2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案

【模型解析】

2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马

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总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。

特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；

方法：作定点关于动点所在直线的对称点。

【例题分析】

例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(

1

，0)，点

2

P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．

例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．

(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；

(2)求△AMN 的周长最小值．

例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．

(1)求四边形BMNE 周长最小值；

(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．

例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．

例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．

【巩固训练】

1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．

图1 图2 图3 图4

2.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是．

3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为．

4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为．

5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点，

＝6，则BD＋DE的最小值为

(1)若AC＝4，S

△ABC

(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为．

(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．

6.如图6，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4

一点，则PK＋QK 的最小值为．

，点P、Q、K 分别为线段AB、BC、AC 上任意

图6 图7 图8 图9

7.如图7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM＋PN 的最小值为．

8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是．

9.如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．

10.如图 10，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，

OC、OB 上，则CE＋DE＋DB 的最小值是．

)，动点D、E 分别在射线

图10 图11 图12 图13

11.如图 11，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－

3

(x＜0)上，点P、Q 分别是x 轴、y 轴上

x

的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．

12.如图12，点P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是．

13.如图13，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是．

14.如图 14，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE⊥BC 于点E． (1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P，使得AP＋PD 最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q，求AQ 与PQ 的数量关系；

图 14

3

3

15. 在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边 AD 的中点．

(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．

(2) 如图 2，若 E 、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF ＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF

的长．

16. 如图，抛物线 y = - 1

x 2

+ 2x + 4 交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥ AB

2 交抛物线与 M 、N 两点. （1） 求直线 AB 的解析式；

（2） 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A 1B 1 ，求 MA 1 + MB 1 取最小值时实数 t 的值.