抛物线经典性质总结91182 (2)
抛物线性质总结
抛物线性质总结
抛物线是一种基本的二次曲线，具有许多独特和有趣的性质，广泛应用于数学、物理和工程学中。在这篇文章中，我将总结抛物线的性质，并探讨其在不同领域的应用。
首先，抛物线有一个明显的对称性质，称为轴对称性。这意味着抛物线关于它的顶点对称。顶点是抛物线的最高点或最低点，具体取决于开口方向。对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=c-b^2/4a。因此，通过
确定顶点，我们可以轻松找到抛物线的对称轴，并进行描绘和计算。
其次，抛物线的开口方向也是一个重要的性质。当a>0时，抛物线开口向上，最低点是顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点是顶点。这种开口方向的不同导致了抛物线在几何图形、力学和光学等领域的多样应用。例如，在建筑设计中，我们使用抛物线拱门来支撑大型建筑物的重量，因为抛物线拱门能够将力很好地分散到支撑结构上。而在摄影和光学领域，抛物线镜头被广泛应用于望远镜、天文学观测仪器等设备中，因为它能提供更好的焦点和图像质量。
另一个重要的性质是抛物线的焦点性质。抛物线上的每个点到焦点的距离与到抛物线直线轴的距离相等。焦点是与抛物线曲线最紧密相关的点，并且在物理学、信号处理和通信系统中具有广泛的应用。抛物线的焦点性质使得我们能够将信号或能量汇集在一个焦点上，从而实现聚焦效果。抛物面天线、卫星接收器等设备都利用了这一性质。
另外，抛物线还具有切线性质。对于任意一点P(x, y)上的抛物线，它的切线与抛物线在该点处的曲线相切。这一性质使得我们可以了解抛物线在不同点的变化趋势，并且在微积分和优化问题中有广泛应用。例如，在物理学中，我们可以利用抛物线切线的斜率计算物体在该点的速度和加速度，从而更好地理解运动的变化。
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条
1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.
4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，
∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分
∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.
10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：
方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：
易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。(y1+y2)/2)，证毕。
抛物线经典性质汇总30条
抛物线经典性质汇总30条
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抛物线焦点弦性质总结30条
基础回顾
1. 以AB 为直径的圆与准线 L 相切;
2
2. xb 2 =巳;
4
3. yg —p 2；
4. . AC'B = 90：；
5. A'FB'=90：;
6.
阳二—心化+新皐
1 1 2
7^ ^^+——=—;
AF | |BF | P ' 8. A 、O B ‘三点共线; 9. B 、O A ‘三点共线;
P 2
10.
SL AOB =
2sin a '
A
a F
B'
A(X1,Y1)
(X2,Y2)
C(X3,Y3)
11. SL 2 AOB AB /P 、3
=(2)
（定值）
12.
AF
P 1 -cos ：
BF
P 1 cos :
16.
AB 岸2P ;
1 1
17. CC' =一 AB =—( AA' + BB');
2 2
“ P
18. K AB =-；
y 3
19. tan .二二 y
2 p ；
X 2-号
2
20.
A'B' =4AF BF ;
21. C'F =丄 A'B' •
2
22. 切线方程 y 0y 二m x 0 x 性质深究 一)焦点弦与切线
1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之
处？
结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦AB 丄x 轴时，则点P 的坐标为 -卫,0在准线上.
< 2丿 证明：从略
结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3弦AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点
抛物线性质和知识点总结
抛物线性质和知识点总结
1. 抛物线的定义和基本形式
抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c（a≠0）的曲线。其基本形式是
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，称为抛物线的系数。a决定抛物线的开口方向，当a>0时抛物线开口朝上，当a<0时抛物线开口朝下；b决定抛物线的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
2. 抛物线的顶点和对称轴
抛物线的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或者最高点（开口向下），对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。抛物线的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的焦点和直线方程
抛物线的焦点是到抛物线上所有点的距离到抛物线的对称轴的距离相等的点，焦点的坐标为(-b/2a, 1-1/4a)。抛物线的直线方程是y=mx+n，其中m和n是常数，直线与抛物线有两个交点。当直线与抛物线相切时，两个交点重合。当直线与抛物线没有交点时，这个抛物线不与这条直线相交。
4. 抛物线的焦距和离心率
抛物线的焦距是抛物线的顶点到焦点的距离，焦距的大小是2|a|；抛物线的离心率是焦距与顶点到焦点的距离的比值，离心率的大小是1。
5. 抛物线的性质
抛物线的性质是抛物线的特征，对于抛物线y=ax^2+bx+c，它的性质包括：
a）抛物线的开口方向是由a的符号决定的，a>0时开口向上，a<0时开口向下；
b）抛物线的顶点在对称轴上；
c）焦点在对称轴上的顶点的上方，离心率等于1；
d）与y轴的交点是常数项c；
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质知识点大全
1.抛物线的定义：
抛物线是平面上各点到定点（焦点）的距离与各点到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2.抛物线的一般方程：
抛物线的一般方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
3.抛物线的焦点和准线：
-抛物线的焦点是定点F，在焦点F上可以发射经由抛物线反射的平行光线，称为焦光束。
-抛物线的准线是直线L，通过焦点F，且与抛物线没有交点。
4.抛物线的焦距：
-抛物线的焦距是焦点F到准线的垂直距离，记为2p。
5.抛物线的顶点：
-抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标记为(h,k)。
-抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式h=-b/2a和k=c-b^2/4a计算得到。
6.抛物线的对称轴：
-抛物线的对称轴是抛物线的对称线，过顶点，并且与抛物线垂直。
7.抛物线的开口方向：
-当a>0时，抛物线开口向上。
-当a<0时，抛物线开口向下。
8.抛物线的图像特点：
-抛物线关于对称轴对称。
-抛物线与准线相交于顶点。
-抛物线在焦点处达到最大值或最小值。
-抛物线两侧的点到焦点的距离相等。
9.抛物线的焦点坐标计算：
-焦点坐标可以通过焦距公式p=1/4a和焦点公式F(h,k+p)计算得到。
10.抛物线的拟合直线：
-抛物线的切线方程和抛物线在焦点处的切线方向一致。
11.抛物线的截距：
-抛物线与x轴的交点称为x轴截距，可以通过方程y=0解得。
-抛物线与y轴的交点称为y轴截距，可以直接读出抛物线方程中的
常数项。
12.抛物线的平移：
-抛物线的平移是通过改变顶点的坐标来实现的，顶点的新坐标为
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1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其定义式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
2.抛物线的图像：抛物线的图像呈现出对称性，它的开口方向由抛物
线的系数a的正负决定。当a大于0时，抛物线向上开口；当a小于0时，抛物线向下开口。
3.抛物线的顶点：抛物线的顶点为曲线上的最低点（向上开口）或最
高点（向下开口）。顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))，其中f(x)为抛物线的函数。
4. 抛物线的焦点：抛物线的焦点是曲线上与直线y = mx + n相交的
点的轨迹，其中m、n为常数。焦点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
5.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点和焦点的垂直平分线。对称轴的方程为x=-b/(2a)。
6. 抛物线的判别式：抛物线的判别式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ
的值决定了抛物线的性质。若Δ大于0，则抛物线与x轴有两个交点，
即开口向上或向下的抛物线。若Δ等于0，则抛物线与x轴有一个交点，即开口向上或向下的抛物线。若Δ小于0，则抛物线与x轴没有交点，
即开口向上或向下的抛物线。
7.抛物线的焦距：焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到对称轴
的距离，即焦距等于对称轴到顶点的距离。
8.抛物线的切线：抛物线上任意一点处的切线与该点的切线斜率相等，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x)为抛物线函数的导数。
9.抛物线的性质：抛物线是一条连续曲线，它具有对称性、单调性
抛物线和性质知识点大全
抛物线和性质知识点大全
1.抛物线的定义：
抛物线是一个平面曲线，其距离一个定点（焦点）和一个定直线（准线）的距离都相等。
2.标准方程：
抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且
a ≠ 0。
3.抛物线的焦点：
抛物线的焦点是一个点，其到抛物线上的任意一点的距离与该点到抛
物线的准线的距离相等。
4.抛物线的准线：
抛物线的准线是一个直线，与抛物线的对称轴平行，并且距离对称轴
固定的距离。
5.抛物线的对称轴：
抛物线的对称轴是垂直于准线，通过焦点和抛物线的顶点的一条直线。
6.抛物线的顶点：
抛物线的顶点是曲线的最高或最低点，即y轴距离最大或最小的点。7.抛物线的焦距：
抛物线的焦距是焦点到顶点的距离。焦距等于准线与对称轴的距离的
两倍。
8.抛物线的直径：
抛物线的直径是通过焦点和曲线上两个对称的点的线段。直径等于焦
距的两倍。
9.抛物线的离心率：
抛物线的离心率是焦距与准线与顶点的距离的比值。离心率等于1
10.抛物线的焦点方程：
如果抛物线的焦点为(F,p)，则焦点到顶点的距离为p，焦点的横坐
标为F，抛物线方程为(x-F)^2=4p(y-c)，其中c为抛物线的顶点纵坐标。
11.抛物线的顶点方程：
如果抛物线的顶点为(h,k)，则抛物线方程为(y-k)=a(x-h)^2
12.抛物线的对称性：
抛物线具有对称性，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
13.抛物线的焦点和准线的关系：
抛物线上任意一点的到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。14.抛物线的切线：
抛物线上任意一点处的切线与该点到焦点的连线重合。
抛物线性质总结
抛物线性质总结
一、抛物线的定义和基本性质
抛物线，是数学中一种经典的曲线。它具有许多令人着迷的性质，
在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。本文将总结抛物线的一些
基本性质。
抛物线可由以下二次方程表示：y = ax² + bx + c。其中a、b、c为实数，且a不等于0。根据该方程，我们可以得出以下基本性质。
1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的。也就是说，对于任意点(x, y)
在抛物线上，横坐标为-x的点(-x, y)同样也在抛物线上。
2. 顶点和焦点：抛物线的图像上存在一个顶点，其横坐标为-x₁ = -
b / (2a)，纵坐标为y₁ =
c - b² / (4a)。顶点是抛物线的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。
此外，抛物线还有一个重要的性质，就是焦点。焦点是一个点，
它到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线称为“准线”的距
离相等。焦点的横坐标为-x₂ = -b / (2a)，纵坐标为y₂ = c - (b² - 1) /
(4a)。
3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。对称轴
的方程为x = -b / (2a)。对于对称轴上任意一点(x, y)，其与顶点的距离
等于该点到抛物线的任意一点的距离。
二、抛物线的拓展性质
除了上述基本性质外，抛物线还有一些拓展性质，值得进一步探讨。
1. 切线与法线：沿着抛物线上的任意一点(x₀, y₀)绘制一条直线，
使其与抛物线相切。这条直线称为该点的切线。切线的斜率等于抛物
线在该点的导数。
类似地，通过抛物线上一点(x₀, y₀)作一个垂直于切线的直线，
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结
抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。
1. 对称性：抛物线具有轴对称性。如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。
2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。
3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。
4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-
x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。
5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。零点可以通过解二次方程来求得。如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。
6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。如果a大于零，抛物
线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。
7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的
(完整版)抛物线知识点归纳总结
引言：
抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有许多重要的性质和应用。本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，包括抛物线的定义、性质、方程、焦点、准线等。通过深入理解抛物线的相关概念和性质，读者将能够更好地应用抛物线解决实际问题。
概述：
抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两侧对称且开口向上或向下的特点。具体而言，抛物线由一条称为准线的直线和一个称为焦点的特殊点确定。
正文内容：
1.抛物线的定义：
抛物线是所有到一个定点（焦点）与到一条直线（准线）的距离相等的点的集合。
抛物线也可以通过平面上点的坐标表示，而其坐标满足经典的二次方程形式。
抛物线具有一条对称轴，该对称轴是准线与焦点所在直线的垂直平分线。
2.抛物线的性质：
对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即对称轴上任意一点关于对称轴上的另一点的坐标对称。
单调性：抛物线开口朝上时，在对称轴上坐标递增；开口朝下时，在对称轴上坐标递减。
切线性质：抛物线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直，这是抛物线独有的性质。
定理一：抛物线上两个焦点到准线的距离之和等于焦距的两倍。
定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
3.抛物线的方程：
标准形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实常数，且a≠0。
顶点形式：y=a(xh)^2+k，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。
焦点形式：4a(yk)=(xh)^2，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。
4.抛物线的焦点和准线：
焦点：抛物线的焦点是准线上一个固定的点，与抛物线的形状和方程相关。
抛物线经典性质总结
124x =;
2
12y p =-;
'90AC B ∠=''90A FB =;
6. 123222()2sin p p
AB x x p x α
=++=+=
; 7.
112
AF BF P
+=; 8. A 、O 、'
B 三点共线； 9. B 、O 、'
A 三点共线；
10. 2
2sin AOB P S α
=；
11. 23()2
AOB S P
AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=
-；1cos P
BF α
=+；
13. 'BC 垂直平分'
B F ； 14. '
AC 垂直平分'
A F ； 15. 'C F A
B ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11
'('')22
CC AB AA BB ==+； 18. AB 3
P K =
y ； 19. 2p 22
y
tan =x -α;
20. 2
A'B'4AF BF =⋅; 21. 1
C'F A'B'2
=
. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00
性质深究
一)焦点弦与切线
1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有
何特殊之处？
结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
0,2p 在准线上． 证明: 从略
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
最全抛物线曲线性质总结
最全抛物线曲线性质总结
抛物线是一种常见的二次曲线，具有很多特性和性质。本文将
总结抛物线的最全性质。
1. 定义
抛物线是平面上所有到定点的距离与到定直线的距离相等的点
所组成的曲线。
2. 方程
抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 性质
以下是抛物线的一些重要性质：
对称性
- 抛物线关于纵轴对称；
- 如果a为正数，则抛物线开口朝上；如果a为负数，则抛物线开口朝下。
零点
- 抛物线与x轴交点称为抛物线的零点；
- 若抛物线有1个零点，则其为切线，即抛物线与x轴相切；
- 若抛物线有2个零点，则其开口朝上；
- 若抛物线无零点，则其不与x轴相交。
顶点
- 抛物线的顶点即为最高点或最低点；
- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为抛物线在顶点横坐标处对应的纵坐标。
平行于坐标轴
- 若b等于0，则抛物线与y轴平行；
- 若a等于0，则抛物线与x轴平行。
开口方向
- 由抛物线的系数a来决定；
- 若a大于0，则抛物线开口朝上；
- 若a小于0，则抛物线开口朝下。
最值
- 若a大于0，则抛物线的最小值为顶点的纵坐标；
- 若a小于0，则抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
弧长
- 抛物线弧长可由积分求解，公式为：L = ∫(1 + (dy/dx)^2)^(1/2) dx，其中dy/dx为抛物线方程的导数。
以上是抛物线的一些常见性质和特点。对于理解和应用抛物线非常有帮助。希望本文对您有所启发和帮助。
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质知识点大全
1. 抛物线的定义：抛物线是平面上满足平方差的关系的点的集合，
可以用一般式方程表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且
a不为0。
2.抛物线的基本形状：抛物线呈现出一个宽口向上或向下的U形。当
a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
3.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴垂直于抛物线的开口方向，可以
通过平移和旋转将抛物线移动到一个新的位置，使得抛物线重合于自身。
4.抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点（当抛物线开口向
下时）或最低点（当抛物线开口向上时）。顶点的横坐标可以通过将一般
式方程的x项系数取反并将结果除以2a得到，纵坐标可以通过将横坐标
代入一般式方程得到。
5.抛物线的焦点：抛物线上所有点到定点（焦点）的距离相等。焦点
的坐标可以通过将一般式方程转化为顶点形式方程（y=a(x-h)^2+k）得到，其中焦点的横坐标为(h，k+a)。
6.抛物线的直径：通过顶点并垂直于对称轴的直线，可以将抛物线分
成两个等长度的部分，这条直线称为抛物线的直径。
7.抛物线的切线：与抛物线相切的直线称为抛物线的切线。抛物线的
切线与抛物线在切点处的斜率相等。
8.抛物线的弦：从抛物线上任意两点绘制的线段称为抛物线的弦。
9.抛物线的渐近线：抛物线没有直线渐近线。
10.抛物线的拐点：抛物线的凹凸方向发生改变的点称为拐点。拐点的横坐标可以通过将一般式方程的一阶导数等于0的解代入一般式方程得到。
11.抛物线的面积：抛物线的面积可以通过用定积分计算抛物线与x 轴之间的曲边梯形的面积得到。
抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例． 一、焦半径、焦点弦性质
如图，AB 是过抛物线 y 2
＝2px （p ＞0）焦点F 的弦，AD 、BC 是准线的垂线，垂足分别为D 、C ，M 是CD 的中点，N 是AB 的中点．设点A (x 1，y 1)、点B (x 2，y 2)，直线AB 交y 轴于点K (0，y 3)，则： ⑴ ① y 1y 2＝－p 2
；② x 1x 2＝p 2
4；③ 1y 1＋1y 2＝1y 3
；
④ | AB |＝x 1＋x 2＋p ＝
2p
sin 2θ
（θ为AB 的倾斜角）
；
⑤ S △OAB ＝p
2
2sin θ，S 梯形ABCD ＝2p
2
sin 3θ..
⑵ 1| AF |＋1| BF |＝2
p ； ⑶ ∠AMB ＝∠DFC ＝Rt ∠；
⑷ AM 、BM 是抛物线的切线；
⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线； ⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y 轴三线共点； ⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线； ⑻ 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，
抛物线性质总结
抛物线性质总结
抛物线是广泛应用在数学中的一条函数曲线，其涉及到诸多的基本性质，常用的有抛物线的根性，关系式，定积分，交点，端点，极值等等。
抛物线的根性：抛物线的轴对称，一般方程通常有两个不同的根，或是称之为把抛物线绳子或扳手弯曲两次；
抛物线的关系式：当方程是幂函数抛物线式时，可以表示成y=ax²+bx+c，a>0，其中a是抛物线下凹，b和c是顶点x和y的坐标，b和c也是抛物线的转折点；
抛物线的定积分：抛物线的定积分可以表示成f(x)=ɑx+1/2∫g(u) du,其中g(u)为定义域内的函数。抛物线的定积分就是做抛物线上每两个任意点间的积分；
抛物线的交点：抛物线与其他函数交点，只要求解其他函数与抛物线方程的解、公共解得到；
抛物线的端点：抛物线的端点可以通过关系式求出，为左端点x=-b/2a,y=f(-b/2a)，右端点x=b/2a,y=f(b/2a)。
抛物线的极值：抛物线的极值可以通过求解关系式x=-b/2a，得出结论，抛物线的极值为y=f(-b/2a)。
以上就是抛物线的总体性质，由此可见抛物线在数学和几何中起着重要作用，由此也可以解决许多学术问题，正如此抛物线总结中所述，受到学术界的广泛认可。
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结
抛物线是数学中的一种曲线形状，其方程一般为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。抛物线在几何学、物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。下面将总结抛物线的一些常用性质。
1.抛物线的形状：抛物线是一种开口向上或向下的曲线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.对称性：抛物线与y轴对称，其顶点坐标为（-b/2a,c-b^2/4a)。抛物线也可以与x轴对称，其对称轴与x轴垂直，并通过顶点。
3.焦点和准线：抛物线的焦点F的坐标为（-b/2a,c-b^2/4a+1/4a)，准线的方程为y=(c-b^2/4a)-1/4a。
4.抛物线的平移：抛物线的平移是通过调整方程中的常数b和c来实现的。平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状，但位置有所变化。
5. 零点：抛物线的零点即为方程的解，可以通过求解ax^2+bx+c=0来得到。根据一元二次方程的解的性质，当b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b^2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。
6.最值：抛物线的最值即为顶点的纵坐标。当a>0时，抛物线的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，抛物线的最大值为c-b^2/4a。
7.切线和法线：在抛物线上的任意一点，其切线的斜率为抛物线在该点的导数值。切线与抛物线的切点的坐标可以通过求解方程组来得到。在抛物线上的任意一点，其法线与切线垂直。
8.弧长：抛物线的弧长表示为y=x^2的积分。计算抛物线上两点间的