机构综合09-摆线与短幅外摆线的等距曲线(2011-4-24)
RV减速器摆线轮齿廓曲线的曲率影响因素研究
机械设计与制造Machinery Design & Manufacture 267第1期2021年1月RV 减速器摆线轮齿廓曲线的曲率影响因素研究张跃明，王巍,纪姝婷（北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京100124）摘 要：以工业机器人为例，对RV 减速器摆线轮齿廓曲线的曲率的影响因素进行了研究。
根据微分几何理论，建立摆线轮齿廓的数学模型,采用坐标变换方法推导出摆线齿廓方程，分析了摆线轮齿廓曲线的凹凸特性，求出拐点的数学解析式。
根据摆线齿廓方程计算出曲率和曲率半径的参数表达式，最后推导出可以概括摆线针轮传动的诱导法曲率公式。
以RV-20E 减速器为例，求解出凹凸区间曲率最大值和最小值,并利用Matlab 编制程序进行仿真,详细分析了机构的偏心距、针齿半径、针齿分布圆半径、针齿数对拐点所在位置、曲率变化快慢的影响规律。
通过对摆线齿廓的曲率的仿真分析，偏心距和针齿分布圆半径对摆线齿廓的曲率影响显著，同时也会影响拐点位置的变化,针齿半径对其有一定的影响，但影响较小，并且不会影响拐点所在的位置。
研究结果为科学地选择摆线轮最佳参数和摆线针轮传动的设计提供了 一种理 论依据,具有一定的实用价值。
关键词:RV 减速器;摆线齿廓;凹凸特性;曲率特性中图分类号:TH16;TP242.2文献标识码:A文章编号:1001-3997(2021 )01-0267-05Curvature of Cycloid Profile Curve of RV Reducer Influencing FactorsonZHANG Yue-ming, WANG Wei, JI Shu-ting(The College of Mechanical Engineering & Applied Electronics Technology , Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)Abstract ： paper takes the industrial robot as an example to study the influencing f actors of the curvature of the trochoidaltooth prefile curve of the RV reducer. A ccording to the theory of differential geometry, the mathematical model of the cycloidalgear tooth profile was established, and the cycloidal tooth prefile equation was deduced using the coordinate transformation method. The irregularity characteristics of the cycloid tooth profile curve were analyzed, and the mathematical analysis formula of the inflection point was obtained. The expressions of curvature and radius of curvature are calculated according tothe cycloidal tooth profile equation. Finally, the formula far the induced curvature of the cycloidal pin wheel drive can be summarized. Taking the RV-20E reducer as an example , the maximum and minimum values of the curvature of t he concave- coiwex interval were solved, and the program was programmed using Mailab. The eccentricity of the mechanism, the radius ofthe pin teeth, the radius of the distribution circle of the pin teeth, and the number of teeth on the inflection point were analyzed in detail , the influence of curvature. Through the simulation analysis of the curvature of the cycloid tooth profile ,the eccentricity and the radius of the needle tooth distribution circle have a significant influence on the curvature of the cycloidal tooth prefile , and at the same time it also effects the change of the inflection point position. The tooth radius has a certain influence on it, but The impact is small and does not effect the location of the inflection point. The research resultsprovide a theoretical basis for the scientific selection of the best parameters of the cycloid wheel and the design of the cycloidal pin wheel drive , which has a certain practical value.Key Words :RV Reducer ； Cycloid Profile ； Convexity Characteristics ； Curvature Characteristics1引言RV 减速器（Rotary Vector Reducer ）是工业机器人的核心部件，而摆线轮是RV 减速器的关键零部件日。
谐波齿轮——精密制造作业
一、简述谐波齿轮的原理及特点。
1、谐波齿轮的原理谐波齿轮传动的运动转换，是依靠挠性构件的弹性变形来实现的，这种运动转换原理为变形原理。
主要由波发生器、柔性齿轮和刚性齿轮三个基本构件组成，是一种靠波发生器使柔性齿轮产生可控弹性变形，并与刚性齿轮相啮合来传递运动和动力的齿轮传动。
柔轮是一个薄壁外齿圈，刚轮有内齿圈，刚轮比柔轮多2~4个齿（这又因波形发生器上触轮的多少而异，双波型的为2），波发生器的一对滚子将柔轮撑成椭圆形，当波发生器为主动轮时，柔轮和刚轮为从动轮，柔轮上的外轮齿与刚轮上的内轮齿在椭圆形柔轮的长轴方向完全啮合，则柔轮的短轴方向完全脱开，而中间区域为过渡状态。
波发生器在柔轮内转动时，迫使柔轮产生连续的弹性变形，此时波发生器的连续转动，就使柔轮齿的啮入—啮合—啮出—脱开这四种状态循环往复不断地改变各自原来的啮合状态。
这种现象称之错齿运动，正是这一错齿运动，作为减速器就可将输入的高速转动变为输出的低速转动。
当波发生器顺时针旋转一周时，柔轮相对固定的刚轮逆时针旋转2个齿，这样就把波发生器的快速转动变为刚轮的慢速转动，这时在柔轮的节圆的任一点，随着波发生器角位移的过程，形成一个上下左右相对称的和谐波，故称之为：“谐波”。
(1)谐波发生器（简称波发生器）(2)柔性齿轮（简称柔轮）(3)刚性齿轮（简称刚轮）图一谐波齿轮2、谐波齿轮特点(一)优点(1)结构简单，体积小，重量轻。
主要构件只有三个，与传动比相当的普通减速器比较，其零件减少50%，体积和重量均减少1/3左右或更多。
(2)传动比范围大。
一般单级传动比可在50~500范围内变化；当采用行星式波发生器时为150~4000；若采用双级传动或复式传动则可达2×106。
(3)同时啮合齿数多。
在承载情况下，双波传动的啮合齿数一般可达总齿数的30~40%左右，三波传动则更多。
而普通渐开线圆柱齿轮同时啮合的齿数一般为两对左右，即重叠系数小于2。
(4)运动精度高。
短幅摆线及其齿廓特性的理论研究
小 、重量轻 、传动 比和承载能力大 、传动精度和传动效率 高 、传动 ２摆线方程及其齿廓 的推导
平稳 、高刚度等优点 ，广泛用于工业机器人 、数控机床等高精度传
摆线轮齿廓 选用 普通 摆线的等距曲线时会产生根切现象 ，
动领 域 旧 。
若改用短幅摆线的等距 曲线可以改善或者避免这一点 。对于研究
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔＯ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆｇｅａｒ ｍｅｓｈｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｕｒｔａｔｅ ｃｙｃｌｏｉｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｔｏｏｔｈ ｐｒｏｆ ｉｌｅ ａｒｅ ｓｕｍｍｅｄ ｕｐ．Ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｔａｔｅ ｃｙｃｌｏｉｄ’Ｓ ｃｏｎｃａｖｏ ｃｏｎｖｅｘ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ， ｉｎｆ ｌｅｃｔｉｏｎ ｐｏｉｎｔ，ｕｎｄｅｒｃｕｔｔｉｎｇｐｏｉｎｔ，ｃｕｒｖａｔｕｒｅ，ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｇｅ ｏｆｃｙｃｌｏｉｄ ｗｈｅｅｌ’Ｓ ｔｏｏｔｈ ｐｒｏｆｉｌｅ ａｒｅ ｇｏｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｎ ａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ．Ｔｈ ｅ ｉｎｃｒｅａｓｅｍｅ ｎｔ ｏｆ ｓｈｏｒｔ ｗｉｄｔｈ ｃｏｅｆｆ ｉｃｉｅｎｔ ｐａｒｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｃｒｅａｓｅｍｅｎｔ ｏ ｆ ｓｈｏｒｔ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｃｙｃｌｏｉｄ’ｓ ｎｎｅｒ ｃｏｎｃｏ；ｕｅ ｐａｒｔ．ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｃｕｔｔｉｎｇｐｏｉｎｔ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏ ｆ ｔｈｅ ｒａ ｄ ｉｕｓ ｏ ｆ ｃｕｒ ｖａ ｔｕｒｅ’ｓ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｖａ ｌｕｅ ｏ ｆ ｃｏｎｖｅｘ ｐａｒｔ，ｔｈｅ ｄｅｃｒｅａｓｅｍ ｅ ｎｔ ｏ ｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｎｅｅｄｌｅ ｔｏｏｔｈ’Ｓ ｒａｄｉｕｓ ｗｈｉｃｈ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｌｅｔ ｔｈｅ ｃｙｃｌｏｉｄ ｗｈｅｅｌ ｔｏ ｂｅ ｕｎｄｅｒｃｕｔ ｐａｒｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃ ｒｅａｓｅｍｅ ｎｔ ｏｆ ｓｈｏｒｔ ｗｉｄｔｈ ｃｏｅｆｉ ｃｉｅｎｔ，ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａ ｎｇｅ ａｔ ｅａ ｃｈ ｐｏｉｎｔ ｏ ｆ ｃｙｃｌｏｉｄ ｔｏｏｔｈ ｐｒｏｆ ｉｌｅ ｉｓ ｃｈａ ｎｇｉｎｇ，ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ 帆 ａ ｔ ｔｏｏｔｈ’Ｓ ｔｏｐ ａ ｎｄ ｔｈｅ ｔｏｏｔｈ’Ｓ ｒｏｏｔ ｉｓ ｌａ ｒｇｅ，ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｇｌｅ ａｔ ｆｋ ｉｎｆｌｅｃｔｉｏｎ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｓｍａｌ１．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅｏｒｅｔ＆ａｌ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ａｎ ｄ ｍａｎ ｕｆａｃｔｕｒｅ ｏ ｆ ｔｈｅ ｃｙｃｌｏｉｄ ｗｈｅｅ１．
耐高压双向摆线转子流量计设计与试验
。然而椭圆齿轮流量计存在的流量脉动大 、
噪声大、 生产制造成本高等固有问题依然没有解决 。 德国威仕公司研制的圆柱齿轮流量计采用一对外啮 合圆柱齿轮作为计量元件， 并采用差分的方法使得 测量精度大幅提高
［17 ］
。 但是该流量计会因为排量
对被测量系统造成不 较小而造成较大的压力损失， 利影响。美国 Flowdata 公司成功研制了 3 叶螺旋转 子流量计， 该流量计具有通流能力大、 压力损失小、 ［19 ］ 流量脉动小的优点 ， 但是高精度双螺旋转子的设 计制造又带来了新的困难。 本文使用摆线内啮合转子为计量元件， 设计一 种容积式流量计。并设计最高耐压值达 31. 5 MPa， 测量范围为 1 ～ 100 L / min 的流量计样机。 搭建实 验平台对其性能进行测试， 并给出样机的流量系数 曲线和泄漏量曲线， 对产生相对误差的原因进行分
周期性变化的容腔。无论内、 外转子处于何位置， 这 些容腔中， 总有一半体积不断增大， 而另一半体积缩 小。为了保证内、 外转子能够顺利转动， 需要在一个 端盖上开两个油槽， 其中一个油槽连通进油口和所 有容积增大的容腔， 而另一个油槽则连通出油口和 所有容积缩小的容腔。同时， 需保证无论内、 外转子 处于何位置， 都不能有一个油槽同时连通增大和缩 小的容腔， 也即必须保证进油侧容腔与出油侧容腔 相互隔离、 密封。本文所述流量计下端盖所开的进、 出 2 。 油槽如图 中虚线所示 为了平衡内外转子受到的轴 向力， 在流量计下端盖开进、 出油槽的同时， 需要在上 端盖上开与下端盖进出油槽形状相同的平衡油槽。 1. 2 转子齿形原理 流量计采用一对内啮合的摆线转子作为计量部 。 件 摆线内啮合转子相对于圆柱外啮合转子而言 ， 具有 排 量 大、 结 构 紧 凑、 噪 声 小、 流量脉动小等优 ［18 － 20 ］ 。而相对于椭圆齿轮而言， 点 加工容易， 精度 容易保证。 在平面上， 一个动圆（ 发生圆 ） 沿着一个固定圆 （ 基圆） 的外侧， 作外切或内切的纯滚动时， 动圆上 任意一点的轨迹称为外摆线。当这一点位于动圆内 侧时， 所形成的轨迹称为短幅外摆线； 而当这一点位 于动圆外侧时， 所形成的轨迹称为长幅外摆线。 摆 线转子流量计的内转子曲线为短幅外摆线的等距曲 线， 而外转子曲线为与其啮合的圆弧曲线 。
摆线
x=r*(t-sint) 摆线
； y=r*(1-cost) r为圆的半径， t是圆的半径所经过的角度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。
编辑本段出现及争议
摆线最早出现可见于公元 1501 年出版的 C·鲍威尔的一本书中．但在 17 世 纪，大批卓越的数学家（如伽利略，帕斯卡，托里拆利，笛卡儿，费尔马， 伍任，瓦里斯，惠更斯，约翰·伯努里，莱布尼兹，牛顿等等）热心于研究这一曲线的性质．17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代，这能 解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣．在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，剽窃的指责，以及抹煞他人工作的现象．这 样，作为一种结果，摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海伦” 的标签．
编辑本段相关故事
时钟与摆线
时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一,没有时钟,人们将不知时间,许多重要的约会便会错过,当各位在看表的时候,不知可曾想过,时钟里面隐藏了些甚么道理,一砂一世界,许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的. 在时钟里面到底隐藏了甚么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世纪航海时代,时间的掌握是关乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏斗,时间是不可或缺的因数,古时候是以沙漏水钟来计时,但这些计时工具相当不准确,为了增加船员生存的机会,发明精确的计时器变成了当时科学界的当务之急. 那时在意大利有一位年青科学家伽利略,有一次在比萨斜塔处意外地发现一个有趣的现象,教堂的吊灯来回摆动时,不管摆动的幅度大还是小,每摆动一次用的时间都相等.当时,他是以自己的心跳脉搏来计算时间的.从此以后,伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来.他曾用自行制的滴漏来重新做单摆的试验,结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关.这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟,但他始终并没有将理想付之实行. 伽利略的发现振奋了科学界,可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等.原来,伽利略的观察和实验还不够精确.实际上,摆的摆幅愈大,摆动周期就愈长,只不过这种周期的变化是很小的.所以,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈走愈快. 过了不久,荷兰科学家决定要做出一个精确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,所以我们也叫做圆周摆.荷兰科学家想要找出一条曲线,使摆沿著这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关.这群科学家放弃了物理实验,纯粹往数学曲线上去研究,经过不少次的失败,这样的曲线终於找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”，“等时曲线”或“旋轮线”
摆线转子泵的设计计算
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x = rsinα - e sinθ = rsin
现 代 车 用 动 力 2007 年第 1 期
导圆相切滚动 , P 为切点 , 点 M 为在生成圆外与 生成圆相对固定的一点 , O2 M = r, 点 M 形成的轨 迹即为短幅外摆线 ζ 。
[2 ]
2 摆线的啮合及计算
摆线转子泵瞬时啮合传动如图 2 所示 , 内 转子和外转子之间有偏心距 e, 摆线转子泵的参 数见下表 1 : 2. 1 外转子的型线设计计算 外转子的齿廓 (即针轮 ) 是以直径为 d 的圆 弧构成的 , 其设计计算比较简单 : 将以 O2 为圆心 针齿分度圆 r为半径的圆均分为 z2 份 , 并以每一 个分断点为圆心以针柱体直径画圆弧 , 再选择适 当的齿根圆半径 , 将针柱体圆弧和齿根圆圆弧相 连即组成外转子的型线 (如图 2 所示 ) 。外转子 的齿根圆半径必须大于 R1 ’+ e, 否则内外转子会
图 1 摆线转子泵的工作原理
1 摆线转子泵的工作原理
图 1 为摆线转子泵的工作原理简图 。摆线转 子泵由 1 对内啮合的转子组成 , 内转子 1 为外齿
3 收稿日期 : 2006 - 09 - 07
轮 , 其轮廓曲线为短幅外摆线的内等距线 , 外转子 2 为内齿轮 , 齿廓曲线为圆弧曲线 , 他们的旋转中 心分别为 O 1 和 O 2 , 它们之间的偏心距为 e。图中 的内转子为 6 个齿 , 外转子为 7 个齿 。一般内转
[2 ]
4 结束语
通过分析与推导出的摆线转子泵的计算公 式 ,可以方便地设计计算摆线转子泵内外转子的 型线和排量 , 并绘制出摆线内转子的廓线 。需要 注意的是 : K1 参数选取很重要 ,若选择不当 , 将直 接影响摆线转子泵的啮合性 。
机构综合09-摆线与短幅外摆线的等距曲线(2011-4-24)
09 摆线与短幅外摆线的等距曲线9.1机构的运动规律与动点的轨迹在图9.1(a)中，设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成外啮合时，行星轮系的传动比为(a) 行星轮小于固定轮 (b) 行星轮大于固定轮图9.1 行星轮上的摆线轨迹与等距曲线)19(0002323112112112123−−=−=−−=−−=−−= r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(r 3＋r 2) φ1/ r 2＝(r 3/r 2＋1)φ1。
设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成内啮合时，行星轮系的传动比为)29(0002323112112112123−==−−=−−=−−= r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(－r 3＋r 2) φ1 / r 2＝(－r 3/r 2＋1)φ1。
设行星轮2上的一点P 到行星轮2的几何中心的距离为b ，若b ＜r 2，则P 点的轨迹为短幅摆线；若b ＝r 2，则P 点的轨迹为摆线；若b ＞r 2，则P 点的轨迹为长幅摆线。
若定义N 为符号函数，当N ＝1时，对应外摆线；当N ＝－1时，对应内摆线；则摆线的统一方程为 )39(]/)sin[(sin )(]/)cos[(cos )(2123123P 2123123P −⎭⎬⎫+⋅⋅−⋅+=+⋅⋅−⋅+= r r r N N b r N r y r r r N N b r N r x ϕϕϕϕ 9.2 短幅外摆线与内等距曲线在图9.1(b)中，行星轮2为内齿轮，固定轮3为外齿轮，中心距a ＝O 3O 2＝m (Z 2－Z 3)/2，行星轮2上P 点的轨迹为外摆线，行星轮2外侧M 点的轨迹为长幅外摆线。
当式(9－3)中的N 取－1时，得到外摆线与长幅外摆线的方程。
短幅内摆线方程
短幅内摆线方程
短幅内摆线（也称为内摆线或短幅摆线）是一种特殊的曲线，它描述了一个固定点在一个圆内部沿着另一个圆滚动时形成的轨迹。
这个固定点通常位于内部圆上，并且与内部圆的圆心有一定的距离。
假设内部圆的半径为(a)，外部圆的半径为(b)，且(b > a)。
固定点位于内部圆上，距离圆心(a) 的位置。
当内部圆围绕外部圆滚动时，固定点形成的轨迹就是短幅内摆线。
短幅内摆线的参数方程可以表示为：
[
\begin{align*}
x &= (b - a)\cos\theta + a\cos\left(\frac{b}{a}\theta\right) \
y &= (b - a)\sin\theta - a\sin\left(\frac{b}{a}\theta\right)
\end{align*}
]
其中，(\theta) 是参数，表示内部圆相对于外部圆转过的角度。
这个方程描述了短幅内摆线的形状。
当(\theta) 从(0) 变化到(2\pi) 时，固定点会沿着短幅内摆线移动一圈。
如果你想要得到普通方程（即消去参数(\theta)），这将是一个复杂的代数问题，通常涉及到三角函数的和差化积公式和三角恒等式。
然而，这样的方程通常不会有一个简单的形式，因此在实际应用中，参数方程通常更常用。
请注意，这里给出的方程是基于常见的定义和约定。
根据具体的定义和上下文，方程的形式可能会有所不同。
高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
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时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
凸轮从动件的摆线运动规律
凸轮从动件的摆线运动规律一、前言凸轮从动件是机械传动中常用的一种机构，它能够将旋转运动转化为直线运动或其他特定的运动形式。
而凸轮从动件的摆线运动规律则是研究凸轮从动件运动特性的重要内容之一。
本文将对凸轮从动件摆线运动规律进行详细介绍。
二、凸轮从动件的定义和分类1. 定义凸轮从动件是由一个固定在主轴上的凸轮和一个与之啮合并进行相对运动的摆线副组成的机构。
其中，凸轮为主要构件，它可以实现不同形式的曲线运动，而摆线副则负责将其转化为直线或其他特定形式的运动。
2. 分类根据不同的工作原理和结构形式，凸轮从动件可以分为以下四类：（1）滚柱式凸轮从动件：由一个圆柱体（即滚柱）和一个与之啮合并进行相对运动的摆杆组成。
该结构简单、制造容易，但受力不均衡。
（2）滚环式凸轮从动件：由一个内表面有齿或突起的环形轮和一个与之啮合并进行相对运动的摆杆组成。
该结构受力均衡，但制造较为复杂。
（3）滑块式凸轮从动件：由一个凸轮和一个与之啮合并进行相对运动的滑块组成。
该结构简单、制造容易，但摩擦大、磨损快。
（4）滚子式凸轮从动件：由一个内表面有齿或突起的圆柱体和一个与之啮合并进行相对运动的滚子组成。
该结构受力均衡，摩擦小、磨损慢，但制造较为复杂。
三、凸轮从动件的摆线运动规律1. 摆线曲线的定义摆线是一种特殊的曲线，它是由一个固定在圆周上的点沿着另一条直线（即基准直线）作匀速直线运动而形成的轨迹。
在凸轮从动件中，摆线副上的摆杆就是沿着一条基准直线作匀速直线运动，并通过啮合与凸轮上特定位置处的点相接触而形成摆线。
2. 摆线曲线方程摆线曲线的方程可以表示为：x = r(θ - sinθ)y = r(1 - cosθ)其中，r为摆线圆的半径，θ为圆周上的角度。
根据这个方程，我们可以通过给定的半径和角度计算出摆线上的任意一点坐标。
3. 摆线曲线特性（1）对称性：摆线曲线具有对称性，即以圆心为中心旋转180度后，得到的图形与原图形完全重合。
外摆线的原理及应用
外摆线的原理及应用外摆线是一种特殊的曲线，其轨迹由一个固定点沿着一条直线滑动同时绕着另一固定点旋转而得到。
在本文中，我们将详细介绍外摆线的原理和一些实际应用。
外摆线可以用数学的方法来描述，令两个固定点分别为F和O，O点为直线的起点，F点位于直线上。
当F点沿直线滑动时，始终绕着O点旋转，形成一条曲线。
我们可以通过数学公式来表示这个曲线，具体公式为：x = r(t - sin(t))y = r(1 - cos(t))其中，t为参数，表示F点在直线上的位置；r为F点到O点的距离。
外摆线的应用：1.钟摆：外摆线的轨迹与钟摆的摆动是非常相似的。
因此，外摆线在钟摆的设计和研究中有着广泛的应用。
外摆线的轨迹稳定且可预测，使得钟摆的摆动更加平稳和准确。
另外，外摆线还可用于一些钟表的指针设计。
2.调整装置：外摆线的性质使其在调整装置的设计中得到了应用。
通过调整F点在直线上的位置，可以实现曲线的微调和调整。
这可以用于机构的设计中，如摆线减速器等。
3.光学：外摆线也可以用于光学设计中。
通过控制F点的位置和轨迹，可以实现光的反射和折射。
这在设计一些光学设备，如反射镜和透镜时非常有用。
4.艺术和设计：外摆线由其独特的曲线形状，常常被应用于艺术和设计中。
例如，外摆线的曲线可以用于绘画和雕塑中，为作品增添一种动态的感觉。
外摆线的美学特点也可用于建筑设计中，如建筑外墙的装饰。
5.数学研究：外摆线是一种有趣的数学曲线，具有一些特殊的性质和规律。
因此，外摆线的研究是数学领域的一个重要课题。
数学家们通过研究外摆线可以得到一些有趣的结论，并应用于其他领域。
总结：外摆线是一种特殊的曲线，由一个点沿直线滑动同时绕另一点旋转而得到。
外摆线的原理可以用数学公式进行描述，并且具有一些特殊的性质和规律。
外摆线在多个领域有着广泛的应用，包括钟摆设计、调整装置、光学、艺术与设计以及数学研究等。
通过研究和应用外摆线，我们可以更好地理解和利用其独特的性质。
由一系列齿轮组成的传动系统称为轮系
在定轴轮系中：
i35 n3 z5 78 13 ( ) ( ) n5 z3 18 3
13 13 n5 nH n3 n3 3 3 n1 nH 169 13 21 nH nH 3 i1H 43.9
第八章 轮系
由一系列齿轮组成的传动系统称为轮系。
8.1 轮系的分类及应用
8.1 .1 轮系及其分类 轮系：定轴轮系、周转轮系、混合轮系
1．定轴轮系 传动时每个传动件的几何轴线都是固定的， 这种轮系称为定轴轮系。
定轴轮系举例
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4
定轴轮系
举例
2．周转轮系
轮系运转时，至少有一个齿轮轴线的位置不 固定，而是绕某一固定轴线回转，则称该轮 系为周转轮系。
２、如果轮系是含有锥齿轮、螺旋齿轮和蜗杆传动等组 成的空间定轴轮系，其传动比的大小仍可用上式来计算， 但式中的（-1）m不再适用，只能在图中以标注箭头的 方法确定各轮的转向。
例8.1 图8.14所示的轮系 中，设蜗杆1为右旋，转 向如图所示，z1=2， z2=40，z2 =18， z3=36， z3 =20，z =40，z4 =18， 4 z5=45。若蜗杆转速 n1=100r／min，求内齿 轮5的转速n5和转向。
如何确定平面定轴轮系中的转向关系？
一对外啮合圆柱齿轮传动 两轮的转向相反，其传动 比前应加 “－”号
1 z2 i12 2 z1
一对内啮合圆柱齿轮传动两 轮的转向相同，其传动比前 应加“+”号
z3 2 i23 3 z2
该轮系中有3对外啮 合齿轮，则其传动比 公式前应加(1)3
三种摆线转子的啮合特性及成型原理
三种摆线转子的啮合特性及成型原理摘要:摆线转子常用被应用于液压泵或摆线马达中。
一齿差的摆线转子在设计手册中已有成熟的技术文献介绍，两齿差的摆线适合中高转速的大排量转子泵。
而技术成熟的一齿差摆线受结构形式限制，当偏心距增大时，会导致齿形出现尖角而运转异常。
本文描述的新型高速修型摆线是一种通过对齿廓进行修形后，使其更适用于高速工况的新型摆线。
关键词：摆线转子、一齿差、两齿差、高速修型摆线1.引言摆线转子泵是液压泵中常见的类型。
应用最多的是内外转子是一齿差结构型式的摆线，即外转子齿数是N齿，内转子齿数即为N-1齿。
这种类型的摆线转子是最常见的，但应用也有较多局限性。
在该类型基本上衍生出来的两齿差摆线转子及新型高速修形摆线转子，这两型摆线转子有着它们自身的技术优势。
但受限于没有成熟的文献资料推广，这两型一直未能广泛地应用在工程实例上。
2．基本理论摆线转子在油泵中具有广泛的应用。
它的外转子的齿廓是围绕中心均布的圆弧，而内转子的齿廓是在滚圆外切于基圆并沿其圆周纯滚动时,在滚圆内的任一点的运动轨迹的等距线 [1] 。
3．常规一齿差摆线转子常规一齿差摆线转子广泛用于摆线转子泵、马达、摆线针轮减速机等。
其中摆线泵中，通过粉末冶金成型工艺，可大幅降低零件的制造成本、提高生产效率，适用汽车、工程机械等大批量生产的应用场合。
常规型的摆线（图1）的成型参数主要取决于外转子齿数Z1、内转子齿数Z2、创成圆半径R创、齿形半径R i、中心距e,通过这5个参数可得到完整的摆线转子的齿形参数。
图1 常规一齿差摆线转子外转子的啮合齿廓是在创成圆上均布分布的圆弧。
内转子的齿廓是基圆纯滚动的短幅外摆线的等距线，它的成型原理已在各类文献中有详实地描述，有图解法和坐标点两种绘制方法。
目前也不乏如MathCAD、ETAGEAR等第三方软件，均可通过参数的输入直接成型。
内转子齿廓的坐标参数方程式是：式中, R 外转子创成圆半径e 中心距Z1内转子齿数Z2外转子齿数根据摆线的成型原理，转子的中心距e与内转子齿形波高的关系：另外，当我们将摆线转子应用于液压泵时，摆线转子泵的理论排量也与中心距参数有关。
摆线针轮行星传动共轭啮合理论
《中国科学》杂志社
SCIENCE IN CHINA PRESS
摆线针轮行星传动共轭啮合理论
陈兵奎*, 房婷婷, 李朝阳, 王淑妍
重庆大学机械传动国家重点实验室, 重庆 400044 * E-mail: bkchen@ 收稿日期: 2006-11-29; 接受日期: 2007-04-03 国家科技支撑计划资助项目(批准号: 2006BAF01B08)
针轮节圆的齿距为 ptb = 2πrb′ Ze , 且由于 K1 = rb′ RZ , 所以 ptb = 2πrb′ Ze = 2πK1Rz Ze .
摆线轮节圆的齿距为 ptg = 2π e′ = 2π e = 2πK1Rz Ze , 因此 ptg = ptb , 即摆线轮与针轮在
节圆上的齿距相等, 摆线轮与针轮可实现正确连续啮合. 当 Zb − Zg = 1 时, Zb = 2π rb′ ptb = 2π(rg + e) 2πe = rg / e +1 , 显然, rg / e 为整数, 摆线轮齿
( ) 轮齿数为 Ze = igHbZd = igHbZg (Zb − Zg ) = Zb Zb − Zg . 定义当量摆线轮的变幅系数 K1 = λ, 由
(4)式得
λ = eigHb Rz (igHb −1) = eZb Rz (Zb − Zg ) = eZe Rz = rb′ Rz = e′Ze Rz = K1,
在坐标系 Og x2a y2a 中, 与针齿齿廓 Σ (1) 相共轭的行星轮齿廓 Σ (2) 由下式确定:
⎧⎪Σ ⎨⎪⎩φ
(2) =
(θ ,θb
M 21Σ
摆线公式等
摆线方程它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）设该点初始坐标为（0，0）,圆心坐标为（0,a)当圆转动φ时，圆心坐标为（aφ, a)该点相对于圆心坐标为（-asinφ，-acosφ）所以该点坐标为（a（φ－sinφ），a（1－cosφ））即x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）在数学中，摆线 (Cycloid) 被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
它是roulette曲线的一个例子。
摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。
历史[编辑]摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa，之后梅森(Marin Mersenne)也有针对摆线的研究。
1599年伽利略为摆线命名。
1634年G.P. de Roberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。
1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。
在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。
[1].由半径为2的圆所生成的摆线过原点半径为r的摆线参数方程为在这里实参数t 是在弧度之下，圆滚动的角度。
对每一个给出的t ，圆心的坐标为(rt, r)。
通过替换解出t 可以求的笛卡尔坐标方程为摆线的第一道拱由参数t 在(0, 2π) 区间内的点组成。
摆线也满足下面的微分方程。
面积[编辑]一条由半径为r 的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：微分，于是可以求得弧长[编辑]弧形的长度可以由下面的式子计算出：其它相关联的曲线[编辑]一些曲线同摆线紧密相关。
当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线(curtate cycloid) 和长摆线(prolate cycloid)，两者合称为次摆线(trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。
色彩构成基础 摆线
色彩构成基础摆线什么是摆线摆线，又称卡西曲线，是指在极坐标系下，由一个运动着的线段所形成的曲线。
摆线具有特殊的形状，它的性质和构成方式都与色彩构成基础有着密切的关系。
摆线的形状特征摆线的形状特征是其最直观的表现。
它的形状主要有以下几种特征：1.曲线闭合：摆线通常是一个闭合的曲线，即起点和终点相连形成一个环形。
这是摆线的基本形状特征。
2.对称性：摆线通常具有对称性，即左右对称或上下对称。
这种对称性使得摆线的形状更加美观。
3.锐角变换：摆线的形状会不断地变化，其中包括锐角、钝角和直角等等。
摆线的构成方法摆线的形状是由运动的线段所决定的。
摆线的构成方法包括以下几种：1.固定圆与滚动圆：摆线的构成可以由一个固定圆和一个滚动在其内部的圆所组成。
固定圆不动，而滚动圆则沿着固定圆的周长运动，形成摆线的轨迹。
2.直线与点：摆线的构成也可以由一个固定的直线和一个移动的点所组成。
点在直线上运动，通过不断地移动形成摆线的形状。
构成摆线的方法各有特点，其形状和运动方式的不同也使得摆线的构成方式多样且丰富。
色彩构成基础与摆线的关系色彩构成基础是研究色彩相互关系的理论体系，而摆线作为一种特殊的曲线，也与色彩的构成有着密切的关系。
色彩在摆线中的应用在摆线的形成过程中，色彩可以通过不同的方式进行应用：1.颜色填充：可以使用不同的颜色填充摆线的轨迹，使摆线更加鲜明、生动。
通过选取适合的颜色，还可以传达出不同的情感和意义。
2.渐变效果：可以使用色彩渐变的效果来绘制摆线，使摆线从一种颜色平滑过渡到另一种颜色，增加图案的层次感和立体感。
3.变换颜色：可以根据摆线的特点和形状，通过变换颜色的方式来展示摆线的不同部分，增加图案的变化和趣味性。
通过对色彩的应用，可以使得摆线更加生动、立体，同时也能够传达出更丰富的视觉效果和情感内涵。
色彩对摆线的影响色彩在摆线中不仅仅是作为一种视觉元素的应用，还会对摆线的整体效果产生一定的影响：1.视觉引导：适当地使用明亮、醒目的颜色可以在摆线中起到视觉引导的作用，吸引观众的注意力，并且引导他们的视线沿着摆线的曲线走势进行观察。
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09 摆线与短幅外摆线的等距曲线
9.1机构的运动规律与动点的轨迹
在图9.1(a)中，设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成外啮合时，行星轮系的传动比为
(a) 行星轮小于固定轮 (b) 行星轮大于固定轮
图9.1 行星轮上的摆线轨迹与等距曲线
)19(0002
32311
2112112123−−=−=−−=−−=−−=
r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω
于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(r 3＋r 2) φ1/ r 2＝(r 3/r 2＋1)φ1。
设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成内啮合时，行星轮系的传动比为
)29(0002
3
231121121121
23−==−−=−−=−−=
r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω
于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(－r 3＋r 2) φ1 / r 2＝(－r 3/r 2＋1)φ1。
设行星轮2上的一点P 到行星轮2的几何中心的距离为b ，若b ＜r 2，则P 点的轨迹为短幅摆线；若b ＝r 2，则P 点的轨迹为摆线；若b ＞r 2，则P 点的轨迹为长幅摆线。
若定义N 为符号函数，当N ＝1时，对应外摆线；当N ＝－1时，对应内摆线；则摆线的统一方程为 )39(]/)sin[(sin )(]/)cos[(cos )(2123123P 2123123P −⎭⎬⎫
+⋅⋅−⋅+=+⋅⋅−⋅+=
r r r N N b r N r y r r r N N b r N r x ϕϕϕϕ 9.2 短幅外摆线与内等距曲线
在图9.1(b)中，行星轮2为内齿轮，固定轮3为外齿轮，中心距a ＝O 3O 2＝m (Z 2－Z 3)/2，行星轮2上P 点的轨迹为外摆线，行星轮2外侧M 点的轨迹为长幅外摆线。
当式(9－3)中的N 取－1时，得到外摆线与长幅外摆线的方程。
为了得到完整的摆线与长幅外摆线，令r 3/(r 2－r 3)＝k ，k 为正整数，则r 2＝(1＋k ) r 3/ k 。
在图9.1(b)中，k ＝5，r 2＝6 r 3/5，当行星轮2转一圈时，φ1＝φ2/(－r 3/r 2＋1)＝2π/(－5/6＋1)＝12π，即，主动件1转6圈后得到完整的摆线与长幅外摆线。
设短幅外摆线在任意一点的法线与x 轴之间的夹角为θ，则得到sin θ与cos θ分别为
)49(]/)cos[(]/)([cos )(d /d ]/)sin[(]/)([sin )(d /d 21322321231P 21322321231P −⎭
⎬⎫
−−+−=−−−−−=
r r r r r r b r r y r r r r r r b r r x ϕϕϕϕϕϕ )59(cos /sin )d /d /()d /d (d /d tan 11−=−=−= θθϕϕθy x y x
)69()d /d ()d /d (/)d /d (sin 21211−+−= ϕϕϕθy x x )79()d /d ()d /d (/)d /d (cos 21211−+= ϕϕϕθy x y
设在M 点安装一个滚子，滚子半径为r g ，于是，得长幅外摆线的内等距曲线为
)88(sin cos g M MN g M MN −⎭
⎬⎫
−=−=
θθr y y r x x 长幅外摆线的内等距曲线（x MN ，y MN ）就是摆线针轮传动中摆线齿轮的齿廓曲线，该滚子就是针轮中的一个。
长幅外摆线的外等距曲线为
)98(sin cos g M MW g M MW −⎭
⎬⎫
+=+=
θθr y y r x x 9.3 研究内容与报告
在图9.1(a)中，令r 3＝250 mm ，r 2＝r 3/3，r 2＝r 3/4，r 2＝r 3/5，当r 2取其中一个数值时，让b 同时取b 1＝r 2，b 2＝r 2/2，b 3＝1.5r 2，在b 取三个值时，N 取＋1获得外摆线、N 取－1获得内摆线。
(1) 在图9.1(a)中，生成3条外摆线（x Pw1，y Pw1；x Pw2，y Pw2；x Pw3，y Pw3）与3条内摆线（x Pn1，y Pn1；x Pn2，y Pn2；x Pn3，y Pn3）的Excel 数据表文件，主动件1角位移φ1的变化区间为［0，2π］。
(2) 在图9.1(a)中，同时生成外摆线（x P ，y P ）
、长幅外摆线（x PM ，y PM ）、长幅外摆线的内等距曲线（x MN ，y MN ）与长幅外摆线的外等距曲线（x MW ，y MW ），主动件1角位移φ1的变化区间为［0，2π］。
(3) 在图9.1 (b)中，令r 3＝250 mm ，r 2＝(1＋k ) r 3/ k ，r g ＝r 2/10，让b 同时取b 1＝r 2，b ＝b 2＝1.5r 2，当k 分别取4，5，6，7，8时，同时生成外摆线（x P ，y P ）、长幅外摆线（x PM ，y PM ）、长幅外摆线的内等距曲线（x MN ，y MN ）与长幅外摆线的外等距曲线（x MW ，y MW ），主动件1角位移φ1的变化区间为［0，2π(1＋k )］。
(4) 研究变幅摆线出现近似直线段的几何条件。