福建省三明市2019-2020学年高二第一学期期末考试试题 数学【解析版】
福建省三明市2019-2020学年高二数学上学期期末质量检测试题_20200301079
高二数学试题 第1页 （共4 页）2019—2020学年第一学期三明市普通高中期末质量检测高二数学试题本试卷共4页．满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知直线l 的倾斜角为45︒，则l 的斜率为AB ．1 C．2 D2. 已知i 为虚数单位，则复数2i1i=+ A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --3. 计算138(3π)()27--=A. 7π3-B. 23-C. 12-D. 134．以(1,2)为圆心且过原点的圆的方程为A. 22(1)(2)x y -+-=B. 22(1)(2)x y +++=C. 22(1)(2)5x y -+-=D. 22(1)(2)5x y +++=5．双曲线2214y x -=的渐近线方程为A. 14y x =±B. 12y x =± C. 2y x =± D. 4y x =±6．函数21y x x=-的图象大致是A B C D高二数学试题 第2页 （共4 页）7．若ππ,[,]22x y ∈-，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是 A ．x y < B ．x y > C ．x y < D ．x y >8．已知直线:l ()(||2)y t k x t t -=->与圆22:4O x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则||||log log t t M m +的值为A ．1B ．0C ．1-D ．2||22log ()4t t t -二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．已知方程221(,)mx ny m n +=∈R ，则A ．当0mn >时，方程表示椭圆B ．当0mn <时，方程表示双曲线C ．当0m =时，方程表示两条直线D ．方程表示的曲线不可能为抛物线 10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，15,4,3AB AD AA ===，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A.点1B 的坐标为()4,5,3B.点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3-C.点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3D.点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0 11．下列说法正确的是A ．命题“若x y ≠且x y ≠-，则||||x y ≠”为真命题B ．“若直线10ax y +-=与直线20x ay ++=平行，则1a =”的逆命题是真命题C ．若p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，使得210x x +->D ．“{ln(1)}x x y x ∈=-”是“[1,)x ∈+∞”的充要条件12．已知函数3()e x f x x =⋅，则以下结论正确的是A.()f x 在R 上单调递增B.125(log 2)<(e )<(ln π)f f f -C ．方程()1f x =-有实数解D ．存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解高二数学试题 第3页 （共4 页）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线:210l x y +-=，则过点()1,2-且垂直于l 的直线方程为 ． 14．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次．记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，p r ⌝∨（）是真命题，则得第一名的是 ． 15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，32()23f x x x a =-+，则(2)f -= ；曲线()y f x =在点(2,(2))f --处的切线方程为 ． (第一空2分，第二空3分)16．设过原点的直线与双曲线2222:1y x C a b -=(0,0)a b >>交于P ，Q 两个不同点，F 为C 的一个焦点，若4tan 3PFQ =∠,||5||QF PF =,则双曲线C 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知i 是虚数单位，复数()2i 42i i z =-+-． （1）求复数z 的模||z ；（2）若13i z mz n ++=+（,m n ∈R ，z 是z 的共轭复数），求m 和n 的值．18．（12分）已知函数2, 0,()log ,0,x ax f x x x ⎧≤=⎨>⎩且[(2)]1f f -=-．（1）求实数a 的值；（2）当[2,2)x ∈-时，求()f x 的值域．19．（12分）已知动点P 在y 轴的右侧，且点P 到y 轴的距离比它到点()1,0F 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设斜率为1-且不过点(1,2)M 的直线交C 于,A B 两点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值．高二数学试题 第4页 （共4 页）AB CDPO20．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//,AB CD ACBD O =，22AO OC ==，PA PB AB AC PB ===⊥．（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PD B --的余弦值．21．（12分）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)P 的直线l 与C 交于不同的两点A ，B ，求OAB △面积的最大值.22．（12分）已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有极值点0x ，有两个零点12,x x ，且()120120x x mx x x ++<恒成立，求实数m 的取值范围．。
2019-2020学年福建省三明市高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省三明市高二上学期期末数学试题、单选题1 .已知直线I 的倾斜角为45，则I 的斜率为（ ）A . . 3B . 1C . —2D . —32 3【答案】B【解析】直接根据斜率和倾斜角的关系得到答案 •【详解】k tan tan —1.4故选：B . 【点睛】本题考查了倾斜角和斜率，属于简单题 •2.已知i 为虚数单位，则复数 -2L =（）1 iA . 1 iB . 1 iC . 1 iD . 1 i【答案】A【解析】 根据复数的除法运算，即可求解，得到答案 •【详解】2i 1 i 1 i ，故选A.1 i 1 i【点睛】关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13 .计算38 3 ( )27721 1A .—B .—C .— D .3323【答案】D【解析】直接计算得到答案 【详解】13A 3 1 2 1.由复数的运算，可得复数2i1 i本题主要考查了复数的基本运算,其中解答中熟记的除法运算方法, 准确运算是解答的27 3 3故选：D.【点睛】本题考查了指数幕的计算，属于简单题•4•以1,2为圆心且过原点的圆的方程为（）2A • X 1y 22話B •2x 1y 2 2、、522‘ 2 2 -C • x1y 25D •x 1y 2 5【答案】C【解析】设圆方程为x 1 2y 2 2 r2，代入点0,0，计算得到答案【详解】设圆方程为X 1 2y 22r2，代入点0,0得到r 5 , 即圆方程为X 1 2y 2 25.故选：C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力5 •双曲线x22y_41的渐近线方程为（)11A• y x B. y x C • y 2x D • y 4x 42【答案】C【解析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】2双曲线X2—1的渐近线方程为：y 2x.4故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题•1 26•函数y - x的图象大致是（）x【答案】D得到答案.【详解】对比图象知：D 满足条件•故选：D . 【点睛】本题考查了根据导数求单调区间， 函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用•7.若x, y,，且xsin x ysin y 0，则下列不等式一定成立的是 （ ）2 2A . x yB . x yC . x yD . x y【答案】D【解析】 设函数f x xsinx ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到f x f y ，得到答案•1 【解析】求导得到y'-12 2x x2x 3 1 x 2，得到函数单调性，根据单调性判断图象1 212x 3 1 订2x 3 1 …y _ X , y' 2 2x 2 ，取y'20得到xxxx故函数在0, 上单调递减，在,0上单调递减，在2113上单调递2C .i13【详解】设函数f x xsinx ,函数为偶函数，则f ' x sinx xcosx 0在0,— 上恒成2即函数在 0,— 上单调递增，在 一,0上单调递减•2 2xsinx ysin y 0，即f x f y ，根据单调性知 x y .故选：D . 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数 f x xsinx 是解题的关键【详解】故选：B . 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的转化能力和计算能力8 .已知直线I :2与圆O ： x 24有交点，若k 的最大值和最小M ,m ，则log|t|log r ,m的值为（B . 0【答【解根据直线和圆相交得到kt t 1k 22整理得到t 2 4k 22 22t k t 4 0，根据韦达定理得到t 2Mm~2t 4，计算得到答案•直线I :t t 2 即 kx y kt t 0与圆O ：y 2 4有交点,kt 1 k 22整理得到t2 24 k 2t kt 2 4当不等式取等号时, k 对应最大值和最小值，此时 Mm t 2 4 t 24故 log h | M log N mlogjq Mm log t 1 0、多选题2 29 .已知方程 mx ny 1 m, n R ，则（ ）A •当mn 0时，方程表示椭圆B •当mn 0时，方程表示双曲线C .当m 0时，方程表示两条直线D .方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BD【解析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项得到答案 【详解】A. 取m n 1，此时表示圆，错误；B. 当mn 0时，方程表示焦点在 x 轴或y 轴上的双曲线，正确； C •当m 0, n 0时，方程不成立，错误；D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确； 故选：BD . 【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解10 •如图，在长方体 ABCD A i B i C i D i 中，AB 5，AD 4，AA 3，以直线 DA ， C .点A 关于直线BD i 对称的点为 0,5,3D .点C 关于平面ABB i A i 对称的点为8,5,0 【答案】ACD【解析】根据点关于点，点关于直线，点关于平面的对称法则，依次判断每个选项得到 答案•【详解】 根据题意知：点 B i 的坐标为 4,5,3 , A 正确；B 的坐标为4,5,0 ,C i 坐标为0,5,3 ,故点C i 关于点B 对称的点为8,5, 3 , B 错y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 （）占 八C i 关于点B 对称的点为5,8, 3误；点A 关于直线BD i 对称的点为G 0,5,3 , C 正确; 点C 0,5,0关于平面ABB 1A 1对称的点为8,5,0 , D 正确; 故选：ACD .【点睛】 本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力11.下列说法正确的是（ ） x R ，使得x 2 x 1 0 ; D 应为充分不必要条件，得到答案 【详解】A. 命题若x y 且x y ，则x y ”为真命题，正确；B. 逆命题是：若a 1，则直线ax y 1 0与直线x ay 2 0平行，即x y 1 0和x y 20平行，正确；C. 若 P : x R ，使得 x 2 x 1 0，则 P : x R ，使得 x 2 x 10 , C 错误；D. x x y In x 1 ”是’x 1, ”的充分不必要条件，错误；故选：AB . 【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，特称命题的否定，充要条件，意在考查学生的综 合应用能力•x 312 .已知函数f x e x ，则以下结论正确的是 （）A •命题若xy 且x y ，则y ”为真命题B .若直线axy 1 0与直线ay 20平行，则a 1 ”的逆命题是真命题C •若P R ，使得x 2 x0,则 P : x R ，使得 x 2x 1 0 'XIn x 1”是“x1,”的充要条件【答AB【解依次判断每个选项：判断知 A 正确；根据平行的性质知 B 正确；C 选项应为B 正确;x则g' x e x x 2，故函数在0,上单调递增，在2,0上单调递减,4在 ,2上单调递增，且g 2-2.e 4画出函数图象，如图所示：当0 k —时有3个交点.e综上所述：存在实数 k ，使得方程f x kx 有4个实数解，D 正确；A • f X RB • f log 5 2 f e 2 f InC .方程f x 1有实数解 个实数解 【答案】BCDD •存在实数k,使得方程f X kx 有4【解析】求导得到函数的单调性得到A 错误；判断o iog 521e " 1,ln 1得到B 正确；根据f 327 e1得到C 正确；构造函数e x x 2，画出函数图象知D 正确，得到答案•【详x 2e 3x故函数在上单调递减,3, 上单调递增，A 错误;0 log 5 21e 2 1,ln1，根据单调性知 f Iog 5 2In ,kx , 易知当27 e故方程f x1有实数解, C 正确;0时成立，当x 0时，k2，设 g x故选：BCD.71 1V 1-4 —3 -2 -1 0 1 2K-1—【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、填空题13•已知直线l : x 2y 1 0，则过点1,2且垂直于I的直线方程为_____________ 【答案】2x y 4 0【解析】根据垂直得到k 2, 计算直线方程得到答案•【详解】直线1 : x 2y 1 0 ,则k11，根据垂直知k 2,2故直线方程为y 2x 1 2，即2x y 4 0.故答案为：2x y 4 0.【点睛】本题考查了根据垂直求直线方程，意在考查学生的计算能力14 •为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次•记甲得第一名”为P ,乙得第一名”为q,丙得第一名”为r , 若P q是真命题，p r是真命题，则得第一名的是_______________ .【答案】乙【解析】根据P q是真命题，P或q为真命题，r为假命题，p为真命题，得到答案.【详解】因为第一名只有一个，所以由P q是真命题，可得命题P与命题q有且只有一个为真命题，则r必为假命题，又因为p r是真命题，则p为真命题，故P为假命题，故q为真命题.故答案为：乙• 【点睛】本题考查了逻辑推理和命题的判断，意在考查学生的逻辑推理能力3215 .已知f x 是定义在R 上的奇函数，当x 0时，f X 2x 3x a ，则f 2_______ ;曲线y f x 在点 2, f 2处的切线方程为 ___________【答案】 412x y 20 032的解析式为f X 2x 3x ,求导得到切线方程 【详解】f x 是定义在R 上的奇函数，贝y f 02 16 12即 12x y 200.故答案为：4 ; 12x y 20 0.【点睛】 本题考查了函数的奇偶性，求函数值，函数的切线方程，意在考查学生对于函数知识的综合应用4为C 的一个焦点，若tan PFQ - , QF 5 PF ，则双曲线C 的离心率为3【答案】、、2【解析】如图所示：连接PF 1,QF 1，根据对称性知 PF 1QF 为平行四边形，计算得到【解析】根据奇函数得到a0，计算f 216 124，求得X 0当x 0时，x 0 ,故fx2x 3 3x 2 2x 3 3x 2f ' x 6x 2 6x , f'212，故切线方12 x 216 .设过原点的直线与双曲线2yb 21 a 0,b 0交于P,Q 两个不同点,PF 1 5a2'PFa一，利用余弦定理计算得到答案2【详如图所示：连接PF1 ,QF1，根据对称性知PF1QF为平行四边形e 2.故答案为：'2 .本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的综合应用能力和计算能力 四、解答题 17 .已知i 是虚数单位，复数z 2 i 4 2i i . (1)求复数z 的模z ；⑵若z mz n 1 3i ( m,n R , ~z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值.m 0【答案】(1)5 ; (2).n 3【解析】(1)化简得到z 4 3i ，计算模长得到答案• (2)化简得到4 4m n 3 3m i 1 3i ，计算得到答案• 【详解】(1)因为 z 2 i 4 2i i ，所以 z 2 i 4i 24 3i ，则 z x/42 32 5.tan PFQ4，则 cosPFQ 3- cos5F 1PFQF\ |PF 」5 PF , PF i PF 2a ，故|PF i5a ，pF i根据余弦定理：4c 225a 2a25aa222 23，化简得到c 2 2a 2，故⑵ z 4 3i , z 4 3i，所以z mz n 4 3i m 4 3i n 1 3i ,4 4m n 1, m 0即4 4m n 3 3m i 1 3i，所以解得3 3m3, n 3【点睛】本题考查了复数的计算，模长, 意在考查学生的计算能力£ 2x,x 0 r r小18 .已知函数f x且f f 21.log a x, x 0(1)求实数a的值；⑵当x 2,2时，求f x的值域.【答案】(1)4; (2) ,1 .【解析】(1)代入数据直接计算得到答案•(2)分别计算x 2,0和x 0,2的值域，综合得到答案【详解】(1) f2221—,故f f 21 1f l0ga ，令lOg a1- 1，解得a 44 4 44⑵当x 2,0时，-xf x 2区间2,0上单调递增，所以fx -,1 ;4当x0,2时,f x l0g4 x区间0,2上单调递增，所以f x1,2，综上，当x 2,2时，函数f x的值域是,1 .【点睛】本题考查了根据函数值求参数，分段函数的值域，意在考查学生的计算能力19 .已知动点P在y 轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F 1,0的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；⑵设斜率为1且不过点M 1,2的直线交C于A, B两点，直线MA,MB的斜率分别为K, k2，求k1 k2的值•2【答案】(1) y 4x x 0 ；(2)0.【解析】(1)根据题意知轨迹是抛物线，计算得到答案(2)设直线AB : y X b b 3, Ax^%, B X2,y2，联立方程，利用韦达第11页共17页定理得到x12 27，x2专，代人计算得到答案.【详解】(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F 1,0，准线为x 设其方程为y2 2px p 0，则21，解得p 2,所以动点P的轨迹C的方程是y24x x 0 .(2)设直线AB : y ,A 花畀,B X2,y2 ,4x,得y x b, 2y4b，即y 4y 4b 0 ,16 16b 0，所以b 1, y i y2 4，因为X i X2所以k k2y2 2 y12比144 y2 4 y1 24y22% 2y22因此k1k20.【点睛】本题考查了轨迹方程, 定值问题，意在考查学生的计算能力20 •已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形, AB//CD ,ACI BD O,PB AB 2 2，AC PB.平面ABCD(2)求二面角A PD B的余弦值.【答案】⑴证明见解析；(2)—66【解析】(1)证明AC BD , PB AC 得到AC 平面PBD ，得到证明(2)以OA,OB,OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，计算平面v irPAD 的法向量为n 1, 2,1 ，平面PBD 的一个法向量 m 1,0,0 ，利用夹角公式 得到答案•【详解】(1)在等腰梯形 ABCD 中，OA OB 2，Q AB 2 2，AB 2 OA 2 OB 2，所以 OA OB ，即 AC BD ，又因为PB AC ，且BDI PB B ，所以AC 平面PBD ， 又因为 AC 平面ABCD ，因此平面 PBD 平面ABCD . ⑵连接PO ，由⑴知，AC 平面PBD ，所以AC PO ， 所以 PO 、‘PA 2—0A 2 2，所以 PB 2 PO 2 OB 2，即 PO OB ，又Q OA OB ，以OA,OB,OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 则 A 2,0,0，D 0, 1,0，r P 0,0,2，UUUUJIV设平面PAD 的法向量为nx,y,z ， 因为 PA 2,0, 2，PD0, 1, 2 ，需VPA 0, 口 2x 2z 0,所以 v ULiV，即VPD0,y 2z0,令z 1，则x 1，y 2，所以平面PAD 的一个法向量V1, 2,1，irQ AC 平面PBD ， 平面PBD 的一个法向量 m 1,0,0 ，所以cos m, n所以二面角 A PD B 的余弦值为 —6.6【点m n .6 mn v本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力21 •阿基米德(公元前287年一公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积•已知平面直角坐标系2 2xOy中，椭圆C : %爲1 aa bb 0的面积为2、3 ,两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P 1,0的直线I与C交于不同的两点代B，求VOAB面积的最大值•【答案】【解析】(1)根据题意计算得到a 2,b a得到椭圆方程•(2)设直线|的方程为x my 1 ,联立方程，根据韦达定理得到y1 y26m 3m2 4y1 y293m—，表示出4 3m2【详解】ab (1)依题意有a2a2、3,2c,b2解得a 2,L所以椭圆C的标准方程是b 3,2y3(2)由题意直线I的斜率不能为0 , 设直线I的方程为x myx 由方程组x24 my 1,y2得3 m21,34 y26my 9设A X1, y1 , B X2, y2 ,所以y1 y2 6m，y1 y29,3 m2 4所以所以y1 y2 y2 4y1 y212 m213m2 4SVOABOP y1 y2(t 1),则m2丄 2 S VOABt 1 ,6t3t2 16_~1 ,3t0恒成立,1因为3t -在1, 上单调递增，3所以当t 1,即m 0时，VOAB面积取得最大值为3.2【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力•22 .已知函数f x In x ax a R .（1）讨论f x的单调性;m的取值范围.1m t -根据函数的单调性得到取值范围t【详解】(1)Q f0, 且f x 1 1 axx定义域为a,x x①当a0时，f x0, f x 在0,上单调递增，②当a0时，令f x 0 ,则x1a当0 x 1—时，f x 0 ；当x1—f x 0, a a所以f x在0,1上单调递增，在1J上单调递减a a⑵X。
精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
16.设过原点的直线与双曲线 ： 交于 两个不同点， 为 的一个焦点，若 ， ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形.
，则 ， ，
， ，故 .
【详解】 ， ，取 得到 .
故函数在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增.
对比图象知： 满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数 ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到 ，得到答案.
C.当 ， 时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则（）
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列中，，，则该数列的公比q为A. 2B. 1C.D.【答案】D【解析】解：等比数列中，，，该数列的公比．故选：D．根据等比数列的通项公式，利用，即可求出q的值．本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线的准线方程为，则由题意知，点是双曲线的左焦点，所以，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得，，所以双曲线的方程为．故选：B．由抛物线标准方程易得其准线方程为，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为，此时由双曲线的性质可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，可得，则得a、b 的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．3.在三棱柱中，D是的中点，F是的中点，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，，，，故选：A．根据向量加法的多边形法则可得，，从而可求，．本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．4.已知点在函数的图象上，则数列的前n项和的最小值为A. 36B.C. 6D.【答案】B【解析】解：点在函数的图象上，则，，当时，取得最小值为．故选：B．点在函数的图象上，的，，由二次函数性质，求得的最小值本题考查了等差数列前n项和的最小值，属于基础题．5.“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得，即“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键．6.下列结论错误的是A. 命题p：“，使得”，则￢：“，”B. “”是“”的充分不必要条件C. 等比数列2，x，8，中的D. 已知a，，，则的最小值为8．【答案】D【解析】解：对于命题p：，，则￢：，使得，正确；对于B，“”“，或”，故“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于C，等比数列2，x，8，中的，正确；对于D，由于a，，，则，当且仅当时，，取等号，所以D不正确．故选：D．对于A：利用命题的否定定义即可得出；根据充要条件的定义，可判断B；利用等比数列的通项公式求解即可判断C的正误；所求式子乘以1，而1用代换；判断D的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，难度中档．7.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：不等式对于一切恒成立，即有对于一切恒成立．由于的导数为，当时，，函数y递减．则当时，y取得最小值且为，则有，解得．则a的最小值为．故选：C．由题意可得对于一切恒成立运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令不大于最小值即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】解：由函数的图象可知，，，并且当时，，当，，函数有极大值．又当时，，当时，，故函数有极小值．故选：D．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9.如图，长方体中，，点E，F，G分别是，AB，的中点，则异面直线与GF所成的角是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意：是长方体，E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，为异面直线与GF所成的角．连接，在三角形中，，，，，．，即异面直线与GF所成的角为．故选：A．异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，那么就是异面直线与GF 所成的角．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.已知a，，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：a，，且，设，，则，即为，由a，b为二次方程的两根，可得，解得，则的取值范围是．故选：A．a，，设，，，由a，b为二次方程的两根，运用判别式法，解二次不等式即可得到所求范围．本题考查了换元法和构造法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数的定义域为R，并且满足，且当时其导函数满足2f{{'}}(x)'/>，若则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数对定义域R内的任意x都有，关于直线对称；又当时其导函数满足，当时，，在上的单调递增；同理可得，当时，在单调递减；，，，又，，在上的单调递增；故选：C．由，可知函数关于直线对称，由，可知在与上的单调性，从而可得答案．本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断在与上的单调性是关键，属于中档题．12.已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，得，则，则，则，，，若，则只要即可，则，即，即，则，即，则，得，，，故选：B．求出交点M，N的坐标，若，则只要即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求是解决本题的关键考查学生的转化能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则k的值为______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．14.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．【答案】或【解析】解：若“”是“”表示，则，，则，即实数a的取值范围是，故答案为：根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键．15.若数列的前n项和为，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】解：当时，，解得当时，，整理可得，即，故数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，故当时，，经验证当时，上式也适合，故答案为：把代入已知式子可得数列的首项，由时，，可得数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式分段可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16.设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则M，N两点间的距离的最小值为______．【答案】2【解析】解：当时，0'/>，函数在上单调递增．点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，即，则M，N两点间的距离为．令，，则，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故的最小值为，即M，N两点间的距离的最小值为2，故答案为2．求出导函数，根据题意可知，令，求出其导函数，进而求得的最小值即为M、N两点间的最短距离．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知是首项为1的等比数列的前n项的和，，，成等差数列，求的值；若，求．【答案】解：由题意，，显然，分，分解得分，分，分两式相减，得分分，分分【解析】利用已知条件，列出方程求解的值；化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.已知函数在点处的切线方程是．求实数a，b的值；求函数在上的最大值和最小值其中e是自然对数的底数．【答案】解：因为，，分则，，函数在点处的切线方程为：，分直线过点，则由题意得，即，分由得，函数的定义域为，分，，0⇒x > 2'/>，在上单调递减，在上单调递增分故在上单调递减，在上单调递增，分在上的最小值为分又，，且．在上的最大值为分综上，在上的最大值为，最小值为分【解析】求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，，点E是PD的中点．求证：平面AEC；求二面角的大小．【答案】解：平面ABCD，AB，平面ABCD，，且．以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；分证明：，0，，，，设平面AEC的法向量为，则，取，得．又2，，所以，，又平面AEC，因此：平面分平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，则，得：所以二面角的大小为分【解析】由已知得，，且以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；设平面AEC的法向量为，由，得平面AEC 求出平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，，可得二面角的大小本题考查了空间线面平行的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．Ⅰ要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？Ⅱ当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【答案】解：Ⅰ设DN的长为米，则米，由得又得解得：或即DN的长取值范围是Ⅱ矩形花坛的面积为当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】Ⅰ设DN的长为米，则米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．求椭圆的标准方程；是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．【答案】解：抛物线的焦点是，，，又椭圆的离心率为，即，，则故椭圆的方程为；分由题意得直线l的方程为，由，消去y得，由，解得．又，．设，，则，．分，，分分若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，分解得或又，．即存在使以线段AB为直径的圆经过点分【解析】由抛物线得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a 的值，由，求出b，则椭圆的方程可求；由题意得直线l的方程为，联立，消去y得，由，解得m的范围，设，，则，，求出，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题．22.已知函数，其中e为自然对数的底数，Ⅰ判断函数的单调性，并说明理由Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，得，当时，，为R上的减函数；当时，令，得，若，则，此时为的单调减函数；若，则，此时为的单调增函数．综上所述，当时，为R上的减函数；当时，若，为的单调减函数；若，为的单调增函数．Ⅱ由题意，，不等式恒成立，等价于恒成立，即，恒成立．令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值．由，函数在上单调递减，令，，．在上也是减函数，在上也是减函数，在上的最大值为．故，不等式恒成立的实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对a分类，当时，，为R上的减函数；当时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；Ⅱ，不等式恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值，然后利用导数求得函数在上的最大值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．。
福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学(文)试题Word版含解析
福建省三明市2019-2020学年上学期期末质量检测高二数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.若椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，则的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 73.如面，该茎叶图记录了甲、乙两个数学竞赛小组各6名学生在一次数学竞赛中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，则实数的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.将五进制数化为十进制数为（）A. 10B. 22C. 110D. 10105.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A. “恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C. “都是白球”与“至少有一个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”7.双曲线：的顶点到渐近线的距离为（）A. 3B. 4C.D.8.已知，若，则实数的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 29.给出下列三个命题：①命题“，”是真命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③命题“若，则”的逆否命题是真命题.其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310.同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则方程有两个不等实根的概率为（）A. B. C. D.11.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价销量预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（）（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）A. 9.4元B. 9.5元C. 9.6元D. 9.7元12.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形中四个全等的直角三角形和一个小正方形构成.现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为__________．14.某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为，抽取的样本中高一学生为120人，则实数的值为__________．15.执行如图所示程序框图，则输出的值为__________．16.已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与相交于，两点，连接，若，，则的离心率为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.（1）求实数的值；（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.18.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为优；在之间空气质量为良；在之间空气质量为轻度污染.某市环保局从该市2018年上半年每天的日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，将日均值统计如下：日均值（（1）在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天日均值数据，求其中恰有一天日均值数据在之间的概率；（2）将以上样本数据绘制成频率分布直方图（直接作图）：（3）该市规定：全年日均值的平均数不高于，则认定该市当年的空气质量达标.现以这20天的日均值的平均数来估计2018年的空气质量情况，试预测该市2018年的空气质量是否达标.19.已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：函数在上单调递增.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围.20.已知函数在处取得极值.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.21.已知椭圆：过点，且点到椭圆两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上异于顶点的两点，是椭圆：上的点，且，其中为坐标原点，求证：直线与的斜率之积为定值.22.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围.福建省三明市2019-2020学年上学期期末质量检测高二数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可直接得出结果.【详解】根据全称命题的否定是特称命题,所以命题“，”的否定是“，”.故选D【点睛】本题主要查含有一个量词的命题的否定，只需改量词，改结论，即可，属于基础题型.2.若椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，则的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】【分析】设，根据椭圆的第二定义，可得，即可求出结果.【详解】设，由椭圆的第二定义，可得，即，因为点在椭圆上，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离问题，可根据椭圆的第二定义求解，属于基础题型.3.如面，该茎叶图记录了甲、乙两个数学竞赛小组各6名学生在一次数学竞赛中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，则实数的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】由乙组数据，先确定其众数，再由甲组数据即可求出结果.【详解】由茎叶图可知，乙的众数为，甲的中位数为，因为甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查中位数和众数，熟记概念，即可求解，属于基础题型.4.将五进制数化为十进制数为（）A. 10B. 22C. 110D. 1010【答案】B【解析】【分析】用所给的五进制数字，从最后一位开始分别乘以5的0次幂，5的1次幂，再求和，即可得出结果.【详解】五进制数化为十进制数为.故选B【点睛】本题主要考查其他进位制转化为十进制的问题，只需每个数位上的数字乘以对应的权重，再累加，即可，属于基础题型.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】解不等式得,所以由“”能推出“”，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的问题，熟记概念即可，属于基础题型.6.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A. “恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C. “都是白球”与“至少有一个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，逐项判断即可.【详解】从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，A. “恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不能同时发生，且“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不能包含所有情况，因此“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”互斥而不对立；B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”交事件不是不可能事件，所以“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”不互斥；C. “都是白球”与“至少有一个黑球”互斥且对立；D. “都是黑球”是“至少有一个黑球”的子事件，因此“至少有一个黑球”与“都是黑球”不互斥.故选A【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.7.双曲线：的顶点到渐近线的距离为（）A. 3B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的方程写出其顶点坐标，和渐近线方程，根据点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】双曲线：的一个顶点为，其中一条渐近线为，所以点到直线的距离为.故选C【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，熟记公式即可求解，属于基础题型.8.已知，若，则实数的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，再将代入导函数，即可求出结果.【详解】因为，所以,因此,所以.故选C【点睛】本题主要考查导数的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.9.给出下列三个命题：①命题“，”是真命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③命题“若，则”的逆否命题是真命题.其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据三个二次之间的关系，可判断①；根据否命题的概念，可判断②；根据互为逆否的两个命题的真假性一致，可判断③.【详解】①因为的判别式，所以函数与轴有两个交点，即不可能恒成立，故①错；②命题“若，则” 的否命题为“若，则”，故②错；③命题“若，则”为假命题（时，不成立），所以其逆否命题也为假，故③错.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，熟记相关知识点，即可得出结果，属于基础题型.10.同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则方程有两个不等实根的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由有两个不等实根，确定满足的条件，再用列举法写出其所有包含的基本事件的个数，进而可求出结果.【详解】因为方程有两个不等实根，所以，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则共包含36个基本事件，满足的有共9个基本事件，所以方程有两个不等实根的概率为.故选B【点睛】本题主要考查列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于基础题型.11.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价销量预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（）（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）A. 9.4元B. 9.5元C. 9.6元D. 9.7元【答案】B【解析】【分析】先分别求出和，得出回归方程，再设利润为，依题意列出函数解析式，进而可求出结果.【详解】因为，，，，所以，，故回归方程为；设该产品的售价为元，工厂利润为元，利润=销售收入-成本，所以，当且仅当，即时，取得最大值.因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.故选B【点睛】本题主要考查线性回归方程，最小二乘法求出和，即可求出回归方程，属于常考题型.12.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定函数在上的单调性，再确定其奇偶性，进而可求出结果.【详解】因为在上单调递增，且；在上单调递增，且，所以已知在上单调递增，又，所以为偶函数.若对任意的恒成立，则对任意的恒成立,即对任意的恒成立,即对任意的恒成立，所以，即.故选D【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，根据函数的单调性和奇偶性，将问题进行转化，即可求出结果，属于常考题型.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形中四个全等的直角三角形和一个小正方形构成.现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为__________．【答案】【解析】【分析】先由题意求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，进而可求出小正方形的面积，面积之比即为所求概率.【详解】因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形的边长为，所以，所以,因此在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型，根据题意，将该问题看作与面积有关的几何概型即可，分别求出两个正方形的面积，即可求解，属于基础题型.14.某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为，抽取的样本中高一学生为120人，则实数的值为__________．【答案】6【解析】【分析】由题意，根据高一学生所占的比例，列出等式即可求出结果.【详解】由题意可得，，解得.故答案为6【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记分层抽样的相关概念，即可求解，属于基础题型. 15.执行如图所示程序框图，则输出的值为__________．【答案】14【解析】【分析】按照程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，，进入循环，，，进入循环；，，进入循环；，，结束循环，输出.故答案为14【点睛】本题主要考查程序框图的问题，分析程序的作用，逐步执行即可，属于基础题型.16.已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与相交于，两点，连接，若，，则的离心率为__________．【答案】5【解析】【分析】记双曲线的右焦点为，连结，，由题意判断，即四边形为矩形，进而可求出结果.【详解】记双曲线的右焦点为，连结，，因为，两点关于原点对称，且都在双曲线上，可得，；又，所以，即四边形为矩形；因此所以，所以，即；又，所以离心率为.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，结合双曲线的对称性，即可求出其离心率，属于基础题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.（1）求实数的值；（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.【答案】（1）2（2）8【解析】【分析】（1）由抛物线的方程，得出，求出，即可得出结果；（2）联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，以及抛物线弦长公式即可求出结果. 【详解】（1）抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点距离为2，所以，解得.（2）抛物线的焦点坐标为，满足直线的方程.故焦点在直线上.联立，得.显然，设，，则，所以，即.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，根据抛物线的定义即可列出方程求出，进而可求出抛物线方程；求焦点弦的问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式，即可求出结果，属于常考题型.18.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为优；在之间空气质量为良；在之间空气质量为轻度污染.某市环保局从该市2018年上半年每天的日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，将日均值统计如下：日均值（（1）在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天日均值数据，求其中恰有一天日均值数据在之间的概率；（2）将以上样本数据绘制成频率分布直方图（直接作图）：（3）该市规定：全年日均值的平均数不高于，则认定该市当年的空气质量达标.现以这20天的日均值的平均数来估计2018年的空气质量情况，试预测该市2018年的空气质量是否达标.【答案】（1）（2）详见解析（3）不达标【解析】【分析】（1）用列举法分别列举出“在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天”的事件个数，以及“恰有一个数据在之间”的基本事件数，即可求出结果；（2）结合题中数据，即可求出结果；（3）计算出这20天的日均值的平均数，即可求出结果.【详解】解：（1）由表中日均值数据可知，空气质量为轻度污染的天数共5天，用，，表示抽到的日均值在之间的数据，用，表示抽到的日均值在之间的数据，则在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天的数据，有，，，，，，，，，，共10种，恰有一个数据在之间的有，，，，，，共6种，所以恰有一个数据在之间的概率为.（2）样本数据的频率分布直方图如下：（3）这20天的日均值的平均数为，所以全年日均值的平均数的估计值为.因为，所以，预测该市2018年的空气质量不达标.【点睛】本题主要考查列举法求古典概型的概率，以及频率分布图等问题，熟记公式，即可求解，属于基础题型.19.已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：函数在上单调递增.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由命题为真命题，结合函数的单调性，即可求出结果；（2）根据（1）先求出命题为假命题时的取值范围，再由“”为真命题确定为真，进而可求出结果.【详解】解：（1）由函数在上单调递增得恒成立，因为，即，即在上恒成立，所以，即，因为命题为真命题，所以.（2）由已知命题为假命题，为真命题，故真假，由（1）知，命题为假命题，可得.由为真命题，得，即.故，得.所以实数的取值范围.【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围问题，先判断出命题的真假，再结合命题的内容，即可求出结果，属于常考题型.20.已知函数在处取得极值.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在处取得极值，求出；（1）将代入解析式，再由导数的方法求出其在处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数有三个零点，等价于方程有三个不等实根，也即是函数与直线有三个不同的交点，由导数的方法研究函数的极值，即可得出结果.【详解】解：，由题意知，所以，即.所以.（1）当时，，，所以，，所以在处的切线方程为，即.（2）令，则.设，则与的图象有三个交点.，所以当变化时，，的变化情况为所以，.又当时，；当时，，所以，即.所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.21.已知椭圆：过点，且点到椭圆两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上异于顶点的两点，是椭圆：上的点，且，其中为坐标原点，求证：直线与的斜率之积为定值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意求出即可求出椭圆方程；（2）先设，，，根据，得到三者坐标之间的关系，再由，是椭圆上的点，在椭圆上，即可得到和的关系，进而可证明结论成立.【详解】解：（1）由椭圆定义可知，，即，又因为椭圆过，所以，所以.所以椭圆的方程为.（2）设，，.因为，所以，.因为，是椭圆上的点，所以，，在椭圆上，所以.所以，即，所以，即.直线与的斜率之积.故直线与的斜率之积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中直线斜率之积为定值的问题，通常需要分别表示出直线的斜率，直接计算即可，属于常考题型.22.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；（2）先分离参数，将原式化为，求的最大值即可.【详解】解：（1）的定义域为，，①当时，，所以的减区间为，无增区间.②当时，令得；令得；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.综上可知，当时，的减区间为，无增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为，即.因为，所以.设，.显然在上是减函数，.所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.所以的最大值为.所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，常用到分类讨论的方法来处理；对于不等式恒成立求参数的问题，通常分离出参数，结合导数的方法求解，属于常考题型.。
福建省三明市2019-2020学年高二数学上学期期末质量检测试题答案_20200301080
高二数学试题答案 第1页 （共5页）2019—2020学年第一学期三明市普通高中期末质量检测高二数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、单选题9. BD 10. ACD 11. AB 12. BCD三、填空题13. 240x y -+= 14. 乙 15. 4-；12200x y -+=四、解答题17. 解：（1）因为2i 42i)i z =-+-（，所以2i 4i 243i z =-++=+， ......................................... 3分 则|5z . .................................................. 5分（2）由（1）知43i z =+，43i z =-， .................................. 6分 所以43i (43i)13i z mz n m n ++=++-+=+，即44(33)i 13i m n m +++-=+， ....................................... 8分 所以441,333,m n m ++=⎧⎨-=⎩解得0,3.m n =⎧⎨=-⎩ ..................................... 10分18. 解：（1）由已知21(2)2=4f --=， ...................................... 2分所以11[(2)]()log 44a f f f -==， ....................................... 4分令1log 14a =-，解得4a =. ........................................... 6分（2）当[2,0]x ∈-时，()2x f x =区间[2,0]-上单调递增，所以1()[,1]4f x ∈； .................................................. 8分高二数学试题答案 第2页 （共5页） 当(0,2)x ∈时，4()log f x x =区间(0,2)上单调递增， 所以1()(,)2f x ∈-∞， ............................................... 10分 综上，当[2,2)x ∈-时，函数()f x 的值域是(,1]-∞. ..................... 12分19．解法一：（1）依题意动点P 的轨迹是抛物线（除原点），其焦点为(1,0)F ，准线为1x =-， ..................................... 3分 设其方程为22(0)y px p =>，则12p =，解得2p =， 所以动点P 的轨迹C 的方程是24(0)y x x =>. ........................... 5分 （2）设直线:(3)AB y x b b =-+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由24,,y x y x b ⎧=⎨=-+⎩得24y y b =-+，即2440y y b +-=， .................... 7分 Δ16160b =+>，所以1b >-，124y y +=-， ........................... 8分 因为2114y x =，2224y x =， 所以21211222222121224(2)4(2)=441144y y y y k k y y y y ----++=+---- 1221214(22)44022(2)(2)y y y y y y +++=+==++++. 因此120k k +=． .................................................. 12 分 解法二：（1）同解法一． ............................................. 5 分 （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 12()y y ≠是直线l 与C 的交点， 所以2114y x =，2224y x =，所以21222112444AB y y k y y y y -==+-， ................ 7分 又直线l 的斜率为1-，所以1241y y =-+，即124y y +=-， ............... 8分 所以21211222222121224(2)4(2)=441144y y y y k k y y y y ----++=+---- 1221214(22)44022(2)(2)y y y y y y +++=+==++++. 因此120k k +=． .................................................. 12 分高二数学试题答案 第3页 （共5页）20. 解：（1）在等腰梯形ABCD 中，2OA OB ==，2AB =222AB OA OB ∴=+，所以OA OB ⊥，即AC BD ⊥， .................. 2分 又因为PB AC ⊥,且BD PB B =,所以AC ⊥平面PBD , ............... 3分 又因为AC ⊂平面ABCD ,因此平面PBD ⊥平面ABCD . ................. 4分（2）连接PO ,由(1)知, AC ⊥平面PBD ,所以AC PO ⊥,所以2PO ==,所以222PB PO OB =+,即PO OB ⊥, ......... 5分 又OA OB ⊥，以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则()()()2,0,0,0,1,0,0,0,2A D P -, .................................... 7分 设平面PAD 的法向量为(),,x y z =n ,因为()()2,0,2,0,1,2PA PD =-=--， 所以0,0,PA PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,20,x z y z -=⎧⎨--=⎩令1z =，则1,2x y ==-，所以平面PAD 的一个法向量()1,2,1=-n ，............................ 9分 AC ⊥平面PBD ，∴平面PBD 的一个法向量()1,0,0=m ， ......... 10分所以cos ,⋅==m n m n m n A PD B --12分21．解：（1）依题意有2222,,ab a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩ ....................................... 2分解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩高二数学试题答案 第4页 （共5页）所以椭圆C 的标准方程是22143y x +=. ................................. 4分（2）由题意直线l 的斜率不能为0，设直线l 的方程为1x my =+， ......... 5分 由方程组221,1,43x my y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=， .................... 7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 所以122634my y m +=-+，122934y y m ⋅=-+， .......................... 8分所以12||y y -=， ...................... 9分 所以121||||2OAB S OP y y =⨯⨯-△， .......................... 10分令t =1t ≥），则221m t =-，2661313OAB t S t t t==++△， ............................................ 11分 因为13t t +在[1,)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，OAB △面积取得最大值为32. ................. 12分22. 解：（1）()f x 定义域为()0,+∞且11()axf x a x x -'=-=， .............. 1分①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递增， ................. 2分 ②当0a >时，令()0f x '=，则1x a =， 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a >时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减. ................ 4分（2）由（1）知，()010x a a =>， .................................... 5分高二数学试题答案 第5页 （共5页）12,x x 为()f x 的两个零点，1122ln ,ln ,x ax x ax =⎧∴⎨=⎩()2211ln x a x x x ∴=-， ....... 6分()120120x x mx x x ++<恒成立，()12120m x x x x a +∴+<恒成立，()12120ax x m x x ∴++<恒成立，()21212121ln 0x x xm x x x x x ⎛⎫∴++< ⎪-⎝⎭恒成立，不妨设12x x <，22221112ln 0x x x m x x x -∴+<恒成立，221112ln 0x x x m x x x ⎛⎫∴+-< ⎪⎝⎭恒成立， 令()211x t t x =>，∴1ln ()0t m t t+-<在()1,t ∈+∞上恒成立， ............ 8分 因为1ln 0,0t t t >->，所以0m ≥时，1ln ()0t m t t +-<在()1,t ∈+∞上不成立. 令1()ln ()g t t m t t =+-， 则2222211(1)(1)0,()(1)m t t mt t mg g t m t t t t ++++'==++==， ① 当12m ≤-时,()()()()2222111111210222m t t t t t t t ++≤-++=-+-=--<,从而()0g t '<,所以()g t 在区间()1,+∞上单调递减,所以当1t >时, ()(1)0g t g <=恒成立； .............................. 10分 ②当102m -<<时, 对于方程20mt t m ++=,因为2140m ∆=->，所以方程20mt t m ++=有两根12,t t ,且121211,0t t t t m =+=->,不妨设1201t t <<<,则当()21,t t ∈时，20mt t m ++>，即()0g t '>，所以()g t 在区间()21,t 上单调递增，此时()(1)0g t g >=， 即1ln ()0t m t t +-<在()1,t ∈+∞上不恒成立,综上所述,m 的取值范围是1(,]2-∞-. ................................ 12分。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_1
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ巷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.全卷满分150分，时量120分钟.3.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.4.全部答案在答题卡上完成，在本试题卷上作答无效，考试结来后，只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内）1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由条件利用共轭复数的定义求得的值，即可得到的值.【详解】因为与互为共轭复数，则，所以，故选：D.【点睛】该题考查的是有关共轭复数的概念，属于基础题目.2.已知命题R，，则A. R,B. R,C. R,D. R,【答案】C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为．考点：全称命题与特称命题的否定．3.已知向量，且，则的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直，它们的数量积为0，，得到关于的等量关系式，求得结果.【详解】因为，所以，即，解得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于基础题目.4.已知函数，且，则的值为（）A. 2019B. 2015C. 2D.【答案】C【解析】【分析】首先对函数求导，之后利用得到所满足的等量关系式，求解即可得结果.【详解】因为，所以，由，得，求得，故选：C.【点睛】该题考查的是有关利用导数求参数值的问题，涉及到的知识点有求导公式，属于基础题目.5.设双曲线的焦点在轴上，其渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，其渐近线为，所以，即，，所以该双曲线的离心率为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的简单性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线的离心率，属于简单题目.6.一质点做直线运动，经过秒后的位移为，则速度为零的时刻是（）A. 1秒末B. 4秒末C. 1秒与4秒末D. 0秒与4秒末【答案】C【解析】【分析】求出位移的导数即质点运动的瞬时速度，令导数为0，求出的值即得到速度为0的时刻.【详解】因为，所以，令，解得或，所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，故选：C.【点睛】该题考查的是有关导数在物理中的应用，要明确位移的导数为速度，属于基础题目.7.已知抛物线的焦点为，则的值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的焦点坐标求解即可.【详解】由可得，抛物线的焦点为，所以，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据抛物线的焦点坐标求参数，在解题的过程中，注意首先将抛物线的方程化为标准形式，属于基础题目.8.如图所示，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接,交于点,,代入整理即可【详解】由题,连接,交于点,则故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题9.若函数有大于零的极值点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，令，得，根据函数有大于零的极值点，可得，即可得出结果.【详解】，令，得，因为函数有大于零的极值点，所以，所以实数的取值范围是，故选：B.【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有根据极值点的符号判断参数的取值范围，属于简单题目. 10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，则与所成角的余弦值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先取中点，连接，能够得到与所成角，设出边长，利用勾股定理求得，在直角三角形中，求得，得到结果.【详解】取中点，连接，因为为中点，所以，所以是与所成角，设，则，所以，故选：D.【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的问题，涉及到的知识点有异面直线所成角的概念，在三角形中求角的余弦值，属于简单题目.11.已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.【详解】如图，延长与交于点，则是的角平分线，由可得与垂直，可得为等腰三角形，故为的中点，由于为的中点，则为的中位线，故，由于，所以，所以，问题转化为求的最值，而的最小值为，的最大值为，即的值域为，故当或时，取得最大值为，当时，在轴上，此时与重合，取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把给出的等式变形得到，由此联想构造辅助函数，由其导函数的符号得到其在上为增函数，则，整理后即可得到答案.【详解】因为，所以，由，得，即，令，则，所以函数在上为增函数，则，即，所以，即，，即，所以，即，，即，所以，即，，即，所以，即，故选：A.【点睛】该题考查的是有关通过构造新函数，根据题意利用导数的符号判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填入相应的答题栏内）13.已知复数，其中是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于_______.【答案】1【解析】【分析】复数，复数在复平面内对应的点在直线上，所以点的坐标满足直线的方程，有，从而求得，得到结果.【详解】复数，复数在复平面内对应的点在直线上，所以，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应的点，点在直线上的条件，属于基础题目.14.与双曲线有公共焦点，且长轴长为8的椭圆方程为_____.【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的双曲线的方程写出其焦点坐标，从而确定椭圆的焦点所在轴并且得到，再根据椭圆的长轴长，得到，利用椭圆中的关系，求得，进而得到椭圆的方程.【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，因为长轴长为8，所以，所以，所以椭圆的方程为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关椭圆标准方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点坐标，椭圆中的关系，属于基础题目.15.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】首先通过解不等式求得，进而求得对应的结果，之后将是的充分不必要条件，转化为两集合端点值间的关系，列出关于的不等式组求解.【详解】由解得，所以，因为是的充分不必要条件，所以，所以有，求得，所以实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】该题考查的是充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于基础题目.16.已知抛物线，直线过焦点且与抛物线交于、（点在轴的上方，点在轴的下方，）点在轴上且在右侧，若，且的面积为，则的值为__________.【答案】3【解析】【分析】首先根据题意，得到为等边三角形，得到直线的倾斜角为，设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元得到，解方程求得交点的横坐标，求得，，结合正三角形的特征，求得三角形的高，利用三角形的面积公式求得结果.【详解】根据题意，，所以为等边三角形，所以直线的倾斜角为，设直线的方程为，与联立可得，解得，所以，，所以，解得，故答案为：3.【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义、标准方程和几何性质的综合应用，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，属于中档题目.三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件是真命题，则只需函数的最小值大于等于0，据此可求得的取值范围；（2）先求出简单命题为真命题时对应的参数的取值范围，最后借助于两个命题的真假，得到对应的条件，最后求得结果.【详解】（1）∵恒成立，所以的取值范围是；（2）∵为真命题，或又为假命题，由（1）可得综上，的范围为.【点睛】该题考查的是有关简易逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题为真时确定参数的取值范围，根据两个命题的真假求参数的范围，属于简单题目.18.已知抛物线上的点到焦点的距离为2.（1）求的值；（2）若，求过点且与只有一个公共点的直线方程.【答案】（1）.（2）或【解析】【分析】（1）可得抛物线的准线为，由点到焦点的距离转化为其到准线的距离，列出等式求得的值，将点的坐标代入抛物线方程求得的值，得到结果；（2）当斜率存在时，写出直线方程，与抛物线方程联立，令判别式等于零求得结果，当斜率不存在时，写出方程，得到最后结果.【详解】（1）由抛物线的定义得，，解得，所以抛物线的方程为，代入点，可解得.（2）当斜率存在时，设过点的直线方程为，联立，消元得，得，所以直线方程为当斜率不存在时，所以过点且与只有一个公共点的直线方程为或【点睛】该题主要考查抛物线的几何性质与直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题目.19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若有3个零点，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减（2）【解析】分析】（1）求导数，在定义域内解不等式、可求得函数的单调区间；（2）由（1）可知的单调性，求得的极值，由题意可得极值、端点处函数值的符号，解不等式即可.【详解】（1），令，得或可知，时，；时，；时，；故，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减（2）令，有设，，由（1）得在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减，，结合的图像可知，与有3个交点，故所以的范围为.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，将函数零点的个数转化为极值的符号，最后确定参数的取值范围，属于简单题目.20.如图，在正方形中，分别是的中点，将正方形沿着线段折起，使得，设为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理，证得⊥平面，从而得到，再利用等边三角形的特征，得到，之后利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）利用两两垂直，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求得两个平面的法向量，之后求出两个法向量所成角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【详解】（1）∵分别为正方形的边的中点，∴又平面，平面，，∴⊥平面，∵平面，∴，∵，，∴是等边三角形，∵为的中点.，∴.又，面面，，∴平面.（2）设中点为，连结，则两两垂直，不妨设.以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则，，.，.∴，，设平面的法向量为，则，令，得而为平面的一个法向量∴二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，二面角的余弦值的求解，属于中档题目.21.点与定点的距离和它到直线距离的比是常数.（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为，过的直线与曲线交于点，与抛物线交于点，设，记与面积分别是，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据题意可得，化简即可求出；（2）当直线的斜率存在时，将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于的关系式，求最值求值域即可，之后将直线的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.详解】（1）依题意有，化简得：，故的方程为.（2）依题意，①当不垂直于轴时，设的方程是，联立，得，设，，则，；联立得：，设，，则，，，则，②当垂直于轴时，易知，，此时综上，的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.22.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若方程在区间上有实根，求的值；（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合.【答案】（1）（2）或（3）.【解析】【分析】（1）由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）令，方程有实根等价于有零点，利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理可判断在和上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当时，不等式成立恒成立，当时，不等式化为，可得，当时，不等式可化为，可得，结合（2）结合三种情况，从而可得结果.【详解】（1）又因为，所以切线方程为（2）记，方程有实根等价于有零点，因为，当时，；当时，，可知为极小值，又因为所以，在上存在一个零点，此时又因为，所以，在上存在一个零点，此时综上，或（3）不等式对任意正实数恒成立，即，恒成立，当时，上式显然成立，此时当时，上式化为，令，则，由（2）可知，函数在上单减，且存在一个零点，此时，即，当时，；时，，所以有极大值即最大值，于是当时，不等式化为，同理可得综上可知，，又因为，所以正整数的取值集合为.【点睛】该题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点处的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得方程.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ巷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.全卷满分150分，时量120分钟.3.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.4.全部答案在答题卡上完成，在本试题卷上作答无效，考试结来后，只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内）1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由条件利用共轭复数的定义求得的值，即可得到的值.【详解】因为与互为共轭复数，则，所以，故选：D.【点睛】该题考查的是有关共轭复数的概念，属于基础题目.2.已知命题R，，则A. R,B. R,C. R,D. R,【答案】C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为．考点：全称命题与特称命题的否定．3.已知向量，且，则的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直，它们的数量积为0，，得到关于的等量关系式，求得结果.【详解】因为，所以，即，解得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于基础题目.4.已知函数，且，则的值为（）A. 2019B. 2015C. 2D.【答案】C【解析】【分析】首先对函数求导，之后利用得到所满足的等量关系式，求解即可得结果.【详解】因为，所以，由，得，求得，故选：C.【点睛】该题考查的是有关利用导数求参数值的问题，涉及到的知识点有求导公式，属于基础题目.5.设双曲线的焦点在轴上，其渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【解析】【分析】根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，其渐近线为，所以，即，，所以该双曲线的离心率为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的简单性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线的离心率，属于简单题目.6.一质点做直线运动，经过秒后的位移为，则速度为零的时刻是（）A. 1秒末B. 4秒末C. 1秒与4秒末D. 0秒与4秒末【答案】C【解析】【分析】求出位移的导数即质点运动的瞬时速度，令导数为0，求出的值即得到速度为0的时刻.【详解】因为，所以，令，解得或，所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，故选：C.【点睛】该题考查的是有关导数在物理中的应用，要明确位移的导数为速度，属于基础题目.7.已知抛物线的焦点为，则的值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】利用抛物线的焦点坐标求解即可.【详解】由可得，抛物线的焦点为，所以，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据抛物线的焦点坐标求参数，在解题的过程中，注意首先将抛物线的方程化为标准形式，属于基础题目.8.如图所示，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接,交于点,,代入整理即可【详解】由题,连接,交于点,则故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题9.若函数有大于零的极值点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，令，得，根据函数有大于零的极值点，可得，即可得出结果.【详解】，令，得，因为函数有大于零的极值点，所以，所以实数的取值范围是，故选：B.【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有根据极值点的符号判断参数的取值范围，属于简单题目.10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，则与所成角的余弦值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先取中点，连接，能够得到与所成角，设出边长，利用勾股定理求得，在直角三角形中，求得，得到结果.【详解】取中点，连接，因为为中点，所以，所以是与所成角，设，则，所以，故选：D.【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的问题，涉及到的知识点有异面直线所成角的概念，在三角形中求角的余弦值，属于简单题目.11.已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.【详解】如图，延长与交于点，则是的角平分线，由可得与垂直，可得为等腰三角形，故为的中点，由于为的中点，则为的中位线，故，由于，所以，所以，问题转化为求的最值，而的最小值为，的最大值为，即的值域为，故当或时，取得最大值为，当时，在轴上，此时与重合，取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把给出的等式变形得到，由此联想构造辅助函数，由其导函数的符号得到其在上为增函数，则，整理后即可得到答案.【详解】因为，所以，由，得，即，令，则，所以函数在上为增函数，则，即，所以，即，，即，所以，即，，即，所以，即，，即，所以，即，故选：A.【点睛】该题考查的是有关通过构造新函数，根据题意利用导数的符号判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填入相应的答题栏内）13.已知复数，其中是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于_______.【答案】1【解析】【分析】复数，复数在复平面内对应的点在直线上，所以点的坐标满足直线的方程，有，从而求得，得到结果.【详解】复数，复数在复平面内对应的点在直线上，所以，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应的点，点在直线上的条件，属于基础题目.14.与双曲线有公共焦点，且长轴长为8的椭圆方程为_____.【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的双曲线的方程写出其焦点坐标，从而确定椭圆的焦点所在轴并且得到，再根据椭圆的长轴长，得到，利用椭圆中的关系，求得，进而得到椭圆的方程.【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，因为长轴长为8，所以，所以，所以椭圆的方程为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关椭圆标准方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点坐标，椭圆中的关系，属于基础题目.15.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】首先通过解不等式求得，进而求得对应的结果，之后将是的充分不必要条件，转化为两集合端点值间的关系，列出关于的不等式组求解.【详解】由解得，所以，因为是的充分不必要条件，所以，所以有，求得，所以实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】该题考查的是充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于基础题目.16.已知抛物线，直线过焦点且与抛物线交于、（点在轴的上方，点在轴的下方，）点在轴上且在右侧，若，且的面积为，则的值为__________.【答案】3【解析】【分析】首先根据题意，得到为等边三角形，得到直线的倾斜角为，设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元得到，解方程求得交点的横坐标，求得，，结合正三角形的特征，求得三角形的高，利用三角形的面积公式求得结果.【详解】根据题意，，所以为等边三角形，所以直线的倾斜角为，设直线的方程为，与联立可得，解得，所以，，所以，解得，故答案为：3.【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义、标准方程和几何性质的综合应用，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，属于中档题目.三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件是真命题，则只需函数的最小值大于等于0，据此可求得的取值范围；（2）先求出简单命题为真命题时对应的参数的取值范围，最后借助于两个命题的真假，得到对应的条件，最后求得结果.【详解】（1）∵恒成立，所以的取值范围是；（2）∵为真命题，或又为假命题，由（1）可得综上，的范围为.【点睛】该题考查的是有关简易逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题为真时确定参数的取值范围，根据两个命题的真假求参数的范围，属于简单题目.18.已知抛物线上的点到焦点的距离为2.（1）求的值；（2）若，求过点且与只有一个公共点的直线方程.【答案】（1）.（2）或【解析】【分析】（1）可得抛物线的准线为，由点到焦点的距离转化为其到准线的距离，列出等式求得的值，将点的坐标代入抛物线方程求得的值，得到结果；（2）当斜率存在时，写出直线方程，与抛物线方程联立，令判别式等于零求得结果，当斜率不存在时，写出方程，得到最后结果.【详解】（1）由抛物线的定义得，，解得，所以抛物线的方程为，代入点，可解得.（2）当斜率存在时，设过点的直线方程为，联立，消元得，得，所以直线方程为当斜率不存在时，所以过点且与只有一个公共点的直线方程为或【点睛】该题主要考查抛物线的几何性质与直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题目.19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若有3个零点，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减（2）。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_40
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故B选项正确，D选项不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.2.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3.已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用离心率求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.4.设，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以“”是“”必要而不充分条件故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，长方体的面积为，半圆的面积为，所以质点落在以为直径的半圆内的概率是.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.6.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值.【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，所以，所以.所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数是奇函数的导函数，（），，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，当时，根据已知条件，判断出.当时，根据为偶函数，判断出的单调性.结合，求得使得成立的的取值范围.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，，；当时，，.所以使得成立的的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项共选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题中真命题的是（）A. 若实数，满足，则，互为倒数B. 面积相等的两个三角形全等C. 设，“若，则方程有实根”的逆否命题D. “若，则”的逆命题【答案】AC【解析】【分析】A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C利用原命题的真假性来判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断.【详解】对于A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确.对于B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以B选项错误.对于C选项，当时，，所以方程有实根，为真命题，故其逆否命题为真命题，所以C选项正确.对于D选项，原命题的逆命题为“若，则”不正确，因为也可以，所以D选项为假命题.综上所述，正确的为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题.10.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程最大值出现在月C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳【答案】BCD【分析】根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性.【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误.根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确.一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确.根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D选项正确.综上所述，正确的选项为BCD.故选：BCD【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A. B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B 选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D 选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.12.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. 函数在区间单调递增B. 函数在区间单调递减C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．13.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是．【答案】【解析】【详解】列表如下：从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等．∵点数的和为5的结果共有4种：（1，4），（2，3），（4，1），（3，2）∴点数的和为5的概率P==故答案为14.已知函数，为的导函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】求得函数的导函数，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查导数的计算，属于基础题.15.已知向量，，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求得，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，考查空间向量的线性运算，属于基础题.16.设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．【答案】 (1). 1 (2). 8【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理，求得点坐标的表达式，根据两点的纵坐标相同列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得.【详解】由于点满足，所以是线段中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.故答案为：(1). 1 (2). 8【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求得函数在时的导数，由点斜式求得切线方程.（2）利用导数求得单调区间，区间端点的函数值和极值点的函数值，由此求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以在上的最大值为，最小值为.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数的最值，属于基础题.18.已知双曲线的两个焦点为，，并且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用，以及列方程组，解方程组求得，由此求得双曲线的方程.（2）当直线斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，消去得到，根据二次项系数和判别式进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）由已知可设双曲线的方程为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）当直线斜率不存在时，显然不合题意所以可设直线方程为，联立，得，①当，即或，方程只有一解，直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，②当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线方程为，综上所述，直线的方程为或.【点睛】本小题主要考查双曲线方程的求法，考查根据直线和双曲线交点个数求参数，属于中档题.19.某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕，为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）：（1）根据上面的数据计算得，求出关于的线性回归方程；（2）若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过，则手机厂商可以获利，现从表格中的种保费任取种，求这种保费至少有一种能使厂商获利的概率.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出关于的线性回归方程.（2）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）由，，，，得所以关于的回归直线方程为.（2）现从表格中的种保费任选种，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，共有种.其中至少有一种保费能使厂商获利的基本事件有：，，，，，，，共种.所以从表格中的种保费任选种，其中至少有一种保费能使厂商获利的概率为.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查古典概率问题的求解，属于基础题.20.在如图所示的六面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，.（1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）求证：平面；（3）求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）延长与相交于点，连接，根据公理和公理可知，即是所求.（2）通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（3）利用勾股定理计算出，建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）延长与相交于点，连接，则直线就是平面与平面的交线.（2）因为，，所以是的中位线，故，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，因面，面，所以平面.（3）在平面内，过点作的平行线交于点，又，所以四边形为平行四边形，所以，，，又因为，所以，所以为直角三角形，且，，.在平面内，过点作的垂线交于点，又因为平面平面，平面平面，所以面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，设是平面的法向量，则，即，所以可取.因为是平面的法向量，所以，所以平面与平面所成角的余弦值.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，，两点，若直线，的斜率分别为，，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率、的面积、列方程组，解方程组求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，由此求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，求得.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，结合韦达定理计算.由此证得为定值.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，①当直线斜率不存在时，直线方程为，联立，得，不防设，，则直线方程为，令，得，则，此时，，同理，所以，②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，设，，则，，直线方程为，令，得，则，同理，所以，，所以综上所述，为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22.已知函数，，为的导函数．（1）若，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若恰有一个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）利用列方程，解方程求得的值.（2）求得函数的导函数，对分成等四种情况，分类讨论的单调区间.（3）结合（1）求得的的单调区间，判断出的单调区间，结合的取值范围、零点的存在性定理进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）由，得，得；（2）①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，得，，i）当时，，所以在上单调递增；ii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在单调递减；iii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在单调递减；综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；②i）当时，在上单调递增；ii）当时，在和单调递增，在单调递减；iii）当时，在和单调递增，在单调递减；（3）①当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，又因为，所以恰有一个零点，符合题意；②i）当时，在单调递增，所以在单调递增，又，所以在恰有一个零点，符合题意；ii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，因为，所以是函数的一个零点，且，当时，取且，则，所以，所以在恰有一个零点，所以在区间有两个零点，不合题意；iii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，又因为，所以是函数的一个零点，且，又因为，所以，所以在区间有两个零点，不合题意；综上的取值范围为或.【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故B选项正确，D选项不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.2.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3.已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用离心率求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.4.设，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以“”是“”必要而不充分条件【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，长方体的面积为，半圆的面积为，所以质点落在以为直径的半圆内的概率是.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.6.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值.【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，所以，所以.所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数是奇函数的导函数，（），，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，当时，根据已知条件，判断出.当时，根据为偶函数，判断出的单调性.结合，求得使得成立的的取值范围.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，，；当时，，.所以使得成立的的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项共选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题中真命题的是（）A. 若实数，满足，则，互为倒数B. 面积相等的两个三角形全等C. 设，“若，则方程有实根”的逆否命题D. “若，则”的逆命题【答案】AC【解析】【分析】A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C利用原命题的真假性来判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断.【详解】对于A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确.对于B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以B选项错误.对于C选项，当时，，所以方程有实根，为真命题，故其逆否命题为真命题，所以C选项正确.对于D选项，原命题的逆命题为“若，则”不正确，因为也可以，所以D 选项为假命题.综上所述，正确的为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题. 10.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程最大值出现在月C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳【答案】BCD【解析】【分析】根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性.【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误.根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确.一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确.根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确.综上所述，正确的选项为BCD.故选：BCD【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A. B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.。
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用除法的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误.详解：,故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将方程化为抛物线的标准方程，然后求出，可得到焦点坐标.【详解】解：由得，，则，所以,因为抛物线的焦点在的负半轴上，所以焦点坐标为.故选：D.【点睛】此题考查的是已知抛物线方程求其焦点坐标，属于基础题.3.直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】y′=（lnx）′=, ，令得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程, ∴ln2=1+b∴b=ln2-1．点睛：对于直线是曲线的切线问题，都是先求导数，令直线斜率与导数值相等得出切点坐标，再代入直线方程即可得出参数值.4.若在上是减函数，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性，将问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题，从而进行处理.【详解】因为，故可得，因为在区间是减函数，故在区间上恒成立.因为，故上式可整理化简为在区间上恒成立，因为在区间上的最小值为，故只需-1.【点睛】本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.5.椭圆上的点到直线的最大距离是（）A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=，，故选D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．6.在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有种分组方法；则一共有种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法；则安排方法共有种；故选D．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．7.若实数，满足不等式组，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据约束条件,画出可行域,然后求出的最大值,即可得到的最大值.【详解】解:,不等式组,∴表示的平面区域如下图所示:令,则,据图可知,当,时,取得最大值,即,∴,∴.故选:.【点睛】本题考查了利用线性规划求最值,考查了转化思想和数形结合思想,属基础题.8.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由,得，∵,∴∈(0,1)，由,得，又−2sinx∈[−2,2]，∴a−2sinx∈[−2+3a,2+3a]，要使过曲线上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)=3ax+2cosx上一点处的切线,使得，则,解得⩽a⩽.故选D.点睛：解决本题的关键是处理好任意和存在的关系，对于，可变形为.若的值域为A，的值域为B.由任意的，存在使得方程成立，则；由存在的，任意使得方程成立，则.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在正方体中，若棱长为，点分别为线段、上的动点，则下列结论正确结论的是（）A. 面B. 面面C. 点F到面的距离为定值D. 直线与面所成角的正弦值为定值【答案】ABC【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果.【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：由题意知：，，，，，，，，设，，即，，设，，即，.对于，，，，，，，又平面，，平面，正确；对于，平面，为平面的一个法向量，，，，，，又平面，，平面，平面平面，正确；对于，，点到面的距离，为定值，正确；对于，几何体为正方体，平面，是平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角为，则，不是定值，错误.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系、角度和距离的相关问题的辨析，由于本题建立空间直角坐标系较为简单，所以采用空间向量法来进行判断是比较快速的方式.10.（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（）A B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】对于选项A,B,C,D都可以利用作差法判断两个量的大小关系，逐一运算即可.【详解】解：，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.故选AD.【点睛】本题考查了利用作差法判断两个量的大小关系，重点考查了运算能力，属中档题.11.已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A. 数列前n项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列【答案】AD【解析】【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.12.已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则有（）A. 渐近线方程为B.C. D. 渐近线方程为【答案】AC【解析】【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A （a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，可得：，即，故e．且，故渐近线方程为渐近线方程为故选AC．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在上的最大值是____．【答案】【解析】【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．【详解】函数，，令，解得．因为，函数在上单调递增，在单调递减；时，取得最大值，．故答案为．【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．14.从6人中选出4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有___________.（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】根据题意，使用间接法，首先计算从6人中选4人分别到四个城市游览的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人去巴黎游览的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案.【详解】由题意可得:首先从6人中选4人分别到四个城市游览有=360种不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有=60种，乙到巴黎游览的有=60种，故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览的方案共有360-60-60=240种.【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题，一般情况下可采取特殊情况优先考虑的策略，即直接法，有时也可以采用间接法来处理.15.已知抛物线,焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线的斜率为,那么= ．【答案】8【解析】试题分析：由抛物线的参数方程为得其标准方程为，∴准线l：x=-2，考点：本题考查了参数方程及直线与抛物线的位置关系．点评：有关抛物线的焦半径问题，往往利用定义转化求解16.已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据能成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.【详解】，即为，整理得到，即，使得成立，（当且仅当，即时取等号），，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，其导函数为，且. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1) .(2) ，.【解析】分析：（1）先由求出的值，再求出函数在点的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值．详解：(Ⅰ)∵，∴.解得∴，∴，.∴曲线在点处的切线方程为(Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或当变化时，，的变化情况如下表：-单调递减∴的极小值为又，∴，.点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题．求出的值是解题的关键．18.在中，角所对的边分别为，已知，．（1）求；（2）若，求的周长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由三角函数的恒等变换化简角，再运用正弦定理边角互化得解；(2)由余弦定理反映三角形的三边的关系求解三角形的周长.【详解】（1）由，得，即，所以，．因为，所以，故．（2）由余弦定理得，所以．因为，所以，．于是．的周长为．【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理和余弦定理，属于中档题.19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，若数列{bn}的前n项和为Tn，求满足Tn＝258的正整数n的值．【答案】（1）（2）n值为5【解析】【分析】（1）当n≥2时，得．再验证时，是否满足上式，可得数列{an}的通项公式；（2）运用错位相减求数列的前n项和的方法求得Tn，再得出数列{Tn}的单调性，可得解.【详解】解：（1）由a1＝S1＝2．当n≥2时，．由a1＝2符合an＝2n（），故数列{an}的通项公式为an＝2n．（2）由，得，，作差得：得：得：,又，所以数列{Tn}单调递增，且，故满足Tn＝258的正整数n的值为5．【点睛】本题考查根据数列的前n项和求得数列的通项和运用错位相减法求数列的前n项和，以及数列的单调性，注意求数列的通项时需验证是否满足，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.（1）若，求与所成角的余弦值；（2）当平面与平面垂直时，求的长.【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（1）结合已知条件，设与的交点为，则，故考虑分别以为轴、轴，以过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设与所成的角为，则可转化为与所成的角，代入公式可求；（2）分别求平面的法向量，平面的法向量，由平面平面可得从而可求即.试题解析：（1）因为四边形是菱形，所以.又因为平面，所以.又，所以平面设.因为，，所以，，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，所以，.设与所成角为，则.（2）由（1）知，设（），则，设平面的法向量，则，，所以，令，则，，所以.同理，平面的法向量.因平面平面，所以，即，解得.所以.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线成的角，以及向量垂直的应用，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，.又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22.已知函数.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解．【详解】(Ⅰ)证明：整理得令，当，，所以在上单调递增；当，，所以在上单调递减，所以，不等式得证.(Ⅱ)，设切点为，则，函数在点处的切线方程为，令，解得，所以，令，因为，，所以，，当，，所以在上单调递减；当，，所以在上单调递增，因为，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用除法的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误.详解：,故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将方程化为抛物线的标准方程，然后求出，可得到焦点坐标.【详解】解：由得，，则，所以,因为抛物线的焦点在的负半轴上，所以焦点坐标为.故选：D.【点睛】此题考查的是已知抛物线方程求其焦点坐标，属于基础题.3.直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】y′=（lnx）′=, ，令得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程, ∴ln2=1+b∴b=ln2-1．故选C．点睛：对于直线是曲线的切线问题，都是先求导数，令直线斜率与导数值相等得出切点坐标，再代入直线方程即可得出参数值.4.若在上是减函数，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性，将问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题，从而进行处理.【详解】因为，故可得，因为在区间是减函数，故在区间上恒成立.因为，故上式可整理化简为在区间上恒成立，因为在区间上的最小值为，故只需-1.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.5.椭圆上的点到直线的最大距离是（）A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=，，故选D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．6.在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有种分组方法；则一共有种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法；则安排方法共有种；故选D．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．7.若实数，满足不等式组，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据约束条件,画出可行域,然后求出的最大值,即可得到的最大值.【详解】解:,不等式组,∴表示的平面区域如下图所示:令,则,据图可知,当,时,取得最大值,即,∴,∴.故选:.【点睛】本题考查了利用线性规划求最值,考查了转化思想和数形结合思想,属基础题.8.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由,得，∵,∴∈(0,1)，由,得，又−2sinx∈[−2,2]，∴a−2sinx∈[−2+3a,2+3a]，要使过曲线上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)=3ax+2cosx上一点处的切线,使得，则,解得⩽a⩽.故选D.点睛：解决本题的关键是处理好任意和存在的关系，对于，可变形为.若的值域为A，的值域为B.由任意的，存在使得方程成立，则；由存在的，任意使得方程成立，则.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在正方体中，若棱长为，点分别为线段、上的动点，则下列结论正确结论的是（）A. 面B. 面面C. 点F到面的距离为定值D. 直线与面所成角的正弦值为定值【答案】ABC【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果.【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：由题意知：，，，，，，，，设，，即，，设，，即，.对于，，，，，，，又平面，，平面，正确；对于，平面，为平面的一个法向量，，，，，，又平面，，平面，平面平面，正确；对于，，点到面的距离，为定值，正确；对于，几何体为正方体，平面，是平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角为，则，不是定值，错误.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系、角度和距离的相关问题的辨析，由于本题建立空间直角坐标系较为简单，所以采用空间向量法来进行判断是比较快速的方式.10.（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（）A B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】对于选项A,B,C,D都可以利用作差法判断两个量的大小关系，逐一运算即可.【详解】解：，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.故选AD.【点睛】本题考查了利用作差法判断两个量的大小关系，重点考查了运算能力，属中档题.11.已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A. 数列前n项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列【答案】AD【解析】【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.12.已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则有（）A. 渐近线方程为B.C. D. 渐近线方程为【答案】AC【解析】【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，可得：，即，故e．且，故渐近线方程为渐近线方程为故选AC．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在上的最大值是____．【答案】【解析】【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．【详解】函数，，令，解得．因为，函数在上单调递增，在单调递减；时，取得最大值，．故答案为．【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．14.从6人中选出4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有___________.（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】根据题意，使用间接法，首先计算从6人中选4人分别到四个城市游览的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人去巴黎游览的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案.【详解】由题意可得:首先从6人中选4人分别到四个城市游览有=360种不同的情况，其。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_33
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.如果，，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】因为，所以，故A错误；因为，当时，得，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.2.在等差数列中，已知，，则（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据条件，得到的值，求出答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得所以故选：C.【点睛】本题考查等差数列通项中的基本量计算，属于简单题.3.经过点的抛物线的标准方程为（）A. B.C. 或D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程．【详解】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为或，将点代入可得或，所以所求抛物线的标准方程为或.故选.【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础.4.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定的要求，写出原命题的否定，得到答案.【详解】原命题为命题“，”所以命题的否定为“，”故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.5.椭圆的左、右顶点分别是，，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意表示出，，，根据它们成等比数列，得到，的关系式，整理化简得到答案.【详解】由题意，，，，因为，，成等比数列，所以，即所以椭圆离心率.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率，属于简单题.6.在下列函数中，最小值为2的是（）A. （且）B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.【详解】选项A，当时，，所以最小值为不正确；选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确；选项C，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.7.已知空间向量，，则“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果.【详解】，，或-3.故x=1是的充分不必要条件.故答案为B.【点睛】这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8.若，，且，，则下列说法中正确的是（）A. 当且仅当时取得最小值B 当且仅当时取得最大值C. 当且仅当为定值时取得最小值D. 当且仅当为定值且时取得最大值【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式的求积的最大值，以及基本不等式的使用条件，得到答案.【详解】因为，，且，，根据基本不等式使用条件“一正二定三相等”当且仅当为定值，，当且仅当时，等号成立.即当且仅当为定值且时取得最大值故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，基本不等式的使用条件，属于简单题.9.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.10.已知离心率为的双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点．若的面积为2，则实数的值为（）A. 2 B. C. 4 D. 8【答案】A【解析】【分析】根据题意，根据离心率为，求出双曲线的渐近线，然后得到为等腰直角三角形，根据其面积为，得到的值，再得到的值.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，所以得到，所以所以双曲线：的渐近线为取，倾斜角为，为直径，所以，所以为等腰直角三角形所以，解得所以.故选：A.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.11.如图，在三棱锥中，，平面，，，点、分别为，的中点，点在线段上．若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，然后得到和的坐标，根据向量的夹角公式，得到异面直线与所成角的余弦值.【详解】因，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，所以，，，点、分别为，的中点所以，因为，所以所以，所以异面直线与所成角的余弦值为故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题.12.已知为椭圆：的右焦点，点，，为椭圆上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A. 0个B. 1个C. 3个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】根据得到为的重心，设，则得到边中点的坐标，要求在椭圆内，且为弦中点，即存在满足要求的“和谐三角形”，从而得到答案.【详解】因为为椭圆：的右焦点，所以因为，所以为的重心，设边的中点为，则所以，所以设，所以将，代入椭圆方程得两式相减，得到整理得到所以方程为当在椭圆内时，得，而所以得到所以当时，直线与椭圆：一定有两个交点和，满足为的重心，即满足，使得为“和谐三角形”，因此满足要求的情况有无数种，所以“和谐三角形”有无数个.故选：D.【点睛】本题考查三角形重心的性质，点差法求弦中点所在的直线，点与椭圆的位置关系，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.不等式的解集是______【答案】【解析】【分析】首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.【详解】题中所给的不等式即：，，该不等式等价于：，求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.故答案为．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知正数，满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】根据，利用基本不等式得到的范围，再根据对勾函数的性质，得到的最小值.【详解】因为正数，满足，根据基本不等式得所以，设则在上单调递减所以最小值为.故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，对勾函数的性质，属于简单题.15.若数列的通项公式为，数列满足，则数列的前10项和为_______．【答案】【解析】【分析】根据的通项，得到的通项，利用分组求和和裂项相消法，求出的前10项和.【详解】因为，所以所以的前10项和..故答案为：【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题.16.点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据椭圆方程，得到焦点，，所以到两圆的圆心距离之和为，从而得到，最小值为，最大值为.【详解】椭圆，焦点，，而圆和的圆心为，所以到两圆圆心的距离之和为，而、分别是圆和上的动点所以.所以取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查椭圆的定义，点到圆的距离的范围，属于简单题.三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知：，：，其中．（1）求使得为真命题的实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据为真命题，解不等式，得到的取值范围；（2）根据是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解得的取值范围.【详解】解：（1）因为为真命题，所以，解得：.（2）由（1）得：，：解得：所以：，因为是的充分不必要条件，所以且等号不能同时成立.解得：，所以实数的取值范围.【点睛】本题考查根据命题的真假求变量的范围，根据充分不必要条件求参数的范围，属于简单题.18.已知数列的前项和为，且是与2的等差中项．数列中，，点在直线上．（1）求和的值；（2）求数列，的通项公式；（3）设，求数列的前项和．【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】（1）根据题意得到，分别令，，得到，；（2）当时，，再验证时，得到的通项，根据点在直线上，得，得到为等差数列，从而得到其通项；（3）根据，得到的通项，然后利用错位相减法，得到前项和.【详解】解：（1）由当时，得，即，解得；当时，得，即，解得.（2）由…①得…②；（）将两式相减得，即，所以，因为，所以，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.数列中，，点在直线上，得，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以.（3），所以上式减下式得所以.【点睛】本题考查由和的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.19.如图，两铁路线垂直相交于站，若已知千米，甲火车从站出发，沿方向以千米小时的速度行驶，同时乙火车从站出发，沿方向，以千米小时的速度行驶，至站即停止前行（甲车扔继续行驶）（两车的车长忽略不计）.（1）求甲、乙两车最近距离（用含的式子表示）；（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为小时，问为何值时最大？【答案】（1）；（2）时，最大.【解析】【分析】（1）先设行驶小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点，乙车行驶到点，根据题意，得到，，由勾股定理，表示出，再由配方法，即可得出结果；（2）先由（1）得，根据基本不等式，即可得出结果.【详解】（1）设行驶小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点，乙车行驶到点，则，，则，，因为，所以当时，取到最小值，即取到最小值，此时海里；所以甲、乙两车的最近距离为；（2）由（1）知，当甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为，当且仅当，即时，最大.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及由基本不等式求最值，熟记二次函数性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.20.如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，．（1）求二面角的正弦值；（2）点是线段的中点，点为线段上点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的法向量，平面的法向量，根据公式得到两个法向量之间的夹角余弦，再求出二面角的正弦值；（2）设，得到，，根据公式，表示出与之间的夹角余弦，即直线和平面所成角的正弦值，从而得到关于的方程，求出的值，得到线段的长.【详解】（1）证明：如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系，则，，，，，，，，又因为分别为的中点，所以.，，，设是平面的法向量，由，得，取，得，设是平面的法向量，由，得，取，得.，设二面角的平面角为，所以，所以二面角的正弦值为.（2）由题意可设，其中，∴，，又因为是平面的一个法向量，所以，设直线和平面所成角为，，整理，得，所以，解得或（舍）.所以线段的长为.【点睛】本题考查利用空间向量求二面角，根据直线与平面所成的角求线段长，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为6.（1）求椭圆的方程.（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到解得，再由a,b,c的关系得到结果；（2）设出直线AM，联立直线和椭圆，表示出点M的坐标，设直线的斜率为，则，即，把点坐标中的替换为，得到点N的坐标，利用两点坐标表示出直线MN即可得到直线过定点.【详解】（1）由题意知解得.又，，椭圆方程为.（2）设左顶点，根据已知得直线的斜率存在且不为零，设，代入椭圆方程，得，设，则，即，，即.设直线的斜率为，则，即，把点坐标中的替换为，得.当的横坐标不相等，即时，，直线的方程为，即，该直线恒过定点.当时，、的横坐标为零，直线也过定点.综上可知，直线过定点.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.22.已知数列中，，是数列的前项和，且．（1）求，，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对任意的正整数都成立，求实数的取值范围．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）令，得到，当时，，所以得到，整理得到，从而得到的通项公式，从而得到的通项；（2）根据（1）得到的通项，然后得到其前项的和，计算，得到在上单调递增，从而得到，得到的取值范围.【详解】解：（1）在中，，则，即，得，由得：当时，，化简得，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以.又因为，所以，所以，.当时，，对也成立，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.因为，所以在上单调递增，所以的最小值为.因为对任意的正整数都成立，所以，即.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由和的关系求数列通项，数列求和，数列的单调性求数列中的最小项，数列不等式恒成立问题，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.如果，，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】因为，所以，故A错误；因为，当时，得，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.2.在等差数列中，已知，，则（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据条件，得到的值，求出答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得所以故选：C.【点睛】本题考查等差数列通项中的基本量计算，属于简单题.3.经过点的抛物线的标准方程为（）A. B.C. 或D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程．【详解】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为或，将点代入可得或，所以所求抛物线的标准方程为或.故选.【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础.4.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定的要求，写出原命题的否定，得到答案.【详解】原命题为命题“，”所以命题的否定为“，”故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.5.椭圆的左、右顶点分别是，，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意表示出，，，根据它们成等比数列，得到，的关系式，整理化简得到答案.【详解】由题意，，，，因为，，成等比数列，所以，即所以椭圆离心率.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率，属于简单题.6.在下列函数中，最小值为2的是（）A. （且）B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.【详解】选项A，当时，，所以最小值为不正确；选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确；选项C，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.7.已知空间向量，，则“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果.【详解】，，或-3.故x=1是的充分不必要条件.故答案为B.【点睛】这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8.若，，且，，则下列说法中正确的是（）A. 当且仅当时取得最小值B当且仅当时取得最大值C. 当且仅当为定值时取得最小值D. 当且仅当为定值且时取得最大值【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式的求积的最大值，以及基本不等式的使用条件，得到答案.【详解】因为，，且，，根据基本不等式使用条件“一正二定三相等”当且仅当为定值，，当且仅当时，等号成立.即当且仅当为定值且时取得最大值故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，基本不等式的使用条件，属于简单题.9.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.10.已知离心率为的双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点．若的面积为2，则实数的值为（）A. 2B.C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根据题意，根据离心率为，求出双曲线的渐近线，然后得到为等腰直角三角形，根据其面积为，得到的值，再得到的值.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，所以得到，所以所以双曲线：的渐近线为取，倾斜角为，为直径，所以，所以为等腰直角三角形所以，解得所以.故选：A.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.11.如图，在三棱锥中，，平面，，，点、分别为，的中点，点在线段上．若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，然后得到和的坐标，根据向量的夹角公式，得到异面直线与所成角的余弦值.【详解】因，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，所以，，，点、分别为，的中点所以，因为，所以所以，所以异面直线与所成角的余弦值为故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题.12.已知为椭圆：的右焦点，点，，为椭圆上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A. 0个B. 1个C. 3个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】根据得到为的重心，设，则得到边中点的坐标，要求在椭圆内，且为弦中点，即存在满足要求的“和谐三角形”，从而得到答案.【详解】因为为椭圆：的右焦点，所以因为，所以为的重心，设边的中点为，则所以，所以设，所以将，代入椭圆方程得两式相减，得到整理得到所以方程为当在椭圆内时，得，而所以得到所以当时，直线与椭圆：一定有两个交点和，满足为的重心，即满足，使得为“和谐三角形”，因此满足要求的情况有无数种，所以“和谐三角形”有无数个.故选：D.【点睛】本题考查三角形重心的性质，点差法求弦中点所在的直线，点与椭圆的位置关系，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.不等式的解集是______【答案】【解析】【分析】首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.【详解】题中所给的不等式即：，，该不等式等价于：，求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.故答案为．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知正数，满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】根据，利用基本不等式得到的范围，再根据对勾函数的性质，得到的最小值.【详解】因为正数，满足，根据基本不等式得所以，设则在上单调递减所以最小值为.故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，对勾函数的性质，属于简单题.15.若数列的通项公式为，数列满足，则数列的前10项和为_______．【答案】【解析】【分析】根据的通项，得到的通项，利用分组求和和裂项相消法，求出的前10项和.【详解】因为，所以所以的前10项和..故答案为：【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题.16.点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据椭圆方程，得到焦点，，所以到两圆的圆心距离之和为，从而得到，最小值为，最大值为.【详解】椭圆，焦点，，而圆和的圆心为，所以到两圆圆心的距离之和为，而、分别是圆和上的动点所以.所以取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查椭圆的定义，点到圆的距离的范围，属于简单题.三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知：，：，其中．（1）求使得为真命题的实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_42
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.命题“R，”的否定是（）A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定规则进行判断【详解】命题“R，”的否定是R，。
故选：A.【点睛】此题是容易题，考查基本概念。
2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线的定义求得。
【详解】双曲线的渐近线方程是，故选：B.【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。
3.“M＜N”是“”（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的定义域是单调性可判断。
【详解】若，则，故可以推出若，不能推出，比如不满足，故选：C.【点睛】此题为容易题，考查充分条件和必要条件的概念和对数函数的定义域和单调性。
4.已知向量(，6，2)，(﹣1，3，1)，满足∥，则实数的值是（）A. 2B. 6C. ﹣2D. ﹣6【答案】C【分析】根据向量平行的性质求解【详解】因为∥，所以，解得。
故选：C.【点睛】此题考查向量平行的性质，属于基础题5.已知点F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，点P为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，则△PF1F2的周长是（）A. 10B. 11C. 12D. 14【答案】D【解析】【分析】先算出椭圆的长轴长和焦距，再结合椭圆定义算得周长。
【详解】根据椭圆定义，到和的距离之和为长轴长，而,故而三角形的周长为。
故选:D.【点睛】此题考查椭圆的定义，为基础题。
6.等差数列中，已知，，则的值是（）A. 23B. 30C. 32D. 34【答案】C【分析】根据已知可以先求出首项和公差d，再利用等差数列前n项和公式求出。
【详解】由题是等差数列，则有，，解得，，故.故选：C.【点睛】此题考查等差数列的性质，属于基础题。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_48
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据四个命题的真假关系，判断原命题和逆命题是否成立，即可得结论.【详解】命题“若，则”不成立，则逆否命题不成立；逆命题和否命题成立，假命题的个数为2.故选:B【点睛】本题考查四种命题形式的真假关系，属于基础题.2.已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由命题的否定形式，即可求得结论.【详解】命题：，，则为：，.故选:B【点睛】本题考查命题的否定，要注意全称量词和特称量词的转换，属于基础题.3.高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）A. 8 B. 13 C. 15 D. 31【答案】D【解析】【分析】根据系统抽样的原则，每组抽取的个体的编号成等差数列，公差为每组的个数，即可求出结论.【详解】根据系统抽样的抽样的方法，所抽取4个的号码成等差数列，其公差为每组的个数为13，所以四个号码为5,18,31,44.故选:D【点睛】本题考查系统抽样的定义和方法，属于基础题.4.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】3个白球和2个黑球分别编号，列出所有从袋中一次取出两个球的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，按求古典概型的概率方法，即可求解.【详解】3个白球记为；2个黑球记为，从袋子中一次取出两个球所有情况有：，共有10种取法，取到的两个球颜色不相同有6种，概率为.故选:B【点睛】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题.5.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为（）A. 3B. 3.15C. 3.25D. 3.5【答案】A【解析】试题分析：，，线性回归方程过样本点的中心，，得，故答案为A．考点：线性规划的应用．6.已知，是非零实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数的真数大于零，“”成立，“”不一定成立，而“”成立可得“”，即可得出结论.【详解】若，则不能是真数，不成立；成立，则有成立.故选:B【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，涉及对数的定义域和单调性，属于基础题.7.已知向量，，若，则的值可以是（）A. B. C. -3 D. 2【答案】A【解析】【分析】运用向量共线的坐标关系，即可求解.【详解】，，,，解得或，或.故选:A【点睛】本题考查平行向量空间坐标的关系，属于基础题. 8.如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】C【解析】分析】根据这两组数据的中位数相等，而甲组中位数已知，可求，进而求出乙组的平均数，两组平均数也相等，求出，即可求得结论.【详解】甲组的中位数为65，两组的中位数相同，所以，乙组的平均数为66，甲组的平均数为66，所以.故选:C【点睛】本题考查中位数和平均数，考查计算能力，属于基础题.9.已知点是圆的圆周上一定点，若在圆的圆周上的其他位置任取一点，连接，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求出点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案.【详解】设圆的半径为，为圆上的任意一点，则点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长，其中满足条件长度大于圆半径长对应的弧长为，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为.故选:D【点睛】本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆：左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案.【详解】依题意的周长为，.故选:C【点睛】本题考查椭圆的定义在解题中应用，以及离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.11.如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉= ==−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|co s〈，〉|=.12.已知，为双曲线的焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，交虚轴于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件,可得为中点，，可得，，再由双曲线的对称性，到出为等边三角形，将用表示，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，，为中点，平方得，，，由双曲线的对称性，，为等边三角形，在，，.故选:B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，以及利用其定义求离心率，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为________【答案】9【解析】【分析】根据分层抽样原则，高中部抽取男教师的人数为高中部抽取人数的60%，即可求解.【详解】某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，要抽取一个容量为26的样本，高中部老师抽取15人，高中男教师占60%，故抽取9人.故答案为:9【点睛】本题考查系统抽样的指标分配，按比例分配是解题的关键，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据条件求出直线方程，与抛物线方程联立，求出点坐标，即可求解.【详解】依题意，直线方程为，联立，消去，，解得或，点在轴上方，点坐标为.故答案为:【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于基础题. 15.如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为______.【答案】【解析】【分析】求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】故答案为:【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长，属于基础题.16.已知椭圆的右焦点为，点在上，且在第－象限，过点作的切线交椭圆与两点，则的周长为_______________.【答案】4【解析】【分析】设，利用焦点半径公式可求，再根据勾股定理可求、，注意根据点在椭圆上化简、后可求的周长.【详解】圆的半径为，椭圆的短半轴长为，依据在第一象限可以得到在轴的右侧.设，则且.又，同理，所以的周长为，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的方程为的左、右焦点分别为，那么对于椭圆上的点，，，记忆该公式的方法为“左加右减”.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围；（2）已知命题：“，”；命题：“，使得”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求出命题的不等式解集，是的充分不必要条件，转化为命题的数集是命题解集的在真子集，即可求解；（2）分别求出命题和命题为真时，实数的范围，再根据“”是真命题，即可求解.【详解】解：（1）令，.∵是的充分不必要条件，∴，∴，解得.（2）若命题“”是真命题，那么命题，都是真命题.由，，得；由，使，知，得，因此.【点睛】本题考查命题充分不必要与集合的关系，考查复合命题的真假，属于基础题.18.某高校在2019年的自主招生笔试成绩（满分200分）中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：15253010（1）求频率分布表中，，的值；（2）估计笔试成绩的平均数及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（精确到0.1）（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.【答案】（1），，.（2）平均数137 中位数136.7（3）【解析】【分析】（1）频数和为100，求出，由频数求出；（2）根据平均数公式，即可求出平均数，根据直方图求出中位数；（3）对抽取的6名学生编号，列出随机抽取两人的所有情况，确定出2人为同一组的抽取个数，按求古典概型概率的方法，即可求解.【详解】解：（1）依题意：，，.（2）笔试成绩的平均数为：.因为第1组与第2组的频率之和为：0.4，所以中位数为：.（3）依题意：第4组抽取4人，记为：，，，，第5组抽取2人，记为：，，则基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中满足题意的有7种.所以所求概率为：.【点睛】本题考查补全频率分布表，并求平均数和中位数，考查古典概型概率的求法，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，平面平面，等边三角形，已知，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可证，再由面面垂直的性质定理，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.【详解】（1）证明：在中，∵，，，∴，故.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，所以平面平面.（2）解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，由，则. ∴.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成的角，属于中档题.20.已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．【答案】（1）（2）1或－1.【解析】【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．（2）由得．设点M，N的坐标分别为，，则，，，．所以|MN|===．由因为点A（2,0）到直线的距离，所以△AMN的面积为．由，解得，经检验，所以．21.如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，是的中点，平面，且，如图2.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）线段上不存点，使得平面.见解析【解析】【分析】（1）平面平面，由面面垂直的性质定理，可证，得出，即可得证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解；（3）利用共线向量，将用坐标表示，根据平面法向量与平面，即可求出结论.【详解】（1）证明：∵，为的中点，∴.又平面平面，且平面平面，∴.∵平面，∴，而平面，平面，∴平面.（2）解：以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，取，则.又平面的一个法向量为，∴.则平面与平面所成角余弦值为.（3）解：假设在线段上存在，使得平面，设，则，∴，，.而.由，可知不存在，∴线段上不存点，使得平面【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直的性质定理，考查线面平行的判定，以及利用空间向量法求面面角、和线线平行的判定，属于中档题.22.已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的、两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．【答案】（1）;（2）∴;（3）．【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，所以，．∴抛物线的标准方程为．（2）设：，与联立，得，设，，∴，，∴．（3）解：假设直线过定点，设：与联立，得，设，，∴，．由，解得，∴：过定点．点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据四个命题的真假关系，判断原命题和逆命题是否成立，即可得结论.【详解】命题“若，则”不成立，则逆否命题不成立；逆命题和否命题成立，假命题的个数为2.故选:B【点睛】本题考查四种命题形式的真假关系，属于基础题.2.已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由命题的否定形式，即可求得结论.【详解】命题：，，则为：，.故选:B【点睛】本题考查命题的否定，要注意全称量词和特称量词的转换，属于基础题.3.高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）A. 8B. 13C. 15D. 31【答案】D【解析】【分析】根据系统抽样的原则，每组抽取的个体的编号成等差数列，公差为每组的个数，即可求出结论.【详解】根据系统抽样的抽样的方法，所抽取4个的号码成等差数列，其公差为每组的个数为13，所以四个号码为5,18,31,44.故选:D【点睛】本题考查系统抽样的定义和方法，属于基础题.4.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】3个白球和2个黑球分别编号，列出所有从袋中一次取出两个球的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，按求古典概型的概率方法，即可求解.【详解】3个白球记为；2个黑球记为，从袋子中一次取出两个球所有情况有：，共有10种取法，取到的两个球颜色不相同有6种，概率为.故选:B【点睛】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题.5.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为（）A. 3B. 3.15C. 3.25D. 3.5【答案】A【解析】试题分析：，，线性回归方程过样本点的中心，，得，故答案为A．考点：线性规划的应用．6.已知，是非零实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数的真数大于零，“”成立，“”不一定成立，而“”成立可得“”，即可得出结论.【详解】若，则不能是真数，不成立；成立，则有成立.故选:B【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，涉及对数的定义域和单调性，属于基础题.7.已知向量，，若，则的值可以是（）A. B. C. -3 D. 2【答案】A【解析】【分析】运用向量共线的坐标关系，即可求解.【详解】，，,，解得或，或.故选:A【点睛】本题考查平行向量空间坐标的关系，属于基础题.8.如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】C【解析】分析】根据这两组数据的中位数相等，而甲组中位数已知，可求，进而求出乙组的平均数，两组平均数也相等，求出，即可求得结论.【详解】甲组的中位数为65，两组的中位数相同，所以，乙组的平均数为66，甲组的平均数为66，所以.故选:C【点睛】本题考查中位数和平均数，考查计算能力，属于基础题.9.已知点是圆的圆周上一定点，若在圆的圆周上的其他位置任取一点，连接，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案.【详解】设圆的半径为，为圆上的任意一点，则点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长，其中满足条件长度大于圆半径长对应的弧长为，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为.故选:D【点睛】本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆：左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案.【详解】依题意的周长为，.故选:C【点睛】本题考查椭圆的定义在解题中应用，以及离心率求椭圆的标准方程，属于基础题. 11.如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.12.已知，为双曲线的焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，交虚轴于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件,可得为中点，，可得，，再由双曲线的对称性，到出为等边三角形，将用表示，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，，为中点，平方得，，，由双曲线的对称性，，为等边三角形，在，，.故选:B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，以及利用其定义求离心率，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为________【答案】9【解析】【分析】根据分层抽样原则，高中部抽取男教师的人数为高中部抽取人数的60%，即可求解.【详解】某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，要抽取一个容量为26的样本，高中部老师抽取15人，高中男教师占60%，故抽取9人.故答案为:9【点睛】本题考查系统抽样的指标分配，按比例分配是解题的关键，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据条件求出直线方程，与抛物线方程联立，求出点坐标，即可求解.【详解】依题意，直线方程为，联立，消去，，解得或，点在轴上方，点坐标为.故答案为:【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于基础题.15.如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为______.【答案】【解析】【分析】求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】故答案为:【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长，属于基础题.16.已知椭圆的右焦点为，点在上，且在第－象限，过点作的切线交椭圆与两点，则的周长为_______________.【答案】4【解析】【分析】设，利用焦点半径公式可求，再根据勾股定理可求、，注意根据点在椭圆上化简、后可求的周长.【详解】圆的半径为，椭圆的短半轴长为，依据在第一象限可以得到在轴的右侧.设，则且.又，同理，所以的周长为，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的方程为的左、右焦点分别为，那么对于椭圆上的点，，，记忆该公式的方法为“左加右减”.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围；（2）已知命题：“，”；命题：“，使得”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求出命题的不等式解集，是的充分不必要条件，转化为命题的数集是命题解集的在真子集，即可求解；（2）分别求出命题和命题为真时，实数的范围，再根据“”是真命题，即可求解.【详解】解：（1）令，.∵是的充分不必要条件，∴，∴，解得.（2）若命题“”是真命题，那么命题，都是真命题.由，，得；由，使，知，得，因此.【点睛】本题考查命题充分不必要与集合的关系，考查复合命题的真假，属于基础题.18.某高校在2019年的自主招生笔试成绩（满分200分）中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：15253010（1）求频率分布表中，，的值；（2）估计笔试成绩的平均数及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（精确到0.1）（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.【答案】（1），，.（2）平均数137 中位数136.7（3）【解析】【分析】（1）频数和为100，求出，由频数求出；（2）根据平均数公式，即可求出平均数，根据直方图求出中位数；（3）对抽取的6名学生编号，列出随机抽取两人的所有情况，确定出2人为同一组的抽取个数，按求古典概型概率的方法，即可求解.【详解】解：（1）依题意：，，.（2）笔试成绩的平均数为：.因为第1组与第2组的频率之和为：0.4，所以中位数为：.（3）依题意：第4组抽取4人，记为：，，，，第5组抽取2人，记为：，，则基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中满足题意的有7种.所以所求概率为：.【点睛】本题考查补全频率分布表，并求平均数和中位数，考查古典概型概率的求法，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，平面平面，等边三角形，已知，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可证，再由面面垂直的性质定理，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.【详解】（1）证明：在中，∵，，，∴，故.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，所以平面平面.（2）解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，由，则. ∴.。
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_3
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知数列，则是这个数列（）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.【详解】数列通项公式为，当，解得，故选：B.【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义条件，解一元二次不等式即可求得定义域.【详解】函数，所以定义域满足，解不等式可得，即定义域为，故选：A.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.3.命题：“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含有量词命题的否定即可得解.【详解】由含有量词命题的否定可知，“，”的否定为，故选：C.【点睛】本题考查了含全称量词命题的否定，属于基础题. 4.等差数列中，，则数列前9项的和等于（）A. 66B. 99C. 144D. 297【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质，结合条件可得，进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出，即可得解.【详解】等差数列中，，则，解得，因而，由等差数列前n项和公式可得，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n项和公式的用法，属于基础题.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解:因为能推出，而不能推出，所以“”是“”充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.6.在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.7.曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=0．故选A．【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力8.若，则的最小值为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式求最值.【详解】,当且仅当时取等号，故的最小值为，选C.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知双曲线,则p 的值为（）A. －2B. －4C. 2D. 4【答案】D【解析】由双曲线方程可得双曲线为等轴双曲线，其离心率为，则抛物线焦点坐标为，所以，则.10.双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的方程，可得，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解【详解】由双曲线的方程，可得双曲线的焦点在轴上，且，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11.已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（）A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】根据三角形中三个角依次成等差数列，可得；由三边成等比，可得，代入余弦定理可求得关系，结合三角形判定方法即可得解.【详解】中，三内角依次成等差数列，则，因为，则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选：C.【点睛】本题考查了等差中项与等比中项的简单应用，余弦定理求边的关系，三角形形状的判断，属于基础题.12.函数由下表定义：4若，则数列的前2010项的和（）A. 6021B. 6023C. 6025D. 6027【答案】D【解析】【分析】根据递推公式，代入计算可知数列为周期数列.求得周期并根据一个周期内的和，即可求得.【详解】，结合表格可得，，，，，由以上可知，数列是以4为周期的周期数列，一个周期内的和为，而，所以，故选：D.【点睛】本题考查了数列的周期性应用，数列递推公式的应用，属于基础题.13.等比数列{an}前n项和为Sn，公比q≠1，若a1=1，且对任意的n∈N*都有an+2+an+1=2an，则S5等于（）A. 12B. 20C. 11D. 21【答案】C【解析】【分析】等价于，即，由此可解得的值，进而求得【详解】解：设等比数列的公比为则等价于因为故，即因为所以故故选C．【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解题；求等比数列的前n项和时，要对的范围进行讨论．14.已知、是椭圆（a>b>0）的两个焦点，以线段为边作正三角形M，若边M的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|＝c且|QF2|c，根据椭圆的定义得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c，由此不难算出该椭圆的离心率．【详解】解：由题意，设边PF1的中点为Q，连接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2＝60°，∠QF2F1＝30°Rt△QF1F2中，|F1F2|＝2c（椭圆的焦距），∴|QF1||F1F2|＝c，|QF2||F1F2|c根据椭圆的定义，得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c∴椭圆的离心率为e1故选：B．点评：解决该试题的关键是对于定义的灵活运用，以及正三角形中线是高线的性质的运用，属于基础题．15.已知抛物线上的点到焦点的距离为8，则（为坐标原点）的面积为（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】设点，根据抛物线的定义和抛物线的标准方程，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】设点，因为抛物线上的点到焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得，即，代入抛物线的方程，得，解得，即，所以的面积为，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，及抛物线的标准方程的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义和标准方程，求得点P的坐标是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.若关于的不等式的正整数解有且只有1，2，3，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式5x2﹣a≤0的正整数解，得出a＞0，x，解此不等式，求出a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴a＞0，解不等式得x2，∴x，∴34，∴916，即45≤a＜80，∴实数a的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）17.已知x，y满足，若的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，其中解得A（3，1）设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值＝3+2＝5故答案为5．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x+2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．18.的内角的对边分别为，若，则 ________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.若函数的两个零点是-2和3，则不等式的解集是______________.【答案】【解析】【分析】根据函数零点，求得函数解析式；并求得的解析式，解一元二次不等式即可求得不等式的解集.【详解】函数的两个零点是-2和3，即的解为，代入方程可得，解方程组可得所以，则则，即，解得，所以的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查了由函数零点确定参数，函数零点与方程的关系，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________.【答案】【解析】【分析】先求得导函数，由函数在R上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a的取值范围.【详解】函数在R上是减函数，则当时，在上不能恒成立，所以不成立；当时，在上恒成立，需，解得即a的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题.21.给出如下四种说法：①四个实数依次成等比数列的必要而不充分条件是.②命题“若且，则”为假命题.③若为假命题，则均为假命题.④若数列的前项n和，则该数列的通项公式.其中正确说法的序号为________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①当出现0项时，不能为等比，结合充分必要条件的概念即可判断；对于②利用命题与否命题真假关系即可判断；对于③由复合命题真假的性质可判断；对于④根据的性质可求得通项公式.【详解】对于①，若四个实数依次成等比数列，则由等比数列性质可得；当时，若，则不满足等比数列条件，所以是依次成等比数列的必要而不充分条件，故①正确；对于②，命题“若且，则”，当，满足且，但是不满足，即命题为假命题，所以②正确；对于③，若为假命题，则中至少有一个为假命题，所以③错误；对于④，若数列的前项n和，则由可得，当时，，也符合通项公式，即，故④正确；综上可知，正确的为①②④故答案为：①②④【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，命题真假的判断，由求数列通项公式，综合性强，属于中档题.三、解答题（本题共5小题,共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.22.已知，设命题函数在R上为单调函数；命题曲线与x轴交于不同两点，若命题为真，为真，求c的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据已知条件可得p真，q假，由指数函数单调性及二次函数性质可得不等式组，即可求得c的取值范围.【详解】因为命题为真，为真，可得p真，q假，∵p为真命题，则，∵q为假命题，则.又∵，得.因为p真q假，则：得.综上c的取值范围为.【点睛】本题考查了复合命题真假判断，由复合命题真假确定参数取值范围，属于基础题.23.在中，．(1)求边长的值；(2)求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）由正弦定理得（2）由余弦定理所以考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积．点评：中档题，本题考查知识点较多，但解题思路比较明确，牢记公式（定理），细心计算关键．24.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【答案】648【解析】【分析】设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，可得出，并利用、表示出蔬菜的种植面积，再利用基本不等式求出的最大值，并利用等号成立的条件求出与的值，即可对问题进行解答．【详解】设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则蔬菜的种植面积，所以当时，即当，时，.答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，在解题过程中寻找定值条件，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，同时特别要注意等号成立的条件，考查计算能力与应用能力，属于中等题．25.如图，直棱柱中，分别是的中点，，（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，连接DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1C．（2）以C为坐标原点，CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【详解】（1）如图，连接交于点F，则点F为的中点，连接.因为D是的中点，所以在中，是中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以，即.则以C为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，则，，.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，，则.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，，则.所以，所以，即二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．26.若函数,当时,函数有极值为.(1)求函数的解析式；(2)若有个解,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，由时，函数有极值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，有极大值；当时，有极小值，因为关于的方程有三个不等实根，所以函数的图象与直线有三个交点，则的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.27.已知等差数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求的值.（3）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列性质及即可求得首项与公差，进而求得数列的通项公式；（2）根据裂项求和法，即可求得的值.（3）将数列合并后，根据等差数列求和公式即可求解.【详解】（1）因为是等差数列，所以当时，则，所以，由，所以数列的通项公式是.（2）由（1）得，，所以.（3）由（1）得所以【点睛】本题考查了等差数列的性质应用，等差数列前n项和公式应用，裂项求和法的应用，属于基础题.28.已知椭圆的中心为坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于两点，且直线l的斜率.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，根据题意求得，即可得椭圆的标准方程.（2）设直线l的方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出.由直线方程可得.由可得，结合平面向量数量积的坐标表示，即可求得斜率，进而得直线方程.【详解】（1）因为有右焦点，所以椭圆方程可设为.∵长轴长为，离心率，即，，所求椭圆方程为.（2）设直线l的方程为，由，可得.，.因为，所以，由，得，，.∴所求直线的方程为.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，由韦达定理求参数的应用，平面向量数量积的坐标表示，属于中档题.学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知数列，则是这个数列（）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.【详解】数列通项公式为，当，解得，故选：B.【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义条件，解一元二次不等式即可求得定义域.【详解】函数，所以定义域满足，解不等式可得，即定义域为，故选：A.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.3.命题：“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含有量词命题的否定即可得解.【详解】由含有量词命题的否定可知，“，”的否定为，故选：C.【点睛】本题考查了含全称量词命题的否定，属于基础题.4.等差数列中，，则数列前9项的和等于（）A. 66B. 99C. 144D. 297【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质，结合条件可得，进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出，即可得解.【详解】等差数列中，，则，解得，因而，由等差数列前n项和公式可得，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n项和公式的用法，属于基础题.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解:因为能推出，而不能推出，所以“”是“”充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.6.在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.7.曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=0．故选A．【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力8.若，则的最小值为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式求最值.【详解】,当且仅当时取等号，故的最小值为，选C.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知双曲线,则p的值为（）A. －2B. －4C. 2D. 4【答案】D【解析】由双曲线方程可得双曲线为等轴双曲线，其离心率为，则抛物线焦点坐标为，所以，则.10.双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的方程，可得，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解【详解】由双曲线的方程，可得双曲线的焦点在轴上，且，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11.已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（）A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】根据三角形中三个角依次成等差数列，可得；由三边成等比，可得，代入余弦定理可求得关系，结合三角形判定方法即可得解.【详解】中，三内角依次成等差数列，则，因为，则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选：C.【点睛】本题考查了等差中项与等比中项的简单应用，余弦定理求边的关系，三角形形状的判断，属于基础题.12.函数由下表定义：4若，则数列的前2010项的和（）A. 6021B. 6023C. 6025D. 6027【答案】D【解析】【分析】根据递推公式，代入计算可知数列为周期数列.求得周期并根据一个周期内的和，即可求得.【详解】，结合表格可得，，，，，由以上可知，数列是以4为周期的周期数列，一个周期内的和为，而，所以，故选：D.【点睛】本题考查了数列的周期性应用，数列递推公式的应用，属于基础题.13.等比数列{an}前n项和为Sn，公比q≠1，若a1=1，且对任意的n∈N*都有an+2+an+1=2an，则S5等于（）A. 12B. 20C. 11D. 21【答案】C【解析】【分析】等价于，即，由此可解得的值，进而求得【详解】解：设等比数列的公比为则等价于因为故，即因为所以故故选C．【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解题；求等比数列的前n项和时，要对的范围进行讨论．14.已知、是椭圆（a>b>0）的两个焦点，以线段为边作正三角形M，若边M的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|＝c且|QF2|c，根据椭圆的定义得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c，由此不难算出该椭圆的离心率．【详解】解：由题意，设边PF1的中点为Q，连接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2＝60°，∠QF2F1＝30°Rt△QF1F2中，|F1F2|＝2c（椭圆的焦距），∴|QF1||F1F2|＝c，|QF2||F1F2|c根据椭圆的定义，得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c∴椭圆的离心率为e1故选：B．点评：解决该试题的关键是对于定义的灵活运用，以及正三角形中线是高线的性质的运用，属于基础题．15.已知抛物线上的点到焦点的距离为8，则（为坐标原点）的面积为（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】设点，根据抛物线的定义和抛物线的标准方程，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】设点，因为抛物线上的点到焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得，即，代入抛物线的方程，得，解得，即，所以的面积为，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，及抛物线的标准方程的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义和标准方程，求得点P的坐标是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.若关于的不等式的正整数解有且只有1，2，3，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式5x2﹣a≤0的正整数解，得出a＞0，x，解此不等式，求出a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴a＞0，解不等式得x2，∴x，∴34，∴916，即45≤a＜80，∴实数a的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）17.已知x，y满足，若的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，其中解得A（3，1）设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值＝3+2＝5故答案为5．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x+2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．18.的内角的对边分别为，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.若函数的两个零点是-2和3，则不等式的解集是______________.【答案】【解析】【分析】根据函数零点，求得函数解析式；并求得的解析式，解一元二次不等式即可求得不等式的解集.【详解】函数的两个零点是-2和3，即的解为，代入方程可得，解方程组可得所以，则则，即，解得，所以的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查了由函数零点确定参数，函数零点与方程的关系，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________.【答案】【解析】【分析】。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_50
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“任意，都有＞0”的否定为（）A. 对任意，都有≤0B. 不存在，都有≤0C. 存在，使得＞0D. 存在，使得≤0【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，否定结论（注意与否命题的区别），故答案选D．考点：全称命题的否定2.某赛季某篮球运动员每场比赛得分统计如图所示，则该篮球运动员得分的中位数为（）A. 23B. 20C. 21.5D. 22【答案】C【解析】【分析】直接根据茎叶图得到该篮球运动员得分的中间两个数,然后求出中位数.【详解】解:由茎叶图知该篮球运动员得分的中位数为.故选:C.【点睛】本题考查了根据茎叶图求中位数,属基础题.3.已知变量与满足关系，变量与负相关.下列结论正确的是（）A. 变量与正相关，变量与正相关B. 变量与正相关，变量与负相关C. 变量与负相关，变量与正相关D. 变量与负相关，变量与负相关【答案】B【解析】【分析】根据变量间的相关关系直接判断即可.【详解】解:根据变量与满足关系可知,变量与正相关;再由变量y与z负相关知,变量与负相关.故选:B.【点睛】本题考查了变量间的相关关系,属基础题.4.甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲不输的概率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对立事件的概率公式直接计算甲不输的概率.【详解】解:甲不输可看成是乙获胜对立事件,所以甲不输的概率.故选:A.【点睛】本题考查了对立事件的概率计算,属基础题.5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都没有得到第一，但你们也都不是最后一名”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有（）A. 36种B. 48种C. 18种D. 54种【答案】A【解析】【分析】利用分步计数原理直接求出名次的不同排列情况.【详解】解:甲和乙的限制最多,先排甲和乙有种情况,余下的3人有种排法,所以共有种排列情况.故选:A.【点睛】本题考查了排列与简单的计数原理,解题的关键是弄清是分类还是分步完成,属基础题.6.常数项为（）A. 120B. 35C. 84D. 56【答案】C【解析】【分析】先写出二项展开式的通项,然后令x的幂指数为0,求得r的值,进一步得到常数项.【详解】解:二项展开式的通项为,令,则,所以常数项为.故选:C【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项,考查了方程思想,属基础题.7.手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了严重的影响，某校高一几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是（）（附：列联表公式：，其中）0.0106.635A. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关.B. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩无关.C. 有的把握认为使用手机对学习成绩无影响.D. 无的把握认为使用手机对学习成绩有影响.【答案】A【解析】【分析】根据列联表求出的值,然后对照表格得到结论.【详解】解:由列联表,得,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关.故选:A.【点睛】本题考查了独立性检验,属基础题.8.在长方体中，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以A点为原点,建立空间直角坐标系,然后利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】解:在长方体中,以A点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,,为的中点,为的中点,所以,,,,所以,.设异面直线与所成角为,则,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:D.【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成的角和向量的夹角公式,属基础题.9.下列结论中①若空间向量，，则是的充要条件；②若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为；③已知，为两个不同平面，，为两条直线，，，，，则“”是“”的充要条件；④已知向量为平面的法向量，为直线的方向向量，则是的充要条件.其中正确命题的序号有（）A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】①由可判断①不正确;②由是的必要不充分条件,可得,从而得到正确;③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断;④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断.【详解】解:①空间向量,,则,所以是的充要条件错误,故①不正确;②若是的必要不充分条件,则,所以,故②正确;③若,则由条件可得,又,所以;若,则根据条件得不到,故③不正确;④若,则,因为为直线的方向向量,所以;若,则,因为为平面的法向量,所以,故④正确.综上,正确命题的序号为②④.故选:B.【点睛】本题考查了空间向量平行的充要条件,利用必要不充分条件求参数范围,平面与平面垂直的判定和利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系,属中档题.10.甲、乙两人进行羽毛球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用5局3胜制，那么乙以战胜甲的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由乙以战胜甲,知第四局乙获胜,从而得到乙以战胜甲的概率.【详解】解:由乙以战胜甲,知第四局乙获胜,则乙以战胜甲的概率.故选:B.【点睛】本题考查了独立重复试验的概率计算,属基础题.11.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（）A. 144个B. 168个C. 192个D. 196个【答案】B【解析】【分析】根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数.【详解】解:当选1不选3时,五位数中偶数有个;当选3不选1时,五位数中偶数有个;当选1和3时,五位数中偶数有个,所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个.故选:B.【点睛】本题考查了排列、组合与简单的计算原理,考查了分类讨论思想,属中档题.12.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（）A. 2025B. 3052C. 3053D. 3049【答案】D【解析】【分析】去除所有为1的项后,根据图可知前n行共有个数,从而得到前10行共55个数,然后用前10行的和减去后五项,即可得到此数列的前50项和.【详解】解:去除所有为1的项后,由图可知前n行共有个数,当n=10时,,即前10行共有55个数.因为第n-1行的和为,所以前10行的和为.因为第10行最后5个数为,,,,,所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049.故选:D.【点睛】本题考查了归纳推理和等比数列前n项和的求法,考查了推理能力,属难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，对于一题两空的前一个空2分.13.已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动，则应从高一年级的学生志愿者中抽取______人.【答案】3【解析】【分析】根据分层抽样的特点直接求出高一抽取的人数即可.【详解】解:高一年级的学生志愿者中抽取的人数为.故答案为:3.【点睛】本题考查了分层抽样的特点,属基础题.14.已知，则______ .【答案】64【解析】【分析】根据,令可得值.【详解】解:由,令,得.故答案为:64.【点睛】本题考查了利用二项式定理求多项式的值,属基础题.15.如图所示，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，.若，则______；则的长为______.【答案】 (1). 3 (2).【解析】分析】根据条件可得,再结合条件利用向量相等求出x,y,z的值;结合条件直接由,求出即可.【详解】解:由题意,知在平行六面体中, ,则,因为,所以,所以.因为底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,,所以.故答案为:3;.【点睛】本题考查了利用向量相等求参数,向量的数量积和向量的模,考查了方程思想,属中档题.16.某同学利用假期参加志愿者服务，现有，，，四个不同的地点，每天选择其中一个地点，且每天都从昨天未选择的地点中等可能地随机选择一个，设第一天选择地点参加志愿者服务，则第四天也选择地点的概率是______，记第天（）选择地点的概率为，试写出当时，与的关系式为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据条件可得第四天选择A地点的概率;结合条件类推可得与的关系式.【详解】解:第一天选择A地点,则第二天选择A地点的概率,第三天选择A地点的概率,所以第四天选择A地点的概率.当第n天选择A地点的概率为,则当时,与的关系式为.故答案为:;.【点睛】本题考查了等可能事件的概率,属中档题.三、解答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，.（1）若，求实数的值.（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接根据向量平行得到关于k的方程,然后解出k即可;(2)直接根据向量垂直得到关于k的方程,然后解出k即可;【详解】解:,.(1)∵,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【点睛】本题考查了向量平行和向量垂直求参数值,考查了方程思想,属基础题.18.已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品.（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记表示取到一等品的件数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）见解析，【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率公式直接计算一、二、三等品各取到一个的概率即可;(2)先得到的所有可能取值,然后计算各个取值的概率,列出的分布列,再求出数学期望.【详解】解:(1)一、二、三等品各取到一个的概率为.(2)的取值为0,1,2,,,,的分布列为∴.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,分布列和数学期望的求法,属中档题.19.根据统计调查数据显示：某企业某种产品的质量指标值服从正态分布，从该企业生产的这种产品（数量很大）中抽取100件，测量这100件产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为.（1）求这100件产品质量指标值落在区间内的频率；（2）根据频率分布直方图求平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若取这100件产品指标的平均值，从这种产品（数量很大）中任取3个，求至少有1个落在区间的概率.参考数据：，若，则；；.【答案】（1）0.1（2）50（3）0.994【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图列方程求出的值,然后求出落在区间内的频率即可;(2)直接根据频率分布直方图求平均数即可;(3)根据条件可得,,然后求出,进一步求出落在区间的概率.【详解】解:(1)设在区间内频率为,则有,∴,∴,即落在区间内的频率为0.1.(2).(3)依题意有,,∴即为,∴.则至少有一个落在区间内的概率.【点睛】本题考查了根据频率分布直方图求参数值和求平均值,正态分布的应用,属中档题.20.已知四棱锥，底面为菱形，，平面，，点在线段上且，点是的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,要证明平面,只需证明与平面的法向量垂直即可;(2)求出平面与平面的法向量所成角的余弦值,即可得到二面角的余弦值.【详解】解:如图建立空间直角坐标系.则有,,,,,,. (1)设平面法向量,则,,∴,,∴令,则,,∴.又,且,∴.又平面∴平面.(2)设平面的法向量为,∴,,,∴,∴,令,则,∴,∴.故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用向量法证明直线与平面平行和利用向量法求二面角的余弦,属中档题.21.一只昆虫的产卵数与温度有关，现收集了6组观测数据与下表中.由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线的周围.温度21产卵数/个 7 令，经计算有：（1）试建立关于的回归直线方程并写出关于的回归方程.（2）若通过人工培育且培育成本与温度和产卵数的关系为（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？注：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘公式分别为，.【答案】（1），（2）时，培育成本最小【解析】【分析】(1)先将回归方程,转化为线性回归方程,然后求出参数值即可得到回归方程;(2)先求出g(x),然后利用二次函数的性质求出g(x)的最小值即可.【详解】解:(1)由得.令,得.由表格,得.∴,又,∴.∴,∴.(2).即时,取最小值.答:温度为时,培育成本最小.【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法和二次函数的性质,考查了转化思想,属中档题.22.有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这3件产品都为优质品时接受这批产品.若产品的优质品率为0.9.且各件产品是否为优质品相互独立.（1）记为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求的期望与方差；（2）求这批产品被接受的概率；（3）若第一次检测费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记为整个产品检验过程中的总费用，求的分布列.（附：，，，，）【答案】（1），（2）0.817（3）见解析【解析】【分析】(1)根据条件可知,然后直接求出的期望与方差;(2)由条件可得产品被接受的概率;(3)先列出的所有可能取值,然后计算各个取值的概率,列出的分布列.【详解】解(1)依题意有:,,.(2)产品被接受的概率.(3)的取值为1000元、1100元、1200元、1300元..,..分布列为:10000.469【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差的求法,离散型随机变量的分布列,属中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“任意，都有＞0”的否定为（）A. 对任意，都有≤0B. 不存在，都有≤0C. 存在，使得＞0D. 存在，使得≤0【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，否定结论（注意与否命题的区别），故答案选D．考点：全称命题的否定2.某赛季某篮球运动员每场比赛得分统计如图所示，则该篮球运动员得分的中位数为（）A. 23B. 20C. 21.5D. 22【答案】C【解析】【分析】直接根据茎叶图得到该篮球运动员得分的中间两个数,然后求出中位数.【详解】解:由茎叶图知该篮球运动员得分的中位数为.故选:C.【点睛】本题考查了根据茎叶图求中位数,属基础题.3.已知变量与满足关系，变量与负相关.下列结论正确的是（）A. 变量与正相关，变量与正相关B. 变量与正相关，变量与负相关C. 变量与负相关，变量与正相关D. 变量与负相关，变量与负相关【答案】B【解析】【分析】根据变量间的相关关系直接判断即可.【详解】解:根据变量与满足关系可知,变量与正相关;再由变量y与z负相关知,变量与负相关.故选:B.【点睛】本题考查了变量间的相关关系,属基础题.4.甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲不输的概率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对立事件的概率公式直接计算甲不输的概率.【详解】解:甲不输可看成是乙获胜对立事件,所以甲不输的概率.故选:A.【点睛】本题考查了对立事件的概率计算,属基础题.5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都没有得到第一，但你们也都不是最后一名”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有（）A. 36种B. 48种C. 18种D. 54种【答案】A【解析】【分析】利用分步计数原理直接求出名次的不同排列情况.【详解】解:甲和乙的限制最多,先排甲和乙有种情况,余下的3人有种排法,所以共有种排列情况.故选:A.【点睛】本题考查了排列与简单的计数原理,解题的关键是弄清是分类还是分步完成,属基础题.6.常数项为（）A. 120B. 35C. 84D. 56【答案】C【解析】【分析】先写出二项展开式的通项,然后令x的幂指数为0,求得r的值,进一步得到常数项.【详解】解:二项展开式的通项为,令,则,所以常数项为.故选:C【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项,考查了方程思想,属基础题.7.手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了严重的影响，某校高一几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是（）（附：列联表公式：，其中）0.0106.635A. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关.B. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩无关.C. 有的把握认为使用手机对学习成绩无影响.D. 无的把握认为使用手机对学习成绩有影响.【答案】A【解析】【分析】根据列联表求出的值,然后对照表格得到结论.【详解】解:由列联表,得,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关.故选:A.【点睛】本题考查了独立性检验,属基础题.8.在长方体中，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以A点为原点,建立空间直角坐标系,然后利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】解:在长方体中,以A点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,,为的中点,为的中点,所以,,,,所以,.设异面直线与所成角为,则,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:D.【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成的角和向量的夹角公式,属基础题.9.下列结论中①若空间向量，，则是的充要条件；②若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为；③已知，为两个不同平面，，为两条直线，，，，，则“”是“”的充要条件；④已知向量为平面的法向量，为直线的方向向量，则是的充要条件.其中正确命题的序号有（）A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】①由可判断①不正确;②由是的必要不充分条件,可得,从而得到正确;③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断;④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断.【详解】解:①空间向量,,则,所以是的充要条件错误,故①不正确;②若是的必要不充分条件,则,所以,故②正确;③若,则由条件可得,又,所以;若,则根据条件得不到,故③不正确;④若,则,因为为直线的方向向量,所以;若,则,因为为平面的法向量,所以,故④正确.综上,正确命题的序号为②④.故选:B.【点睛】本题考查了空间向量平行的充要条件,利用必要不充分条件求参数范围,平面与平面垂直的判定和利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系,属中档题.10.甲、乙两人进行羽毛球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用5局3胜制，那么乙以战胜甲的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由乙以战胜甲,知第四局乙获胜,从而得到乙以战胜甲的概率.【详解】解:由乙以战胜甲,知第四局乙获胜,则乙以战胜甲的概率.故选:B.【点睛】本题考查了独立重复试验的概率计算,属基础题.11.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（）A. 144个B. 168个C. 192个D. 196个【答案】B【解析】【分析】根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数.【详解】解:当选1不选3时,五位数中偶数有个;当选3不选1时,五位数中偶数有个;当选1和3时,五位数中偶数有个,所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个.故选:B.【点睛】本题考查了排列、组合与简单的计算原理,考查了分类讨论思想,属中档题.12.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（）A. 2025B. 3052C. 3053D. 3049【答案】D【解析】【分析】去除所有为1的项后,根据图可知前n行共有个数,从而得到前10行共55个数,然后用前10行的和减去后五项,即可得到此数列的前50项和.【详解】解:去除所有为1的项后,由图可知前n行共有个数,当n=10时,,即前10行共有55个数.因为第n-1行的和为,所以前10行的和为.因为第10行最后5个数为,,,,,所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049.故选:D.【点睛】本题考查了归纳推理和等比数列前n项和的求法,考查了推理能力,属难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，对于一题两空的前一个空2分.13.已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动，则应从高一年级的学生志愿者中抽取______人.【答案】3【解析】【分析】根据分层抽样的特点直接求出高一抽取的人数即可.【详解】解:高一年级的学生志愿者中抽取的人数为.故答案为:3.【点睛】本题考查了分层抽样的特点,属基础题.14.已知，则______ .【答案】64【解析】【分析】根据,令可得值.【详解】解:由,令,得.故答案为:64.【点睛】本题考查了利用二项式定理求多项式的值,属基础题.15.如图所示，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，.若，则______；则的长为______.【答案】 (1). 3 (2).【解析】分析】根据条件可得,再结合条件利用向量相等求出x,y,z的值;结合条件直接由,求出即可.【详解】解:由题意,知在平行六面体中,,则,因为,所以,所以.因为底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,,所以.故答案为:3;.【点睛】本题考查了利用向量相等求参数,向量的数量积和向量的模,考查了方程思想,属中档题.16.某同学利用假期参加志愿者服务，现有，，，四个不同的地点，每天选择其中一个地点，且每天都从昨天未选择的地点中等可能地随机选择一个，设第一天选择地点参加志愿者服务，则第四天也选择地点的概率是______，记第天（）选择地点的概率为，试写出当时，与的关系式为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据条件可得第四天选择A地点的概率;结合条件类推可得与的关系式.【详解】解:第一天选择A地点,则第二天选择A地点的概率,第三天选择A地点的概率,所以第四天选择A地点的概率.当第n天选择A地点的概率为,则当时,与的关系式为.故答案为:;.【点睛】本题考查了等可能事件的概率,属中档题.三、解答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，.（1）若，求实数的值.（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接根据向量平行得到关于k的方程,然后解出k即可;(2)直接根据向量垂直得到关于k的方程,然后解出k即可;【详解】解:,.(1)∵,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【点睛】本题考查了向量平行和向量垂直求参数值,考查了方程思想,属基础题.18.已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品.（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记表示取到一等品的件数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）见解析，【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率公式直接计算一、二、三等品各取到一个的概率即可;(2)先得到的所有可能取值,然后计算各个取值的概率,列出的分布列,再求出数学期望.【详解】解:(1)一、二、三等品各取到一个的概率为.(2)的取值为0,1,2,,,,的分布列为∴.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,分布列和数学期望的求法,属中档题.19.根据统计调查数据显示：某企业某种产品的质量指标值服从正态分布，从该企业生产的这种产品（数量很大）中抽取100件，测量这100件产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为.。
福建省三明市三明第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)
r b
4
4
r 0， b
cr
r 【详解】因为 a
r ( 2, 3,1) ， b
r (2,0, 4) ， c
( 4, 6,2) ，
8 8 0 ，进而可判断出结果 .
所以
r c
2ar
，
r a
r b
所以
ar / / cr ，
r a
r b.
4
4
r 0， b
r c
8 8 0，
故选： C
【点睛】本题主要考查向量垂直与向量共线的坐标表示，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型
所以 c2 a2 b2 4 ， c 2 ，焦点坐标为 2,0 ， 2,0 ，
所以双曲线的渐近线方程为 y
b x
a
3x ，
取焦点坐标 2,0 ，渐近线方程 y 3x ，即 3x y 0 ，
分析：求函数的导数，判断函数的单调性，进行比较大小即可
.
详解 ： f(x) ＝1＝x＝sinx，则 f ' x 1 cosx 0 ，
则函数 f(x)为增函数 .
Q2 3 ，
f( π)> f(3)> f(2). 故选 ： D.
点睛：本题主要考查函数值
大小比较，根据条件求函数导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的
.
3.已知 f ( x) 1 x sin x ，则 f (2) ， f (3) ， f (π) 的大小关系正确的是（ ）
A. f (2) f (3) f ( )
B. f (3) f (2) f ( )
C. f (2) f ( ) f (3)
D. f ( ) f (3) f (2)
【答案】 D
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福建省三明市2019-2020学年高二第一学期期末考试试题 数学【解析版】一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知直线l 的倾斜角为45︒，则l 的斜率为( ) 3 B. 1C.223【答案】B 【解析】 【分析】直接根据斜率和倾斜角的关系得到答案. 【详解】tan tan 14k πα===.故选：B .【点睛】本题考查了倾斜角和斜率，属于简单题. 2.已知i 为虚数单位，则复数21ii+= （） A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案. 【详解】由复数的运算，可得复数()()()2121111i i i i i i i ⋅-==++++，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.计算()1308327π⎛⎫--= ⎪⎝⎭( )A.73π- B. 23-C. 12-D.13【解析】 【分析】直接计算得到答案.【详解】()130821312733π⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查了指数幂的计算，属于简单题. 4.以()1,2为圆心且过原点的圆的方程为( ) A. ()()22125x y -+-= B. ()()22125x y +++=C. ()()22125x y -+-= D. ()()22125x y +++=【答案】C 【解析】 【分析】设圆方程为()()22212x y r -+-=，代入点()0,0，计算得到答案.【详解】设圆方程为()()22212x y r -+-=，代入点()0,0得到5r =即圆方程为()()22125x y -+-=. 故选：C .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.5.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题. 6.函数21y x x=-的图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】求导得到322121'2x y x x x+=--=-，得到函数单调性，根据单调性判断图象得到答案. 【详解】21y x x =-，322121'2x y x x x +=--=-，取3221'0x y x +=-=得到1312x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故函数在()0,∞+上单调递减，在131,02⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在131,2⎛⎫⎛⎫⎪-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增.对比图象知：D 满足条件. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.7.若,,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A. x y <B. x y >C. x y <D. x y >【答案】D 【解析】 【分析】设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到()()f x f y >，得到答案. 【详解】设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，则()'sin cos 0f x x x x =+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 即函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减. sin sin 0x x y y ->，即()()f x f y >，根据单调性知x y >.故选：D .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()sin f x x x =是解题的关键.8.已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( )A. 1B. 0C. 1-D. 222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和圆相交得到221kt t d k -+=≤+，整理得到()22224240t k t k t --+-≤，根据韦达定理得到22414t Mm t -==-，计算得到答案.【详解】直线l ：()y t k x t -=-()2t >即0kx y kt t --+=与圆O ：224x y +=有交点，则221kt t d k -+=≤+，整理得到()22224240t k t k t --+-≤，当不等式取等号时，k 对应最大值和最小值，此时22414t Mm t -==-，故log log log 1o 0l g t t t t M m Mm +===. 故选：B .【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的转化能力和计算能力.二、多选题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则( )A. 当0mn >时，方程表示椭圆B. 当0mn <时，方程表示双曲线C. 当0m =时，方程表示两条直线D. 方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 取1m n ==，此时表示圆，错误；B. 当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，正确；C. 当0m =，0n =时，方程不成立，错误；D. 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确； 故选：BD .【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A. 点1B 的坐标为()4,5,3B. 点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3-C. 点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3D. 点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点关于点，点关于直线，点关于平面的对称法则，依次判断每个选项得到答案.【详解】根据题意知：点1B 的坐标为()4,5,3，A 正确；B 的坐标为()4,5,0，1C 坐标为()0,5,3，故点1C 关于点B 对称的点为()8,5,3-，B 错误；点A 关于直线1BD 对称的点为()10,5,3C ，C 正确； 点()0,5,0C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0，D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11.下列说法正确的是( )A. 命题“若x y ≠且x y ≠-，则x y ≠”为真命题B. “若直线10ax y +-=与直线20x ay ++=平行，则1a =”的逆命题是真命题C. 若p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，使得210x x +->D. “(){}ln 1x x y x ∈=-”是“[)1,x ∈+∞”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】依次判断每个选项：判断知A 正确；根据平行的性质知B 正确；C 选项应为x R ∀∈，使得210x x +-≥；D 应为充分不必要条件，得到答案.【详解】A. 命题“若x y ≠且x y ≠-，则x y ≠”为真命题，正确；B.逆命题是：若1a =，则直线10ax y +-=与直线20x ay ++=平行，即10x y +-=和20x y ++=平行，正确；C. 若p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，使得210x x +-≥，C 错误；D. “(){}ln 1x x y x ∈=-”是“[)1,x ∈+∞”的充分不必要条件，错误； 故选：AB .【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，特称命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.12.已知函数()3xf x e x =⋅，则以下结论正确的是( )A. ()f x 在R 上单调递增B. ()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. 方程()1f x =-有实数解D. 存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解【答案】BCD 【解析】 【分析】求导得到函数的单调性得到A 错误；判断125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><得到B 正确；根据()32731f e-=-<-得到C 正确；构造函数()2x g x e x =，画出函数图象知D 正确，得到答案. 【详解】()3xf x e x =⋅，则()()322'33xxxf x e x e x x e x =⋅⋅=++，故函数在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，A 错误；125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><，根据单调性知()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭，B 正确；()00f =，()32731f e-=-<-，故方程()1f x =-有实数解，C 正确； ()f x kx =，易知当0x =时成立，当0x ≠时，()2x f x k e x x==，设()2x g x e x =， 则()()'2xg x e x x =+，故函数在()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，在(),2-∞-上单调递增，且()242g e -=. 画出函数图象，如图所示：当240k e<<时有3个交点.综上所述：存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解，D 正确； 故选：BCD .【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l ：210x y +-=，则过点()1,2-且垂直于l 的直线方程为__________. 【答案】240x y -+= 【解析】 【分析】根据垂直得到2k =，计算直线方程得到答案. 【详解】直线l ：210x y +-=，则112k =-，根据垂直知2k =， 故直线方程为()212y x =++，即240x y -+=. 故答案：240x y -+=.【点睛】本题考查了根据垂直求直线方程，意在考查学生的计算能力.14.为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是__________. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据p q ∨是真命题，p 或q 为真命题，r 为假命题，p ⌝为真命题，得到答案.【详解】因为第一名只有一个，所以由p q ∨是真命题，可得命题p 与命题q 有且只有一个为真命题，则r 必为假命题，又因为()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝为真命题，故p 为假命题，故q 为真命题.故答案为：乙.【点睛】本题考查了逻辑推理和命题的判断，意在考查学生的逻辑推理能力.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3223f x x x a =-+，则()2f -=__________；曲线()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为__________. 【答案】 (1). 4- (2). 12200x y -+= 【解析】 【分析】根据奇函数得到0a =，计算()()()2216124f f -=-=--=-，求得0x <时的解析式为()3223f x x x +=，求导得到切线方程.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f a ==，故0a =，()()()2216124f f -=-=--=-，当0x <时，0x ->，故()3223f x x x -=--，()()3223f x f x x x =--=+，()2'66f x x x +=，()'212f -=，故切线方程为：()1224y x =+- ，即12200x y -+=.故答案为：4-；12200x y -+=.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，求函数值，函数的切线方程，意在考查学生对于函数知识的综合应用.16.设过原点的直线与双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>交于,P Q 两个不同点，F 为C 的一个焦点，若4tan 3PFQ ∠=，5QF PF =，则双曲线C 的离心率为__________. 2 【解析】 分析】如图所示：连接11,PF QF ，根据对称性知1PF QF 为平行四边形，计算得到15,22a aPF PF ==，利用余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：连接11,PF QF ，根据对称性知1PF QF 为平行四边形.4tan 3PFQ ∠=，则3os 5c PFQ ∠=，13os 5c F PF ∠=-， 15QF PF PF ==，12PF PF a -=，故15,22a aPF PF ==.根据余弦定理：2225534222225a a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得到222c a =，故2e =. 故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知i 是虚数单位，复数()242z i i i =-+-. (1)求复数z 的模z ；(2)若13z mz n i ++=+（,m n R ∈，z 是z 的共轭复数），求m 和n 的值. 【答案】(1)5；(2)03m n =⎧⎨=-⎩.【解析】 【分析】（1）化简得到43z i =+，计算模长得到答案.（2）化简得到44m n +++()3313m i i -=+，计算得到答案.【详解】(1)因为()242z i i i =-+-，所以242z i i =-++43i =+，则22435z =+=.(2)43z i =+，43z i =-，所以43z mz n i ++=++()4313m i n i -+=+，即44m n +++()3313m i i -=+，所以441,333,m n m ++=⎧⎨-=⎩解得03m n =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查了复数的计算，模长，意在考查学生的计算能力.18.已知函数()2,0log ,0x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩且()21f f ⎡⎤-=-⎣⎦. (1)求实数a 的值；(2)当[)2,2x ∈-时，求()f x 的值域. 【答案】(1)4；(2)(],1-∞.【解析】 【分析】（1）代入数据直接计算得到答案.（2）分别计算[]2,0x ∈-和()0,2x ∈的值域，综合得到答案. 【详解】(1)()21224f --==，故()112log 44a f f f ⎛⎫⎡⎤-== ⎪⎣⎦⎝⎭，令1log 14a =-，解得4a =. (2)当[]2,0x ∈-时，()2xf x =区间[]2,0-上单调递增，所以()1,14f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当()0,2x ∈时，()4log f x x =区间()0,2上单调递增，所以()1,2f x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， 综上，当[)2,2x ∈-时，函数()f x 的值域是(],1-∞.【点睛】本题考查了根据函数值求参数，分段函数的值域，意在考查学生的计算能力. 19.已知动点P 在y 轴的右侧，且点P 到y 轴的距离比它到点()1,0F 的距离小1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设斜率为1-且不过点()1,2M 的直线交C 于,A B 两点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】(1)()240y x x =>；(2)0.【解析】 【分析】（1）根据题意知轨迹是抛物线，计算得到答案.（2）设直线AB ：y x b =-+()3b ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，利用韦达定理得到2114y x =，2224y x =，代人计算得到答案. 【详解】(1)依题意动点P 的轨迹是抛物线（除原点），其焦点为()1,0F ，准线为1x =-，设其方程为22y px =()0p >，则12p=，解得2p =， 所以动点P 的轨迹C 的方程是()240y x x =>.(2)设直线AB ：y x b =-+()3b ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由24,,y x y x b ⎧=⎨=-+⎩得24y y b =-+，即2440y y b +-=，16160b ∆=+>，所以1b >-，124y y +=-，因为2114y x =，2224y x =， 所以21122221221144y y k k y y --+=+--()()212221424244y y y y --=+-- 214422y y =+++()()()1221422022y y y y +++==++. 因此120k k +=.【点睛】本题考查了轨迹方程，定值问题，意在考查学生的计算能力. 20.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，ACBD O =，22AO OC ==，22PA PB AB ===，AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A PD B --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)66. 【解析】 【分析】（1）证明AC BD ⊥，PB AC ⊥得到AC ⊥平面PBD ，得到证明.（2）以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，计算平面PAD 的法向量为()1,2,1n =-，平面PBD 的一个法向量()1,0,0m =，利用夹角公式得到答案.【详解】(1)在等腰梯形ABCD 中，2OA OB ==，22AB =，222AB OA OB ∴=+，所以OA OB ⊥，即AC BD ⊥，又因为PB AC ⊥，且BDPB B =，所以AC ⊥平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面PBD ⊥平面ABCD . (2)连接PO ，由(1)知，AC ⊥平面PBD ，所以AC PO ⊥， 所以222PO PA OA =-=，所以222PB PO OB =+，即PO OB ⊥， 又OA OB ⊥，以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,1,0D -，()002P ,,， 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，因为()2,0,2PA =-，()0,1,2PD =--，所以0,0,n PA n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,20,x z y z -=⎧⎨--=⎩令1z =，则1x =，2y =-，所以平面PAD 的一个法向量()1,2,1n =-， AC ⊥平面PBD ，∴平面PBD 的一个法向量()1,0,0m =，所以6cos ,6m n m n m n⋅==， 所以二面角A PD B --的余弦值为66【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的面积为23π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0P 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，求OAB 面积的最大值.【答案】(1)22143x y +=；(2)32.【解析】 【分析】（1）根据题意计算得到2,3,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，得到椭圆方程.（2）设直线l 的方程为1x my =+，联立方程，根据韦达定理得到122634my y m +=-+，122934y y m ⋅=-+，表示出226134m S m +=+，解得答案.【详解】(1)依题意有22223,2,,ab a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2,3,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.(2)由题意直线l 的斜率不能为0，设直线l 的方程为1x my =+，由方程组221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以122634m y y m +=-+，122934y y m ⋅=-+， 所以()21212124y y y y y y -=+-⋅2121m +=， 所以1212OABSOP y y =⨯⨯-261m +=令21t m =+（1t ≥），则221m t =-，2661313OABt St t t==++，因为13t t+在[)1,+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，OAB 面积取得最大值为32. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22.已知函数()ln f x x ax =-()a R ∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有极值点0x ，有两个零点12,x x ，且()120120x x mx x x ++<恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】 （1）求导()11axf x a x x-'=-=，讨论0a ≤，0a >得到函数的单调区间. （2）计算01x a =，化简得到221112ln 0x x x m x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，令21x t x =()1t >，取 ()1ln g t t m t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭根据函数的单调性得到取值范围.【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+且()11ax f x a x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， ②当0a >时，令()0f x '=，则1x a=， 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<，所以()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)01x a=()0a >，12,x x 为()f x 的两个零点，1122ln ,ln ,x ax x ax =⎧∴⎨=⎩()2211ln x a x x x ∴=-， ()120120x x mx x x ++<恒成立，()12120m x x x x a+∴+<恒成立，()12120ax x m x x ∴++<恒成立，()21212121ln 0x x xm x x x x x ⎛⎫∴++< ⎪-⎝⎭恒成立， 不妨设12x x <，22221112ln 0x x x m x x x -∴+<恒成立， 221112ln0x x x m x x x ⎛⎫∴+-< ⎪⎝⎭恒成立， 令21x t x =()1t >，1ln 0t m t t ⎛⎫∴+-< ⎪⎝⎭在()1,t ∈+∞上恒成立， 因为ln 0t >，10t t->，所以0m ≥时，1ln 0t m t t ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,t ∈+∞上不成立.令()1ln g t t m t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()10g =，()2111g t m t t⎛⎫=++= ⎪⎝⎭'()22221m t t mt t mt t++++=， ①当12m ≤-时，()21m t t ++()2112t t ≤-++()21122t t =-+-()21102t =--<，从而()0g t '<，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递减， 所以当1t >时，()()10g t g <=恒成立； ②当102m -<<时，对于方程20mt t m ++=， 因为2140m ∆=->，所以方程20mt t m ++=有两根12,t t 且121t t =，1210t t m+=->， 不妨设1201t t <<<，则当()21,t t ∈时，20mt t m ++>，即()0g t '>，所以()g t 在区间()21,t 上单调递增，此时()()10g t g >=， 即1ln 0t m t t ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,t ∈+∞上不恒成立，综上所述，m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点，极值，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。