高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何 54 Word版含答案

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高中数学高考2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练课件第七章平面解析几何 18

a2＋b2
－b a＋
a b
1
a
a
＝－1－ba22＋a2＋ a2 b2＝0.
a2＋b2· a2＋b2
二、高考小题
13．[2014·全国卷Ⅰ]
如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动
点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线
OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函
(a≠b)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，则
sinα cosβ
＋ttaannβα＋cosα1·sinβ＝___0_____.
解析
由题意得P(a，－b)，Q(b，a)，∴tanα＝－
b a
，
－
tanβ＝
ab(a，b≠0)，∴csoinsαβ
＋
tanα＋ tanβ
1＝ cosα·sinβ
b a2＋b2 ＋ b
解 ∵P(x，－ 2)(x≠0)， ∴点P到原点的距离r＝ x2＋2.
又cosα＝ 63x，∴cosα＝
x2x＋2＝
3 6 x.
∵x≠0，∴x＝± 10，∴r＝2 3.
当x＝ 10时，P点坐标为( 10，－ 2)，
由三角函数的定义，有sinα＝－ 66，ta1nα＝－ 5，
∴sinα＋ta1nα＝－
y x
＝
5 －4
＝－
3 4
，故
5
选D.
2．sin2cos3tan4的值(
)
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.
3．已知扇形的半径为12 cm，弧长为18 cm，则扇形圆

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何53Word版含答案

考点测试53 双曲线一、基础小题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A 、C ；又c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝4.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.4．已知双曲线x 2－y 28＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1 答案 C解析设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设F 1B →＋F 1C →＝m ，F 1A →＋F 1D →＝n ，则下列各式成立的是( )A ．|m |>|n |B ．|m |<|n |C ．|m －n |＝0D ．|m －n |>0答案 C解析取过点F 2且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则F 1B →＋F 1C →＝m ＝2F 1F 2→，F 1A →＋F 1D →＝n ＝2F 1F 2→，故|m －n |＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析依题意得a 2＋b 2＝c 2＝7，由此设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1，另设直线与双曲线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x ，y )．则x 21a 2－y 217－a 2＝1，① x 22a 2－y 227－a 2＝1，② ①－②得：1a 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝17－a2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，又由x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x ＝－23，y ＝x －1，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，得a 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 25＝1，故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2， ∴|PF 2|＝17.解法二：由题知，若P 在右支上，则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题9．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－m 2－n －m 2＋n ＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.10．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22， ①2x 0·2y 0＝2b ， ②y 0＝b 2x 0， ③由①③得x 20＝164＋b 2，④所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b24＋b2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.11．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 答案 A解析在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.从而e 21·e 22＝m 2－n 2＋m 2·n 2＝m 2－2m 2m 2－，令t ＝m 2－1，则t >0，e 21·e 22＝t 2t 2－1>1，即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ，故选A.12．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析解法一：由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A. 解法二：由MF 1⊥x 轴，得M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a ，由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，∴e ＝ a 2＋b 2a 2＝ 2.故选A. 13．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.三、模拟小题14．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )A.94 B ．9 C.32 D ．3 答案 C解析由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.15．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.y 23－x 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 22＝1 答案 D解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，即F (2,0)，∴4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2＋a2＝2，∴a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.16．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D ．m －a答案 D解析不妨设点P 是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线的定义可令|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两式联立得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .17．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则OA ⊥OB ，AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，又因为AB 的中点在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，化简得x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2，故选C.18．已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.3＋1 答案 D解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∴|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义有：|MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1，故选D.一、高考大题1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)解法一：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k，同理得y 2＝2m 2＋k. 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，所以m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.又因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)，又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8，所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25 x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.二、模拟大题2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∵|MA |＝12|BD |，∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．3．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝ca ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.4．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．5．已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．(1)求直线AB 的方程；(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*) 由Δ>0，得k <32.令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k －k2－k2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1.∴k (2－k )＝－k 2＋2，∴k ＝1，满足k <32.∴AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)将k ＝1代入方程(*)，得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝－1或x ＝3，∴不妨设A (－1,0)，B (3,4)． ∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直AB .∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0. 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)，则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3,6)．|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2x 3＋x 42－4x 3x 4＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，|MA |＝|MB |＝210，即A ，B ，C ，D 到M 的距离相等， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆．。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何 18 word版含答案

第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试18 任意角和弧度制、任意角的三角函数一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D.2．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．23 B ．32 C ．23π D ．32π 答案 B解析由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C解析设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12答案 D解析因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－ba 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b 2a2＝0. 二、高考小题 13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在的图象大致为( )答案 C解析由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>0答案 C解析由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析由题意得f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样． 18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．答案 A解析由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6B ．5π3C ．11π6D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．)21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32 C ．1 D ．12答案 C解析如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．2B ．1C ．12D ．3答案 A解析设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ，∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R . (1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )，当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，则sin β＝a2a＝22，cos β＝a 2a ＝22.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64. 当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，则sin β＝a－2a ＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64. 综上所述，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64. 4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2； (2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210. (2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α. 因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。

高考数学考点通关练第七章平面解析几何考点测试50抛物线高三全册数学

)
A．34
B．45
C．56
D．67
第二十九页，共六十七页。
答案
解析设点 A 在第一象限，点 B 在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 x＝my＋ 5.由 y2＝4x 得 p＝2，因为|BF|＝3＝x2＋p2＝x2＋1，所以 x2＝2，则 y22＝4x2＝4×2＝8，所以 y2＝－2 2，由yx2＝＝m4yx＋， 5，得 y2－4my－4 5＝0，由根与系数的关系，得 y1y2＝－4 5，所以 y1＝ 10，由 y21＝4x1，得 x1＝52.过点 A 作 AA′垂直于准线 x＝－1，垂足为 A′，
答案 (x＋1)2＋(y－ 3)2＝1
第二十三页，共六十七页。
答案
解析由 y2＝4x 可得点 F 的坐标为(1,0)，准线 l 的方程为 x＝－1.
由圆心 C 在 l 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图)，可得点 C 的横坐标为－1，圆的半径为 1，∠CAO＝90°. 又因为∠FAC＝120°，
答案 (1,0) 解析由题意得 a>0，设直线 l 与抛物线的两交点分别为 A，B，不妨令 A 在 B 的上方，则 A(1,2 a)，B(1，－2 a)，故|AB|＝4 a＝4，得 a＝1，故抛物线方程为 y2＝4x，其焦点坐标为(1,0)．
第二十二页，共六十七页。
解析答案
15．(2017·天津高考)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．
C 的准线交于点 M，若|MN|＝|AB|，则 l 的倾斜角为( )
A．15°

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题第七章平面解析几何 18 含答案精品

第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试18 任意角和弧度制、任意角的三角函数一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D.2．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．23 B ．32 C ．23π D ．32π 答案 B解析由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B ．32 C ．－12D ．12答案 D解析因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3. 12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－ba 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b 2a2＝0. 二、高考小题 13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在的图象大致为( )答案 C解析由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>0答案 C解析由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析由题意得f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样． 18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．答案 A解析由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6B ．5π3C ．11π6D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．)21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32 C ．1 D ．12答案 C解析如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．3答案 A解析设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ，∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R .(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )，当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，则sin β＝a2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64. 当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，则sin β＝a－2a ＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64. 综上所述，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64. 4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2； (2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210. (2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α. 因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。

2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题第七章平面解析几何 49 含答案精品

考点测试49 双曲线一、基础小题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A 、C ；又c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝4.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.2．若双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2D ．2答案 A解析焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5.3．已知双曲线C ：x 2a －y 2b＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.4．已知双曲线x 2－y 28＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1答案 C解析设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设F 1B →＋F 1C →＝m ，F 1A →＋F 1D →＝n ，则下列各式成立的是( )A ．|m |>|n |B ．|m |<|n |C ．|m －n |＝0D ．|m －n |>0答案 C解析取过点F 2且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则F 1B →＋F 1C →＝m ＝2F 1F 2→，F 1A →＋F 1D →＝n ＝2F 1F 2→，故|m －n |＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析依题意得a 2＋b 2＝c 2＝7，由此设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1，另设直线与双曲线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x ，y )．则x 21a 2－y 217－a 2＝1，① x 22a 2－y 227－a 2＝1，② ①－②得：1a 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝17－a2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，又由x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x ＝－23，y ＝x －1，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，得a 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 25＝1，故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17. 又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2， ∴|PF 2|＝17.解法二：由题知，若P 在右支上，则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题9．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 B解析因为e ＝1＋b 2a 2，所以ba 越大，e 就越大，令λ＝b ＋ma ＋mb a＝ab ＋am ab ＋bm.当a >b 时，λ>1，e 2>e 1；当a <b 时，λ<1，e 2<e 1.故选B.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2答案 C解析不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c,0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，又A 1，A 2的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ，A2C →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a ，因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2a ＝0，即c 2－a 2－b 4a 2＝0，所以b 2－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即b a ＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±b a，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.11．已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝______；b ＝________.答案 1 2解析由题可知双曲线焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b ax ，又一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，∴b a＝2，即b ＝2a .又∵该双曲线的一个焦点为(5，0)，∴c ＝ 5. 由a 2＋b 2＝c 2，可得a 2＋(2a )2＝5，解得a ＝1，b ＝2.12．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析 △PF 1F 2为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在P 1与P 2之间运动(如图)．当P 在P 1点处时，∠F 1P 1F 2＝90°，S △P 1F 1F 2＝12|F 1F 2|·|yP 1|＝12|P 1F 1|·|P 1F 2|.由|P 1F 1|2＋|P 1F 2|2＝|F 1F 2|2，|P 1F 1|－|P 1F 2|＝2，得|P 1F 1|·|P 1F 2|＝6，此时|PF 1|＋|PF 2|＝27. 当P 在P 2点处时，∠P 2F 2F 1＝90°， ∴xP 2＝2，易知yP 2＝3，此时|PF 1|＋|PF 2|＝2|PF 2|＋2＝8，∴当△PF 1F 2为锐角三角形时，|PF 1|＋|PF 2|∈(27，8)．13．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析由已知得双曲线的右焦点F (3,0)．设双曲线的左焦点为F ′，则F ′(－3,0)．由双曲线的定义及已知，得|PF |＝2a ＋|PF ′|＝2＋|PF ′|.△APF 的周长最小，即|PA |＋|PF |最小．|PA |＋|PF |＝|PA |＋2＋|PF ′|≥|AF ′|＋2＝17，即当A 、P 、F ′三点共线时，△APF的周长最小．设P 点坐标为(x 0，y 0)，y 0>0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3＋y66＝1，x 20－y208＝1，得y 20＋66y 0－96＝0，所以y 0＝26或y 0＝－86(舍去)．所以当△APF 的周长最小时，该三角形的面积S ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.三、模拟小题14．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )A.94 B ．9 C.32 D ．3答案 C解析由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.15．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.y 23－x 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 22＝1 答案 D解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，即F (2,0)，∴4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2＋a2＝2，∴a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.16．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D ．m －a答案 D解析不妨设点P 是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线的定义可令|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两式联立得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .17．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4答案 C解析由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则OA ⊥OB ，AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，又因为AB 的中点在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，化简得x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2，故选C.18．已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.3＋1答案 D解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∴|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义有：|MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1，故选D.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，求顶点C 的轨迹方程．解如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝(|CE |＋|AE |)－(|CF |＋|BF |)＝|AE |－|BF |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∵|MA |＝12|BD |，∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．3．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝ca ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.4．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－，－2k k 2－2>0，2k －2>0. 解得k 的取值范围是－2<k <－ 2. (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由FA ⊥FB 得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③把②式及c ＝62代入③式，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．可知存在k＝－。

2019年高考数学(理)考点通关训练第七章平面解析几何 54及答案

考点测试54 抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )A.10 B．4 C.15 D．5答案 D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18 B．24 C．36 D．48答案 C解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2答案 B解析焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －32，代入y 2＝6x ，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2＋6k2＋3＝12，k 2＝1.∴k ＝tan α＝±1，结合x ∈如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin∠BCF12·|CA |·|CF |·sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A. 10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝222p＝4p ，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22 D ．1 答案 C解析设P (x ，y )，∵|PM |＝2|MF |，∴|PM ||MF |＝2，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝x ＋2×p21＋2＝x ＋p 3，y M＝y 1＋2＝y 3，∴k OM ＝y M x M ＝yx ＋p，由题易知k OM 最大时y >0，∴k OM ＝2pxx ＋p＝2px ＋p x≤2p 2p ＝22，当且仅当x ＝p 时取等号．12．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.13．设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，则A (p ，2p )(不妨设A 在第一象限)．易证△EFC∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S△AFC＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6. 三、模拟小题14．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a )B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0 答案 C解析将y ＝4ax 2(a ≠0)为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.15．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋－2－1＝10－1＝9.当且仅当A 、P 、F 三点共线时，等号成立，则|PA |＋|PQ |的最小值为9.故选C.16．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20 答案 A解析由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.17．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若|FP |＝3|FQ |，则|QF |＝( )A.83B.52 C ．3 D ．2 答案 A解析设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83，故选A. 18．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 、圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝y 2＋－1y 1＋－1＝16.一、高考大题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．解 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p . 由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，43.2．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b－a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1.设AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.二、模拟大题3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .(1)求C 的方程；(2)若圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p . 又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切，∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 并整，得x 2－4kx －4＝0.∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2 ＝4k 2＋2，∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)． ∵圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋32＝|2k 2＋2|，解得k ＝12.此时直线l 的方程为y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝52，即圆M 的方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝254.4．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F (1,0)，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．解 (1)证明：由题可知K (－1,0)，抛物线的方程为y 2＝4x ，则可设直线l 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4＝0，∴Δ＝(－4m )2－4×4≥0，得m 2≥1， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，则直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即 y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎪⎫x －y 224. 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，∴点F (1,0)，在直线BD 上．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，∴x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2) 故FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝8－4m 2，则8－4m 2＝89，∴m ＝±43，故直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x －4y ＋3＝0，y 2－y 1＝±y 2＋y 12－4y 1y 2＝±16m 2－16＝±473，故直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0. 又KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，∴圆M 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －192＋y 2＝49.5．如图，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q ⊥P 2Q .(1)求抛物线C 和圆Q 的方程；(2)过点F 作直线l ，与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，B ，N ，求|MN |·|AB |的最小值．解 (1)因为抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，所以p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .由抛物线和圆的对称性，可设圆Q ：x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵P 1Q ⊥P 2Q ，∴△P 1QP 2是等腰直角三角形，不妨设P 1在左侧，则∠QP 1P 2＝45°，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22r ，b －22r ，代入抛物线方程有r 22＝4b －22r . 由题意，可知在P 1，P 2处圆和抛物线相切，对抛物线方程x 2＝4y 求导得y ′＝x2，所以抛物线在点P 2处切线的斜率为k ＝2r 4. 由∠QP 1P 2＝45°，得k ＝2r 4＝1，所以r ＝22，代入r 22＝4b －22r ，解得b ＝3.所以圆Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝8.(2)由题意，知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝21＋k 2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝42－11＋k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k 2＋2，由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)，所以|MN |·|AB |＝16(1＋k 2)2－11＋k 2. 设t ＝1＋k 2(t ≥1)，则|MN |·|AB |＝16t 2－1t＝162t 2－t ＝162⎝⎛⎭⎪⎫t －142－18(t ≥1)，所以当t ＝1，即k ＝0时，|MN |·|AB |有最小值16.6．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点P 1，P 2和点P 3，P 4，线段P 1P 2，P 3P 4的中点分别记为M 1，M 2.(1)求△FM 1M 2面积的最小值； (2)求线段M 1M 2的中点P 满足的方程．解 (1)由题意，得抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线P 1P 2的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y 并整，得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.(*)(*)是关于x 的一元二次方程，其判别式Δ＝2－4k 4＝16(1＋k 2)>0.设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个不相等实根，且x 1＋x 2＝＋k 2k 2.设M 1(xM 1，yM 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧xM 1＝x 1＋x 22＝2＋k 2k2，yM 1＝kxM 1－＝2k，类似地，设M 2(xM 2，yM 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧xM 2＝2＋1k21k2＝2k 2＋1，yM 2＝－1kxM 2－＝－2k ，所以|FM 1|＝ ⎝⎛⎭⎪⎫1－2＋k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2k 2 1＋k 2，|FM 2|＝k 22＋－2k2＝2|k |1＋k 2，因此S △FM 1M 2＝12|FM 1|·|FM 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1|k |＋|k |.因为1|k |＋|k |≥2，所以S △FM 1M 2≥4，当且仅当1|k |＝|k |，即k＝±1时，S △FM 1M 2取到最小值4.(2)设线段M 1M 2的中点为P (x ，y )，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12xM 1＋xM ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2k 2＋2k 2＝1＋k 2＋1k 2，y ＝12yM 1＋yM＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k ＝－k ＋1k ，消去k ，得y 2＝x －3.∴线段M 1M 2的中点P 满足的方程为y 2＝x －3.。

2019年高考数学(理)考点通关训练第七章平面解析几何 20及答案

考点测试20 三角函的图象和性质一、基础小题1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象答案 D解析因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以f (x )向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象，故选D.2．函f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函B ．周期为2π的偶函C ．周期为π的奇函D ．周期为2π的奇函答案 D解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2sin x ，所以函f (x )是周期为2π的奇函．3．函y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C 解析(形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.4．已知函f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实a 的值为( )A ．－ 3B ．－33C ． 2D ．22答案 B解析由题意知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.故选B. 5．函y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡π3＋k π，⎦⎥⎤5π6＋k π(k ∈Z )，又x ∈，所以k ＝－1，故函y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6.6．使函f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函的φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2答案 C解析若f (x )是R 上的奇函，则必须满足f (0)＝0，即sin φ＝0.∴φ＝k π(k ∈Z )，故选C.7．已知函f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 答案 D解析若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D.8．函y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2.二、高考小题9．函f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π答案 B解析 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.10．设函f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析 f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，若b ＝0，则f (x )＝sin 2x ＋c ＝12(1－cos2x )＋c ，此时f (x )的周期为π；若b ≠0，则f (x )的周期为2π，所以选B.11．函f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.12．下列函中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.13．定义在区间上的函y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个是________．答案 7解析在同一平面直角坐标系中作出y ＝sin2x 与y ＝cos x 在区间上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．三、模拟小题14．函f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的图象大致是( )答案 D解析函f (x )＝2x －4sin x 为奇函，所以其图象关于原点对称，故A 、B 错误．又令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，即cos x ＝12，解得x ＝±π3，所以x ＝±π3为函的极值点，所以只有D 项符合条件．故选D.15．若函f (x )＝A sin2ωx (A >0，ω>0)在x ＝1处取得最大值，则函f (x ＋1)为( )A ．偶函B ．奇函C ．既是奇函又是偶函D ．非奇非偶函答案 A解析因为f (x )＝A sin2ωx 在x ＝1处取得最大值，故f (1)＝A ，即sin2ω＝1，所以2ω＝π2＋2k π，k ∈Z .因此，f (x ＋1)＝A sin(2ωx＋2ω)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋2k π＝A cos2ωx ，故f (x ＋1)是偶函．16．函f (x )＝sin x ＋x 在区间已知函f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函f (x )图象的一条对称轴，则nm＝( )A ．332B ． 3C ．－233D ．33答案 C解析若x ＝π3是函f (x )图象的一条对称轴，则x ＝π3是函f (x )的极值点．f ′(x )＝2m cos x ＋n sin x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2m cos π3＋n sin π3＝m ＋32n ＝0，所以n m ＝－233.18．已知定义在R 上的函f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x 时，f (x )＝sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析易知函f (x )是周期为2π的周期函．函f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.一、高考大题1．已知函f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间上的最小值．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.2．已知函f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，易知函y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．二、模拟大题3．已知函f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称，且 f (－x )＝6cos 4－x ＋5sin 2－x －4－2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x＝f (x )．所以f (x )是偶函，当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝2x －2x －2cos 2x －1＝3cos 2x －1.所以f (x )的值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤y <12或12<y ≤2.4．已知函f (x )＝sin x －cos x ，x ∈R . (1)求函f (x )的最小正周期；(2)若函f (x )在x ＝x 0处取得最大值，求f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)的值．解 (1)f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴f (x )的最小正周期为2π. (2)依题意，x 0＝2k π＋3π4(k ∈Z )，由周期性，f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4－cos 3π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2－cos 3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 9π4－cos 9π4＝2－1.5．设函f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函y ＝f (x )的单调递增区间．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0，∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z .因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .6．已知函f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函f (x )的值域．解 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos2x 2＋12sin2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32函f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，1，f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，1＋32.。

高考数学(理)一轮复习课件+练习：第七章平面解析几

考点探究
变式探究 3．已知点 M 是抛物线 y2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆 C：(x－4)2＋(y－1)2＝1 上，则|MA|＋|MF|的最小值为 4．解析：依题意得 |MA| ＋ |MF|≥(|MC| － 1) ＋ |MF| ＝ (|MC| ＋ |MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点 M 到抛物线 x＝－1 的准线的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心 C(4，1)到抛物线的准线 x＝－1 的距离，即为 5，因此所求的最小值为 4.
考点探究
解析：(1)由题意，抛物线开口向下，故设其方程为 x2＝－ 2py(p>0)，则准线方程为 y＝p2，又设焦点为 F，则|QF|＝p2－y0，即p2－(－3)＝5，∴p＝4，故抛物线的方程为 x2＝－8y.
(2)设直线 l 的方程为 y＝ 3x＋b，联立yx＝2＝23pxy＋，b，消去 y，得 x2＝2p( 3x＋b)．
考点探究
解析：(1)设抛物线方程为 x2＝2py，或 y2＝－2px(p>0)．将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝43， ∴x2＝43y；将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝29， ∴y2＝－29x.
考点探究
∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝34y 或 y2＝－29x. (2)抛物线 y2＝12x 的焦点 F(3，0)，(3，0)关于 x－y＝0 对称点为 F1(0，3)，所以所求抛物线标准方程为 x2＝12y. 点评：(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离 p 的值． (2)抛物线上一点到焦点的距离称为抛物线上这一点的焦半径，根据抛物线的定义，可知抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 A(x0，y0)的焦半径为p2＋ x0.

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何 52 Word版含答案

考点测试52 椭圆一、基础小题1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 答案 A解析依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析 2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m6.∴e 2＝13，∴e ＝33.故选B.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14 答案 D解析由x 2＋y 21m＝1及题意知，21m ＝2×2×1，m ＝14，故选D. 4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3 答案 B解析设M (x ，y )，由MF 1→·MF 2→＝0，得x 2＋y 2＝c 2＝3，又x 24＋y 2＝1，解得x ＝±263. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．6．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析令c ＝a 2－b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F 1F 2P ＝120°，∴∠PF 2x ＝60°， ∴|F 2P |＝2⎝⎛⎭⎪⎫3a 2－c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴c a ＝34，即椭圆的离心率为34.故选C.7．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．答案33解析设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝4.又r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°＝|F 1F 2|2，(r 1＋r 2)2－3r 1r 2＝12，∴r 1r 2＝43，S ＝12r 1r 2sin60°＝33. 二、高考小题9．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34答案 A解析由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka2－a ＝k a －c －c －a ，所以12＝a －c a ＋c ，即a ＝3c ，所以e ＝13.故选A.10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0， c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1，c >0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1，得25c 29＋b 49b 2＝1，又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.12．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理，得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式，得－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.13．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析解法一：由椭圆方程知椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，右焦点为F 2(5，0)．则M (m ，n )关于F 1的对称点为A (－25－m ，－n )，关于F 2的对称点为B (25－m ，－n )，设MN 中点为(x ，y )，所以N (2x －m,2y －n )．所以|AN |＋|BN |＝x ＋252＋y2＋x －252＋y2＝2[]x ＋52＋y 2＋x －52＋y2，故由椭圆定义可知|AN |＋|BN |＝2×6＝12.解法二：根据已知条件画出图形，如图．设MN 的中点为P ，F 1、F 2为椭圆C 的焦点，连接PF 1、PF 2.显然PF 1是△MAN 的中位线，PF 2是△MBN 的中位线，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝2×6＝12.三、模拟小题14．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0) 答案 B解析因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.15．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.513 C.49 D.59答案 B解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B. 16．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27 D.7答案 C解析根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83·b 2y －b 4＋12b 2＝0.∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.17．已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于( )A.1134 B.2134 C.114 D.214答案 B解析由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，在Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程5x 2＋9y 2－45＝0联立并整理得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪23＋538＝2134.故选B.18．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，所以底角小于等于30°，则ca ≥32，即e ≥32，又e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.一、高考大题1．如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22. 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2>0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1，所以a > 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得所求离心率的取值范围为0<e ≤22.2．设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c aa －c，可得a 2－c 2＝3c 2，又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4，所以，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k ，消去y 解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋9k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64.所以，直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 二、模拟大题3．已知圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝16，点F (1,0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)与(1)中轨迹Γ交于R ，S 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得当k 变动时总有∠OTS ＝∠OTR ？说明理由．解 (1)连接QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4>|EF |＝2，故动点Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以点Q 的轨迹Γ的方程是x 24＋y 23＝1.(2)假设存在T (t,0)满足∠OTS ＝∠OTR . 设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，①其中Δ>0恒成立．由∠OTS ＝∠OTR (显然TS ，TR 的斜率存在)，得k TS ＋k TR ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，②由R 、S 两点在直线y ＝k (x －1)上，故y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②，得 k x 1－x 2－t ＋k x 2－x 1－tx1－t x 2－t＝k [2x 1x 2－t ＋x 1＋x 2＋2t ]x1－t x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0.③ 将①代入③，得8k 2－24－t ＋k 2＋2t＋4k23＋4k2＝6t －243＋4k2＝0.④ 要使得④与k 的取值无关，当且仅当“t ＝4”时成立．综上所述，存在T (4,0)，使得当k 变化时，总有∠OTS ＝∠OTR .4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫2，22在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (1,0)，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线l 0：x ＝x 0(其中x 0>2)，使得A ，B 到l 0的距离d A ，d B 满足：d A d B ＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，2a 2＋12b 2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝1，c ＝3，所以C 的方程为x 24＋y2＝1.(2)存在x 0＝4符合题意．理由如下：当直线l 斜率不存在时，x 0(x 0>2)可以为任意值．当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，点A ，B 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 2＝1.所以x A ，x B 满足x 2＋4k 2(x －1)2＝4，即(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 22－k 2＋k 2－，x A＋x B ＝8k 24k 2＋1，x A x B＝4k 2－44k 2＋1.不妨设x A >1>x B .因为d A |PB |－d B |PA |＝1＋k 2·(|x 0－x A |·|x B －1|－|x 0－x B |·|x A －1|)＝1＋k 2·＝0，所以2x 0－x 0＋k 24k 2＋1＋k 2－4k 2＋1＝0.整理得2x 0－8＝0，即x 0＝4.综上，x 0＝4时符合题意．5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2的内切圆面积的最大值为π3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长交直线x ＝4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则a ＝2c ，得b ＝3c ，其中c >0.△F 1PF 2的内切圆面积取最大值π3时，其半径取最大值，为r ＝33.由S △F 1PF 2＝r2·C △F 1PF 2，且C △F 1PF 2为定值，得S △F 1PF 2也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此12·2c ·b ＝r 2·(2a ＋2c )，所以12×2c ×3c ＝12×33×(4c ＋2c )，解得c ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，则y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2.又直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1－－，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2－－，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2.设M (m ，n )， MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 1x 1＋2－n ，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 2x 2＋2－n ，假设以PQ 为直径的圆恒过定点M (m ，n )，那么MP →·MQ →＝(4－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 1x 1＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 2x 2＋2－n ＝0，即－12nt y 1y 2－18n y 1＋y 2t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2＋9＋n 2＋(4－m )2＝0，－12nt －－18n －6t －9t 2＋3t －6t ＋t 2＋＋n 2＋(4－m )2＝0，即6nt －9＋n 2＋(4－m )2＝0，即n ＝0，m ＝1或m ＝7，不论t 为何值时，MP →·MQ →＝0恒成立，以PQ 为直径的圆恒过定点，定点坐标为(1,0)或(7,0)．6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 上一动点，求线段PM 的中点Q 的轨迹方程；(3)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由．解 (1)由已知条件得b ＝2，a 2＝(2b )2＝8，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，PM 的中点坐标为Q (x ，y )，则x 208＋y 204＝1.由x ＝0＋x 02，y ＝2＋y 02，得x 0＝2x ，y 0＝2y －2，代入上式，得x 22＋(y －1)2＝1.(3)若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由已知条件，得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2＝8，所以k －km m ＋2＝4，即m ＝12k －2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－2，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 方程为x ＝x ′，设A (x ′，y ′)，B (x ′，－y ′)．由y ′－2x ′＋－y ′－2x ′＝8，得x ′＝－12，此时直线AB 方程为x ＝－12，显然过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.综上，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何 50 word版含答案

考点测试50 两条直线的交点与距离公式一、基础小题1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )A．1 B. 3C．2 D. 5答案 D解析由点到直线的距离公式得d＝|－5|1＋22＝ 5.2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案 A解析设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，又经过(1,0)，故c＝－1，所求方程为x －2y－1＝0.3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直⇔1＋1×(－a)＝0，所以选C.4．已知直线3x＋y－1＝0与直线23x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是( )A．1 B.5 4C．3 D．4 答案 B解析∵323＝1m≠－13，∴m＝2，两平行线之间的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－323＋1＝54.选B.5．已知点M是直线x＋3y＝2上的一个动点，且点P(3，－1)，则|PM|的最小值为( )A.12B．1C．2 D．3答案 B解析 |PM |的最小值即点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又|3－3－2|1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.选B.6．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．3x ＋y －6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．x －3y －2＝0答案 B解析设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，则k ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，对比四个选项可知选B.7．已知直线l 的倾斜角为π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a ，1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案 B解析由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a ＝－1，所以a ＝－4.又l 1∥l 2，所以－2b＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.8．已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．210答案 A 解析x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5. 9．已知直线l 过点M (3,4)，且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 答案 D解析易知直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.由已知得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k ＝－23，故直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.10．设A ，B 是x 轴上的两点，点M 的横坐标为3，且|MA |＝|MB |，若直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线MB 的方程是( )A ．x ＋y －7＝0B ．x －y ＋7＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析解法一：由|MA |＝|MB |知，点M 在A ，B 的垂直平分线上．由点M 的横坐标为3，且直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，得M (3,4)．由题意，知直线MA ，MB 关于直线x ＝3对称，故直线MA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线MB 上，∴直线MB 的方程为x ＋y －7＝0.选A.解法二：由点M 的横坐标为3，且直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，得M (3,4)，代入四个选项可知只有3＋4－7＝0满足题意，选A.11．已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上分别找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，则最短周长为( )A ．4B ．2 5C ．2 3D ．2 2答案 B解析设点A 关于直线y ＝x 的对称点为B (x 1，y 1)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋12＝x 1＋32，y 1－1x 1－3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝3，即B (1,3)，同样可得点A 关于y ＝0的对称点C (3，－1)，如图所示，则|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，当且仅当B ，M ，N ，C 共线时，△AMN 的周长最短，即|BC |＝1－32＋3＋12＝2 5.选B.12．经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线的一般式方程为________．答案 x －3y ＝0解析两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0.二、高考小题13．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案 A解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.14．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析如图，作出点P (－2，－3)关于y 轴的对称点P 0(2，－3)．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x －2)－3，即kx －y －2k －3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|1＋k2＝1，解得k ＝－43或k ＝－34. 15．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，因为直线2x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，即点(0,0)到直线2x ＋y ＋m ＝0的距离为5，所以|m |5＝5，|m |＝5.故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．答案2555解析圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×－1－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555. 17．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 三、模拟小题18．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．2x ＋y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案 C解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线．又A (2，0)，B (0,4)，所以AB 的中点为(1,2)，k AB ＝－2.故AB 的中垂线为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0，应选C.19．已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A ．无论k 、P 1、P 2如何，总是无解B ．无论k 、P 1、P 2如何，总有唯一解C ．存在k 、P 1、P 2，使之恰有两解D ．存在k 、P 1、P 2，使之有无穷多解答案 B解析由题意，直线y ＝kx ＋1一定不过原点O ，P 1、P 2是直线y ＝kx ＋1上不同的两点，则OP 1→与OP 2→不平行，因此a 1b 2－a 2b 1≠0，所以二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1一定有唯一解．20．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋32＝3，解得C＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.21．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合，则直线l 与直线l 1的距离是________．答案115解析设直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，依题意可得l 1：a (x －3)＋b (y －5)＋c ＝0，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位得直线l ：a (x －4)＋b (y －3)＋c ＝0，故a ＝－34b ，则直线l 与直线l 1的距离d ＝|－3a －5b ＋c ＋4a ＋3b －c |a 2＋b 2＝|a －2b |a 2＋b2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34b －2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34b 2＋b 2＝115.22．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．答案 6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.23．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 解析依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化为x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，设y 0x 0＝k OM ，如图当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．24．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x －a2＋y －b2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．答案 5 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝x ＋22＋0－42＋x ＋12＋0－32，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝－1＋22＋3＋42＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.2．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解 (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何 53 word版含答案

考点测试53 双曲线一、基础小题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A 、C ；又c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝4.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上，的直线l 与C 的左、右两支A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1 答案 C解析设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设F 1B →＋F 1C →＝m ，F 1A →＋F 1D →＝n ，则下列各式成立的是( )A ．|m |>|n |B ．|m |<|n |C ．|m －n |＝0D ．|m －n |>0答案 C解析取过点F 2且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则F 1B →＋F 1C →＝m ＝2F 1F 2→，F 1A →＋F 1D →＝n ＝2F 1F 2→，故|m －n |＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析依题意得a 2＋b 2＝c 2＝7，由此设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1，另设直线与双曲线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x ，y )．则x 212－y 212＝，得a 2＝2.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17. 又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2， ∴|PF 2|＝17.解法二：由题知，若P 在右支上，则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题9．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－3m 2－n －m 2＋n ＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.10．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22， ①2x 0·2y 0＝2b ， ②y 0＝b 2x 0， ③由①③得x 20＝164＋b2，④所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b24＋b2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.11．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 答案 A解析在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.从而e 21·e 22＝m 2－1n 2＋1m 2·n 2＝m 2－12m 2·m 2－2，令t ＝m 2－1，则t >0，e 21·e 22＝t 2t 2－1>1，即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ，故选A.12．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析解法一：由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A. 解法二：由MF 1⊥x 轴，得M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a ，由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，∴e ＝ a 2＋b 2a 2＝ 2.故选A. 13．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.三、模拟小题14．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.15．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.y 23－x 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 22＝1 答案 D解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，即F (2,0)，∴4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2＋a2＝2，∴a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.16．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D ．m －a答案 D解析不妨设点P 是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线的定义可令|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两式联立得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .17．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )18．已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.3＋1 答案 D解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∴|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义有：|MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1，故选D.一、高考大题1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)解法一：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k，同理得y 2＝2m 2＋k. 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，所以m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.又因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)，又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25 x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝所以双曲线E 的方程为当l ⊥x 轴时，由△＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与二、模拟大题2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点∵点M 的横坐标为∴过A 、B 、D 三点的圆与3．P (x 0，y 0)(x 0≠±上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝ca ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.4．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．5．已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．(1)求直线AB 的方程；(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*) 由Δ>0，得k <32.令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k 2－k2－k2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1.∴k (2－k )＝－k 2＋2，∴k ＝1，满足k <32.∴AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)将k ＝1代入方程(*)，得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝－1或x ＝3，∴不妨设A (－1,0)，B (3,4)．∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直AB .∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0. 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)，则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3,6)．|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2x 3＋x 42－4x 3x 4＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，|MA |＝|MB |＝210，即A ，B ，C ，D 到M 的距离相等， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆．。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何 19 Word版含答案

考点测试19 同角三角函数基本关系式与诱导公式一、基础小题1．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A ．12 B ．32 C ．－12D ．－32答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C.2．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( ) A ．－45B ．45C ．35D ．－35答案 B解析因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B. 3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0 D ．sin θ<0，cos θ<0 答案 B解析 sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，∴cos θ<0.4．点A (sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析注意到2013°＝360°×5＋(180°＋33°)，因此2013°角的终边在第三象限，sin2013°<0，cos2013°<0，所以点A 位于第三象限．5．已知sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ的值是( )A ．229B ．－229C ．－19D ．19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223.∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229.6．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( )A ．32B ．－32C ．12D ．－12答案 B解析由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.7．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝( )A ．25 B ．－25C ．25或－25D ．－15答案 B解析由已知条件可得tan α＝－2，所以sin αcos α＝ sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 8．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5答案 B解析由题意得sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，解得m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－5，故选B.9．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( ) A ．k 1＋k2B ．11＋k 2C ．－k1＋k2D ．－11＋k2答案 C解析因为k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，所以tan40°＝－k ，所以k <0，sin40°＝－k cos40°，sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，因为sin 240°＋cos 240°＝1，所以k 2cos 240°＋cos 240°＝1，所以cos40°＝1k 2＋1，所以sin40°＝－kk 2＋1.10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A ．12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故 cos x sin x －1＝12.11．若sin θcos θ＝18，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos θ－sin θ＝________. 答案－32解析 (cos θ－sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－14＝34，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴cos θ<sin θ，∴cos θ－sin θ＝－32. 12．化简 1－sin 2440°＋1－2sin80°cos80°＝________. 答案 sin80°解析由于1－sin 2440°＝1－sin 2＋＝1－sin 280°＝cos 280°＝cos80°；1－2sin80°cos80°＝sin 280°＋cos 280°－2sin 80°cos80°＝－2＝|sin80°－cos80°|＝sin80°－cos80°. 故原式＝cos80°＋sin80°－cos80°＝sin80°. 二、高考小题13．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512答案 D解析因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.14．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625答案 A解析当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin αcos α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425，故选A. 15．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.16．sin750°＝________. 答案 12解析 sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.三、模拟小题17．已知锐角α满足5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos130°)，则α的值为( )A ．8°B ．44°C ．26°D ．40°答案 B解析点P (sin(－50°)，cos130°)化简为P (cos220°，sin220°)，因为0°<α<90°，所以5α＝220°，所以α＝44°.故选B.18．1－π＋π－等于( )A ．sin2－cos2B ．sin2＋cos2C ．±(sin2－cos2)D ．cos2－sin2答案 A 解析1－π＋π－＝1－2sin2cos2＝－2＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.19．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1B ．－22C ．22D ．1答案 A解析解法一：由sin α－cos α＝2，得22sin α－22cos α＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴⎝⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，34π，∴α－π4＝π2，α＝34π，∴tan α＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2得1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1，∴(sin α＋cos α)2＝0，即sin α＋cos α＝0，由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0可知sin α＝22，cos α＝－22，∴tan α＝sin αcos α＝－1. 20．化简1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝n α＋cos α2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝α＋cos αα＋cos α＋1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α.21．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则下列结论正确的是( )A ．3≤m ≤9B ．3≤m <5C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8答案 D解析因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以sin θ＝m －3m ＋5≥0 ①，cos θ＝4－2m m ＋5≤0 ②，且⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，整理得m 2－6m ＋9＋16－16m ＋4m 2m ＋2＝1，即5m 2－22m ＋25＝m 2＋10m ＋25，即4m (m －8)＝0，解得m ＝0或m ＝8，又m ＝0不满足①②两式，m ＝8满足①②两式，故m ＝8.22.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2θ－cos 2θ的值为( )A ．1B ．－725C ．725D ．－2425答案 B解析解法一：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)2＝125，又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ>sin θ，∴cos θ－sin θ＝15，又(cos θ－sin θ)2＝1－2cos θsin θ＝125，∴2sin θcos θ＝2425，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4925，∴sin θ＋cos θ＝75，∴sin 2θ－cos 2θ＝(sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)＝－725，故选B.解法二：设直角三角形中较小的直角边长为x ，∵小正方形的面积是125，∴小正方形的边长为15，直角三角形的另一直角边长为x ＋15，又大正方形的面积是1，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋152＝12，解得x ＝35，∴sin θ＝35，cos θ＝45，∴sin 2θ－cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，故选B.23．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( )A ．－79B ．79 C ．－29D ．29答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2×19－1＝－79，选A.24．已知tan α＝2，则π＋α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋π－α的值为________．答案－3解析π＋α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋π－α＝－sin α－cos αsin α－cos α＝－tan α－1tan α－1＝－3.一、高考大题本考点在近三年高考中未独立命题．二、模拟大题1．已知tan αtan α－6＝－1，求下列各式的值．(1)2cos α－3sin α3cos α＋4sin α； (2)1－3sin αcos α＋3cos 2α. 解由tan αtan α－6＝－1，得tan α＝3.(1)2cos α－3sin α3cos α＋4sin α＝2－3tan α3＋4tan α＝－715. (2)1－3sin αcos α＋3cos 2α ＝1－3sin αcos α＋3cos 2αcos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2α－3sin αcos α＋3cos 2αcos 2α＋sin 2α ＝sin 2α－3sin αcos α＋4cos 2αcos 2α＋sin 2α ＝tan 2α－3tan α＋4tan 2α＋1＝25. 2．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两个根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m2， ②sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)将①式两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34. 由②式得m 2＝34，∴m ＝32.(3)由(2)可知原方程变为 2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.3．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．解 (1)f (α)＝sin α－sin α·＋cos α21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)解法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，∴sin α·cos α＝－1225，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.解法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝45，∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75. 4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何 51 word版含答案

考点测试51 圆与方程一、基础小题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.3．已知直线l ：y ＝x 与圆C ：(x －a )2＋y 2＝1，则“a ＝－2”是“直线l 与圆C 相切”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析直线l ：y ＝x 与圆C ：(x －a )2＋y 2＝1相切的充要条件是圆心C 到直线l 的距离等于半径，即|a －0|2＝1，解得a ＝± 2.故由a ＝－2可推得直线l 与圆C 相切；反之，若直线l 与圆C 相切，不能推得a ＝－2，即“a ＝－2”是“直线l 与圆C 相切”的充分而不必要条件．4．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能答案 C解析直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，02＋(－1)2－2×0－2＝－1<0，∴点A 在圆内，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.5．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即0＋a2＋0＋12>2a ，所以原点在圆外．6．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．1 D ．±1答案 B解析设圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为O ，半径r ＝|a |，将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0联立，可得a 2＋ay －6＝0，即公共弦所在的直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点O 到直线a 2＋ay－6＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a ，根据勾股定理可得a 2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6a－a 2，解得a ＝±2.7．一束光线从圆C 的圆心C (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程刚好是圆C 的直径，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝16 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25答案 A解析圆C 1的圆心C 1的坐标为(2,3)，半径为r 1＝1.点C (－1,1)关于x 轴的对称点C ′的坐标为(－1，－1)．因为C ′在反射线上，所以最短路程为|C ′C 1|－r 1，即[2－－1]2＋[3－－1]2－1＝4.故圆C 的半径为r ＝12×4＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，故选A.8．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．答案相交解析由已知得O 1(1,0)，r 1＝1，O 2(0,2)，r 2＝2， ∴|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，且|O 1O 2|＝5>r 2－r 1＝1，故两圆相交．二、高考小题9．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.10．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43答案 B解析圆心在线段BC 的垂直平分线x ＝1上，故设圆心为(1，b )．又圆过A (1,0)，所以圆的半径为b ，故圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝b 2.代入点B 的坐标，得1＋(3－b )2＝b 2，解得b ＝233，故圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 11．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析由mx －y －2m －1＝0，可得m (x －2)＝y ＋1，由m ∈R 知该直线过定点(2，－1)，从而点(1,0)与直线mx －y －2m －1＝0的距离的最大值为2－12＋－1－02＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.12．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案 4解析由题意可知直线l 过定点(－3，3)，该定点在圆x 2＋y 2＝12上，不妨设点A (－3，3)，由于|AB |＝23，r ＝23，所以圆心到直线AB 的距离为d ＝232－32＝3，又由点到直线的距离公式可得d ＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l 的斜率k＝－m ＝33，即直线l 的倾斜角为30°.如图，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，所以|CH |＝23，在Rt △CHD 中，∠HCD ＝30°，所以|CD |＝23cos30°＝4.三、模拟小题13．直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定答案 B解析解法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|a ＋1－a －1＋2a |a ＋12＋a －12＝|2a ＋2|2a 2＋2.再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，故有r 2>d 2，即d <r ，故直线与圆相交．解法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )，整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5<0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．14．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P 、Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P、Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1，故选D.15．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是( )A．2 B．3C．4 D．6答案 C解析圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为 2.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b ＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝a＋12＋b－22＝a＋12＋a－3－22＝2a2－8a＋26＝2a－22＋18.所以当a＝2时，d取最小值18＝32，此时切线长最小，为322－22＝16＝4，所以选C.16．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )A．(－32，32)B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C．(－22，22)D．答案 A解析由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝|－a|12＋12＝|a|2<3，解得a∈(－32，32)，故选A.17．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A．1 B．3C.19D.49答案 A解析由题意知两圆的标准方程为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为(－a,0)和(0,2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a2＋4b2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2＋9b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1，当且仅当4b 2a 2＝a2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.一、高考大题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝ 25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4. ①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤ [t ＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是．2．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)>0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t 1＋t2. 因为x 2＋y 20＝91＋t22＋9t 21＋t22＝91＋t21＋t22＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2<45，又t 2≥0，所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3，0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0. 令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈∪{k GH ，k GI }，k DG ＝253－053－4＝－257，k EG＝－253－053－4＝257，即k ∈⎣⎢⎡ －257，⎦⎥⎤257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 二、模拟大题3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解 (1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a 2＋2a －42＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)证明：设P (a,2a )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －a )＋(y －4)(y －2a )＝0，整理得x 2＋y 2－ax －4y －2ay ＋8a ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－a (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165. 4．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解 (1)将圆C 配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，由|k ＋2|1＋k2＝2，得k ＝2±6，∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0(a ≠0)，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ， ∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.5．如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N 与圆M 相切，且与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D .(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦长．解 (1)由于圆M 与∠BOA 的两边相切，故M 到OA ，OB 的距离相等，则点M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且直线ON 为∠BOA 的平分线，因为M (3，1)，所以M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，所以圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接AM ，CN ，则Rt △OAM ∽Rt △OCN ，得OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r ，解得r ＝3，OC ＝33，所以圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A 的MN 的平行线被圆N 截得的弦长，此弦所在直线的方程为y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝ |33－33－3|1＋3＝32，故弦长为2r 2－d 2＝33. 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线14x ＋8y －31＝0对称．(1)求圆C 2的方程；(2)设P 为平面上的点，满足下列条件：过点P 存在无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2(l 1，l 2的斜率存在且不为0)，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解 (1)设圆C 2的圆心为(m ，n )，因为直线14x ＋8y －31＝0的斜率为k ＝－74，所以由对称性知 ⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n 2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝5，所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4. (2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )(k ≠0)，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132. 所以这样的点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验，点P 1和P 2都满足条件．。

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