协方差矩阵和相关矩阵
excel 相关系数矩阵 协方差矩阵 转换
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Excel是一款强大而受欢迎的电子表格软件，经常被用来进行统计分析和数据处理。其中，相关系数矩阵和协方差矩阵是两种常用的统计分析方法，可以揭示变量之间的关系和影响。
一、相关系数矩阵是用来衡量变量之间相关程度的一种方法。它可以通过计算变量之间的皮尔逊相关系数来得到。相关系数的取值范围是-1到1，当相关系数为-1时，表示完全负相关；当相关系数为1时，表示完全正相关；当相关系数为0时，表示无相关关系。
在Excel中，可以使用CORREL函数来计算相关系数矩阵。假设有两组数据，分别是X和Y，可以在Excel中输入以下公式来计算相关系数矩阵：
=CORREL(X1:Xn, Y1:Yn)
其中，X1:Xn和Y1:Yn分别代表X和Y的数据范围。在得到相关系数矩阵后，可以用矩阵的形式来展示变量之间的相关程度。在Excel 中，可以使用数组公式来实现相关系数矩阵的展示。选中与相关系数矩阵对应的范围，然后在输入公式时按下Ctrl+Shift+Enter即可。
二、协方差矩阵是用来衡量变量之间协同变动程度（即变量之间
的关系强度和方向）的一种方法。协方差的取值范围是负无穷到正无穷，其绝对值越大，则变量之间的关系越强；协方差为正表示正相关，协方差为负表示负相关，协方差为0表示无关。
在Excel中，可以使用COVAR函数来计算协方差矩阵。与计算相
关系数矩阵类似，假设有两组数据X和Y，可以使用以下公式来计算协方差矩阵：
=COVAR(X1:Xn, Y1:Yn)
其中，X1:Xn和Y1:Yn分别代表X和Y的数据范围。在得到协方差矩阵后，同样可以使用矩阵的形式来展示变量之间的关系强度和方向。
主成分相关矩阵与协方差矩阵
主成分相关矩阵与协方差矩阵
主成分分析是一种常用的降维技术，用于将高维数据转化为低维空间以便更好地理解和分析数据。在主成分分析中，我们常常需要使用主成分相关矩阵和协方差矩阵来帮助进行分析。
主成分相关矩阵是主成分分析中的一个重要工具。它是由原始数据的相关系数矩阵通过线性变换得到的，其中每个元素表示对应两个主成分之间的相关性。主成分相关矩阵的特征值和特征向量可以给出主成分的方差和方向，从而帮助我们选择合适的主成分。
协方差矩阵是另一个常用的工具，它用于衡量两个随机变量之间的关系。在主成分分析中，我们常常使用协方差矩阵来计算原始数据的特征值和特征向量，从而得到主成分。协方差矩阵的特征值表示主成分的方差，特征向量表示主成分的方向。
主成分相关矩阵和协方差矩阵之间有着密切的关系。事实上，它们是可以通过线性变换相互转化的。具体来说，主成分相关矩阵可以通过协方差矩阵和主成分的标准差得到。而协方差矩阵则可以通过主成分相关矩阵和主成分的标准差得到。
主成分相关矩阵和协方差矩阵在主成分分析中起着重要的作用。它们可以帮助我们理解数据的结构，找到数据中的主要特征，并进行降维处理。通过分析主成分相关矩阵和协方差矩阵，我们可以得到
主成分的方差和方向，从而确定哪些主成分是重要的，哪些是可以忽略的。
在实际应用中，主成分相关矩阵和协方差矩阵可以用于多种领域。例如，在金融领域中，它们可以用于分析资产之间的相关性，帮助投资者进行资产配置和风险管理。在生物领域中，它们可以用于分析基因表达数据，帮助研究人员发现关键的基因和生物过程。在工程领域中，它们可以用于分析传感器数据，帮助工程师识别故障和改进系统性能。
多元统计分析-实验报告-计算协方差矩阵-相关矩阵-SAS
（一）
院系：数学与统计学学院
专业：__ _统计学
年级： 2009级
课程名称：统计分析
学号：
姓名：
指导教师：
2012年 4月 28 日
（一）实验名称
1.编程计算样本协方差矩阵和相关系数矩阵；
2.多元方差分析MANOVA。
（二）实验目的
1.学习编制sas程序计算样本协方差矩阵和相关系数矩阵；
2.对数据进行多元方差分析。
（三）实验数据
第一题：
第二题：
（四）实验内容
1.打开SAS软件并导入数据；
2.编制程序计算样本协方差矩阵和相关系数矩阵；
3.编制sas程序对数据进行多元方差分析；
4.根据实验结果解决问题，并撰写实验报告；（五）实验体会(结论、评价与建议等)
第一题：
程序如下：
proc corr data=sasuser.shan cov;
proc corr data=sasuser.shan nosimple cov;
with x3 x4;
partial x1 x2;
run;
结果如下：
（1）协方差矩阵
（2）相关系数矩阵
第二题：
程序如下：
proc anova data=sasuser.huang; class kind; model x1-x4=kind; manova h=kind; run;
结果如下：
（1）分组水平信息
（2）x1、x2、x3、x4的方差分析
（3）多元方差分析
根据多元分析结果，p指小于0.05，表明在0.05的显著水平下，四个变量有显著差异。
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注！）
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式，是统计学中的重要概念，它涉及到分析变量之间的关系，以及通过计算获得统计信息。
相关系数矩阵是一种矩阵，它用于表示两个变量之间的关系。每个变量对应一行和一列，矩阵中的每个元素代表两个变量之间的相关系数。协方差矩阵是一种矩阵，它将两个变量之间的关系表示为变量方差与变量之间的协方差之和。
两者之间的关系体现在概率公式上：协方差矩阵是由相关系数矩阵乘以变量标准差的平方而得到的。因此，可以将协方差矩阵视为相关系数矩阵的加权版本，同时考虑变量之间的差异性。
考虑以下假设：n个来自同一总体的随机变量X1，X2，…，Xn，它们的相关系数矩阵表示为R，标准差为s1，s2，…，sn，它们的协方差矩阵表示为S。那么，它们之间的转换矩阵形式可以表示为：
S=SSSS
其中S表示相关系数矩阵，S表示变量的标准差，S表示转置。
因此，将相关系数矩阵转换为协方差矩阵的转换矩阵形式是：
S=SSSS。它显示了相关系数矩阵和协方差矩阵之间的关系，可以用来表示变量之间的关系，以及计算统计信息。
4.3 协方差与相关系数及矩与协方差矩阵
( 3)连续型 : cov( X ,Y ) [ x E ( X )][ y E (Y )] f ( x , y )dxdy.
ex1.设(X,Y)均匀分布于以坐标原点为中心，单位长为 半径的圆的内部，求cov(X,Y)，并问X,Y是否不相 关？是否相互独立？ 1 2 2 x y 1 解 f ( x , y ) , 0 其它 1 1 EX x dxdy 0, EY y dxdy 0, x 2 y 2 1 x 2 y 2 1
ex3.设随机变量X的概率分布密度为 1 x f ( x) e x , 2 (1)求X的数学期望E(X)和方差D(X). (2)求cov(X,|X|)，并问X与|X|是否不相关？ (3)问X与|X|是否相互独立？为什么？ 1 x 解 (1) EX xf ( x )dx x e dx 0, 2 DX E[ X E ( X )]2 E ( X 2 )
性质8 XY 1;
性质9
XY 1的充分必要条件是 与Y以概率1线性相关, X
即P{Y aX b} 1, 其中a , b是常数.
ex2.已知X和Y分别服从正态分布 N (1,32 )和N (0,42 ), 1 X Y 且X与Y的相关系数 XY , 设Z 2 3 2 (1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；
统计学中的协方差矩阵
统计学中的协方差矩阵
统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的科学领域。协方差矩阵是统计学中一种重要的工具，用于研究多个变量之间的关系和相关性。本文将介绍协方差矩阵的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的意义。
一、协方差矩阵的定义
协方差矩阵是指一个矩阵，其中的元素表示了变量之间的协方差。假设有n个变量，那么协方差矩阵将是一个n×n的矩阵。协方差矩阵的第(i,j)个元素表示了第i个变量和第j个变量的协方差。如果两个变量之间的协方差为正值，表示它们之间存在正相关的关系；如果协方差为负值，表示它们之间存在负相关的关系；如果协方差为零，则表示它们之间不存在线性相关关系。
二、协方差矩阵的性质
1. 对称性：协方差矩阵是一个对称矩阵，即第(i,j)个元素等于第(j,i)个元素。这是因为协方差是一个对称的概念，不依赖于变量的顺序。
2. 非负定性：协方差矩阵是一个非负定矩阵，即对于任意非零的列向量x，有x^TΣx≥0，其中Σ表示协方差矩阵。这个性质保证了协方差矩阵的主对角线上的元素都是非负的。
三、协方差矩阵的计算方法
协方差矩阵的计算涉及到变量之间的协方差。对于两个变量X和Y，它们的协方差可以用下式表示：Cov(X,Y) = E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)]，其中
μ_X和μ_Y分别表示X和Y的均值。协方差矩阵的元素由各个变量之
间的协方差计算得到。
协方差矩阵Σ的元素可以表示为：Σ_ij = Cov(X_i, X_j)，其中X_i
和X_j是第i和第j个变量。根据协方差的计算公式，我们可以通过样
本数据的均值和方差来估计协方差矩阵的元素。
协方差矩阵和相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵是统计学中常用的两个矩阵，用于描述两个或多个随机变量之间的关系。协方差矩阵衡量了不同随机变量之间的相关性和变异性，而相关系数矩阵则是协方差矩阵的归一化形式。
首先，让我们来谈谈协方差矩阵。协方差矩阵是一个对称矩阵，它的元素是随机变量之间的协方差。协方差反映了两个随机变量的共同变动程度。具体而言，协方差的正负表示了两个变量是否呈现同向或反向的关系，而协方差的数值大小则反映了变量之间变动的幅度。协方差矩阵由各对随机变量之间的协方差构成，是一个方阵。
与协方差矩阵相关的是相关系数矩阵。相关系数矩阵是由协方差矩阵标准化得出的，用于消除量纲的影响并提供更直观的信息。相关系数是将协方差除以各变量的标准差得到的。相关系数矩阵的元素取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全的反向相关，1表示完全的同向相关，而0表示无相关性。
协方差矩阵和相关系数矩阵在统计学和金融学中有广泛的应用。它们可以帮助我们研究变量之间的关系，了解它们是否存在线性关联以及关联的强度。通过分析协方差矩阵和相关系数矩阵，我们可以得出一些重要的结论，如哪些变量具有较强的相关性，哪些变量可以用来预测其他变量等等。
总结而言，协方差矩阵和相关系数矩阵是用于描述随机变量之间关系的重要工具。协方差矩阵衡量了相关性和变异性，而相关系数矩阵进行了标准化以提供更直观的信息。通过分析这些矩阵，我们可以深入了解变量之间的关联性，并在实际应用中做出更准确的判断和预测。
相关矩阵
摘要本文讨论了28位19-22岁男学生的10项体检指标间的相关性问题。
针对问题一，建立多元数据的相关分析模型,利用Matlab软件通过计算样本数据的均值、方差及协方差，得到观测数据的协方差矩阵；进一步利用Pearson 相关系数计算其样本数据的相关矩阵。
针对问题二，同理，利用秩的概念结合Spearman相关系数计算其Spearman 相关矩阵。
针对问题三，计算Pearson相关矩阵和Spearman相关矩阵的p值，检验各对变量的相关系数是否为零。并得出结论：对于Pearson相关矩阵R的对应p值,α，身高与坐高、体重、肺活量，坐高与体重、肺活量，体重对显著水平01
.0
=
与胸围、肺活量，胸围与肺活量的相关性较强，数据具有明显统计意义；对于
α，身高与坐高、体重，坐Spearman相关矩阵Q的对应p值,对显著水平01
=
.0
高与体重、肺活量，体重与胸围、肺活量，胸围与肺活量，脉搏与肺活量,收缩压与舒张压的相关性较强，数据具有明显统计意义。
关键词协方差矩阵；Pearson相关矩阵；Spearman相关矩阵
多元数据相关分析习题解答
1.9.1计算样本数据的协方差矩阵和Pearson 相关矩阵
设T 21),,,(P X X X 是p 元总体，其样本数据观测矩阵为
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np p p n n x x x x x x x x x X 212221212111 X 为n p ⨯矩阵，n 个列即是n 个样品n x x x ,,,21 ，且组成来自p 元总体
T 21),,,(P X X X 的样本；p 个行分别是p 个变量P X X X ,,,21 在n 次实验中所取的值，记),,2,1(,),,,(21)(p j x x x x T nj j j j ==，因而有
矩阵的协方差矩阵
矩阵的协方差矩阵
协方差矩阵（Covariance Matrix）是一种用来表示两个或多个随机变量
之间关系的统计量。它具有一个非常重要的特性，即两个变量之间的
协方差可以用来确定他们之间的关联程度。换句话说，它代表的是变
量的之间的关联程度。它是一个由变量的偏相关系数构成的对称方阵，它的每一项都代表着变量之间的协方差，它们的值可以为正、负、零，或者其他的任意值。
一、协方差矩阵的定义
协方差矩阵是一种用来表示两个或多个随机变量之间关系的统计量，
它是一个由变量的偏相关系数构成的对称方阵，它的每一项都代表着
变量之间的协方差，它们的值可以为正、负、零，或者其他的任意值。
二、协方差矩阵的计算
协方差矩阵由变量之间的偏相关（partial correlation）系数组成，可以
用下面的公式来计算得到：
$$ Cov(X_i; X_j) = \frac{\sum_{k=1}^n (X_{ik} - \bar{X_i})(X_{jk} -
\bar{X_j})}{n-1} $$
这里X为一个随机向量，$X_i$和$X_j$分别表示该随机向量中的两个
变量，$\bar{X_i}$和$\bar{X_j}$分别为两个变量的均值，
$k~(k=1,2,...n)$表示样本数量，n表示样本的总数。
三、协方差矩阵的应用
协方差矩阵最常用的应用是用来衡量一组变量之间的关系，通过它可以理解数据之间相关性的大小。它在贝叶斯模型、潜变量模型、半监督学习等统计分析中也都有重要的应用。另外，协方差矩阵还可以用来计算均值向量、协方差矩阵的行列式以及协方差的特征向量。它还被用来计算协方差分析，使用它可以确定两个变量之间是否存在因果关系。
已知协方差矩阵,求相关带系数的矩阵
已知协方差矩阵,求相关带系数的矩阵
假设有一个$n$维随机变量向量
$boldsymbol{X}=(X_1,X_2,cdots,X_n)^T$，其协方差矩阵为$boldsymbol{Sigma}$，即
$$boldsymbol{Sigma}=begin{bmatrix} sigma_{11} &
sigma_{12} & cdots & sigma_{1n} sigma_{21} & sigma_{22} & cdots & sigma_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots sigma_{n1} & sigma_{n2} & cdots & sigma_{nn} end{bmatrix}$$
其中，$sigma_{ij}=text{Cov}(X_i,X_j)$ 表示 $X_i$ 和
$X_j$ 的协方差。
现在我们想要求出相关系数矩阵 $boldsymbol{R}$，其元素为
$$rho_{ij}=frac{sigma_{ij}}{sqrt{sigma_{ii}sigma_{jj}}}$$ 表示 $X_i$ 和 $X_j$ 的相关系数。
为了求出 $boldsymbol{R}$，我们可以按照下列步骤进行：
1. 首先，计算 $boldsymbol{Sigma}$ 的对角线元素的平方根，即
$$sqrt{sigma_{ii}}, quad i=1,2,cdots,n$$
2. 然后，对 $boldsymbol{Sigma}$ 进行对角线元素的逆矩阵的乘积，即
$$frac{1}{sqrt{sigma_{ii}}}boldsymbol{Sigma}frac{1}{sqrt{si
协方差矩阵和相关矩阵
设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每个随机变量有其中对应着每个随机向量的样本向量，对应着第
随机变量之间的协方差可以表示为
（
其中，从而得到了协方差矩阵表达式。
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
已知协方差矩阵求相关系数矩阵
已知协方差矩阵求相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵都是用来描述多个随机变量之间的关系的重要工具。协方差矩阵衡量的是随机变量之间的线性相关性，而相关系数矩阵则衡量的是随机变量之间的总体相关性。
协方差矩阵是一个对称矩阵，对角线上的元素是每个随机变量的方差，非对角线上的元素是两两随机变量之间的协方差。协方差矩阵的计算公式如下：
Cov(X,Y) = E[(X-μX)(Y-μY)]
其中，X和Y是两个随机变量，μX和μY分别是X和Y的均值。
协方差矩阵的计算需要知道每个随机变量的均值和方差。如果不知道这些值，可以通过样本数据来估计。假设有n个样本，每个样本有m个随机变量，那么协方差矩阵的估计公式如下：
Cov(X,Y) = Σ((X-μX)(Y-μY))/(n-1)
其中，Σ表示求和运算。
相关系数矩阵是通过协方差矩阵来计算的。相关系数矩阵的每个元素都是两两随机变量之间的相关系数。相关系数是用来衡量两个随机变量之间的线性关系强度的，取值范围为-1到1。相关系数为1表示两个随机变量完全正相关，为-1表示两个随机变量完全负相关，
为0表示两个随机变量不相关。
相关系数的计算公式如下：
ρ(X,Y) = Cov(X,Y)/(σX * σY)
其中，ρ表示相关系数，Cov表示协方差，σ表示标准差。
相关系数矩阵的计算可以通过协方差矩阵和标准差来进行。首先，通过协方差矩阵计算每个随机变量的标准差，然后使用标准差来计算相关系数。
相关系数矩阵具有以下性质：
1. 相关系数矩阵是一个对称矩阵，对角线上的元素都是1。
2. 相关系数矩阵的每个元素的取值范围都在-1到1之间。
二维高斯分布相关系数与协方差矩阵
二维高斯分布相关系数与协方差矩阵高斯分布，又称为正态分布，是概率论和统计学中非常重要的一种
概率分布。在二维空间中，我们可以通过相关系数和协方差矩阵来描
述二维高斯分布的特征。本文将深入探讨二维高斯分布的相关系数与
协方差矩阵之间的关系及其性质。
一、相关系数的定义
相关系数是用来衡量两个随机变量之间线性关系紧密程度的统计量。对于二维高斯分布来说，相关系数可以通过随机变量的协方差来计算。假设随机变量X和Y服从二维高斯分布，其协方差定义如下：Cov(X, Y) = E[(X - μX)(Y - μY)]
其中，E[•]表示期望操作，μX和μY分别表示X和Y的均值。相关
系数ρ的定义如下：
ρ = Cov(X, Y) / (√(Var(X)) √(Var(Y)))
其中，Var(X)和Var(Y)分别表示X和Y的方差。
二、协方差矩阵的定义
协方差矩阵是一个对称矩阵，用来描述多维随机变量之间的线性关系。对于二维高斯分布来说，协方差矩阵定义如下：
Σ = [Var(X) Cov(X, Y)
Cov(Y, X) Var(Y)]
其中，Var(X)表示X的方差，Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，
Cov(Y, X)表示Y和X的协方差，Var(Y)表示Y的方差。
三、相关系数与协方差矩阵的关系
相关系数与协方差矩阵之间存在着一定的关系。对于二维高斯分布
来说，两者之间的关系可以用下式表示：
ρ = Σ(1,2) / (√(Σ(1,1)) √(Σ(2,2)))
其中，Σ(1,1)表示协方差矩阵的第一行第一列元素，Σ(2,2)表示协方
概率论第章协方差相关性协方差矩阵
1 2
1 2
1
2 2
经计算，( X
)T C 1( X
)
1
1 2
[
(
x1
1 12
)2
2
(x1 1)(x2 2 ) 1 2
(x2 2 )2
2 2
]
于是( X1, X 2 )的概率密度可写成：f (x1, x2 )
,
Xn
n
E(Xn)
C是( X1, X 2 , X n )的协方差矩阵,
( X1, X 2 , X n )的概率密度定义为：
f (x1, x2 , xn )
1
(2
)
n 2
C
1 2
exp
1 ( X )T C 1( X )
2
12
工程中常用均方误差meansquareerrormse来计算两个物理量测量量的相似性程度相关系数是一个用来表征之间线性关系紧密程度的量较大时较小表明线性关系的程度较好
§3 协方差及相关系数
对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期 望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字 特征。这就是本节的内容。
1
(2
协方差和相关系数矩和协方差矩阵
(2). 对于n维随机向量（X1，X2，…，Xn）的二阶中心矩
Cij Cov( X i , X j ) E{[ X i - E( X i )][ X j - E( X j )]}
i,j=1,2,…，n
C11 C12 C13 C1n
则协方差矩阵为C C21
C22
C23
C2
n
显然，协方差矩阵是对称阵。 Cn1
3.设Ｘ是随机变量，Ｙ=aX+b(a≠０),
证明
： XY
1 -1
a0 a0
４.设随机变量Ｘ的概率密度为 f (x) 1 e- x (- x ) 2
求Ｘ与|X|的协方差，问Ｘ和|X|是否不相关，是否相互独立．
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结束
§4.4 矩和协方差矩阵
1．矩的概念 设X、Y为随机变量，k,l为自然数，即(k,l=1，2，…) 若 E（Xk）存在，则称它为X的k 阶原点矩。
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结束
由协方差的性质(2)知,协方差取值的大小要受到量纲的影响,
为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方
差
X * X - E X Y * Y - E Y
DX
DY
Cov( X *,Y *) E{[ X * - E( X *)][Y * - E(Y *)]} E( X *Y *)
二维高斯分布相关系数与协方差矩阵
二维高斯分布相关系数与协方差矩阵
二维高斯分布是多变量高斯分布的一种特殊情况，它在二维平面
上呈现出椭圆形状的分布。
二维高斯分布的概率密度函数可用以下形式表示：
f(x, y) = (1 / (2π * σx * σy * √(1 - ρ²))) * exp[-1
/ (2 * (1 - ρ²)) * ((x - μx)² / σx² - 2ρ(x - μx)(y - μy) / (σx * σy) + (y - μy)² / σy²)]
其中，x和y是分布的随机变量，μx和μy是分布的均值，σx
和σy是分布的标准差，ρ是分布的相关系数。
相关系数ρ是衡量两个变量之间线性相关程度的指标。它的取值
范围为[-1, 1]，其中-1表示完全负相关，0表示无相关，1表示完全
正相关。相关系数的绝对值越大，变量之间的线性关系越强。
协方差矩阵是用来描述多个变量之间的相关性的矩阵。对于二维
高斯分布而言，协方差矩阵是一个2x2的矩阵，表示两个变量之间的
协方差和方差。协方差矩阵可以通过以下公式计算：
Σ = [σx², ρ * σx * σy]
[ρ * σx * σy, σy²]
其中，σx²和σy²分别是x和y的方差，ρ是相关系数。
协方差矩阵的对角线元素即为各个变量的方差，非对角线元素则表示两个变量之间的协方差。
在二维高斯分布中，相关系数和协方差矩阵之间存在以下关系：ρ = cov(x, y) / (σx * σy)
即相关系数等于协方差除以两个变量的标准差之积。
协方差矩阵可以通过相关系数和两个变量的标准差计算出来：
Σ = [σx², ρ * σx * σy]
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一、协方差矩阵 变量说明： 设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量
，每个随机变量有m 个样本，则有样本矩阵
1112
1
2121
2...........
......m m n n nm x x x x x M x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中 对应着每个随机向量X 的样本向量，对应着第i 个随机单变量的所有样本值构成的向量。
单随机变量间的协方差：
随机变量
之间的协方差可以表示为
根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下：
可以进一步地简化为：
协方差矩阵：
（5）
其中，从而得到了协方差矩阵表达式。
如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成：
二、相关矩阵（相关系数矩阵）
相关系数：
著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为：
相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：
•当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。
•当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。
•当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。
•当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。
•一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。
相关矩阵也叫相关系数矩阵，是由矩阵各列间的相关系数构成的。也就是说，相关矩阵第i行第j列的元素是原矩阵第i列和第j列的相关系数。
3、协方差矩阵和相关矩阵的关系
由二者的定义公式可知，经标准化的样本数据的协方差矩阵就是原始样本数据的相关矩阵。这里所说的标准化指正态化，即将原始数据处理成均值为0，方差为1的标准数据。
即：
X'=(X-EX)/DX