北师大版九年级下册数学：第1章_直角三角形的边角关系全章教案
九年级数学下册 第1章 直角三角形的边角关系教案 北师大版
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案北师大
版
§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第1课时）
教学目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义
难点：理解正切函数的定义
教学过程设计
一、复习已学过的直角三角形性质和定理
（勾股定理和其逆定理，300定理，斜边中线定理等等）
二、新课讲授
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
C 8m
α5m 5m
β
13m
3、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵
2
2
2111B AC C B AC C 和
有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?
4、正切函数
（1） 明确各边的名称
（2） 的邻边
的对边A A A ∠∠=tan
（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。 （4） tanA 的值越大，梯子越陡 5、巩固练习
如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；
2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；
3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； 三、讲解例题
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版) 教案
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第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
（一）教学核心
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
（二）课时安排
1课时
（三）教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。
（四）教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。
2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。
3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
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⑺sin60°+ 1 ； 1 − tan 60°
⑻2-3-( 2 003+π)0-cos60°- 1 . 1− 2
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30°.高为 7 m，扶梯的长度是多少?
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 AB＝CD=30 m，两楼问的距离 AC=24 m，现需了解
6
甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为 30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到 0.1
D
C E
AB
F
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）
学习目标： 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义. 2.能够运用 sinA、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义.
学习重点： 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用 sinA、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.
例 2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求 tanA 和 tanB 的值.
四、随堂练习：
1
1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC 吗?
2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B，已知点 B 到山脚的垂直距离为 55m，求山的坡度.(结 果精确到 0.001)
北师大版九下数学第一章教案
第一章直角三角形的边角关系
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法:
引导—探索法.
学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵
2
22111B AC C
B A
C C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?
2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置
最新北师大版九年级下册数学全册教案及教学设计
北师大版九年级下册数学全册教案及教学设计
北师大版九年级下册数学全册教案及教学设计第一章直角三角形的边角关系
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法:
引导―探索法. 更多免费教案下载绿色圃中小学教育分
学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
⑵
⑵有什么关系？
⑶如果改变B2在梯子上的位置如B3C3 呢?
⑷由此你得出什么结论?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC中，∠C 90°，BC 12cm，AB 20cm，求tanA和tanB的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度. 结果精确到0.001
北师大版 九年级数学下册 教案(全册优质教案精选)
北师大版九年级数学下册教案
第一章直角三角形的边角关系
1．1锐角三角函数
第1课时正切
教学目标
1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义．
2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算．
教学重点
理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度、坡度．
教学难点
从现实情境中理解正切的意义．
教学过程
一、创设情景明确目标
我们都有过走上坡路的经验，坡面有陡有平，在数学上该如何衡量坡面的倾斜程度呢？如图所示，哪个坡面更陡一些？
想一想：如图所示的两个坡面，哪个更陡一些？你是怎么做的？
二、自主学习指向目标
阅读预习教材第2页至第4页的内容；完成《名师学案》“课前预习”部分．
三、合作探究达成目标
探究点一正切的定义
活动：
1．想一想：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值会确定的吗？
2．如图所示：在锐角A的一边上任意取点B，B1，B2，过这些点分别作CB⊥AC，C1B1
⊥AC ，C 2B 2⊥AC ，垂足分别是C ，C 1，C 2.
展示点评：证明：△ABC ∽△AB 1C 1，从而得出BC ∶B 1C 1＝AC ∶AC 1，进一步转化成BC ∶AC ＝B 1C 1∶AC 1，同理可以证明：BC ∶AC ＝B 2C 2∶AC 2.
反思小结：
(1)通过以上论证，引导学生总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值．
(2)直角三角形中边与角的关系：在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比便随之确定．在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边
北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案
一、本章教学的指导意见：
本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。
对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
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第一章直角三角形的边角关系
1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.
2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.
3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.
4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的
锐角.
5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.
6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.
7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.
1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.
2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.
3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.
1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之
间关系的兴趣.
2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习
习惯.
本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之
间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.
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第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法:
引导—探索法. 学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵2
221
11B AC C B AC C 和有什么关系？
⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
⑷由此你得出什么结论?
三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗
?
2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到
0.001)
3、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
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A
C
B
a c
b
第一章 直角三角形的边角关系
一、教学目标：
1、以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2、通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3、已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。 二、基本技能
1、定义：在Rt △ABC 中，如果锐角∠A 确定，那么锐角∠A 的对边与邻边的比、对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。这个比叫做∠A 的正切、∠A 的正弦、∠A 的余弦。 记作：的邻边的对边A A A ∠∠=
tan ；sinA 斜边的对边A ∠= ； co sA 斜边
的邻边
A ∠=。
其中：锐角∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。 注意：
（1）比值大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
（2）梯子的倾斜程度：梯子AB 越陡，tanA 、sinA 的值越大 , cosA 的值越小 2、解直角三角形的基本理论依据：
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 。 （1）三边的关系：a 2
+b 2
=c 2
(勾股定理)； （2）两锐角的关系：∠A+∠B=90°（互余） （3）边与角之间的关系
sinA=
c a ， cosA=c b ， ta nA=b a ； sinB ＝c b ， cosB ＝c a ， tanB=a
b
。 例1、在Rt △ABC 中，∠C= 90° ，a 、b 、c 分别为△ ABC 的对边， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系教案新版北师大版
A
C
B
a c
b
第一章 直角三角形的边角关系
一、教学目标：
1、以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2、通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3、已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。 二、基本技能
1、定义：在Rt △ABC 中，如果锐角∠A 确定，那么锐角∠A 的对边与邻边的比、对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。这个比叫做∠A 的正切、∠A 的正弦、∠A 的余弦。 记作：的邻边的对边A A A ∠∠=
tan ；sinA 斜边的对边A ∠= ； co sA 斜边
的邻边
A ∠=。
其中：锐角∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。 注意：
（1）比值大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
（2）梯子的倾斜程度：梯子AB 越陡，tanA 、sinA 的值越大 , cosA 的值越小 2、解直角三角形的基本理论依据：
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 。 （1）三边的关系：a 2
+b 2
=c 2
(勾股定理)； （2）两锐角的关系：∠A+∠B=90°（互余） （3）边与角之间的关系
sinA=
c a ， cosA=c b ， ta nA=b a ； sinB ＝c b ， cosB ＝c a ， tanB=a
b
。 例1、在Rt △ABC 中，∠C= 90° ，a 、b 、c 分别为△ ABC 的对边， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素。
新版北师大版数学九年级下册教案(全)
第一章 直角三角形的边角关系
第1课时
§1.1.1 锐角三角函数
教学目标
1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计
➢ 从学生原有的认知结构提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 ➢ 师生共同研究形成概念
1、 梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；
通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、 想一想（比值不变）
☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
北师大版九年级数学下全册详细教案(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数 第1课时 正切
1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.
阅读教材P2～4，完成预习内容. (一)知识探究
1.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝∠A 的对边
∠A 的邻边
.
2.tanA 的值越大，梯子越陡.
3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比). (二)自学反馈
1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么tanA 等于(C) A.
513 B.1213 C.512 D.125
2.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m ，在竖直方向上就升高60 m ，那么山坡的坡度i ＝tan α＝35
.
活动1 小组讨论
例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
解：甲梯中，tan α＝
5
132－52
＝512
.乙梯中，tan β＝68＝34. 因为tan β>tan α，所以乙梯更陡.
求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.
活动2 跟踪训练
1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 为格点，则tan ∠AOB ＝(A) A.12 B.23 C.105 D.53
3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝24，c ＝25，则tanA ＝247、tanB ＝7
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案
一、本章教学的指导意见：
本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
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第一章直角三角形的边角关系
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法:
引导—探索法.
学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系?
⑵
2
221
11B AC C B AC C 和
有什么关系？
⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论
?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出
tanC 吗?
2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的
坡度.(结果精确到0.001)
北师大版九年级下册数学全册教案设计
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北师大版数学九年级下册全册教案设计清风染绿叶第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数第1课时正切与坡度 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系． 2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等． 3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．一、情境导入师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？课件出示下图，提出问题：
(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？
(2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？
甲组
乙组二、探究新知引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：1．比较梯子的倾斜程度 (1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？ (2)分别求出每组图中的与，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2.
如下图，小明想通过测量B1C1及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？ (2)和有什么关系？ (3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？ 4．梯子的倾斜程度与tan A的值有什么关系？ 5．坡度是如何定义的？三、举例分析^p 例如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？甲
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第一章 直角三角形的边角关系
第1节 从梯子的倾斜程度谈起
本节内容：
正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）
在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。 即tanA=b
a
A =∠∠的邻边的对边A
已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i 表示。 斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l
h a =
tan 注意：
（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a l
h
i tan ==
，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。 拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。求加高后的坝底HD 的宽为多少？
在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。
■例4
方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：
1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=
5
3
，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=
3
1
，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=
12
5
，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？
第2节 30°，45°，60°角的三角函数值
本节内容：
30°，45°，60°角的三角函数值（重点）
根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
■例1
求下列各式的值。 （1）
︒
︒
-︒60tan 30sin 60sin ；
（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
本节作业：
1、 求下列各式的值。
（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2
。
2、 已知a 为锐角，且tana=5，求
a
a a
a sin cos 2cos 3sin +-的值。
3、 △ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价
为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？
4、（2008·成都中考）2︒45cos 的值等于________。
5、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒。
第3节 三角函数的有关计算
本节内容：
利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 锐角三角函数计算的实际应用（难点） 1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 计算三角函数的具体步骤大体分两种情形： （1）先按三角函数键，再按数字键； （2）或先按数字键，再按三角函数键。
利用计算器还可以求角度的大小。 利用计算器求下列锐角的三角函数值。 （1）︒35sin ； （2）︒85tan ；
（3）''25'3872sin ︒； （4）'1547cos ︒。
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。
■例2
小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E ，过点E 的该矩形的高为BC ，把小刚眼睛看做点A 。现测得BC=1.41米，视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°，求AC 与AE 的长（精确到0.1米）。
典型例题：
例1用计算器求下列三角函数值。（精确到0.001） （1）︒35sin （2）︒42cos （3）︒75tan
例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。（精确到1’） （1）5276.0sin =α （2）5276.0cos =α （3）5276.0tan =α
例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（精确到0.1m ）
（2） 为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 前进到F 点处，问BF 至少是多少？（精确
到0.1m ）
（参考数据：,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒
1918.150tan ≈︒）
例4如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF 。（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒结果精确到0.1m ）