空间向量的坐标表示

合集下载

高二数学空间向量运算的坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则

空间向量运算的坐标表示

F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2,a3 b3) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B

空间向量的坐标表示

D1 A1
[思考2]
若E、F均为各自棱上的动点，
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
P 一个向量在直角坐标系中的坐
y
标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标 .
3、空间两点间的距离和夹角
1.两点之间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及直角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(b1b2b3 0)
空间向量的坐标表示
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
AB
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
A
O
x
a
B AB OB OA
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；

空间向量的坐标表示

p
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z

空间向量的坐标表示

o x

y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k

AB的坐标是（x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中， i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量， a 是空间任意向量，作 OP = a

a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面，分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点．
则ＯP = OA + OB + OC

应用举例
例1、如图，在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.

（ 1）写出点C1的坐标，给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;

(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k

我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解，把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标，记作 a ( x, y , z )

在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x,y,z), 则向量 OP的坐标也是（x,y,z)

例2、在棱长为2的正方体中，求：

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

【答案】
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，

1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)

1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表

空间向量的坐标表示

B.(7，－10，－24)
C.(－6,8,24)
√D.(－5,6,24)
解析 ∵a＝(－3,4,12)，且A→B＝2a， ∴A→B＝(－6,8,24)，
∵A(1，－2,0)， ∴B(－5,6,24).
针对练习
3.与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是
A.(2,0，－4)
典型例题
例 3 已知空间四点 A(－2,3,1)，B(2,－5,3)，C(10,0,10)和 D(8,4,9)，O 是坐标原点，求证：四边形 ABCD 是梯形．
【解析】依题意，得O→A＝(－2,3,1)，O→B＝(2,－5,3)，所以A→B＝O→B－O→A＝(2,－5,3)－(－2,3,1)＝(4,－8,2)．同理D→C＝(2,－4,1)，A→D＝(10,1,8)，B→C＝(8,5,7)．由A→B＝2 D→C，得A→B∥D→C. 又不存在实数 t，使得A→D＝tB→C，即A→D，B→C不共线，所以四边形 ABCD 是梯形．
探究新知
2. 探究空间直角坐标系中的坐标如图给定空间直角坐标系和向量 a，i，j，k 作为基向量，则存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使 a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫作向量 a 在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标，记作 a＝(x，y，z)．
探究新知
在空间直角坐标系 O－xyz 中，对于空间内任意一点 A(x，y，z)，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使O→A＝xi＋yj＋zk，所以向量O→A的坐标为O→A＝(x，y，z)，我们把与向量O→A对应的有序实数组(x，y，z)叫作点 A 的坐标，记作 A(x，y，z)，x 叫作横坐标，y 叫作纵坐标，z 叫作竖坐标．
B.A→B＝(1,3,4)

向量的坐标表示

向量是数学中一个非常重要的概念，它不仅仅在数学领域中应用广泛，在物理学、工程学等领域中也具有重要意义。

我们经常使用向量来描述物体的位移、速度、加速度等，因此了解向量的坐标表示是非常必要的。

在二维空间中，一个向量可以用坐标(a, b)表示，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

这种方式称为向量的分量表示。

根据向量的定义，向量表示物体从一个位置到另一个位置的移动，而分量表示了在x方向和y方向上的移动情况。

例如，向量(3, 4)表示一个物体向右移动了3个单位，在垂直方向上向上移动了4个单位。

在三维空间中，一个向量可以用坐标(a, b, c)表示，其中a、b和c分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

这种方式称为向量的分量表示。

与二维空间类似，分量表示了向量在不同方向上的移动情况。

例如，向量(1, -2, 3)表示一个物体向右移动了1个单位，在垂直方向上向下移动了2个单位，在与(x, y)平面垂直的方向上向上移动了3个单位。

可以看出，向量的分量表示非常直观，可以很清楚地描述向量的方向和大小。

除了分量表示，向量还可以用向量的模和方向表示。

向量的模表示向量的长度或大小，用|v|表示，可以通过勾股定理计算得到。

在二维空间中，向量v = (a, b)的模可以表示为：|v| = √(a^2 + b^2)。

在三维空间中，向量v = (a, b, c)的模可以表示为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)。

向量的方向可以用夹角来表示。

除了分量和模，向量还可以用单位向量表示。

单位向量是向量的长度为1的向量，它具有方向但没有大小。

对于一个非零向量v = (a, b)，可以找到一个与v方向相同但长度为1的向量u = (m, n)，这个向量就是v的单位向量。

单位向量可以通过将向量除以它的模得到。

例如，对于一个二维向量v = (3, 4)，它的模为5，因此它的单位向量为u = (3/5, 4/5)。

向量的坐标表示在数学和物理学中有着广泛的应用。

第9讲空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示

A X G D Y C B A1 G1 Z D1 F C1
B1 E1 E
9
6 2
）
（
）
.
8、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中，M，N 分别为A1 B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为 A、
3 2
（ D、 .
5 2
）
；
B、
10 10
；
C、；
5
3
7
二、填空题 9、已知向量a = 2，4，x ，b =（2,y,2），若∣a∣=6，且a ⊥ b，则 x+y 的值为 .
4 1
（1）求 EF 与B1 C 所成的角；（2）求 EF 与C1 G 所成角的余弦值；（3）求 F、H 两点间的距离.
5
Z D1 A1 E D F X A G B C B1 H Y C1
思考题 5、如图，在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中， E 是棱 DD1 的中点，（1）求直线 BE 和平面 ABB1 A1 所成角的正弦值；（2）在棱C1 D1 上是否存在一点 F，使B1 F//平面A1 BE？证明你的结论.
a ∙b a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 a 1 2 +a 2 2 +a 3 2 ∙ b 1 +b 2 +b 3
2 2 2
.
10、在空间直角坐标系中，已知点 A（a1 ，b1 ，c1 ），B（a2 ，b2 ，c2 ），则 A 与 B 两点间的距离dAB = 二、课堂探究互动 a1 − a 2
5 1
） C、；
5 3
D、 .
5
7

空间向量及其运算的坐标表示

平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理：如果e1 , e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示本次课课堂教学内容要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a+y b+z c．2.基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=x a+y b+z c，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．要点诠释:1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；2.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示1.单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k 表示；2.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；3.空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a =a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a =（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若OA xi yj zk =++ ，则有序数组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：1.空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．2.空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作0(0,0,0)= 。

空间向量的坐标表示

点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向
量 a ,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组( a1, a2, a3)使
a = a1i+a2j+a3k
z
a
k i Oj
有序数组(a1,a2,a3)叫做 a在空
例 4.在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,0),B(0,4,0), C(0,0,2),P( x, y, z )是平面 ABC 内任意一点，试求 x, y, z 满足的方程
空间向量的坐标表示
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点 A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
例1. 已知 a (1， 3，8) ， b (3,10,4) ，求 a b ， a b ， 3a 。

05空间向量运算的坐标表示

∴ B1C // 平面ODC1，即B1C // 平面ODC1.
例 3.如,图在底面为平四行棱四 P锥边 AB 形C 中的 ,D AB AC ,PA 平A 面BC ,且 D PA AB ,点E为PD 的中.点求证 P： B //平A 面E.C
练习 3:
⑴在正方体 ABCD A1B1C1D1中, D1 E 、F 分别是 BB1 、CD 的中点, A1 求证: D1F 平面ADE .
1)
，
D(0
,
0
,
0)
，
所以所以
uDuAur1
(1 , uuuur
0
,
1) 1
EF uuur

DA1 uuuur
(
2
,

1 2
,
1 2
)

(1
,
0
,
1)

0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习 1:
⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1, 6),C(1, 1, 5), 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
F E Cy
B
uuuur
A ED 1F(0,1,2)(0,2,1)0.AED1F.
又ADI AE=A, D 1F平面 AD E.
求解下列 : 问题
(1)求直 A线 1 O 与 B1E所成角的余弦值；（ 2）O 作 1DAC 于 D,求O 点 1到D 点的距 . 离
例 4 .如 ,在图平A 行 B 六 A C 1 B 1 C D 1 面 D 1 中 ,O 是体 B 1 D 1 的,中求 :B 点证 1 C /面 /O1 DC
叫做 a 在这r 一空间直角坐标系下的x 坐标.

空间向量坐标系

空间向量坐标系一、引言空间向量坐标系是三维空间中描述向量的一种方式，它可以通过数学公式和图形来表示向量的位置和方向。

本文将从以下几个方面详细介绍空间向量坐标系。

二、三维直角坐标系三维直角坐标系是用来描述三维空间中点的位置的一种方式，它由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。

在这个坐标系中，每个点都可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。

三、空间向量空间向量也叫做矢量，是指在空间中有大小和方向的物理量。

它可以用一个有序三元组(a,b,c)来表示，其中a、b、c分别代表该向量在x 轴、y轴和z轴上的分量。

四、空间向量的基本运算1. 向量加法：两个向量相加得到一个新的向量。

其计算公式为：(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。

2. 向量减法：两个向量相减得到一个新的向量。

其计算公式为：(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。

3. 数乘运算：将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量。

其计算公式为：k(a1,a2,a3)=(ka1,ka2,ka3)。

五、空间向量的坐标表示在三维直角坐标系中，一个向量可以用起点和终点的坐标表示。

设向量AB的起点坐标为(x1,y1,z1)，终点坐标为(x2,y2,z2)，则该向量的坐标表示为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。

六、空间向量的模长和方向角空间向量的模长指该向量长度，其计算公式为：|AB|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。

空间向量的方向角指该向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角，其计算公式为：cosα=a/|AB|，cosβ=b/|AB|，cosγ=c/|AB|，其中α、β、γ分别代表该向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。

七、三维空间中两个向量之间的夹角两个非零向量A和B之间的夹角θ可以用以下公式计算：cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中A·B代表A和B的数量积。

八、三维空间中两个平面之间的夹角两个平面P和Q之间的夹角α可以用以下公式计算：cosα=(n1·n2)/(|n1||n2|)，其中n1和n2分别代表P和Q的法向量。

空间向量运算的坐标表示

e3 e1 O x e2 y
点O叫做原点，向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
三、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3
【新知探究】
空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 )，则
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2 1 2 1 2 1 | AB | AB AB
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 z 空间直角坐标系O--xyz
B
3 ∴点 M的坐标是 2 , , 3 . 2
d A, B (1 3) (0 3) (5 1) 29 .
2 2 2
例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：BE1与DF1所成角的余弦值.
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

空间向量的坐标表示

高二数学空间向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)

空间向量的坐标表示

向量的坐标表示

第9讲 空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示

空间向量及其运算的坐标表示

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

05空间向量运算的坐标表示

空间向量坐标系

空间向量运算的坐标表示

第9讲空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示