北师大版高二数学必修五课件：不等关系
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
高中数学 不等关系课件 北师大版必修5
设儿童身高为h（单位：m）物品外部尺寸长、 宽、高之和为p(单位：cm),请在下表空格内填上 对应的数学符号（﹤，≤，﹥，≥） 文字 表述 符号 表示 不超过 160cm
１.１～１.４ m
超过1.4m
不足1.1m
1.1 h 1.4
h 1.4 h 1.1 p 160
例3 下图给出的是我国长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况直 方图。请根据图中信息将各省、自治区、直辖市污染程度按小到大的顺序 （＜，≤）进行排列。 优于Ⅲ 2001年长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况 类（含）
谢谢大家，再见！
那么这些不等关系用什 么来表示呢？
问题情景：两条1m长的小铁丝，如果把一条铁丝围
成一个圆，把另一条铁丝围成一个正方形.
1m
设两个图形的周长和面积分别为 C 圆 , C 方 ， 圆 , 方 .试判 断(1)两个周长的大小关系；（2）两个面积的大小关系.
s s
2
解:
(1)
C
圆=
C
2
方
1 1 1 1 2 2 (2) S圆 0.08( m ) S 0.06( m ) 方 2 4 4 16
3.设点A与平面 的距离为d，Ｂ为平面 上的任意一点，写出d满足的不等式. 0≤ d≤|AB| 4.如下图：在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ 大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
5m 5m 5m
5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0 W 0
60x 70 y 500 x 3且x N y 2且y N
这是一个不等式组的问题
高中数学必修五：3.1不等关系与不等式课件(共18张PPT)
33
3
还有其它 解法吗?
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) f (1) f (2) 利用对应系数相等
求的与 ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性
a b b a; a b b a
传递性 加法性质
所以 (a b) 0, 即b a 0, 所以b a.
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>（c. 传递性）
证明：a b，b c a b 0，b c 0
(a b) (b c) 0
3.1.2
不等关系与不等式
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a bab0 a b a b 0
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
证明： 因为a b,所以a b 0，
b2
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证
c
c ＞.
ab
证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 1 >0.
得a+c>b+d.
高中数学必修五《不等关系与不等式》优秀教学设计
3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景。
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】1．用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
2．理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】1．用不等式(组)准确地表示不等关系。
2．用不等式(组)解决简单的含有不等关系的实际问题。
【方法手段】1．采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。
2．教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3．设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。
【教学过程】一、课题导入章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然的引入新课。
引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。
在老师的引导下，学生会说出很多个例子来。
即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。
通过实例的引导让学生感受生活中人们经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
而且在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
二、学生自由阅读、探究并回答相关问题 阅读课本72页问题1，2，3．问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯≥．问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件
数列的概念课件
2020/8/20
数列的概念及简单表示
邹英
2
8
7
6
5
64个格子 你想4得到
什么3 样的 OK
87
65 4 3 2
赏赐2 ？
1
陛下，赏小
1
。 人就一请 请子请依子可请子在在放在次些放在放以第第8类第4第颗麦1二四颗推三颗一麦个个麦…粒个麦个粒…格格粒格粒格
子放2颗麦粒
3
842 1
我们就可以得到如下的一列数：
4
古语云：一尺之棰，日取其半，万世不竭 。
5
把正整数的倒数排成一列。 某人12个月的工资排成一列数
6
一对小兔到第二个月长成大免子，第三 个月生下一对小免子。每对小兔子到第 二个月都长成大兔子，并且到第三个月 也生下一对小兔子。假设这些兔子没有 死亡，且总能繁衍后代。那么，逐月的 兔子对数就构成了以下一列数。
16
写出下面数列的通项公式
15, 5, 16, 16, 28, 32, 51。 不存在
17
例1.根据通项公式写出数列的前5项
（1）
（2）
例2.写出下面数列的一个通项公式
(1)2，5，10，17；（2）
（3）
（4）
18
本课小结
1.数学知识：数列的概念；数列的分类；数列的通项公 式与应用。
2.数学方法：观察 归纳
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13，…
7
从上几个例子得到以下五列数
①
②
③
④
⑤ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13，…
以上五 2.都有一定的顺序 。
9
北师大版高三数学必修五《不等关系》评课稿
北师大版高三数学必修五《不等关系》评课稿一、前言本文是对北师大版高三数学必修五《不等关系》这一教材内容进行评课的文档。
通过对教材的内容、教材的设计与实施等方面进行细致的分析和评价，以期为改进教材的编写和教学实施提供参考。
二、教材综述《不等关系》是北师大版高三数学必修五的一章内容，主要涵盖了不等关系的基本概念、符号表示法、性质和应用等。
通过对不等关系的学习，学生将进一步理解数的大小关系，为后续学习提供基础。
2.1 教材内容教材内容主要包括以下几个方面： - 不等关系的概念：介绍了数之间的大小关系，引导学生理解不等关系的基本概念。
- 不等关系的符号表示法：介绍了大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等符号的含义和使用方法。
- 不等关系的性质：介绍了不等关系的传递性、反对称性等基本性质，并通过例题让学生深入理解。
- 不等关系的应用：讨论了不等关系在解实际问题中的应用，如年龄问题、距离问题等。
2.2 教材设计与实施教材采用了一系列教学手段和方法来设计和实施，使学生能够主动参与学习和掌握知识。
具体设计和实施策略包括： - 情境导入：通过一个生活中的例子引入不等关系的概念，让学生能够抓住问题的实际背景。
- 知识讲解与演示：通过教师讲解和演示，引导学生理解不等关系的符号表示法和相关性质。
- 基础巩固：通过一些简单的练习题加深学生对不等关系的理解和记忆。
- 拓展应用：通过一些生活中的实际问题引导学生将不等关系应用到解决问题中。
三、评价与展望3.1 教材优点《不等关系》这一章的教材具有以下几个优点： - 知识系统性强：教材将不等关系的概念、符号表示法、性质和应用等内容有机地结合在一起，形成了一个完整的系统。
- 基础与应用结合紧密：教材既注重对基本概念和性质的讲解，又引导学生将所学知识应用到实际问题中，提高了教学的实用性。
- 教学方法多样化：教材运用了情境导入、示范与讲解、练习与巩固等多种教学方法，使学生的学习方式更加多样化。
江西省吉安县第三中学高中数学必修五课件：31不等关系与不等式(共20张PPT)
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第三章 不等式
课堂小结
3.不等式的性质 (1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同 向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向 且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆． (2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行 推导，不能自己“制造”性质运算． 4. 在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意 性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特 别注意同向不等式相乘的条件为同为正．
预习导学
第三章 不等式
[预习思考] 根据p69ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ70页认识生活中的不等关系 1．不等式的概念
思
用 数 学 符 号 “ ≠” 、 “ >” 、 “ <” 、 “ ≥” 、 “ ≤” 连 接 两 个 数 或 代 数 式，以表示它们之间的__不__等__关__系__．含有这些不等号的
式子，叫作不等式．
2．符号“≥”和“≤”的含义
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母
或分子有理化；⑤分类等．
2．作商法比较大小
作商法适用于幂式、积式、分式间大小的比较，作商后
可变形为能与 1 比较大小的式子，要注意利用函数的有
关性质进行比较．
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第三章 不等式
议
探究二 利用不等式性质判断命题的真假
例 2 判断下列不等式关系是否正确，并说明理由． (1)若ca2＞cb2，则 a＞b； (2)若 a>b，ab≠0，则1a＜1b； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd.
议
∴aabb＝abba.
③当 a＜b 时，0＜ab＜1，a－b＜0，∴(ab)a－b＞1，
3.1.1不等关系 课件(北师大版必修5)
导.学. 固. 思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形” 领域目标要求
不等关系与不等式
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
一元二次不等式
2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题 基本不等式
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决 1.学会推导并掌握基本不等式
应满足的不等关系是( D ).
A.x+y>120 C.x+y≥120 B.x+y<120 D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表示 总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少需 要120吨,故应为x+y≥120.
导.学. 固. 思 2
4
比较 x +3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
2 2 2
2
【解析】∵(x +3)-3x=x -3x+3=[x -3x+( ) ]-( ) +3=(x- ) + ≥ >0,
高中数学北师大版必修五课件：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大值
思想方法
分类讨论思想求函数的值域
求函数 y＝x22＋x 1的值域． 【解】 当 x＞0 时，y＝x22＋x 1＝x＋2 1x，
因为 x＋1x≥2，所以 0＜x＋2 1x≤1， 所以 0＜y≤1， 当且仅当 x＝1 时取等号．
当 x＜0 时， y＝x22＋x 1＝x＋2 1x＝－[（－x）2＋（－1x）]. 因为 x＜0，所以－x＞0，所以(－x)＋（－1x）≥2， 所以 0＜（－x）＋2 （－1x）≤1，所以－1≤x＋2 1x＜0， 所以－1≤y＜0，当且仅当 x＝－1 时，取等号． 当 x＝0 时，y＝0， 所以函数 y 的值域为[－1，1]．
【解】 法一：设矩形广告牌的高为 x cm，宽为 y cm，则每 栏的高和宽分别为(x－20)cm，y－225cm，其中 x>20，y>25， 则两栏面积之和为 2(x－20)×y－225＝18 000，由此得 y＝1x8－02000 ＋25，所以广告牌的面积 S＝xy＝ x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x， 整理得 S＝3x6－0 02000＋25(x－20)＋18 500.
法二：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab＝9 000，其 中 a>0，b>0. 易知广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm. 广告牌的面积 S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2 25a·40b＝24 500，当且仅当 25a＝ 40b 时等号成立，此时 b＝58a， 代入 ab＝9 000 得 a＝120，b＝75. 即当 a＝120，b＝75 时，S 取得最小值 24 500. 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使矩形广告牌 的面积最小．
高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5
【解】 设每件提高x元(0<x<10)，即每件获得利润(2＋x)元，则每天可销 售(100－10x)件，每天获总利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋ 80x＋200.
∵0<x<10，∴当x＝4时，y取得最大值360元， ∴当售价定为14元时，每天所获得利润最大，为360元． 要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300， 即x2－8x＋10<0，解得4－ 6<x<4＋ 6. 故每件定价在(14－ 6)元到(14＋ 6)元之间时，能确保每天的利润在300元 以上．
第十九页，共38页。
1．根据题意列出不等式是解题的关键，解完不等式后， 要将结论回归 到实际问题中．
2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回扣实际问题．
第二十页，共38页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
n)
一
2.2 一元二次不等式的应用
三
阶
段 (j iē d u à
学 业 分 层 测 评
n)
二
第一页，共38页。
1．会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点) 2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
第二页，共38页。
[基础·初探]
第七页，共38页。
(1)设f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则f(x)的图像与x轴交点的个数为________． (2)(x＋1)(x－2)(x－3)＞0的解集为________．