第3章X射线衍射强度
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第3章 X射线衍射强度
由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会有所加强， 某些方向的强度将会减弱甚至消失，习惯上将这种现象称 为系统消光
13
X射线衍射强度理论
包括运动学理论和动力学理论.
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
1. 一个电子对X射线的散射
由汤姆逊公式进行描述，是汤姆逊从经典电动力学的观点分析 推出的。
re 2 1 (cos2 ) 2 Ie Io ( ) R 2
消失的反射
无
H、K全为奇数或全为 偶数 （H+K为偶数）
H+K+L为偶数 H、K、L全为奇数或 全为偶数
H、K奇偶混杂 （H+K为奇数）
H+K+L为奇数 H、K、L奇偶混杂
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算
三种点阵晶体衍射线分布见图5-20 ， 图中N = H2 + K2 + L2，产生衍射的干 涉面指数平方和之比分别为， 简单点阵 体心点阵 面心点阵 12345 2 4 6 8 10 3 4 8 11 12
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
2. 一个原子对X射线的散射
Ia f Ie
2
这里引入了f――原子散射因子
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
推导过程：
一个原子包含Z个电子，那么可看成Z个电子散射的叠加。 （1）若不存在电子电子散射位相差：
I a Z Ae Z I e
2 2
26
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
• 4. 底心点阵 – 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000和1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa。
3 衍射强度
• 有序化使无序固溶体因消光而失却的衍射线复出
现，这些被称为超点阵衍射线。 • 根据超点阵线条的出现及其强度可判断有序化的 出现与否并测定有序度。
§3-3 多晶体的衍射强度
• 本小节讨论最广泛应用的粉末法的衍射强度问题. • 在粉末法中影响衍射强度的因子有如下五项: • （1） 结构因子(上节已讨论)
• 本章我们将讨论X射线衍射强度
• 从一个电子、一个原子、一个晶胞、一 个晶体、粉末多晶循序渐进地介绍它们 对X射线的散射问题.
• 最后讨论粉末多晶体的衍射强度问题.
一、关于衍射强度
** 单位时间内通过与衍射方向相垂直的单位面积 上的X射线光量子数目。 **绝对强度的测量既困难又无实际意义。 **衍射强度常用同一衍射图中各衍射线强度 (积分 强度或峰高)的相对比值即相对强度表示.
度变为0）。
**对衍射强度作出系统而全面的研究 ,就要依靠结 构因子。当 X 射线照射到晶体中某个晶胞时，该晶 胞中各原子的散射波具有不同的位相和振幅，其合 成波的强度为：
2 FHKL
n n 2 = f k cos 2p ( mc H + PK K + q K L + f k sin 2p ( mk H + PK K + q k L k =1 k =1
• A(θ)-吸收因子
• r-试样直径
• 线吸收系数-μl
• 这样的吸收与θ有关。
• 平板试样的吸收因子，在入
射角与反射角相等时，吸收 与θ无关。
四、温度因子
＊＊前面所讲的各节，均将晶体中的原子看作是 处于理想平衡位置的结点上。 ＊＊实际上，晶体中原子是处在连续不断的热振 动状态下，必然给衍射带来影响． 1.晶胞膨胀； 2.衍射线强度减小；
第三章 X射线衍射强度.
式中：Io—入射x-ray强度 m、e — 电子的质量与电荷 c— 光速 λ— 入射x-ray波长 R— 衍射仪半径 cm V— 试样被x-ray照射体积，cm3 Vo— 晶胞体积 cm3 F— 结构因子 P— 多重性因子 e－2M — 温度因子
( ) — 角因子 A(θ) — 吸收因子
同一衍射花样中，e、m、c为固定物理常数， Io、λ、R、V、Vo对同一物相的各衍射线均相 等，衍射线的相对积分强度可用 5个强度因子的乘积来表示：
而（100）,（111）,（210）,（221）等均无散射
4. 面心晶胞：四种位置的原子坐标分别是（0 0 0）和 （½ ½ 0）,（ ½ 0 ½ ）,（0 ½ ½）。
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2 fe fe 2 ik / 2l / 2 2 il / 2h/ 2 f 1 eihk eikl eilh
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)，(k+l) 和
(h+l) 必为偶数，故F = 4f，F 2 = 16f 2
当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和 (h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
衍射线强度的测量采用衍 射仪法，得到I～θ曲线。
每个衍射峰下面的 面积（积分面积）称 为积分强度或累积强度。
x射线衍射线束的强度
波长λ强度Io的x-ray，照射到 晶胞体积Vo的多晶试样上，被 照射晶体的体积V，与入射线 夹角为2θ方向上产生（HKL） 晶面的衍射，距试样R处记录 到的衍射线其单位长度上积分 强度为：
材料分析方法部分课后习题答案解析
第一章X 射线物理学基础2、若X 射线管的额定功率为1.5KW，在管电压为35KV 时，容许的最大电流是多少？答：1.5KW/35KV=0.043A。
4、为使Cu 靶的Kβ线透射系数是Kα线透射系数的1/6，求滤波片的厚度。
答：因X 光管是Cu 靶，故选择Ni 为滤片材料。
查表得：μ m α＝49.03cm2／g，μ mβ＝290cm2／g，有公式，，，故：，解得:t=8.35um t6、欲用Mo 靶X 射线管激发Cu 的荧光X 射线辐射，所需施加的最低管电压是多少？激发出的荧光辐射的波长是多少？答：eVk=hc/λVk=6.626×10-34×2.998×108/(1.602×10-19×0.71×10-10)=17.46(kv)λ 0=1.24/v(nm)=1.24/17.46(nm)=0.071(nm)其中h为普郎克常数，其值等于6.626×10-34e为电子电荷，等于1.602×10-19c故需加的最低管电压应≥17.46(kv)，所发射的荧光辐射波长是0.071纳米。
7、名词解释：相干散射、不相干散射、荧光辐射、吸收限、俄歇效应答：⑴当χ射线通过物质时，物质原子的电子在电磁场的作用下将产生受迫振动，受迫振动产生交变电磁场，其频率与入射线的频率相同，这种由于散射线与入射线的波长和频率一致，位相固定，在相同方向上各散射波符合相干条件，故称为相干散射。
⑵当χ射线经束缚力不大的电子或自由电子散射后，可以得到波长比入射χ射线长的χ射线，且波长随散射方向不同而改变，这种散射现象称为非相干散射。
⑶一个具有足够能量的χ射线光子从原子内部打出一个K 电子，当外层电子来填充K 空位时，将向外辐射K 系χ射线，这种由χ射线光子激发原子所发生的辐射过程，称荧光辐射。
或二次荧光。
⑷指χ射线通过物质时光子的能量大于或等于使物质原子激发的能量，如入射光子的能量必须等于或大于将K 电子从无穷远移至K 层时所作的功W，称此时的光子波长λ称为K 系的吸收限。
第3章 X射线的衍射强度
1 1 1 2 i h k l F f 1 e 4 4 4
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
第三章 X射线衍射强度
由此可见，图3-2（a）中的（001） 晶面会参于衍射，而（b）中（001）面却 不产生衍射，也就是说原子位置改变，衍 射强度改变。
二 . 结构因素的概念
1. 系统消光——因原子在晶体中的位置不同或 原子种类不同，衍射线相互干涉，造成在某些 方向上衍射线强度减弱甚至消失的现象称之系 统消光。
2. 结构因数——定量地表征原子排布以及原子种 类对衍射强度影响规律的参数。即晶体结构对 衍射强度影响规律的参数。
晶体的衍射强度与参加衍射晶粒数目成正比.
∵ 参加衍射的晶粒分数＝(cosθΔθ)/2 ∴ 这一数目与衍射角有关，即I ∝ cosθ。
也将这一项称为第二几何因子。
⑶单位弧长的衍射强度（第三几何因子，即 衍射线位置对强度测量的影响）
意义：描述了衍射线所处位置不同对衍射强度的影 响，即2θ↓衍射线圆弧半径↓，单位弧长上的强度↑。
2.三种衍射几何对衍射强度的影响规律
⑴.晶粒大小的影响（第一几何因子）
由于实际晶体的不完整性、入射线也不可能是绝对 单色的，且不会绝对平行而是具有一定的发散角。因此， 衍射线的强度尽管在满足布拉格方程的方向上最大，但 偏离一定的布拉格角时也不会为零，故衍射曲线呈山峰 状，具有一定的宽度，而不是严格的直线。
2
当2θ=90。时
1 cos2 2
2对x射线的散射
1. 原子核对X-ray的散射
由于散射波强度与引起散射的粒子 质量成反比，原子核质量是电子质量的1840 倍，因此原子核引起的散射强度极弱，可忽 略不计。
2 . 原子中Z个电子对X-ray的散射
⑴ . 首先假设原子中的电子集于一点，即所有 电子散射波之间无位相差，则原子序数为Z的原 子对X-ray散射波振幅Aa为电子散射波振幅Ae的 Z倍，即 :
3. X射线衍射强度
exp[2i(hxj kyj lz j )] ＝cos2 (hxj kyj lzj) i sin 2 (hxj kyj lzj)
注意：
计算结构因数时要把晶胞中的所 有原子考虑在内。
结构因数表征了晶胞内原子的种 类，原子的个数，原子的位置对衍射 强度的影响。
结构因数的计算例
2
f {1 exp[i(h k)]}
当 h+k = 偶数时（h, k为全奇.全偶），F = 2f， I 4 f 2
当 h+k = 奇数时（h, k为奇.偶混合），F = 0，I = 0
底心晶胞h, k为全偶.全奇时衍射强度不为零。 h, k为奇偶混合时消光。
(3) 体心晶胞（体心立方, 体心正方, 体心四方)
I相对
P
F
2
1 cos2 2 sin2 cos
A( )e2M
P : 多重性因子； F：晶胞结构因数； A(θ): 吸收因子； e -2M : 温度因子 ；
角因子：1 cos2 2 sin2 cos
德拜－谢乐法的衍射线相对强度
I相对
P
F
2
1 cos2 2 sin2 cos
式中
I0: 入射X射线强度； λ : 入射X射线波长；
R : 与试样的观测距离；e：电荷的电量；m：电荷的质量
V : 晶体被照射的体积； Vc : 单位晶胞体积；
P : 多重性因子；
｜F｜2 晶胞结构因数；
A(θ): 吸收因子； e -2M : 温度因子 ；
＝
1 cos2 2 sin2 cos
与1′的波程差（DE+EF）为λ/2，故θ方向上产生相消干涉。
注意：
计算结构因数时要把晶胞中的所 有原子考虑在内。
结构因数表征了晶胞内原子的种 类，原子的个数，原子的位置对衍射 强度的影响。
结构因数的计算例
2
f {1 exp[i(h k)]}
当 h+k = 偶数时（h, k为全奇.全偶），F = 2f， I 4 f 2
当 h+k = 奇数时（h, k为奇.偶混合），F = 0，I = 0
底心晶胞h, k为全偶.全奇时衍射强度不为零。 h, k为奇偶混合时消光。
(3) 体心晶胞（体心立方, 体心正方, 体心四方)
I相对
P
F
2
1 cos2 2 sin2 cos
A( )e2M
P : 多重性因子； F：晶胞结构因数； A(θ): 吸收因子； e -2M : 温度因子 ；
角因子：1 cos2 2 sin2 cos
德拜－谢乐法的衍射线相对强度
I相对
P
F
2
1 cos2 2 sin2 cos
式中
I0: 入射X射线强度； λ : 入射X射线波长；
R : 与试样的观测距离；e：电荷的电量；m：电荷的质量
V : 晶体被照射的体积； Vc : 单位晶胞体积；
P : 多重性因子；
｜F｜2 晶胞结构因数；
A(θ): 吸收因子； e -2M : 温度因子 ；
＝
1 cos2 2 sin2 cos
与1′的波程差（DE+EF）为λ/2，故θ方向上产生相消干涉。
第三章X射线衍射原理
一、布拉格定律 布拉格方程的导出 布拉格方程的讨论 二、衍射矢量方程和厄尔瓦德图解 三、衍射方法和衍射仪
一、布拉格定律 1. 布拉格方程的导出：
根据图示，干涉加强的条件：
2dSin n
式中：n为整数，称为反射级数； 为入射线或反射线与反射面的夹 角，称为掠射角或布拉格角，由 于它等于入射线与衍射线夹角的 一半，故又称为半衍射角，把2 称为衍射角。
一方面是衍射线在空间的分布规律，（称之为衍射几 何），衍射线的分布规律是晶胞的大小、形状和位向决 定.另一方面是衍射线束的强度,衍射线的强度则取决于 原子的种类和它们在晶胞中的位置。
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现 象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系。
3.1 x射线衍射的几何原理
s - s0
g HKL
在设计实验方法时，一定要保证反射面有充分的机会 与倒易结点相交，只有这样才能产生衍射现象。 目前的实验方法有： 转动晶体法 劳埃法 多晶体衍射法 参见教材231页
三、X射线仪的基本组成
1.X射线发生器； 2.衍射测角仪； 3.辐射探测器； 4.测量电路； 5.控制操作和运行软件的电子计算机系统。
如图3-1，设晶胞中有两个阵点O、A，取O为坐标原点， A点的位置矢量r=xa+yb+zc，即空间坐标为（x,y,z）， S0和S分别为入射线和散射线的单位矢量，散射波之间 的光程差为:
ON - MA r S - r S0 r(S - S0 )
……（3-1）
其位相差为：
0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,11,,03,3
0,3,1,3,0 3,03,1,0
55
一、布拉格定律 1. 布拉格方程的导出：
根据图示，干涉加强的条件：
2dSin n
式中：n为整数，称为反射级数； 为入射线或反射线与反射面的夹 角，称为掠射角或布拉格角，由 于它等于入射线与衍射线夹角的 一半，故又称为半衍射角，把2 称为衍射角。
一方面是衍射线在空间的分布规律，（称之为衍射几 何），衍射线的分布规律是晶胞的大小、形状和位向决 定.另一方面是衍射线束的强度,衍射线的强度则取决于 原子的种类和它们在晶胞中的位置。
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现 象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系。
3.1 x射线衍射的几何原理
s - s0
g HKL
在设计实验方法时，一定要保证反射面有充分的机会 与倒易结点相交，只有这样才能产生衍射现象。 目前的实验方法有： 转动晶体法 劳埃法 多晶体衍射法 参见教材231页
三、X射线仪的基本组成
1.X射线发生器； 2.衍射测角仪； 3.辐射探测器； 4.测量电路； 5.控制操作和运行软件的电子计算机系统。
如图3-1，设晶胞中有两个阵点O、A，取O为坐标原点， A点的位置矢量r=xa+yb+zc，即空间坐标为（x,y,z）， S0和S分别为入射线和散射线的单位矢量，散射波之间 的光程差为:
ON - MA r S - r S0 r(S - S0 )
……（3-1）
其位相差为：
0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,11,,03,3
0,3,1,3,0 3,03,1,0
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第三章X射线衍射强度gqf详解
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials 7
X射线衍射强度理论包括运动学理论和动力学理论，前者 只考虑入射X射线的一次散射，后者考虑入射X射线的多 次散射。
X射线衍射强度涉及因素较多，问题比较复杂。一般从基 元散射，即一个电子对X射线的（相干）散射强度开始， 逐步进行处理。
（原子散射因子）
晶胞内 各原子 散射波
合成
一个晶胞对X射 线的散射强度 （结构因子）
引入吸收因 子、温度因 子、多重性
因子
（粉末）多 晶体衍射
（积分）强 度
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数 对强度的影
响
小晶体 内各晶 胞散射 波合成
单位弧长衍 射强度
参加衍射的晶 粒（小晶体）
数目
一个小晶体对X射线 的散射强度与衍射
（积分）强度 （干涉函数）
X射线衍射强度问题的处理过程
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials 9
3.2 一个电子对X射线的散射 P15
电子在入射X射线电场矢量作用下会产生受迫振动。获得变 加速运动的电子，作为新的波源向四周辐射与入射X射线频 率相同并具有确定周相关系的电磁波。
Chapter 3
X射线衍射强度
The Diffracted Intensity of X-Ray
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
本章主要内容
了解影响衍射强度的各种因素，多重 因子，角因子，吸收因子，温度因子 和结构因子。
X射线衍射强度理论包括运动学理论和动力学理论，前者 只考虑入射X射线的一次散射，后者考虑入射X射线的多 次散射。
X射线衍射强度涉及因素较多，问题比较复杂。一般从基 元散射，即一个电子对X射线的（相干）散射强度开始， 逐步进行处理。
（原子散射因子）
晶胞内 各原子 散射波
合成
一个晶胞对X射 线的散射强度 （结构因子）
引入吸收因 子、温度因 子、多重性
因子
（粉末）多 晶体衍射
（积分）强 度
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数 对强度的影
响
小晶体 内各晶 胞散射 波合成
单位弧长衍 射强度
参加衍射的晶 粒（小晶体）
数目
一个小晶体对X射线 的散射强度与衍射
（积分）强度 （干涉函数）
X射线衍射强度问题的处理过程
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials 9
3.2 一个电子对X射线的散射 P15
电子在入射X射线电场矢量作用下会产生受迫振动。获得变 加速运动的电子，作为新的波源向四周辐射与入射X射线频 率相同并具有确定周相关系的电磁波。
Chapter 3
X射线衍射强度
The Diffracted Intensity of X-Ray
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
本章主要内容
了解影响衍射强度的各种因素，多重 因子，角因子，吸收因子，温度因子 和结构因子。
第三章 X射线散射强度
归纳：在衍射图上出现非零衍射的位置取决于晶胞 参数；衍射强度取决于晶格类型。
晶格类型
消光条件
简单晶胞
体心I 面心F 底心C
无消光现象
h+k+l=奇数 h、k、l奇偶混杂 h+k=奇数
注意：衍射条件与消光条件正好相反。
晶格类型
衍射条件
简单晶胞
体心I 面心F 底心C
无条件
h+k+l=偶数 h、k、l全奇或全偶 h+k=偶数
aazae为表达原子散射能力的大小定义eaaaf??振幅一个电子相干散射波的振幅一个原子相干散射波的振幅一个电子相干散射波的振幅一个原子相干散射波的三晶胞对x射线的散射结构因子bhklaaf????一个电子的散射波振幅振幅一个晶胞相干散射波的1结构因子的定义及计算式ea个电子的散射波振幅晶胞对x光的散射为晶胞内每个原子散射的加和
e：电子电荷 m：质量 c：光速
R I0 O 2
P
二、原子对X射线的散射，原子散射因子(f)
若原子序数为 Z ，核外有 Z 个电子，将 其视为点电荷，其电量为-Z· e 原子散射：电子 原子核
因原子核质量与电子相比大很多倍，振幅很小， 产生的相干散射线强度相比可忽略。 故可看作电子散射波的叠加；
F fe2 i 0 fe2 i h / 2 k / 2 fe2 i k / 2l / 2 fe2 i l / 2 h / 2 f 1 ei h k ei k l ei l h
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)，(k+l) 和 (h+l) 必为偶数，故F = 4f，F 2 = 16f 2 当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和 (h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
材料分析方法 第3版( 周玉) 出版社配套PPT课件 第3章 机械工业出版社
二、几种点阵结构因数计算
2. 体心点阵(同类原子组成)
单胞中有2个原子，坐标分别为(0,0,0)和(1/2,1/2,1/2)， 原
子散射因数均为 f
FHKL2 = [f cos2(0) + f cos2(H+K+L)/2 ]2 + [f sin2(0) + f sin2(H+K+L)/2 ]2
三角形式：Acosx+iAsinx
单胞中所有原子散射波振幅的合成就是单胞的散射波振幅Ab
Ab A1ei1 A2ei2 Anein
fa
Aa Ae
一个原子中所有电子相干散射波的合成振幅 一个电子相干散射波的振幅
n
Ab Ae ( f1ei1 f 2ei2 f nein ) Ae f j ei j j 1 9
由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会有所加强， 某些方向的强度将会减弱甚至消失，习惯上将这种现象称 为系统消光
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第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
一、结构因数公式的推导
如图3-3，取单胞顶点O为坐标原点，单胞中第 j 个原子 A
的位置矢量为，
rj = xj a + yj b + zj c
数(HKL)N平1 方: N和2 :之N3比: N为4，: N5 2 : 4 : 6 : 8 :10
13
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵结构因数计算
3. 面心点阵(同类原子组成)
单胞中有4个原子，坐标分别为(0,0,0)、 (0,1/2,1/2)、
(1/2, 0,1/2)、 (1/2,1/2, 0)，原子散射因数均为 f FHKL2 = f 2
第3章 X射线衍射强度
15
一、一个电子对X射线的散射
16
一、一个电子对X射线的散射
• 晶体中的电子散射包括：相干散射与非相干散射。
1. 相干散射： • 指入射光子与原子内层电子发生弹性碰撞作用，仅使运动
方向改变而无能量损失。又称弹性散射或汤姆逊散射。
2. 非相干散射： • 指入射光子与原子外层电子或晶体中自由电子发生非弹性
25
原子散射强度（2）
• 原子对X射线的散射情况： • 入射X射线分别照射到原子中任意A和B两电子。
• 1、在XX′方向散射波：
• 因2差为 0 。
• 相当于Z个电子集中于一点 的“理想”情况，则
• 原子散射强度为：
Ia= Z2 Ie
X射线受一个原子的散射
相对衍射强度：用同一衍射图各衍射线强度（积分强度 或峰高）的相对比值。
4
X射线衍射的强度
I
背景 强度 2
5
衍射强度曲线
如：钢中马氏体（200）α和残奥（200）γ的局部衍射曲线。
图3-l衍射线强度曲线
• 各衍射峰曲线所包围面积即为其积分强度，这两积分强度大 小比较，可算出残奥γ的含量。
6
本章的目的
它考虑了原子中各电子散射波的位相差后，各散射波合成 的结果。则原子散射强度表达为：
Ia Z2Ie
Ia f 2Ie
显然： f ≤ Z 。
28
原子散射因子 f （2）
• 原子散射因数 f 定义为：在相同条件下，一个原子散射波 与一个电子散射波的波振幅或强度之比。
Ia f 2Ie
f
(Ia
1
)2
Aa
Ie
34
三、一个晶胞对X射线的散射（4）
2、晶胞内各原子相干散射波合成波振幅： 单胞对X射线的散射：晶胞内各原子散射波合成的结果。
第3章X射线衍射强度
结构因子只与原子的种类和原子在晶
胞中的位置有关，而不受晶胞的形状 和大小的影响。
结构消光
衍射强度： I Fhkl
2
满足布拉格方程条件2dsinθ=λ但结 构因子F=0导致衍射线强度I为零的 现象称之为结构消光。
小结
一个电子对X-ray的散射情况 偏振因子
一个原子对X-ray的散射情况 原子散射因子f 一个单胞对X-ray的散射情况 结构因子
e e
h l 2i ( ) 2 2
e
k l 2i ( ) 2 2
]
h k l 2i ( ) 2 2 2
e
k 2i ( ) 2
e
h 2i ( ) 2
]
讨论：
（1）h、k、l全为偶数时， F＝4fNa+4fCl |F|2＝（4fNa+4fCl）2
（2）h、k、l全为奇数时， F＝4fNa－4fCl |F|2＝（4fNa－4fCl）2 （3）h、k、l奇偶混杂时 F＝0 NaCl属于面心布拉菲点阵，可衍射的 指数是111、200、220· · · · · · 、
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)， (k+l) 和 (h+l) 必为偶数，故F = 4f， F 2 = 16f 2 当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和(h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0
所以（111）,（200）,（220）,（311）时F≠0，这些 晶面衍射线存在，而（100）,（110） ,（112）,（221） 等F=0，出现消光，衍射线不存在
3.3 结构因子
(完整版)材料分析方法部分课后习题答案
第一章X 射线物理学基础2、若X 射线管的额定功率为1.5KW，在管电压为35KV 时，容许的最大电流是多少？答：1.5KW/35KV=0.043A。
4、为使Cu 靶的Kβ线透射系数是Kα线透射系数的1/6，求滤波片的厚度。
答：因X 光管是Cu 靶，故选择Ni 为滤片材料。
查表得：μ m α＝49.03cm2／g，μ mβ＝290cm2／g，有公式，，，故：，解得:t=8.35um t6、欲用Mo 靶X 射线管激发Cu 的荧光X 射线辐射，所需施加的最低管电压是多少？激发出的荧光辐射的波长是多少？答：eVk=hc/λVk=6.626×10-34×2.998×108/(1.602×10-19×0.71×10-10)=17.46(kv)λ 0=1.24/v(nm)=1.24/17.46(nm)=0.071(nm)其中h为普郎克常数，其值等于6.626×10-34e为电子电荷，等于1.602×10-19c故需加的最低管电压应≥17.46(kv)，所发射的荧光辐射波长是0.071纳米。
7、名词解释：相干散射、不相干散射、荧光辐射、吸收限、俄歇效应答：⑴当χ射线通过物质时，物质原子的电子在电磁场的作用下将产生受迫振动，受迫振动产生交变电磁场，其频率与入射线的频率相同，这种由于散射线与入射线的波长和频率一致，位相固定，在相同方向上各散射波符合相干条件，故称为相干散射。
⑵当χ射线经束缚力不大的电子或自由电子散射后，可以得到波长比入射χ射线长的χ射线，且波长随散射方向不同而改变，这种散射现象称为非相干散射。
⑶一个具有足够能量的χ射线光子从原子内部打出一个K 电子，当外层电子来填充K 空位时，将向外辐射K 系χ射线，这种由χ射线光子激发原子所发生的辐射过程，称荧光辐射。
或二次荧光。
⑷指χ射线通过物质时光子的能量大于或等于使物质原子激发的能量，如入射光子的能量必须等于或大于将K 电子从无穷远移至K 层时所作的功W，称此时的光子波长λ称为K 系的吸收限。
X射线衍射强度
6
衍射强度－原子种类，原子位置
电子
晶体
思路:
晶胞
原子
一个原子 核
In电子
I原子核
I原子
I晶胞
I晶体
I多晶
7
二、电子对X射线的衍射
晶体的X射线衍射作用是由电子的相干 散射引起的.
当一束X射线碰到一个电子时，该电子在X射 线电场的作用下产生强迫振动，向四周幅射振动频 率（波长）与原X射线频率相同的X射线。这就是相 干散射。电子就成为一个新的X射线源。
46
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点 阵
出现的反射 全部
消失的反射 无
简单点阵
H、K奇偶混 底心点阵 H、K全为奇数或全为偶数 杂 H+K+L为奇 体心点阵 H+K+L为偶数 数 H、K、L奇 面心点阵 H、K、L全为奇数或全为偶数 偶混杂
47
结构消光
由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方面 要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附加原 子的存在，还有附加的消光，称为结构消光
（3）体心点阵
每个晶胞中有2个同类原子，其坐标为 000和1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同
41
– 分析
• 当H+K+L为偶数时， • 当H+K+L为奇数时，
结论： 在体心点阵中，只有当H+K+L为偶数时 才能产生衍射
42
（4）面心点阵
– 每个晶胞中有4个同类原子
43
分析
• 当H、K、L全为奇数或偶数时，则（H+K）、 （H+K）、（K+L）均为偶数，这时：
这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等 结构中
第3章 X射线的衍射原理
2
4
e I I sin P
（0 40）2m2c4R2
2
17
2．单电子对非偏振入射X射线的散射强度
Y 2
Z
2
2
E02
E
2 Z
EY2
2
E
2 Z
2 EY2
IY
IZ
1 2
I0
I I YP
e4
Y（4 0）2 m2c4 R2
sin2
Y
I I ZP
e4
Z（4 0）2 m2c4 R2
sin2
Z
IP IYP IZP
(sr
两两相减得： (sr
(sr
)
sr0 r s0 sr0
) ) )
( ( (
ar hr b k cv l
r b) k cv) arl ) h
0 0 0
又因为：dhkl
rr a gs h
r s0
/
rr s s0
rr r b gs s0 /
k
rr s s0
rr c gs
I
P
I
（0 4
e4 0）2m
2
c
4
R
2
1
cos
2
22
18
偏振入射: 非偏振入射:
Ie
I0
e4
(40 )2 m2c4R2
sin2
Ie
I0
e4
(40 )2 c4m2R2
1
cos2 2
2
讨论：1）入射偏振，散射非偏振，反之则反。偏振因子：
1 cos2 2
2
Ie
2）一个电子对X射线的散射强度非常小。I0
cos
第三章 多晶体X射线衍射分析方法
第三章 多晶体X射线衍射分析方法
山东科技大学材料学院 吴杰
X射线衍射方法:
劳厄法、周转晶体法、粉末多晶法
粉未法可以分为照相法和衍射仪法
照相法中根据试样和底片的相对位置不同可以分为三种： （1）德拜一谢乐法（Debye-scherrer method），底片位于
相机圆筒内表面，试样位于中心轴上。是晶体衍射分析中最 基本的方法。 （2）聚焦照相法（focusing methed），底片、试样、X射 线源均位于圆周上。 （3）针孔法（pinhole method），底片为平板形与X射线束 垂直放置，试样放在二者之间适当位置。 各衍射法其衍射束均在反射圆锥面上，圆锥的轴为入射束。
2L R 4 2 4R
360 57.3
2L 57.3
4R
当相机直径为57.3mm时，θ＝2L/2；
当相机直径为114.6mm时，θ＝2L/4。
（2）当2θ＞90o时 2L' R 4(rad ) 2 180o 2
¢用角度表示，则： 2L' R 4 2
三、德拜相机
德拜相机
德拜相机原理示意图
德拜相机结构简单，主要由相机圆筒、光阑、承光管和位于 圆筒中心的试样架构成。相机圆筒上下有结合紧密的底盖密 封，与圆筒内壁周长相等的底片，圈成圆圈紧贴圆筒内壁安 装，并有卡环保证底片紧贴圆筒。
相机圆筒：放置底片。常常设计为内圆周长为180mm和 360mm，对应的圆直径为φ57.3mm和φ114.6mm。这样的设 计目的是使底片在长度方向上每毫米对应圆心角2°和1°， 为将底片上测量的弧形线对距离2L折算成4θ角提供方便。
用胶水将粉末调成糊状注入毛细管中，从一端挤出2-3mm长 作为试样。
山东科技大学材料学院 吴杰
X射线衍射方法:
劳厄法、周转晶体法、粉末多晶法
粉未法可以分为照相法和衍射仪法
照相法中根据试样和底片的相对位置不同可以分为三种： （1）德拜一谢乐法（Debye-scherrer method），底片位于
相机圆筒内表面，试样位于中心轴上。是晶体衍射分析中最 基本的方法。 （2）聚焦照相法（focusing methed），底片、试样、X射 线源均位于圆周上。 （3）针孔法（pinhole method），底片为平板形与X射线束 垂直放置，试样放在二者之间适当位置。 各衍射法其衍射束均在反射圆锥面上，圆锥的轴为入射束。
2L R 4 2 4R
360 57.3
2L 57.3
4R
当相机直径为57.3mm时，θ＝2L/2；
当相机直径为114.6mm时，θ＝2L/4。
（2）当2θ＞90o时 2L' R 4(rad ) 2 180o 2
¢用角度表示，则： 2L' R 4 2
三、德拜相机
德拜相机
德拜相机原理示意图
德拜相机结构简单，主要由相机圆筒、光阑、承光管和位于 圆筒中心的试样架构成。相机圆筒上下有结合紧密的底盖密 封，与圆筒内壁周长相等的底片，圈成圆圈紧贴圆筒内壁安 装，并有卡环保证底片紧贴圆筒。
相机圆筒：放置底片。常常设计为内圆周长为180mm和 360mm，对应的圆直径为φ57.3mm和φ114.6mm。这样的设 计目的是使底片在长度方向上每毫米对应圆心角2°和1°， 为将底片上测量的弧形线对距离2L折算成4θ角提供方便。
用胶水将粉末调成糊状注入毛细管中，从一端挤出2-3mm长 作为试样。
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• 图3-3(a)，若散射波1′和2′的波程差 AB + BC = λ，则在θ 方向上产生衍射束。 • 图3-2(b)，反射线3′与1′的波程差（DE + EF) 只有λ/2，故产生相消干涉。 • 若晶体在[001]方向足够厚，这种相消干涉可持 续下去，直至001反射强度变为零。
• 一般，晶胞内原子位置发生变化或原子种 类不同，将使衍射强度减小甚至消失，这 说明布拉格方程是反射的必要条件，而不 是充分条件。 • 系统消光——因原子在晶体中位置不同或 原子种类不同而引起的某些方向上的衍射 线消失的现象。
Fhkl f j e
2i ( h j k j lwj )
• 四、结构因子的计算 • 常用的复数运算的关系式
e
ni
(1)
n
• 步骤：首先确定单胞中的原子数，其次确 定其结点坐标，再利用公式计算。当结构 因子为0时系统消光。
• 简单晶胞、底心斜方晶胞、体心立方晶胞、 面心立方晶胞的结构因子计算举例。
• 波的强度正比于振幅的平方 A2 ， 当用复数表示时，为复数与其 共轭复数乘积。
• 设单鲍中有 N 个原子，晶胞内所有原子 相干散射波的合成波振幅Ab 为
Ab Ae f j e
j 1
n
i j
• 结构因子
n Ab i F f je Ae j 1
2 (hu kv lw)
第三章
X射线衍射强度
3-1
引言
• 第一类是衍射方向，即θ角， 由布拉格 方程解决。 • 第二类信息是衍射强度。原子种类及其 在晶胞中的位置不同反映到衍射结果上， 表现为反射线的有无或强度的大小。 • 图3-1所示为衍射线强度曲线的例子。
3-2 结构因子
• 晶胞内原子的位置不同，X射线衍射强度 将发生变化。 • 图3-2所示两种不同晶胞可看出这一点。 • 这两种晶胞都是 具有两个同种原 子的晶胞，它们 的区别仅在于其 中有一个原子移 动了向量1/2c的 距离。
1 cos2 )
• 1．圆柱试样的吸收因数
• X射线的行程 AB+BC 和 DE+EF 不同
2．平板状试样的吸收
• 对于平板试样，X射线照射的角度越小， 照射面积就越大，照射深度也越浅；反之， 照射角度越大，照射面积就越小，其照射 深度就越大，所以，二者的照射体积相差 不大。 • 可以得出结论，对于无限厚的平板试样， 在入射角与反射角相等时吸收因子 A(θ)∝1/2μ，与θ 角无关。 • 注意：吸收对所有反射线的强度均按相同 的比例减少，在计算相对强度时可忽略吸 收的影响。
B
t cos
• X射线存在较小的发散角
• 实际意义 • X射线不可能是纯粹单色
• 晶体不是无限大
2．在晶体二维方向也很小时的 衍射强度
• 第一几何因子 • 第二几何因子
I
3
VC sin 2
I cos 1 • 第三几何因子 I sin 2
• 罗仑兹极化因子 （也叫角因子）
3 2 2
• 1．德拜谢乐法的衍射线相对强度
• 2 ．衍射仪法的衍射线相对强度
• 3.衍射强度公式的适用条件
• 以下两种效果将使前述衍射强度公式失效
• (1)存在织构组织(prefrred orientation) • • (2)衰减作用(extinction)
3-4 积分强度计算举例
。
铜 为 面 心 立 方 结 构 因 子 计 算 布 拉 格 公 式 得 附 录 查 得 3
15
m
二、一个原子对X射线的散射
• 原子核的质量 • 散射极弱，可忽略 • 原子散射波强 度 I ZI e • 原子散射因子f • f ≤Z
Aa Ia f A e Ie
1 2
• 图3-4说明了原子对X射线的散射情况。
f与sinθ 和 λ 有关，如图3-5所示
• (2) 稍微偏离布拉格角 • 如BB’。入射角由θB转到 θ1，于是出现微小位 相差δ，偏离量θ越 大，δ越大。当累加 的波程差达到1时，中 间必然存在一个晶面的 反射线与B’相差1/2， 与上述分析类似，出现 消光。
• 如图3-10(a) 所示，强度峰将产生一定的 宽度。 • 峰宽反映诸多晶体学信息，在I = 1/2Imax 处的强度峰宽度定义为半高宽B。 • 可以推导出
3-3 多晶体的衍射强度
• 一、多重性因子 • 等同晶面 晶面间距相同、晶面上原 子排列规律相同的晶面。
• 等同晶面中所有成员都有相同机会参与衍 射，形成同一个衍射圆锥。 • 等同晶面越多，参加衍射的概率越大，这 个晶面族对衍射强度的贡献也越大。 • 多重性因子P 等同晶面的数目 • 注意：P 值按晶系不同而不同
• 二、罗仑兹因子 • 实际晶体不一定完整 • 入射线波长不单一 • 入射线并不绝对平行 • 积分强度——山峰状强度曲线下的包络面积 • 入射角度 • 积分强度其 它影响因素 • 参与衍射晶粒数 • 衍射角度大小等
• 衍射线强度 为山峰状
(一)晶粒大小的影响
• 1．在晶体很薄时的衍射强度
• (1) 满足布拉格条件 • 如 AA ′、 DD ′、 MM ′。 若只 有 m+1 层晶面，且相邻晶面 散射波的波程差为 1 /mλ， 则第 m 层与第 0 层位相相差 为 1 λ。必然存在第 1/2m 层， 它与 0 层的光程差为 1/2 λ， 相消。第1/2m+1 层与 1 层相消，如此重复，最 终 衍 射 线 不 存 在 。
• 一般情况下 f ≤ Z。使用时 可查表，参见 附录3。
sin/
三、一个晶胞对X射线的散射
• 1、波的合成 • 波的复数表示：
E A cos Ai sin
E Aei A cos iA sin
•
多个向量合成
E Aei ( A cos iAsin )
• 结构因子——定量表征原子排布以及原子 种类对衍射强度影响规律的参数。
一、一个电子对X射线的散射
• 一个电子将X射线散射后，在距电子为R处 的强度可表示为（汤姆逊公式）：
re 2 1 cos 2 Ie I0 ( ) [ ] R 2
2
极化因子
re
e
2 2
4 0 mc
2.817938 10
四、温度因子
• 实际原子以平衡位置为中心进行热振动， 即便是在绝对零度时仍如此。 • 温度升高引起晶胞膨胀 • 热振动对衍 • 晶面变“厚” ，高θ 角 射的影响 衍射线所受的影响更大 • 热漫散射，其强度随2θ 角而增大
五、粉末法的衍射强度
e V 2 2M I I0 P F ( ) A ( ) e 2 2 32R mc VC
附 录 求 得
附 录 求 得
5
6