2.3《数学归纳法》课件(人教A版选修2-2)

程组，求a、b、c的值．
【解析】选A．n=1时,3a-3b+c=1;n=2时,18a-
9b+c=7;n=3时,81a-27b+c=34求出a、b、c即得．
4.（15分）由下列不等式：1＞ 1 ，1+ 1 + 1 ＞1，1+ 1 + 1
+…+ 1 ＞
3
，1+
1
+
1
+…+
2
23
23
1 ＞2，…，你能得到一个怎样
（1）求证：cos A是有理数;
（2）求证：对任意正整数n,cosnA是有理数. 【证明】（1）设三边长分别为a,b,c,cosA= b2 +c2 -a2 , ∵a,b,c
2bc
是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数， 又∵有理数集对于除法具有封闭性， ∴ b2 +c必2 -a为2 有理数，∴cosA是有理数.
1 2k +1
+
1 2k +2
+L
+
1 2k+1
5.已知f（n）= 1 + 1 + 1 L + 1 ，则f（n）中共有
n n+1 n+2
n2
__________项．
【解析】观察发现f（n）中项数共有n2-（n-1）=n2-n+1.
答案：n2-n+1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.（2010·江苏高考）已知△ABC的三边长都是有理数.
f（2n）＞ n
23
n
时，f（2k+1）-f（2k）等于___________．
2
【解析】因为f（2k+1）=1+ 1 + 1 +L
23
+
1 2k+1
=f（2k）+ 1
2k +1
+
1 2k +2
+L,
+
1 2k+1
所以f（2k+1）-f（2k）= 1
2k +1
+
1 2k +2
+L.
+
1 2k+1
答案：
【解析】选C.当n=k+1时，任取其中1条直线，记为l,则除l外 的其他k条直线的交点的个数为f（k），因为已知任何两条直 线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交（有k个 交点）；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f（k）个交点也两两不 相同，从而平面内交点的个数是f（k）+k=f（k+1）.
2bc
（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数. ①当n=1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA·sinA= 1-cos2A也是有理数. ②假设当n=k（k≥1）时，coskA和sinA·sinkA都是有理数. 当n=k+1时，由cos（k+1）A=cosA·coskAsinA·sinkA,sinA·sin（k+1） A=sinA·（sinA·coskA+cosA·sinkA）= （sinA·sinA）·coskA+（sinA·sinkA）·cosA,
课程目标设置
主题探究导学
1.数学归纳法的两个步骤中第一步n0的初始值是否一定为１？ 提示：不一定，如证明n边形的内角和为（n-2）π中，第一个 值n0=3．
2.数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？ 提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是验证命题递推 的依据，这两个步骤缺一不可.只完成步骤（１）而缺少步骤 （２）就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤 （１），无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确， 我们无法判定;同样只有步骤（２）而缺少步骤（１）时，也 可能得出不正确的结论，缺少步骤（１）这个基础．假设就失 去了成立的前提，步骤（２）也就没有意义了．
+2］…［（k+1）+k］［（k+1）+（k+12） 2］k+;增1 乘k+的1 代数
k+1
式为
=
2（2k+1），故选B.
3.用数学归纳法证明34n+1+52n+1（n∈N）能被8整除时，当n=k+1 时，对于56×34（k+1）+1 +52（k+1）+1 可变形为（ ） （A）56·3 4k+1+25（34k+1+52k+1） （B）34·34k+1+52·52k （C）34k+1+52k+1 （D）25（34k+1+52k+1）
2.用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）
=2n·1·3·…·（2n-1），从k到k+1，左边需要增乘的代数
式为（ ）
（A）2k+1
（B）2（2kჷ3
k+1
2k+1
【解析】选Ｂ．当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…
（k+k）,当n=k+1时，左边=［（k+1）+1］［（k+1）
【解题提示】先构造出n=k时的整体形式是变形的关键． 【解析】选Ａ．3 4（k+1）+1+52（k+1）+1 =81×34k+1+25×52k+1 =56×34k+1+25（34k+1+52k+1）,故选 A．
二、填空题（每题5分，共10分）
4.已知f（n）= 1+ 1 + 1 +L + 1（n∈N*），用数学归纳法证明
由①和归纳假设，知cos（k+1）A和sinA·sin（k+1）A都 是有理数. 即当n=k+1时，结论成立. 综合①、②可知，对任意正整数n,cosnA是有理数.
7.用数学归纳法证明x2n-y2n（n∈N*）能被（x+y）整除. 【证明】①n=1时，x2-y2=（x+y）（x-y）能被（x+y）整 除，命题成立. ②假设当n=k（k∈N*）时，命题成立，即x2k-y2k能被（x+y） 整除，那么，当n=k+1时 x2n-y2n=x2（k+1）-y2（k+1）=x2x2k-y2y2k =x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k =x2（x2k-y2k）+y2k（x2-y2）
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题（每题5分，共15分） 1.用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n-1）=n2（n∈N*）的 过程中,第二步假设n=k时,等式成立,则当n=k+1时应得到
（） （A）1+3+5+…+（2k+1）=k2 （B）1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2 （C）1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2 （D）1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2 【解析】选B．n=k+1时,由式子可以看出．
72
23
的一般不等式？并加以证明．
15
【解析】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一
般不等式为：
1+ 1 + 1+…+ 1＞ （nn∈N*）
23
2n -1 2
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，1＞1 ，猜想成立;
2
11
1k
1+ + +L 23
2k 1
2
3.（5分）已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n（na-b）+c
对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为（ ）
（A）a= 1 ,b=c= 1
2
4
（C）a=0,b=c= 1
（B）a=b=c= 1
4
（D）不存在这样的a、b、c
4
【解题提示】考虑特殊值，可令n=1，n=2，n=3代入列方
= n+3n+4 （n∈N*）时，第一步验证n=1时，左边应取的
2
项是（ ）
（A）1
（B）1+2
（C）1+2+3
（D）1+2+3+4
【解析】选Ｄ．观察发现应选D．
2.（5分）设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三 条不共点，设k条直线的交点个数为f（k）,则f（k+1）与 f（k）的关系是（ ） （A）f（k+1）=f（k）+k+1 （B）f（k+1）=f（k）+k-1 （C）f（k+1）=f（k）+k （D）f（k+1）=f（k）+k+2
∵x2-y2能被（x+y）整除，根据归纳假设，x2k-y2k能被（x+y） 整除， ∴上式x2（x2k-y2k）+y2k（x2-y2）能被（x+y）整除，也就是 说，当n=k+1时，命题也成立. 综合①②知，命题对所有正整数N*都成立.
1.（5分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）