高等数学(2)-兰州大学201303考试

考前辅导资料

3.2指数的概念和基本运算

要理解指数的概念，会指数的基本运算。 下面看下例题： 例1.()()0≠=x

e

x f x

，那么()()21x f x f ⋅为（ ）

Ａ．()()21x f x f + Ｂ．()21x x f + Ｃ．()()21x f x f - Ｄ．⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛21x x f

解：)21()2()1(2121x x f e e e x f x f x x x x +==⋅=⋅+，因此答案是B 例2设()x

x x f =，()2

2x x =ϕ，则()[]x f ϕ是（ ）

解：x x x x x x x f 222)(2][)]([===ϕϕ

3.3函数的极限计算

设f:(a,+∞)→R 是一个一元实值函数，a ∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X ，使得对于适合不等式x>X 的一切x ，所对应的函数值f(x)都满足不等式. │f(x)-A │<ε ,

则称数A 为函数f(x)当x →+∞时的极限，记作 f(x)→A(x →+∞).

例y=1/x ，x →+∞时极限为y=0

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。 下面看一道例题。

例 若

2

2

lim

22

2

=--++→x x b ax x x ，让求解a 和b 的值分别是多少。

解：原式可以写成2

)

1)(2(lim

2

2

=+-++→x x b

ax x

x

则可以得出式子分子项中应该还有一项（x-2），这样分子分母可以约掉（x-2），当x 趋近于2时，可以使得式子成立。同时分式的值是2，即分子分母同时约掉（x-2）之后，分子的值是分母的2倍，分母约掉（x-2）后变为（x+1），也就是3，因此推出分母是6.进而可以推出分子应该有一项（x+4）。

则)4)(2(2+-=++x x b ax x ，因此a=2，b= -8 3.4导数的概念和计算

一般地，假设一元函数y＝f(x )在x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。导数是微积分中的重要概念。导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数是高数的重点，也是这次考试的重点。考试的题型一般都在填空和选择题中，下面出一道例题。

例四：给出

()2

3

1

ln e

x

y+

+

=，求=

'y

像这样的例题，大家一定要好好练习。

3.5极值点、拐点、驻点的概念和计算

判断极值点的步骤，是求出一阶导数等于0的点（也就是驻点），和不可导点，然后再判断在这些点左右邻近的情形，根据左右导数符号来判断是否为极值，所以极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点。只有知道函数在这一点是极值且知道在这点可导时，才能得到这点一定是驻点。

而拐点是通过求二阶导数等于0和不存在的点，通过判断该点左右两侧邻近的符号来判断是否为拐点，如果知道是拐点，且二阶可导，则二阶导数一定是等于0，则根据判断极值的第二充分条件，这点是不是极值点无法判定，因此拐点和极值点也没有必然联系。

这三者你需要知道如何判断，如何求解。熟练掌握概念及判定定理以及求解步骤。

下面给几道例题：

例五：若

()x

f在区间[]b

a,上连续，且在点

x

x=处取得最值，[]b

a

x,

∈，则点

x

x=

是

()x

f的（）

Ａ．极值点Ｂ．不一定是极值点Ｃ．区间端点Ｄ．驻点

例六：函数

()

⎰-

-

x

t

t dt

e

e

2

的驻点

=

x

3.6多元函数微分法及其应用

可考的内容也比较多，但是说起来就比较简单，主要是三个方面。第一方面就是多元函

数偏导数怎么求？首先要把偏导数这个概念弄清楚，实际上二元函数偏导数本质上还是一元函数的导数。因为你一个x，y的二元函数，你要对x求偏导的话，只不过是把x当做自变量，而除了x以外的y看成是常量。对于三元函数完全是类似的处理。基本概念要弄清楚，然后就是偏导数，还有高阶偏导数，全微分，偏导数的计算包括隐函数，复合函数求偏导，这个只做比较简单的。

另外是偏导数的应用这部分。一个就是偏导数在几何方面的应用，这个大家知道，主要就

是怎么利用偏导数来求曲面上过一点的切平面和法线，它的方程。除此以外是空间曲线经过一点的切线和反平面方程，这是偏导数在几何方面的应用。还有就是怎么用偏导数来求函数的极值和函数的最大值和最小值，这个也是在多元微积分的应用当中一个非常重要的部分，所以考试经常会考到。重点主要指这三方面。 例 设

y

z z x ln

=，求

x

z ∂∂，

y

z ∂∂，dz 。

3.7曲线积分和曲面积分

主要是第一型曲线积分，也就是对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，这两个概念要弄清楚，然后知道它们的计算公式。另外就是曲面积分，包括对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分。这个重点是对面积的曲面积分，特别是处理一些特殊的情况，比如说对积函数特别简单，对积函数就是一个常数，那么你要算对面积的曲面积分，就可以把常数提出去，然后就转化成求这个曲面的面积的问题。对于前面那个重积分的也是，如果重积分对积函数是一个常数，把那个函数提出去以后，就转化成求面积或者是求体积的问题，这部分也要求大家数量掌握。对求坐标的曲面积分，重点是利用高斯公式求解。另外这一部分里头，非常重要的就是微积分里最重要的定理，微积分的基本定理，一个是格林公式，它是讨论平面的封闭局限的曲线积分和二重积分的关系，还有高斯公式，考虑封闭曲面上这个曲面积分对坐标的曲面积分和三重积分之间的关系。这两个公式也是很重要的。高斯公式主要用于计算封闭曲面上的对坐标的曲面积分。而格林公式讨论了线积分和路径无关的条件，还有讨论了全微分的求积问题。

例1.求下列对弧长的曲线积分。

⎰

+L

ds y x )(2

2，其中L 为曲线),sin (cos t t t a x +=),cos (sin t t t a y -=

)20(π≤≤t 。

3.8函数的定积分和不定积分计算

设F （x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C （C 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C 。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式，C 叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

下面给一道例题： 例八：

求

()

=

⎰

dx x

x 2cot 2csc

2

（ ）

3.9曲面的法线方程和切平面的计算

过曲面Σ上一点M ，在曲面Σ上的曲线有无数多条，每一条曲线点M 处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面Σ在点M 处的切平面。