学课本重点例题

由此得 100 = 110e RS
108 −
RS
=
ln
⎛ ⎜⎝
100 110
⎞ ⎟⎠
=
−0.0953
RS
=
108 Ω
0.0953
= 1049M Ω
例 4.4.1 在电阻、电感与电容元件串联的交流电路中，已知 R = 30Ω ，
L = 127mH , C = 40uF ，电源电压 u = 220 2 sin (314t + 20° )V ;（1）求电流 i 及各部分
求与负载并联的电容器的电容值和电容器并联前后的线路电流；（2）如要将功率因数从 0.95
⑥
11 测试电工复习之课本重点例题
再提高到 1，试问并联电容器的电容值还需要增加多少？
解：由相量图可得
IC
=
I1 sin ϕ1
−I
sinϕ
⎛
=
⎜ ⎝
U
p cosϕ1
⎞ ⎟sinϕ1 ⎠
⎛p
−
⎜ ⎝
U
cosϕ1
⑤
11 测试电工复习之课本重点例题
解：（1）这时 U R = 0 ，及 I = 0 ,电路处于并联谐振（并联谐振时， L1C 并联电路的阻
抗模为无穷大，读数自行证明），故 ω1L1
=
1 ω1C
1
1
L1 = ω12C = 10002 ×1×10−6 H = 1H
(2)这时电路处于串联谐振。先将 L1C 并联电路等效为
uL = 176 2 sin (314t +163°)V
②
11 测试电工复习之课本重点例题
•
•
U C = − jXC I = − j80 ×4.4∠73°V = 352∠ −17°V

人教版六年级数学上册第五单元圆(知识梳理+课本例题+练习)

人教版六年级数学上册第五单元圆(知识梳理+课本例题+练习)一、知识梳理1、圆心：圆中心一点叫做圆心。

用字母“O ”来表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,用字母“r ”来表示。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母“d ”表示。

2、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

3、在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。

在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。

在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。

用字母表示为：r d 2= d r 21= 4、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

5、圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。

我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母π表示。

圆周率是一个无限不循环小数。

在计算时,取14.3π≈。

世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

6、圆的周长公式：πd C = 或πr 2C =7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。

8、把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径,因为长方形面积=长×宽,所以圆的面积2πr r ×r ×π==9、圆的面积公式：22)÷π(d S = 或者2πr S = 或者22)÷π÷π(C S =10、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。

圆的面积和正方形面积的比是π：4。

在一个圆里画一个最大正方形的,圆的直径的长度等于正方形的对角线的长度,正方形的面积=对角线×对角线÷2=直径×直径÷2 。

11、在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的短边。

12、一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是22πr πR S -=或 )r π(R S 22-=（其中R ＝r ＋环的宽度．）13、环形的周长＝外圆周长＋内圆周长14、半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

3年级高斯课本

目录第一讲差倍问题第二讲和差倍中隐藏的条件第三讲蜗牛爬行第四讲日期问题画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。

这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。

例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。

那现倍或原倍。

(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。

(3)然后将现差或原差通过画线段图的方法画出来，曾在移多补少与等量代换中学习过。

(4)画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系。

(5)审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。

例题4：有块数一样多的两盒糖，第一盒放入8块，第二盒拿走18块，这时第一盒的糖是第二盒的3倍，这两盒原来各有多少块糖?练习4：有两款价格一样的大小冰箱，夏季大促销，大冰箱的价格下降及小树枝为主食.在野外长颈鹿的寿命为27年左右，动物园里的能活超过29年，主要分布在非洲的埃塞俄比亚、苏丹、肯尼亚、坦桑尼亚和赞比亚等国。

第二讲和差倍中的隐藏条件小热身阿朵和阿瓜去包子铺买包子，一其买了250个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了10个包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿朵，阿朵不高兴了，把自己的包子分成10份，挑了其中的8份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿朵，最后给了阿朵一个包子，这么折腾下来，现在两人一共有多少个包子?以上面的故事你能得到什么样的结论?倒了一些水到小瓶后(水没有溢出)，大瓶里的水量变成了小瓶的2倍。

请问:从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶?例题3：爷爷比爸爸大20岁，当爷爷是爸爸年龄3倍时，爸爸多少岁?练习3：大冰箱比小冰箱多1000元，因为春节促销，大小冰箱的价格都下降了同样多的钱，大冰箱的价格是小冰箱的6倍时，小冰箱多少元?例题4：小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米，他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米.请问:两根绳子各剪去了几米?练习4：两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，“喳喳”吃的比较短，只有25厘米。

给排水课本例题

1.两条相同直径管道并联使用，管径分别为DN200、DN300、DN400、DN500、DN600、DN700、DN800、DN900、DN1000和DN1200，试计算等效管道直径。

解：采用曼宁公式计算手头损失，n=2,m=5.333,计算结果见下表，如两条DN500管道并联，等效管道直径为：mm d N i m648500*2)(d 333.52n ===双管并联等效管道直径双并联管直径（mm)200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 等效管道直径（mm)259 389 519 648 778 9081037116712971556我国华东地区某城镇规划人口80000，其中老师去人口33000，自来水普及率95%，新市区人口47000，自来水普及率100%，老市区房屋卫生设备较差，最高日综合生活用水定额采用260L/(cap ·d),新市区房屋卫生设备比较先进和齐全，最高日综合生活用水量定额采用350L/(cap ·d);主要用水工业企业及其用水资料见表1；城市浇洒道路面积为7.5hm2,用水量定额采用1.5L/（m2·次），，每天浇洒1次，大面积绿化面积13hm2,用水量定额采用2.0L/（m2·d ）.试计算最高日设计用水量。

某城镇主要用水工业企业用水量计算资料表1 企业代号工业产值（万元/d ）生产用水生产班制每班职工人数每班淋浴人数定额（m3/万元）复用率（%）一般车间高温车间一般车间污染车间 F01 16.67 300 40 0~8,8~16,16~24 310 160 170 230 F02 15.83 150 30 7~15,15~23 155 0 70 0 F03 8.20 40 0 8~1620 220 20 220 F04 28.24 70 55 1~9,9~17,17~1 570 0 0 310 F05 2.79 120 0 8~16 110 0 110 0 F06 60.60 200 60 23~7,7~15,15~23 8200 350 140 F073.38808~1695950解：城市最高日综合生活用水量为： d N Q m i i /24600100014700035095.0330002601000q 3111=⨯⨯+⨯⨯==∑工业企业生产用水量2Q 计算见表2，工业企业职工的生活用水和淋浴用水量3Q 计算见表3。

课本例题——不可忽视的教学资源

数学・教学经纬
课本例题
不可忽视的教学资源
涛
江苏泰兴市洋思中学（２２５４００）封
课本例题是重要的教学资源，是中考命题的主要原型．我们在平时的教学中应充分挖掘课本例题资源，重视对课本例题的研究，注重例题的拓展、延伸与应用，加强对学生发散思维能力的培养．新课程强调，在数学课堂教学中，培养开发学生的创新能力，加强与创新能力
么ＡＢ＝ＯＢ；
对知识的渴求，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考．我校“ 先学后教，当堂训练 ” 的教学模式以训练学生创新能力为目的，以发散学生思维为根本，尊重学生的爱好、个性和人格，以平等、宽容、友善的态度对待每个学生，使学生能与教师一起参与到教学中，真正做学习的主人，形成一种宽松、和谐的教育环境．只有在这
难以摆脱已有的定式思维，也就是说思维定式往往影响
对新问题的解决．所以要培养和发展学生的抽象思维能力，必须注意培养思维的求异性，使学生在训练中逐渐形成具有多角度、多方位的思维习惯与能力．
［课本例题１］如图１，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是／ＸＡＢＣ三边的中点，
△ＤＥＦ与 △ＡＢＣ相似吗？课本
运用的是 “ 三边对应成比例的两
个三角形相似 ” ，我们可以组织学
ＤＣ

高中数学选修1-1知识点及课本例题

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。

2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。

（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。

（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。

3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。

>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。

例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。

例4证明：若022=x，则0=+yx。

-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。

这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。

人教版六年级数学上册第四单元比(知识梳理课本例题练习)

比知识梳理一、比的意义❖ 两个数相除又叫做两个数的比。

❖ “：”是比号，读作“比”。

在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的后项不能为0。

❖ 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

例如 15 ：10 = 15÷10=23=1.5 ❖ 比的意义两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系。

两个有联系的非同类量的比表示一个新的量。

例：路程：速度表示时间。

❖ 区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

❖ 比和除法、分数的联系：1、比同除法相比较：比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比号相当于除法中的除号，比值相当于除法的商。

2、比同分数相比较：比的前项相当于分数中的分子，比的后项相当于分数中的分母，比号相当于分数中的分数线，比值相当于分数的分数值。

3、用字母表示：a b a =:÷()0≠=b ba b ❖ 比和除法、分数的区别1、意义不同：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个量（或数）的倍数关系。

2、表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示，比可以用分数表示，但分数不一定表示两个量的比。

除法一般要求出商，比只有求比值时才通过计算求出商，而分数本身就是一个数值，无需计算。

❖ 比和比值的关系联系：比和比值都可以用分数形式表示。

区别：（1）比表示两个数的倍数关系，比值是一个数。

（2）比只能写成的形式，比值可以是分数，也可以是小数。

注意：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

二、比的基本性质❖ 根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。

水力学辅导例题课本武汉大学出版社李大美

例题1：如下图所示，一圆锥体绕自身轴线等速旋转，锥体与固定壁面间的距离为K ，空隙全部被动力粘滞系数为μ的牛顿流体所充满。

当旋转角速度为ω，锥体底部半径为R ，解：M=⎰⎰⎰⎰⎰====HHdhh R Kdhr KdA rKdAr Ku dAr 033332cos 2cos 2απμωαπμωωμμτ=H K Rαπμωcos 23而22cos RHH +=α;故：M=2232RHKR +⨯πμω例题2：涵洞进口处，装有与水平线成600倾角而边长为1m 的正方形平板闸门（AB=1m ），求闸门所受静水总压力的大小及作用点。

A kp p 807.91807.9=⨯=aB kp p 300.18)231(807.9=+⨯=mh h Ay I y y C C C C C D 705.1050.0655.160sin 433.112160sin 433.1160sin 121160sin 03=+=+=⨯⨯+=+=KNp p P BA 050.14112=⨯⨯+=0=D x值矩形：2h y C =123bh I C =圆形：r y C = 44rI C π=例题3：一直立矩形闸门，用三根工字梁支撑，门高及上游水深H 均为3m,把此闸门所受静水压强分布图分为三等份，每根工字梁分别设在这三等份的重心，求三个工字梁的位置？解：设静水压力分布图的面积为A m h H A h 3,21313211221=∴⨯==γγm h H A h 45.2,213232212222=∴⨯==γγmh h h h m h h c 091.22718.0121212=-+==-m Ah J h y c xc c 11.2718.0091.212)718.0(091.2322=⨯+=+= mh H h h m h H c 725.2255.02232=-+==-m Ah J h y c xc c 73.2725.212)55.0(725.22333=+=+=m h h h h h h h y m h y 11.22)(31,15.1322121121211=++-+===。

课本例题

5、下午2时40分从北京出发，17时45分到达石家庄站。

从北京到石家庄要用多长时间？
8、3条大渔船运来鲜鱼948千克，平均每条大渔船运来多少千克鲜鱼？每条大渔船上的鱼用4条小渔船运上岸，平均每条小渔船运多少千克鲜鱼？
15、工厂在第二季度生产了927台电视机，平均每个月生产多少台？
24、有一块正方形地砖，其周长是20分米，那么这块地板砖的面积是多少平方分米？
25、小军的房间面积是18平方米，如果用面积是9平方分米的地砖铺地，至少需要多少块？
10、四个小朋友一共摘6筐苹果，平均每筐38千克，平均每人摘了多少千克苹果？
五、我会画
请你在方格纸上中画一个面积是20平方厘米的长方形，并计算出它的周长。

（每个小格表示1平方厘米。

）。

高数课本例题(考试用)

高等数学下册例题第六章向量代数与空间解析几何6.1 空间直角坐标系例1 在z 轴上求一点M ，使点M 到点A （1,0,2）和到点B （1,-3,1）的距离相等.解因为所求的点M 在z 轴上，故M 的坐标应为（0,0,z ），根据题意，有解得 z=-3，即点M 的坐标是（0,0,-3）.例2 已知一动点M （x,y,z ）到两个点A （1,2,3）和B （-1,-3,0）的距离总是相等，求点M 的坐标所满足的方程. 解由已知条件，有=两端平方后整理，得：2x+5y+3z-2=0,即动点坐标应满足这个三元一次方程.6.2 向量及其线性运算向量在轴上的投影例1 在∆ABC 中，D,E 是BC 边上的三等分点（见图6.12），设AB =a,AC =b,试用a,b 表示AD ,AE .解：由三角形法则，有BC =b-a,再由数与向量乘积定义，有1111(),(),3333BD BC b a EC BC b a ==-==- ABD AEC ∆∆从及中可得11+(b-a)=(b+2a),3311()(2).33AD AB BD a AE AC CE AC EC b b a b a =+==+=-=--=+例2 用向量的运算来证明：三角形两腰中点的连线平行于底边且其长度为底边的一半.证：见图6.13.设,,AB a AC b ==则1111,,2222,11()22AD AB a AE AC b BC AC AB b a DE AE AD b a BC=====-=-=-=-= 例3：=(4,3,0)=4i+3j,b=(1,-2,2)=i-2j+2k,+|a|.a 设求a 2b 及解+2=(4i+3j)+2(i-2j+2k)=4i+3j+2i-4j+4k=6i-j+4k.a b42,21,3,0.A AB AB 例：设已知两点（B （），求向量的方向余弦、方向角:及与同向的单位向量解==-1,1||=-1AB AB （（有 cos 12,α=-cos 12,β=cos 2,γ=-B23,,.334πππαβγ=== 与AB 同向的单位向量为0111(,,222||a AB AB ==--125=,cos =,|a|=3, a.33a x y αβ例：设向量与轴、轴的夹角余弦为 cos 且求向量解 cos 2=3γ±，有||cos xa a = 1=3=1=|a|cos =2,=|a|cos = 2.3y z a a αβγ⨯±，所求的向量有两个，分别是+2+2i+2-2.i j k j k 及6(21,7),4-47.B x y z A -例：一向量的终点在，它在轴、轴和轴上的坐标依次为，和，求该向量起点的坐标解,,,=2-x,-1-,7-)=4-472-x,--,-=(,-,), x=-2,y=3,z=0,-2,3,0.A AB y z AB 设点的坐标为（x y z ）则（，又由已知条件知（.，），所以有（1y 7z ）447因此得即所求点的坐标为（）6.3 向量乘积2221|a|=1,|b|=2,|c|=4,a,b,c ++,||.3a s=a (a+b+c)=a a+a b+a c =|a|+|a||b|cos (a,b)+|a||c|cos (a,c) =1+12cos+14cos=4.33|s|==(++)(s a b c a s s s s a b c a πππ∧∧=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅例：设两两夹角均为，求及解 222++) =+++2(++)=1+2+4+2(12cos +14cos+24cos)333=35 |s|=35.b c a a b b c c a b a c b c πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯即2222222.ABC A=622|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c,=2cos . 6.9=,=,=,=-,|c|==(-)(a-b)=|a|+|b|-2a b ab CB a CA b Ab c c a b c c a b θθ∠+-⋅⋅例：利用向量的数量积来证明三角形的余弦定理证明在三角形中，设（见图.），要证c （）设则有从而 |a||b|cos (,).|a|=,|b|=,|c|=,(,)=,69a b a b c a b θ∧∧⋅由即可得到公式（.）.例3：证明向量)()(c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直.证根据向量垂直的条件，只要两个向量的数量积为零，就说明这两个向量是垂直的.注意到b c ⋅与c a ⋅都是数量，由数积的运算律，有[)()(c a a c b ⋅-⋅]c ⋅=0))(())(b =⋅⋅-⋅⋅c b c a c a c （从而证明了这两个向量是相互垂直的.例4：一质点在力F=4i+2j+2k 的作用下，从点A （2,1,0）移动到点B （5，-2,6），求F 所做的功，及F 与AB 间的夹角.解由数量积的定义知，F 所做的功是W=F s ⋅,其中s=AB =3i-3j+6k是路程向量，故W=F s ⋅=（4i+2j+2k ）（⋅3j-3j+6k)=18 如果力的单位是牛顿（N ），位移的单位是米（m ），则Ｆ做的功是18焦耳(J). 再由向量间夹角的余弦公式，有cos θ=|s | |F | s F ⋅=2222226)3(322418+-+++=21， a bcCAB图6.22因此，F 与s 的夹角为θ=3π. 例5：求向量a=(5,-2,5)在b=(2,1,2)上的投影. 解由公式 a b ⋅=a b Prj |b | ，有.641410210||Prj |b |b =+++-=⋅=b b a a 例6：设|a|=2，|b|=3，6),(πθ==∧b a ，且u=a+2b,v=3a+b,求以u,v 为邻边的平行四边形的面积.解以u,v 为邻边的平行四边形的面积，就是向量υμ⨯的模.由向量积的运算律，有 υμ⨯=(a+2b)⨯(3a+b)=b b a b b a a a ⨯+⨯+⨯+⨯2323=060+⨯+⨯+a b b a =b a b a b a ⨯-=⨯-⨯56再根据 ∧=b)a sin||||||，（b a c ，得到 156sin325sin ||||5||5|5|||=⨯⨯⨯==⨯=⨯-=⨯πθb a b a b a v u ，即所求的平行四边形的面积是15.例7：设a=(1,2,-2)，b=(-2,1,0).求b a ⨯及与a,b 都垂直的单位向量.解 b a ⨯=k j i k j i kj i 54212-2102210122012221++=+----=--. 由向量积的定义可知，若c=a b ⨯,则同时有b c a c ⊥⊥及（-c 也是如此），因此所求的单位向量为).542(155)542(5421||1222k j i k j i c c ++±=++++±=±例8：求以A(1,2,-1)，B(-2,3,1)，C(1,1,2)为顶点的三角形的面积.解 )3,1,0(,2,1,3-AB -==AC ）（，所要求的三角形面积S 是以AC 、AB 为邻边的平行四边形面积的一半，因此)3,9,5(310213AC AB =--=⨯kj i，.115219812521||21=++=⨯=AC AB S例9：设a=(-2,3,1),b=(0,-1,1),c=(1,-1,4)，问这三个向量是否共面？解所谓三个向量共面，是指三个向量在一个平面上，或者经过平行移动后可以置于一个平面上，因为b a r ⨯=与a,b 所确定的平面垂直，所以当a,b,,c 三个向量共面时，应该有0,=⋅⊥c r c r 即.计算如下：).2,2,4(110132=--=⨯=kj i b a r所以有.010824)4()224(≠=+-=+-⋅++=⋅k j i k j i c r因此所讨论的三个向量不共面.例10：设向量a,b,c 满足条件0a =⨯+⨯+⨯a c c b b ，试证a,b,c 共面. 证等式两边都与c 做数量积，得c c a c c b b a ⋅=⋅⨯+⨯+⨯0)(，即 0)()()(=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯c a c c c b c b a ，因为)(c b ⨯与c 垂直，故0)(=⋅⨯c c b ，同样有0)(=⋅⨯c a c ，从而得到0)(=⋅⨯c b a ，即[a b c]=0，这就证明了三向量a,b,c 是共面的.6.4 平面及其方程例1：求此平面方程平面的法向量为设一平面过点),3,2,1(),2,0,1(0=-n M解：根据平面的点法式方程，有（x-1）+2（y-0）+3（z+2）=0, 整理得，x+2y+3z+5=0.例2：123(1,0-1),(2,1,2),(-1,1-4).M M M 求过三点，，的平面方程 121312131(1,1,3),(2,13),(63,3)(6,3,3),-6x-1)3(0)3(1)0230.M M M M n M M M M n M y z x y z ==--⨯=--=----++=+--=解：，平行于，，取在三点中任取一点，这里取点，由平面的点法式方程，得方程为（整理得例3：.y )22,3()1,51(21轴，求其方程，且平行于，及，过两个点一平面--∏M M 解因为的形式为轴平行，故其一般方程与由于所求的平面,0z y =++∏D C Ax 点12M M ∏∏和都在上，其坐标应当满足的方程，将这两个点的坐标代入到这个方程中得到A+C+D=0， 3A-2C+D=0，将A 和C 看成未知数，解这个方程组，得A=.52,53D C D -=-将这个结果代入到平面方程中，得的方程为后整理得消去∏=+-D D D Dx ,0z 5253-3x+2z-5=0.例4：求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.解 ,3||,18||,9),1,2,2(),1,4,1(n 212121===⋅--=-=n n n n n.4,221839||||||cos 2121πϕϕ===⋅=即n n n n 例5：求.0622)3,2,1(0的距离到平面点=--+-z y x P 解 .3)2(21|63222)1(1|222=-++-⨯-⨯+-⨯=d6.5 空间直线及其方程例1:.),0,13()20,1(21求其方程，及，过点一直线--M M L 解1212,(31,10,02)(2,1,2),M M s s M M ==---+=-因直线过这两个点，故可取直线的方向向量为利用点）得所求直线方程为由式（与19.6,1s M.22121x +=-=-z y 例2：求过点（2,1,4）且垂直于平面y-3z+2=0的直线方程.解所求直线L 平行于已知平面的法向量，即可以取直线的方向向量为 S=(0,1,-3),从而所求的直线方程可以写为.341102x --=-=-z y 此时2-x 并不表示除式，上述方程应理解为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-.23411x z y例3：把直线L 的一般方程⎩⎨⎧=+-+=-+-,0422052z y x z y x化为直线的标准式方程和参数方程.解取 x=0,得⎩⎨⎧=+-=-+,04205y 2-z y z 解得 y=-2,z=1,即得直线上的一个点为（0，-2,1）取s=.5432-1212-1kj i k j i ++=故L 的标准方程为,51423-=+=z y x 参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==.51423t z t y tx例4：求直线.06231221的交点与平面=++-=-+=-z y x zy x 解将直线用参数方程来表示，有x=1+2t,y=-2-t,z=3t,将其代入到平面方程中，有（1+2t ）-(-2-t)+6t+6=0,即9t+9=0,得t=-1,所以得到x=-1,y=-1,z=-3, 即交点为（-1,-1，-3）.例5：求点的距离到直线332217x )1,1,1(0-=-=-z y P .解过0P 作一垂直于已知直线的平面，该平面为（x-1）+2(y-1)+3(x-1)=0,即x+2y+3z-6=0,再求直线L 与平面的交点.用上例的方法求得交点为P(6,0,0),由两点间的距离公式，得0P ,P 两点间的距离为d=1125++=33. 即所求的点线距离是33.例6：求两直线间的夹角与11232x 134-11+=-=-+==-z y z y x 解 s 1=(1,-4,1),s 2=(-2,2,1)由式（6.22）有 ,22918|9|||||||cos 2121=-=⋅=s s s s θ得θ=4,4ππ即两直线间的夹角为.例7：判断是否在同一平面内？和两直线42311:21111:21-=+=-==+z y x L z y x L 若在同一平面内，求两直线的交点，若不在同一平面内，求两直线间的距离及公垂线方程（见图6.40）.解在直线L 1上任取一点，如取M 1(-1,0,1),在直线L 2上任取一点，如取M 2(0，-1,2),得向量1212(1,1,1),(1,1,2),(1,3,4)M M s s =-==两条直线的方向向量分别是，,22243121121k j i kj i s s +--==⨯得 1212()20,s s M M ⨯⋅=≠故这三个向量不共面，因此这两条直线不在一个平面上.求公垂线L ，设L 与L 21,L 的交点分别是点A,B ，因为的方向故L L L L L ,,21⊥⊥L 2向量s 上，故和分别在，由于点取2121,)1,1,1(),1,1,1(2)//(s L L B A s s s -=--=⨯ 可设两个点的坐标为A(-1+t 1,1t ,1+21t ),B(22242,31,t t ++-),有 212121(1,31,421),AB t t t t t t =-+---+ 由于//s,AB 故有112411311t 121212-+-=--=+-t t t t t . 从上式可得到一个二元一次方程组⎩⎨⎧+--=+---=+-),124(113112121212t t t t t t t t 即⎩⎨⎧-=-=23522122t t t解此方程组，得t 两点的直线过于是得到B A B A t ,).6,2,1(),317,37,34(.1,3721==为公垂线，故公垂线方程为,161211-x ,316212311--=-=--=-=-z y z y x 即还可以得到L 123||3L d AB ==与间的距离为例8：求平面2x+y+z+3=0与直线⎩⎨⎧=+-=-+.,05205x 间的夹角z x y解平面的法向量为n=(2,1,1),用向量积求得直线的方向向量为s=(-1,1,-2), Sin ,216|3||s ||n ||s n |=-=⋅=ϕ 即所求直线与平面的夹角为.6πϕ=例9：求直线⎩⎨⎧=++=++=-+.,上上的投影直线上的z y 在平面x z x-y z-y x 00101解过已知直线的平面束为,0)1(1x =++-+--+z y x z y λ）（即（,0)1()1()1()1=+-++-+-++λλλλz y x该平面与x+y+z=0垂直的条件是（1+,01)1(1)1(1)=⋅+-+⋅-+⋅λλλ 由此得λ=-1，得平面方程为y-z-1=0. 所求的投影直线为⎩⎨⎧=++=--001y z y x z .6.6 曲面及其方程例1：求半径为R ，球心在点M 0,(000,,z y x )的球面方程.解设M （x,y,z ）是球面上的任一点，则点M 到点M 0的距离总是为常数R ，由两点的距离公式，有R = 则球面方程为.2222000x x y y z z R -+-+-=（）（）（）例2：一曲面上的点到z 轴的距离为常数R ，求曲面方程.解设M(x,y,z)是曲面上任一点，则点M 到点M 0(0,0,z)的距离就是点M 到z 轴的距离，有已知条件，有,00222R z z y x =-+-+-）（）（）（即 x 222R y =+.例3：方程?026222表示怎样的曲面=-+++y x z y x 解将方程变形为,10)1()3(222=+-++z y x这是一个球心在（-3,1,0），半径为10的球面方程.例4：将yOz 平面上的椭圆12222=+cz b y分别绕y 轴和z 轴旋转一周，求所得到的旋转曲面方程.解绕z 轴旋转时，旋转曲线方程为,cz b ）y x （1222222=++± 即为 .122222=++cz b y x 绕y 轴旋转时，旋转曲面方程为.122222=++c z x b y例5：求xOy 面上的曲面y=x 2绕y 轴旋转所得到的旋转曲面方程. 解用22x y +±代替曲面方程中的x 即可得旋转面方程，所以 ,)(222z x y +±= 即为 y =x 22z +,例6：直线L 绕另一个与L 相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角α（20πα<<）称为圆锥面的半顶角.试求顶点在坐标原点，半顶角为α的圆锥面方程. 解设yOz 面上过原点的直线L 的方程为 αcot z y =，当L 绕z 轴旋转时，旋转曲面方程为 z=αcot x 22y +±, 两端平方后，得 ),(2222y x k z += 其中k=cot 4.παα=当时，圆锥面方程为222z y x +=. 6.7空间曲线及方程例1 方程组⎩⎨⎧==++325222z z y x 表示怎样的曲线？解方程组中的第一个方程表示球心在圆点，半径为5的球面，第二个方程表示平行于x O y 面的平面，方程组则表示球面与平面的交线，该交线是以点（0，0，3）为圆心，半径为4，在平面z=3上的圆。

浙教版七年级上册数学第1章有理数课本练习及答案

课本练习—《1.1 从自然数到有理数》第一课时课内练习1.鸟类中最大的蛋是鸵鸟蛋，一个鸵鸟蛋的质量大约是1500克. 如果改用千克作单位，应怎样表示鸵鸟蛋的质量？答案：1500克=1.5千克，所以改用千克作单位，鸵鸟蛋的质量为1.5千克.2.一张课桌桌面的长与宽大约是几米？先估计，然后量一量，与你的同伴比一比，看谁的估计更准确些. 请算一算，宽是长的百分之几？答案：答案不唯一，按操作要求先估计桌面的长和宽，然后再动手测量，最后计算3.请举一个实际例子，说明只有自然数、分数还不能满足人们生活和生产实际的需要.答案：答案不唯一.例如：小聪原有零用钱12元，星期一花了5元，星期三他母亲又给他10元，星期四用了12元，此时，小聪还想购买一支单价为14.90元的钢笔，钱够吗？作业题1.请阅读下面这段报道：杭州湾跨海大桥于2008年5月1日全线通车，这座6车道公路斜拉桥设计日通车量为8万辆，时速100千米/时，全长36千米，使用年限为100年，是当时世界上最长、工程量最大的第1跨海大桥.你在这段报道中看到了那些数？请找出这些数，并说明它们哪些表示计数和测量，哪些表示标号或排序.答案：解：看到了自然数2008，5，1，6，8，100，36，100.表示标号或排序的有“2008年5月1日中的数”；表示计数和测量的有“6车道”“8万辆”“100千米/时”“36千米”“100年”中的数.2.一种商品有两种不同规格的包装，其质量和价格如图所示.请问哪一种包装每毫升的价格比较低？答案：解：15÷250=0.06元/毫升，25÷500=0.05元/毫升，因为0.06>0.05，所以500mL包装每毫升的价格比较低.3.如图所示的正方形的边长为2，用分数表示下列各图形的面积.答案：（1）29×4=89；（2）39×4=43；（3）69×4=83.4.因燃油涨价，从城市A到城市B的货运价格上调了15%，三个月后又因燃油价格的回落而重新下调15%. 问下调后的货运价格与上涨前相比，有变化吗？是贵了，还是便宜了？答案：解：设上涨前的货运价格为a元，则上涨15%后的货运价格是a（1+ 15%）= 1.15a（元），重新下调10%后的价格是1.15a（1-15%）= 1.15a×0.85= 0.9775a（元），因为0.9775a<a，所以下调后的价格比上涨前的便宜了.5.商店里有单价分别为1元，1元5角，2元2角三种贺年卡. 小明每种先买了5张，为了凑成整元，小明又买了1张贺年卡.（1）用元作单位，各种贺年卡的单价应怎样表示？（2）小明一共支付了多少钱？答案：解：（1）1元，1.5元，2.2元.（2）1×5+ 1.5×5+2.2×5= 23.5（元）.因为小明又买了一张贺年卡凑成了整元，于是可知他买的是单价为1.5元的贺年卡，因此，小明共付的钱数为23.5+1.5= 25（元）.课本练习—《1.1 从自然数到有理数》第二课时课本例题1. 下列给出的各数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？ -8.4，22，+176，0.33，0，−35，-9答案：解：22是正整数；-9是负整数；+176，0.33是正分数；-8.4，−35是负分数；22，0，-9是整数；-8.4， +176，0.33， −35是分数；所给各数均为有理数.课内练习 1. 填空：（1）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正. 汽车向北行驶45km ，记做+45km （或45km ），汽车向南行驶60km ，记做-60km.（2）如果银行账户余额增加50元记为50元，那么-30.50元表示银行账户余额减少30.50元. （3）规定增长的百分比为正，增加25%记做25%（或+25%），-12%表示减少12%.（4）规定温度零上为正，月球白天气温高达零上123℃，记为123℃（或+123℃），夜晚气温低至零下233℃，记为-233℃. 图中阿波罗11号宇航员登上月球后不得不穿着既御寒又防热的太空服.2. 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”.答案：作业题 1. 填空：（1）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加200分记为+200分，则扣200分记为-200分. （2）记运入仓库的大米吨数为正，则-3.5吨表示运出大米3.5吨，2.5吨表示运入大米2.5吨. （3）如果+3表示转盘沿逆时针方向转3圈，那么-6表示转盘沿顺时针方向转6圈.（4）规定海面以上的高度为正，则海鸥在海面以上2.5米处，可记为+2.5米（或2.5米）；鱼在海面以下3米处，可记为-3米；海面的高度可记为0米.2. 把下列各数填入相应的横线内：-2.7，15，56，0.11，0，−1213，-21，+9.87，+69，+47，0.99. 正整数：15，+69；负整数：-21；正分数：56，0.11，+9.87，+47，0.99；负分数：-2.7，−1213；正有理数：15，56，0.11，+9.87，+69，+47，0.99；负有理数：-2.7，−1213，-21.3. 任意写出两个自然数，两个负整数，一个正分数和两个负分数. 答案：答案不唯一，如：两个自然数：2，3；两个负整数：-1，-2；一个正分数：4；5，-3.14两个负分数：−344.小聪、小明、小慧三位同学分别记录了一周内各天收支情况，如下表（记收入为正，单位：元）.根据上表回答下列问题：（1）说出“小聪”这一行中10，-5.20，0，-4.80，5，-3，-4各数的实际意义.（2）说出“星期五”这一列中-6，6的实际意义.（3）说出“结余”一列中-2，1，0的实际意义.答案：解：（1）10表示小聪星期一收入10元，-5.20表示小聪星期二支出5.20元，0表示小聪星期三没有收入也没有支出，-4.80表示小聪星期四支出4.80元，5表示小聪星期五收入5元，-3表示小聪星期六支出3元，-4表示小聪星期日支出4元；（2）-6表示小明星期五支出6元，6表示小慧星期五收入6元；（3）-2表示小聪一周总计超支2元，1表示小明一周累计盈余1元，0表示小慧一周没有盈余也没有超支.5.下列各数中，哪些数是负数而不是整数？哪些数是整数而不是负数？哪些数既是负数，又是整数？-3，−6，5，-5.1，0，-1.7和-5.1是负数而不是整数；5和0是整数而不是负数；-3和-1既是负数，又是整数.答案：−67课本练习—《1.2 数轴》课本例题1. 如图，数轴上点A ，B ，C ，D 分别表示什么数？答案：解：点A 表示-5，点B 表示-1，点C 表示0，点D 表示3.5. 2. 在数轴上表示下列各数：（1）0.5，−52，0，-4，52，-0.5，1，4. （2）200，-150，-50，100，-100. 答案：解：（1）如图所示：（2）如图所示：课内练习1. 如图，数轴上点A ，B ，C ，D ，E 分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？答案：解：点A ，B ，C ，D ，E 分别表示-4.5，-1，1，2，4.5，其中-4.5与4.5，-1与1互为相反数.2. 在下表的空格中填入适当的数，并把这些数表示在数轴上.答案：解：−133的相反数是133；相反数是+3.3的数是-3.3；0的相反数是0。

高考数学课本例题习题改编新人教A版必修2

O OO 'O '22OO人教A 版必修2课本例题习题改编1.原题（必修2第二十八页例3）如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

改编如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm)，所求体积221121233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=+3(cm )．2.原题（必修2第三十页习题1.3B 组第二题）已知三棱柱ABC- A B C '''的侧面均是矩形，求证：它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积。

（提示：依据三角形任意两边之和大于第三边即可得证）改编已知直角三角形ABC ，其三边分为a,b,c,（a>b>c ）。

分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S 1，S 2，S 3和V 1,V 2,V 3.则它们的关系为 ( ) A.S 1>S 2>S 3, V 1>V 2>V 3 B.S 1<S 2<S 3, V 1<V 2<V 3 C.S1>S2>S 3, V 1=V 2=V 3 D.S 1<S 2<S 3, V 1=V 2=V 3解：()a a bc V c b a S 21131,bc ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ 222231,c b V c c a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=πππcb V b b a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=232331,πππ 则选B3.原题（必修2第三十二页图像）改编如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：(1)(2)(3)(4)解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）。

2019【人教A版】高中数学：必修4课本例题习题改编(含答案)

人教版高中数学必修精品教学资料人教A 版必修4课本例题习题改编1.原题（必修4第十页A 组第五题）改编1 下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等解：选C. －330°＝－360°＋30°,所以－330°是第一象限角,所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°,所以－831°是第三象限角,所以B 错误；0°角,360°角终边与始边均相同,但它们不相等,所以D 错误．改编2 已知θ为第二象限角,那么3θ是（） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角解：选D.36090360180,,1203012060,3k k k z k k k z θθ+〈〈∙+∈∴∙+〈〈∙+∈（1）当()3,36030360180,,3k n n z n n n z θ=∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第一象限角；（2）当()31,360150360180,,3k n n z n n n z θ=+∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第二象限角；（3）当()32,360270360300,3k n n z n n θ=+∈∙+〈〈∙+时此时3θ为第四象限角。

改编3 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时,2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时,2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤,2α∴在第三象限；答案：C2.原题（必修4第十页B 组第二题）改编时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的13,用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）改编（1）已知sin α 13=,且α为第二象限角,求tan α；（2）已知sin α= m (0,1)m m ≠≠±,求tan α。

函数的单调性例题

1.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间（1）12-=x y ; 2322++-=x x y ; （3）2)2(1-++=x x y ; 4969622++++-=x x x x y相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值作差变形定号下结论①取值,即_____________________________；②作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ③定号,即____________________________________________________________;④下结论,即______________________________________________________;例2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：1)(3+-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.▲定义法证明单调性的等价形式：设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔>--⇔>--在[]b a ,上是增函数；[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔<--⇔<--在[]b a ,上是减函数.(2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数；（3）证明：21)(xx f =在()0,∞-上是增函数；法一：作差法二：作商（4）已知函数)(x f y =在()+∞,0上为增函数,且)0(0)(><x x f ,试判断)(1)(x f x F =在()+∞,0上的单调性,并给出证明过程；▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等；如,练习册P272P31上5、12、图象法；3、定义法；4、运算性质法：①当0>a 时,函数)(x af 与)(x f 有相同的单调性；当0<a 时,函数)(x af 与)(x f 有相反的单调性； ②当函数)(x f 恒不等于零时,)(x f 与)(1x f 单调性相反；③若0)(≥x f ,则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性；④若)(x f 、)(x g 的单调性相同,则)()(x g x f +的单调性与之不变； ▲即：增+增=增减+减=减⑤若)(x f 、)(x g 的单调性相反,则)()(x g x f -的单调性与)(x f 同.▲即：增-减=增减-增=增注意：1可熟记一些基本的函数的单调性,一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式,再利用上述结论判断； 2)()(x g x f 与)()(x g x f 的单调性不能确定.相应作业2：1讨论函数1)(2-=x axx f 在()1,1-上的单调性0≠a ； ▲2务必记住“对勾”函数)0()(>+=k xkx x f 的单调区间见练习册P29探究之窗.探究1知识拓展——复合函数单调性▲难点一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D,值域为C,则当A C ⊆时,称函数))((x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数,其中t 叫做中间变量,)(x g t =叫内层函数,)(x f y =叫外层函数;二、引理1 已知函数y=fgx.若t=gx 在区间a,b 上是增函数,其值域为c,d,又函数y=ft 在区间c,d 上是增函数,那么,原复合函数y=fgx 在区间a,b 上是增函数.引理2 已知函数y=fgx.若t=gx 在区间a,b 上是减函数,其值域为c,d,又函数y=ft 在区间c,d 上是减函数,那么,复合函数y=fgx 在区间a,b 上是增函数. 引理1的证明：▲重要结论1：复合法则规律可简记为“_____________________”四个字▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:①若减函数有偶数个,则复合函数为增函数； ②若减函数有奇数个,则复合函数为减函数. 规律可简记为“_____________________”四个字题型三、求复合函数的单调区间例3. 求下列函数的单调区间. （1）267x x y --=23212--=x x y ▲小结：1、注意：1求单调区间必先求定义域；（2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时,区间之间不能用“ ”并起来,应用“,”隔开. 2、判断复合函数单调性步骤： ①求函数的定义域；②将复合函数分解成基本初等函数：)(t f y =与)(x g t =； ③确定两个函数的单调性；④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性. 相应作业3：求下列函数的单调区间.（1）228x x y --= 23212--=x x y3xx y 412-=单调性的应用题型四、比较函数值的大小例4.已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数,试比较)43(f 与)1(2+-a a f 的大小.题型五、已知单调性,求参数范围例5.已知函数2)(2)(2+--=x a x x x f （1）若)(x f 的减区间是(]4,∞-,求实数a 的值；（2）若)(x f 在(]4,∞-上单调递减,求实数a 的取值范围.例6.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数,求实数b 的取值范围.题型六、利用单调性,求解抽象不等式例7.已知函数)(x f y =是()1,1-上的减函数,且)1()1(2->-a f a f ,求实数a 的取值范围.例8.已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数,且)()()(y f x f yx f -=,且1)2(=f ,解不等式2)31()(≤--x f x f .相应作业4：已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数,且)()()(y f x f xy f +=,且1)2(=f ,解不等式3)2()(≤-+x f x f .题型七、抽象函数单调性的判断——定义法解决此类问题有两种方法：①“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出结论； ②赋值法,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.例9.已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时0)(>x f ,求证：)(x f 在R 上单调递增.例10.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0,恒有)()()(y f x f xy f +=,且当10<<x 时0)(>x f ,判断)(x f 在()+∞,0上单调性.相应作业5：定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0,满足)()()(n f m f mn f +=,且当1>x 时0)(>x f .（1）求)1(f 的值；（2）求证：)()()(n f m f nmf -=； 3求证：)(x f 在()+∞,0上是增函数；4若1)2(=f ,解不等式2)2()2(>-+x f x f ；函数的最大小值1、函数的最大小值定义2、利用单调性求最值常用结论（1）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增,则)(min a f y =,)(max b f y =；（2）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减,则)(min b f y =,)(max a f y =；（3）若函数)(x f y =在开区间()b a ,上单调递增,则函数无最值,但值域为())(),(b f a f ；（4）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增,在闭区间[]c b ,上单调递减,那么函数)(x f y =,[]c a x ,∈在b x =处有最大值,即)(max b f y =；（5）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减,在闭区间[]c b ,上单调递增,那么函数)(x f y =,[]c a x ,∈在b x =处有最小值,即)(min b f y =.题型八、单调性法求函数最值值域例11、1函数121)(-=x x f 在[]5,1上的最大值为________,最小值为________;（2）函数112++=x x y 在[]4,2上的最大值为________,最小值为________;（3）函数x x y 212--=的值域为________________;（4）函数1-+=x x y 的值域为________________;（5）函数212+--=x x y 的值域为________________;6函数x xy +=1的值域为________________;二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间[]n m ,上求最值,常见类型：（1）定轴定区间：对称轴与区间[]n m ,均是确定的；（2）动轴定区间：（3）定轴动区间：（4）动轴动区间： 1、定轴定区间可数形结合,较易解决,注意对称轴与区间位置关系; 例12.当22≤≤-x 时,求函数322--=x x y 的最值.相应作业6：求函数542++-=x x y 在[]5,1上的最值.2、动轴定区间例13.已知函数22)(2++=ax x x f ,求)(x f 在[]5,5-上的最值.▲动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论,从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7：求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的最值.3、定轴动区间例14.已知函数22)(2+-=x x x f ,当[]1,+∈t t x 时,求)(x f 的最小值)(t g .相应作业8：已知函数34)(2-+-=x x x f ,当[]2,+∈m m x 时,求)(x f 的最大值)(m g . 4、动轴动区间解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动,进行讨论.例15.求函数ax x y +-=2在[]a x ,1-∈上的最大值.相应作业9：求函数222--=ax x y 在[]1,a x -∈上的最值.。

2019【人教A版】高中数学：必修1课本例题习题改编(含答案)

人教A 版必修1课本例题习题改编1 .原题〔必修1第七页练习第三题〔3〕〕判断以下两个集合之间的关系： A={x|x 是小 10 的公倍数,x w N +}, B = {x | x = 20m,mw N 4}x x _1x . i ... r . x 、一改编集合M =d x _w N 〞且 —W N *\,集合N =Wx —W Z ',那么()14 10J J40 J x _C. M U N = x — Z,20解：M ={x x =20k,k w N "}, N ={xx = 40k,kwz},应选 D.2 .原题〔必修1第十二页习题1.1B 组第一题〕集合 A={1 , 2},集合B 满足A U B={1 , 2},那么这样的集合B 有个.改编1集合A 、B 满足A U B={1 , 2},那么满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来.解：AU B={1 , 2}, ••.集合 A, B 可以是：？,{1 , 2}; {1} ,{1,2}; {1} , {2} ; {2} ,{1,2}; {2}, {1} ; {1 , 2}, {1 , 2} ; {1 , 2} , {1} ; {1 , 2}, {2} ; {1 , 2}, ?.那么满足条件的集合 A 、B 有 9 ^^.改编2集合A 有n 个元素,那么集合 A 的子集个数有个,真子集个数有个解：子集个数有2n 个,真子集个数有2n -1个改编3满足条件 {1Z R A 」1?3〕的所有集合A 的个数是 ____ 个解：3必须在集合 A 里面,A 的个数相当于2元素集合的子集个数,所以有 4个. 3 .原题〔必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数〞C(A) — C(B),当 C(A) >C(B)、C(B) -C(A),当 C(A) <C(B)A *B =1,那么由实数a 的所有可能取值构成的集合解：由 A =舟,2%4c(A) = 2 ,而 A w B =1 ,故 C(B) =1 或C(B) = 3.由(x 2 + ax)(x 2 + ax + 2) = 0 得(x 2 + ax) = 0或(x 2 + ax + 2) = 0.当C(B) =1时,方程(x 2十ax)(x 2+ax + 2) = 0只有实根x = 0,这时a = 0 .当C 〔B 〕 =3时,必有a #0 ,这时〔x 2 + ax 〕=0有两个不相等的实根x 1 = 0, x 2 = -a ,方程〔x 2 +ax +2〕=0必有两个相等的实根,且异于x 1 =0, x 2= -a,有A= a 2 - 8 = 0,a = ±2石,可验证均满足题意,S =1—2,5,0,2四?.A.M=NB.NJM〕改编用C 〔A 〕表示非空集合A 中的元素个 =巾,21 B =?(x 2 + ax)(x 2 + ax + 2)}= 0 ,且数,定义A * B =,4.原题(必修1第二十三页练习第二题)改编1小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是解：先分析小明的运动规律,再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快, 答案选C .改编2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,假设把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t的函数,其图象可能是 ()解：汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽车匀速行驶时,速度保持不变,表达在s与t的函数图象上是一条直线,减速行驶时,速度变化越来越慢,但路程仍是增加的.答案： A.…工、旧0g 一I▼一於；0,xE0,5.原题(必修1第二十四页习题1.2A组第七题)回出以下函数的图象：(1) F(x) = «1,x>0;,, lx为有理数,二…4 八改编设函数D(x)= J,x〃闩正如' 那么以下结论错误的选项是( )0,x为无理数,A. D(x)的值域为{0,1}B. D(x)是偶函数C. D(x)不是周期函数D. D(x)不是单调函数解：由条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确；当x是有理数时,-x 也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1, 故D(-x)=D(x), 当x 是无理数时,-x 也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0, 即D(-x)=D(x), 故D(x)是偶函数,选项B正确；当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x), 当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,(但不存在最小正周期),选项C不正确；由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数,故D(x)不是单调函数,选项D 正确.答案：C .6 .原题(必修1第二十四页习题1.2A 组第十题)改编集合A = {1,2,3},B = {1,2,3,4}.定义映射f : A T B ,那么满足点A(1,f (1)),B(2, f (2)),C(3,f (3))构成MBC 且AB=BC 的映射的个数为3解：从A 到B 的映射有4 =64个,而其中要满足条件的映射必须使得点 A 、B 、C 不共线且AB = BC,结合图形可以分析得到满足f (3) = f (1) # f (2)即可,那么满足条件的映射有 m = C ； C 1 = 12个.7 .原题(必修 1第二十五页习题1.2B 组第二题)画出定义域为 {x —3MxM8,且x #5},值域为{y -1 Wy W2, y #0}的一个函数的图像,(1)将你的图像和其他同学的比拟,有什么差异吗？ (2)如果平面直角坐标系中点 P(x,y)的坐标满足<x <8, -1宅y E2 ,那么其中哪些点不能在图像上？改编假设函数y = f (x)的定义域为{x -3<x E8,x 05},值域为{y -1 W y E 2, y # 0},那么y = f (x) 的图象可能是()A B C D解：根据函数的概念,任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应,故排除C ；由定义域为 {x —3ExE8,x#5}排除 A 、D,选 B.8 .原题(必修1第二十五页习题1.2B 组第三题)函数f(x) =[x]的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如,[一3.5] =3 ; [2.1] =2;当x w (—2.5, 3】时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象. 改编1对于任意实数 x ,符号[x]表示x 的整数局部,即[x]是不超过x 的最大整数,例如[2] = 2 ；[2.1] =2； [-2.2] = —3 .函数y =[x]叫做“取整函数〞,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用,贝U [log 31] + [log 3 2] + [log 3司十…+[log 3 26]的值为解：由题意得,30 =1 , 31=3 , 32 =9 , 3, =2 7 . ・•・原式中共有2个0 , 6个1 , 1 8个2 ,故原式=2M0+6父1 +18^2 =42 .改编2函数f(x)=x-[x],其中[M 表示不超过实数 x 的最大整数.假设关于x 的方程f(x)=kx+k 有三个不同的实根,那么实数k 的取值范围是111111 11 1B.(-1, --] - [一,-)C.[, )- (一,1] D.( , ]- [一,1) 24 3 3 4 23 4 21 1 1A.[ -1,—)-(一,一]2 4 3与过定点(-1,0)的直线y=kx+k=k(x+1)有三个不同的公共点,利用数 ,—— 11 1 一、k 的取值范围为(_1,_皿［,).答案：B. 2 4 3为32-Ui 2 3 4 5 &lx ］表示x 的整数局部,即［x ］是不超过x 的最大整数.这个函数［x ］叫做“取整函数〞,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么, (1)Ilog 21 ]+ iog 221+ iog 23】+ iog 24]+ ..... + Ilog 21024]=(2)设 f (x )= [x lx q ,x w 1,3],那么 f (x )的值域为解：(1 ) bg 21 ]=0 , Uog 22]=Ilog 2 3]=1 , Uog 24]=【log 2 5]=Dog 26]=【log 2 7]=2 , log 28 ]=Hog 2 9]= =0og 215]=3, Uog 216]= Ilog 217]= ........................................................ =Hog 2 31 ]=4, ......... 110g 2512]=10g 2512]=……=log 21023]=9, flog 2 1024]=10,那么原式=1父2+2父22+3父23+4父24 +川111+9父29+10,用“错位相减法〞可以求出原式的值为8204. (2)x w 1,2 )时,S = 1, f (x )=1;x w [2,2.5 时,Ix 】 = 2, f (x ) = 4；x W 12.5,3 )时,Ix 】 = 2, f (x ) = 5;x = 3寸」x 】 = 3, f (x )=9;故 x €[1,3]时 f (x )的值域为(1,4,5,91 答案：(1) 8204；(2) {1,4,5,9上改编4 函数f (x )= [x lx I],x W [-2,2]的值域为.解：当 x wl —2,—1)时,Ix] = -2, —2xW(2,4】,f (x )=[—2x]w{2,3,4};当 x 三[―10 )时,Ix 】=—1,—x W (0,1 ], f (x )=【—x 】E{01};当 x e 0,1 )时,Ix 】=0 , f (x )=0 ;当 x W 1,2)时,1x1=1 , f (x )= Ix]=1;当 x=2 时,f (x )= 14 ]=4 ;值域为{0,1,2,3, 4}.答案：{0,1 2,3,4}.增函数；当x <0时,f(x)是减函数；③f(x)的最小值是1g2 ；④f(x)在区间(―1,0),(2,十瓷)上是增函解：画出f(x)的图象(如右图),形结合的方法,可求得直线斜率改编3对于任意实数x,符号9.原题(必修1第三十六页练习第1题(3 ). ...... 一 x 1)判断以下函数的奇偶性： f(x)= ----------x改编关于函数f(x) =1gx 2 1(x 00),有以下命题：①其图象关于y 轴对称；②当x A0时,f(x)是数；⑤f(x)无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是211.原题(必修1第四十四页复习参考题 A 组第四题)集合A={x| x =1},集合B={x|ax=1},假设B-A, 求实数a 的值.改编集合 A={x|x-a=0} , B={x|ax-1=0},且An B=B ,那么实数 a 等于解：「An B=B , B? A , A={x|x-a=0}={a},对于集合 B, B={弁；要使B? A 需看=\解得a=±1;答案：1或-1或0. 1：u,x 2 ---f ,求证：(1) f (—x)= f (x) ； (2)1 -x,1 ,f(l)“f(x).x改编设定在R 上的函数f(x)满足：f(tanx)=—1—,那么cos2x … 1 1 . . 1f(2) f(3)惘 f(2021) f(2-) f(3) |l| f (次)=. 解：由 f(tanx)= 1=cos 2 x +sin 2x =1+tan 2x ・得 f (x) =ltx. .由所求式子特征考查：cos2x cos x -sin x 1 -tan x1—x21 1 1 1 x 21 11f(x)+f(1) == +T =0 -f(2)+f(3) +IH +f(2021) + f(-) + f(-)+HI + f(-) = 0 .1-- - 」…xx x 4 , x - 0;B 组第四题)函数f (x )=〈求f (1),x x - 4 , x ： 0.f (-3), f (a +1)的值.解：f(x) =lg(x 0 0)为偶函数,故①正确；令u(x)=…,、1 _,那么当x A 0时,u(x) = x + 在 x(0,1)上递减,在［1,~)上递增,,②错误；③④正确；⑤错误.答案：①③④.10.原题(必修1第三十九页复习参考题 B 组第三题)函数f (x)是偶函数,而且在(0,十至)上是减函数,判断f (x)在(3,0)上是增函数还是减函数,并证实你的判断改编定义在［-2, 2］上的偶函数f(x)在区间［0, 2］上是减函数,假设f(1-m)<f(m),那么实数m 的取值范围是解：由偶函数的定义,f (1 -m) = f (|1 - m|) ,,又由f(x)在区间［0, 2］上是减函数,所以f(m) = f(|m|)0 ［m 卜：| 1-m |< :=-m--.答案：-：三 m 二一.当a=0时,B=?满足B? A;当awo 时,12.原题(必修1第四十四页复习参考题A 组第八题)设f(x) 13.原题(必修1第四十五页复习参考题取值范围为()A. 1-8,-4) B . (-4,0)C.(-«,-4]D.(-4,0]解：当a >0时,y = f 〔x 〕与y = a 交点个数为2,不成立；当a<0时,f 〔x 〕图象如以下图,y=f 〔x 〕 a 2与y = a 父点个数为4,那么—— <a <0 ,a < M ,选A .4x 1 x 2f x 1f x 22x 1 x----- =」— --- 、——‘,(2) 右 g (x }=x +ax+b,贝Ug ------------222改编函数f 〔x < a,b ］上有定义,假设对任意x 1,x2wla,b ］,有f,2 在a,b ］上具有性质P.设f 〔x 网1,3止具有性质P ,求证：对任意x,x 2,x 3,x 4 W 1,3］,有f +"：""4H [f W )+ f 俨)+ f (x 3 广 f (x 4 g .改编函数x x a , x _ 0;f (x )=(a#0,关于x 的方程f (x )= a 有四个不同的根,x x -a ,x ：： 0.那么实数a的证实：f * "2 "3 X4 X x 2 x 3 x 4 =f^= _f x i f " ?2||f x 3 f x 4 =1 41fx 1f x 2 f % f x415.原题〔必修1第四十五页复习参考题 B 组第七题〕?中华人民共和国个人所得税? 规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000元的局部不必纳税, 超过2000元的局部为全月应纳税所得额. 此项税款按下全月应纳税所得额税率不超过500元的局部 5% 超过500元至2000元的都分 10% 超过2000元至5000元的局部 15%表分段累计计算: 某人一月份应交纳此项税款为 26.78元,那么他当月的工资、薪金所得是多少? 改编 2021年4月25日,全国人大常委会公布?中华人民共和国个人所得税法修正案〔草案〕 »,向社会公开征集意见. 草案规定,公民全月工薪不超过 3000元的局部不必纳税, 超过3000元的局部为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算.14.原题〔必修1第四十五页复习参考题 1[f (x1 / f (x 2 )],那么称 f (x )B 组第五题〕证实:2 X j <g(x 1 )+g (x 2 )依据草案规定,解答以下问题：(1)李工程师的月工薪为 8000元,那么他每月应当纳税多少元？ (2)假设某纳税人的月工薪不超过 10000元,他每月的纳税金额能超过月工薪的 8%吗？假设能,请给出该纳税人的月工薪范围；假设不能,请说明理由.解：(1)李工程师每月纳税： 1500X5%+3000< 10%+500< 20%=75+400=475 (元)； (2)设该纳税人的月工薪为 x 元,那么当XW4500寸,显然纳税金额达不到月工薪的 8%;当4500VXW7500时,由 1500 X5%+ (x-4500) X10%>8%x,得 x>18750,不满足条件；当 7500 V xW 10000 时,由1500 >5%+3000X10%+ (x-7500) X20%>8%x,解得 x>9375,故 9375<x< 10000答：假设该纳税人月工薪大于 9375元且不超过10000元时,他的纳税金额能超过月工薪的 8%.16.原题(必修1第八十二页复习参考题 A 组第七题)f (x )=3x ,求证：(1) f (xy 尸f (x )+f ( y ), (2) f (x )=f (x -y ).f y中,不满足其中任何一个等式的是(角函数的性质可知,A 满足f ( x + y 户f x f y ,C 满足f(xy 产f (司+ f y, D 满足f (x +y )=：(；；；；［,而B 不满足其中任何一个等式x亿原题(必修 1第八十二页复习参考题A 组第八题) f(x) = lgU,a,bW(-1,1),求证：(2)1 xa -b f(a )f (b )=f1 ab .改编定义在(T,1)上的函数f (x)满足对\/x, y 虻(一1,1),都有f (x) + f (y) = f ：又+' |成立,且当xW(—1,0) 1 - xy时,f (x) >0 ,给出以下命题：①f(0) =0 ;②函数f (x)是奇函数；③函数f (x)只有一个零点；④ f(1)+f(() <f (1),其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解：①令a =b=0得f (0) =0,①正确；②令y =x,得f(x) + f (―x) = f (0),二f(x)是奇函数,②正确；③ 由② f(x)—“丫)= "^^).又 x/一1,0), f(x)>0,令 x<y,那么 ^y<0」. f (x) — f (y) >0 ,即 f (x) > f (y).1 -xy 1 -xy改编给出以下三个等式：f (xy 户 f (x )+f (y ) f (x + y )= f (x )f (y } f (x+y )=1-f x fy.以下选项A. f x =3xB . f (x 尸sinx C. f x = log ? x D . f(x 尸 tanx解：依据指数函数,对数函数,由③知f (2)Af().答案：C18.原题(必修1第八十三页复习参考题B 组第一题)集合A={y y= 10g x x>1},log a (x 1x 2) <0 , 0 <x 1x 2 <1；当 0 <a <1 时,log a x 1A —log a x 2, log a (x 1x 2) > 0 , 0<为乂2<1,选B.19.原题(必修1第八十三页复习参考题B 组第三题)对于函数力工)一.一西(aWR) (1)探索函数f (x)的单调性；(2)是否存在实数a 使f (x)为奇函数？2 ..............改编1 对于函数f(x)=a+ 丁丁(xCR), (1)用定义证实：f (x)在R 上是单调减函数；(2)假设f (x) 21是奇函数,求a 值；(3)在(2)的条件下,解不等式 f (2t+1) +f (t-5) W0.证实(1):设 x 1V 〞 ,贝U f ( x 1 ) -f ( x 2)=22—2x xx——=-2——2 --------------- 2x 2 -2x 1 >0, 2%+1 >22 1 (2x 1 1)(2x 2 1)0, 2x 2 +1>0.即 f ( x 1) -f ( x 2) >0.f (x)在 R 上是单调减函数(2) ••• f (x)是奇函数,,f (0) =0? a=-1.(3)由(1)(2)可彳导f (x)在R 上是单调减函数且是奇函数, ..f (2t+1 ) +f (t-5) W0.转化为f (2t+1) w-f (t-5) =f (-t+5), ? 2t+1 > -t+5? t> 4 ,故所求不等式 f (2t+1) +f (t-5) < 0 的解集为：{t|t > 4} 33 ,—2 X-F b改编2 定义域为R 的函数f(x)=2x+[+a 是奇函数.(1)求a, b 的值；(2)假设对任意的tC R,不等式 f(t 2—2t)+f(2t 2—k)<0恒成立,求k 的取值范围.,函数f(x )在(—1,1)上为减函数,又f (0)=0,故③正确,④f (^!)+ f (111)= f1 1 _ +_ 5 11 i 1 +-X — I 5 11；B={y[ y =2,x>1},那么 AnB =()… 1、 A . {y1 0<y< yB. {y| 0<y<1},,1,、C. {y| 2<y<1}D...改编在平面直角坐标系中,集合A={ (x, y ) y = log a x} , 2>0且2¥1,B={(x,y)| y= - }k 2,设集合A 「B 中的所有点的横坐标之积为m ,那么有()A. m =1B.m 0,1 C.m 1,2 D.m 三12,十二解：由图知y=|log a x 与 y 图象交于不同的两点,设为x 「x 2 ,不妨设x1 < x 2 ,那么0 cx i <1 <x 2 , y =R 上递减,・•・ log a x 11Al log a x 2 ,当 a>1 时,一log a* >iog a x 2,22% 1②存在实数%,使得f (2%) a 2 f (%)g(%)；③不存在实数小,使得g(2x 0) < 6(x 0)『十[f (x) f ；④对任意 xw R,有 f (-x)g(-x) + f (x)g(x) = 0 ；其中所有正确结论的序号是g(2x 0)解：⑴由于f(x)是R 上的奇函数,所以f(0) = 0,即-1+ b 2+a=0,解得b=1,从而有f(x) =—2x + 1 2x+1 +a .又由 f(1)=- f(- 1)知-2+1-2+1 1 +a,解得a=2.-2x + 1(2)由(1)知 f(x)=* +? =_ 2 + 2x + 1,易知f(x)在R 上为减函数,又由于f(x)是奇函数,从而不等式f(t 2 -2t) + f(2t2-k)<0,等价于 f(t 2—2t)<—f(2t 2—k) = f(—2t 2 + k).由于 f(x)是R 上的减函数,由上式推得 t 2—2t> —2t 2+k.即对一切 tC R 有 3t 2—2t —k>0,从而 A= 4+12k<0, 解得k<—；. 3解法二：对一切 tC R 有 3t 2-2t-k>0,可转化为 k<3t 2-2t, tC R, 只要k 比3t 2 - 2t 的最小值小即可,而3t 2—2t 的最小值为——,所以k< ——. 3 320.原题(必修1第八十三页复习参考题B 组第四题) 设 f(x)=x_x e - e ,g(x)= x _xe elg(x) f - if (x) 2 =1(2) f (2x)=2f(x),g(x)； (3) g(2x ) = Ig(x)]2 + If(x)]2；改编1 设f (x)x-xe -e, g (x) =x -xe e给出如下结论：①对任意x w R ,有lg(x) 2 - if (x) 2=1 解：对于①:1g(x) 2 - If (x) I 2 -( )2-( x -xe -e)2 = 2x八 _2x 2x _ -2 x e 2 e e -2 e / -： ----- ------- ： -------- =1 ；2f (x)g(x) =2 x . xe -e x . x 2x-2x e e e - e= f(2x),f( 2x=)% M ； g) x()x-x1g(x) Jf(x)F=(y2x-x)2 (e-^)22x -2xe e= g(2x),故不存在x ,使对于④: f (-x)g (-x) f (x)g (x) 二 ■ x xe -exe -e -x -2xe2x 2x -2x一 ee i e =0,故正确的有①③④改编2函数F(x)=e x 满足F(x)=g(x)+h(x ),且g(x ), h(x9别是R 上的偶函数和奇函数, 假设V x w 1,2捷得不等式g(2x)—ah(x)2 0恒成立,那么实数 a 的取值范围是 . 解：F x = gx h x =e x ,得 F —x = g —x h -x =e',ex. e " e x _e ,即 F (—x )=g (x )—h(x )=e ",解得 g (x )= ------------------ , h (x )= ------------- , g(2x )—ah(x 上0 即得2 2V v 2 _ _ V v 2e x -e^ +-一->2V 12 (当且仅当 e x -e^ =——三,即 e x —e = %；2 时取等号,x xx x xx e -e e -e改编3 定义在 R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足：f ( x)+ g ―x e,那么2n g 1 g 2 g 22 |llg 2n l _.f 2n解： f (x)+g (x )=e x , f (x )和g(x *别为R 上的奇函数和偶函数,f -x +g -x =-f x +g x =e .x-xx_xe - e e e•1- f(x)= ------------ ,g(x)= ------------- , f (2x) =2 f (x) g(x),2 2 2n g 1 g 2 g 22Hg *2n f 1 g 1 g 2 g 22111g 2*1 2e --------------------------- = --------------------------------- = ---- =——. f 2nf 1 f 2nf 1 e -121 .原题(必修1第八十八页例1)求函数f (x) =lnx+2x —6的零点的个数.改编函数f (x) =ln x+ax-6 ,假设在区间(2,3)内任意两个实数 p,q(p#q),不等式f(p) "口)>.恒成 p-q立,且在区间(2, 3)内有零点,那么实数 a 的取值范围为( ) 解：由题可得y=f(x)在(2, 3)递增,故f^J+a^.在(2, 3)恒成立,,a 之二,又f(x)在(2,3) x 3内有零点, 由零点存在性定理有 f(2) =ln2+2a-6<0, f(3)=ln3+3a —6>0,又 1 1 1 - 1 1a .. 2 ln3 ：：a ：二3 ln2.答案：(2ln3,3 ln2) 3 3 23 2x22 .原题(必修1第九十页例2)借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x = 7的近似解(精确度0.1).改编为了求函数f (x)=2x +3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f (x )的局部对应值(2x _2x x _xe —— -a e ~e至0 ,参数别离得2 22xNxeea——— e -efe x_x一e x . xe -e2 x .-=e -ex 的解满足23 .原题(必修1第九十五页例1)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报 0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？改编某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式, 商场领取奖品,价值为 40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元, 方式三：第一天领取的奖品的价值为 0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 超过600元,那么促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下, 领奖者受益更多？解：设促销奖的领奖活动为 x 天,三种方式的领取奖品总价值分别为 f (x),g(x), h(x).那么 f(x)=40x; g(x) =10 + 20 + 30+〞|10x = 5x 2+5x ；f(x)-0.8716-0.28130.2101 0.32843 0.64115那么方程2x +3x=7的近似解(精确到0.1)可取为()A . 1.32B. 1.39C. 1.4解：通过上述表格得知函数唯一的零点X 0 在区间(1.375,1.4375)内,应选 C.这三种领奖方式如下：方式一：每天到该以后每天比前一天多 10元;假设商场的奖品总价值不你认为哪种领奖方式让h(x) =0.4 0.4 2 0.4 22 HI 0.4 2xJ =0.4 2x -0.4 且经过点C 、D ,那么当梯形的周长最大时,求该椭圆的离心率. 解：梯形ABCD 为圆的内接梯形,故其为等腰梯形,AC=4sin^BC= 4 cOS , CD=4-8cos 2日, 一 ..一 2 一一 , 、f ⑼=Tcos e +8cos8+8,(((―,—)4 2nJI Kw 〔,〕时,周长f 〔日〕最大,34 2A 组第九题〕某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供给,假设公司本次新产品生产开始x 月后,公司的存货量大致满足模型f 〔x 〕 = -3x 3+12x+8 ,那么下次生产应在多长时间后开始？改编某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供给, 次生产.假设公司本次新产品生产开始月 x 后,公司的存货量大致满足模型f 〔x 〕 = -2x 3 + 6x + 20 ,那要使奖品总价值不超过 f(x) <600 g(x) <600 { =h(x) <600 x N600元,那么x <15 2x x -120 < 0 2x<1501解得 x < 11, x N又 f(10) =400 g( 1 0 ) 5 50h(1 0) 409.故 g(10) h(10) . f (10)答：促销奖的领奖活动最长可设置 10天,在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多 24.原题(必修1第一百一十二页复习参考习A 组第七题)改编1线段 AB 的长为4,以AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD ,假设椭圆以A 、B 为焦点,且经过点C 、D ,求椭圆的离心率的范围. 解：梯形ABCD 为圆内接梯形,故其为等腰梯形,设/ABC=H ,那么在Rti ABC 中,AC =4sin BC = 4 cos由椭圆的定义知2a = AC CB = 4(sin 口 - cos^)2c 离心率e =——2a4(sh cOs)、.2sE 4)冗冗Tt r=日匚(一,一,所以J 2sin(e *—尸(1y 2)故椭圆离心率4 2 4改编2线段AB 的长为4,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,假设椭圆以A 、B 为焦点,1-1故当cos 日=,即e 2即最大周长为f(一)=10,此时, 由椭圆的定义知2a = AC + CB = 2〔J3 + I 〕,所以此时的椭圆的离心率 2c e = — = _2a 2(/3 1) =5/3 -1 . 25.原题〔必修1第一百一十三页复习参考习在存货量变为0的前一个月,公司进行下么下次生产应在月后开始.那解：f 〔1 〕= 24>0,f〔2〕 =16>0,f〔3〕= -16<0,所以应该在两个月后进行生产.26.原题〔必修1第一百一十三页复习参考习B组第一题〕经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格〔自变量〕,而用横轴来表示产品数量〔因变量〕,以下供求曲线,哪条表示厂商希望的供给曲线,哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？〔图略〕改编1某地一年的气温Q 〔t〕〔单位：C〕与时间t 〔月份〕之间的关系如图〔1〕所示,该年的平均气温为10C,令G 〔t〕表示时间段〔0, t〕的平均气温,G 〔t〕与t之间的函数关系用以下图象表示,那么正确的应该是〔〕图〔1〕C解：A改编2为了稳定市场,保证农民增收, 某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小. 假设下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格:月份1234567价格〔元/担〕687867717270那么7月份该产品的市场收购价格应为A. 69 元B. 70 元C. 71 元D. 72 元解：C。