高中数学人教版必修函数模型的应用实例教案(系列三)

3.2函数模型及其应用

3.2.2函数模型的应用实例

●三维目标

1．知识与技能

(1)能利用给定函数模型解决实际问题；

(2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合；

(3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力．

2．过程与方法

(1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型；

(2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．3．情感、态度与价值观

应用数学知识解决实际问题．培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务．

●重点难点

重点：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．

重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法：

(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；

(2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；

(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.

课前自主导学

二次函数模型

f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 分段函数模型 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x )，x ∈D n

知识2

应用函数模型解决问题的基本

过程

课堂互动探究

类型1 一次(二次)函数建模问题

某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于

购买饮料的平均支出是a 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用8元，其中，纯净水的销售价x (元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图3－2－7所示关系．

图3－2－7

(1)求y 关于x 的函数关系式；

(2)当a ＝120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；

(3)当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？

思路探究 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函数模型→利用函数最值求解．

自主解答 (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，

∵x ＝8时，y ＝400；x ＝10时，y ＝320.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝8k ＋b ，320＝10k ＋b ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧

k ＝－40，b ＝720，

∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－40x ＋720(x >0)．

(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120＝6 120(元)．

当y ＝380时，380＝－40x ＋720，得x ＝8.5，

该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5＋8＝3 458(元)，

所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．

(3)设该班每年购买纯净水的费用为P 元，则

P ＝xy ＝x (－40x ＋720)＝－40(x －9)2＋3 240，

∴当x ＝9时，P max ＝3 240.

要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，

则51a ≥P max ＋8，解得a ≥68，故a 至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少．

1．用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点

(1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．

(2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)，当a >0时为增函数，当a <0时为减函数．另外，要结合题

目理解(0，b )或⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b a ，0这些特殊点的意义．

2．利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．

据市场分析，烟台某海鲜加工当月产量在10吨至25吨时，月总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图象的顶点．

(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系式；

(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？

解 (1)y ＝a (x －15)2＋17.5，将x ＝10，y ＝20代入上式，

得20＝25a ＋17.5.解得a ＝110.所以y ＝110(x －15)2＋

17.5(10≤x ≤25)．

(2)设利润为Q (x )，

则Q (x )＝1.6x －y ＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)．