八年级下册数学新观察38-53(教师版)

13．平行四边形的判定（一）预习归纳1．两组对边分别 的四边形是平行四边形； 2．两组对角分别 的四边形是平行四边形； 3．对角线 的四边形是平行四边形． 答案：相等 相等 互相平分 基础训练题知识点1 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形 1．下列条件能判定四边形ABCD 足平行四边形的是（ ）A ．∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D B ． AB ＝AD ，BC ＝CDC ．AB ∥CD ， AD ＝BC D ．AB ＝CD ， AD ＝BC 答案：D2．在四边形ABCD 中，已知AB ＝7cm ，BC ＝5cm ，CD ＝7cm ，当AD ＝ 时，四边形ABCD 是平行四边形．答案：5cm3．(2017·宿迁)如图，已知BD 是∠ABC 的平分线，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ． 求证：BE ＝CF ．证明：∵ED ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行边形，∴ DE ＝CF ， ∵BD 平分∠ABC ，∴ ∠EBD ＝∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ， ∴∠EBD ＝∠EDB ．∴EB ＝ED ，∴EB ＝CF ．4．(2017·连云港)如图，AB ∥DE ，AB ＝DE ，AF ＝DC ． （1）求证：△ABF ≌△DEC ；（2）求证：四边形BCEF 是平行四边形．ABCDEFACDEF【解析】（1）证∠A ＝∠D 即可；（2）易证△ABF ≌△DEC ．∴BF ＝CE ，易证△DEF ≌△ABC （S A S ），∴EF ＝BC ，∴四边形BCEF 是平行四边形．知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形5．已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝50°，则当∠B ＝ 时，四边形ABCD 为平行四边形． 答案：130°6．一个四边形的三个内角的度数如下，其中能判定该四边形是平行四边形的是（ ）． A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．92°，88°，92° D ．88°，72°，88°答案：C知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形7．在四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝12cm ，BD ＝10cm ，那么，当AO ＝ cm ，OD ＝ cm 时，四边形ABCD 为平行四边形． 答案：6 58．(2017·广州改)在□ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，则四边形AECF 是 ． 答案：平行四边形9．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ，BD 交于点O ，BO ＝DO ，求证：四边形ABCD 是平行 四边形．【解析】∵AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO ，又∵∠AOB ＝∠COD ，BO ＝DO ，∴△AOB ≌△COD ，∴OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．10，如图，在□ABCD 中，M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，求证：四边形BMDN 为平行四边形．ODCBA证明：证法一：△ABM ≌△CDN ，∴BM ＝DN ，△ADM ≌△CBN ，∴DM ＝BN ，∴四边形BMDN 为平行四边形． 证法二：连接BD 交AC 于O ，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵AM ＝CN ， ∴OM ＝ON ，∴四边形BMDN 为平行四边形．11．(2017·龙岩改)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F 在AC 上，且DE ∥BF ，AD ∥BC ，AE ＝CE ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【解析】：∵DE ∥BF ，∴∠DEC ＝∠AFB ，∴∠AED ＝∠BFC ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠BCF ，又∵AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB ，∴AD ＝BC ，又∵AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．12．(2017·宣宾改)如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 在AC 上，G ，H 在BD 上，AF ＝CE ，BH ＝DG ，求证：GF ∥EH ．【解析】连接EG ，HF ，∵AF ＝CE ，BH ＝DG ，∴AE ＝CF ， BG ＝DH ， 又∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OE ＝OF ， OG ＝OH ， ∴四边形EGFH 是平行四边形，∴GF ∥EH ．NA MCBDDBCMA NOFEDCBA H G A BCDE F OHGF EDC BA O13．(2017·永州改)如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，连接AF ，CE ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【解析】：连接AC 交BD 于点O ，证△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ，∵OB ＝OD ，∴OE ＝OF ，又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．综合题训练14．(2017·江岸期末改)如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧作等边△ABP ，等边△ACQ ，等 边△BCR ．（1）判断四边形PAQR 的形状，并说明理由；（2）若∠BAC ＝120°，则∠PRQ ＝ （直接写出结果）．【解析】（1）易证△PBR ≌△ ABC (S A S ）∴PR ＝AC ＝AQ ，同理 RQ ＝AB ＝PA ．∴四边形PAQR 是平行四边形． （2）120°．OABCDEF F EDCBAORQPCBA14．平行四边形的判定（二）预习归纳一组对边平行且 的四边形是平行四边形． 答案：相等基础题训练知识点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1．下列不能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）．A ．AB ＝CD ，AD ＝BC B ．AB ＝CD ，AB ∥CD C ．AB ＝CD ，AD ∥BC D ．AD ＝BC ，AD ∥BC 答案：C2．四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，若BC ＝10，则AD ＝ ． 答案：103．已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，周长为40，两邻边的比是3：2，则较大边的长是 ． 答案：12 4．把线段AB 向右平移3个单位长度得到线段CD ，则四边形ABCD 是四边形． 答案：平行5．(2017·大连改)如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ．∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴AF ∥CE ，AF ＝CE ．∴四边形AECF 是平行四边形．6．如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．FEDCBAAB C DAB CD【解析】连接BD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，又∵∠A ＝∠C ，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△ CDB (AA S ），∴AD ＝BC ，又∵AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．7．(2017·新疆改)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE ＝CF ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【解析】易证△ADE ≌△CBF ，∴AD ＝BC ．又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是干行四边形．中档题训练…8．(2017·黄冈改)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CP ，DF ∥BE ，求证：四边形ABCD 为平行四边形．【解析】：先证△ABE ≌△CDF ，故AB ＝CD ，又AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．9．如图，已知在□ABCD 中，点E 在AD 上，连接BE ，DF ∥BE 交BC 于点F ，AF 与BE 交于点M ，CE 与DF 交于点N ．求证：四边形MFNE 是平行四边形．【解析】：∵DF ∥BE ，DE ∥BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴DE ＝BP ，∵AD ∥BC 且AD ＝BC ，∴AE ∥CF 且AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∴AF ∥CE ，∴四边形MFNE 是平行四边形．FEABCDFEDCBAFEN DCBA M10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分別为BC 、AC 上一点，BD ＝CE ，AE ＝BC ，BE ＝EF ，且BE ⊥EF ，连AE ，BF ． （1）判断四边形BDAF 的形状； （2）若AD ＝4，求BE 的长．解：（1）证△BCE ≌△AEF ，∴AF ∥BD 且AF ＝BD ，∴四边形BDAF 为平行四边形； （2）BF ＝4，BE ＝11．(教材题改编)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，AB ＝CD ＝3，∠B ＝60°，求BC 的长．解：过D 作DE ∥AB ，则得□ADEB ，∴△CDE 为等边三角形，∴BC ＝4．综合题训练12．(2018·武汉外校月考改)，如图，在△ABC 和△DAF 中，AC ＝BC ，AD ＝AF ，∠ACB ＝∠DAF ＝90°，D ，A ，C 在一条直线上，过D 作DE ⊥DF ，且DE，连接CF ，BE ，EF ．（1）试判断四边形ADEB 的形状，并予以证明； （2）求CFEF的值．解：（1）平行四边形，证 DE ∥AB 且DE ＝AB 即可；FED CBADCB AF ED CBAABCD E F（2）连接CE ，易证△CFA ≌△CEB ，△CEF カ等腰直角三角形，∴CF EF ．15．三角形的中位线预习归纳连接三角形两边 的线段叫三角形的中位线；三角形的中位线 于三角形的第三边，并且等于第三边的 ． 答案：中点 平行 一半基础题训练知识点 三角形的中位线定理1．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ，选取可以直达A 、B 两点的点O 处，再分别取OA ，OB 的中点M ，N ，量得MN ＝20m ，则池塘的宽度AB 为 m ． 答案：402．如图所示，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点，则图中平行四边形有 个．若AC ＝5，AB ＝10，BC ＝7，则△DEF 的周长为 ． 答案：3 113．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，E 为CD 的中点，若OE ＝3cm ，则AD ＝（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ． 12cm第1题图NBAMO 第2题图F E DBAC第3题图E DBACO第4题图HF E D BA CG答案：B4．如图，已知E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC ＝10cm ，BD ＝12cm ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．10cmB ．11cmC ． 12cmD ． 22cm 答案：D5．如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，求证：EF ∥BC ．【解析】： AF ＝DF ，EF 为△ABD 的中位线．6．(2017·长春改)如图，在□ABCD 中，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．【解析】：证OE ∥CF 且OE ＝CF 即可．7．如图，已知E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．【解析】：连接BD ，证EH ∥BD 且EH ＝12BD ，FG ∥BD 且FG ＝12BD 即可．中档题训练FEDBACOCABDE F HFE DBA CG G CABD E F H8．已知：如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．【解析】连接AC ，易证EF ∥AC 且EF ＝12AC ，HG ∥AC 且HG ＝12AC ，∴EF ∥HG 且EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． 9．(课本62页第16题改编)如图，△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ．（1）求证：DM ＝12(AC －AB )；（2）若AD ＝6，BD ＝8，DM ＝2，求AC 的长．解：（1）延长BD 交AC 于E ，∵△ADB ≌△ADE ，∴BD ＝DE ，又BM ＝MC ， ∴DM 为△BCE 的中位线，∴DM ＝12CE ＝12(AC －AB )； （2）易求AB ＝10，由（1）知AC ＝AB ＝2DM ，∴AC ＝14．10．(2017·江岸期末改)如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 相交于点G ．（1）在图中请任作出△ABE 的一条中位线； （2）求证：FG ＝CG ； （3）直接写出EGBG的值．E CABDG H E FCAD GHDCBAMMABCDE FE DCBAGGABCDE FM【解析】（1）取BE 的中点M ，则FM 为△ABE 的中位线；（2）连接CM ，∵FM ∥AB 且FM ＝12AB ，CE ∥AB 且CE ＝12AB ， ∴CE ∥FM 且CE ＝FM ，∴四边形CEFM 为平行四边形，∴FG ＝CG ；（3）由（2）知EG ＝MG ，又EM ＝BM ，∴1=3EG BG ．综合题训练11．(2017·武汉六中月考题改)如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点． （1）求证：PM ＝PN ； （2）求∠MPN 的度数．解：（1）连CD ，AE ，证PM ∥CD 且PM ＝12CD ，PN ∥AE 且PN ＝12AE ，证△ABE ≌△DBC ，AE ＝CD ，∴PM ＝PN ；（2）设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H ，由（1）知∠BAE ＝∠BDC ，∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°，∠FHG ＝120°，易证四边形PFHG 为平行四边形，∴∠MPN ＝120°．基础夯实1 利用平行四边形的性质求角度【方法归纳】利用平行四边形及等腰三角形的有关性质，结合三角形内角和定理求角度． 1．如图，在□ABCD 中，将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在点E 处，若∠ABD ＝40°，N M PED CBAABCD EPMNHGF∠CBE ＝15°，求∠BDE 的度数．解：∠BDE ＝25°．2．如图，在□ABCD 中，点F 为AD 上一点，AB ＝BF ，将△ABF 沿BF 折叠至△BEF 处，若∠A ＝50°，求∠CBE 的度数．解：∠CBE ＝30°．3．如图，在□ABCD 中，点P 为BD 上一点，将△PAD 沿AP 折叠，点D 恰好落在点C 处，连接AC ，若∠PAD ＝20°，∠ADP ＝25°，求∠BDC 的度数．解：∠BDC ＝45°．4．如图，在□ABCD 中，点E 为AD 上一点，将△BCE 沿BE 折叠至△BEF 处，点F 恰好在BA 的延长线上，若∠AEF ＝15°，求∠DCE 的度数．解：∠DCE ＝15°，易证△AEF ≌△ECD ．EDCBAFEDCBADCBAPF EDCBA5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝70°，BE 平分∠ABC 且交AD 于点E ，DF ∥BE 且交BC 于点F ，求∠FDC 的度数．解：∠FDC ＝35°．6．如图，在□ABCD 中，AC ＝CD ，∠ACB ＝2∠ACD ，求∠B 的度数．解：∠B ＝72°．基础夯实2 平行四边形中的简单证明【方法归纳】利用平行四边形性质与判定进行证明． 一、平行四边形的性质1．如图，E ，F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ． （1）求证：△AE ≌△CDF ；（2）不再添加辅助线，直接写出图中其余的全等三角形．解：（1）略（2）△ABC ≌△CDA ，△ADF ≌△CBE ．FEDCBAD CBAFEDCBA2．如图，在平行四边形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折，使点B 落在点B ＇处，AB ＇和CD 相交于点O ．求证：OD ＝OB ＇．解：证∠B ＇＝∠D ，△ADO ≌△CB ＇O ，∴OD ＝OB ＇．3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别为OA 、OC 的中点，求证：BE ＝DF ．解：证△BOF ≌△DOF ．二、平行四边形的判定4．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 上两点，且BF ＝DE ，连AF ，CE ，BE ，DF ，AF 与BE 相交于M 点，DF 与CE 相交于N 点．求证：四边形FMEN 为平行四边形．证明：∵DE ∥BF 且DE ＝BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形，∴BE ∥DF同理AF ∥CE ，∴四边形ENFM 为平行四边形．5．如图，AF 与BE 互相平分，EC 与DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：四边形ABFE ，四边形DEFC 都为平行四边形．∴AB ∥EF 且AB ＝EF ，EF ∥CD 且EF ＝CD ，B 'DCBAOFEDCBAOFE DCBAM N FEDCBAABCDEF∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．6如图，已知E 为□ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE ＝DC ，连AE 分别交BC ，BD 于点F ，G ，连AC 交BD 于点O ，连OF ． （1）求证：AF ＝EF ；（2）求证：DE ＝4OF ．证明：（1）连BE ，证CE ∥AB 且CE ＝AB ，四边形ABEC 为平行四边形； （2）由（1）知，BF ＝FC ，∵OA ＝OC ，∴OF 为△ABC 的中位线， ∴OF ＝12AB ，∴DE ＝2AB ＝4OF ．难点攻关1 与平行四边形有关的长度计算【方法归纳】充分利用平行四边形的性质及常用的数学思想方法解决与面积有关的问题． 一、方程的思想1．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，已知AE ＝4，AF ＝6，□ABCD 的周长为40，求□ABCD 的面积．解：设BC ＝x ，CD ＝y ，∵S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ，∴2x ＝3y ． 又∵x ＋y ＝20，∴x ＝12，y ＝8，∴S □ABCD ＝12×4＝48． 2．(教材改编)如图，在□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，求AC 2＋BD 2．证：分别过A 、D 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，易证△ABE ≌△DCF ，BE ＝CF ，设BE ＝CF ＝x ，DF ＝y ，则BD 2＝(6＋x )2＋y 2，AC 2＝(6－x )2＋y 2，BD 2＋AC 2＝2(62＋x 2＋y 2)，FEDCBAOGFEDC B AOGFED CBADCBAOCD 2＝y 2＋x 2＝42，∴BD 2＋AC 2＝2(62＋42)＝104．二、面积思想3．如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交CD 于E ，BF 平分∠ABC 交CD 于F ，AE ，BF 交于平行四边形内部一点G ． （1）求证：DE ＝CF ；（2）若点E 为DC 的三等分点，AEBFAB 与DC 的距离．证明：（1）易证AD ＝DE ，BC ＝CF ，∴DE ＝CF ； （2）设直线AB 与DC 的距离为h ，过B 点作BM ∥AE ，则BM ＝AEFBM ＝90°，∴FM ＝6，∴6hh三、构造法运用4．(2018江岸期末)如图，在□ABCD 中，AD ＝6，点E 在边AD 上，点F 在BC 的延长线上，且满足BF ＝BE ＝8，过点C 作CE 的垂线交BE 于点G ．若CE 恰好平分∠BEF ，求BG 的长．解：延长GC 交直线EF 于点M ，易证CG ＝CM ，过G 点作GN ∥FM ，CN ＝CF ＝2，∴BG ＝BN ＝4．5．(2018东西湖期未改)如图，在四边形ABCD 中，若AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝AC ＝3，BD ＝4，求四边形ABCD 的面积．FEDCBAGFEDCBAG MF EDCBA G解：过点A 作AE ∥BD 交CD 延长线于E ，则□AEDE ，∴AR ＝BD ＝4，AC 2＋AE 2＝CE 2， ∴AC ⊥AE ，∴S 四ABCD ＝6．难点攻关2 构造三角形中位线（选用）【方法归纳】中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一． 一、连接两点构造三角形中位线1．如图，E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状并予以证明．解：四边形EFGH 为平行四边形，证明略．2．如图，点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠CBD ＝45°，∠ADB ＝105°，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明．解：连PE ，证PE ＝PF ，∠EPF ＝120°，∴EF．DC BAG CA BDE FHHFE DBACGPABC D E F 45°105°105°45°F E D C BAP3．如图，∠ACB ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，CD ＝CE ，点P ，M ，N 分别为AB ，AD ，BE 的中点，试探究：PM 与PN 之间的数量关系和位置关系．解：PM ＝PN 且PM ⊥PN ，理由：连AE ，BD ，由△ACE ≌△BCD 可知，AE ＝BD ，AE ⊥BD ，∵PN ∥AE 且PN ＝12AE ，PM ∥BD 且PM ＝12BD ，∴PM ＝PN ，PM ⊥PN ．二、利用角平分线十垂直构造中位线4．如图，在△ABC 中，点M 为BC 的中点，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD ，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．解：延长BD ，CA 交于N ，证DN ＝DB ，MD ＝12CN ＝15．5．如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF ＝2ME ．证明：延长FE 交AB 于N ，证EF ＝EN ，CF ＝AN ．∵AN ＝2ME ，∴CF ＝2ME ．三.取中点构造三角形中位线M NAB CDEP PEDCB AN M M ABCDNDCBAMMABCE FFE NCBAM6.如图，四边形ABCD 中M ，N 分别为AD ，BC 的中点，连BD ，若AB =10， CD =8，求MN 的取值范围解：取BD 的中点P ，连P 'M ，PN ，∵PM =12AB =5，PN =12CD =4，∴1<MN <9.7.（2018· 中考模拟）巳知等边三角形△ABC ，点D 在CA 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，BE =CD ，O 为BC 中点，M 为DE 中点，OM，AD =1，求AC 的长.解：延长EC 至H ，使CH =CD ，则OM =12DH .设AC =x ， ∴DHx +1） ，（x +1） ，x四、倍长构造三角形中位线8.（2018·武汉）如图，在△ABC 中，∠ACB =60° ，AC =1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点，若DE 平分△ABC 的周长，求DE 的长.解：延长BC 至M ，使CM =AC ，易知DE =12AM .故DE9.（2018·东西湖期末改）（1）如图1，四边形ABCD 中，点E 、F 、G .、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：中点四边形EFCH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点且满足PA =PB ，PC =PD .∠APB = ∠CPD .点E 、EF 、G .、H分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EH =HG . 解：（1）连AC ，则EF ‖12AC ‖ HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形 （2）连AC ，BD ，则△APC ≌△BPD ，∴AC =BD ，∴EF =GH图1 图216.矩形（一） 矩形的性质预习归纳1.有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；2.矩形的四个角都是直角；3.矩形的对角线相等.4.直角三角形斜边上的线等于斜边的一半.知识点1矩形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ C ）A .对边相等B .对角相等C .对角互补D .对角线互相平分CED2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC AC ，BD 交于点O ，则图中的等腰三角形有（ B ） A .2个 B .4个 C .6个 D .8个3.（2018中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，E 为DC 中点，将△ABE 沿直线AE 折叠，使得点B 落在点F 处，连PC ，若∠DAP ＝18°，则∠DCF ＝36°4.（2017 ·成都改）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AB ＝AO ＝4，则S 矩形ABCD＝5.（2017 ·江汉期中）如图，矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，求证：∠EBC ＝∠ECB .解：易证△ABE ≌△DCE ，∴EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB .6.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且 DE ＝CF ，连OE ，OF ，求证OE ＝OF .E证明，证OD＝OC，∠ODC＝∠OCD，∠ODE＝∠OCF，∴△ODE≌△OCF（SAS）.∴OE＝OF.知识点2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC边的中点，∠A＝25°则∠BDC＝50°，∠CBD＝65°8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AB的中点，则CD＝59.在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，则△BCD的形状是（C）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.不能确定10.如图，点O是矩形ABCB的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为2011.如图，BE，CF是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝6，BC＝10.求△EFM的周长解析：BC ＝EM ＋FM ＝10，△EFM 的周长为1612.如图，把一个矩形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D '，C '的位置，若∠EFD ＝65°，求∠AED '的度数解：50°13.（2017 ·巴中改）如图延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE .（1）若∠ADE ＝40°，求∠E 的度数；（2）若AB ＝3，CE ＝5，求AE 的长.[解析]（1）连接AC ，∵AC ＝BD ，CE ＝HD ，∴AC ＝CE ， ∴∠E ＝12∠ACB ＝12∠ADB ＝20°； （2） ∵AB ＝3，CE ＝AC ＝5. ∴BC ＝4，∴BE ＝9，∴AE14.（2017·徐州改）如图，OABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，点F 在DE 上，且AF ⊥BF .（1）求证：∠ABF ＝∠CBF ；ACE（2）若AB ＝5，BC ＝8.求EF 的长.[解析]（1）： ∵∠APB ＝90°，DA ＝DB ， ∴.DB ＝DF ，∴∠ABF ＝∠DFB ，又∵DA ＝DB ，EA ＝EC ，∴DE ∥BC ，∴∠DFB ＝∠CBF ，∴∠ABF ＝∠CBF ；（2）延长AF 交BC 于G ，易证△ABF ≌△GBF ，∴ AF ＝FG ，AB ＝BG ＝5.∵AE ＝CE ， ∴EF ＝12CG ＝12×（8－5）＝32. 15.（2018·黄陂期末）如图，在矩形ABCD 中，AF 平分∠BAD 交BC 手E ，交DC 延长线于F ，点G 为EF 的中点，连接DG .（1）求证：BF ＝DF ；（2）连BD ，求BD ：DG 的值解.（1略；（2）连BG ，证△BEG ≌△DGC ∴BG ＝DG ，∴ BD ：DG综合题训练16.在矩形ABCD 中，点E 在BC 上连DE ，AE 平分∠BED .（1）如图1，若AB ＝3，AD ＝5，求BE 的长；GB C A（2）如图2，若BE ＝1，AB ＝3，求BC 的长.图1 图2解：（1）方法1：作AF ⊥DE 于F ，则AF ＝AB ＝3，∴DF ＝4，EF ＝BE ＝1；方法2：作EM ⊥AD 于M ，∴DM ＝BE ＝1；（2）过E 作EM ⊥AD 于点M ，设AD ＝DE ＝x ，在Rt △DEM 中，x 2＝（x －1）2＋32，x ＝5，BC ＝517.矩形（二） 矩形的判定预习归纳.1.有一个角是直角的平行四边形叫矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有二个角是直角的四边形是矩形.基础题训练知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1.如图，要使□ABCD 成为矩形需添加的条件是（C ）.A.AB =BCB.AC ⊥BDC.∠ABC =90°D.∠1=∠22.（2017 ·南宁改）如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，DC 边上的点，且AE =CF .D B BDB D（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若∠DEB = 90°，求证：四边形DEBF 是矩形，解：（1）证AD =BC ，∠A =∠C 即可；（2）先证BE ‖ DF ，四边形DEBF 是平行四边形即可.知识点2对角线相等的平行四边形是矩形3.在□ABCD 中，若∠CBD =∠ACB ，则四边形ABCD 的形状是矩形4.已知四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它为矩形.需要添加的条件是（ D ）.A.AB =CDB.∠ABD =∠CBDC.AB =.BCD.AC =BD5.在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，则下列不能判断四边形ABCD 是矩形的是（ D ），A.AB =CD ，AD =BC ，∠A =90°B.OA = OB =OC =ODC.AB ∨CD ，AC =BDD.AB ∨CD ，OA =OC ，OB =OD6.在□ABCD 中，AB =5 .BC =6，若AC =BD ，则□ABCD 的面积为307已知□ABCD 的对角线AC ，ED 交于O 点.△AOB 是等边三角形，AB =1，则BC的长为.8.（2017·呼和浩特改]如图□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AE =CF .（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若BD =EF .连DE .BF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由.解（1）证OE =OF ，OB =OD 即可（2）四边形EBFD 为矩形，先证四边形EBFD 为平行四边形即可知识点3有三个角是直角的四边形是矩形9.如图，MN ∥PQ .EF 与MN ，PQ 分别交于A .C ，过A ，C 两点作两组内错角的平分线交于B ，D ，则四边形ABCD 的形状是矩形10，如图，点O 是线段AB 上的一点，OA =OC ，OD 平分∠AOC 交AC 于点D ，OF 平分∠COB ，CF ⊥OF 于点F .求证四边形CDOF 是矩形[解析]∵OA =OC . ∠AOD =∠COD .∴OD ⊥AC . ∵∠AOD =∠COD .∠COF =∠BOF ，.∴∠DOF = 90°，又∵CF ⊥OF ，∴四边形CDOF 是矩形.中档题训练11如图，在△ABC 中.AB =AC ，点P 在BC 上，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，CD ⊥AB 于D .求证：PE + PF =CD .NFCAB C[解析]过P作PM⊥CD于M，易证△PMC≌△CFP，∴PF=CM，又PE=DM，∴PE+PF=CD12.（2017·北京改）如图，在〉ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD∵BE∥DF，BE=DF∴四边形BFDE 是平行四边形，∵DE⊥AB. ∴∠DEB=90°∴四边形BFDE是矩形；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC==5，∴AD=BC= DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB.13.（2017·宜兴模拟）如图，在△ABC中，D是EC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.（1）求证：BD=CD；（2）若AB =AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.[解析]（1）易证△AEF≌△DEC，∴AF=CD，又∵AF=BD，∴BD=CD；（2）四边形AFBD是矩形，证明：∵AB∨BD. ∴四边形AFDD是平行四边形，又∵AB=AC.BD=CD.∴AD⊥BC∴∠ADB=90°，∴□AFBD是矩形..14.（2017·华师一附中月考改）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点P为AD上一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，AG⊥BD于G.（1）求证：FE+PF=AG；（2）若AB=4，AD=6，求PE+PF的值答案：（1）方法一：作PH⊥AG于H，∵PE⊥BD，AG⊥BD，∴.四边形PEGH为矩形，∴PE=HG.易证∠OAD=∠ODA=∠APH，∵∠AHP=∠PFA=90°，AP=PA，∴△AHP≌△PFA（AAS），∴PF=AH，∴PE+PF=AG方法二：连接PO，也可用S△POD+S△AOP=S△AOD=12DO·AG证明.（2）∵AB=4，AD=6，∴BD=AB·AD=BD·AG，∴AG=13CP∴PE +PF=13难点攻关3矩形中的折叠与勾股定理[方法归纳]结合矩形中垂直与相等线段，设未知数，列方程.1.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =12，BC =5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在BD 上的点A '处，求AE 的长解： DA '=DA =5，A 'B =8.设AE =EA '=x ，则BE =12-x ，∴x 2+82=（12 -x ）2，x =103，∴AE =103. 2.（2018·江汉期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4.将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D '处，求重叠部分△AFC 的面积解：易知AF =CF ，设AF =CF =x ，在△BCF 中，x 2=42+（8-x ）2，x =5， S △AFC =10.E3.如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，求EF 的长.证明：设BE =x ，CE =8-x =AE ，∴42+x 2=（8-x ）2，x =3，∴AE =AF =5，作FM ⊥CE 于M ，则EM =2，∴EF4.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部，将BG 延长交DC 于点F .（1）求证：GF = DF ；（2）若DC =2DF ，求AD AB的值； （3）若DC = nDF ，直接写出AD AB的值：n解：（1）连EF ，∵DE =AE =EG ，∴Rt △DEF ≌Rt △GEF （HL ），∴GF =DF .M E（2）设DF =1，则CD =2，CF =1，GF =DF =1，BG =AB =2，AE =DE =x ，BC =AD =2x ，在Rt △BCF 中，（2+1）2=12+（2x ）2，x，2AD AB ==（3）设DF =1，CD =n ，AE =DE =x ，则（n +1）2=（n -1）2+（2x ）2，x，∴AD AB n= 难点攻关4构造斜边上的中线（选用）[方法归纳]遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线[基本图形]已知△ABD 和△ABC 都是Rt △，∠ADB =∠ACB =90°.[基本结论]图①中，若OA =OB ，则OA =OB =OD ；若OA =OD ，则OB =OD ；若OB =OD ，则OA =OD .图②中，若OA =OB .，则OA =OD =OC =OB图③中，若OA =OB ，则OA =OD =OC =OB图① 图② 图③1.如图，平行四边形ABCD 的周长是16cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3cm ，求AE 的长BB解：AE =4cm .2.如图，△BCD 和△BCE 中，∠BDC =∠BEC =90°，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于点A ，∠BAC =120°，求证：DE =OE .证明：连OD ，证OD =OE =OB =OC ，设∠OBD =∠ODB =x ，∠OEC = ∠OCE =y ，∵∠BAC =120°，∴x +y =60°.∵∠BOE +∠DOC =2y +2x =120°，∴∠DOE =60°，∴△DOE 为等边三角形，∴DE =OE .3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 点M ，N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN ⊥DE ；（2）若∠A =60°，求MN DE 的值证明：（1）连ME ，MD ，证ME =MD =12BC . （2）∠ABC + ∠ACB =120°，∴∠BME +∠CMD =120°，∴∠DME =60°，∴△MED 为等边△，C∴2MN DE4.如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点E ，F 分刷在AB ，AC 上，且AE =EF ，点O ，M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM =12CE ； （2）OBOM证明：（1）连OE ，证OE ⊥AF .（2）连BM ，证OM =BM =12CE ，∠OMB =2∠ACB =90°即可. 5.如图，△CDE 中，∠CDE =135°，CB ⊥DE 于点B ，EA ⊥CD 于点A .求证：CEAB .证明：取CE 的中点O ，连OA ，OB ，.同第1题可得，OA =OB ，∠AOB =90°， ∴CE =2OA =2·2ABB CE E难点攻关3 矩形中的折叠与勾股定理[方法归纳]结合矩形中垂直与相等线段，设未知数，列方程.1.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =12，BC =5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在BD 上的点A '处，求AE 的长解： DA '=DA =5，A 'B =8.设AE =EA '=x ，则BE =12-x ，∴x 2+82=（12 -x ）2，x =103，∴AE =103. 2.（2018·江汉期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4.将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D '处，求重叠部分△AFC 的面积解：易知AF =CF ，设AF =CF =x ，在△BCF 中，x 2=42+（8-x ）2，x =5， S △AFC =10.3.如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，求EF 的长.证明：设BE =x ，CE =8-x =AE ，∴42+x 2=（8-x ）2，x =3，∴AE =AF =5，作FM ⊥CE 于M ，则EM =2，∴EF4.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部，将BG 延长交DC 于点F .（1）求证：GF = DF ；（2）若DC =2DF ，求AD AB的值； （3）若DC = nDF ，直接写出AD AB的值：n解：（1）连EF ，∵DE =AE =EG ，∴Rt △DEF ≌Rt △GEF （HL ），∴GF =DF .M E（2）设DF =1，则CD =2，CF =1，GF =DF =1，BG =AB =2，AE =DE =x ，BC =AD =2x ，在Rt △BCF 中，（2+1）2=12+（2x ）2，x ，2AD AB ==（3）设DF =1，CD =n ，AE =DE =x ，则（n +1）2=（n -1）2+（2x ）2，x ，∴AD AB n=。