三相不平衡条件下基于可变采样周期的锁相环研究
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（4） 式中，φu(k)和 φu(k-1)分别表示第 k 次和第 k-1 次采样对应相位值。 由于闭环控制的需要， 定义一个参考相位 φref， 每隔一个采样周期，φref 的值将增加 2π/Npll。
（5）
为了实现相位锁定，应当控制使得 φu 与 φref 相 等。 从式（4）、（5）可知通过调节 Ts 可实现参考相位 和实际相位的零误差，且最终稳定后的采样频率是 Npll 倍的工频。
由上述仿真可以看出，当三相电网出现电压不 平衡、存在谐波电压或者是频率突变时，该锁相环 都可以完全锁定电网中的正序基波分量。
4 小结
图 4 频率突变时 VSP_PLL 锁相情况
本文将滑动 Gortzel 滤波器加入基于采样周期 变 化 的 锁 相 环 （VSP_PLL）中 ，在 三 相 电 压 不 平 衡 、 存 在谐波电压或者是频率突变时可以很好地锁定三 相电网中的正序基波分量，而且系统具有动态性能 好、动态响应时间短、稳态精度高等优点。
其 中 flag 为 频 率 突 变 标 志 位 、ua 为 A 相 相 电 压 、ua+为 A 相 正 序 相 电 压 、cos(φref)为 参 考 相 位 对 应 的余弦函数、eφ 为 相 位 误 差 、eSG 为 滤 波 器 输 出 的 相 位误差、fs 为采样频率。
由图 4 可知，当发生频率突变时，系统经过两 个工频周期的调节时间最终再次达到稳定。 可以看 出，系统的动态性能好，动态响应时间短。 由图 5、图 6 可知， 滤波器可以完全消除相位误差中的振荡信 号，最终实现稳态零误差。
system under distorted utility condition [J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 1997, 33(1): 58-63. [3] P Rodriguez, J Pou, J Bergas, et al. Double Synchronronous Reference Frame PLL for Power Converters Control [J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2005, 22 (2): 1415-1421. [4] Masound Karimi -Ghartemani, M Reza Iravani. A Method for Synchronization of Power Electronic Converters in Polluted and Variable -Frequency Environments [J]. IEEE Transactions on. 2004,19(3): 1263-1270. [5] (美) G. Richard Lyons 著, 朱 光 明, 程 建 远, 刘 保 童,等 译, 王万银校. 数字信号处理(第二版)[M]. 北京 ：机 械 工 业 出 版社, 2006. [6] R Petrocelli, S Maestri, M Benedetti, and R Retegui. Digital synchronization method for three phase systems [J]. in Intelligent Signal Processing 2007. WISP 2007. IEEE in-
综上所述，为了更准确地实现网侧正序电压的
锁相，需要滤除 eφ 中的所有振荡信号。 本文中采用 滑动 Gortzel 滤波器来滤除相位误差中的振荡信号。
2 滑动 Gortzel 滤波器
Gortzel 滤 波 器 本 质 上 就 是 2 阶 无 限 冲 击 响 应 （IIR）数字滤波器。 实现原理就是通过数字傅里叶变 换，计算第 n 次谐波的值。 本文所用的滑动 Gortzel 滤波器就是在 Gortzel 滤波器的基础上，通过一个长 度为 NSG 的滑动窗口来辅助计算的。 下面分析滑动
相环技术(VSP_PLL)，并通过 滑 动 Gortzel 滤 波 器 滤 除 负 序 和 谐 波 电 压 造 成 的 扰 动 ，从 而 消 除 电 压 不 平 衡 的 影 响 ，很
好地完成锁相。 在三相电压不平衡、电压畸变、频率突变情况下进行了仿真研究，结果验证了所用锁相环的正确性和
有效性。
关键词：三相锁相环；电网不平衡；采样周期可变；滑动 Gortzel 算法
1 基于可变采样周期的锁相环 VSP_PLL
1.1 基本原理 基于可变采样周期的锁相环是通过调节采样
周期， 让实际的电压相位等于参考相位而完成锁 相。
理想三相对称电压可定义为如下形式：
（1）
式中：va，vb，vc 分别表示 A，B，C 三相电压；Vp 为 电压幅值；φu 为 A 相的相位角。
也可以用一个综合矢量 V 来表示三相电压如 式（2）所示，其中 vα 和 vβ 分别为综合矢量的实部和
图 5 三相电网含负序分量时 VSP_PLL 锁相情况 图 6 三相电网含谐波时 VSP_PLL 锁相情况
参考文献： [1] 龚锦霞, 解大, 张延迟. 三相数字锁相环的原理及性能[J].
电工技术学报, 2009, 24(10): 94-99. [2] V Kaura and V Blasko. Operation of a phase locked loop
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电
源
Gortzel 滤波器的原理。 在数字控制中，对于周期函数 x(t)，以 Ts 作为采
样周期进行采样，一个函数周期内共采样 NSG 个点， 采样值为 x(kTs)，简写为 x(k)，其中 k 在 0～NSG 之间。 式（12）、（13）分别对应该周期函数在 q 时刻和 q+1 时刻的离散傅里叶表达式，其中 Y(q,n) 和 Y 分 (q+1,n) 别表 示该周期函数在 q 时 刻 和 q+1 时 刻 的 第 n 次 谐 波 值：
第4期
陈传梅，等：三相不平衡条件下基于可变采样周期的锁相环研究
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虚部。可以看出 φu 为综合矢量在 αβ 轴上的相位角，
在理想的三相电压下， 相位信息可以由式（3） 得到：
（3） 若是在数字控制中，以 Ts 作为采样周期进行采 样，对于角频率为 ω 的电压，每隔一个采样周期，φu 的值就会增加 ωTs：
1.1 节 的 分 析 都 是 基 于 理 想 电 网 电 压 情 况 的 ， 当三相电网不平衡和畸变时，需考虑负序分量和谐 波分量的影响。 对于不对称电网三相电压有：
（9）
式 （9） 中 等 式 右 边 第 一 项 表 示 三 相 电 网 中 的 正 序 基 波 电 压 ， 第 二 项 表 示 负 序 电 压 （n=-1） 和 谐 波 电 压（n≠±1），第三项表示零序电压。
但是在实际执行中会存在一些问题， 如式（3）
也就是需要跟踪锁定的相位角。
（2）
中反正切函数不好实现等。 为了解决此类问题，在 条件允许的情况下，可进行适当近似。 对于相位差 eφ 有：
（6） 当相位差很小时，式（6）可作如下近似：
（7） 上式也可表示为：
（8）
由 式 （8）可 看 出 ，相 位 误 差 可 表 示 为 三 相 电 压 的综合矢量在 dq 旋转坐标系 q 轴上的投影， 且 dq 旋转坐标系的 d 轴与 α 轴的夹角为 φref。 这样的替 代方 法 并 未 改 变 系 统 的 本 质 ，不 同 的 是 式 （8）需 要 将电网电压的峰值考虑进去。 1.2 不对称三相系统中 VSP_PLL 的分析
3 锁相环的实现以及仿真验证
将滑动 Gortzel 滤波器加入到基于可变采样周 期的锁相环（VSP_PLL）中，利用滑动 Gortzel 滤波器 来滤除三相电网中负序分量和谐波分量产生的扰 动，消除电压不平衡的影响，可以很好地锁定正序
图 2 VSPF_PLL 的原理框图
图 3 VSPF_PLL 的结构框图
（12）
（13）
由此可得周期函数 x(t)在 q 时刻的第 n 次谐波 值和 q+1 时刻的第 n 次谐波值之间的关系：
（14） 由式（14）可知，用滑动 Gortzel 滤波器来滤波， 可以根据前一个时刻的谐波值简单推导出后一个 时刻的谐波值，计算简单，实现方便。 在本文中，需要用滑动 Gortzel 滤波器滤除相位 误差中的所有振荡信号，仅保留直流量。 故取 n=0， 简化式（14）得到下式：
中 图 分 类 号 ：TM464
文 献 标 志 码 ：A
文 章 编 号 ：2095-2805（2012）04-0034-05
引言
近年来， 随着新能源发电技术的不断发展，其 并网带来的诸多问题正逐步成为国内外学者研究 的热点。 为了保证网侧变换器在三相电网电压不平 衡或者畸变情况下安全可靠工作，必须准确而快速 地检测三相电网电压正序基波分量的相位和频率 信号，为控制策略的实施提供必要的信息和依据。
基波电压的相位。 锁相环的原理框图和结构框图如 图 2 和图 3 所示。
图 3 中 GSG (z) 为滑动 Gortzel 滤波器对应的 Z 域传递函数，Gc(z)为调节器对应的 Z 域 传 递 函 数 ，
KGC_Ts 为调节器输 出 到 采 样 周 期 值 的 比 例 函 数 。 其 中：
（17） 本文根据图 2 所示的框图， 在 saber 里搭建相
目前三相并网系统最常用的锁相技术主要是 基于同步旋转坐标系下的锁相环（SRF_PLL）[1-2]。 通 过同步旋转坐标系变换跟踪原理，达到相位锁定的 目的。 当三相系统不平衡和畸变时，SRF_PLL 为了 取得很好的稳态精度， 系统的带宽必须取得很低， 这极大地影响了系统动态响应的速度[2]。 针对三相 电网不平衡，在 SRF_PLL 的基础上，一些文献提出 了不同的锁相环结构，如基于双同步旋转坐标系的 解 耦 软 件 锁 相 环 （DDSRF_SPLL）[3]、 基 于 对 称 分 量 法 的单同步旋转坐标系的锁相环（EPLL）[4]。 但是这些 锁相环结构、算法都很复杂，不易实现。本文研究了 一 种 基 于 采 样 周 期 变 化 的 锁 相 环 技 术 （VSP_PLL） [6-7]，并通过滑动 Gortzel 滤波器[5,7]滤除负序和谐波电
收稿日期： 2011-09-23 基金项目： 南京航空航天大学基本科研业务费专项科研资助项目
（56XC A10020, 56V1070）
压造成的扰动，从而消除电压不平衡的影响，以很 好地完成锁相。
本文首先介绍了 VSP_PLL 和滑动 Gortzel 滤波 器的工作原理，并通过分析三相电网不平衡时锁相 环存在的问题， 研究加入了滑动 Gortzel 滤波器的 VSP_PLL 锁相环技术。 仿真结果表明这种锁相环结 构不仅结构简单，而且能够完全锁定三相电压的正 弦分量，动态性能好。
第4期
陈传梅，等：三相不平衡条件下基于可变采样周期的锁相环研究
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VP/V NSG、Npll
fo/Hz
表 1 仿真参数
220
K
200
KGC_Ts
50
m
0.001 725 6
0.99
应的仿真模型。 仿真参数如表 1： 图 4、图 5、图 6 分 别 为 三 相 电 网 频 率 突 变 （50
Hz 变成 60 Hz）时 、三 相 电 网 电 压 含 有 10%的 负 序 电压时以及三 相 电 7 次谐波时锁相环的锁相情况。
第4期 2012 年 7 月
电源学报 Journal of Power Supply
No.4 July.2012
三相不平衡条件下基于可变采样周期的 锁相环研究
陈传梅，汤 雨，谢少军，武 伟
(南京航空航天大学自动化学院，江苏 南京 210016)
摘要：针对三相电网不平衡和畸变时传统的三相锁相环锁相精度差等问题，研究了一种基于采样周期变化的锁
用 式 （9）替 换 式 （1），重 新 计 算 ，得 到 新 的 相 位 误差值，如式（10）：
（10）
当 锁 定 电 网 正 序 基 波 电 压 的 相 位 时 （φref(k)=φu (k)），相位误差值如式（11）所示：
（11）
从 式 （11） 可 看 出 ， 三 相 电 网 中 的 负 序 电 压 会 在 相 位 误 差eφ 上 产 生 2 倍 频 的 振 荡 信 号 ；n次 的 谐 波 电压会产生 n-1 或者 n+1 倍频的振荡信号，这样 eφ 就不能准确的表示出参考相位和实际正序基波电 压相位之间的相位差，故不能准确锁相。
（15） 滑动 Gortzel 滤波器对应 Z 域下的传递函数为：
（16）
取NSG=200，fs=10 kHz，n=0，滑动 Gortzel 滤波器 的幅频特性图如图 1。
学
报
总第 42 期
图 1 滑动 Gortzel 滤波器对应的频率响应图
综上所述，使用滑动 Gortzel 滤波器不仅计算简 单，容易实现而且滤波效果好，可以滤除所有 50 Hz 频率有关的量。
（5）
为了实现相位锁定，应当控制使得 φu 与 φref 相 等。 从式（4）、（5）可知通过调节 Ts 可实现参考相位 和实际相位的零误差，且最终稳定后的采样频率是 Npll 倍的工频。
由上述仿真可以看出，当三相电网出现电压不 平衡、存在谐波电压或者是频率突变时，该锁相环 都可以完全锁定电网中的正序基波分量。
4 小结
图 4 频率突变时 VSP_PLL 锁相情况
本文将滑动 Gortzel 滤波器加入基于采样周期 变 化 的 锁 相 环 （VSP_PLL）中 ，在 三 相 电 压 不 平 衡 、 存 在谐波电压或者是频率突变时可以很好地锁定三 相电网中的正序基波分量，而且系统具有动态性能 好、动态响应时间短、稳态精度高等优点。
其 中 flag 为 频 率 突 变 标 志 位 、ua 为 A 相 相 电 压 、ua+为 A 相 正 序 相 电 压 、cos(φref)为 参 考 相 位 对 应 的余弦函数、eφ 为 相 位 误 差 、eSG 为 滤 波 器 输 出 的 相 位误差、fs 为采样频率。
由图 4 可知，当发生频率突变时，系统经过两 个工频周期的调节时间最终再次达到稳定。 可以看 出，系统的动态性能好，动态响应时间短。 由图 5、图 6 可知， 滤波器可以完全消除相位误差中的振荡信 号，最终实现稳态零误差。
system under distorted utility condition [J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 1997, 33(1): 58-63. [3] P Rodriguez, J Pou, J Bergas, et al. Double Synchronronous Reference Frame PLL for Power Converters Control [J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2005, 22 (2): 1415-1421. [4] Masound Karimi -Ghartemani, M Reza Iravani. A Method for Synchronization of Power Electronic Converters in Polluted and Variable -Frequency Environments [J]. IEEE Transactions on. 2004,19(3): 1263-1270. [5] (美) G. Richard Lyons 著, 朱 光 明, 程 建 远, 刘 保 童,等 译, 王万银校. 数字信号处理(第二版)[M]. 北京 ：机 械 工 业 出 版社, 2006. [6] R Petrocelli, S Maestri, M Benedetti, and R Retegui. Digital synchronization method for three phase systems [J]. in Intelligent Signal Processing 2007. WISP 2007. IEEE in-
综上所述，为了更准确地实现网侧正序电压的
锁相，需要滤除 eφ 中的所有振荡信号。 本文中采用 滑动 Gortzel 滤波器来滤除相位误差中的振荡信号。
2 滑动 Gortzel 滤波器
Gortzel 滤 波 器 本 质 上 就 是 2 阶 无 限 冲 击 响 应 （IIR）数字滤波器。 实现原理就是通过数字傅里叶变 换，计算第 n 次谐波的值。 本文所用的滑动 Gortzel 滤波器就是在 Gortzel 滤波器的基础上，通过一个长 度为 NSG 的滑动窗口来辅助计算的。 下面分析滑动
相环技术(VSP_PLL)，并通过 滑 动 Gortzel 滤 波 器 滤 除 负 序 和 谐 波 电 压 造 成 的 扰 动 ，从 而 消 除 电 压 不 平 衡 的 影 响 ，很
好地完成锁相。 在三相电压不平衡、电压畸变、频率突变情况下进行了仿真研究，结果验证了所用锁相环的正确性和
有效性。
关键词：三相锁相环；电网不平衡；采样周期可变；滑动 Gortzel 算法
1 基于可变采样周期的锁相环 VSP_PLL
1.1 基本原理 基于可变采样周期的锁相环是通过调节采样
周期， 让实际的电压相位等于参考相位而完成锁 相。
理想三相对称电压可定义为如下形式：
（1）
式中：va，vb，vc 分别表示 A，B，C 三相电压；Vp 为 电压幅值；φu 为 A 相的相位角。
也可以用一个综合矢量 V 来表示三相电压如 式（2）所示，其中 vα 和 vβ 分别为综合矢量的实部和
图 5 三相电网含负序分量时 VSP_PLL 锁相情况 图 6 三相电网含谐波时 VSP_PLL 锁相情况
参考文献： [1] 龚锦霞, 解大, 张延迟. 三相数字锁相环的原理及性能[J].
电工技术学报, 2009, 24(10): 94-99. [2] V Kaura and V Blasko. Operation of a phase locked loop
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电
源
Gortzel 滤波器的原理。 在数字控制中，对于周期函数 x(t)，以 Ts 作为采
样周期进行采样，一个函数周期内共采样 NSG 个点， 采样值为 x(kTs)，简写为 x(k)，其中 k 在 0～NSG 之间。 式（12）、（13）分别对应该周期函数在 q 时刻和 q+1 时刻的离散傅里叶表达式，其中 Y(q,n) 和 Y 分 (q+1,n) 别表 示该周期函数在 q 时 刻 和 q+1 时 刻 的 第 n 次 谐 波 值：
第4期
陈传梅，等：三相不平衡条件下基于可变采样周期的锁相环研究
35
虚部。可以看出 φu 为综合矢量在 αβ 轴上的相位角，
在理想的三相电压下， 相位信息可以由式（3） 得到：
（3） 若是在数字控制中，以 Ts 作为采样周期进行采 样，对于角频率为 ω 的电压，每隔一个采样周期，φu 的值就会增加 ωTs：
1.1 节 的 分 析 都 是 基 于 理 想 电 网 电 压 情 况 的 ， 当三相电网不平衡和畸变时，需考虑负序分量和谐 波分量的影响。 对于不对称电网三相电压有：
（9）
式 （9） 中 等 式 右 边 第 一 项 表 示 三 相 电 网 中 的 正 序 基 波 电 压 ， 第 二 项 表 示 负 序 电 压 （n=-1） 和 谐 波 电 压（n≠±1），第三项表示零序电压。
但是在实际执行中会存在一些问题， 如式（3）
也就是需要跟踪锁定的相位角。
（2）
中反正切函数不好实现等。 为了解决此类问题，在 条件允许的情况下，可进行适当近似。 对于相位差 eφ 有：
（6） 当相位差很小时，式（6）可作如下近似：
（7） 上式也可表示为：
（8）
由 式 （8）可 看 出 ，相 位 误 差 可 表 示 为 三 相 电 压 的综合矢量在 dq 旋转坐标系 q 轴上的投影， 且 dq 旋转坐标系的 d 轴与 α 轴的夹角为 φref。 这样的替 代方 法 并 未 改 变 系 统 的 本 质 ，不 同 的 是 式 （8）需 要 将电网电压的峰值考虑进去。 1.2 不对称三相系统中 VSP_PLL 的分析
3 锁相环的实现以及仿真验证
将滑动 Gortzel 滤波器加入到基于可变采样周 期的锁相环（VSP_PLL）中，利用滑动 Gortzel 滤波器 来滤除三相电网中负序分量和谐波分量产生的扰 动，消除电压不平衡的影响，可以很好地锁定正序
图 2 VSPF_PLL 的原理框图
图 3 VSPF_PLL 的结构框图
（12）
（13）
由此可得周期函数 x(t)在 q 时刻的第 n 次谐波 值和 q+1 时刻的第 n 次谐波值之间的关系：
（14） 由式（14）可知，用滑动 Gortzel 滤波器来滤波， 可以根据前一个时刻的谐波值简单推导出后一个 时刻的谐波值，计算简单，实现方便。 在本文中，需要用滑动 Gortzel 滤波器滤除相位 误差中的所有振荡信号，仅保留直流量。 故取 n=0， 简化式（14）得到下式：
中 图 分 类 号 ：TM464
文 献 标 志 码 ：A
文 章 编 号 ：2095-2805（2012）04-0034-05
引言
近年来， 随着新能源发电技术的不断发展，其 并网带来的诸多问题正逐步成为国内外学者研究 的热点。 为了保证网侧变换器在三相电网电压不平 衡或者畸变情况下安全可靠工作，必须准确而快速 地检测三相电网电压正序基波分量的相位和频率 信号，为控制策略的实施提供必要的信息和依据。
基波电压的相位。 锁相环的原理框图和结构框图如 图 2 和图 3 所示。
图 3 中 GSG (z) 为滑动 Gortzel 滤波器对应的 Z 域传递函数，Gc(z)为调节器对应的 Z 域 传 递 函 数 ，
KGC_Ts 为调节器输 出 到 采 样 周 期 值 的 比 例 函 数 。 其 中：
（17） 本文根据图 2 所示的框图， 在 saber 里搭建相
目前三相并网系统最常用的锁相技术主要是 基于同步旋转坐标系下的锁相环（SRF_PLL）[1-2]。 通 过同步旋转坐标系变换跟踪原理，达到相位锁定的 目的。 当三相系统不平衡和畸变时，SRF_PLL 为了 取得很好的稳态精度， 系统的带宽必须取得很低， 这极大地影响了系统动态响应的速度[2]。 针对三相 电网不平衡，在 SRF_PLL 的基础上，一些文献提出 了不同的锁相环结构，如基于双同步旋转坐标系的 解 耦 软 件 锁 相 环 （DDSRF_SPLL）[3]、 基 于 对 称 分 量 法 的单同步旋转坐标系的锁相环（EPLL）[4]。 但是这些 锁相环结构、算法都很复杂，不易实现。本文研究了 一 种 基 于 采 样 周 期 变 化 的 锁 相 环 技 术 （VSP_PLL） [6-7]，并通过滑动 Gortzel 滤波器[5,7]滤除负序和谐波电
收稿日期： 2011-09-23 基金项目： 南京航空航天大学基本科研业务费专项科研资助项目
（56XC A10020, 56V1070）
压造成的扰动，从而消除电压不平衡的影响，以很 好地完成锁相。
本文首先介绍了 VSP_PLL 和滑动 Gortzel 滤波 器的工作原理，并通过分析三相电网不平衡时锁相 环存在的问题， 研究加入了滑动 Gortzel 滤波器的 VSP_PLL 锁相环技术。 仿真结果表明这种锁相环结 构不仅结构简单，而且能够完全锁定三相电压的正 弦分量，动态性能好。
第4期
陈传梅，等：三相不平衡条件下基于可变采样周期的锁相环研究
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VP/V NSG、Npll
fo/Hz
表 1 仿真参数
220
K
200
KGC_Ts
50
m
0.001 725 6
0.99
应的仿真模型。 仿真参数如表 1： 图 4、图 5、图 6 分 别 为 三 相 电 网 频 率 突 变 （50
Hz 变成 60 Hz）时 、三 相 电 网 电 压 含 有 10%的 负 序 电压时以及三 相 电 7 次谐波时锁相环的锁相情况。
第4期 2012 年 7 月
电源学报 Journal of Power Supply
No.4 July.2012
三相不平衡条件下基于可变采样周期的 锁相环研究
陈传梅，汤 雨，谢少军，武 伟
(南京航空航天大学自动化学院，江苏 南京 210016)
摘要：针对三相电网不平衡和畸变时传统的三相锁相环锁相精度差等问题，研究了一种基于采样周期变化的锁
用 式 （9）替 换 式 （1），重 新 计 算 ，得 到 新 的 相 位 误差值，如式（10）：
（10）
当 锁 定 电 网 正 序 基 波 电 压 的 相 位 时 （φref(k)=φu (k)），相位误差值如式（11）所示：
（11）
从 式 （11） 可 看 出 ， 三 相 电 网 中 的 负 序 电 压 会 在 相 位 误 差eφ 上 产 生 2 倍 频 的 振 荡 信 号 ；n次 的 谐 波 电压会产生 n-1 或者 n+1 倍频的振荡信号，这样 eφ 就不能准确的表示出参考相位和实际正序基波电 压相位之间的相位差，故不能准确锁相。
（15） 滑动 Gortzel 滤波器对应 Z 域下的传递函数为：
（16）
取NSG=200，fs=10 kHz，n=0，滑动 Gortzel 滤波器 的幅频特性图如图 1。
学
报
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图 1 滑动 Gortzel 滤波器对应的频率响应图
综上所述，使用滑动 Gortzel 滤波器不仅计算简 单，容易实现而且滤波效果好，可以滤除所有 50 Hz 频率有关的量。