2006级《高等数学》(Ⅱ)期末试题A_参考答案

合集下载

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

06年2+2高等数学A试题+答案

2. 解曲面在处的法向量为 ………………………………………………… 2分
平面方程为 , 即 . ……………………… 4分
直线的方程又可写为,代入平面的方程解得,. …… 7分 3. 解原式= ……………………………… 2分
= ……………………… 3分 = ……………………… 5分 = …………………………………… 6分 =. …………………………………………… 7分 4. 解 , . …………………………………1分 =, ………………………2分 = =. …………………………………………………3分由得. ……………………………………………… 4分特征方程,特征根,. . ………………………………………………………………… 6分由,得,. . ………………………………………………………………………… 7分 5. 解 , … ………………………………………………… 2分 , , ……………………………………………………… 4分 , . …………………………… 6分 =, . ……………… 7分
分）
1. 曲线在处的切线方程为
.
2. 已知在内连续 , , 设 , 则
=
.
3. 设为球面 () 的外侧 , 则
=
.
4. 幂级数的收敛域为
.
5. 已知阶方阵满足 , 其中是阶单位阵, 为任意实数，则 = .
6. 已知矩阵相似于矩阵 , 则 .
7. 已知 , 则 =
.
8. 设是随机变量的概率密度函数 , 则随机变量的概率密度函数 = .
二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）
得分
阅卷人

2006年高考理科数学(全国二卷)真题

1 2 （2）(D)解析: y sin 2x cos 2x sin 4x 所以最小正周期为T ,故选 D 2 4 2
考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式（3）(A)解析: 3 3 3i 3i 3 i 2 (1 i ) 2i 2i2 2 2 本题比较容易. 故选 A
本题考察的知识点复数的运算,(乘法和除法),比较简单
（4）(A)解析:设球的半径为 R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由
3 S R 的圆,所以 1 2 S2
( 3 R)2
2 4R2
勾股定理可得一个半径为

3 ,故选 A 16
本题主要考察截面的形状和球的表面积公式,难度中等（5）( C)解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得ABC 的周长为 4a= 4 3 ,所以选 C 本题主要考察数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等（6）(B) 解析: y ln x 1(x 0) ln x y 1 x e y 1( y R) 所以反函数为 y ex 1 (x R ) 故选 B （7）(A)解析:连接 AB和AB ,设 AB=a,可得 AB 与平面所成的角为BAB ,在 4 RtBAB中有AB 2 1 a ,同理可得 AB 与平面所成的角为ABA ,所以 AA a , 2 6 2 1 2 2 1 2 1 a ) ( a ) a ,所以 AB : A ' B ' a : a 2 :1 ,故选 A 2 2 2 2 第 9 页共 20 页

3
解析(数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆( x 2)2 y 2 4 的内部, 圆心为 O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l OA ,所以k l （16） 25 人。 2 1 1 kOA 2 2

2006年考研数学二真题及答案

2006年考研数学二真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。

） (1)曲线y =x+4sinx 5x−2cosx的水平渐近线方程为_________。

【答案】y =15。

【解析】limx→∞x+4sinx 5x−2cosx=limx→∞1+4sinxx 5−2cosx x=15故曲线的水平渐近线方程为y =15。

综上所述，本题正确答案是y =15【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)设函数f (x )={1x 3∫sint 2dt,x ≠0,x0a,x =0在x =0处连续，则a =_________。

【答案】13。

【解析】a =lim x→01x 3∫sint 2dt x0=limx→0sinx 23x 2=13.综上所述，本题正确答案是13【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 (3)反常积分∫xdx (1+x 2)2+∞=_________。

【答案】12。

【解析】∫xdx (1+x 2)2+∞=lim b→+∞∫xdx (1+x 2)2b0=lim b→+∞12∫d (1+x 2)(1+x 2)2=12b 0lim b→+∞(−11+x 2)|b =12lim b→+∞(1−11+b 2)=12综上所述，本题正确答案是12【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (4)微分方程y ′=y(1−x)x的通解为__________。

【答案】y =Cxe −x ，C 为任意常数。

【解析】dyy =1−x xdx⇒ln |y |=ln |x |−lne x +ln |C |即y =Cxe −x ，C 为任意常数综上所述，本题正确答案是y =Cxe −x 。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (5)设函数y =y(x)由方程y =1−xe y 确定，则dy dx |x=0=__________。

【答案】−e 。

【解析】等式两边对x 求导得y ′=−e y −xe y y ′ 将x =0代入方程y =1−xe y 可得y =1。

2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷

2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y )在点),(0y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是【】（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零.（C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222xy z ++≤)的值等于【】（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是【】（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能确定______________ . 7．设∑为球面2222xy z a ++=的表面,则⎰⎰∑++dS z y x )(222=________.8．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为 _______ ，收敛域为 _______ . 9．已知函数(,)23abf x y x y xy =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)，则____________，此时函数(,)f x y 的极大值为 . 10．33z xyz x y z-=++确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点(0,0,1)处的全微分为 _________ .三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数(),x z f y x ye =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求zx∂∂，yx z ∂∂∂2．12．计算二次积分2()a x y aI a dx e dy-=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x x dyxydxxeyxIϕϕ与积分路径无关，其中()xϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ.1.求()xϕ；2.求)1,1(I.15．求（1）幂级数112n n n n x ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数；（3）级数1(1)2nnn n ∞=-∑的和.16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x axxf x ef at t ae +=+⎰，且(0)2f a =，求a 的值及函数)(x f .12()(2)xxe x e xf x e e e e --+-+=-+四、证明题: 本题共1题，6分.17. 已知无穷级数2n n u ∞=∑满足 22222ln 1xy nx y a nun dxdyπ--+≤=-⎰⎰,其中实数0a >, 证明: 级数2n n u ∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u ∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题 6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 3 10．dy dx dz 2121+=三、计算题11．解：设 ,xu y x v ye =-=，则''x uv zf ye f x∂=-+∂()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12．解：()2222211.2a xa aa yy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷)理科数学试题及解答(WORD版)[1]

A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y
·＝0，∴ED⊥BB1．
又＝(－2a，0，2c)，
·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，
2)，
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
（19）（本小题满分１２分）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小。
（20）（本小题１２分）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。
（21）（本小题满分为１４分）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分
与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分１２分）已知向量（I）若求（II）求的最大值。
（18）（本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

2006年全国Ⅱ高考试题(理)

4
D．
2
3．
3 ＝ (1 i ) 2
A．
3 i 2 3 16
B．
3 i 2
C． i
D． i
4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 A． B．
9 16
C．
3 8
D．
9 32
5．已知△ ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆
x2 y 2 1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外 3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上．
13．在 ( x ) 的展开式中常数项是
4 10
1 x
．（用数字作答）
14．已知△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 成等差数列，且 AB 1 ， BC 4 ，则边 BC 上的中线
AD 的长为
．
15．过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x 2)2 y 2 4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k ＝．
π π 当 sin(θ＋ )＝1 时，|a＋b|取得最大值，即当 θ＝时，|a＋b|最大值为 2＋1．……12 分 4 4 18．解：（Ⅰ）ξ 可能的取值为 0，1，2，3． C4 C3 18 9 P(ξ ＝0)＝ 2· 2＝＝ C5 C5 100 50 C4 C3 C4 C3· C2 12 P(ξ ＝1)＝ 2· 2＋ 2· 2 ＝ 25 C5 C5 C5 C5 C4 C3· C2 C4 C2 15 P(ξ ＝2)＝ 2· 2 ＋ 2· 2＝ C5 C5 C5 C5 50 C4 C2 1 P(ξ ＝3)＝ 2· 2＝． C5 C5 25 ξ 的分布列为 ξ P 0 9 50 1 12 25 2 15 50 3 1 25

高数(2-2)历年期末试题参考答案

2006—2007学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ；（B ）必有→→→→===0c b a ；（C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ；（D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ；（B ）22；（C ）22；（D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ；（B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ；（D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ；（B ）632=-+z y x ；（C ）632=++z y x ；（D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛；（B ）发散；（C ）绝对收敛；（D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面；（B ）平行于z 轴，但不通过z 轴；（C ）垂直于z 轴；（D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1，当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛，故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-，最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

北京林业大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷

20 06 --20 07 学年第二学期考试试卷(A)试卷名称：高等数学（理工类）课程所在院系：理学院（N ）考试班级学号姓名一、填空题（每题 3 分，共 39 分） 1．设 f (x − y , x + y ) = x2− y 2 ，则 f (x , y ) = xy .x 2 y4．函数 u = x sin(yz ) 的全微分为du = sin(yz )dx + xz cos(yz )dy + xy cos(yz )dz .5．已知平面区域 D 是由直线 x + y = 1， x − y = 1及 x = 0 所围成，则 ydxdy = 0D6．微分方程 y ′ = y2 e 2x, 满足初始条件 y (0) = − 2 的特解为 y = −2e −2x .7．设 y 1 , y 2 , y 3 是微分方程 y ′′+ p (x )y ′+ q (x )y = f (x ) 的三个不同的解，且 ≠ 常数，则微分方程的通解为 y = c 1 (y 1 − y 2 ) + c 2 (y 2 − y 3 ) + y 1 .8．周期为 2π 的函数 f (x )，它在一个周期上的表达式为 f (x ) = ，则 f (x ) 的傅里叶级数的和函数在 x = 0 处的值为 0 . 9．设 Σ 为平面 ++ = 1在第一卦限中的部分，则(z +2x + y )dS = 4 .Σ11. 设 L 为下半圆周 y = − ，则对弧长的曲线积分 ∫ ex 2 +y2ds = 2πe 4 .L12．函数 f (x ) =1展开为 x 的幂级数的形式为1 [1 + x + (x ) +2 + (x )n + ], −2 < x < 22 − x 2 2 2 213．若级数(u n +1)收敛，则 l nu n = -1二、（5 分）函数 z = z (x , y ) 由方程 x − az = φ(y − bz ) 所确定，其中φ(u ) 有连续导数， a , b 是不全为零的常数，证明： a∂x + b ∂y = 1 证明：方程 x − az = φ(y − bz ) 两边同时对 x , y 求偏导得2．极限 lim = 2 .3．设函数 f (x , y ) = 2x2+ ax + xy 2 + 2y 在点 (1, − 1) 处取得极值，则常数 a = -5 .10．曲线 x = t − sin t , y = 1 − cos t , z = 4sin 在对应 t = 的点处的法平面方程是2 2 π 2x + y + z − −4 = 0 .y x 00− 1 t π∂z ∂z∂x ∂x ∂x a − b φ′ ∂z ∂z ∂z −φ′ ∂y ∂y ∂y a − b φ′ ∂z ∂z ∂x ∂y 三、（5 分）设 z = e ，求1 xy xy1 − a∂z = φ′ ⋅ ( −b ∂z ) ⇒ ∂z =1− a = φ′ ⋅ (1 − b ) ⇒ =故 a + b = 1x 2 y 3 ∂2z∂x ∂y= 2xy 3ex 2 y 3,= (6xy 2+ 6x 3y 5)ex 2 y 3四、（6 分）求微分方程 y ′′ − 3y ′+ 2y = 2e x 满足条件 y (0) = 0, y ′(0) = 1 的特解. 解：特征方程为： r2− 3r + 2 = 0 特征根为： r 1 = 2, r 2 = 1 对应齐次方程的通解是： y = c 1e 2x + c 2 e x设原方程的特解为： y *= axe x ，将其代入原方程待定系数得 a = −2 .所以 y * = −2xe x故原方程的通解为 y = c 1e 2x+ c 2 e x − 2xe x 由 y (0) = 0, y ′(0) = 1 解得c 1 = 3, c 2 = −3因此所求的特解是 y = 3e 2x − 3e x − 2xe x五、（6 分）计算二重积分 (x2+ y )dxdy ，其中 D = {(x , y ) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 } .D解:(x2+ y )dxdy = x 2dxdy =πd θ∫23(r cos θ)2 rdr =πD D六、（5 分）利用格林公式，计算(2x 2 y − 2y )dx + (x 3 − 2x )dy ，其中 L 为以 y = x , y = x 2 围成区域的正向L边界. 解:(2x 2y − 2y )dx + (x 3− 2x )dy = − x 2dxdy = − ∫01dx ∫ x 2 dy = −L D七、（6 分）设 Σ 是由曲线 z = y 2 ,(0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.x = 0,(1) 写出 Σ 的方程.（2）计算 4(1 − y2)dzdx + z (8y +1)dxdy ，其中 Σ 取下侧.Σ解: (1) Σ 的方程是 z = x2+ y 2 (0 ≤ z ≤ 2) .(2) 设 Σ 1 为 z = 2, (x2+ y 2 ≤ 2) 的上侧，则4(1 − y 2)dzdx + z (8y +1)dxdy =∫ dv =πd θ 2d ρ∫ρ22 ρdz = 2πΣ+Σ Ω 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2(8y +1)dxdy = 2dxdy =4πΣ D D 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2π− 4π = −2πΣ八、（6 分）求幂级数的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.解：收敛半径 R = 2 ，收敛区间为[− 1,3)1解：s(x) = s′(x) = ⋅ = ()n−1 =s(1) =0，s′(x)dx== dx,s(x) =ln 2 −ln(3 −x) (−1 ≤ x< 3)九、（5 分）设b n是收敛的正项级数，(a n−a n+1 ) 收敛. 试讨论a n b n的敛散性，并说明理由.解: a n b n是绝对收敛的.因为(a n−a n+1 ) 收敛,所以部分和s m= (a n−a n+1 ) = a1 −a m+1 有界,从而数列{a n}有界即存在常数M> 0 ，使| a n|< M (n= 1, 2, 3, ) ，故| a n b n|< Mb n(n= 1, 2, 3, )由于b n是收敛的正项级数，由比较审敛法知，a n b n绝对收敛.十、（6 分）设可导函数f (x) 满足f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1，求f (x) .解：方程f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1两边对x求导得f′(x) c os x+ f (x) s in x= 1即f′(x) +tan x⋅f (x) =求解上面的一阶线性微分方程得f (x) = e−∫ tan xdx[ ∫ e∫ tan xdx dx+ C] = sin x+ C cos x由于f (0) =1，所以C= 1，故f (x) =sin x+ cos x十一、（5 分）证明: (sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分，并求f(x, y)，计算(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy.解因为P= sin y−y sin x, Q= x cos y+ cos x∂P= cos y−sin x= ∂Q∂y∂x所以(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= (sin ydx+ x cos ydy) +(cos xdy−y sin xdx)= d(x sin y+ y cos x)故f (x, y) = x sin y+y cos x+ c(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= [x sin y+ y cos x]= −1十二、（6 分）求抛物面z= 1+ x2 +y2 的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面(x−1)2 + y2 = 1所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程.解：设 F (x , y , z ) = 1 + x2+ y 2 − z ，得F x = 2x , F y = 2y , z F = − 1抛物线在 (x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切平面方程为2x 0 (x − x 0 ) + 2y 0 (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0即 z = 2x 0 x + 2y 0 y + 1 − x 02− y 02该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为2解一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、已知两点 M 12(,2,2) 和 M 21(,3,0) ,则模 M 1M 2 = ____ 2 _____。

2006年高考试题与答案-全国卷2数学理

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知向量
（Ⅰ）若求；
（Ⅱ）求的最大值。
（18）（本小题满分12分）
某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.（Ⅰ）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1=AC= 求二面角A1－AD－C1的大小.
（A）φ（B）
（C）（D）
（2）函数y= sin 2xcos 2x的最小正周期是
（A）2π（B）4π（C）（D）
（3）
（A）（B）（C）i（D）－i
（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
（A）（B）（C）（D）
（5）已知△ABC的顶点B、C在椭圆，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
P(A+B) =P(A) +P(B)

2006年高考全国2卷(理数)超详细试卷答案

绝密★启用前年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷至页，第Ⅱ卷至页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分 分，考试用时 分钟。

注意事项：．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

．每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷上的答案无效。

参考公式：如果事件✌、互斥，那么球的表面积公式 ☎✌ ✆  ☎✌✆  ☎ ✆ 24R S π=如果事件✌、相互独立，那么其中表示球的半径☎✌· ✆   ☎✌✆· ☎ ✆ 球的体积公式如果事件✌在一次试验中发生的概率是，那么 234R V π=⏹次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(本卷共 小题，每小题分，共 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（）已知集合|1log |||,3||2>=<=x x N x x M ，则=N M（✌）φ（）|30||<<x x （）|31||<<x x（）|32||<<x x（）函数⍓  ♦♓⏹ ⌧ ♍☐♦ ⌧ 的最小正周期是（✌） π （） π（）4π（）2π（）=-2)1(3i （✌）i 23 （）i 23-（）♓ （）－♓（）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（✌）163 （）169 （）83 （）329 （）已知△✌的顶点、在椭圆1322=+y x ，顶点✌是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则△✌的周长是（✌）32（）（）34（） （）函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为（✌）)(1R x e y x ∈=+ （）)(1R x e y x ∈=- （）)1(1>=+x ey x（）)1(1>=-x ey x（）如图，平面α⊥平面β，✌∈α， ∈β，✌与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过✌、分别作两平面交线的垂线，垂足为‘、B A '，则✌：‘B A '（✌）：（）：（）：（）：（）函数)(x f y =的图像与函数)0(log )(2>=x x x g 的图像关于原点对称，则)(x f 的表达式为（✌）)0(log 1)(2>=x xx f （）)0()(log 1)(2<-=x x x f（）)0(log )(2>-=x x x f （）)0)((log )(2<--=x x x f（）已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（✌）35（）34 （）45 （）23 （ ）若=-=)(cos ,2cos 3)(sin x f x x f 则（✌）x 2cos 3- （） x 2sin -（）x 2cos 3+（）x 2sin 3+（ ）设n S 是等差数列{}n a 的前⏹项和，若3163=S S ，则=126S S（✌）103（）31 （）81 （）91 （ ）函数∑→-=191)(n n x x f 的最小值为（✌）  （） （） （） 绝密 ★ 启用前年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷（非选择题，共 分）注意事项：本卷共页， 小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。

06年《高等数学》试题及答案

2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（） A. ]1,21[B. ]1,1[-C. ]1,0[D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x xx xx f x f A ⇒.3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim2-=-→xx xx C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B nn nnn n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax，在0=x 处连续，则常数=a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a aexex f axx axx x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 2020.6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim（）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f xx f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim--+-+=--+→→C f xf x f xf x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim2)1()21(lim207. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（） A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2）得分评卷人解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2- 解： D t tt t dxdy ⇒-=-=2sin sin 222.9.设2(ln )2(>=-n x x yn ，为正整数),则=)(n y （）A.x n x ln )(+B. x1 C.1)!2()1(---n nxn D. 0解：B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x xx x y （）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解：A y y y x x x x x xx x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim,4lim ,1lim)2)(1()3)(1(2332.11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内（）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线解： C ey ey xx ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （） A.C eF exx++--)( B. C eF x+-)( C. C eF exx+---)( D. C eF x+--)(解：D C eF ed ef dx e f e xxxx x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且xe xf =-')12( ，则 =)(x f （）A.C ex +-1221 B. C ex ++)1(212C.C ex ++1221 D. C ex +-)1(212解：B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(.15. 导数=⎰batdt dxd arcsin （）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D.211x-解：⎰baxdx arcsin 是常数，所以B xdx dxd ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是（） A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z ny x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n（）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（）A.2B.1C.-1D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 设方程02=-xyz e z确定了函数),(y x f z = ，则xz ∂∂ = （）A. )12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D. )12(+z x y解：令xy e F yz F xyz e z y x F zz x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xyxyz yz xyeyz xz z⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222.21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222xydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内（） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x yz x y xz⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222yx z yz 是极大值A ⇒.23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π 解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx0(),(，常数）的积分次序后可化为（）A. ⎰⎰a ydx y x f dy0),( B.⎰⎰aay dx y x f dy),( C. ⎰⎰aa dx y x f dy00),( D. ⎰⎰ayadx y x f dy),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为（）A. x yx 222≤+ B. 222≤+yxC. y yx 222≤+ D. 220yy x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y yx 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（）A. 2B.1C. -1D. -2 解：L ：,1⎩⎨⎧-==xy x x x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数中，绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sinn nπB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinnnππ∑∞=π12sinn n收敛C ⇒.28. 设幂级数n n nn a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n na 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos得分C. C y x =sin sinD. C y x =cos cos 解：dx xx dy yy ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d yy d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为（）A. x e b ax x y -+=*)(B. xeb ax x y -+=*)(2C. xeb ax y -+=*)( D. xaxe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xxx x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim)31)(2()2(lim231lim2222x x x x x x xxx x x x123341==.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+=.34.设函数bx axx x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f . 37.⎰-=+ππdx x x )sin(32 _________.解：3202sin)sin(323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-211112132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xtx .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a. 40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y22=中的2y 换成22y z+，即得所求曲面方程x yz222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.解：⇒+=∂∂y x y xz sin 2y x yx z cos 212+=∂∂∂.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dxdxdy x y 12101122322)()( .43. 函数2)(xex f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.解： ∑∞=⇒=0!n n xn xe ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==022),(,!1)1(!)()(2n n nnn xx xn n x ex f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x的和函数为 _________.解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-011111)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n nn n n nx nx n x n x,)22(≤<-x .45.通解为xxeC eC y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.解：xxe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx exxx 2sin1lim322-→--.解：23042320161lim3222lim81lim2sin 1lim2222xexxex xexxx ex xx xx xx xx -=+-=--=---→-→-→-→161lim 161322lim220-=-=-=-→-→xx xx exxe.47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy .解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，得分评卷人两边对x 求导得：x xxx x xx y y2sin 332)3ln(2cos 2122++++='所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xxx x x x x x y x+++++='x x x x x xx x xx x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ⎰-dx xx224.解：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdxxxtx t )2cos 1(2sin4cos 2cos 2sin4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分⎰--+12)2()1ln(dx x x .解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+11112)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x xx xdx dx x x⎰=-=+-+=++--=112ln 312ln 322ln 12ln312ln )1121(312ln xx dx xx.50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yz xz ∂∂∂∂,.解：xv v g xu u g xy x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yv v g yu u g yy x y x f yz )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.解：积分区域如图06-1所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydy x dxydxdyx I10310323)2(105142122====⎰⎰xdx x ydx x xx.52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.解：令t x =-1，级数化为 nn nt n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数.xy x y =o12x y 2=图06-1因为 313)3(11)3(1lim1)3(1)3(1limlim11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n nn nn n nn a a ρ，故级数nn nt n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x .故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y xy -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y xy 通解为2xC y =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(xx C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C xx x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xC xy +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x xC （千元），乙厂月生产成本是3222++=y yC （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。

高数2 期末试题

汕头大学09-10学年春季学期《高等数学II 》期末考试试卷A 参考答案及评分标准开课单位数学系任课老师、评卷人林小苹谢长珍任玉杰熊成继一、基本计算题（本大题共有4小题，每小题7分，共28分）。

1、计算对弧长的曲线积分2Lxy zds ⎰，其中L 是点(1,0,1)到点(0,3,6)的直线段。

解：曲线的参数方程为1,3,15,01x t y t z t t =-==+≤≤。

（2分）于是ds ==，代入得（2分）1220(1)(15)L xy zds t t dt =-+⎰⎰ （2分）= （1分）2、求曲线积分3223()()Lx x y dx xy y dy -+-⎰ ，其中L 是圆周221x y +=逆时针方向的一周。

解：注意曲线的方向，利用Green 公式得322322()()()L DI x x y dx xy y dy y x dxdy =-+-=+⎰⎰⎰ （4分）其中D 为圆221x y +≤，再用极坐标计算二重积分得213002I d r dr ππθ==⎰⎰。

（3分）注：此题也可象第1小题那样用参数方程，代入计算，分值也是2、2、2、1。

3、机械部件为空间曲面221(),012z x y z =+≤≤，它的面密度(,,)x y z z ρ=。

求这个部件的总质量。

解：质量(,,)M x y z dS ρ∑=⎰⎰ （2分）空间曲面221:(),012z x y z ∑=+≤≤在xoy 平面上的投影 (1分) 为22:2D x y +≤，面积微元dS ==，代入得（1分）2220011(22D M x y d r π=+=⎰⎰⎰ （2分）2(15π=+。

（1分） 4、设∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的第一卦限内的部分，前侧（x 轴y 轴正向）为正，计算对坐标的曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰。

解：除这个柱面外，再加上四个平面：0z =、3z =、0x =、0y =，它们围成立体Ω，它的体积为34π。

2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试题及答案.

--------- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---业---专---考---报---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- -校---学---考线报封__密_-_--_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-：---号---证---考---准---_--_--_-_--_- -_ -_- -_--_-_--_--_-_--：---名---姓--------------------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷-------------------- 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷考试说明： 1、考试时间为150分钟； 2、满分为150分； 3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）若在连续，则曲线在处的切线方程为 . 3. 设函数，则其导数为＝ 5. 设，则曲线与直线，及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周，所得旋转体体积为 . 7. 微分方程的通解为若级数收敛，则的取值范围是二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）第 1 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------xarctanx=（）. x→-∞x+1ππ (A) (B) - (C) 1 (D) 不存在 221．lim2. 当x→0时，f(x)=x-sinx 是比 x的（）.(A) 高阶无穷小 (B)等价无穷小(C)同阶无穷小 (D)低阶无穷小 23.级数为（）. n=∞(A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C) 发散 (D)无法判断4.曲线y=x与直线y=1所围成的图形的面积为（）. (A) 223 (B) (C)344 (D)315.广义积分⎰+∞0xdx为（）. 3(1+x)(A) -1 (B) 0 (C)-1 (D)21 2三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题6分，共60分）1.⎰计算极限limx→0x0tantdtx2.第 2 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------2．计算函数y=x的导数 y'. 3 计算由隐函数 e=xlny确定的函数 y=f(x)的微分dy.第 3 页，共8页 y------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------4.判别正项级数5. 计算不定积分6. 求幂级数n=1∞+1)的敛散性. n2 n=0∑3∞nx2n的收敛半径与收敛区间.第 4 页，共8页--------- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---业---专---考---报---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- -校---学---考线报封__密_-_--_--_-_--_--_-_--_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-：---号---证---考---准---_--_--_-_--_- -_ -_- -_--_-_--_--_-_--：---名---姓--------------------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷-------------------- 7. 计算定积分⎰π20xsinxdx 8. 计算微分方程dyxdx=(1+y2)y(1+x2)满足初始条件 y(0)=1的特解. 9. 计算函数 y=sin(lnx)的二阶导数 y''.第 5 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------10. 将函数 y=lnx展成(x-1)的幂级数并指出收敛区间.四．综合题：（本题共4个小题，共30分）1. [本题7分] 设0<a<b，证明不等式 an-1bn-an<<bn-1n(b-a)(n=2,3, )第 6 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------22．[本题7分]设函数f(x)=x2-⎰f(x)dx，求f(x)在区间[0,2]上的最大0值与最小值.⎧3. [本题8分] 设f(x)=⎪⎨xαsin1x,x≠0，⎪⎩0,x=0试问α在什么范围时,（1）f(x)在点x=0连续；（2）f(x)在点x=0可导.第 7 页，共8页α为实数）（------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------x04．[本题8分] 若函数f(x)=⎰(x-t)f(t)dt+ex，求f(x).第 8 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷（A）参考答案及评分标准考试说明：1. 考试时间为150分钟；2. 满分为150分3. 答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4. 密封线左边各项要求填写清楚完整。

天津大学高数期末考试试卷

∞ e n
,求函数项级
五、计算下列各题(每小题7分，共21分) 1.计算三重积分I =
Ω
n=1
fn (x)之和.
(x + z )dV,其中Ω是曲面z =
x2 + y 2 与z =
1 − x2 − y 2 所
围成的区域. 2.求
(y −1)dx−xdy ,其中L为含有点(0, 1)的区域D的边界闭曲线,方向取逆时针. x2 +(y −1)2
二、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.设有级数
(−1)n np ，则(
) (B)当p > 1时，该级数收敛;
(A)当p > 1时，该级数条件收敛;
(C)当0 < p ≤ 1时，该级数绝对收敛; (D)当0 < p ≤ 1时，该级数发散. 2.已知，则下面答案正确的是( ) 2
(A)点(3, 2)是函数的极大点; (B)点(3, 2)是函数的极小点; (C)点(3, −2)是函数的极大点; (D)点(3, −2)是函数的极小点. 3.若L是平面曲线x2 + y 2 = a2 (a > 0)，L依顺时针方向转动一周，则
(B) 3 4;
(C)− 1 2;
(D)1.
二、填空题(每小题3分，共15分) 1.曲线积分
x L (e sin y
+ my )dx + ex cos ydy 的值为
,其中L为上半
圆x2 + y 2 ≤ 2ax(a > 0, y ≥ 0). 2.设u = z + 3.幂级数
∞ n=1
x2 + y 2 ,则div(gradu) =
1 4
3.(7分)求二重积分 4.(7分)计算I =

高数下期末考试卷

________)sin( 1==dz xy z 则，设、 ___________ 2 01 0=⎰⎰dy y dx x、)1 1()0 0( _______232，到，从点为曲线其中，、y x L dy x L ==⎰收敛级数时，当、∑∞=+111 _____ 4n p np ______________sec52的通解为微分方程、ye y x ='二、选择题(每题 3分，共15分))2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y xyxy x f --+=ππππσ D. 32C. 2B. 4A.) ( 1 22222=+≤+⎰⎰d y xyxD D则，为圆域设、1 D. 21 C. 31 B. 41 A.).1 1()0 0( ) (32，到，从点为其中，、x y L xdy ydx L==+⎰. D. C. B. A.) (1sin)1( 41敛散性不定条件收敛绝对收敛发散级数、nn n∑∞=-xx xx xeC C y e C eC y e x C C y ex C C y y y y 21212121 D. C. )( B. )( A.) (02 5+=+=+=+==+'-''--通解为、三、计算题(每题 7分，共49分)方程处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132⎩⎨⎧==x z x y 围成及、由其中，求、14 )4( 2===+⎰⎰x x y x y D dxdy y x D4 )( 3222222≥≤++Ω++⎰⎰⎰Ωz z yxdv z yx，为上半球体其中，求、的这段弧变到从上相应于，，为曲线其中，求、20sin cos 1 4222t e z t e y t e x ds zyxttt ===Γ++⎰Γ. )2(1 51若收敛求其和的敛散性，判断级数、∑∞=+n n n 的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=126n nnx n的通解求微分方程、xe y y =-''4 7四、综合应用题(每题 9分，共18分). )2 2( 1求其方程横坐标，轴上的截距等于该点的且在任一点处的切线在，一曲线过点、y)0 0()0 2(2)2cos ()2sin ( 22，到，从点为沿上半圆周其中，求、O A x x y L dy x y edx x y eI Lxx-=+++=⎰五、证明题(8分)ayz cxz by x f z cz ay bz ax v u =∂∂+∂∂==--满足，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设) (0) ( ) (φφ________ )sin( 1)1 0(2=∂∂=，则，设、xz xy z ______8 222=≤+⎰⎰Ddxdyyx D 则，为圆域设、_____)( )0 1()1 0(1 3.=+=+⎰ds y x y x L L则，，到点，从点为直线设发散级数时，满足当、)0( ___________ 41≠∑∞=a aqq n n______0222)1 2 1( 5==+-+-d z y x 的距离到平面，，点、二、选择题(每题 3分，共15分)ydyxdx xdy ydx xdy ydx dz xy z ++== D. C. B. A.) ( 1则，设、.)( D. )( C. )( B. )( A.).()( 2 211sin 2 0sin 2 02222ρρθρρρθρρθρρρθσππθπθπd f d d f d d f d d f d d y xf y yx D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+≤+则，：设、21D. 21 C. 1 B. 1 A.) ( )1 0()0 1(1 3.--==+⎰dx y y x L L则，，到点，从点为直线设∑∑∑∑∞=+∞=∞=++∞=+--+-+-==02120121012)!2()1(D. )!2()1(C. )!12()1(B. )!12()1(A.).()(sin )( 4n nn n nn n n n n n n xn xn xn xn x f x x x f 的幂级数有展开成将函数、36)(49 D. 364)(9 C. 36)(94 B. 369)(4 A.)(3694 522222222222222=++=++=++=++=+z yxy z xz yx yz xx yxxOy 轴旋转所得曲面方程为绕坐标平面上的曲线、三、计算题(每题 7分，共49分)围成及、由其中，求、10 1===⎰⎰+x y x y D dxdy eDyx 10 0 20 sin 2≤≤≤≤≤≤Ω⎰⎰⎰Ωz dz d d ，，：其中，求、πθρθρθρ 的一段弧，与，上点为抛物线其中，求、)1 1()0 0( 32A O x y L ds y L=⎰处的切平面及法线方程，，在点求曲面、)5 1 2( 422y xz +=的敛散性判断级数、∑∞=⋅1!2 5n nn nn的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=121 6n nx n程的交线平行的直线的方和且与两平面，，求过点、34152)5 2 3( 7=-=---z x z y x四、综合题(每题 9分，共18分)能使用料最省？高，宽、问应如何选取它的长的有盖长方体水箱，积为某厂要用钢板做一个容、 2 13m的一段弧，到点，上由点是圆周其中，求、)1 1()0 0(2 )sin ()( 2222A O x x y L dy y x dx y xL-=+--⎰五、证明题(8分) 0)1(lim1=∞→∞=∑n n n n u u证明：收敛，设级数垂直与平面证明平面，的方程为平面，方程为设平面2121 0324 0432 )2(∏∏=+--∏=-+-∏z y x z y x________1) 1 2( )1 6 2( 1=⋅-==b a b a 则，，，，，，设向量、__________) 1( )ln() ( 2='=e f xy x y x f x ，则，，设、___________) ( 3y1 0 2=⎰⎰dx y x f dy y，交换积分次序、 ____)1( 5lim 1=-∞→∞=∑n n n n nu u 则收敛，设级数、 )4 2()0 0( _______)4( 422，到，从点为曲线其中，、x y L dx x y L==-⎰二、选择题(每题 3分，共15分)yx y x y x y x yx z y x z cos 3 D. cos 3 C. sin 3 B. sin 3 A.) (sin 12222233--=∂∂∂=，则设、⎩⎨⎧==+⎩⎨⎧==+⎩⎨⎧==+⎩⎨⎧==+⎪⎩⎪⎨⎧+==++ 01D. 01 C. 01 B. 02 A.)(222222222222222z y x y y x x y x z y x xOy y x z z y x 面上的投影曲线方程为在曲线、3D. 4 C. 32 B. 2 A.) ()( 01 32222ππππσ=+≥≤+⎰⎰d y xy yxD D则，且：设、21D. 21 C. 1 B. 1 A.) ( )1 0()0 1(1 42--=-=⎰ds x x y L L 则，，到点，从点沿曲线设、敛散性不定条件收敛绝对收敛发散级数、 D. C. B. A.) ()cos( 512∑∞=n nna三、计算题(每题 7分，共49分)化为对称式方程将直线一般方程、⎩⎨⎧-=-+=+-13222 1z y x z y x求该平面方程，到该平面的距离为，，平行且点设一平面与平面、 1 )1 1 2(122 2-=+-z y x41 3222222≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωzyxdv zyxI 为球体其中，求三重积分、的线段，，与，，为为连接其中，求、)3 4 2()1 2 1( )( 4B A ds z y x Γ-+⎰Γ的三角形正项边界，、，、，为三顶点是，利用格林公式求、)2 1( )1 1( )0 0()cos ()sin ( 52L dy x y edx yx y e xLx+++⎰若收敛求其和的敛散性，判断，求，项部分和的前设级数、 )2( )1( 3136111∑∑∞=-∞=-=n n n n nn n n uu s n u的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=⋅141 7n nnx n四、综合题(每题 9分，共18分)的极值，求函数、43) ( 133+--=yxxy y x f.1 222轴围成及、由其中，求、y y x y D dxdy ex Dy==⎰⎰-五、证明题(8分)22211)( )(yz yz y xz x u f y xf y z =∂∂+∂∂-=证明：可导，其中，设。

北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷

北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学试卷（A ）院(系) 班级学号姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩占 20 %课程考核成绩题号一二三四五六七小计得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得分得分自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊装订线内不得答题2．若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ，其中a > 0 为常数，则积分区域 D 是D 2（）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3．设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（）（ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（）（ A ）条件收敛（B ）绝对收敛（ C ）发散（D ）敛散性不一定5．设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分）设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ，求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分）计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ，其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。

2006年全国Ⅱ高考试题(文)

A．150种B．180种C．200种D．280种
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．在的展开式中常数项是．（用数字作答）
14．圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积与球的表面积的比为，则圆心与球心的距离与球的半径比＝．
，选D
（5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是(C)
（A）（B）6（C）（D）12
解：(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a= ,所以选C
（6）已知等差数列中，，则前10项的和＝(B)
2006年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
参考公式：
如果事件、互斥，那么球是表面积公式
如果事件、相互独立，那么其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率：其中R表示球的半径
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分
（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面
21．（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．