高一数学-解三角形综合练习题
专题必修5解三角形
高一数学期末复习专题——解三角形复习要点1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120° 2.（2012广东高考题文科）在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ A. 43 B. 23 C.3 D. 32 3、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 4.设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且2b +2c -2a =2bc .则A =________5．已知c b a ,,是锐角ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ∆的面积为33，则=c ．二．判断三角形的形状6.若△ABC 的三边分别为,5=a ,11=b 13=c ，则△ABC 为__________三角形。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.3.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为（）A．m B．m C．m D．m【答案】B【解析】依题意，在三角形ABC中，，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°，所以由正弦定理得，，故选B。
【考点】正弦定理的应用点评：简单题，利用三角形内角关系，确定角创造了应用正弦定理的条件。
4.有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件．（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于在中角所对的边长分别为，已知角，，，那么根据正弦定理可知，,由于b<a，则可知角A有两个解，舍去，对于A中，同理可知不成立，对于C，可知A=B,不成立，故选D.【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理以及余弦定理的运用，属于基础题5.如图，在中，，，(1)求；(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．【答案】（1）（2）AD【解析】解：（1）由，C是三解形内角，得2分4分---5分（2）在中，由正弦定理 -7分，又在中，，由余弦定理得， 910分本题也可利用向量法。
注意。
【考点】解三角形点评：主要是考查了三角函数的恒等变换以及解三角形的运用属于基础题。
6.在中，．(1)求边长的值；(2)求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由正弦定理得……5分（2）由余弦定理 7分8分所以 10分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积。
解三角形小题综合 原卷版--高一下学期备战期末专题训练
期末专题04 解三角形小题综合一、单选题1．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）在ABC 中，5AB =，6BC =，8AC =，则ABC的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断2．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）在锐角三角形ABC 中，2sin a b A =，则B =（ ）A ．6πB ．4π C ．3πD ．712π 3．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin A =，则sin B =（ ）A B C D ．134．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若cos a c B =，则ABC 的形状（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定5．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在ABC 中，45B =°，点D 是边BC 上一点，5AD =，7AC =，3DC =，则边AB 的长是（ ）A ．BCD ．6．（2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4ABCD ==，3BC =，7AD =，则该玉佩的面积为（ ）A ．496πB ．493πC ．496πD ．493π7．（2022秋·江苏南通·高一统考期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬2326′°）在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：tan 340.67°≈，tan 56 1.49°≈）A ．2326′°B ．3234′°C ．34°D ．56°8．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）设()2πsin cos cos 4f x x x x =−+，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若02A f=，1a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A BC D 9．（2022春·江苏扬州·在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中，使得ABC 恰有一个解的是（ ）A ．π2,4,3ab A == B ．π4,3a b A=C ．2π4,3a b A === D ．2π4,3a b A === 10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知ABC 为锐角三角形，2AC =，π6A =，则BC 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．D ．211．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，且测得点B 对点A 和点C 的张角为120°，则点B 到AC 的距离为（ ）km ．A B C D 12．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2b =，2sin 6sin a C A =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB C D ．313．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）ABC 中，,,A B C 的对边分别为a b c ，，，则（ ）A ．若a b c <<，则cos sinBC < B ．,A B ∃使得sin()sin sin A B A B +=+ C ．,B C ∀都有tan tan tan()1tan tan B CB C B C++=−⋅D ．若sin cos A A +A 是钝角 14．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若8,sin 2sin cos 0ac B C A =+=，则ABC 面积的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．415．（2022春·江苏扬州·高一期末）△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=−−，，，，若p q ∥，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π316．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．B ．C ．20(1+海里D ．40海里17．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，且()22sin 2b c B S −⋅=，若a kc =，则k 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．()0,3 C ．()1,3 D ．()0,2二、多选题18．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）在ABC 中，下列结论中，正确的是（ ）A ．若cos2cos2AB =，则ABC 是等腰三角形B ．若sin sin A B >，则A B >C ．若222AB AC BC +<，则ABC 为钝角三角形D ．若60A = ，4AC =，且结合BC 的长解三角形，有两解，则BC 长的取值范围是)+∞19．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45,2A c =°=，下列说法正确的是（ ）A ．若a ABC = 有两解B ．若3,a ABC = 有两解C ．若ABC 为锐角三角形，则b 的取值范围是D ．若ABC 为钝角三角形，则b 的取值范围是20．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在三角形ABC 中，π3A ∠=，若三角形有两解，则ca的可能取值为（ ）A B ．1.1 C D ．1.0121．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c若c =，30B = ，则角A 可能为（ ）A ．135B ．105C ．45D ．1522．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）在ABC 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，设向量()(),,,m c a b n a c =+= ，且//m n，则下列选项正确的是（ ） A ．2A B =B ．2C A =C ．12ca<<D ．若ABC 的面积为24c ，则2C π=23．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若b =2c =cos 2cos 33A AC +=，则下列说法正确的有（ ）A ．3A C π+=B ．sinC =C ．2a =D ．ABC S =24．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）如图所示，ABC 中，324AB AC BC ===，，，点M 为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有（ ）．A ．1142AP AB AC =+ B ．3BN NC =C ．||AN =D ．AP 与AC 25．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若2a =，b =3B π=，则该三角形有两解 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定为等腰三角形 D ．若222sin sin sin C A B >+，则ABC 一定为钝角三角形26．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ）A ．若sin sin AB >，则A B >B ．若2220a b c +−>，则ABC 是锐角三角形 C ．若cos cos a B b A a +=，则ABC 是等腰三角形D ．若sin cos cos a b c A B C==，则ABC 是等边三角形27．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） A ．cos cos ca Bb A +B ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰或直角三角形 C ．若22tan tan a B b A =，则a b =D ．若333a b c +=，则ABC 为锐角三角形28．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ）A ．若acosA=bcosB ，则ABC 是等腰三角形B ．若45,3AB B AC °==，则满足条件的三角形有且只有一个C ．若ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=D ．若0BC AB ⋅<，则ABC 为钝角三角形三、填空题29．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针方向旋转角α时，P 和Q 之间的距离是cm x ，若3cm OA =，7cm AP =，120α°=，则x 的值是_________．30．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿正北方向航行（如图）．若A 船的航行速度为40n mile /h ，1小时后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船相距_______________n mile ．31．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c，已知60C =°，1a =，c =b =___________.32．（2022春·江苏扬州·高一期末）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km 的A ，B 两地各放置一个地动仪，B 在A 的东偏北75°方向，若A 地地动仪正东方向的铜丸落下，B 地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B 地______km33．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）如图所示，该图由三个全等的BAD 、ACF △、CBE △构成，其中DEF 和ABC 都为等边三角形.若2DF =，12DAB π∠=，则AB =_______.34．（2022春·江苏常州·高一统考期末）在ABC 中，AB =3BC =，45B =°，点D 在边BC 上，且cos ADC ∠tan DAC ∠的值为___________.35．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．36．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC 中，以AB ，BC ，CA 为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D ，E ，F ，若30,4BACDF ∠== ，利用拿破仑定理可求得AB ＋AC 的最大值为___．。
高一数学解三角形单元测试及答案
高一数学解三角形单元测试及答案解三角形本章测试本次测试共有12道选择题，每题5分，总分60分。
在每道题中，只有一个选项是正确的，请将正确选项填涂在答题卡上。
1.在三角形ABC中，已知a=2，b=2，B=π/6，则A=（）A。
3π/4 B。
π/3 C。
4π/3 D。
π/42.在三角形ABC中，已知a²=b²+c²+bc，则角A为（）A。
30° B。
45° C。
120° D。
150°3.已知三角形ABC中，A:B:C=11:4，则a:b:c的比值为（）A。
1:1:3 B。
2:2:3 C。
1:1:2 D。
1:1:44.在三角形ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若a=2，b=1，B=29°，则此三角形的解为（）A。
无解 B。
有一解 C。
有两解 D。
有无数解5.在三角形ABC中，∠C=90°，0<A<45°，则下列各式中，正确的是（）A。
sinA>XXX>XXX<XXX<sinB6.一艘船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为（）A。
176/22海里/时 B。
346海里/时 C。
22海里/时 D。
342/22海里/时7.已知三角形ABC的面积为S，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4S=a²-(b-c)²，bc=4，则S=（）A。
2 B。
4 C。
3 D。
15/28.已知三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cosC=1/4，4bcosA+acosB=3，则三角形ABC外接圆的半径为（）A。
2/3 B。
2√2 C。
4 D。
69.在三角形ABC中，已知asinA/bsinB=(a²+c²-b²)/(b²+c²-a²)，则三角形ABC的形状为（）A。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
高一数学解斜三角形试题
高一数学解斜三角形试题1.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）.A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由正弦定理及,得;则，即;又因为A,B是三角形的内角，,即三角形为等腰三角形.【考点】正弦定理、三角形形状的判定.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,设S为△ABC的面积，且。
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的取值范围.【答案】(1);(2）周长的取值范围是.【解析】（1）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；（2）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围.试题解析：解：（Ⅰ）由题意可知，所以 4分（Ⅱ）法一：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而周长的取值范围是. 12分法二：由正弦定理得：∴，，.∵∴，即（当且仅当时，等号成立）从而周长的取值范围是 12分【考点】（1）与面积有关的问题；（2）求三角形周长的范围.4.在中，已知，，则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得,在三角形中.,整理的又是等腰直角三角形【考点】判断三角形的形状.5.座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【答案】180米．【解析】本题难点在于选择函数解析式模型,是用余弦定理解三角形,还是取直角三角形表示边.如用余弦定理解三角形,则得,解此方程成为难点;如构造直角三角形就会减少运算量,即作CE AB于E,构造直角三角形CBE和直角三角形CAE,利用两角和的正切公式得到关于BD的方程,解此方程的运算量要少得多.将一个已知角分为两个角的和,这种思维不常见,须多加注意,深刻体会.试题解析：解：如图作CE AB于E．因为AB∥CD，AB=150，CD=90，所以BE=90，AE=60．设CE=，，则． 2分在和中，， 4分因为，所以． 8分化简得，解得或（舍去）． 10分答：天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离为180米． 12分【考点】两角和的正切公式,函数与方程.6.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。
高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)
高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。
高一数学解三角形综合练习题
高一数学解三角形综合练习题TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】必修五 解三角形一、选择题 1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （）A ．135<<xB ．13＜x ＜5C ．2＜x ＜5D ．5＜x ＜56． 在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况 （）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定7．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A= （）A ．090B ．060C ．0120D ．01508．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒∠=，60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的 仰角为60︒，则塔高AB = （ ）A ．B ．90米C ．D ． 10．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的关系为 （ ）A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知a =2b =，ABC ∆的面积S=3，则C = ；12．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = ；13．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝____ __；14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 ；15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？【题】在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A.()2,+∞B.（0，2）C.()2,22D.()2,2 【解法1】△ABC 有两解，a sin B <b <a ，x sin 45<2<x , 即222,x << 故选C.【解法2】,sin sin abA B = sin sin 452sin .24a Bx x A b===△ABC 有两解，b sin A <a <b , 222,4xx ⨯<< 即0<x <2, 故选B.你认为 是正确的 （填“解法1”或“解法2”）16.在中，若，则的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形三、解答题：（共 6 小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.2.已知ABC中，,, 则= .【答案】【解析】根据题意，由于ABC中，,,则有正弦定理可知，由于b<a,则可知B<A,因此可知=，故答案为。
【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。
3.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。
求：⑴角C的度数；⑵ AB的长度。
【答案】（1）C＝120°；（2）【解析】（1）C＝120°（2）由题设：【考点】三角形内角和定理，诱导公式，两角和的三角函数，余弦定理的应用。
点评：中档题，本题综合性较强，三角形问题，一般要注意应用三角形内角和定理，适时的变角。
在确定三角形边长的过程中，有时须正弦定理与余弦定理综合应用。
4.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（1）由正玄定理，设所以又：A+B+C=因此（2）由，得c=3a由题意【考点】解三角形点评：解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化5.如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【答案】米【解析】先根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC，最后在在Rt△BCD中，根据CD=BC•sin∠CBD求得答案。
解：在△ABC中，∵∠ABC=30°，∠ACB=15°，∴∠BAC=135°．又AB=20，由正弦定理，得BC= +1)．∴在Rt△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10(3+)．故山高为10(3+)m．【考点】解三角形点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生综合运用所学知识的能力6.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c, 且（ 1 ）求；（ 2 ）若，的面积为，求的值.【答案】（1）. ( 2 ) =7。
高中数学 第九章 解三角形测评 新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题
第九章解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则2sin A-sin Asin2A=()A.37B.57C.97D.107解析由题意2sin A-sin Asin2A =2sin A-sin A2sin A cos A=2A-A2A cos A,因为a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cos C=(16+9-4)A22×4×3A2=78,则2sin A-sin Asin2A=(8-3)A4×78A=107.故选D.2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.50√3米C.50(√3+1)米D.50√2米AB=h,△ABC中,∠ACB=45°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=AA+100=√33,解得h=50(√3+1)米.故选C.3.若sin AA =cos AA=cos AA,则△ABC是()A.等边三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D .有一内角是30°的等腰三角形 解析因为sin AA=cos AA,所以a cos B=b sin A ,所以由正弦定理得2R sin A cos B=2R sin B sin A ,2R sin A ≠0.所以cos B=sin B ,所以B=45°.同理C=45°,故A=90°.4.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD ,则cos ∠DAC=() A.2√55B.√55C.3√1010D.√1010,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为点D.易知四边形BCDE 是正方形,则BE=CD=1, 所以AE=AB-BE=1.在Rt △ADE 中,AD=√AA 2+AA 2=√2,同理可得AC=√AA 2+AA 2=√5, 在△ACD 中,由余弦定理得 cos ∠DAC=AC 2+AA 2-AA 22AA ·AA=22×√5×√2=3√1010.故选C .5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为()海里/小时. A.2√6B.4√6C.8√6D.16√6PM=64,∠MPN=120°,在△PMN中,由正弦定理得AAsin∠AAA =AAsin∠AAA,即64sin45°=AAsin120°,得MN=32√6,所以船的航行速度为AA14-10=8√6(海里/小时).故选C.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin 2A+√2a sin B=0,b=√2c,则AA的值为()A.1B.√33C.√55D.√77b sin2A+√2a sin B=0,所以由正弦定理可得sin B sin2A+√2sin A sin B=0, 即2sin B sin A cos A+√2sin A sin B=0.由于sin B sin A≠0,所以cos A=-√22,因为0<A<π,所以A=3π4,又b=√2c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2b cos A=2c2+c2+2c2=5c2,所以AA =√55.故选C.7.一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西45°方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行1 km后到达D处,这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°,则塔B与寺庙C的距离为()A.2 kmB.√3 kmC.√2 kmD.1 km,先求出AC,AB的长,然后在△ABC中利用余弦定理可求解.在△ABD中,AD=1,可得AB=√3.在△ACD中,AD=1,∠ADC=105°,∠DCA=30°,所以由正弦定理得AA sin∠AAA =AAsin∠AAA , 所以AC=AA ·sin∠AAA sin∠AAA=√6+√22. 在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos45°=8+4√34+3-2×√6+√22·√3·√22=2,所以BC=√2.故选C .8.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q 上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为15°,地面某处A 的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ 为()A.100 mB.200 mC.300 mD.100 m,可得Rt △ABC 中,∠BAC=60°,BC=300,所以AC=AAsin60°=√32=200√3;在△ACQ 中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,所以∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°.由正弦定理,得AAsin45°=AAsin60°,解得AQ=200√3×√22√32=200√2,在Rt △APQ 中,PQ=AQ sin45°=200√2×√22=200m .故选B .二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在△ABC 中,a ,b 分别是角A ,B 的对边,a=1,b=√2,A=30°,则角B 为() A .45°B.90°C .135°D .60°或135°,可得sin B=A sin AA =√2sin30°=√22,又由a<b,且B∈(0°,180°),所以B=45°或135°.故选AC.10.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°B满足c sin60°<b<c,选项C满足b sin45°<a<b,所以B,C有两解;对于选项A,可求B=180°-A-C=65°,三角形有一解;对于选项D,由sin B=A·sin AA,且b<a,可得B为锐角,只有一解,所以三角形只有一解.故选BC.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是()A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin CABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:在A中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc cos A,故A正确;在B中,由正弦定理得:Asin A =Asin A,∴a sin B=b sin A,故B正确;在C中,∵a=b cos C+c cos B,∴由余弦定理得:a=b×A2+A2-A22AA +c×A2+A2-A22AA,整理,得2a2=2a2,故C正确;在D中,由余弦定理得a cos B+b cos A=a×A2+A2-A22AA +b×A2+A2-A22AA=c≠sin C,故D错误.故选ABC.12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sin A ∶sin B ∶sin C=4∶5∶6 B .△ABC 是钝角三角形C .△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D .若c=6,则△ABC 外接圆半径为8√77a+b )∶(a+c )∶(b+c )=9∶10∶11,可设a+b=9t ,a+c=10t ,b+c=11t ,解得a=4t ,b=5t ,c=6t ,t>0,可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=4∶5∶6,故A 正确;由c 为最大边,可得cos C=A 2+A 2-A 22AA=16A 2+25A 2-36A 22·4A ·5A=18>0,即C 为锐角,故B 错误;由cos A=A 2+A 2-A 22AA=25A 2+36A 2-16A 22·5A ·6A=34,cos2A=2cos 2A-1=2×916-1=18=cos C ,由2A ,C ∈(0,π),可得2A=C ,故C 正确;若c=6,可得2R=Asin A =√1-64=√7,△ABC外接圆半径为8√77,故D 正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边的长分别为a ,b ,c ,已知a=1,sin A=√210,sin C=35,则c=.解析由正弦定理Asin A=Asin A ,得c=A sin A sin A=1×35√210=35×√2=3√2.√214.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值是.cos A=A 2+A 2-A 22AA,所以bc cos A=12(b 2+c 2-a 2).同理,ac cos B=12(a 2+c 2-b 2),ab cos C=12(a 2+b 2-c 2).所以bc cos A+ac cos B+ab cos C=12(a 2+b 2+c 2)=612.15.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a 2-2ab cos C+b 2=c 2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x ,y ,z ,满足x 2+xy+y 2=9,y 2+yz+z 2=16,z 2+zx+x 2=25,则xy+yz+zx=.ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,利用余弦定理得出△ABC 的三边长,由此计算出△ABC 的面积,再利用S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 可得出xy+yz+zx 的值.设△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,由余弦定理得c 2=x 2-2xy ·cos ∠AOB+y 2=x 2+xy+y 2=9,∴c=3. 同理可得a=4,b=5,∴a 2+c 2=b 2,则∠ABC=90°, △ABC 的面积为S △ABC =12ac=6, 另一方面S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC=12xy sin2A 3+12yz sin2A 3+12zx sin2A 3=√34(xy+yz+zx )=6,解得xy+yz+zx=8√3.√316.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ,B ,灯塔B 位于灯塔A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A 的北偏西75°,与A 相距3√2海里的D 处;乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向,与B 相距5海里的C 处,此时乙船与灯塔A 之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.ABC 为等边三角形,所以AC=5.∠DAC=180°-75°-60°=45°,在△ADC 中,根据余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos ∠DAC =18+25-2×3√2×5×(√22)=13,解得CD=√13.√13四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin B+1=b sin A+2cos C. (1)求角C 的大小;(2)若a=2,a 2+b 2=2c 2,求△ABC 的面积.因为由正弦定理得Asin A =Asin A ,所以a sin B=b sin A ,∴2cos C=1,cos C=12.又0<C<π,∴C=π3.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ,∴4+b 2=2(4+b 2-2b ),解得b=2. ∴S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin π3=√3.18.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 2B+sin 2C=sin 2A+sin B sin C. (1)求角A 的大小;(2)若cos B=13,a=3,求c 的值.由正弦定理可得b 2+c 2=a 2+bc ,则cos A=A 2+A 2-A 22AA=12,因为A ∈(0,π),所以A=π3.(2)由(1)可知,sin A=√32,因为cos B=13,B为三角形的内角,所以sin B=2√23,故sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√32×13+12×2√23=√3+2√26,由正弦定理Asin A =Asin A,得c=A sin Asin A=√32×√3+2√26=1+2√63.19.(12分)要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距200 m的C,D两点,并测得∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,求A,B两点之间的距离.ACD中,因为∠ACD=30°,∠ADC=105°,所以∠DAC=180°-30°-105°=45°.由正弦定理得AAsin45°=AAsin30°,且CD=200,所以AD=100√2.同理,在△BCD中,可得∠CBD=45°,由正弦定理得AAsin120°=AAsin45°,所以BD=100√6.在△ABD中,∠BDA=105°-15°=90°,由勾股定理得AB=√AA2+AA2=200√2,即A,B两点间的距离为200√2.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3c sin B=4a sin C.(1)求cos B的值;(2)求sin (2A +π4)的值.由正弦定理A sin A =Asin A ,则3cb=4ac ,所以b=43a.而b+c=2a ,则c=23a. 故由余弦定理得cos B=A 2+A 2-A 22AA=A 2+49A 2-169A 22A ·23A =-14.(2)因为cos B=-14, 所以sin B=√154. 所以sin2B=2sin B cos B=-√158, cos2B=2cos 2B-1=-78. 所以sin (2A +π4)=√22(sin2B+cos2B ) =√22×(-√158-78)=-7√2+√3016.21.(12分)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距4(3+√3)海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距16√3海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时. (1)求BD 的长;(2)该救援船到达D 点所需的时间.由题意可知:在△ADB 中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,则∠ADB=105°.由正弦定理AAsin∠AAA =AA sin∠AAA ,得4(3+√3)sin105°=AA sin45°.由sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=√6+√24,代入上式得DB=8√3.(2)在△BCD 中,BC=16√3,DB=8√3,∠CBD=60°, 由余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos60° =(16√3)2+(8√3)2-2×16√3×8√3×12=242,∴CD=24,∴t=A A =2424=1.即该救援船到达D 点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在△ABC 中,C=π4,角B 的平分线BD 交AC 于点D ,设∠CBD=θ,其中tanθ=12.(1)求sin A ;(2)若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =28,求AB 的长.由∠CBD=θ,且tan θ=12,∵θ∈(0,π2),∴sin θ=12cos θ,sin 2θ+cos 2θ=14cos 2θ+cos 2θ =54cos 2θ=1,∴cos θ=√5,sin θ=√5.则sin ∠ABC=sin2θ=2sin θcos θ=2×√5×√5=45,∴cos ∠ABC=2cos 2θ-1=2×45-1=35, sin A=sin [π-(π4+2A )]=sin (π4+2A ) =√22sin2θ+√22cos2θ=√22×(35+45)=7√210. (2)由正弦定理,得AA sin A =AA sin∠AAA ,即7√210=AA 45, 所以BC=7√28AC.又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28,所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28√2, 由上两式解得AC=4√2,又由AA sin A =AA sin∠AAA ,得√22=AA 45,解得AB=5.。
高一数学必修4练习题
高一数学必修4练习题一、三角函数1. 判断下列函数的奇偶性：(1) y = sin(x)(2) y = cos(x + π)(3) y = tan(2x)2. 求下列函数的定义域：(1) y = arcsin(x 1)(2) y = arccos(2x^2 3)3. 化简下列表达式：(1) sin^2(x) + cos^2(x)(2) tan(x) cot(x)(3) sin(x + π/2) cos(x π/2)二、三角恒等变换1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) sin^2(x) + cos^2(x)(2) 1 2sin^2(x)(3) tan^2(x) + 12. 求证下列等式：(1) sin(α + β)sin(α β) = sin^2(α) sin^2(β)(2) cos(α + β)cos(α β) = cos^2(α) sin^2(β)三、解三角形1. 在△ABC中，已知a=5，b=8，A=45°，求B的度数及边c的长度。
2. 在△AB C中，已知b=10，c=12，B=60°，求A的度数及边a的长度。
3. 在△ABC中，已知a=6，b=8，C=120°，求A、B的度数。
四、平面向量1. 已知向量a=(2,3)，求向量a的模长。
2. 已知向量a=(4,3)，求向量a的单位向量。
3. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，求向量a与向量b的夹角。
五、复数1. 写出下列复数的代数形式：(1) 2(cosπ/3 + isinπ/3)(2) 3e^(iπ/4)2. 求下列复数的模：(1) 1 + i(2) 3 4i3. 已知复数z满足|z 1| = |z + 1|，求复数z在复平面上的几何位置。
六、空间几何与立体几何1. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3)到原点的距离是多少？2. 给定平面方程3x 4y + z = 7，求该平面上的一个单位法向量。
高一数学解三角形练习题
解三角形1.在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60°,则C=( )A.30°B.45°C.45°或135°D.60°2.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且c=2a ,则cos B=( )A .1B .3C . 2D . 2 3.(2015广州综合测试)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若C=2B ,则c b 为( )A.2sin CB.2cos BC.2sin BD.2cos C4.(2015合肥模拟)在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 3,则BC 的长为( )A . 32B . 3C .2 3D .2 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a= 3,b+c=4,B=30°,则c=( ) A .13B .12C .3D .13 6.如图,两座相距60 m 的建筑物AB ,CD 的高度分别为20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD的张角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.75°7.已知a ,b ,c 为△ABC 的三边,B=120°,则a 2+c 2+ac-b 2= . 8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若a=4,A=π3,则该三角形面积的最大值是 .9.如图所示,长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上,另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α= .10.(2015山东,文17)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知cosB= 3,sin(A+B )= 6,ac=2 求sin A 和c 的值.11.已知岛A 南偏西38°方向,距岛A 3 n mile 的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10 n mile/h 的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船? 参考数据:sin38°=5 3,sin22°=3 312.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且满足c sin A= 3a cos C ,则sin A+sin B 的最大值是( )A .1B .C . 3D .3 13.在△ABC 中,若(a 2+b 2)sin(A-B )=(a 2-b 2)sin C ,则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形14.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2A sin C = .15.在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线AD= 3,则AC= .16.(2015四川,文19)已知A ,B ,C 为△ABC 的内角,tan A ,tan B 是关于x 的方程x 2+ 3px-p+1=0(p ∈R )的两实根.(1)求C 的大小;(2)若AB=3,AC= 6,求p 的值.。
高一数学专题练习：三角函数与解三角形_测试题（有解析、答案）
三角函数与解三角形 测试题(时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )π235π4A. B ．7C ．－D ．－717172．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为( )A ．－B ．－ C.D.321212323．要得到y ＝sin(2x －)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像( )π3A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位π3π3C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位π6π64．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2C.D.235．有一种波，其波形为函数y ＝sin(x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最π2高点)，则正整数t 的最小值是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．66．若函数f (x )＝(1＋tan x )cos x,0≤x ＜，则f (x )的最大值为( )3π2A ．1B ．2C.＋1D.＋2337．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)在[－，0]上为减函数的θ 值为( )3π4A ．－B ．－ C.D.π3π65π62π38．若向量a ＝(sin(α＋),1)，b ＝(4,4cos α－)，若a ⊥b ，则sin(α＋)等于( )π634π3A ．－B.C ．－ D.343414149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝，φ＝B ．ω＝，φ＝π2π4π3π6C ．ω＝，φ＝ D ．ω＝，φ＝π4π4π25π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－＜φ＜)的图像关于直线x ＝对称，它π2π22π3的周期是π，则 ( )A ．f (x )的图像过点(0，)12B ．f (x )的图像在[，]上递减5π122π3C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(，0)5π12二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝，则sin2a 等于________1212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f ()＝________.7π1213．计算：＝________.cos10°＋3sin10°1－cos80°14．设函数y ＝2sin(2x ＋)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－，0]，则x 0＝π3π2________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝c .则的值35tan Atan B为________．答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.π2π41345(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(，)，记∠COA ＝α.3545(1)求的值；1＋sin2α1＋cos2α(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0.(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，)，b ＝(cos x ，－1)．32(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－，0]上的值域．π220．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：x －π6π35π64π311π67π317π6y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为，当x ∈[0，]时，方程f (kx )＝m 恰2π3π3有两个不同的解，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－，]上的简图；π47π4(2)写出函数的最小正周期和在[－，]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值π43π4时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状．。
新课标高一数学必修第二册第六章章末综合检测(向量+解三角形)(有答案)
第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π42．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 34．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD→＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.345．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.327．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac ＝( )A ．2 B.12 C ．3D.138．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( )A ．1B ．2C ．－2D ．－110．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.3211．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．3212．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC 的面积为________．16．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值．19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC→的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16) B ．(－2，－16) C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC→＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D. 7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( ) A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选 B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ⇒tan C＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________． 解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)．因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12， 所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)．答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． 所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， 所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值． 解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°. (1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝csin C ＝2sin 60°＝433，所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ， 所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6， 所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C ＝156.。
高中数学第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理b必修第四册b高一第四册数学1
＝5cosBcosC，两式相减，得 cosA－sinA＝5(cosBcosC－sinBsinC)
＝5cos(B＋C)．又 B＋C＝π－A，所以 cos(B＋C)＝－cosA，所以
cosA－sinA＝－5cosA，即 sinA＝6cosA，所以 tanA＝6，故选 B.
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15．在△ABC 中，A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，又 tanA
＝12，sinB＝
10 10 .
(1)求 tanC 的值；
(2)若△ABC 最短边的长为 55，求△ABC 的面积．
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解：(1)因为 sinB＝ 1100，所以角 B 为锐角或钝角， 当角 B 是钝角时，cosB＝－31010，tanB＝－13， 又 tanA＝12， 所以 tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝121－＋1316＝17，
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三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、 13、15 题各 12 分，14 题 6 分，共 42 分
12．(1)在△ABC 中，已知 a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求 b；
(2)在△ABC 中，已知∠A＝45°，a＝2，b＝ 2，求∠B.
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8．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 asinAsinB＋bcos2A＝ 2a，则ba＝( D )
A．2 3
B．2 2
C. 3
D. 2
解析：由正弦定理及 asinAsinB＋bcos2A＝ 2a，得 sin2AsinB ＋sinBcos2A＝ 2sinA，即 sinB(sin2A＋cos2A)＝ 2sinA，所以 sinB ＝ 2sinA，所以ba＝ 2，故选 D.
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)（2）（3）【解析】(1)························· 4分(2) ∵由∴的递增区间为∵在上是增函数∴当k = 0时，有∴解得∴的取值范围是····················· 8分(3) 解一：方程即为从而问题转化为方程有解，只需a在函数的值域范围内∵当；当∴实数a的取值范围为················ 12分解二：原方程可化为令，则问题转化为方程在［– 1，1］内有一解或两解，设，若方程在［– 1，1］内有一个解，则解得若方程在［– 1，1］内有两个解，则解得∴实数a的取值范围是［– 2，］2.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若a=f（A）=1，求的最大值．【答案】（1），单调增区间；（2）【解析】（1）首先借助于基本三角函数公式将函数式化简为的最简形式，周期由的系数求解，求增区间需令，解得的范围得到单调区间；（2）中由的值求得角，借助于三角形余弦定理可得到关于两边的关系式，进而结合不等式性质得到关于的不等式，求得范围试题解析：（1），所以函数的最小正周期为．由得所以函数的单调递增区间为．（2）由可得，又，所以。
专题18 《解三角形》中解答题压轴题培优训练(原卷版-2020-2021学年高一数学专题培优训练
《解三角形》中解答题压轴题培优训练（1）（满分100分时间：60分钟）班级姓名得分一、解答题1.已知向量a⃗=(cos32x,sin32x),b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2]，求：(1)a⃗⋅b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |的最小值为−32，求实数λ的值．2.如图，某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏，(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E，甲到达D，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF=π3，请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小值3.如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=2√2，点M在线段PQ上．(1)若OM=√5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．4.如图，某机械厂欲从AB=2米，AD=2√2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB=EF，AF<BE.设∠BEF=θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域;(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．5.武汉是我国著名的“火炉”城市之一，如图，武汉某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条夹角为即∠AOB)的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长为|AB|且落在小路上，要求弦长|AB|=2√3，记弓形花园的顶点为M，且∠MAB=∠MBA=π6，设∠OBA=，(1)将OA，OB用含有θ的关系式表示出来；(2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园(即OA，OB长度)，才使得喷泉M与山庄O距离即|OM|值最大？6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足cosAcosB +ab=2cb且b=4(1)求角B;(2)求△ABC周长的取值范围7. 如图，ΔABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90∘，AC =BC,点P 是ΔABC 内一点，连接PA,PB,PC ，已知∠1=30∘,∠2=∠3．(1)求证：AP =BC ；(2)试探究ΔPAB 与ΔPBC 的面积的比值．8. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√132．(1)求函数y =f(x)的解析式；(2)将函数y =f(x)图象向左平移12个单位后得到函数y =g(x)的图象，当x ∈[12,2]时，求函数ℎ(x)=g(2x)+mf(x −1)的最大值．9.某地计划在一处海滩建造一个养殖场．,现用长度为1千米的围网PQ依托(1)如图1，射线OA、OB为海岸线，∠AOB=2π3海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P、Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积;(2)如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB(图2)(点A、B在直线l上)，使三角形OAB面积最大，设其为S1̂所在圆的圆心且方案二：围成弓形CDE(图3)(点D、E在直线l上，C是优弧DE∠DCE=2π),其面积为S23试求出S1的最大值和S2(均精确到0.001平方千米)，并指出哪一种设计方案更好．10. 已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，2(b +c )(sinB −sinC )=(2a −√3c)sinA ，b =2，D 为线段AC 上一点且AD =3DC ． (Ⅰ)求cos B ； (Ⅱ)求|BD|的最大值．11. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠ACB =π3，AB =√3，AC +BC =3，AC >BC ，AB // CD ，点E 为四边形ABCD 的外接圆劣弧CD ⌢(不含C ，D)上一动点．(1)证明：AB ⊥BC ；(2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AE ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，设∠DAE =α，y =f(α)，求f(α)的最小值．。
2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练04 解三角形(解析版)
必考点04 解三角形题型一 利用正余弦定理解三角形例题1[在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．【解析】(1)由题意得，b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，所以a＝3或a ＝－2(舍去)．所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin ∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°.即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314.即AB 边上的高CD ＝15314.例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[【解析】(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. 【解题技巧提炼】1．已知△ABC 中的某些条件(a ，b ，c 和A ，B ，C 中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin C sin A ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2．已知△ABC 的外接圆半径R 及角，可用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . [提醒] 已知△ABC 的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．1．已知△ABC 中某些条件求角时，可用以下公式sin A ＝a sin Bb ，sin B ＝b sin Aa，sin C ＝c sin Aa ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 2．已知△ABC 的外接圆半径R 及边，可用公式sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. [提醒] (1)注意三角形内角和定理(A ＋B ＋C ＝π)的应用． (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．题型二 判断三角形形状例题1设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．例题2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【解析】因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形． 【解题技巧提炼】[解题技法]1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型三 三角形面积问题例题1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知，A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°， 故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【解题技巧提炼】 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．题型四 解三角形的实际应用例题1如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m. 【答案】900【解析】由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，所以∠AQB ＝30°，所以AB ＝BQ . 又PB 为公共边，所以△P AB ≌△PQB ，所以PQ ＝P A . 在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， 所以P ，Q 两点间的距离为900 m.例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m. [【答案】6002[【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝6006(m)．在△ACD 中，因为tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，所以DC ＝6006×33＝6002(m)． 例题3游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________． [【答案】513[【解析】依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.【解题技巧提炼】测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．测量高度问题的基本思路高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用例题1如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 【解析】设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47. 【解题技巧提炼】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．题型六 解三角形与三角函数的综合问题例题1已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．【解析】(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.【解题技巧提炼】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤题型一 利用正余弦定理解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【答案】A【解析】∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．【解析】(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.题型二 判断三角形形状1．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】已知等式变形得cos B ＋1＝a c ＋1，即cos B ＝ac ①.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入①得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．2．[在△ABC 中，已知sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 且还满足①a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )；②b cos A ＋a cos B ＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC 的形状，并写出推理过程． 【解析】由sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 及正弦定理得a ＋c b ＝b ＋ca ，即ac ＋a 2＝b 2＋bc ，∴a 2－b 2＋ac －bc ＝0， ∴(a －b )(a ＋b ＋c )＝0，∴a ＝b . 若选①△ABC 为等边三角形．由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形． 若选②△ABC 为等腰直角三角形，因b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形.题型三 三角形面积问题1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 又∵ b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴ 36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴ c ＝23，a ＝43，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．【解析】(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )·cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.题型四 解三角形的实际应用1．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】设两船在C 处相遇，则由题意得∠ABC ＝180°－60°＝120°，且AC BC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin 120°sin ∠BAC ＝3，所以sin ∠BAC ＝12.又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进．2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【答案】103【解析】如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 3．为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 的同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝________ m. 【答案】202＋1【解析】如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝20 2. 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1(m)．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________． 【答案】66【解析】设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC中，BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.2.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．【解析】(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，在平面四边形ABCD 中，∠BCD ∈(0，π)，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58. 题型六 解三角形与三角函数的综合问题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．【解析】(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.一、单选题1．如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）A ．()2021-千米 B ．()4021-千米C ．)201D ．)401【答案】D【解析】在ABC 中，135AOB ∠=︒， 设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα==︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2．某生态公园有一块圆心角为π3的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径100OA =米.若要在弧AB 上找一点C ，沿线段AC 和BC 铺设一条观光道路，则四边形OACB 面积的最大值为（ ）A ．2500平方米B ．25003平方米C ．5000平方米D ．50003平方米【答案】C【解析】连接OC ，2211sin sin 22OAC OCB OACB OA S S AOC OA CS BO =⋅∠+∠+⋅=四边形△△2π1sin sin 23OA AOC AOC ⎡⎤⎛⎫=∠+-∠ ⎪⎢⎝⎭⎣⋅⎥⎦15000(sin )322cos AOC AOC +=∠∠π5000sin 50003AOC ⎛⎫=∠+≤ ⎪⎝⎭，当π6AOC ∠=时，等号成立. 所以四边形OACB 面积的最大值为5000.故选：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，1c =，则B C +=（ ）A ．90°B ．120°C ．60°D ．150°【答案】C【解析】因为a =2b =，1c =， 所以2221471cos 22122c b a A bc +-+-===-⨯⨯，由0180A <<︒︒，则120A =︒,18060B C A ∴+=︒-=︒故选：C4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于19，则该圆锥的表面积等于（ ） A ．4π B ．6π C ．10π D ．203π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，则()2221233162339r -⨯=+⨯⨯=，解得2r =，故该圆锥的表面积等于12234102πππ⨯⨯⨯+=.故选：C.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则ABC 必为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为cos cA b <，由正弦定理可得sin cos sin C A B<，即sin cos sin C A B <， 又因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<，即sin cos 0A B <，因为,(0,)A B π∈，所以sin 0,0cos A B ><，所以(,)2B ππ∈，所以ABC 为钝角三角形.故选：A. 二、多选题6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =、3b =、4c =，下面说法错误的是（ ） A ．sin sin sin 234A B C =：：：： B ．ABC 是锐角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．ABC 内切圆半径为12 【答案】BCD 【解析】A 选项，∵sin sin sin a b cA B C==，2a =、3b =、4c =，∵sin sin sin 234A B C =：：：：，对，B 选项，由于a b c <<，则ABC 中最大角为角C ，∵222222234cos 02223a b c C ab +-+-==<⨯⨯，∵2C π>，∵ABC 是钝角三角形，错，C 选项，假设ABC 的最大内角是最小内角的2倍，则2C A =， 即sin sin22sin cos C A A A ==⋅，又sin sin 12A C =：：，即sin 2sin cos 12A A A ⋅=：：，cos 1A =，不符合题意，错，D 选项，∵22222224311cos 222416a c b B ac +-+-===⨯⨯，∵sin B ==，∵11sin 2422ABCSac B =⋅=⨯⨯设ABC 的内切圆半径为r ，则()()1123422ABCS a b c r r =++⋅=⨯++⨯=∵r =故选：BCD.7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=（ ） A ．若π3A =，1c =，则1a =B ．若π3A =，1c =，则ABC 的面积为πC ．若2b =，则A 的最大值为π3D ．若2b =，则ABC 周长的取值范围为()4,12【答案】ACD【解析】因为sin sin 2sin B C A +=，所以2b c a +=. 对于A ，B ，若1c =，则21b a =-，22223421cos 2422b c a a a A bc a +--+===-，解得1a =，ABC 的面积1sin 2S bc A ==，A 正确，B 错误. 对于C ，若2b =，则22c a =-，222238831cos 12128881b c a a a A a bc a a +--+⎛⎫===-++- ⎪--⎝⎭312182⎡⎤≥-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2a =时，等号成立，所以A 的最大值为π3，C 正确.对于D ，若2b =，则根据三边关系可得,,a c b a b c +>⎧⎨+>⎩即222,222,a a a a +->⎧⎨+>-⎩解得443a <<，则4312a <<，ABC 的周长为3a b c a ++=，故ABC 周长的取值范围为()4,12，D 正确.故选：ACD 三、填空题8．在ABC 中，D 为BC 的中点，若4AB =，2AC =，AD =BC =______．【答案】【解析】法一：设BD x =，因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理，得22222222BD AD AB DC AD AC BD AD DC AD+-+-+=⋅⋅220=，所以x BC =法二：由D 为BC 的中点，得()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+，即()1816242cos 44BAC =+⨯⨯∠+，所以3cos 4BAC ∠=，所以22232cos 16424284BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以BC =故答案为：9．如图所示，OA 是一座垂直与地面的信号塔，O 点在地面上，某人（身高不计）在地面的C 处测得信号塔顶A 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进20m 到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高OA 为______m .【答案】20【解析】设塔高m OA x =，由题意得在直角AOC △中，45ACO ∠=︒，所以m OA OC x ==,由题意得在直角AOD △中，30ADO ∠=︒，所以m OD =， 由题意得在OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=， 所以由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅∠，所以22134002202x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2102000--=x x ，解得20x 或10x =-（舍去），所以塔高OA 为20m ，故答案为：20 四、解答题10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长． 【解析】(1)521>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得cos B =又(0,)B π∈，34B π∴=，故sin B(2)AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+，2222223(2)()2cos 121cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos A a B a =+.(1)求角B 的值；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上中线AD 的长.【解析】(1)sin sin cos sin B A A B A =+，()0,πA ∈，sin 0A ≠cos 1B B =+，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πB ∈，π3B ∴=；(2)1sin 2S ac B ==8c =，10a ∴=，由余弦定理22212cos 6425404922a AD c ac B ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，得249AD =，7AD ∴=，12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理及()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-， 得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=， 由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，可得3A π=.(2)由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-， 因为222b c bc +≥， 所以22a bc bc ≥-，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号，∵11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△ABC13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量()7,1m =，()cos ,1n C =，(),2cos p b B =，且0m n ⋅=.(1)求sin C 的值；(2)若8c =，//m p ，求B 的大小.【解析】(1)因为()7,1m =，()cos ,1n C =，且0m n ⋅=，所以7cos 10C +=，即1cos 7C =-，因为0C π<<，所以sin C ==. (2)因为()7,1m =，(),2cos p b B =，//m p ，所以14cos b B =， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin c Bb C=，又8c =，sin C =b B ，14cos B B =，即tan B =0B π<<，所以3B π=.14．已知向量()2sin ,2cos 1m x x =-，()2cos ,1n x =，()f x m n =⋅.(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，a =ABC 的面积的最大值.【解析】(1)()22sin cos 2cos 1f x m n x x x =⋅=+-，sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==； (2)由()214f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且()0,A π∈，所以4A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即(2222b c bc =+≥，所以2bc ≤=b c =时取等号，所以ABC 的面积21sin 244S bc π==≤，15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A C B A C +=+． (1)求B ；(2)若点M 在AC 上，且满足BM 为ABC ∠的平分线，2,cos BM C ==BC 的长． 【解析】(1)在ABC 中，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理得：222a c b ac +=+.由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==. 因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)因为()cos 0,C C π=∈，所以sin C = 因为3B π=，BM 为ABC ∠的平分线，所以6MBC π∠=.所以[]sin sin BMC MBC C π∠=-∠-∠()sin MBC C =∠+∠sin cos cos sin MBC C MBC C =∠∠+∠∠12==.在MBC △中，由正弦定理得：sin sin MB BC C BMC =∠=BC = 16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且)cos b c aC C +=+． (1)求角A ；(2)若2a =，ABCb c +的值.【解析】(1)由)cos b c a C C +=+及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A C A C +=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin sin sin A C C A C +=，又sin 0C ≠cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0A π<<，则5666A πππ-<-<，所以，66A ππ-=，因此，3A π=. (2) 解：由余弦定理，得2222cos 3a b c bc π=+-，即()234b c bc +-=，又1sin 2ABC bc S A ==4bc =，所以4b c +=．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin 2cos 02A A A ++=.(1)求A ；(2)若cos cos 2b C c B +=，求ABC 面积的最大值. 【解析】(1)ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且2sin 2sin 2cos 2sin cos sin cos 102AA A A A A A ++=+++=，2(sin cos )(sin cos )0A A A A ∴+++=， 即(sin cos )(sin cos 1)0A A A A +++=， sin cos 1A A +>-，sin cos 0A A ∴+=，所以tan 1A =-， 又()0,A π∈，34A π∴=； (2)ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B =，sin b B ∴==⋅，同理可得，sin c C =⋅，cos cos 2b C c B +=，∴sin cos sin cos 2B C C B ⋅⋅+⋅⋅=，∴sin()2B C ⋅+=sin 24π⋅=，2a ∴=，由余弦定理可得22424cos 22b c bc A bc bc+--=-=， 当且仅当b c =时，取等号，422bc ∴+，即bcABC ∴面积⋅⋅=≤1sin 2bc A 1=-，所以ABC 1.。
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必修五 解三角形
一、选择题
1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ）
A.1:2:3
B.3:2:1
C.2
D.2
2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （ ）
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．30°
3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长
A. 1公里
B. sin10°公里
C. cos10°公里
D. cos20°公里
4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （ ）
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ）
A ．135<<x
B ．13＜x ＜5
C ．2＜x ＜5
D ．5＜x ＜5
6． 在ABC ∆中，60A ∠=，a =
3b =，则ABC ∆解的情况 （ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解
D. 不能确定 7．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A= （ ）
A ．090
B ．060
C ．0120
D ．0150
8．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c
1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在
同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒
∠=， 60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的
仰角为60︒
，则塔高AB = （ ）
A ．
B ．90米
C ．
D ．
10．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于 他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三 辆车的距离2d 之间的关系为 （ ）
A. 21d d >
B. 21d d =
C. 21d d <
D. 不能确定大小
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知23a =，2b =，ABC ∆的面积S=3，则C = ； 12．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72
AD =，那么BC = ； 13．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝____ __；
14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 ；
15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？
【题】在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）
A.()2,+∞
B.（0，2）
C.()2,22
D.()
2,2 【解法1】△ABC 有两解，a sin B <b <a ，x sin 45<2<x , 即222,x << 故选C.
【解法2】,sin sin a
b
A B = sin sin 452sin .24a B
x x A b
=== △ABC 有两解，b sin A <a <b , 222,4x
x ⨯<< 即0<x <2, 故选B.
你认为 是正确的 （填“解法1”或“解法2”）
16.在中，若，则的形状是
A.正三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角形
三、解答题：（共 6 小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
16．（本题12分）a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，bc ＝48，b -c ＝2，求a ．
17. （本题12分）一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以
10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.
若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇
应沿北偏东α+ 45的方向去追,.求追及所需
的时间和α角的正弦值.
18. （本题12分）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2a sinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
19. （本题12分）在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C 和D 两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为50AB =米，75DAC ∠=，45CAB ∠=， 30DBA ∠=，75CBD ∠=，请你帮他们计算一下，
河对岸建筑物C 、D 的距离？
A
A B
D
20. （本题13分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若
2
1sin sin cos cos =
-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．。