理论力学常见问题解答：第11章
理论力学(盛冬发)课后习题问题详解ch11
第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
理论力学第11章习题答案
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
11.8 如图所示，重物 M 系于弹簧上，弹簧的另一端则固定在置于铅垂平面内的 圆环的最高点 A 上。重物不受摩擦地沿圆环滑下，圆环的半径为 20 cm ，重物的 质量为 5 kg ，如重物在初位置时 AM 20 cm ，且弹簧具有原长，重物的初速度 等于零，弹簧的重量略去不计，欲使重物在最低处时对圆环的压力等于零，弹簧 刚性系数应为多大？
11.5 计算图示各系统的动能 (1)如图(a)所示，质量为 m 、长为 l 的均质圆盘在自身平面内作平面运动，已知圆 盘上 A 、 B 两点的速度方向， B 点的速度为 vB ， 45 ； (2)如图(b)所示，质量为 m1 的均质杆 OA 、一端铰接在质量为 m2 的均质圆盘中心， 另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v ； (3)如图(c)所示质量为 m 的均质细圆环半径为 R ，其上固结一个质量也为 m 的质 点 A ，细圆环在水平面上纯滚动，图示瞬时角速度为 。
魏 魏 魏
泳
F ) 2
涛 涛 涛
解： 滚阻力偶： M N (mg 轮转动角度：
x R
将力 F 向 C 简化， F 对 C 主矩： M C Fr
F sin 60 x M C M
3 FR x F x 总功： Fx (mg ) 2 2 R 2 R Fx F x (1 3 ) (mg ) 2 2 R
涛 涛 涛
解：
1 l 2 (2m)l 2 2m ( ) 2 ml 2 12 3 3 滑块 A 的速度： vA l cos sin 滑块 B 的速度： vB l 1 2 1 2 1 2 5 2 2 系统动能： J D mvA mvB ml 2 2 2 6 l 重力功： (sin 0 sin ) 2mg l (sin 0 sin ) mg 2mgl(sin 0 sin ) 2 1 弹性力功： k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] 2 根据动能定理： 5 2 2 1 ml 0 2mgl(sin 0 sin ) k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] ( 1 ) 6 2 当 0 60 、 0 时，
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
【精品】理论力学参考答案第11章 盛冬发
理论力学参考答案第11章盛冬发__________________________________________________第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)__________________________________________________8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
__________________________________________________4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
理论力学：第11章 动量矩定理
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学(盛冬发)课后习题答案ch11资料
127· R O 2 Q (b) (a) R O 1 Q 图11.28 三、选择题 1. 均质杆AB，质量为m，两端用张紧的绳子系住，绕轴O转动，如图11.29所示。则杆AB对O轴的动量矩为 A 。 (A) 265ml (B) 21213ml (C) 234ml (D) 2121ml 2. 均质圆环绕z轴转动，在环中的A点处放一小球，如图11.30所示。在微扰动下，小球离开A点运动。不计摩擦力，则此系统运动过程中 B 。 (A) 不变，系统对z轴的动量矩守恒 (B) 改变，系统对z轴的动量矩守恒 (C) 不变，系统对z轴的动量矩不守恒 (D) 改变，系统对z轴的动量矩不守恒 3. 跨过滑轮的轮绳，一端系一重物，另一端有一与重物重量相等的猴子，从静止开始以速度v向上爬，如图11.31所示。若不计绳子和滑轮的质量及摩擦，则重物的速度 B 。 (A) 等于v，方向向下 (B) 等于v，方向向上 (C) 不等于v (D) 重物不动 A B l O l l r A z 图11.29 图11.30 4. 在图11.32中，摆杆OA重量为G，对O轴转动惯量为J，弹簧的刚性系数为k，杆在铅垂位置时弹簧无变形。则杆微摆动微分方程为 D (设sin)。 (A) GbkaJ2 (B) GbkaJ2 (C) GbkaJ2 (D) GbkaJ2
第11章 动量矩定理 ·129·
129· 示。试求各物体对通过点O并与图面垂直的轴的动量矩。 (a) O A l O R C (c) (b) O R 图11.35 解：（a）杆OA对通过点O并与图面垂直的轴的动量矩为 231mlJLOO （b）圆盘对通过点O并与图面垂直的轴的动量矩为 221mRJLOO （c）圆盘对通过点O并与图面垂直的轴的动量矩为 22223)21(mRmRmRJLOO 11-2 如图11.36所示，鼓轮的质量11800kgm，半径025mr.，对转轴O的转动惯量2853kgmOJ.。现在鼓轮上作用力偶矩0743kNmM.来提升质量22700kgm的物体 A。试求物体A上升的加速度，绳索的拉力以及轴承O的反力。绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。 解：（1）选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点系动量矩定理，有 grmMrmJO2022)( 解得鼓轮转动的角加速度为 )/(21.325.027003.8525.08.927007430222220sradrmJgrmMO 物体A上升的加速度为 )/(8.02smraA （2）要求绳索的拉力，可选物体 A为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有 gmFamT22 解得绳索的拉力为 )(62.288.027008.9270022kNamgmFT （3）要求轴承O的反力，可选鼓轮为研究对象，受力分析如图所示。应用质心运动定
哈工大理论力学教案 第11章
解: 设
xC1 = a
m (a s) + m2 (a + esin s) xC2 = 1 m + m2 1
由
xC1 = xC2
,
m2 esin 得 s= m1 + m2
�
p2 p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
--质点系动量定理微分形式的投影式 --质点系动量定理微分形式的投影式
--质点系动量定理的积分形式 --质点系动量定理的积分形式 即在某一时间间隔内, 即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段
(e) p2y p1y = ∑I y
时间内作用于质点系外力冲量的矢量和. 时间内作用于质点系外力冲量的矢量和.
消去t 消去 得轨迹方程
xc yc 2 2 [ ] +[ ] =1 2(m1 + m2 )l /(2m1 + m2 ) m1l /(2m1 + m2 )
系统动量沿x, 轴的投影为 轴的投影为: 系统动量沿 y轴的投影为:
px = mvCx = mxC = 2(m + m2 )lω sin ω t 1
d(mv) = Fdt
--质点动量定理的微分形式 --质点动量定理的微分形式
即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量. 即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量. 在
t1~ t2 内, 速度由 v1 ~ v2, 有
mv2 mv1 = ∫ Fdt = I
t1
t2
--质点动量定理的积分形式 --质点动量定理的积分形式 即在某一时间间隔内, 即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点 的力在此段时间内的冲量. 的力在此段时间内的冲量.
--质点系动量定理的微分形式 --质点系动量定理的微分形式
理论力学第11章的课后习题答案
求:重物A下降的加速度以及轮C与地面接触点处的静摩擦力。
C B rO R
D A
C
B
r OR
m2 g Fs
FN
解：分别选轮子和重物A为研究对象，受力分析和运动分析 如图所示。轮子作平面运动，应用刚体平面运动微分方程，有
C B
FT
Fs
m2aO
D
rO
R
FT r Fs R m2 2
JO g W1R2
g
小车上升的加速度为
aห้องสมุดไป่ตู้
R
M W1R sinR
JO g W1R2
gR
a
FT
W1
FN
由小车的运动微分方程，有
FT
W1 sin
W1 g
a
解得绳子的拉力为
FT
W1 sin
W1 g
a
11-18 如图11.52所示结构中，重物A、B的质量分别为m1和m2 B物体与水平面间摩擦系数为f，鼓轮O的质量为M，
重物A的运动微分方程为 A
m1g FT' m1aA
C B r OR
m2 g Fs
FN
FT
F T'
a
A
m1g
其中： aO R
aA (R r)
FT' FT
联立求解，可得重物A下降的加速度为
aA
m1(R
m1(R r)2 r)2 m2 (R2
2)
g
轮C与地面接触点处的静摩擦力为
Fs
(2
m1(R r)2
FT'A
A
aA
Mg
A
m1g
重物A： m1g FTA m1a A
《理论力学》第10-11章习题参考解答
1 2
(1 3
G1 g
r 2 ) 2
(G1
G2 )
r 2
求得：
3g(G1 G2 ) r(G1 3G2 )
,
vB
r
3(G1 G2 )gr (G1 3G2 )
②分析AB杆各点的加速度，由基点法得：
aB
aA
aAn
aB A
将矢量方程在铅垂方向投影得：
0
a
n A
aBA
所以：
AB
aBA L
aAn L
《理论力学》第10章习题参考解答
FD
解：已知：
T 10(s), n 2 4 (rad / s) 60
①分析OA的受力，有：
F 3.5 FD 1.5
FD
7 3
F
②取轮子为研究对象，动力学方程为：
(1 2
mr2 )
Fs r
FS
FD f
7Ff 3
求得： 14Ff 3mr
因为角加速度为常数，所以轮子作匀减速运动，则有：
G2 g
aC
FB
L 2
FAy
L 2
(1 12
G2 g
L2 ) AB
解方程得：
FB
G2 (G1 2G2 ) G1 3G2
vB
AB aC
aB
aB A
aCn aB A
C
FB
G2
vA aA aAn FAy FAx
r 2 L
3g(G1 G2 ) (G1 3G2 )L
③分析AB杆各点的加速度，由基点法得： aC aCn aA aAn aCA
将矢量方程在铅垂方向投影得：
aC
a
n A
aC A
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
理论力学 第11章 虚位移原理
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
理论力学常见问题及解答
绪论1.按照定义：“理论力学”是研究物体机械运动一般规律的科学。
定义中为何没有“力”？解答：定义中“机械运动一般规律”指物体“运动和力”的关系，“力”是隐含在定义表述中的，理论力学与力一定有关系。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004关键词：理论力学定义，运动，力2.①什么是参考系？②力与参考系有关吗？解答：①为了表述物体的运动，必须选定一个坐标系，在该坐标系中，能够用坐标唯一确定物体的位置，这样的坐标系称为运动参考系。
②力与参考系无关。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：参考系，力，运动第1单元：静力学基础1.①把人看作刚体，汽车中的人是平衡的吗？②地球同步通讯卫星是平衡的吗？解答：①如果汽车作匀速直线运动，则汽车中的人是平衡的；否则不是。
②同步卫星不是平衡的，因为将地球作为参考系，在该参考系中，虽然卫星不动，但地球这样的参考系不是惯性参考系。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：物体平衡，惯性参考系，人，汽车，同步卫星2.物体平衡与力系平衡完全等价吗？举例说明。
解答：物体平衡，其上作用的力系一定平衡；反过来，力系平衡，力学作用的物体不一定平衡，如绕对称轴匀速旋转的轮子，其上力系平衡，但物体不平衡。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995关键词：物体平衡，力系平衡，等价关系3.如何理解二力杆？解答：刚体受二力作用平衡，且重力不考虑，则该刚体是“二力杆”。
(完整版)理论力学课后习题答案第11章达朗贝尔原理及其应用
（a ）习题11－1图第11章 达朗贝尔原理及其应用11－1 均质圆盘作定轴转动，其中图（a ），图（c ）的转动角速度为常数，而图（b ），图（d ）的角速度不为常量。
试对图示四种情形进行惯性力的简化。
解：设圆盘的质量为m ，半径为r ，则如习题11-1解图：（a ）2I ωmr F =，0I =O M（b ）2n I ωmr F =，αmr F =tI ，αα2I 23mr J M O O == （c ）0I =F ，0I =O M （d ）0I =F ，αα2I 21mr J M O O ==11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg ，由两个销子 A 、B 悬挂。
若突然撤去销子B ，求在撤去的瞬时平板的角加 速度和销子A 的约束力。
解：如图（a ）：设平板的质量为m ，长和宽分别为a 、b 。
αα375.3I =⋅=AC m Fααα5625.0])(121[222I =⋅++==AC m b a m J M A A∑=0)(F AM ；01.0I =-mg M A ；2rad/s 04.47=α ∑=0x F ；0sin I =-Ax F F θ；其中：6.053sin ==θN 26.956.004.47375.3=⨯⨯=Ax F∑=0y F ；0cos I =-+mg F F Ay θ；8.054sin ==θ习题11－2图习题11-1解图（a ）（a ）N 6.1378.004.47375.38.927=⨯⨯-⨯=Ay F11－3在均质直角构件ABC 中，AB 、BC 两部分的质量各为3.0kg ，用连杆AD 、DE 以及绳子AE 保持在图示位置。
若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD 、BE 所受的力。
连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m ，φ = 30º。
解：如图（a ）：设AB 、BC 两部分的质量各为m = 3.0kg 。
直角构件ABC 作平移，其加速度为a = a A ，质心在O 处。
理论力学第十一章动量定理.
[例1] 已知：为常量，均质杆OA=AB = l, 两杆质量皆为 m1，
滑块B质量 m2。 求: 质心运动方程、轨迹及系统动量。
解：设 ，t 质心运动方程为:
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
yA
2(m1 m2 ) l cos t
C B
2m1 m2
0，
则
px
恒量
4．例题分析
[例1] 电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质
量为 m1，转子质量为 m2。定子和机壳质心 O1 ，转子质
心 O2，O1O2 e，角速度 为常量。求基础的水平及
铅直约束力。
解： p m2e
px m2e cos t py m2 e sin t
qV — 流体在单位时间内流过截面的体积流量
dt内流过截面动量变化为：
管壁对流体 的约束力
设 F F F
F —静约束力；F —附加动约束力
F p Fa Fb 0
F qV (vb va )
p p0 pa1b1 pab
( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 ) pbb1 paa1
[思考题 P255 11-3，习题 P256 11-10]
v mBvr kmBol
mA mb mA mb
11-3 质心运动定理
1．质心
rC
m iri m
，m m i
质心位置的确定：
xC
mixi m
，yC
miyi， m
理论力学第11章-动量定理
y
解：(用质点系动量定理求解) w
（1）取电机外壳与转子组成质点系。 （2）受力分析：外力有重力m1 g 、
O1 e p
m1g
m2g
O2
x
m2 g ；基础的反力F x 、 F y 和 M O 。
MO Fx
（3）运动分析：机壳不动，质点系
Fy
的动量就是转子的动量，其大小为 ：
p m2 w e
px m1 ew cosw t
11 动量定理
11.1 动量与冲量 11.1.1 动量
1.质点的动量
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢
量，方向与v 相同。单位是kgm/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
2.质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
撞击后，A 与B 一起向前运动，历时2s 而停止。设A、
B 与平面的摩擦因数 f s= 0.25，求撞击前 A 的速度，以 及撞击时 A、B 相互作用的冲量。
解：（1）运动分析： v0
A与B 均作直线运动，设
A
B
AB
撞击前A的速度为v0，从
x
撞击开始到停止运动的2s内，A 的速度从v0到0；而B开
始是静止的，最后仍处于静止。
py m2 ew sin w t
设 t = 0 时：O1O2 铅垂，有 = wt 。由动量定理
的投影式得：
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx m2 w2 e sin w t
Fy (m1 m2 )g m ew2 cosw t
电机不转时，基础只有向上的反力 (m1 m2 )g ，称为
理论力学试题库-计算题第11章
理论力学试题库题型: A填空题, B选择题, C简答题, D判断题, E计算题, F综合题, G作图题。
编号E04001中, E表示计算题, 04表示内容的章节号即题目内容属于第04章, 001表示章节题号的序号, 即此题是第04章计算题的001号题。
计算题:11:E11001.（15分）如图E11001所示，均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳子一端B固定不动，当BC铅垂时圆柱下降，其初速为零。
求当圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的速度和绳子的张力。
图E11001E11002.（15分）如图E11002所示, 均质直杆长为l, 放在铅垂平面内。
杆的一端A靠在光滑的铅垂墙上, 杆的另一端B放在光滑的水平地面上, 并与地板成角。
此后杆由静止状态倒下。
求（1）杆在任意位置的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙面时此杆与水平面的夹角。
图E11002E11003.质量为m的点在平面Oxy内运动, 其运动方程为, 。
其中a, b和为常量。
求质点对原点O的动量矩。
E11004.无重杆OA以角速度绕轴O转动, 质量m=25kg, 半径R=200mm的均质圆盘以三种方式安装于杆OA的点A, 如图所示。
在图a中, 圆盘与杆OA焊接在一起；在图b中, 圆盘与杆OA在点/铰接, 且相对杆OA以角速度逆时针向转动；在图c中, 圆盘相对杆OA以角速度顺时针向转动。
已知, 计算在此三种情况下, 圆盘对轴O的动量矩。
图E11004E11005.图示水平圆板可绕z轴转动。
在圆板上有一质点M作圆周运动, 已知其速度的大小为常量, 等于, 质点M的质量为m, 圆的半径为r, 圆心到z轴的距离为l, 点M在圆板上的位置由角确定, 如图所示。
如圆板的转动惯量为S, 并且当点M离z轴最远在点时, 圆板的角速度为零。
轴的摩擦和空气阻力略去不计, 求圆板的角速度与角的关系。
图E11005E11006.图示A为离合器, 开始时轮2静止,轮1具有角速度。
理论力学-第11章
惯性力与达朗贝尔原理
惯性力系的简化 达朗贝尔原理的应用示例
惯性力与达朗贝尔原理
返回
质点的惯性力与达朗贝尔原理
在惯性参考系Oxyz中，设一 非自由质点的质量为m，加速度 为a，在主动力、约束力作用下 运动。由牛顿第二定律，有
m a F FN
若将上式左端的ma移至右端，则有
应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还 必须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力 学完全相同。 需要注意的是，惯性力只是为了应用静力学方法求解 动力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映 了真实力与运动之间的关系。
质点系的达朗贝尔原理
根据静力学中力系的平衡条件和平衡方程，空间一般力 系平衡时，力系的主矢和对任意一点O的主矩必须同时等于零。 将真实力分为内力和外力（各自包含主动力和约束力）。 主矢、主矩同时等于零可以表示为
以圆柱体为研究对象，画出包括真实 力和惯性力系的受力图。对C点取矩，有
M
FI
C
0
WRsin FI R M IC 0
M IC J C
W aC , g
由于圆柱体纯滚动，因而有
aC R 2 aC g sin 3
FI
W aC , g
M IC J C
aC R
FR Fi e Fi i FIi 0 e i M O M O ( Fi ) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 0
质点系中各质点间的内力总是成对出现，且等值、反向
Fii 0
上述方程变为
MO ( Fi i )=0
FIR maC
FIR maC
哈尔滨工业大学 第七版 理论力学11
上式代入式（4）得
FN = 4mB g − mB
11-10 如图 11-10a 所示，质量为 m 的滑块 A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接，另 1 端固定。杆 AB 长度为 l，质量忽略不计，A 端与滑 块 A 铰接，B 端装有质量 m1，在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 ω 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。
质量为 m2 的小车 D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 s = 不计绞车的质量，求平台的加速度。
1 2 bt ，其中 b 为已知常数。 2
m2 g
y
S D
A
vr
m1 g FN
B
ω
v
(a) 图 11-8
x
(b)
解
受力和运动分析如图 11-8b 所示
& = bt vr = & s ar = & s& = b a Da = a e + a r = a AB + a r a Da = ar − a AB m2 (a r − a AB ) − m1a AB = F F = f (m1 + m2 ) g
1
(
)
开伞后，他受重力 mg 和阻力 F 作用，如图 11-2 所示。取铅直轴 y 向下为正， 根据动量定理有
mg y
图 11-2
mv 2 − mv1 = I y = (mg − F )t
由题知：当 t=5 s 时，有 v2=4.3 m/s 即
60 × (4.3 − 44.3) = (60 × 9.8 − F ) × 5
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b ⎤ ⎡ m A (l − ) + m B ⎢l − (a − )⎥ 3 3 ⎦ 3(m A + m B )l − a (m A + 3m B ) + m B b ⎣ ′ = xC = m A + mB 3(m A + m B )
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理论力学常见问题及解答第11单元：动量矩定理及普遍定理综合应用1.直线运动的质点，对一点有动量矩吗？解答：如果该点不在直线上，则运动质点对该点有动量矩。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：直线运动，质点，动量矩2.动量矩一定对定点定义吗？解答：不一定，可对任意点定义动量矩。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：动量矩，定点，任意点3.质点系对质心的绝对动量矩与相对动量矩有何关系？解答：相等。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：质点系，绝对动量矩，相对动量矩，关系4.质点系对定点与对质心动量矩的关系如何？这种关系反映了何种原理？解答：质点系对定点的动量矩（“绝对”动量矩），等于质点系随质心平动时的动量矩（动量对定点的矩，“牵连”动量矩）与质点系相对质心（随质心平动的动系）动量矩（“相对”动量矩）之和，用公式表示：CC C O L v M r L '+⨯= 。
这种关系反映了运动合成（分解）在动量矩定理表达中的应用（类似于动能的表达——柯尼希定理）。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：质点系，动量矩，定点，质心，关系，运动合成（分解）5. 如何求定轴转动刚体对平行轴的动量矩？解答：如图刚体绕z 轴转动，定轴'z 与z 轴平行。
如果z 轴过刚体质心，则刚体对定轴'z 与z 轴的动量矩相等；如果z 轴不过刚体质心，需要先利用平行轴定理求出刚体对过质心平行轴C z （动轴）的动量矩，然后利用对定轴（'z ）动量矩与对过质心平行轴（动轴C z ）的关系求解：C z z z L K m L +=)('' ，式中'z L 和C z L 分别为刚体对'z 和C z 轴的动量矩，)('K m z 为刚体动量K 对'z 轴的矩。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：刚体，定轴转动，动量矩，平行轴6. 动量矩定理可求什么量？求几个？用何种方程？解答：可求解（角）加速度、（角）速度、约束力（偶）、主动力等量。
对平面问题，对点的动量矩定理是一个标量方程，因此可求解1个代数未知量。
z ´如果求（角）加速度、约束力（偶）、主动力等量，宜用动量矩定理的微分形式；如果求解（角）速度，一般宜用动量矩定理的积分形式。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：动量矩定理，求解量，微分形式，积分形式7. 平面运动刚体对质心的动量矩定理是何种形式？对瞬心是否总有类似关系？解答：平面运动刚体对质心的动量矩定理：)()(e C C F m I ∑= 。
对瞬心，类似的形式一般不成立，但有两种情况成立：①均质圆轮作纯滚动；②均质直杆沿直角墙面下滑。
如图。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：刚体，平面运动，质心，瞬心，动量矩定理，条件8. 应用动量矩守恒，如何解释花样滑冰运动员在跳起作空中旋转时，起跳时总是手臂伸直，而起跳后又马上收缩手臂？解答：运动员在空中是动量矩守恒的。
当起跳时手臂伸直，人旋转时的转动惯量最大，并具有一定的旋转速度；随后马上收拢手臂，转动惯量变小，由于动量矩守恒，旋转速度增大，从而在空中能转动更多的圈数。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995C CC 'C '范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：动量矩守恒，花样滑冰，手臂伸缩9. 有动量守恒定律、动量矩守恒定律，为何没有动能守恒定律？解答：事实上，可以谈动能守恒。
但是，动能守恒的条件是所有主动力的功率为零，事实上对应质点系整体作匀速直线平动，而这样特殊而简单的情形实际是一种平衡状态，而无需讨论动能守恒。
另外，机械能守恒倒是值得讨论和使用，它实际上是保守系统的动能定理。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：动量矩守恒，花样滑冰，手臂伸缩10. 下述问题应用“定轴转动微分方程”求解，与应用动量矩求解的结果相同。
问求解过程是否正确？均质圆轮重Q ，半径为r ，其上作用一常力偶M ，重物重P 。
求重物的加速度。
求解：研究整体。
画受力图和运动图。
由定轴转动微分方程)()(e O O F m I ∑= (1)其中，gr P Q r g P r g Q I O 222)2(21+=+= (2) a OX OY Qr P M F m e O -=∑)()( (3)式(2)、(3)代入式(1)，解得g r P Q r P M 2)2(+-=ε (4) 从而，重物的加速度g r P Q r P M r a )2(+-==ε (5) 解答：上述求解的结果正确（可用动量矩定理验证），但求解过程有误。
求解时利用了系统对轴O 的“转动惯量”式(2)，而这样的表示存在概念错误，因为只有单个刚体才可定义转动惯量，而这样的系统则不能使用式(2)形式的“转动惯量”。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：刚体，定轴转动微分方程，转动惯量11. 刚体平面运动微分方程本质上是哪些普遍定理？解答：本质是动量定理（质心运动定理）和动量矩定理（对质心的转动微分方程）。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：刚体，平面运动微分方程，动量定理，动量矩定理12. 动力学普遍定理在选择使用时有何规律？解答：①求运动：优先考虑动能定理；②求反力或反力偶，必须用动量定理（质心运动定理）或动量矩定理（定轴转动微分方程）；③先考察是否是守恒问题；④经常需要补充运动学方程或静力学方程。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：动力学普遍定理，选择，规律。