北师大版高二数学必修五课件：不等关系

高中数学必修5第三章《不等式》内容分析

数学必修5第三章《不等式》内容分析

同文中学高二数学备课组：陈劲

一．教学内容分析：

“不等式”是高中数学的传统内容，与高中数学中很多内容有密切关系。同大纲教材相比，新课标（北师大版）教材在内容安排、编写思路、教材目标与要求上都有较大变化。

新课标教材中不等式主要包括：1.必修5第三章《不等式》中：不等关系、一元二次不等式、基本不等式及二元一次不等式组与简单的线性规划问题。其结构是：第一节不等关系，讲不等关系、不等式的性质和用不等式来比较大小；第二节讲一元二次不等式；第三节讲基本不等式和用基本不等式求最大值、最小值；最后一节讲简单的线性规划。线性规划也分几个层次，第一个层次是用二元一次不等式组来刻画平面区域，然后讲简单线性规划的问题，最后讨论简单线性规划的应用。2.选修4—5《不等式选讲》中：不等式的性质、含绝对值的不等式、基本不等式、不等式的证明、不等式的应用及柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容。

大纲教材中“不等式”只有一章内容共五部分：不等式的基本性质及其证明、两个正数的算术平均数与几何平均数定理的证明与应用、不等式的证明、简单不等式的解法、含绝对值的不等式。

新课程教材的主要变化体现在：在必修5中删除了大纲教材中的“不等式的基本性质及其证明”，“不等式的证明”，“含绝对值的不等式”放在选修4—5中学习。增加了“不等关系”，将“一元二次不等式”与“线性规划问题”从原来分散在其他章节整合到了本章中，增强了知识体系的整体性、逻辑性和严谨性。同时还强调信息技术与课程内容的整合，还在“一元二次不等式”中融入了算法思想等。

北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案

第三章不等式 3.1.1 不等关系

教学目标 1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；

2.了解不等式或不等式组的实际背景；

3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.

教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系；

教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.

教学过程

导入新课

日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？

1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.则当天的气温t 应该满足： 2：对于数轴上任意不同的两点A 、B ，若点A 在点B 的左边，则x a x b .

3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.则这个数x 可表示为 .

4.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.可以表示为推进新课

实例5:当我们在路上看到这个路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 满足

实例6:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不

少于2.3%. 可以表示为［合作探究］

1、2、3、4、及实例5、实例6的答案

［过程引导］

一、什么是不等式呢?

用不等号“≠，>，<，≥ ，≤ ”表示不等关系的式子叫不等式. 如：-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a +2≥0;3≠4.

问题1：设点A 与平面α的距离为d, B 为平面α上的任意一点.用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系

北师大版高中数学必修5《基本不等式》教学方案

《北师大版高中数学必修5《基本不等式》教学方案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！

教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

课程目标分析

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

知识与能力目标：

理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

过程与方法目标：

按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

2018年高中数学第三章不等式 3.1 不等关系 3.1.1 不等关系 3.1.2 不等关系与不等式北师大版必修5

(1)运用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质； ②解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项 ①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
又316＜1b＜115，所以1326＜ab＜6105. 所以13＜ab＜4. 所以－24＜a－b＜45，13＜ab＜4.
本例条件不变，试求 3a－2b 的取值范围．
解：因为 12＜a＜60，15＜b＜36，所以 36＜3a＜180，－72＜－2b＜－30. 所以－36＜3a－2b＜150.
利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N＋)．

3.1.1《不等关系》习题课课件(北师大版必修5)

解析：设甲用时间为 T，乙用时间为 2t，步行速度为 a，跑步速度为 b(且 b>a)，距离为 s， s s a＋b 2 2 s s 则 T＝＋＝＋＝s× ； a b 2a 2b 2ab 2s ta＋tb＝s⇒2t＝ . a＋b sa＋b a＋b2－4ab 2s ∴T－2t＝－＝s× 2ab a＋b 2aba＋b sa－b2 ＝ >0.故 T>2t. 2aba＋b
答案：B
• [变式训练8] 甲、乙两水果商先后分别两次
从某地购进水果，甲商每次购20000斤，乙商每次购2万元，若两次购进的价格不同，试判断甲、乙两人谁的购买方式合算(即平均单价低)． • 分析：先求出两人两次的平均单价，再用比较法解．
2
3
3
证法 2：若 b≥0，则 a> b≥0， ( a) >( b)3，即 a>b；若 a≤0，则 0≥ a> b，－ b>－ a≥0， (－ b) >(－ a)3，即－b>－a，a>b；若 a>0> b，则( a) >0，( b)3<0，即 a>0，b<0， ∴a>b. 综上知：a>b. 3 3 3
1 1 (4)由性质定理 a<b<0⇒a>b，命题是真命题； 2 3 (5)例如－3<－2<0，3<2，命题是假命题．－a>－b>0 －a>－b>0 ⇒ 1 a<b<0⇒1 1 1 a>b －b>－a a b ⇒b>a.

3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)

5．已知x>3，试比较x3＋11x与6x2＋6的大小．解析： x3＋11x－(6x2＋6) ＝x3－3x2－3x2＋11x－6＝ x2(x－3)＋(－3x＋2)(x－3) ＝(x－3)·(x2－3x＋2) ＝(x－3)(x－2)(x－1)，由x>3，得 x－3>0，x－2>0，x－1>0，所以x3＋11x>6x2＋ 6.
＞165 ≤35 4．某单位招收员工的条件是“年龄不超过35岁，身高165cm以上”，小李被单位录用，那么，你能用不等式表示出小李的身高S(cm)和年龄N(岁)满足的不等关系吗？ S ，N .
1．在数学意义上，不等关系可以体现在以下几个方面常量与常量 (1) 变量与常量之间的不等关系； (2) 函数与函数之间的不等关系； (3) 一组变量之间的不等关系； (4) 之间的不等关系．
∴M－N＜0.∴M＜N.
∵x＜y＜0，∴2xy＞0， 2xy ∴ ＞0， x＋y2 2xy ∴1－＜1. x＋y2 x2＋y2x－y ∴ 2 2 ＜1， x －y x＋y ∵(x2－y2)(x＋y)＜0，(x2＋y2)(x－y)＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
4．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x) 与g(x)的大小关系是________．用(“＞”连接) 解析： f(x)－g(x) ＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1＞0 ∴f(x)＞g(x) 答案： f(x)＞g(x)

3.3.2基本不等式与最大(小)值课件ppt(北师大版必修五)

课前探究学习
课堂讲练互动
[正解]
5 ＞0. ∵0＜x＜1，∴(－log2x)＞0，－ log2x 5 －＝2 －log2x log2x
5 － ≥2 ∴(－log2x)＋ log2x
5.
来自百度文库
5 ∴log2x＋ ≤－2 5. log2x 5 ∴f(x)＝2＋log2x＋ ≤2－2 5. log2x 5 当且仅当 log2x＝时，即 x＝2－ log2x ∴f(x)max＝2－2 5.
题型三
利用基本不等式解应用题
【例3】 (本题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元． (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？审题指导 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)根据(1)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值，再结合题目要求得出实际问题的结论． 3．多次使用基本不等式的问题运用基本不等式时，“正、定、等”缺一不可，但有些题中由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解．

【北师大版】数学必修五(全书)课件(含本书所有课时)精美立体PPT

值(亿元)依次排列如下：
0 1998 1999 2000 2001 2002
78 345， 82 067，89 442，95 933， 102 398.
实例分析
(3)“人口问题” 是我国最大的社会问题之一，对人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系列相关政策的基础，历次全国人口普查公报数据资料见表，五次普查人口数量 (百万)依次排列为： 601.93， 723.07，1 031.88， 1 160.02，
3 你的恒心，与你的心态有关坚持不下去的另一个原因，恐怕是因为我们想太多。健身两周，就希望身材赛过谁；看了两本书，就期待生活有什么不同；勤奋两个月，就算计着什么时候能够功成名就…… 人心都是肉长的，若是在它上面加了太多的砝码，它就会不堪重负。欲望太多，就不容易看到希望。村上春树的第一部作品《且听风吟》和第二部作品《1973年的弹子球》问世后，虽然让他有了一定的知名度，但都没有获得日本文学大奖。对此他十分淡然，觉得能写出让自己满意的作品才更加重要。他后来在回忆这段经历时说，那时他还在经营餐厅，甚至觉得没得奖也挺好，至少不会没完没了的接待采访和约稿，影响了生意。听起来像玩笑，但实际上，无论写书，还是跑步，他只是为了迎合自己，达到为自己设定的目标就好。

2.1不等关系说课稿 2022-2023学年北师大版八年级下册数学

2.1 不等关系说课稿

一. 教材分析

1. 教材内容

本节课的教材内容为《2022-2023学年北师大版八年级下册数学》第2章第1节的不等关系。主要涉及不等关系的定义、表示方式、性质以及应用。

2. 教学目标

•知识与技能：理解不等关系的定义，掌握不等关系的表示方式，能够运用不等关系解决实际问题。

•过程与方法：培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。

•情感态度价值观：培养学生合作意识，培养学生对数学知识的兴趣和对数学思维的认识。

二. 教学重点与难点

1. 教学重点

•不等关系的定义。

•不等关系的表示方式。

•不等关系的性质。

2. 教学难点

•运用不等关系解决实际问题。

三. 教学过程

1. 导入新知

通过向学生提问，引导学生回忆一下不等关系的概念和表示方式，为学生复习和准备新知。

2. 讲解不等关系的定义和表示方式

首先，讲解不等关系的定义。不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于等不等关系。在日常生活中，我们经常会用到不等关系来描述某些事物的大小关系。

然后，介绍不等关系的表示方式。不等关系可以使用数学符号来表示，例如：大于表示为>，小于表示为<，大于等于表示为≥，小于等于表示为≤。

3. 操练不等关系的性质

通过几个例题，让学生自己发现不等关系的一些性质，并帮助他们总结归纳。例如：若a>b，则b<a；若a>b且b>c，则a>c等。

4. 运用不等关系解决实际问题

将学生分为小组，给每个小组分发几道实际问题，要求他们使用不等关系来解决。鼓励学生积极参与讨论，培养他们的合作能力和解决问题的能力。

2013高中数学 3-1 不等关系同步导学案北师大版必修5

第三章不等式

本章概述

●课程目标

1.双基目标

（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.

（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.

（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.

（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.

（6）探索并了解基本不等式的证明过程.

（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

（10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

2.情感目标

（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.

（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.

（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.

●重点难点

重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.

难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.

●方法探究

不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.

学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.

北师大版高三数学必修五《不等关系》评课稿

一、前言

本文是对北师大版高三数学必修五《不等关系》这一教材

内容进行评课的文档。通过对教材的内容、教材的设计与实施等方面进行细致的分析和评价，以期为改进教材的编写和教学实施提供参考。

二、教材综述

《不等关系》是北师大版高三数学必修五的一章内容，主

要涵盖了不等关系的基本概念、符号表示法、性质和应用等。通过对不等关系的学习，学生将进一步理解数的大小关系，为后续学习提供基础。

2.1 教材内容

教材内容主要包括以下几个方面： - 不等关系的概念：介

绍了数之间的大小关系，引导学生理解不等关系的基本概念。- 不等关系的符号表示法：介绍了大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等符号的含义和使用方法。 - 不等关系的性质：介绍了不等关系的传递性、反对称性等基本性质，并通过例题让学生深入理解。 - 不等关系的应用：讨论了不等关系

在解实际问题中的应用，如年龄问题、距离问题等。

2.2 教材设计与实施

教材采用了一系列教学手段和方法来设计和实施，使学生

能够主动参与学习和掌握知识。具体设计和实施策略包括： - 情境导入：通过一个生活中的例子引入不等关系的概念，让学生能够抓住问题的实际背景。 - 知识讲解与演示：通过教师

讲解和演示，引导学生理解不等关系的符号表示法和相关性质。- 基础巩固：通过一些简单的练习题加深学生对不等关系的理

解和记忆。 - 拓展应用：通过一些生活中的实际问题引导学

生将不等关系应用到解决问题中。

三、评价与展望

3.1 教材优点

《不等关系》这一章的教材具有以下几个优点： - 知识系

《不等关系》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】

《不等关系》教学设计

本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展。在本节课的学习过程中，学生将通过现实生活中的实例，了解我们周围存在的形形色色的不等关系，进而更深层次地从理性角度建立不等观念。

通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用。对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来。在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望。

【知识与能力目标】

会用不等符号表示实际问题中的不等关系，能列出问题中的不等式或不等式组。

【过程与方法目标】

通过本节学习，让学生感受到不等关系是客观存在的广泛的数量关系。

【情感态度价值观目标】

通过对富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣。

【教学重点】

用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】

用不等式或不等式组准确地表示出不等关系。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 ◆ 教学重难点

◆

◆ 课前准备 ◆

◆ 教材分析 ◆ 教学过程

◆ 教学目标

2019-2020学年高中数学第三章现实生活中的不等式要点解读素材北师大版必修5.doc

2019-2020学年高中数学第三章现实生活中的不等式要点解读素材北师大版

必修5

现实生活的实际问题中有很多的不等关系，同学们多留意，观察身边的事物，会发现数学就在我们的身边。

一、天气预报的不等关系

例1、据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t （℃）的范围是（）

（A ）t ＜17 （B ）t ＞25 （C ）t=21 （D ）17≤t≤25

解：最低气温是17℃，指气温t≥17，最高气温是25℃，指t≤25，所以，气温t （℃）的范围是17≤t≤25，故选（D ）。

二、跷跷板中的不等关系

例2、图1是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），

则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（）

（ A ）（B ）

（C ）（D ）

解：图1的左图中，

甲沉下去，可知甲的体重大于40kg ；图1的右图中，丙沉下去，甲的体重小于50kg ，设甲的体重为xkg ，则40＜

x ＜50，在数轴上表示，应选（C ）。

例2、2006浙江丽水）按照神舟六号船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神舟六号飞船返回舱的温度在21°C±4°C 之间，则该返回舱中温度t(°C)的范围是（）

（A ）17≤t≤25 （B ）25≤t≤17

（C ）t≥17 （D ）t≤25

解：温度在21°C±4°C 之间，就是指在（21°C－4°C）和（21°C＋4°C）之间，即在17°C 与25°C 之间，故选（A ）。

三、天平中的不等关系

例3、根据下图所示，对a 、b 、c 三中物体的重量判断正确的是 ( ）

高二数学北师大版选修4-5课件1.3 平均值不等式

2
当且仅当 x=y= 时,等号成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
证法二:左边= 1 +
��
��+��
1+
��+��
= 2+
��
2+
��
=5+2
�� + ��
≥5+4=9=右边. 当且仅当 x=y= 时,等号成立.
探究四
思路分析:根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解. 解:(1)因为 x+2y=1, 所以�� + �� = ≥3+2
1 1 ��+2�� +2�� 2�� + = 3 + + �� 2�� · =3+2 �� 2��
件是什么? 提示:“一正”:不论是三个数的或者 n 个数的平均值不等式,都要求是正数,否则不等式是不成立的.如:a+b+c≥3 ��.取 a=b=-2,c=2 时,a+b+c=-2. 而 3 ��=6,显然-2≥6 不成立. “二定”:包含两类求最值问题:一是已知 n 个正数的和为定值(即 a1+a2+…+an 为定值),求其积 a1a2…an 的最大值;二是已知乘积 a1a2…an 为定值,求其和 a1+a2+…+an 的最小值. “三相等”:取“=”号的条件是 a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部分相等.