2012保险精算第四章

因为
z1 z2 0
1 x:n 1 x:n
所以 Var ( z ) Var ( z ) Var ( z ) A A 3 1 2
例题
• 设
x S ( x) 1 100 i 0.1 , 0 x 100
• 计算
（） 1 A30:10
(2)Var ( zt )
解答
• 终身寿险
• 终身寿险为被保险人提供从投保开始到终身的死亡 保险，保险金额通常为恒定的金额。
• 两全保险
• 两全保险是定期寿险和纯生存保险的合险。在规定 的保险期内，如果被保险人死亡，保险人给付死亡 保险金；如果被保险人在保险期满存活，保险人给 付生存保险金。
人寿保险的性质
• 保障的长期性 – 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成 为不容忽视的因素。 • 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 – 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人 的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变 量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机 变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。 • 被保障人群的大数性 – 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理 计算出平均赔付并可预测将来的风险。
• 所以方差等价为
Var ( zt ) A
2
(A )
1 x:n
2
例题
• 设
x S ( x) 1 , 0 x 100 100 i 0.1
保险金额为1元
• 计算
（） 1 A
1 30:10
(2)Var ( zt )
解答：
S ( x t ) 1 (1) fT (t ) S ( x) 100 x
z3 z1 z2
z
则
E ( z3 ) E ( z1 ) E ( z2 ) A x:n A A
1 x:n
1 x:n
方差公式
Var ( z3 ) Var ( z1 ) Var ( z2 ) Cov( z1, z2 ) Var( z1 ) Var( z2 ) E( z1 z2 ) E( z1 ) E( z2 )
基本符号
• ( x ) —— 投保年龄 的人。 • ——人的极限年龄 • bt ——保险金给付函数。 • v t ——贴现函数。 • z t ——保险给付金在保单生效时的现 时值
x
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
• 趸缴纯保费的定义
– 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
人寿保险的分类
• 保障标的的不同
– 人寿保险（狭义） – 生存保险 – 两全保险
• 保障期是否有限
– 定期寿险 – 终身寿险
• 保单签约日和保障期期始日是否同时 进行
– 非延期保险 – 延期保险
• 受益金额是否恒定
--定额受益保险 --变额受益保险
• 定期寿险 • 定期寿险是以被保险人在保单约定的 保险期内死亡为保险金给付条件的保 险，通常保险金额在保单上载明。 • （1）均衡保费定期寿险 • （2）递增保费定期寿险 • （3）保额递减定期保险
t 0 0
n
n
t t
px xt dt
• 方差公式 Var( zt ) E( z ) E( zt ) e2t fT (t )dt E( zt )2
2 t 2 0

n
• 记
2
A e
1 x:n 0
n
2t
fT (t )dt
1 x:n
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
• 符号： • 厘定：
Ax

Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
0
v t px x t dt e
t 0 0


t t
px x t dt
现值随机变量的方差
• 方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e2 t fT (t )dt E ( zt )2
vt vt , t 0 1 bt 0
v t , t n , t n zt bt vt 0 , t n , tn
趸缴纯保费的厘定
• 符号： • 厘定：
A
1 x:n
A
1 x:n
E ( zt ) zt fT (t )dt
0
n
v t px xt dt e
,x 0
• 求：
(1)
10
Ax
(2)Var(zt )
S ( x t ) (1) fT (t ) 0.04e0.04t S ( x) A e m x
10 0.06 t
0.04e
0.04 t
dt 0.04 e0.1t dt 0.147
10

(2) Ax e
( x )岁的人，保额1元，n年定期生存 • 假定： 保险 • 基本函数关系
v n , t n 1 , t n zt bt vt bt 0 , t n 0 , t n vt v n , t 0
• 符号： A • 趸缴纯保费厘定
1 x:n
A
1 x:n
20
0.0185
1 30:10
Var ( zt )3 Var ( zt )1 Var ( zt ) 2 A
A
1 30:10
0.0431
第三节
死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定
E ( zt ) v n p x e
n
n
n px
• 现值随机变量的方差：
Var ( zt ) v n px (v n px )
2n n
2
A
2
1 x:n
(A )
1 2 x:n
5、n年定期两全保险
• 定义 – 被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范 围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险 金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿 险的组合。 • 假定：( x ) 岁的人，保额1元，n年定期两全保险 • 基本函数关系
t 0 1 . 1 1 10 1 t t 1 A30:10 v f 30 (t )dt 1.1 dt 0.092 0 0 70 70 ln 1.1 10 2 1 1 2 2t 1 （2）Var ( zt ) A30:10 ( A30:10 ) 1.1 dt 0.0922 0 70 t 0 1 . 21 1 10 0.0922 0.055 70 ln 1.21 10 10
(1) A x ( 2)Var ( zt )
解答：
(1) Ax e t fT (t )dt
0

1 1 e e dt 0 60 60 （2）Var ( zt ) 2 Ax ( Ax ) 2
60 t
60
e
0
60
百度文库 t
1 e120 120
第四章
人寿保险的精算现值
王慧
本章结构
• 人寿保险趸缴纯保费厘定原理 • 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 • 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定
第一节
人寿保险趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
• 什么是人寿保险
– 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是 否死亡作为保险标的的一种保险。 – 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作 为保险标的的一种保险。它包括以保障期 内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包 括以保障期内被保险人生存为标的的生存 保险和两全保险。
2、终身寿险
• 定义 – 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 ( x) 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 ( x) 岁的人，保额1元终身寿险 • 假定： • 基本函数关系
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
zt bt vt v , t 0
t
趸缴纯保费的厘定
由例3.1已知：
1 A30:10 0.092
Var ( zt )1 0.055
10
(1) A
1 30:10
60 v 10 p30 1.1 0.33 70
10 1 30:10
A30:10 A
A
1 30:10
0.422
1 2 30:10
(2) Var ( zt )2 v 10 p30 A
t v , tn t vt n v , tn v , t n zt bt vt n v , t n bt 1 , t 0
趸缴纯保费的厘定
• 符号： A x:n • 厘定 z 1 记：n年定期寿险现值随机变量为 z2 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知 3
• 趸缴纯保费的厘定
– 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E( zt )
第二节
死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
• 死亡即刻赔付的含义
– 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内 发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死 亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在 实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 – 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意 时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保 险人签约时的剩余寿命。
2 t 2 0

• 记
2
Ax e
0

2 t
fT (t )dt
2
• 所以方差等价为
Var( zt ) Ax ( Ax )
2
例题：
• 设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 • 保险金在死亡即刻赔付 • 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
1 , 0 t 60 fT (t) 60 0 , 其它 • 计算
• 符号：
• 厘定：
m
Ax
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
m

m
zt fT (t )dt zt fT (t )dt
0 0

m
Ax A
1 x:m
• 方差公式：
Var ( zt ) E( z ) E( zt ) e
2 t 2 m

2 t
主要险种的趸缴纯保费的厘定
• • • • • • n年定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险
1、n年定期寿险
• 定义 – 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的 保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又 称为n年死亡保险。 ( x ) 岁的人，保额1元n年定期寿险 • 假定： • 基本函数关系
1 2 dt ( Ax ) 60 1 e60 2 ( ) 60
3、延期终身寿险
• 定义
– 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
( x ) 岁的人，保额1元，延期m年的 • 假定： 终身寿险 • 基本函数关系
vt vt , t 0 1 bt 0 v t , t m , t m zt bt vt 0 , t m , tm
fT (t )dt E ( zt )
2
• 记
2 m
Ax e2 t fT (t )dt
m

• 所以方差等价于
Var ( zt ) A ( m Ax )
2 m x
2
例题：
• 假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1 元。 • 保险金在死亡即刻赔付。 • 已知 0.04 x
0.06，S ( x) e
趸缴纯保费的厘定
• 假定条件:
– 假定一：同性别、同年龄、同时参保的 被保险人的剩余寿命是独立同分布的。 – 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以 用经验生命表进行拟合。 – 假定三：保险公司可以预测将来的投资 受益（即预定利率）。
纯保费厘定原理
• 原则
– 保费净均衡原则
• 解释
– 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时 值正好等于将来的保险赔付金的期望现时 值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下，收费期望现时值等于支 出期望现时值 。
2 m 10
0.12 t
0.16 Var ( zt ) m2 Ax ( m Ax )2 0.0288
0.04e
0.04 t
dt
0.04e0.16t
10
0.05047
4、n年定期生存保险
• 定义
– 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在 第n年末支付保险金的保险。