《固体物理》准周期结构

《固体物理基础》晶体的结合

四、离子晶体的结合能
四、离子晶体的结合能
马德隆常数
第一次计算由Madellung完成。 Ewald建立了一个关于晶格求和计算的通用方法。
四、离子晶体的结合能
例1 正负一价离子组成的一维晶格
四、离子晶体的结合能
例2 正负一价离子组成的二维正方格子
四、离子晶体的结合能
B和n的确定
四、离子晶体的结合能
三、金属晶体
特征：
结合力：原子实和价电子云间的静电库仑力。 (无饱和性和方向性) 晶体结构：(每个金属原子的电子云分布基本上是球对称的) 同一种金属原子—等径圆球堆积—密堆积
→面心立方，六角密堆，体心立方晶体特征：稳定，密度大，硬度高，熔点高，导电，传热，延展性。
四、分子晶体
特征：结合力：范德瓦尔斯力，结构单元瞬时偶极矩的相互作用。晶体结构：最密排方式。特征：熔点低，硬度小。
不同原子的负电性相对大小的变化趋势：（1）同一周期内，负电性从左到右逐渐增强；（2）同一族内，负电性由上至下逐渐减弱；（3）周期表中越往下，同一周期内元素的负电
性差异越小。
元素和化合物晶体结合的规律
§ 2.2 晶体的结合能
一ห้องสมุดไป่ตู้结合能的意义
定义：处于稳定状态的晶体，其总能量（动能和势能）比组成这个晶体的N个粒子在“自由”时的
总能量低，二者之差就是晶体的结合能：
“自由”是指各粒子都可以看作为独立的粒子，粒子之间的距离足够大，以致它们间的相互作用可以忽略。
一、结合能的意义
ε0包括：晶格能(组成晶体的粒子之间的相互作用总势能) 、晶格振动能，其它晶体缺陷等能量。以εN为参考能位：
总相互作用能(晶格能)与结合能

准周期结构介绍.ppt

遗
妒
捞
准晶的制备：
急冷甩带法：
帕
离
颇
锤淬法：熔融金属，汽锤敲击
净
诗
彩
任何用于制备亚稳定合金相的方法
滦
垮
吗
(离子束混合，离子注入，气相沉积，急速加压，电子束)
痘
否
捂
匝
秃
长期时效(常规合金制备方法)
嫌
准晶的尺寸小，介稳定状态，性质测量困难，不系统，不统一
广
售
贤
准晶的物理性质：颐
力学性能：
1.
室温下硬而脆，大块准晶性能接近陶瓷
虾
晶体的短程有序特征，能使衍射花样具有
颧
讫
同结构一样的旋转点群对称性
沾
待
胀
瓜
皂
非晶态中没有这样的结构特点，所以只会产生弥散的衍射花样
建
陇
沼
晶体受到特有的有限的平移不变性和有
幻
营
限的转动不变性的制约，不允许有五次
浮
糙
对称轴
准晶态（quasi crystal，即 QC）
靛
饶
准晶态的结构特征勇 (1) 准周期平移序屋
1974年，Penrose提出用两种四边形，
潞
巷
氢
夹角分别为：
72o、72o、144o、72o
夕
详
36o、72o、36o、216o
等
纬
可以将平面铺满，不留空隙行
这种图形具有5次对称性
将
眠
彭罗斯铺砌的四边形是将一个菱形切开而得到的：
铁
叉
风筝
飞镖
长程取向有序玛
所得图形到处呈现5次对称性，但没有平移周期性

固体物理学(2)-1-1

• 基矢和原胞可完全地描述晶格的周期性特征。
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
3. 晶胞、轴矢和晶格常数
• 晶胞：不仅考虑晶格的周期性，同时反映其对称性时所选取的最小重复单元。
• 轴中坐矢标：轴晶方胞向的的基单矢位称矢为量轴：矢a，,即b晶, c体坐标系
• 晶格常数：a, b, c, , ,
底心（角顶+一对面的中心）：8×1/8+2×1/2=2,
面心（角顶+每个面的中心）：8×1/8+6×1/2=4
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4. Wigner-Seitz原胞（对称性原胞）
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• 体心立方的基矢和Wigner－Seitz原胞
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•
原胞体积：

1 4
a3
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3. 金刚石结构
0
1 2
0
3
1
4
4
1
1
2
0
2
1
3
4
4
0
1 2
0
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• 金刚石结构是由同种原子组成的复式格子，位于立方体顶角及面心的原子与位于立方体内部
的四个原子的周围环境不同，应视为非全同原子。
• 金刚石结构也可视为两套fcc套构而成，每个
• 面心立方基矢、原胞和Wigner－Seitz原胞
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1.2 十四种布拉维格子和七大晶系
• 布拉维点阵的晶胞类型 • 七大晶系
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1. 布拉维点阵的晶胞类型

准周期结构

当一束电子射线或X射线照射到固体凝聚态材料上时，只有晶体才会产生明锐的布拉格衍射。晶体的长程有序的三维有限平移不变性，保证了衍射的高度相干性
晶体的短程有序特征，能使衍射花样具有同结构一样的旋转点群对称性非晶态中没有这样的结构特点，所以只会产生弥散的衍射花样
晶体受到特有的有限的平移不变性和有限的转动不变性的制约，不允许有五次对称轴
塑晶：位置有序，取向无序大多数塑晶由球状分子组成，转动势能 << 点阵能在受外应力作用时，有相当的柔软性，容易发生“塑性变形” 塑晶由一些形状十分类似的球形分子组成，N2, CO, 环乙醇等液晶：液晶材料熔化时，取向分子序被保留，有序的流体小分子液晶：液晶的分子一般为棒状或盘状高分子液晶：常具有棒状或盘状单元的
准晶态的结构：
长程取向有序，而长程周期性不存在；
取向有序具有晶体周期性点群所不允许的点群对称性，沿取向序对称轴的方向具有准周期性，即原子的排布间距是两个或两个以上不可公约的特征长度，并按特定序列排布
准晶态的种类
按准晶的成分来分：二元、三元、四元等多元合金
麦振洪李方华
按准晶的结构分： 1) 2) I （Al-TM）类，I代表二十面体，TM代表过渡金属 AlZnMg类
准晶态可以认为是由许多二十面体长程取向有序而无平移周期性的微晶粒构成的互补亚稳定结构
二十面体密堆积
等径钢球的面心密积和六方密积的配位数均为12
由略小的球在正三角二十面体的中心，12个球坐落在定点上才是配位数为12的最密堆积只有四面体空隙，无八面体空隙四面体非正四面体，二十面体中心只能放置较小的球所以二十面体结构非常适合合金相，因为多种金属的原子往往不等
第十章准周期结构

固体物理基础

固体物理基础本课程侧重固体物理学的基本概念及理论框架的理解性掌握第一章晶体结构1. 固态物质的分类及其结构特点答：（1）晶体：原子在三维空间周期地长程有序排列（2）准晶：原子有长程准周期平移序和非晶体学旋转对称性的固态有序相（3）非晶：原子排列短程有序，长程无序2. 根据布拉菲晶胞选取的具体原则，证明不存在底心四方点阵或面心四方点阵答：布拉菲晶胞的选取原则：（1）反映出点阵的最高对称性；（2）相等的棱或角数量应最多；（3）直角数目应最多；（4）在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。

底心四方点阵可以转化为体积更小的简单四方点阵；（画图证明）面心四方点阵可以转化为体积更小的体心四方点阵。

（画图证明）3. 基于CsCl晶体，讨论点阵与晶体结构答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点是等同点，周围环境相同，只能有14种类型；晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，能组成各种类型的排列，实际存在的晶体结构是无限的。

晶体结构=空间点阵+基元。

CsCl晶体为CsCl结构，简单立方点阵，基元为1Cs++1Cl-。

4. 分析并画出二维正方点阵的第一和第二布里渊区。

注意正、倒空间转换。

答：布里渊区为倒易空间中的概念，首先做出二维正方点阵的倒易点阵，以(1, 0)、(-1, 0)、(0, 1)、(0, -1)倒易矢量的中垂面围成第一布里渊区；以(1, 1)、(1, -1)、(-1, 1)、(-1, -1)倒易矢量的中垂面围成第二布里渊区。

5. 晶体中缺陷的基本类型有哪些答：（1）点缺陷（空位、间隙原子、俘获电子的空位、杂质原子等，如：弗兰克尔缺陷、肖特基缺陷、替位式杂质原子、色心、极化子等）（2）线缺陷：位错（刃位错、螺位错、混合位错、不全位错、超位错等）（3）面缺陷：表面、界面、层错、小角度晶界、大角度晶界、孪晶界、相界第二章统计热力学和量子力学基础1. 固体中热力学平衡态的物理含义答：给定温度下，热力学平衡态满足①系统的体积熵最大；②系统的自由能最小；对于一个具有1023个粒子数的系统，分子量子态的组合数目是个大数：假定分子总数和系统总能固定，存在这样一个分布（N1,N2,…，N i,…,N i代表E i+d E范围内分子数目），其可能的微观量子态数目#=N!N1!N2!N3!…。

固体物理学复习总结

第一章晶体结构1.晶体：组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性结构；eg ：单晶硅。

晶体具有的典型物理性质：均匀性、各向异性、自发的形成多面体外形、有明显确定的熔点、有特定的对称性、使X 射线产生衍射。

非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程周期性；eg ：非晶硅、玻璃准晶：有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性，不具备晶体的平移对称性；eg ：快速冷却的铝锰合金2.三维晶体中存在7种晶系14种布拉菲格子；对于简单格子晶胞里有几个原子就有几个原胞，复式格子中包含两个或更多的格子。

3.典型格子特点：sc bcc fcc hcp Diamond 晶胞体积3a 3a 3a 32a 3a 每晶胞包含的格点数1 2 4 6 8 原胞体积3a 321a 341a 332a 341a 最近邻数（配位数）6 8 12 12 4 填充因子0.524 0.68 0.74 0.74 0.34 典型晶体 NaCl CaO Li K Cu Au Zn Mg Si Ge4.sc 正格子基矢：k a a j a a i a a ===321,,；sc 倒格子基矢：k ab j a i a πππ2,2b ,2b 321===； fcc 正格子基矢：)2),2),2321j i a a k i a a k j a a +=+=+=（（（； fcc 倒格子基矢：)2),2),2b 321k j i ab k j i a b k j i a -+=+-=++-=（（（πππ； bcc 正格子基矢： )2),2),2321k j i a a k j i a a k j i a a -+=+-=++-=（（（； bcc 倒格子基矢：)2),2),2b 321j i a b k i a b k j a +=+=+=（（（πππ；倒格子原胞基V a a )(2b 321⨯=π，V a a )(2b 132⨯=π，Va a )(2b 213⨯=π 正格子和倒格子的基矢关系为ij a πδ2b j i =⋅；设正格子原胞体积为V,倒格子原胞体积为Vc ，则3)2(V c V π=⨯。

固体理论讲义1-周期性结构

第一章周期性结构1．正格矢与倒格矢晶体的第一重要特征是原子（离子、分子）的周期性排列 ------可用周期性点阵表示点阵中任一格点的位置由正格矢决定：332211→→→→++=a l a l a l R ll 1, l 2, l 3是整数，a 1, a 2, a 3为点阵的基矢（或基平移）。

元胞：点阵的最小重复单元1．由a 1, a 2, a 3组成的平行六面体被称为初基元胞。

2．每个元胞中平均只包含一个格点。

3．元胞和基矢的选择并非唯一。

元胞的体积：)(321→→→⨯•=Ωa a a魏格纳-赛茨元胞（W-S 元胞）它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面所围成的多面体，其中只包含一个结点。

它能更明显地反映点阵的对称性。

它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。

倒格矢由于元激发的状态都是由波矢来描述的----引入波矢空间及响应的点阵，即倒点阵。

倒点阵的基矢是由晶格点阵的基矢定义的：)3,2,1,((0)(22=⎩⎨⎧≠===•→→j i j i j i b a ij i i ）ππδ可求出： )(2)(2)(2213132321→→→→→→→→→⨯Ω=⨯Ω=⨯Ω=a a b a a b a a b πππ在倒点阵中任一格点的位置矢：→→→→++=332211b n b n b n K n （n i 为整数）称为倒格矢。

元胞的体积： )(321*→→→⨯•=Ωb b b 布里渊区：相应的W-S 元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可由另一点加上一个倒格矢的平移达到。

当它的中心为原点时，W-S 元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ 表示，又称简约区倒点阵与正点阵的关系ml n R K ii i l n πππ22)2(*3==•=ΩΩ∑→→m 为整数BZ 具有晶格点阵点群的全部对称性。

2．平移对称性点阵是格点在空间中的无限周期重复排列；点阵具有平移对称性，表现为将整体作任意正格矢的平移后，它将恢复原状；即从空间任意一点出发，作任意正格矢的位移，必达到等效的点上；波恩-卡门边界条件严格讲，只有无限理想晶体才具有平移对称性；实际晶体的尺寸比元胞大得多，表面效应并不重要；边长为Na 1,Na 2,Na 3的有限晶体沿a 1,a 2,a 3三个方向首尾相接形成循环边界条件。

固体理论-1 周期性结构

固体理论 - 周期性结构 – 布里渊区和晶体的对称性
返回
例：二维正点阵BZ为正方形保持BZ不变的点群为4mm(C4v)，有8个操作
Ky
C4 π/a md
k3
k2
对于BZ中某个矢量k1，进行上述点群操作后，它变为k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8.，这8个点在同一能带中有相同的能量：
返回
§3 布里渊区和晶体的对称性
空间群包含平移、旋转、反射、滑移反映、螺旋轴等对称操作
空间群的元素→操作算符：{α|t}r ≡ αr + t 其中α代表旋转、反映等点群对称操作，t代表平移
({e|Rl} )——平移群 ({α|0} )——点群 {α|τ}——螺旋轴或滑移反射面算符相乘：{α|t} {β|s}={αβ |αs+t} 其逆元素：{α|t}-1 = {α-1|- α-1t}
这种情况往往发生在BZ中某些高对称性的点与线上
这时点群中的某些元素对 k 运算后保持 k 不变（或等于k+Kn）但这些元素对布洛赫函数作用将产生具有不同对称性的一组
函数，它们具有相同的 k 和本征能量En(k)
固体理论 - 周期性结构 – 布里渊区和晶体的对称性
返回
3 k波矢群
点群{α|0}中对k运算后保持k不变（或等于k+Kn）的那些对称操作元素的集合所构成的点群
宏观对称性
基元
点群
晶系 ——宏观与微观对称性
固体理论 - 周期性结构 - 布洛赫定理
返回
§2 布洛赫定理
周期性对固体性质的影响
对于周期性势场，单电子薛定谔方程的本征函数为 ——按格矢的周期函数调幅的平面波
周期势场

准周期结构

用2种不同的菱形六面体，按拼凑规则可以不留空隙的铺满空间空间具有局域的二十面体取向的对称性
准晶：同时具有长程准周期性平移序和
非晶体学旋转对称性的固态有序相
准晶态是具有两个或更多个不可公约的长度标量的固态凝聚体准晶体具有一般晶体所没有的对称性，通过确定不可公约长度比，可以定义某种结构准晶体结构具有长程准周期有序和长程取向有序的特征所以衍射图有类似布拉格衍射的斑点
(3) 聚合物液晶的应用信息存储光学器件海水淡化离子交换 (4) 溶致液晶在高强度方面的应用杜邦公司，Kevlar芳香聚合物纤维溶液性抽丝工艺
具有高强度，可用作防弹衣及航天材料
小结
准晶具有准周期平移序，与非晶一样都是介稳定状态，可以通过快冷制备； Penrose铺砌是学习的重点，要好好理解长程取向有序以及准周期性晶格结构的相关概念。二十面体结构是稳定结构，但因为其不能完全布满空间，所以不能在晶态中存在，但大部分材料在形成之初，都很容易形成二十面体结构，只是随着晶核的长大，为了填满整个空间，晶核过渡到晶态生长；液晶是液态与晶态之间的过渡态，大多出现于有机材料中；液晶显示器是液晶材料的一个非常重要的应用，其工作原理是液晶材料的高旋光性以及对圆偏振光的选择性反射。
准晶态的结构：
长程取向有序，而长程周期性不存在；
取向有序具有晶体周期性点群所不允许的点群对称性，沿取向序对称轴的方向具有准周期性，即原子的排布间距是两个或两个以上不可公约的特征长度，并按特定序列排布
准晶态的种类
按准晶的成分来分：二元、三元、四元等多元合金
麦振洪李方华
按准晶的结构分： 1) 2) I （Al-TM）类，I代表二十面体，TM代表过渡金属 AlZnMg类

固体物理(黄昆)第一章总结

第一章晶体结构1.晶格实例1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等1.5金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构2.1基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞 2.2维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅= 4.1简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体4.3面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.1对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)5.2六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象5.3对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。

《固体物理基础》晶体的结构

B
0
aA
[ 001]
[ 010]
等效晶向（等效方向）： l m n
等效方向： 100
[ 100]
[ 001]
[10 0 ]
[ 010]
等效晶面：{hkl}
等效晶面：{100}
(001) (010)
(100)
§ 1.4 晶体的宏观对称性
一、点对称操作
对称操作：若一个空间图形经过一空间操作（线性变换），
晶体的对称轴定理：晶体中只有1，2，3，4和6五种对称轴
C
AE mAB
mZ
2AB cos AC AB
A
BE
cos m
2
D
m 2 2 1 0 1
3600 1800 1200 900 600
n 1 2 3 4 6
晶体中八种独立的对称要素 ➢ 旋转对称轴 Cn （纯旋转）
C1 (1)
C2 (2)
Bravais格子（14种）
P：简单Bravais格子 C：底心Bravais格子 I：体心Bravais格子 F：面心Bravais格子 R：三方Bravais格子 H：六方Bravais格子
P
Triclinic
P
C
Monoclinic
P
C

I
F
Orthorhombic
R
P
I
Rhombohedral
一、正格子与倒格子
正格子与倒格子之间的关系
一、正格子与倒格子
正格子与倒格子之间的关系
二、布里渊区
定义
在倒格子中，以某一倒格点为原点，从原点出发作所有倒格矢的垂直平分面，这些平面把倒格子空间分成许多部分，形成各个布里渊区。

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单选题1.在倒格子空间中以某一倒格点为原点，作所有倒格矢的中垂面，围成的一个个封闭多面体称为A.原胞B.晶胞C.布拉伐格子D.布里渊区答案:D2.晶体学中考虑到晶体对称性，将晶体结构划分为（）个晶系，（）种布拉伐格子．A.7，7B.7，14C.14，7D.14，14答案:B3.在长波极限情况，（）晶体的长光学波可以与电磁波发生共振，引起远红外光在共振频率附近的强烈吸收．A.离子B.分子C.共价D.金属答案:A4.结构介于晶体和非晶体之间，具有准周期结构的称为（）．A.晶体B.非晶体C.准晶体D.固体答案:C5.长波近似情况下，一维双原子链的相邻原子的振动振幅比为1，表明A.长声学波的相邻原子相对振动；B.长声学波描述原胞质心的振动；C.长光学波描述原胞中原子的相对振动；D.长光学波的原子做相对振动，且质心不动；答案:B6.晶体中体积最小的周期性结构单元常称（）A.原胞B.晶胞C.布拉伐格子D.晶格答案:A7.晶体中的原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上的，而是围绕平衡位置作微振动，称为A.简谐振动B.晶格振动C.原子振动D.分子振动答案:B8.冰和固态氟化氢是典型的（）结合类型晶体．A.离子B.金属C.氢键D.范德瓦尔斯答案:C9.（）代表正格子空间中的一族晶面．A.一个格点B.一个倒格点C.一个原子D.一个原子团答案:B10.布里渊区的特征之一是所有布里渊区都是（）对称的．A.轴B.线C.面D.中心答案:D11.简立方结构的配位数是A.12B.8C.6D.4答案:C12.晶体的对称性A.分为宏观对称性和微观对称性；B.是指晶体宏观对称性，由晶体的点对称操作来描述；C.是指晶体微观对称性；D.是指布喇菲原胞的对称性；答案:A13.（）是典型的混合键类型的晶体，具有范德瓦尔斯键，金属键和共价键．A.金刚石B.石墨C.冰D.固态氟化氢答案:B14.离子晶体的长光学波可以与电磁波发生共振，可以引起远红外光在（）附近的强烈吸收．A.光波频率B.共振频率C.电磁波频率D.晶格振动频率答案:B15.原子的动能加原子间的相互作用势能之和称为晶体的A.相互作用势能B.晶体结合能C.动能D.内能答案:D16.早在两世纪前，人们就开始了对晶体结构的研究。

固体物理CH1-1 晶体结构的周期性

特征：
● 不一定是最小重复单元（图E，书中图1.5）
● 可能含有多个格点，其数目=原胞体积的整数倍, 书中图1.5 : 4
Wigner-Seitz原胞（书中p4，图1.3）
概念：既反映平移不变的周期性，又反映旋转对称性的最小
重复单元特征： ● 最近邻格点垂直平分面（线）的包络─不在格点上（图 b） ● 仅含一个格点
二. 微结构整体几何描述之一─空间点阵
Po,NaCl, YBa2Cu3O7, ABO3, A2B2O7 Why 引入：晶体千千万万，一一描述繁、难引入抽象，便于分析归类观念找出同一类的通性 How引入：基本的两个问题：由什么组成、如何组成
1. 基元（basis）：
晶体中由一种或数种粒子组成的最小重复单元
原胞：一个原子加上原子周围长度为a的区域 [图（b）]
例1(b)：一维复式格子：以两种原子说明，设A、B两种原子组成的无限周期性点列，所有A原子形成一个子晶格，所有
B原子也形成一个子晶格
原胞：两种选法，包含两个原子
例2：二维格子的原胞
以任一结点为顶点，两个独立方向上（不共线）最小周期边长所围成的平行四边形
|ai|≠1
晶胞基矢：
概念：支撑起晶胞的n个独立矢量：(a, b, c)
特征：
基矢与晶轴同向
= a•(b x c)
例1: 一维格子
布喇菲格子
基矢 : a
复式格子：
基矢 : a
例2：二维格子的基矢
支撑起原胞的n个独立矢量
面心与体心立方的原胞和晶胞基矢

基矢的起点与终点一般选在格点上
原胞
ai 不一定是单位矢量 ai 1 a (a a ) 1 2 3

固体物理第一章习题解答

（1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。
（2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。
（3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。
C=BA
不改变这个轴，因此只能是一个绕垂直2和2’的轴的转动。V的转角可以这样求出：2轴在操作A中显然未动，经操作B将转到图中虚线所示2’’的位置，2和2’’的夹角是2 ，表明C的转角是2 。因为C也必须是点群操作之一，2 只能等于60°，90°，120°，180°。从而我们得到结论，任何点群中两个二重轴之间的夹角只能是30°，45°，60°，90°。
解：
若（i=1,2,3）全为奇数；则点阵矢量可以写为
由所定义的也是一个点阵常数为2的sc点阵，但相对于上面一个sc点阵位移了一个矢量，这个点正好位于立方体得体心位置，上面两个sc点阵穿套起来正好是一个bcc点阵，故或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc点阵．
（2）要求为偶数。即要求为偶数，其中N为整数。这时，点阵矢量为
11、在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴上的截距为，第四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为。
求证：
并将下列用（hkl）表示的晶面用（hkil）表示：。
证明：
解:为清楚起见图中给出了六角格子底面的格点排列情况，假设有一晶面与底面的交线为AB，它在基矢上的截距分别为，假设直线AB的法线方向为，则

固体物理：1_2 晶格的周期性(periodicity)

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1 – 2 晶格的周期性
第一章晶体的结构
布拉伐格子(Bravais lattice)
晶格周期性的数学描述
简单晶格，任一原子A的位矢 Rl l1a1 l2 a2 l3a3
Rl 2a1 3a23
Rl 3a1 a2 a3
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1 – 2 晶格的周期性
（5）简立方、体心立方、面心立方的晶胞
与原胞的体积之比
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第一章晶体的结构
二维三角晶格
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1 – 2 晶格的周期性
第一章晶体的结构
关于晶胞选取晶胞有时是原胞，有时不是原胞；各种不同结构格子的原胞与晶胞的选取有统一的规定。
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1 – 2 晶格的周期性
第一章晶体的结构
原胞与晶胞的区别与联系
原胞
晶胞
晶格中体积最小的周期单元体积较大的周期单元
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1 – 2 晶格的周期性
第一章晶体的结构
k 简立方、体心立方和面心立方晶格的原胞和基矢
j
i
v0 a3 / 2
v0 a3
简立方结构原胞
a1
=ai
a2 =aj
a3=ak
v0 a3
体心立方原胞
面心立方原胞
a1 =a/2( i j k ) a2 =a/2( i j k )
每个原胞平均不只含
一用个a格, b点, c，来其表基示矢；常
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1 – 2 晶格的周期性
第一章晶体的结构
维格纳-赛茨原胞 (Wingner-Seitz)
定义：由某一个格点为中心，做出最近各点和次近各点的连线的中垂面，这些面所包围的封闭空间称为维格纳-赛茨原胞。

固体物理1-2晶体的周期性

所有晶格的共同特点 — 具有周期性
1）用原胞和基矢来描述描述方式
2）位置坐标描述 1、原胞定义：
一个晶格最小的周期性平移单元—书本定义。也称为固体物理学原胞
2. 基矢：指原胞的边矢量，一般用 a1, a2, a3 表示.
原胞（primitive cell) 三维晶格原胞：是以基矢 a1, a2, a3 为棱的平行六面体。以一个格点为顶点，以三个不共面方向上的周期为边长构成的平行六面体
原胞体积为： a1.a2 a3
二维晶格原胞的面积 S 为： S a1 a2
一维晶格原胞的长度 L 为：最近邻（布拉伐）格点的间距
原胞（primitive cell)
a2 O a1
二维点阵基矢和原胞
对于同一点阵，原胞可以有多种不同的取法.
但不管如何选取都要满足: 原胞中只含有一个格点. 原胞的面积均相等（最小）。
av1
v ai ,
av2
v aj ,
av3
v ak
简单立方晶格的典型单元
(原胞,晶胞)
fcc
fcc 格子的一个立方单元体积中含的原子数：4
晶胞
原胞——由立方体的顶点到三个近
邻格点(面心)引三个基矢：
面心立方晶格的典型单元
av1
a 2
vv j k
, av2
a 2
vv k i
, av3
a iv
沿垂直
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
A
B
av3
av1
av2
六角密排晶格结构的原胞
氯化铯（CsCl) 原胞：Cl- 的简单立方原胞中心 + 一个 Cs+
CsCl晶格布拉非格子SC

布里渊区边界方程证明

布里渊区边界方程证明为了证明布里渊区的边界方程，我们首先需要了解什么是布里渊区。

布里渊区是准周期结构中的第一布里渊区。

准周期结构是一种具有周期性和拓扑性质的结晶结构，如多孔材料、非晶态材料等。

布里渊区类似于正常晶体的第一布里渊区，但在布里渊区中，所有传统的晶格平移矢量都是平均的，而不是具体的。

布里渊区是测量准晶体物理属性的基本单位，并且在固体物理和材料科学的研究中具有广泛的应用。

因此，描述布里渊区边界方程是重要的。

布里渊区的边界方程描述了布里渊区的边界形状，并且是通过一组数学表达式表示的。

边界方程可以用于计算布里渊区的体积、形状和边界的性质。

我们可以通过以下步骤证明布里渊区的边界方程：1.首先，我们需要定义准周期结构的一维倒格矢量。

准周期结构的一维倒格矢量定义为：G(m)=m*G(1)+G⊥其中，m是整数，G(1)是第一布里渊区的倒格矢量，G⊥是垂直于G(1)的倒格矢量。

2.接下来，我们定义一个点P的坐标为P=n1G(1)+n⊥G⊥，其中n1和n⊥是整数。

3.然后，我们定义一个准周期结构的单位胞为一个基本矩形。

单位胞的边界由四条边组成，我们将这四条边分别记为a1、a2、a3和a44.现在，我们来推导布里渊区的边界方程。

根据定义，布里渊区的边界是由单位胞的四条边和倒格矢量之间的关系确定的。

布里渊区边界的方程可以表示为：a1·G(m1)+a2·G(m2)+a3·G(m3)+a4·G(m4)=0其中，m1、m2、m3和m4是整数。

由于倒格矢量G(m)可以表示为G(m)=mG(1)+G⊥，我们可以将布里渊区的边界方程改写为：(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G(1)+(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G⊥=0由于G(1)和G⊥是相互独立的，所以上述方程可以被分解为两个方程：(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G(1)=0(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G⊥=05.最后，我们可以进一步简化上述方程以得到布里渊区的边界方程。