logistic回归2(刘新教材)

似然比检验（likehood 似然比检验（likehood ratio test） test）
一、概述
多重线性回归适用于： 多重线性回归适用于： 应变量Y——数值变量（如血糖、血压等） 数值变量（ 应变量 数值变量 如血糖、血压等） 自变量X——数值变量（如年龄） 数值变量（ 自变量 数值变量 如年龄） 分类变量（如性别） 分类变量（如性别） 等级变量（如疾病分期） 等级变量（如疾病分期）
应用举例4
每周步行10公里，远离老年痴呆症 美国研究人员2010年10月发表在《神经病学》 杂志的一项研究追踪观察了299名志愿者， 这些志愿者在研究之初没有痴呆症，记录下 自己每周步行多少路。 13年后的检测表明，每周步行大约6-9英里 （约9.6-14.4公里）的志愿者在记忆力方面 出现问题的风险降低了一半。
卫生统计学
logistic回归 回归
logistic Regression
余红梅
Department of Health Statistics School of Public Health, Shanxi Medical University
应用举例1
英国《每日邮报》网站2011.2.15文章题目： 听力衰退可能是患痴呆的早期预警信号 美国一项研究对年龄在30-90岁的600多名男 女进行了平均12年的追踪调查。结果显示， 同听力正常的人相比，轻微听力衰退的人患 痴呆的几率增大了1倍；对中等听力衰退的 人来说，这种风险会扩大2倍；而严重听力 衰退的人患痴呆的几率要增加4倍。
重要提示
解释回归系数时： 解释回归系数时： 其它变量固定条件下（平衡或调整其它变量） 其它变量固定条件下（平衡或调整其它变量） 自变量X每增加一个单位 自变量 每增加一个单位 二分类变量： ＝ 与 ＝ 相比 二分类变量：X＝1与X＝0相比 等级变量： 等级变量：每增加一个等级 数值变量：每增加一个数量单位， 数值变量：每增加一个数量单位，容易产生 歧义，一般需转化为二分类变量或等级变量。 歧义，一般需转化为二分类变量或等级变量。 P（Y＝1） （ ＝ ）
———————————— X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
取何值， 的取值均在 的取值均在[0,1]之内 ！无论X取何值，P的取值均在 无论 取何值 之内
logistic回归模型
P ln = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + L + bm X m 1− P
优势比OR估计 优势比OR估计
OR=eb＝exp（b） （ ） b：样本回归系数 ：
OR的置信区间估计 OR的置信区间估计
exp（b±za/2Sb） （ ± Sb：b的标准误 的标准误
参数（回归系数） 参数（回归系数）的假设检验
似然比检验（likelihood ratio test） 似然比检验（ ） Wald 检验（Wald chi-square test） 检验（ ） 比分检验（score test） 比分检验（ ）
( (
) )
＝ln[ ] − ln[ ] 1 − π 肺癌 吸烟 1 − π 肺癌 不吸烟 π ln = β 0 + βX 1− π
ln OR = (β 0 + β ×1) − (β 0 + β × 0) = β
π 肺癌 吸烟
π 肺癌 不吸烟
OR与回归系数的关系
ln OR = β β OR = e = exp(β )
喝碳酸饮料增加患糖尿病风险 新加坡国立大学和美国研究人员进行的一项 研究发现，多喝含糖饮料，即便没有导致体 重增加太多，患糖尿病的几率也会增加。 该研究的基本数据来源于1993—1998年进行 的新加坡华人健康调查。随后，研究员对他 们进行了几年的追踪调查，研究者发现，5 年内体重增加3公斤以上的人群中，每周至 少喝两次含糖碳酸饮料的人患糖尿病的几率 比不喝的人高70%；而那些体重变化不大甚 至减少的人，爱喝甜饮料的人患糖尿病的几 率也比不喝的人高20%。
β＞0→OR（RR）＞ ：危险因素 ＞ ）＞1： （ ）＞ β＜0→OR（RR）＜ ：保护因素 ）＜1： ＜ （ ）＜ β＝0→OR（RR）＝ ：无关因素 ）＝1： ＝ （ ）＝
例1
某病患者经治疗后一定时间内的康复情况影响 因素分析 应变量Y：未康复＝ ；康复＝ 应变量 ：未康复＝1；康复＝0 自变量X1： 自变量 ：≥50岁＝1；＜ 50岁＝0 岁 ；＜ 岁 自变量X2：传统疗法＝ ；新疗法＝ 自变量 ：传统疗法＝1；新疗法＝0 b 0.107 1.957 OR 1.11 7.07
π = P(Y = 1 X 1 , X 2 ,L, X m )
0≤π≤1
logistic回归模型
按多重线性回归建模： 按多重线性回归建模： π = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L + β m X m
成立 吗？
后果： 回代 回代， 的取值会超出 范围。 的取值会超出0-1范围 后果：X回代， π的取值会超出 范围。
应用举例2
刷牙频率低于每天2次可增患心脏病风险 英国伦敦大学学院传染病与公共健康系研究 人员8年前开始随访调查11869名苏格兰居民， 要求这些平均年龄50岁的调查对象定期上报 每天刷牙次数和牙科就诊频率。研究人员发 现，调查对象从不或很少刷牙者与每天刷牙 两次者相比，患心脏病的几率高70％。
应用举例3
µY X ,X ,L,X = β0 + β1X1 +L+ βmXm
1 2 m
ˆ Y = b0 +b X1 +b2 X2 +L+bmXm 1
1. logistic回归模型
应变量Y为二分类变量 应变量 为二分类变量 （binary response variable）： ） 如发病/未发病 治愈/未治愈 缓解/未缓解 未发病； 未治愈； 未缓解； 如发病 未发病；治愈 未治愈；缓解 未缓解； 复发/未复发 生存/死亡等 未复发； 死亡等。 复发 未复发；生存 死亡等。 Y的取值为： 的取值为： 的取值为 Y=1 出现阳性结果（发病、无效、死亡等） 出现阳性结果（发病、无效、死亡等） Y=0 出现阴性结果（未发病、有效、生存等） 出现阴性结果（未发病、有效、生存等） m个自变量作用下阳性结果发生的概率记作 个自变量作用下阳性结果发生的概率记作
X1 X2
例2
冠心病发病的影响因素分析 应变量Y：发生冠心病＝ ；未发生＝ 应变量 ：发生冠心病＝1；未发生＝0 自变量X1：年龄（ 自变量 ：年龄（岁） 自变量X2：性别：女性＝ ；男性＝ 自变量 ：性别：女性＝1；男性＝0 自变量X3：冠心病家族史 自变量 ： 有家族史＝ ；无家族史＝ 有家族史＝1；无家族史＝0 b OR X1 0.02 1.02 X2 –1 0.37 X3 0.9 2.46
π log it (π ) = ln 1− π
取值范围
π: 0～ 0 ～1 π/(1-π)： π/(1-π)： 0 ～+ ∞ logit(π) ： -∞～+∞ ～ 因此建立以下模型
π ln = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L + β m X m 1− π
肺癌 不吸烟
)
优势比OR（odds ratio）
当疾病的发病率很低时，优势比OR可作为 相对危险度RR的估计值。
OR =
π 肺癌 吸烟 1 − π 肺癌 吸烟 π 肺癌 不吸烟
≈
( (1 − π
)
肺癌 不吸烟
)
π 肺癌 吸烟 π 肺癌 不吸烟
= RR
OR与回归系数β的关系
π 肺癌 吸烟 1 − π 肺癌 吸烟 ln OR = ln π 肺癌 不吸烟 1 − π 肺癌 不吸烟
exp(b0 + b1 X1 + b2 X 2 + L + bm X m ) P= 1 + exp(b0 + b1 X1 + b2 X 2 + L+ bm X m )
1 P= 1+ exp[− (b0 + b1 X1 + b2 X 2 +L+ bm X m )]
2. 参数（回归系数）的解释
P ln = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + L + bm X m 1− P
1 π= 1+ exp[− (β0 + β1 X1 + β2 X 2 +L+ βm X m )]
S型曲线变化趋势
令
Z = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L + β m X m
Z与P的关系 Z与P的关系
1 P
单变量X与P的关系 单变量X与P的关系
1 P
0.5
0.5
———————————— Z -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
优势比OR（odds ratio）
病例对照研究可获得 可以证明，病例组与对照组暴露事件的优势 比等于暴露组与非暴露组发病事件的优势比。
OR =
=
π 吸烟 肺癌 1 − π 吸烟 肺癌 π 吸烟 对照
π 肺癌 吸烟
吸烟 对照
肺癌 吸烟
π 肺癌 不吸烟
( (1 − π (1 − π (1 − π
) ) )
π 0.001 0.0001 0.999 0.9999
logit(π)
-6.907 -9.210 6.907 9.210
logistic回归模型
π ln 1− π = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L + β m X m
exp(β0 + β1 X1 + β2 X 2 + L+ βm X m ) π= 1 + exp(β0 + β1 X1 + β2 X 2 + L+ βm X m )
b称为偏回归系数 称为偏回归系数 单纯从模型表达式上讲， 单纯从模型表达式上讲，与多重线性回归中偏回归 系数的解释相同， 表示其它自变量固定条件下， 系数的解释相同，即bi表示其它自变量固定条件下， 表示其它自变量固定条件下 xi改变一个单位时，logit（P）的平均变化量。 改变一个单位时， 改变一个单位时 （ ）的平均变化量。
π ≠ β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L + β m X m
【0，1】 (-∞,+∞)
不成立பைடு நூலகம் 不成立！
须对π作变换， 须对 作变换，将π 的取值范围由 作变换 【0，1】变为（-∞，+∞）。 ， 】变为（ ， ）。
logistic回归模型
logit变换： logit变换：也称对数单位变换 变换
参数（回归系数）的解释
RR = π 肺癌 吸烟 / π 肺癌 不吸烟
RR＞1：该因素增加发病的概率 ＞ ：该因素增加发病的概率—— 危险因素 RR＜1：该因素降低发病的概率 ＜ ：该因素降低发病的概率—— 保护因素 RR＝1：该因素不增加 降低发病的概率 降低发病的概率—— ＝ ：该因素不增加/降低发病的概率 无关因素
任意两个个体相比OR的计算
OR = exp[( X 1i − X 1 j )b1 + ( X 2i − X 2 j )b2 + ... + ( X mi − X mj )bm ]
3. 分类
非条件logistic回归： 回归： 非条件 回归 适用于队列研究； 适用于队列研究； 横断面研究； 横断面研究； 成组病例－对照研究。 成组病例－对照研究。 条件logistic回归： 回归： 条件 回归 适用于配比病例－对照研究。 适用于配比病例－对照研究。
参数（回归系数）的解释
流行病学反映暴露与疾病联系强度的指标 相对危险度（ 相对危险度（relative risk，RR）: RR=π1/π2 ， ） 表示暴露在某危险因素下的发病率与不暴露在 某危险因素下的发病率之比。 某危险因素下的发病率之比。 队列研究可直接获得RR的估计值 队列研究可直接获得 的估计值 例如研究吸烟与肺癌的关系： 例如研究吸烟与肺癌的关系： 应变量Y：发生肺癌＝ 应变量 ：发生肺癌＝1 未发生肺癌＝ 未发生肺癌＝0 自变量X：吸烟＝ 自变量 ：吸烟＝1 不吸烟＝ 不吸烟＝0
二、非条件logistic回归 二、非条件logistic回归
参数（回归系数）估计
最大似然估计（maximum likelihood estimation，MLE）
在一次抽样中获得现有样本的概率应该最大， 也即使似然函数 L 达到最大。
借助统计软件（SAS、SPSS等）实现
非条件logistic回归 非条件logistic回归