理论力学第11章

解: 以系统为研究对象, 受力如图。 由于SMO(Fi )＝0, 且系统初始 静止, 所以LO＝0。
(e)
O
FOx u
设重物A上升的速度为v, 则人的 绝对速度va的大小为
A mg
mg
va u v
va
u ve＝v
LO mva r mvr 0
LO m(u v)r mvr 0 u u v va 2 2
Lz J zw
即: 绕定轴转动刚体对其转轴的 动量矩等于刚体对转轴的转动惯 量与转动角速度的乘积。
ri mi
mivi
w
例
均质圆盘绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重 物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J, 半径为r，角速 度为w，重物A的质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑 动，求系统对轴O的动量矩。 w
LO = M O (mi vi )
质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一z轴 的动量矩的代数和。
Lz M z (mi vi )
LO = Lz
z
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴 上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。
11.1.3 刚体的动量矩
一 平移刚体的动量矩
A mg
va u v
FOy
O
FOx u
mg
由上可知, 人与重物A具有相同的速度。 如果开始时, 人与重物A位于同一高度, 则不论人以多大的相对速度爬绳, 人与 重物A将始终保持相同的高度。
va
u ve＝v
11.3 刚体的定轴转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速度w 转 动, 则 Lz＝ Jzw。 z F1 FN2 Fn
FOy
w
O
W LO J Ow vR g
FOx mg P v W
v w R
JO W LO ( R)v R g
JO W LO ( R )v R g
FOy
M O (Fi ) WR
(e)
w
O
应用质点系的动量矩定理
FOx mg
(e) dLO M O ( Fi ) dt JO W dv ( R) WR R g dt
刚体平移时, 可将全部质量集中于质心, 作为一个质点计算其动量矩。
LO rC (mvC )
二 定轴转动刚体对转轴的动量矩
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
z
miw ri ri w mi ri
2
令 Jz＝Σmi ri2 称为刚体对z轴 的转动惯量, 于是得
WR 2 a W 2 (JO R ) g
P
v
W
如要采用刚体定轴转动微分方 程应该怎么分析?
FOy
J Oa FT R
W W FT a g a Ra
'
w
O
FOx mg FT
联立求解
WR a W 2 (JO R ) g
2
FT P v
W
'
11.4 刚体对轴的转动惯量
刚体对z轴的转动惯量定义为: 刚体 上所有质点的质量与该质点到z轴的 垂直距离的平方乘积的代数和。即
PS＝m2g sin a
由
因 w R,
d ( J w m2vR) M m2 g sin a R dt FN v dv
dt a ，于是解得
2
d LO M O ( Fi (e) ) 得 dt
w
v
O
FOy
FOx
m1g
M PN m2g
MR m2 gR sin a a 2 J m2 R
z
J z mi ri
2
同一刚体对不同轴的转动惯量是 不同的， 而它对某定轴的转动惯 量却是常数。因此在谈及转动惯 量时，必须指明它是对哪一轴的 转动惯量。
转动惯量的国际单位是: kg· 2。 m
ri mi
w
11.4.1 简单形状物体的转动惯量
1. 均质细杆
设均质细杆长l，质量 为m，则
l 2
质点对某定轴的 动量矩对时间的 一阶导数等于质 点所受的力对同 一轴的矩。
11.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点, 作用于每个质点的力分 (e) (i) 为外力Fi 和内力Fi 。由质点的动量矩定理 (e) (i) d 有 M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt 这样的方程共有n个, 相加后得 n n n (e) (i) d d t MO (mi vi ) MO (Fi ) MO (Fi ) i 1 i 1 i 1 由于内力总是成对出现, 因此上式右端的第二项
在工程上也经常用回转半径来表示刚体的转动 惯量, 其定义为
z
Jz m
对于几何形状相同的均质物体, 回转半径相同。
如果已知回转半径, 则物体的转动惯量为
J z m
2 z
11.4.3 平行轴定理
定理: 刚体对于任一轴的转动惯量, 等于刚体对 于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量, 加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积, 即 z
• 在应用刚体绕定轴的转动微分方程 时，如果是具有一个转轴以上的物 体系统，则应将各个物体分开，分 别应用相关方程来求解。
M
例
均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量 为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物 重量为W。求重物下落的加速度。（用两种方法） 解：取系统为研究对象，画受力图， 分析对轴O的动量矩
理论力学
河南科技大学土木工程学院工程力学系 任课教师：张耀强
第 11 章 动量矩定理
O
w
C
P=mlω/2
vC A C vC
vC=0
P=mvC
w
C
P=0
动量定理(质心运动定理)描述了动量的变化和外力系主矢的关 系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。
质点系机械运动的变化与外力系对质心的主矩的关系将由本章 的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
质点系的动量矩定理: 质点系对某定点O的 动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 上的外力对于同一点之矩的矢量和。
n (e) d LO M O ( Fi ) dt i 1
在应用质点系的动量矩定理时, 取投影式
(e) d Lx M x ( Fi ) dt (e) d Ly M y ( Fi ) dt (e) d Lz M z ( Fi ) dt
y FN1
J za M z ( Fi )
dw Jz M z ( Fi ) dt
2
d J z 2 M z ( Fi ) dt
以上各式均称为刚体绕定轴的转动微分 方程。 它表明，刚体对定轴的转动惯量与角加 速度的乘积, 等于作用在刚体上的所有主 动力对该轴的矩的代数和。
(i) MO (Fi ) 0
n i1
上式左端为
n d d d d t M O (mi vi ) d t M O (mi vi ) d t LO i 1 i 1 n
于是得
n (e) d ຫໍສະໝຸດ O M O ( Fi ) dt i 1
所以
又因为 v mv 0, r F M O ( F )
所以
d MO (mv ) v mv r F dt
d M O (mv ) M O (F ) dt
质点对某定点的动 量矩对时间的一阶 导数, 等于作用力 对同一点的矩。
解:
LO LA L盘
O r
mvr J w mr w J w (mr J )w
2 2
v
A mv
LO的转向沿逆时针方向。
11.2 动量矩定理
11.2.1 质点的动量矩定理
z
M O (mv )
F
设质点Q对定点O的动 量矩为MO(mv),作用力F M (F ) O 对同一点的矩为O (F ) , 如 M 图所示。
d M O (mv ) M O (F ) dt
将上式投影在直角坐标轴上, 并将对点的动量矩与对 轴的动量矩的关系代入, 得
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
11.1 质点和质点系的动量矩
11.1.1 质点的动量矩 质点 Q的动量对于点 O的矩 , 定义为质点对于点O的动量矩, 是矢量。
z
M O (mv )
A
M z (mv )
q
mv
Q
y A' (mv )xy
M O (mv ) r mv
O x
r
Q'
质点动量 mv在oxy平面内的投影( mv)xy对于点O 的矩, 定义为质点动量对于z轴的矩, 用Mz( mv )
质点系对某定轴的 动量矩对时间的导 数, 等于作用于质 点系的外力对于同 一轴之矩的代数和。
11.2.3 动量矩守恒定律
1. 质点动量矩守恒定律 质点动量矩定理
d M O (mv ) M O (F ) dt d M x (mv ) M x ( F ) dt
如果作用在质点上的力对某定点(或定轴) 之矩恒等于零, 则质点对定点(或定轴) 的动量矩保持不变。
表示, 简称对于z轴的动量矩，是代数量。
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系, 质点对点O的动量矩矢在通过该点z轴上的 投影, 等于对 z 轴的动量矩。