高等数学期末复习：3-3n 泰勒公式

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《高等数学》(上)期末复习知识要点

1、四则运算法则与复合运算法则（换元法）；

2、初等函数的连续性（代入法）： 0

0lim ()()x x f x f x →=；

3、两个重要极限：

1）0sin lim

1x x x

→=，【特征：0sin lim 1→=

】

2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n

→∞+=，1

0lim(1)x x x e →+=）；【特征：1

lim(1)e →∞+= 】

4、存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；

5、洛必达法则：未定式

00或∞∞

（其它类型未定式：00

0,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，2

1cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)

7、无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、微分中值定理；

10、定积分或导数定义*

: 1）

【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1

lim ()()n

b a n i b a b a

f a i f x dx n n

→∞

=−−+

⋅=∑

∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则

0()()()()

lim

()lim ()x a

h f x f a f a h f a f a f a x a h

→→−+−′′==−或.

1、函数()f x 在点0x 处连续0

数学期末复习提纲

复习提纲

第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加 C ）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空间平面4、空间旋转面（柱面）

具体内容

函数收敛比如函数的极限是a,那么我们可以叫他为函数收敛于 a 性质如果函数收敛那么极限唯一。如果函数收敛它一定有界（有界是指函数定义域存在一个数使得函数值的绝对值大于等于这个数）。

绕口令：函数有界是函数收敛的必要条件（因为可能极限不存在）

证明极限的方法

1求函数极限的方法定义证明设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）

2利用左右极限左右极限存在并相等。

3利用极限存在准则一、单调有界准则，如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。

高等数学课件3-3泰勒公式

11
注意:
1. 当 n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x ) f ( x 0 ) f ( )( x x 0 )
2.取 x 0 0 ,
(在x 0与x之间) ;
在0 与x 之间,令 x
则余项
Rn ( x ) f
( n 1 )
( 0 1) ,
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f
( n)
f ( x0 ) 2!
( x x0 )
2
( x0 )
n!
( x x0 ) .
n
$3-3Taylor公式
6
三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理如果函数 f ( x ) 在含有 x 0 的某个开区间( a , b ) 内具有直到( n 1) 阶的导数,则当 x 在( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为( x x 0 ) 的一个
k
称为 f ( x ) 按( x x 0 ) 的幂展开的 n 次近似多项式,
f ( x)
k 0
n
f
(k )
( x0 )
k!
( x x 0 ) Rn ( x )
k
称为 f ( x ) 按( x x 0 ) 的幂展开的 n 阶泰勒公式.

泰勒(Taylor)展开式(泰勒级数)

泰勒(Taylor)展开式（泰勒级

数）

泰勒公式

余项

1、佩亚诺(Peano）余项：

2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

4、柯西（Cauchy）余项：

5、积分余项：

带佩亚诺余项

参考资料

泰勒公式

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

余项

泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺(Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在

2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈(0,1)，p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈(0,1)。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈(0,1)。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

带佩亚诺余项

以下列举一些常用函数的泰勒公式：

参考资料

泰勒的通俗理解：

泰勒的更深层次的理解：

《高等数学》泰勒 ( Taylor )公式

f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
) Rn (
f ( 2
x)
x0 !
)
(
x
x0 )2 ①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
特点: p1(x0 ) f (x0 )
p1(x0 ) f (x0 )
p1 ( x)
o x0 x
x
以直代曲
需要解决的问题如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
机动目录上页下页返回结束
1. 求 n 次近似多项式pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 )
(1) f (x) ex
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
Rn (x)

高等教育数学[同济第六版](上册)期末复习重点

第一章：1、极限（夹逼准则）

2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）

第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续

2、求导法则（背）

3、求导公式也可以是微分公式

第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）

2、洛必达法则

3、泰勒公式拉格朗日中值定理

4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）

5、曲率公式曲率半径

第四章、第五章：积分

不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）

定积分： 1、定义 2、反常积分

第六章：定积分的应用

主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：向量问题不会有很难

1、方向余弦

2、向量积

3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面

4、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

常用的泰勒公式

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，常用的泰勒公式如下所示：

1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)

3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞

4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞

5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)

7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

8、sh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞

9、ch x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞

10、arcsh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)

11、arcth x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)

泰勒公式介绍：

常见的泰勒公式

泰勒公式是一种在数学、物理学和工程领域中广泛使用的分析方法。它可以用来计算函数的近似值，其中某些函数是不可积分的。它也可以用来近似解决复杂的微积分问题。它是1815年由英国数学家威廉·泰勒所提出的。

泰勒公式为f(x)在x=a处的某个小区间内的展开式表达，它可以将复杂的函数表达为一系列简单的有限项。该公式可以将函数表达成一个无穷级数，泰勒公式是一种极限形式，它表明f (x)在x = a处的无穷级数近似值。

泰勒公式的一般形式为：

f (x) = f (a) + f'(a)(x-a) + f''(a) ( (x-

a)^2 )/2! + f'''(a) ( (x-a)^3 )/3! + … +f^(n) (x-a)^n / n! +……

其中，f(x) 是要进行展开的函数；a 是函数的某个取值，即展开的中心点；n 表示要展开的次数；

f'(a),f''(a),f'''(a),…,f^(n) (x) 分别代表函数 f(x) 在 x=a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数，…，n 阶导数。

根据泰勒公式，可知，函数f (x) 的小区间[a,x]内的展开式，可以根据函数f (x) 在x = a处的n 阶导数来计算，而这些n 阶导数都可以根据f (x) 的初始函数来求

得。也就是说，只要知道函数f (x) 的表达式，就可以通过求函数f (x) 的n 阶导数，然后通过泰勒公式求出f (x) 在[a,x]小区间内的展开式。

虽然泰勒公式是一种比较常用的分析方法，但它的应用也存在一定的局限性：

1. 无法精确给出函数的展开式，只能求出函数的近似值。

高数(上)期末复习重点

高数〔上册〕期末复习要点

第一章：1、极限〔夹逼准则〕

2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕

第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续

2、求导法则〔背〕

3、求导公式也可以是微分公式

第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕

2、洛必达法则

3、泰勒公式拉格朗日中值定理

4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕

5、曲率公式曲率半径

第四章、第五章：积分

不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕

2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕

定积分： 1、定义 2、反常积分

第六章：定积分的应用

主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：向量问题不会有很难

1、方向余弦

2、向量积

3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面

4、空间旋转面〔柱面〕

高数解题技巧。〔高等数学、考研数学通用〕

高数解题的四种思维定势

●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

常用泰勒公式大全图片

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n 次多项式来逼近函数的方法。

在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

扩展资料：

泰勒公式表示形式：

（1）形式1:带Peano余项的Taylor公式：若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n)

(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值

（2）形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：若函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续导数，在(a,b)上有n+1阶导数。任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：

f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之间，是依赖于x的量。

常用泰勒公式

常用泰勒公式(总4页)

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简介

在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数

这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(

1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(

1/z2) 并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(

泰勒展开常用公式

【原创实用版】

1.泰勒公式的定义与意义

2.泰勒公式的常用展开形式

3.泰勒公式的应用领域

正文

泰勒公式是微积分学中的一种重要公式，它可以用来描述一个可微函数在某一点附近的近似值。泰勒公式在数学、物理等学科中有着广泛的应用。

一、泰勒公式的定义与意义

泰勒公式是指，如果一个函数 f(x) 在 x=a 处可微，那么在 a 附近的某个点 x=a+h，函数 f(x) 可以展开成以下形式：

f(x) = f(a) + f"(a)h + f""(a)h^2/2! + f"""(a)h^3/3! +...+ f^n(a)h^n/n! + Rn(h)

其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等表示函数 f(x) 在点 a 处的各阶导数，n! 表示 n 的阶乘，Rn(h) 表示泰勒公式的余项。

二、泰勒公式的常用展开形式

泰勒公式的展开形式取决于函数的阶数 n，一般情况下，我们使用前n+1 项来近似表示函数。根据展开的项数，泰勒公式的常用形式有以下几种：

1.泰勒展开一级形式（展开到一次项）

f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a)

2.泰勒展开二级形式（展开到二次项）

f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2!

3.泰勒展开三级形式（展开到三次项）

f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! +

f"""(a)(x-a)^3/3!

以此类推，可以得到泰勒展开的 n 级形式。

三、泰勒公式的应用领域

泰勒公式在数学和自然科学等领域有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：

taylor 公式

Taylor公式是数学分析中常用的一种近似计算方法，它通过泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式。泰勒级数展开是一种用多项式逼近函数的方法，常用于求解函数的近似值以及研究函数的性质。

泰勒级数展开的基本思想是将函数在某一点附近进行展开，然后利用多项式来逼近原函数。对于一个可导函数f(x)，在某一点a处，可以通过泰勒级数展开来表示：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

其中，f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，f'''(a)表示f(x)在点a处的三阶导数，以此类推。

泰勒级数展开的优点在于可以通过前几项的近似值来逼近函数的真实值。当使用更多的项进行展开时，逼近的精度会逐渐提高。因此，在实际应用中，可以根据需要选择适当的项数来进行计算。

泰勒级数展开在科学计算、工程应用以及物理学等领域中具有广泛的应用。例如，在数值计算中，可以利用泰勒级数展开来近似计算各种复杂函数的值，从而简化计算过程。在物理学中，泰勒级数展开可以用于描述物体的运动规律，分析物体的加速度、速度和位移等参数。

除了泰勒级数展开外，还有一些相关的展开方法，如麦克劳林级数展开和泰勒-麦克劳林级数展开。麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，当展开点a为0时，泰勒级数展开就变成了麦克劳林级数展开。

尽管泰勒级数展开在数学和科学领域中具有重要的应用价值，但在实际计算中也存在一些限制和注意事项。首先，泰勒级数展开只在给定点附近有效，如果考虑到整个定义域，展开后的级数可能会发散。其次，泰勒级数展开的逼近精度受到展开点的选择和项数的限制，需要根据具体问题进行调整。

泰勒(Taylor)公式

2 x
3
y = sinx
4
17
例3 求
点的四阶泰勒公式 f ( x ) = x ln x 在x=1点的四阶泰勒公式
3
′(x) = 3x2 lnx + x2, f ′(1) =1; f (1) = 0, f
f ′′( x ) = 6 x ln x + 5 x , f ′′(1) = 5; f ′′′( x ) = 6 ln x + 11, f ′′′(1) = 11; 6 (4) 6 (4) (5) f ( x ) = , f (1) = 6; f ( x ) = − 2 x x
( x ) = sin( x + n ) 2
π
x3 x5 x7 x 2 m −1 sin x = x − + − + L+ + R2 m 3! 5! 7! ( 2m − 1)!
R2 m
2010-12-2
sin[θx + ( 2m + 1) ] 2 x 2 m +1 = ( 2m + 1)!
π
0 <θ <1
2 f ′′(1) f ( x ) = f (1) + f ′(1)( x − 1) + ( x − 1) + L 2! (4)
+
2010-12-2
f

【泰勒展开】常见泰勒公式大全

【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ：

sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1]

tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-

1)}{2}x^2+o(x^2)

另外

\begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alpha

x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\

&\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，

则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-

\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-

泰勒级数展开公式

泰勒级数（Taylor series）是将一个光滑的函数展开为一个无限级数，每一项都包括函数在某一点的导数。泰勒级数展开公式允许我们将一个复杂的函数近似为一个多项式，从而便于以下计算：在数值分析、微积分、微分方程等领域具有广泛应用。

泰勒级数的一般形式如下：

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + ... 其中，f(x) 是我们要展开的函数，a 是泰勒级数的展开点，n 是级数项数，f^n 表示函数的 n 次导数。

如果展开点是 0 (a=0)，则泰勒级数被称为麦克劳林级数（Maclaurin series）：f(x) ≈ f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ... + f^n(0)x^n/n! + ...

泰勒公式并不是所有函数的近似，也不是所有情况下都能使用。有些函数在某些点无法展开，有些函数展开后的级数可能发散而无法收敛到原函数。因此，在实际应用泰勒级数时，需要根据具体问题分析近似误差和级数的收敛性。