《弦度制》ppt课件
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《弦度制》ppt课件
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11 ．
7
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单
位： ）．
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm，2 求扇形的中
心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐角 （2） 0o到90o的角 （3） 第一象限的角 （4） 小于90o的角
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时
是用度做单位来度量角， 1o的角是如何定义
的？
规定周角的
1 360
为1。的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
弧度这个关键．
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1o 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
64
3
2
2 3 34
5 6
3
2 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。
；（2） 315 ；（3） 11 ．
7
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单
位： ）．
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm，2 求扇形的中
心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐角 （2） 0o到90o的角 （3） 第一象限的角 （4） 小于90o的角
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时
是用度做单位来度量角， 1o的角是如何定义
的？
规定周角的
1 360
为1。的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
弧度这个关键．
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1o 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
64
3
2
2 3 34
5 6
3
2 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。
弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
动活11.按大 知下胆识面操的作步探骤究做新一做：
识 ★▲
（′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角
∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心
注意：固定。
在画∠AOB与∠A′O′B′时，要
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定 理动活的3 应大 弧用胆度探 相索等，。证明线段相等与
例3.如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N 分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM， 求证：AB=CD。
【思路点拨】 由中点想到垂径定理，
由等角对等边定理可以得 到线段与角度的相等关系， 可以为证明全等三角形创 造条件。
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等。
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
活 动2
集思广益 证明新 知
识 ★▲
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是
正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
动以前是一个样的。这个现象跟圆的哪个性
质有关？ 说明钟钮左右两端转动180°后完全重合，
两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆
是中心对称图形，对称中心是圆心。
探究一：圆的中心对称性
活 动1
归纳概括
想一想：由以上现象，概括圆的
对称性。
结论： 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
练习：如图，AB是⊙O的直径 ， P、Q是AB
上两点， 且AP=BQ ， C、ACD=是BD⊙O上两点，
弧度制PPT课件(共15张PPT)
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不 写， 但用“度”（°）为单位不能省略。
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如 无特别要求，不用将π化成小数。
第十二页，共15页。
练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
直角： {θ|θ=90°}
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
周角： {θ|θ=360°} 任一已知角α的弧度数的绝对值
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}；
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 360°= 2π 弧度
（1）、把67°30′化成弧度。
= = |α| r
3
弧度
钝角：
{θ|90°＜θ＜180°}
规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位
平角： {θ|θ=180°} 若L=2r，则∠AOB
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不 写，但用“度”（°）为单位不能省略。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
L r
=3
弧度
3r
3rad
r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且
它数所的对绝的对弧值的是长Lr为3=r，3，则∠AOB的弧度
即∠AOB=－
L r
=
－3弧度
B
OrA
-3弧度
第五页，共15页。
L=3r
2.正角的弧度数
负角的弧度数 零角的弧度数
高中数学北师大版必修四《1.3 弦度制》课件
1 rad 0.01745rad
180
1rad
180
57.30
57 18'
2023/9/15
7
写出一些特别角的弧度数
单击此处编辑母版标题样式
• 单击角 度此处编0 辑3母0 版文本60样 式
• 二第级二级
•弧三第级三级
4 度 • 四第级四级 • 五第级 五级
2
120135
5 6
270
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
1.•1第二级 • 第三级
随机选取 • 第四级 • 第五级
数字
2023/9/15
北师大版 高中数学
1
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二第级二级
• 三第级三级
• 四第级四级 • 五第级 五级
2023/9/15
2
单击此处编辑母版标题样式
单击此处编辑母版标题样式
例6 求图中公路弯道处弧 的长 l
• 单击此处（编精辑确母到版文1m本，样图式中长度单位：m ）．
• 二第级二级
• 三第级三级
• 四第级四级
• 五第级 五级
2023/9/15
16
单击此处练编习辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式 • 二第（ 的•级二弧1三第）级•度级三若四第级数级四三级．角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角
圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
2023/9/15
14
单击此处例编5 辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二第把级二下级列各角化成 2k 0 2，k Ζ的情势： • 三第级三级
3.4三角函数的图像与性质
例2 求函数y=cos3x的最大值及取得最大值时自变量x的集合.
解:令t=3x,y=cos3x=cost,ymax=1.
因为使函数cost取得最大值的t的集合为{t|t=2kΠ,k∈Z}因为t=3x,
所以{x|x=23kΠ,k∈Z}
练习
1.比较cos5与cos7值的大小.
解:5=36°,7≈26°,因为区间[0,Π]是减函数,所以cos5<cos7.
y=sinx是奇函数，从图像来看,y=sinx的图像关于原点对称,也能判断
出y=sinx是奇函数.
周期性:物体有规律地重复出现,做周期运动.
正弦曲线的部分图像是重复出现的,因此正
弦函数具有周期性.
周期函数:一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内
的每一个值,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么,函数f(x)就
下面五个点在确定图像形状
时起着关键作用:
(0,1),(
,0),(Π,2
1),(3
,0),(2Π,1)
2
这五个点描出后,余弦函数
y=cosx(x∈[0,2Π]) 的 图 像
形状就基本确定了.
0=0°,2=90°,Π=180°,3
=270°,2Π=360°,这五个点都是相差90°角
2
的关系.像这样画余弦函数的方法称为五点法.
(2)求出它的最大值和最小值;
(3)判断它的奇偶性;
(4)指出这个函数在[0,2Π]上的单调区间.
(2)ymin=-0.5,ymax=0.5.
(3)函数y=12sinx是奇函数.
(4)单调减区间为[ 2 , 3
],
人教版数学九年级上册.. 弧、弦、圆心角完美课件
，
∠ACB=60°，求证：
∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵ A⌒B = A⌒C
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
又∵∠ACB=60°,
O·
∴△ABC是等边三角形
B
C
∴AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .1. 3 弧 、弦、 圆心角 课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .1. 3 弧 、弦、 圆心角 课件
2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
_（ _2A _）_O _如B __果 __ _C A_⌒B_O _=D _C_⌒D__．，那么___A_B_=_C_D_____，
__ _A __O _B __ __ __C _O _．D
（ __3_）__如__A果_⌒B_∠=_A_CO⌒_D．B=∠ACBO=DCD，那么_____________，
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。
6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
弧度制课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
(2)求圆心角 所在的扇形的弧长 及弧所在的弓形的面积 .
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
24.1.3弧、弦、圆心角 原创课件
今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关 系定理。
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O· B
O
A
D
B
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
∠AOD,∠BOD,∠AOB
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，
你能发现哪些等量关系？为什么？
又 OA＝OC RtAOE RtCOF
OE OF.
O·
D
F C
五、例题
例1 如图, 在⊙O中， 弧AB=弧AC ，∠ACB=60°，
A
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明： ∵弧AB=弧A′B
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰
三角形
B
O·
C
又∴∠ACB=60°，
∴ ⊿ABC是等边三角形 ，AB=BC=CA.
A′
A′
B
B′
B′
在等圆中，
B 是否也能得 到类似的结 论呢？
O·
A
·
O
ALeabharlann 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， 显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相 等，OA=OA′，OB=OB′，从而点 A与 A′重合，B与B′重合．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE OF,理由如下： OE AB,OF CD
A
E
B
AE 1 AB,CF 1 CD
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O· B
O
A
D
B
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
∠AOD,∠BOD,∠AOB
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，
你能发现哪些等量关系？为什么？
又 OA＝OC RtAOE RtCOF
OE OF.
O·
D
F C
五、例题
例1 如图, 在⊙O中， 弧AB=弧AC ，∠ACB=60°，
A
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明： ∵弧AB=弧A′B
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰
三角形
B
O·
C
又∴∠ACB=60°，
∴ ⊿ABC是等边三角形 ，AB=BC=CA.
A′
A′
B
B′
B′
在等圆中，
B 是否也能得 到类似的结 论呢？
O·
A
·
O
ALeabharlann 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， 显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相 等，OA=OA′，OB=OB′，从而点 A与 A′重合，B与B′重合．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE OF,理由如下： OE AB,OF CD
A
E
B
AE 1 AB,CF 1 CD
《弧度制》【公开课教学PPT课件】
解析：|α|＝rl＝42＝2.
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
《弧、弦、圆心角》PPT精品实用版初中数学1
圆的有关性质
24.1.3弧、弦、圆心角
初中数学 九年级上册 RJ
(
知识回顾
1.弦的概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 2.弧的概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 3.垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 其中①过圆心②垂直弦③平分弦④平分优弧⑤平分 劣弧，五个条件可以知二推三.
B
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
O
A
弧
圆心角 弦
注意：一条弧所对的圆心角只有一个 .
圆心角的条件： (1)顶点在圆心； (2)两边和圆相交． 拓展： (1)1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．n°的圆心角 所对的弧就是n°的弧． (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致(或相等) 的，即圆心角的度数等于它所对弧的度数.(注意这里 仅指度数相等)
在弦同相圆 等或，等所圆对中的，圆如心果角两相条等弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
距有一组量相等,它们所对应的其余各组量也分别相等．
课堂小结
圆心角
顶点在圆心的角
弦、弧、圆心角的 关系定理
应用提醒
在同圆或 等圆中
圆心角 相等
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
( (
( ( (
( (
弧AB与弧CD存在怎样的数量关系呢？
由圆的旋转不变性，我们发现：
C B
AB=CD.
D
如果∠AOB =∠COD， ∵OC=OD=OA=OB,
·
O
A
∴△AOB≌△COD,∴AB = CD
24.1.3弧、弦、圆心角
初中数学 九年级上册 RJ
(
知识回顾
1.弦的概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 2.弧的概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 3.垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 其中①过圆心②垂直弦③平分弦④平分优弧⑤平分 劣弧，五个条件可以知二推三.
B
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
O
A
弧
圆心角 弦
注意：一条弧所对的圆心角只有一个 .
圆心角的条件： (1)顶点在圆心； (2)两边和圆相交． 拓展： (1)1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．n°的圆心角 所对的弧就是n°的弧． (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致(或相等) 的，即圆心角的度数等于它所对弧的度数.(注意这里 仅指度数相等)
在弦同相圆 等或，等所圆对中的，圆如心果角两相条等弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
距有一组量相等,它们所对应的其余各组量也分别相等．
课堂小结
圆心角
顶点在圆心的角
弦、弧、圆心角的 关系定理
应用提醒
在同圆或 等圆中
圆心角 相等
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
( (
( ( (
( (
弧AB与弧CD存在怎样的数量关系呢？
由圆的旋转不变性，我们发现：
C B
AB=CD.
D
如果∠AOB =∠COD， ∵OC=OD=OA=OB,
·
O
A
∴△AOB≌△COD,∴AB = CD
《弧、弦、圆心角》ppt课件人教版2
证问明题（:4：∵1通A）C过与如前B面D果为的⊙演AO示B的、两=观C条察互D，相，你垂能那直得的出么直什径_么,_结_论_？_______，_________________．
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ (（如定相3)3图理在（ （）等， ：同如23A把圆果C））圆或与∠绕等B如如A圆D圆O为B心果果中=⊙旋,∠度O∠转C数的AOA任相两D意BO，等条一那B的互个么弧==角_∠相_度_等C_后C_._，DO__仍_D_与_，_，原_，来那那_的__么圆么__重____合____。A__A__相_B__．垂B_=_直_C_的_=_D直__径__C_.__D____，，A__O___B_____A__C_B__O=__DC__D______．_．
O
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 ，
若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
n º的圆心角对着nº的弧,
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
则每一份这样的弧叫做1º的弧. 所以△AOB ≌ △COD.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
n°弧
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
则每一份这样的弧叫做1º的弧.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ (（如定相3)3图理在（ （）等， ：同如23A把圆果C））圆或与∠绕等B如如A圆D圆O为B心果果中=⊙旋,∠度O∠转C数的AOA任相两D意BO，等条一那B的互个么弧==角_∠相_度_等C_后C_._，DO__仍_D_与_，_，原_，来那那_的__么圆么__重____合____。A__A__相_B__．垂B_=_直_C_的_=_D直__径__C_.__D____，，A__O___B_____A__C_B__O=__DC__D______．_．
O
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 ，
若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
n º的圆心角对着nº的弧,
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
则每一份这样的弧叫做1º的弧. 所以△AOB ≌ △COD.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
n°弧
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
则每一份这样的弧叫做1º的弧.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
《弧度制》三角函数PPT课件
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终
边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 = +
π
· ,∈Z
2
,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
1
1
故扇形的面积 S=2rl=2 ×2×4=4(cm2).
(2)设圆心角弧度数为 α(0<α<2π),弧长为 l,半径为 r,则有
+ 2 = 10,
= 1,
= 4,
解得
或
1
= 4,
= 2.
=8
2
= 1,
当
时,α==8>2π,不符合题意,舍去;
=8
1
= 4,
当
解:在 0 到 2π 范围内,终边落在直线
3π
4
7π
3π
y=-x 上的角有两个,即 4 和 4 .
所有与 终边相同的角构成的集合为
3π
S1= = 4 + 2π,∈Z ,
7π
所有与 终边相同的角构成的集合为
4
7π
S2= = 4 + 2π,∈Z
3π
= = + (2 + 1)π,∈Z ,
三角函数
5.1.2
弧度制
-1-
首页
课标阐释
思维脉络
1.理解 1 弧度角的定义,了解
弧度制的概念.
2.能进行角度与弧度之间的
边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 = +
π
· ,∈Z
2
,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
1
1
故扇形的面积 S=2rl=2 ×2×4=4(cm2).
(2)设圆心角弧度数为 α(0<α<2π),弧长为 l,半径为 r,则有
+ 2 = 10,
= 1,
= 4,
解得
或
1
= 4,
= 2.
=8
2
= 1,
当
时,α==8>2π,不符合题意,舍去;
=8
1
= 4,
当
解:在 0 到 2π 范围内,终边落在直线
3π
4
7π
3π
y=-x 上的角有两个,即 4 和 4 .
所有与 终边相同的角构成的集合为
3π
S1= = 4 + 2π,∈Z ,
7π
所有与 终边相同的角构成的集合为
4
7π
S2= = 4 + 2π,∈Z
3π
= = + (2 + 1)π,∈Z ,
三角函数
5.1.2
弧度制
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.理解 1 弧度角的定义,了解
弧度制的概念.
2.能进行角度与弧度之间的
弧度制 课件 (共 26张PPT)人教A版(2019)必修第一册
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始 边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆 交于点B.请在下表格中填空.
y B
αA ox
探思考究：弧如果度一个制半的径为性r的质圆的圆心角α所对的弧长是L,
那么α的弧度数是多少?
AB的长
OB旋转的 ∠AOB的弧 ∠AOB的度
方向
度数
数
πr
逆时针方向
180
关键
1 rad
180
57.30 5718
方法总结：
度化为弧度：180
rad
度数
弧度化为度：弧度数（180）
正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是零
正角
零角
在弧度制下，角
的集合与实数集R
之间建立了一一 对应关系．
负角 任意角的集合
正实 数
0
负实 数
实数集R
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
注：今后在用度制
C B
AOC的弧度数就是
表 弧示度角二的字时或r候ad，可以略去不写rl。=
2r r
= 2rad
l=r
1rad
Or
A
弧度制实质上是用弧长与其
半径的比值来反映弧所对圆
心角的大小．
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
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写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐角 （2） 0o到90o的角 （3） 第一象限的角 （4） 小于90o的角
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时
是用度做单位来度量角， 1o的角是如何定义
的？
规定周角的
1 360
为1。的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
64
3
2
2 3 34
5 6
3
2 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。
弧度这个关键．
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1o 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11 ．
7
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单
位： ）．
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm，2 求扇形的中
心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l
r 其中 l是以角作为圆心角时所对的弧长，
r 是圆的半径。
角度制与弧度制的换算
Hale Waihona Puke 1 把角度换成弧度360o 2 rad
2 把弧度换成角度
2 rad=360。
180o rad
rad=180。
1o rad 0.01745rad
180
1rad
180
o
57.30o
57o18 '
写出一些特殊角的弧度数
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
例4利用弧度制证明扇形面积公式 S 1 lR ，
其中 l 是扇形的弧长，R是圆的半径。 2
弧长公式： l r 即弧长等于弧所
对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
例5
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ的形式：
16
例1 把 6730化成弧度．
解：∵ 6730 67 1 2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180o
A． k 与 2k ，k Ζ
4
4
B． 2k 2 与 ，k Ζ
3
3
C． k 与 k ，k Ζ
2
2
D． 2k 1与 3k，k Ζ
小结
（1） 180 弧度；
（ 2）“角化弧”时，n将
将 乘以 180 ；
乘以 180
（3）弧长公式：l r
；“弧化角”时，
扇形面积公式：S 1 lr 1 r 2（其中 l为圆心角 所
22
r 对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
例3 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时
是用度做单位来度量角， 1o的角是如何定义
的？
规定周角的
1 360
为1。的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
64
3
2
2 3 34
5 6
3
2 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。
弧度这个关键．
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1o 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11 ．
7
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单
位： ）．
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm，2 求扇形的中
心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l
r 其中 l是以角作为圆心角时所对的弧长，
r 是圆的半径。
角度制与弧度制的换算
Hale Waihona Puke 1 把角度换成弧度360o 2 rad
2 把弧度换成角度
2 rad=360。
180o rad
rad=180。
1o rad 0.01745rad
180
1rad
180
o
57.30o
57o18 '
写出一些特殊角的弧度数
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
例4利用弧度制证明扇形面积公式 S 1 lR ，
其中 l 是扇形的弧长，R是圆的半径。 2
弧长公式： l r 即弧长等于弧所
对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
例5
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ的形式：
16
例1 把 6730化成弧度．
解：∵ 6730 67 1 2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180o
A． k 与 2k ，k Ζ
4
4
B． 2k 2 与 ，k Ζ
3
3
C． k 与 k ，k Ζ
2
2
D． 2k 1与 3k，k Ζ
小结
（1） 180 弧度；
（ 2）“角化弧”时，n将
将 乘以 180 ；
乘以 180
（3）弧长公式：l r
；“弧化角”时，
扇形面积公式：S 1 lr 1 r 2（其中 l为圆心角 所
22
r 对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
例3 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
角的集合与实数集之间的一一对应关系：