新华高一数学

函数基本性质
一．【课标要求】
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；
二．【命题走向】
从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索
预测2013年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值 预测明年的对本讲的考察是：
1）考察函数性质的1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；
2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点
三．【要点精讲】
1．奇偶性
1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：
{ eq \o\ac(○,1)| 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2| 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1| 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2| 确定f (－x )与f (x )的关系；○3| 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数
3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；
②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇
2．单调性
1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；
注意：
○
1| 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2| 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) 2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

3）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
○1| 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2| 作差f (x 1)－f (x 2)；○3| 变形（通常是因式分解和配方）；
○4| 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5| 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

4）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；
增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

3．最值
1）定义：
最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

注意：
○
1| 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2| 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
○
1| 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2| 利用图象求函数的最大（小）值； ○
3| 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )； 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；
四．【典例解析】
题型一：判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：
（1）函数的奇偶性为
(2)的奇偶性为
);0(||)()4(2
2≠-+-=a a
a x x a x f 常数的奇偶性为
点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）
题型二：奇偶性的应用
例3．已知函数b
ax c x x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是]1,2[--∪]4,2[ （1）求a,b,c 。

（2）是否存在实数m 使不等式2
3)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式
题型三：判断证明函数的单调性
例5.已知函数
⑴ 判断函数的单调性，并证明；
⑵ 求函数的最大值和最小值．
点评：本题考查了定义法证明函数单调性和函数单调性的应用
例6．已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+
)
(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

点评：该题属于判断抽象函数的单调性。

抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本方法是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点
题型四：函数的单调区间
例7．已知定义在R 上的奇函数)(x f 在区间[0,2]上是增函数,则f(-2)______f(2) (填大于还是小于)
命题立意:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 题型五：单调性奇偶性的应用
已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足
的的集合．
五．【思维总结】
1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：
f (-x )= ±f (x ) f (-x ) +f (x )=0；
2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f (-x )=f (x )和f (-x )=-f (x )这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，f (-x )=-f (x )的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。

稍加推广，可得函数f (x )的图象关于直线x =a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f (x +a )=f (a -x )成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；
3．若奇函数的定义域包含0，则f (0)=0，因此，“f (x )为奇函数”是"f (0)=0"的非充分非必要条件；
4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

5．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。

注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。