2016年高考数学中等生百日捷进提升系列专题13 算法初步、推理与证明、复数(含解析)

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【福建省】2016届高考数学(理科)-数列、不等式、算法初步及推理与证明-专题练习-答案

11．证明：（Ⅰ）当1n =时，211=左边=，01(11)(1)12⨯+-⨯=右边=，左边=右边，等式成立．（Ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，等式成立即22221212(1)1234...(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k --+-+-++-=-+-+．则当1n k =+时，222212212(1)1234...(1)(1)(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k k k --+-+-++-+-+=-+-+ 2(1)[(1)1]()(1)[(1)](1)22kk k k k k k +++=-++-=- ∴当1n k =+时，等式也成立根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对于任何*n ∈N 等式均成立．12．解：（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，又1221a ==⨯，∴2n a n =由21log 02n n b a +=得1()2n n b =（Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==01221111111()2()3()...(1)()()22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯（1）121111111()2()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯（2）(1)(2)-得12111()11111121()()...()()()122222212nn n n n T n n --=++++-⨯=-⨯- ∴114()(2)2n n T n -=-+．13．解：（Ⅰ）当12a =时，有不等式23()102f x x x =-+≤，∴1()(2)02x x --≤，∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤；（Ⅱ）∵1(1)(1)a a a a a+--=且0a >∴当01a <<时，有1a a >；当1a >时，有1a a <；当1=a 时，1a a=；（Ⅲ）∵不等式1()()()0f x x x a a=--≤当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤；当1>a 时，有1a a <，∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤；当1a =时，不等式的解集为{1}x ∈．福建省2016届高考数学（理科）-专题练习数列、不等式、算法初步及推理与证明解析一、选择题．1．【解析】由等差数列的性质可得4681012240a a a a a ++++=，解得848a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，()911888112332333a a a d a d a -=+-+==，故选C ．2．【解析】因为21102,4,n n a a a n +=-=所以214a a -=，解得198a =，由累加方法求得数列22298n a n n =-+，所以222989822226n a n n n n n n -+==+-≥=，而982n n =解得249n =，当n=7时，na n 由最小值263．【解析】∵4a 与14a 的等比中项为，∴8=，∴711288a a a +≥=，∴7112a a +的最小值为8．4．【解析】依题约束条件表示的平面区域如下图目标函数22x y +表示可行域内任一点(),A x y 到原点O 距离的平方，由图可知当OA 垂直于直线l ：30x y +-=时，目标函数有最小值，又点O 与直线l=，所以目标函数的最小值为92，故选（B ）OxyA11 -133 l5．【解析】由题可知，第一步，359,11≠==S k S ，，进入循环，第二步，358,20≠==S k S ，，进入循环，第三步，357,28≠==S k S ，，进入循环，第四步，356,35===S k S ，，循环结束，综上分析可得，判断框中应填入6>k ； 6．因为)2(log 1+=+n a n n ，所以()()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5....log 2lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++，又因为123..k a a a a 为整数，所以k+2必须是2的n 次幂，即22nk =-，又[]1,2011k ∈，所以1222011n≤-≤，所以解得210n ≤≤，则在区间[]2011,1内所有的“期盼数”的和为：()()()()21123410222222222229202612--+-+-+-=-⨯=- ，故选择D 二、填空题．7．【解析】由已知，111411,4(),2(1)(2)12n n n n a a a n n n n ++===-++++所以，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111124[()()...()]4()233412222nn n n n -+-++-=-=++++． 8．【解析】因为(0,1)a b ∈、且,a b ≠根据基本不等式ab b a 222≥+，又ab ab >，有ab b a 222>+，又因为22,b b a a >>，所以22b a b a +>+，所以a b +最大．9．【解析】由于m m y x x y 2822+>+恒成立，需m m y x x y 2822m i n+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由基本不等式得882282≥⋅≥+yxx y y x x y ，因此m m 282+>，∴24<<-m ．10. 【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列，，和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列，，，和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列，，，，……依此类推；由于9(19)129452⨯++++==，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对(5,6)；故答案为：．三、解答题．(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1))6,5(11．【解析】由归纳推理不难写出第个等式．用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证时等式成立，第二步假设时，等式成立，证明当时等仍然成立即可．第个等式为：＝()n n *∈N 1n =(*)n k k =∈N 1n k =+n 2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+。

【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题12(算法初步、复数、推理与证明)

阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·武汉市武昌区调研)已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A ．12－12iB ．72－12iC ．12＋12iD ．72＋12i[答案] C [解析]2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.2．(文) (2014·济南模拟)复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋i 2，所以复数z 对应的点为(12，12)，在第一象限．(理) (2014·郑州六校质量检测)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z1＋i ＝2－i 成立，则点P (a ，b )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] A[解析] 因为z1＋i ＝2－i ，所以z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，所以点P (a ，b )在第一象限．3．(文)(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]本题考查了程序框图的相关概念．S1：n＝1,21>12→是，S2：n＝2,22>22→否，输出n＝2.关键是理解赋值语句n＋1及条件2n>n2.(理)(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A．18 B．20C．21 D．40[答案] B[解析]本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3，当n＝2时，S＝3＋22＋2＝9，当n＝3时，S＝9＋23＋3＝20>15，故输出S＝20.4．若下边的程序框图输出的S是126，则条件①可为()A ．n ≤15B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤8[答案] B[解析] 由程序框图可知这是计算S ＝0＋2＋22＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2的程序，当S ＝2n ＋1－2＝126时，即2n ＋1＝128，解得n ＝6，此时n ＝n ＋1＝7，不满足条件，所以选B ．5．(文)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7[答案] C[解析] 因加密规则可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4c ＝1d ＝7.故明文为6,4,1,7.(理)设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)，且a ＋b ＋c ＝1(a ，b ，c 均为正数)，由综合法得M 的取值范围是( )A ．[0，18]B ．[18，1)C ．[1,8]D ．[8，＋∞)[答案] D[解析] 由a ＋b ＋c ＝1，M ＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋bc )≥8(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．)6．(2015·济南模拟)下面有四个命题： ①集合N 中最小的数是1； ②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④x 2＋1＝2x 的解集可表示为{1,1}．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] ①假命题，集合N 中最小的数是0；②假命题，如a ＝12时，命题不成立；③假命题，如a ＝0，b ＝1，则a ＋b ＝1；④假命题，{1,1}与集合中元素的互异性矛盾，其解集应为{1}．7．(文) 设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋i 2的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [答案] A[解析] 因为z ＝1－i(i 是虚数单位)，所以复数2z ＋i 2＝21－i ＋i 2＝1＋i －1＝i ，所以复数2z＋i 2的虚部是1.(理)设复数z ＝1＋b i(b ∈R )且|z |＝2，则复数z 的虚部为( ) A ． 3 B ．±3 C ．±1 D ．±3i [答案] B[解析] z ＝1＋b i ，且|z |＝2，即1＋b 2＝4，解得b ＝±3.8．(文)已知M 是e x ＋e －x 的最小值，N ＝2tan22.5°1－tan 222.5° ，则下图所示程序框图输出的S 为( )A ．2B ．1C ．12D ．0[答案] A[解析] ∵e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，∴M ＝2，N ＝2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1，所以M >N ，又框图的功能是求M ，N 中的较大值，故输出的值为2.(理) 已知函数y ＝1x 与x ＝1，x 轴和x ＝e 所围成的图形的面积为M ，N ＝tan22.5°1－tan 222.5°，则程序框图输出的S 为( )A ．1B ．2C ．12D ．0[答案] C[解析] 因为2N ＝2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1，所以N ＝12，M ＝⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1，所以M >N ，又框图的功能是求M ，N 中的较小值，故输出的值为12.9．(2014·新课标Ⅱ)执行下图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] D[解析] 本题考查程序框图的基础知识． x ＝2，t ＝2，变量变化情况如下：故选D ．10．(文)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 因为a x ＝b y ＝2，所以x ＝log a 2，y ＝log b 2，所以2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2(a 2b )≤log 2(a 2＋b 2)2＝2，当且仅当a 2＝b ＝2时取等号．(理) 定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确定[答案] B[解析] 因为函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝32.又因为(x－32)f ′(x )<0，所以x <32时，f ′(x )>0，x >32时，f ′(x )<0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，32]上单调递增；在[32，＋∞)上单调递减．又因为x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，所以3－x 2<x 1<x 2，且x 2∈(32，＋∞)，观察图像，得f (x 1)>f (x 2)．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)(2014·北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. [答案] 2[解析] 本题考查了复数乘法、复数相等的知识． (x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，x ＝2.(理)(2014·北京高考)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1[解析] 本题考查了复数的运算．复数1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，故(1＋i 1－i)2＝i 2＝－1. 12．在复平面上，复数3(2－i )2对应的点到原点的距离为________．[答案] 35[解析] 复平面上复数z 对应的点到原点的距离就是它的模，而|3(2－i )2|＝3|2－i|2＝35，本题不需要把复数化简为a ＋b i(a ，b ∈R )形式．13．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中横线上应填入的数字是________． [答案] 10[解析] 由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝11×12，故循环两次，故判断框中应填k ≤10.14．观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n .15．(2015·温州适应性测试)已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是____________________________________； (2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7·cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝10231024，则n ＝________.[答案] (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10[解析] (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝10231024，∴n ＝10.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ； (1)与复2－12i 相等？(2)与复数12＋16i 互为共轭复数？ (3)对应的点在x 轴上方？[解析] (1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解得m ＝1.(3)根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5. 17．(本小题满分12分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件．经市场调查得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S (件)与电视广告每天的播放量n (次)的关系可用如图所示的程序框图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S (件)关于电视广告每天的播放量n (次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？[解析] (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i ≤n ，i ∈N )．由题意，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，S i －1＋b 2i ，1≤i ≤n ，i ∈N *. 于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n )＝b (2－12n )(n ∈N )．所以，该产品每天销售量S (件)与电视广告播放量n (次/天)的函数关系式为S ＝b (2－12n )，n∈N .(2)由题意，有b (2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒4(n ∈N *)．所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天广告的播放量至少需4次．18．(本小题满分12分)求证关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.[分析] 需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a ＝0，a <0和0<a ≤1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.[证明] 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程有一个负根，符合题意．当a <0时，Δ＝4－4a >0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实根，且1a <0，方程有一正一负根，符合题意．当0<a ≤1时，Δ＝4－4a ≥0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，且⎩⎨⎧－2a<01a >0，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a ≤1时，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根．当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0符合题意．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0应有一正一负或两个负根．则1a<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0－2a <01a >0.解得a <0或0<a ≤1.综上知：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一负根则a ≤1.故关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.19．(本小题满分12分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时． (1)z 是纯虚数． (2)z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0. 解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2，又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0，所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －2>0m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.所以当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，z 对应的点位于复平面的第二象限．20．(本小题满分13分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．[解析] A 、B 、C 成等差数列．证明如下：∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3. ∴c a ＋b ＋a b ＋c＝1， ∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，∴b 2＝a 2＋c 2－aC ．在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∴ A ＋C ＝2B ＝120°.∴A 、B 、C 成等差数列．21．(本小题满分14分)已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝a n 2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列； (3)(理)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．[解析] (1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2，∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )． ∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)证明：由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，由(1)知b n ＝3·2n －1，又c n ＝a n 2n . ∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1＝b n 2n ＋1. 将b n ＝3·2n －1代入得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)．由此可知，数列{c n }是公差d ＝34的等差数列． (3)由(2)得：c 1＝a 12＝12，故c n ＝34n －14. ∵c n ＝34n －14＝14(3n －1)， ∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1,2，…)．当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2. 由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式，所以{a n }的前n 项和公式为S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

2016理科数学高考真题分类第十三单元推理与证明

第十三单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理M2 直接证明与间接证明23．D5，M2[2016·上海卷] 若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P .(1)若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，求a 3；(2)若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1＝c 5＝1，b 5＝c 1＝81，a n ＝b n ＋c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；(3)设{b n }是无穷数列，已知a n ＋1＝b n ＋sin a n (n ∈N *)，求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．23．解：(1)因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2，于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2.又因为a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16.(2){b n }的公差为20，{c n }的公比为13，所以b n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，c n ＝81·(13)n －1＝35－n ， a n ＝b n ＋c n ＝20n －19＋35－n . a 1＝a 5＝82，但a 2＝48，a 6＝3043，a 2≠a 6，所以{a n }不具有性质P .(3)证明：充分性：当{b n }为常数列时，a n ＋1＝b 1＋sin a n .对任意给定的a 1，若a p ＝a q ，则b 1＋sin a p ＝b 1＋sin a q ，即a p ＋1＝a q ＋1，充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{b n }不是常数列，则存在k ∈N *，使得b 1＝b 2＝…＝b k ＝b ，而b k ＋1≠b . 下面证明存在满足a n ＋1＝b n ＋sin a n 的{a n }，使得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1，但a k ＋2≠a k ＋1.设f (x )＝x －sin x －b ，取m ∈N *，使得m π>|b |，则f (m π)＝m π－b >0，f (－m π)＝－m π－b <0，故存在c 使得f (c )＝0.取a 1＝c ，因为a n ＋1＝b ＋sin a n (1≤n ≤k )，所以a 2＝b ＋sin c ＝c ＝a 1，依此类推，得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1＝c .但a k ＋2＝b k ＋1＋sin a k ＋1＝b k ＋1＋sin c ≠b ＋sin c ，即a k ＋2≠a k ＋1.所以{a n }不具有性质P ，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．。

2016年高三《数学复习之路》算法初步

算法初步【基础知识全解】一、算法的含义与程序框图1、算法算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且在有限步之内完成。

2、程序框图：①程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．②程序框图通常由程序框和流程线组成．③基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．构成程序框图的图形符号及其作用10起止框用“”表示，是任何流程图不可缺少的，表明算法的开始或结束；20输入、输出框用“”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内；30处理框用“”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内；40当算法要求你对两个不同的结构进行判断时，需要将实现判断的条件写在判断框内，判断框用“”表示．注意：1、易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反；2、易忽视循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入永不终止的“死循环”，是循环结构必不可少的一部分；3、一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加变量：计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加变量用于表示每一步的计算结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

二、基本算法语句1、输入、输出、赋值语句的格式与功能：注意：对于赋值语句需要注意以下几点：①赋值语句的左边只能是变量名字，不能是表达式；赋值语句的右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式。

②赋值语句的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边表达式的值赋给赋值号左边的变量；③不能利用赋值语句进行代数式的演算；④赋值号右边的表达式中的每一个变量必须事先赋给确定的值。

2016年高考数学中等生百日捷进提升系列(综合提升篇)专题05 解析几何解答题(含解析)

专题五解析几何解答题直线与圆锥曲线的位置关系【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得ax2＋bx＋c＝0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。

(1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1－x2|·|y1－y2|.（抛物线错误！未找到引用源。

的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝22sinpθ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【讲一讲提高技能】1、利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。

例1已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.分析：（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程，确定2a ，2b ，利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，由OB OA ⊥，即0=∙OB OA ，用0x 、0y 表示t ，当t x =0或t x ≠0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系. 【解析】故22168|4|4|22|20204020202020200200=+++=++-=xx x x x xy y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |·|x 1－x 2||y 1－y 2|，而|x 1－x 2|立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其中12,F F 为左、右焦点，且离心率3e =，直线l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y .当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l 的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若OP OQ ON += ，当OPQ ∆面积为2||||ON OP ⋅ 的最大值.【答案】（1）22132x y +=；（2）5. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线l 的方程，再结合椭圆的离心率解出a ，b ，c ，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k 与m 的关系，再计算22||||ON OP ⋅ ，利用基本不等式求最值.由前知123kx x m +=-，2121232()22k y y k x x m m m m +=++=-+=， 22221212222941()()2(3)k ON x x y y m m m=+++=+=- .22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++ 11分 2222114(3)(2)25ON PQ m m =-+ ≤，当且仅当221132m m-=+，即m =时等号成立，故5ON PQ≤. 综上可知ON PQ的最大值为5. 13分3、利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。

山东省青州一中高三数学一轮复习第十三章算法初步、推理与证明、复数 13

a2
b2
c2
有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.
b
c
a
a2 b2 c2 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．
b ca
a＝b＝c 时取等号．
a2 b2 c2 即＋＋ ≥a＋b＋c.
b ca
探究提高综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．
思想方法感悟提高
方法与技巧
1．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自
然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
论．) (2)反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有： ①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难的问题．
基础自测 1．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少
有一个不大于 60°” 时，假设应该是 _三__角__形__的__三__个__内__角__都__大__于__6_0_°_____________．
[难点正本疑点清源] 证明数学问题的方法比较多，只是我们比较常用的方法有综
合法、分析法和反证法．在证明问题时，既可独立运用，又可综合应用． (1)对于较复杂问题的解决，往往既使用综合法又使用分析法，
其结合使用的基本格式为：P ⇒P 1⇒P 2…⇒P n⇒Q m ⇐Q m －1⇐…⇐Q 1⇐

2016届高考数学全国名校试题分项汇编(江苏特刊)专题14推理与证明、新定义(第01期)(解析版)

第十四章推理与证明、新定义一．基础题组1. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(6)】若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2 (x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________．【答案】{2}考点：新定义，不等式恒成立，导数与单调性.2. 【】用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是．【答案】62n + 【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n 项为62n + 考点：等差数列3. 【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = .【答案】122n +- 【解析】试题分析：由题意得：12nn n a a +-=，所以1122(12)22222212n n n n n a ----=++++=+=-，所以n S 122n +=-考点：等比数列求和，累加法求通项4. 【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：① ()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为．【答案】3考点：函数性质5. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(5)】一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )．（1）求f (1)，f (2)的值；（2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n (4n －1)3+2n－1．试题解析：(1)易得f(1)=3；当n=2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2, 3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f(2)＝1+(2+5)×2+8＝23．(2)首先考虑f(n+1)与f(n)的关系．集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}在集合{1，2，3，…，3n}中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3．故f(n+1)的组成有以下几部分：①原有的f(n)个集合；②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+,3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素是3n+1与3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+1与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}．所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n +1．两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n ＝4n +12n +1，所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n －13+1－12n ，即f (n )＝2n (4n －1)3+2n－1．考点：新定义，子集，归纳推理.6. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(2)】汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k =8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．【答案】（1）6752210米；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k .（2）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解又21511215t k t t t+==+，115t t +≥Q，当且仅当115,t t t ==Q []1,2t =，∴记1()15f t t t=+， '21()15f t t =-，[1,2]t ∈，'21()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k . 考点：导数的物理意义，方程有解问题.7. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(3) 】若数列{}n C1n c +≤，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”；（2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.(32=532(22n n --+4223222n -≤+141322n n S +-=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列”.（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立;当1q >，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a aq M q q ->-- 因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.考点：充要关系，新定义8．【江苏省南京一中等五校2015届高三联考（四模）数学】已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n n a a +-=，2214n n b b +=，且111,1a b ==-．（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()r r N *∈，使得1r r c c +<，称数列{}n c 为“梦r 数列”；设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ， ① 若数列{}n a 为“梦5数列”，求n S ；② 若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩（2）①22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩②max 6m =试题解析：（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，21212,2,n n b b b b n N *++=-=∈，∴21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩； ………4分（2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5r ，使得1r r a a +<，且12n n a a +-=，∴数列{}n a 必为1,3,5,7,9,7,9,11,⋅⋅⋅，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩； ………8分②∵2214n n b b +=即12n n b b +=±，1||2n n b -∴= ………9分而数列{}n b 为“梦数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数． ………10分首先证明：6m ≤．若7m >，数列{}n a 中()()21max 1321(1)m S m m +=++⋅⋅⋅++=+，而数列{}n b 中，m b 必然为正，否则()()1121212122230m m m m T b ---=-++⋅⋅⋅+-≤-++⋅⋅⋅++-=-<，显然矛盾；（※） ∴()()()13211min 12+22223m m m m m T ----=-++⋅⋅⋅++-+=-，设122(1)3m m c m -=-+-，易得11223,m m m m d c c m -+=-=-- 而11220m m m d d -+-=->，()7m >，∴{}m d ()7m >为增数列，且70d >进而{}m c ()7m >为增数列，而80c >， ∴()()min max m m T S >，即6m ≤． ………14分当6m =时，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--⋅⋅⋅ 此时12r =，24r =所以max 6m =，对应的12r =，24r = ………16分考点：1.等差数列；2等比数列；3.新定义；4.递增数列；9. 【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测数学试题】（本小题满分16分）设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若11,23p q ==-，求3b ; （2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.【答案】（1）37b =；（2）22m m +；（3）121,[,]333p q =∈--. 【解析】试题分析：(1)已知说明1123n a n =-，要求3b ，只要求得不等式11323n -≥的最小整数解即可；（2）同样21n a n =-，为了求m b ，我们要解不等式21n m -≥，即12m n +≥，因此按m的奇偶分类讨论：当21m k =-时，()m b k k N *=∈，当2m k =时，1()m b k k N *=+∈，这样在求数列{}m b 的前2m 项和2m S 时也要分组求和，奇数项一起，偶数项一起分别求和；（3）存在性命题，都是假设存在，然后计算，本题假设存在的意思就是说不等式pn q m +≥的最小整数解为32m +，由于0p >，因此m q n p ->，则3132m qm m p-+<≤+，即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立.于是有310p -=，13p =，代入上式又得2133q -≤<-.故结论为存在.考点：不等式的整数解，分类讨论，分组求和，存在性命题.二．能力题组1. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】（本小题满分10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )．（1）求f (1)，f (2)的值；（2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n (4n －1)3+2n －1．试题解析：(1)易得f (1)=3；当n =2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}， {1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f (2)＝1+(2+5)×2+8＝23． (2)首先考虑f (n +1)与f (n )的关系．集合{1，2，3，…，3n ，3n +1，3n +2，3n +3}在集合{1，2，3，…，3n }中加入3个元素3n +1，3n +2，3n +3．故f (n +1)的组成有以下几部分：①原有的f (n )个集合；②含有元素3n +1的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +,3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n ；③含有元素是3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}．所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n +1．两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n ＝4n +12n +1，所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n －13+1－12n ，即f (n )＝2n (4n －1)3+2n －1．考点：新定义，子集，归纳推理.2. 【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】设集合{1,0,1}M =-,集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，, 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n mS ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时,求证：n m S 111322n m n +++<+-．【答案】⑴228S =,4232S =；⑵见试题解析.试题解析：⑴228S =,4232S =；因为当0k n ≤≤时,1k n C ≥,故10k n C -≥所以1122222n m m m n n n S C C C =+++ 001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++ 11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+．考点：1.集合；2.排列组合；3.推理证明。

2016届高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法初步、

阶段回扣练 13推理与证明、算法初步、复数卷( 建议用时： 35 分钟 )1．(2015 ·苏北四市调研) 若( x＋ i) 2是实数 ( 此中 i 是虚数单位 ) ，则实数x＝________.分析由 ( x＋ i) 2＝x2－ 1＋ 2x i 是实数，得x＝0.答案02．(2015 ·南通调研 ) 设复数z知足 ( z－ 1)i ＝－ 1＋ i ，此中 i 是虚数单位，则复数z的模是________．－1＋ i 1分析因为 z－1＝i＝1－i＝1＋i，所以z＝2＋i，∴|z| ＝ 22＋ 12＝ 5.答案 53．(2015 ·盐城模拟) 以下是一个算法的伪代码，输出的结果是________．分析伪代码表示的算法是S＝2＋4＋8＝14，所以输出S＝14.答案144．(2015 ·扬州中学模拟) 如图，该程序运转后输出的结果为________．分析逐次写出运转结果．该流程图运转 3 次，各次的b和a的值挨次是2,2 ；4,3 ；16,4 ，所以输出的b＝16.5．(2014 ·辽宁卷改编 ) 设复数 z 知足 ( z － 2i)(2 － i) ＝ 5，则 z ＝ ________.5＋＋分析 ∵ ( z － 2i)(2 － i) ＝ 5，∴ z ＝ 2－ i ＋2i ＝－＋＋ 2i ＝5＋ 2i＝ 2＋ i ＋ 2i ＝ 2＋ 3i.答案 2＋ 3i6．(2014 ·天津卷改编 )i是虚数单位，复数 7＋i＝ ________.3＋4i7＋ i＋－ 25－25i ＝ 1－ i.分析 3＋ 4i ＝＋－＝25 答案 1－ i7．(2014 ·江西卷改编 ) 阅读以下贱程图，运转相应的程序，则程序运转后输出的结果为________．分析i ＝ 1，＝ 0，第 1 次运转，＝ 0＋lg1i＝3，＝＝－ lg 3＞－ 1；第 2 次运转，SS3Slg 1＋ lg3＝ lg1＝－ lg 5 ＞－ 1；第 3 次运转， i ＝ 5，S ＝ lg 1＋lg5＝ lg1＝－ lg 735 557 7171＞－ 1；第 4 次运转； i ＝ 7， S ＝ lg 7＋lg 9＝ lg 9＝－ lg 9＞－ 1；第 5 次运转， i ＝ 9，S ＝ lg 1 9 ＝ lg 1 ＜－ 1，停止循环，输出 i ＝ 9.＋ lg ＝－ lg 119 11 11 答案 98．(2015 ·镇江模拟 ) 下边是依据所输入的x 值计算 y 值的一个算法程序，若输入的x 值为－ 1，则输出的 y 值为 ________．1＋ x ，x ＞ 0，分析该程序代表分段函数 y ＝1－ x ，x ≤0，因为 x＝－1，所以 y＝2.答案 29．(2014 ·金陵中学模拟 ) 察看以下各式9－ 1＝8,16 － 4＝12,25 －9＝ 16,36 － 16＝ 20，，这些等式反应了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用对于n 的等式表示为________．分析9－ 1＝ (1 ＋ 2) 2－ 12＝ 4(1 ＋ 1) ， 16－ 4＝ (2 ＋ 2) 2－ 22＝ 4(2 ＋ 1) ，25－9＝(3 ＋2) 2 － 32＝ 4(3 ＋ 1) ， 36－ 16＝ (4 ＋ 2) 2－ 42＝4×(4 ＋ 1) ，，一般地，有( n＋ 2) 2－n2＝ 4( n ＋1)( n∈N*)．答案( n＋2) 2－n2＝ 4( n＋ 1)( n∈N* )10．(2014 ·苏州调研) 若复数 ( a＋ i) 2对应点在y 轴的负半轴上(此中i是虚数单位)，则实数 a 的值是________．分析由题意， ( a＋ i) 2＝a2－ 1＋ 2a i 是纯虚数，且a＜0，所以由 a2－1＝0且 a＜0，得a＝－1.答案－ 1S1 1 11．在平面几何中有以下结论：若正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.S2 4 推行到空间几何能够获得近似结论：若正四周体A－ BCD的内切球体积为V1，外接球体积V1为 V2，则＝________.V2分析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与V 1球的半径的立方成正比，所以 1 ＝ .V2 271答案2712．(2014 ·沈阳质量监测 ) 若 [ x] 表示不超出x 的最大整数，如[2.1] ＝ 2，[ － 2.1] ＝－ 3.履行以下图的流程图，则输出的S值为________．分析运转该程序，第一次循环，＝ 1＋2＝ 1，＝ 2；第二次循环，＝ 1＋4＝ 1，nS 4 n S 56 8＝3；第三次循环，S＝ 1＋6＝2，n＝ 4；第四次循环，S＝ 2＋7＝ 3，n＝ 5，此时循环结束，输出 S＝3.答案 313．(2015 ·泰州检测 ) 用数学概括法证明“对全部n∈N*，都有2n＞n2－2”这一命题，证明过程中应考证 ________．分析假定 n＝ k 时不等式建立，即 2 k＞ k2－2，当 n＝ k＋1时，2 k＋1＝2·2k＞ 2( k2－ 2) ，由 2( k2－2) ≥(k＋1) 2－ 2? k2－2k－3≥0? ( k＋ 1)( k－3) ≥0? k≥3，所以需要考证n＝1,2,3时命题建立．答案n＝1， n＝2， n＝3时命题建立．14． (2014 ·无锡调研 ) 察看以下等式12＝112－22＝－ 312－22＋ 32＝ 612－22＋ 32－ 42＝－ 10照此规律，第n 个等式可为________________________________________．分析察看规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋.2答案12－ 22＋32－ 42＋＋ ( － 1) n＋1n2＝ ( － 1) n＋1n n＋2。

2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(概率、统计、统计案例、推理与证明)

然后再求出事件 A 中的基本事件数，利用公式 P( A) m 求出事件 A 的概率，这是一个形象直观的 n
好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.
如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算 m，
n，再运用公式 P( A) m 求概率. n
3.（2016 北京理）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
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考点：概率统计分析.
【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.
构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
9.（2016 全国Ⅲ文、理）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温
和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表示四月的平均最
低气温约为 50C．下面叙述不正确的是（
二、填空
1.（2016 北京文）.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店

2016届高考数学二轮专题复习专题13 推理与证明课件文

这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”：“若bc，而ab，则ac”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
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考法1 归纳推理
解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行解决．如解决含有递推关系式的归纳推理的问题，一般是先根据题中的递推关系式求出一些特殊对象，然后再根据这些特殊对象与序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出一般性结论．归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
专题13 推理与证明
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专题13 推理与证明
600分基础考点&考法
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600分基础考点&考法
v考点75 合情推理与演绎推理 v考点76 直接证明与间接证明
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考点75 合情推理与演绎推理
v考法1 归纳推理 v考法2 类比推理
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考点75 合情推理与演绎推理
1．合情推理
2．演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把
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考法2 类比推理
1．常见类型类比推理常常与数列、空间立体几何等知识点结合起来进行考查，常见类型有： (1)由等差数列的某些性质类比到等比数列的某些性质；(2)由平面图形的某些性质类比到空间立体图形的某些性质，解决时，要从数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中．此类问题相对难度较大，问题的解决需要在对给出的已知性质、定理有所理解的基础上，再进行类比． 2．常见的类比对象线→线、面，面→面、体，三角形→四面体，圆→球，边长→边长、面积，面积 →体积，线线角→面面角等． 3．一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去猜测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．【注意】在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．在学习过程中应注意以下两个方面：①合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明；②演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

高考数学中等生百日捷进提升系列(综合提升篇)专题07 选讲内容(含解析)

专题七选讲部分几何证明选讲【背一背重点知识】 1、比例线段有关定理（1线上截得的线段也相等。

（22、相似三角形的判定及性质（1值叫做相似比（或相似系数）。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（2相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

3、直角三角形的射影定理它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

4、圆周角定理5、圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

6、圆的切线的性质及判定定理7、弦切角的性质8、与圆有关的比例线段（圆幂定理）相等。

的比例中项。

两条切线的夹角。

【讲一讲提高技能】1、相似三角形的判定与性质的应用（1）判定两个三角形相似的方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义．（2）证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解．(3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．例1如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且AEEB2=，AC与DE交于点F，则=∆∆的面积的面积AEFCDF.图3FED CBA分析：根据ABCD为平行四边形，得到//AB CD，即可得到,CDF AEF∆∆相似.【解析】2、四点共圆的证明方法（1）求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角；（2）当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。

2016年高考数学中等生百日捷进提升系列专题13 算法初步、推理与证明、复数(含解析)

第十三章算法初步、推与证明、复数【背一背重点知识】算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的程序、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．(2)程序框图通常由程序框和流程线组成．(3)基本的程序框有终端框(起止框) 、输入、输出框、处框(执行框) 、判断框．3. 三种基本逻辑结构顺序结构：由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构条件结构：算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处这种过程的结构循环结构：从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体【讲一讲提高技能】1.必备技能：(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．2.典型例题：例1程序框图如图所示：如果输入x＝5，则输出结果为（）A ．325B ．109C ．973D ．295 【答案】A 【解析】例2执行如图1所示的程序框图，如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于（） A.]2,6[-- B.]1,5[-- C.]5,4[- D.]6,3[-分析：本题中条件分支结构实际上是求函数的值域.0t <时，求二次函数的值域，0t ≥时，求一次函数的值域.【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈-⋃--=-,故选D. 【练一练提升能力】1.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.1B.23C.1321D.610987【答案】C【解析】2.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3 B．32C．0 D．3【答案】A【解析】合情推与演绎推【背一背重点知识】1.合情推是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公、定等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推过程，归纳和类比是合情推常见的方法，在解决问题的过程中，合情推具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．2. 演绎推是指如果推是从一般性的原出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推称为演绎推．演绎推的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．3. 证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定、公等，经过一系列的推论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定、公等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．(3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．【讲一讲提高技能】1.必备技能：A．归纳推的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．B．类比推是由特殊到特殊的推，其一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比是根据两个不同的对象，在某些方面(如特征、属性、关系等)的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推方法．类比是科学研究最普遍的方法之一．在数学中，类比是发现概念、方法、定和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段．类比在数学中应用广泛．数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的．类比推的关键是找到合适的类比对象，如上例中的椭圆类比到双曲线，常见的平面几何中的一些定、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：C.演绎推是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推模式，是一种必然性推．演绎推的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．演绎推的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推．用集合论的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P . D ．合情推推出的结论不一定正确，有待进一步证明，演绎推在大前提、小前提和推形式都正确的前提下得到的结论一定正确． 2.典型例题：例1观察下列等式:211=22123-=-2221263+-= 2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为.分析：本题考查观察和归纳推能力，观察四个等式，找到其规律，各个式子左边依次为项数增加1，各项符号正负相间，，那么第n 个式子，左边应该为2224121234(1)n n --+-++-，右边符号也是正负相间，绝对值正好第n 个等式，就是前面n 个正整数之和，故应为1(1)(1)2n n n ---⋅．注意结论表述的完整性．【解析】观察上式等号左边的规律发现：左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为,3,2,1n ⋅⋅⋅指数都是2，符号成正负交替出现可以用1)1(+-n 表示；等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为2)1()1(+⋅-n n n ，所以第n 个式子可为：)(2)1()1()1(43211212222*++∈+⋅-=-+⋅⋅⋅+-+-N n n n n n n ．例2观察分析下表中的数据：多面体面数（F ）顶点数（V ) 棱数（E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.分析：本题难度较大，关键是注意观察E V F ，，的各个数据，并尝试研究它们的运算关系F V E +-，发现规律.【解析】【练一练提升能力】 1.已知0x >，由不等式32221144422,33,2222x x x x x x x x x x x x+≥⋅=+=++≥⋅⋅=我们可以得出推广结论：()1n ax n n N x++≥+∈，则a =（） A ．2n B ．2n C ．3n D ．nn 【答案】D【解析】试题分析：由已知不等式可知()111n n n x x x a x x x an n n nn x n n n x+++++≥+⋅⋅⋅⋅=+，故n a n =，故选D ．2.某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120；……；依此规律得到n 级分形图．（1）4级分形图中共有______条线段；（2）n 级分形图中所有线段长度之和为______．【答案】（1）45；（2）29[1()]3n - 【解析】复数的概念、四则运算【背一背重点知识】 1. 复数的有关概念 (1)复数的概念形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部．若0b =，则a bi +为实数，若0b ≠，则a bi +为虚数，若0,0a b =≠，则a bi +为纯虚数． (2)复数相等：a bi c di +=+⇔,a c b d ==(,,,a b c d R ∉)． (3)共轭复数：a bi +与c di +共轭⇔a cb d=⎧⎨=-⎩，（,,,a b c d R ∉）(4)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z a bi =+的模，记作z 或a bi +，即z ＝a bi +(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． (3)复数的几何表示：复数z a bi =+−−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b −−−−→一一对应平面向量OZ . 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则 (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律．【讲一讲提高技能】 1必备技能：（1）复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．（2）复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1=i 1i i +-；1=-i 1ii-+；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i ；i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0；(4)设ω＝1±22-，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.2典型例题：例1已知i 是虚数单位，若()13z i i +=，则z 的共轭复数的虚部为（）A ．110 B ．110- C ．10i D ．10i - 【答案】B 【解析】试题分析：因为()133********i i i i z i -===++，所以31010iz =-，所以z 的共轭复数的虚部为110-例2设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则zi z i+⋅=（） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2分析：复数的除法运算法则是分子分母同时乘以分母的共轭复数，把分母化为实数. 【解析】由题意21(1)(1)1112z i i i i z i i i i i i i i+++⋅=+-=++=-++=，故选C. 【练一练提升能力】 1. 复数21()1i i+=-. 【答案】1- 【解析】2. 复数121i z i+=+（i是虚数单位），则z 的虚部是（） A ．23 B ．21 C ．12- D ．12i -【答案】B 【解析】试题分析：()()()()12112331111222i i i i z i i i i +-++====+++-，z ∴的虚部是12，故选 B ．（一）选择题（12*5=60分）1.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为A ．21-B ．-3C ．31D ．2【答案】D 【解析】2.观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.3.如图给出的是计算20161614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A ．1007≤iB ．1008≤iC ．1008>iD ．1007>i 【答案】B 【解析】4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A.3169d V ≈B ．32d V ≈．3300157d V ．32111d V ≈【答案】D 【解析】由34()32d V π=，得36Vd π=a b ，则6b a π=；A 中代入得69 3.37516π⨯==，B 中代入得6132π⨯==，C 中代入得61573.14300π⨯==，D 中代入得6113.14285721π⨯==，由于D 中值最接近π的真实值，故选择D ． 5．已知实数[]1,9x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为（）A ．58B ．38C ．23D ．13 【答案】B 【解析】6．复数311iz +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（） A ．i -1 B ．i +1 C ．i 2121+ D ．i 2121-【答案】D 【解析】试题分析：因为()()311111111122i z i i i i i +====++--+，所以1122z i =-，故选A ． ,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】00=⇔=a ab 或0=b ，而复数bi a iba -=+是纯虚数00≠=⇔b a 且，iba ab +⇐=∴0是纯虚数，故选B.8. 设103iz i=+，则z 的共轭复数为（）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．【解析】()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 9.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)1z i i -=+，则2016z =（）A ．1B ．-1C ．iD ．i - 【答案】A 【解析】10.执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255【答案】A【解析】框图运算的结果为：222211110++++...+=2-14-16-110-11111+++...+133557911⨯⨯⨯⨯=11111111(1-+-+-+...+-)233557911= 115(1-)=21111，故选A i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 【答案】B 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选B.12. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）【答案】B 【解析】（二）填空题（4*5=20分）13.已知(0,)x ∈+∞，观察下列各式：12,x x+≥ 22443,22x x x x x+=++≥3327274,333x x x x x x+=+++≥开始1,0i S ==lg2i S S i =++1S <-2i i =+i 输出结束是否类比得：*1()n ax n n N x+≥+∈，则a =___________．【答案】nn 【解析】试题分析：12,x x +≥22443,22x x x x x +=++≥3327274,333x x x x x x+=+++≥，1+≥+n xn x n n，所以n n a =．14.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如428a =．若2013ij a =，则i j +=．【答案】109 【解析】15.如图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 111111111,,1222363412=+=+=+，…，则（1）第6行第2个数（从左往右数）为_________；（2）第n 行第3个数（从左往右数）为_________．【答案】)2)(1(2,301--n n n 【解析】·曼德尔布罗（BenoitMandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树形图，则当3n ≥时，第*()n n N ∈行空心圆点个数n a 与第1n -行及第2n -行空心圆点个数12,n n a a --的关系式为________；第12行的实心圆点的个数是_______．【答案】12n n n a a a --=+；89 【解析】。

2016年高考数学复习专题13推理与证明、数系的扩充直

直接证明易错点主标题：直接证明易错点副标题：从考点解析直接证明在高考取的易错点，为学生备考供给简短有效的备考策略。

重点词：直接证明，易错点难度： 3重要程度： 4内容：一、逻辑不严实而致错【例 1】如图：设四周体 P— ABC中，∠ ABC＝ 90°， PA＝ PB＝ PC， D是AC中点，求证： PD⊥平面 ABC。

错解：∵ PA＝PC， D 是 AC的中点，∴PD⊥ AC又 BC⊥AB，∴BC⊥PD.又 AC∩BC＝ C，∴ PD⊥平面 ABC．解析：在证明 PD⊥BC时没有理论依照，完好凭感觉，逻辑不严实而犯错。

正解：连结BD，由于 BD是 Rt △ ABC斜边上的中线，因此 DA＝ DC＝ DB。

又 PA＝ PB＝ PC，而 PD是公共边，11 / 3∴△ PAD≌△ PBD≌△ PCD，∴∠ PDA＝∠ PDC＝∠ PDB＝ 90°，∴PD⊥ AC，PD⊥ BD，又 AC∩BC＝ C，∴ PD⊥平面 ABC．二、利用综合法求最值不注意等号建立条件而致错【例 2】求函数y sin x2(sinx ＞ 0) 的最小值 .sin x22 sin x2错解：∵ sinx ＞ 0，∴y sin x 2 2sin x sin x因此函数的最小值为 2 2 .解析：在利用基本不等式求最值时，等号建立的条件是sin x2，即sin xsin x 2 ，而sinx的最大值是1，因此基本不等式不可以取到等号，结果错误。

正确：令 t=sinx ∈ (0 ，1] ，则 y t2，当 t ∈ (0 ，1] 时函数单一递减，t∴当 t ＝ 1 时函数获得最小值3。

三、解析法中格式不规范而犯错【例 3】求证：37 2 5.错解：要证37 2 5，2 2只要证37 2 5 ，22 / 3只要证 10 2 21 20只要证21 5，只要证21＜ 25。

解析：在证明的过程中，要说明哪个结论是明显建立的，最后再把结论写出来，步骤要完好。

2016年高考数学复习专题13推理与证明、数系的扩充数

数学概括法备考策略主标题：数学概括法备考策略副标题：经过考点剖析高考命题方向，掌握高考规律，为学生备考复习打通迅速通道。

重点词：数学概括法，备考策略难度： 3重要程度： 4内容：1、完整概括法和不完整概括法差别与联系?2、数学概括法的原理，合用于解决哪些问题？3、数学概括法的步骤(1)( 概括奠定 ) 证明当 n 取第一个值n0 ( n0∈N* ) 时命题建立；(2)( 概括递推 ) 假定 n＝ k(k ＞n0，k∈N* ) 时命题建立，证明当n＝ k＋ 1 时命题也建立。

最后写出结论，两个步骤一个结论缺一不行。

思想规律解题考点一：数学概括原理例 1：在用数学概括法证明“2n n2对从 n0开始的全部正整数都建立”时，第一步验证的 n0＝__________。

考点二：用数学概括法证明等式* 1 1 1 1 1 1 1 1 例 2：∈ N，求证： 1－＋－＋＋－＝＋＋＋ .n2 3 4 2n－ 1 2n n＋ 1 n＋2 2n考点三：用数学概括法证明不等式例 3：已知数列 { a n}， a n≥0， a1＝0， a n2 1 an 1 1 a n2 .求证：当 n∈ N* 时， a n a n 1.考点四：用数学概括法证明整除性问题例 4：用数学概括法证明nf n n7 3 9 能被36整除？2考点五：证明与平面几何相关的问题例 5：平面内有n 条直线，随意两条不平行，随意三条不共点。

求证： n 条直线交点的个数为a n 1n n 1 2考点六：概括、猜想、证明例 6：已知f n 1 1 1 1 1, g n3 12。

3 3 3n32 2n 23 4(1) 当n＝ 1,2,3 时，试比较f ( n)与 g( n)的大小关系；11 / 21 / 2(2)猜想 f ( n)与 g( n)的大小关系，并给出证明．思想误区误区一：忽略n n0时的值1 1化简： (1 a)[( a 1) 2( a)2 ] 2 误区二：从 n＝ k 证明 n＝ k＋1 时忽略变化的项若不等式 1 12 1a对全部正整数 n 都建立，求正整数a的最大值，n 1 n 3n 1 24并证明结论．误区三：在证明n＝ k＋ 1 时没应用概括假定用数学概括法证明：n2 n n 1 n N * 。

2016版高考数学二轮复习课件：专题十二推理与证明、算法初步

第一页，编辑于星期五：二十三点五十二分。
专题十二推理与证明、算法初步
2016考向导航历届高考考什么？
2015
三年真题统计 2014
2013
1.合情推理与演绎推理卷Ⅱ，T16 卷Ⅰ，T14 卷Ⅰ，T12
2.直接证明与间接证明
卷Ⅰ，T18(1) 卷Ⅱ，T24(1)
卷Ⅱ，T17 卷Ⅱ，T18(1)
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分。
考点三数学归纳法
专题十二推理与证明、算法初步
(2015·高考全国卷Ⅱ，5 分)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝__－__n1____． [解析] ∵a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1， ∴a1＝S1＝－1. a2＝S1(a1＋a2)＝－(－1＋a2)，
栏目导引
第六页，编辑于星期五：二十三点五十二分。
2．辨明易错易混点
专题十二推理与证明、算法初步
(1)类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面
相似)迷惑，应从本质上类比．
(2)用数学归纳法证明时，易盲目认为 n0 的起始取值 n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用 n＝k 成立的归纳假设．
栏目导引第二十五页，编辑于星期五：二十三点五十二
分。
专题十二推理与证明、算法初步
[名师点评] (1)由归纳推理得出的结论不一定是正确的，要判断其真假，必须进行证明． (2)用数学归纳法证明关于正整数 n 的命题时，第一步归纳奠基与第二步归纳递推必须按部就班进行，缺一不可．
栏目导引第二十六页，编辑于星期五：二十三点五十二
专题十二推理与证明、算法初步

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