2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第十章第2讲排列与组合含解析
2020版数学新攻略大一轮浙江高考专用：10.2 排列组合
(1)如果女生全排在一起,有多少种不同的排法?
(2)如果女生都不相邻,有多少种不同的排法?
(3)如果女生不站两端,有多少种不同的排法?
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解析 (1)(捆绑法)由于女生排在一起,因此可把她们看成一个整体,这
样同5名男生合在一起有6个元素,排成一排有 A66种排法,而每一种排法 中,3名女生间又有 A33种排法,因此共有 A66·A 33 =4 320(种)不同的排法. (2)(插空法)先排5名男生,有 A55种排法,这5名男生之间和两端有6个位置, 从中选取3个位置排女生,有 A36种排法,因此共有 A55·A 36 =14 400(种)不同 的排法. (3)女生不站两端,从中间6个位置选3个安排女生,有 A36种排法,其余人的 位置无限制,有 A55种排法,因此共有 A36·A 55 =14 400(种)不同的排法.
A.6 B.8 C.12 D.16
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2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女同学都有
的选法种数为 ( C ) A.18 B.24 C.30 D.36
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3.(2017课标全国Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1
项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( D ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
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4.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物
理、化学学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法 共有 840 种(用数字作答).
5.已知
1 C5m
1
- C6m
7
=10C7m
,则m=
浙江高考数学一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合讲义含解析
§10.2排列与组合最新考纲考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问1.了解排列、组合的概念.2.会用排列数公式、组合数公式解决题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题 简单的实际问题.的能力，题型以选择、填空题为主，难度为中档.1.排列与组合的概念名称 排列 定义按照一定的顺序排成一列合成一组从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素组合2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个 不同元素中取出m 个元素的排列数，用A n(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C n m表示.m表示.3.排列数、组合数的公式及性质n ！(1)A n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝mn －m ！公式A A m ＝n n －1n －2…n －m ＋1＝ n ！ (2)C n m ＝ nmm m ！ m ！n －m ！(3)0！＝1；A n n ＝n ！性质(4)C n ＝C n m n －m；C mn ＋1＝C nm ＋C n m －1概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为C n m A m＝A n m . m(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)若组合式C n x ＝C n，则x＝m成立.(×)m(6)kC k ＝nC k－1 .(√)n－1n题组二教材改编2.[P27A组T7]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝24.33.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120答案C解析末位数字排法有A2 1 种，其他位置排法有A4种，3共有A 1 A 3 ＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.42题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A.192种C.240种答案BB.216种D.288种解析第一类：甲在最左端，有A 5 ＝5×4×3×2×1＝120(种)排法； 5 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有4A ＝4×4×3×2×1＝96(种)排法. 44所以共有120＋96＝216(种)排法.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每 个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( A.180B.240C.540D.630 )答案C解析依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 4 C 1 C 1 1 ·A 3＝ 36 2A 2 2 90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 6 3 C 2 C 1 1 A 3 ＝360(种)；③3 3 每个国家各派2名，有C 2 C A 2 C 22 ·A 3＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540. 36 43 3 6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ， E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己 车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答) 答案45解析设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ， CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法 有9×5＝45(种).题型一排列问题1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复 数字的五位数，共有( A.96个 )B.78个 D.64个C.72个 答案B解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 4＝24(个)；当首位是2，4， 5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 4－A 3)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.4 4 3 2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 ________条毕业留言.(用数字作答)答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 2＝40×39＝1560(条)留言.403.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不 同站法. 答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4 人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A 5种站法；2第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A 4种站法. 4由分步乘法计数原理可知，共有A 2 A 4 ＝480(种)不同的站法. 5 4方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人 的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A 4种站法；1第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A 5种站法. 5由分步乘法计数原理可知，共有A 1 A 5 ＝480(种)不同的站法. 4 5思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法. 题型二组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下 列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员. 解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C 6 3 种选法； 第二步，选2名女运动员，有C 4 2 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有C 3 ·C 4 2 ＝120(种)选法. 6(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法共有C 4 1 C 4 ＋C 4 2 C 3 ＋C 4 3 C 2 ＋C 4 4 C 1＝246(种). 6 6 6 6方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解. 从10人中任选5人有C5 5 种选法，其中全是男运动员的选法有C6 10种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C 510－C 6 5 ＝246(种). (3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C 4 ； ； 8 “只有女队长”的选法种数为C 4 8“男、女队长都入选”的选法种数为C 8所以共有2C 8＋C 8方法二(间接法)从10人中任选5人有C3 ，4 3 ＝196(种)选法.5种选法，10其中不选队长的方法有C 8 (4)当有女队长时，其他人任意选，共有C 9 选法，其中不含女运动员的选法有C 5种，所以不选女队长时的选法共有(C 8 5 种.所以“至少有1名队长”的选法有C 5 －C 8 5 ＝196(种). 104 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C 8种 44 4 －C5 4 )种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C ＋C 8－C 5＝191(种). 4 4 4 9思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元 素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至 多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中 选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C ＝561种取法， 2 34∴某一种假货必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C 3 35 －C 2 34 ＝C 334＝5984种取法. ＝2100种取法. ∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种. (3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.1 C20215(4)选取2种假货有C 2555(种).1 C 202 种，选取3种假货有C 153 种，共有选取方式C 15 1 C 20 2 ＋C 15 3＝2100＋455＝15∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种. (5)方法一(间接法)选取3种商品的总数为C 3 ，选取3种假货有C353种，因此共有选取方式15C 3 －C 353 ＝6545－455＝6090(种). 15∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种. 方法二(直接法)选取0种假货有C 3 种，选取1种假货有C 201 C 152 种，选取2种假货有C 202 C 1 种， 2015因此共有选取方式C 3＋C 202 C 1511 ＋CC 15 2＝6090(种).2020 ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种. 题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例23名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A.2B.9C.72D.36 答案C解析可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 2种排法；第二步，3名女生排在一起有A 3 排法，3名男生排在一起有A 3种排法，故排法种数为A 2命题点2相间问题例3某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 2 3种32 A3 A 3＝72. 3 3同类节目不相邻的排法种数是( A.72B.120C.144D.168 答案B)解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序 有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22 C 1 A 2＝36(种)安排方法；3 3同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 2 A 3＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方 2 4法.命题点3特殊元素(位置)问题例4(2018·浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A ，B ，C ，D 四项工作，每项工 作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作， 则不同的分配方案的种数为( A.96B.120C.132D.240 答案C)解析当甲选A 时，共有C 42 C 1 A 2 ＝36(种)分配方案；当甲不选A 时，若B 安排两人，共有C 4 1 C 2 A 22 3 23＝24(种)分配方案，若C 或D 安排两人，共有C 4 1 C 1 C 2 A 2＝72(种)分配方案.所以一共有36＋24 3 3 2＋72＝132(种)分配方案.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则 ①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满 足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).跟踪训练2(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相 邻，则不同的摆法有________种. 答案36解析将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A 2A 4种方法，将产2 4品A ，B ，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A 2 2 3A 3种方法.于是符合题意的摆法共有A 2 2 A 4 －A 2 2 A 3 ＝36(种). 4 3(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答) 答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C 2然后排队长、副队长位置，有A 4种方法.由分步乘法计数原理知，共有C 2 有2名女生时，再选2名男生，有C 6 1种方法；再选3名男生，有C 6 3 种方法；2 1 C3 A2 ＝480(种)选法. 6 42 种方法；然后排队长、副队长位置，有A 4种方法.由分 2步乘法计数原理知，共有C 6 2 A 2 ＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180 4＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A 而没有女生的选法有A 6C 4 故至少有1名女生的选法有A 2 C 6 2 种不同的选法， 82 2种，2 C 2 －A 6 2 C 2＝840－180＝660(种). 8 6 41.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China 又可以简写为CN ，从“CNDream” 中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A.360种B.480种C.600种D.720种 答案C解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C 54 A5 ＝600种，故选C.52.(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将 4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同 的分配方案种数为( A.12B.36C.72D.108 答案B)解析由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从4名志愿 者中选出2名志愿者作为一组，其余2名志愿者各自为一组，共有C 4述三组与3个路口对应，共有A 3种分配方案.故不同的分配方案种数为C 4 2种选法；第二步，将上32 A3 ＝36.故选B. 33.(2018·浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只 去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( )A.18种B.12种C.36种D.24种 答案D解析①甲单独一人时，则甲只能去B ，C 两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有C 2 1 C 2 A 2＝12(种)；②甲与另外一人为一组，去B ，C 两个景点中的一 3 2 个，其余两人分别各去一个景点，则有C 3 1 C 1 A 2 ＝12(种).由分类加法计数原理可得总的方案为 2 224种，故选D.4.(2018·杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3 张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则 盒中红色卡片的张数为( A.1B.2C.3D.4 )答案B2 2解析设盒中白色卡片有x 张，则C －C ＝35，10 10－x ∴x 2－19x ＋70＝0，∴x＝5或x ＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B. 5.(2019·台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间， 与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )A.144B.216C.288D.432 答案D解析第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有C 3 1 C 1 A 2 ＝18(种) 3 2 排法；第二步剩余的学生全排列，共有A 4 4 ＝24(种)排法，根据分步乘法计数原理得排法共有18×24＝432(种)，故选D.6.(2018·浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3 所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是(A.252B.253C.222D.223)答案C解析采用隔板法，在24名学生排列所形成的23个间隔中，任插入2个隔板，分成三组，共有C 2 ＝253种，其中三组人数都相同的情况是(8，8，8)，1种；有两组人数相同的人数组23合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，11，2)，则有两组人数相同的情况共有10×3＝30种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253－1－30＝222 种.故选C.7.(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案1260解析不含有0的四位数有C 含有0的四位数有C5×C3×C3 2 ×C3 2 ×A4 4 ＝720(个). 52 1 1 ×A3 3 ＝540(个).综上，四位数的个数为720＋540＝1260.8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A4种分法；3第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C 2 A 2 种分法.3 4总获奖情况共有A4 3 ＋C3 2 A 2 ＝60(种).49.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C6 1 A 2 ＝12(种)，把这三个2人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C5 1 A 2 ＝10(种)，故不同的发言2顺序共有12×10＝120(种).10.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.答案240解析由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4四个数中选取一个有四种选法，接 着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A 5＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，3有60×4＝240(个). 11.(2018·温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科 目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物 最多上一节，则不同的功课安排有______种情况. 答案336解析当语文和数学都安排在上午时，不同的功课安排有A 2 2 A 4 3 种情况；当语文和数学有一科 安排在上午，一科安排在下午时，不同的功课安排有C 4 2 C 1 A 3 C 1 A 2 2 种情况，所以不同的功课安排 2 3 2 一共有A 2 2 A 3 ＋C 4 2 C 1 A 3 C 1 A 2 ＝336(种)情况. 4 2 3 2 212.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同 一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答) 答案114解析5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C 5 3 ·A 3 3 ＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 3 1 ·A 3 3 ＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当 为(2，2，1)时，有C 2 2·A 3 ＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 3 53 2 3·A 3＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).13.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人， 后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A.120B.240C.360D.480 答案C解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C 4插入的2人不相邻，有A 5种方法；若相邻，有C 5A 2种，故共有C 4选C.1 C 3 1种方法，对于后排，若2 1 21 C 1 (A 52 1 ＋C 5 A 2)＝360(种)，故 3214.设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这 样的三位数n 有多少个？解a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c∈{1，2，3，…，9}.①若 构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 9＝19；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同 数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b)共有2C 9 2 组，但当大数为底时，设a>b ，必须满足b<a<2b ，此时，不能构成三角形的数字是 a b9 8 7 6 5 4 3 12 14，3，2，14，3，2，13，2，13，2，11，21，2共20种情况.同时，每个数组(a ，b)中的两个数字填上三个数位，有C 3 2 种情况，故n 2＝C 2 (2C 9 2 －20)＝156. 3综上，n ＝n 1＋n 2＝165.15.设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5，6，7}， 那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋…＋|x 7|≤4”的元素个数为( )A.938B.900C.1200D.1300 答案A解析A 中元素为有序数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，所以共有C 7×2＋C 7 ＋C 7 ＋C 7×244 1 2 ×2 2 3 ×23＝938(个).16.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有7个球，其中红色球2个(同色不加区 分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2 个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有______种不同的排法(用数字回答). 答案408解析不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有A 44种排法，再将2个红色球(排一起)和黄色球插入5个空隙中，有A 5种排法，即此时排法共有A 424 A 25＝480(种)，而最左边排白色球的排法共有A 3 3A 24＝72(种)，故符合条件的排法共有480－72＝ 408(种).11。
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.2排列与组合课件
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知识梳理 双击自测
1.排列与组合的概念 名称 定 义 排列 从 n 个不同元素中取出 组合 m(m≤n)个元素
按照一定的顺序 排成一列 合成一组
2.排列数与组合数 (1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 _____A_������_������ ____表示. (2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同组合 的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数, 用 C������������ 表示.
m>���2��� 时, x=y 或
x+y=n;三是用于恒等变形简化运算.
考点一
考点二
考点三
排列问题(考点难度★★)
【例1】 (1)用数字1,2,3,4,5构成数字不重复的五位数,要求数字
1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是
(用数
字作答).
关闭
先把 2,5 捆挷,有 2 种方法,再把它与 4 排列,有 2 种排法,此时共有 3
个空供数字 1,3 插入,有A23=6 种方法.故这样的五位数的个数是
2×2×6=24.
关闭
24
解析
答-案11-
考点一
考点二
考点三
(2)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可
以不相邻),那么不同的排法有( )
A.24种
B.60种 C.90种 D.120种
关闭
因为 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只
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自测点评
1.排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版精编讲义：第十章 计数原理10.2 Word版含解析
§10.2排列与组合1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.3.排列数、组合数的公式及性质概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m＝A m n.(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立.(×).(√)(6)k C k n＝n C k－1n－1题组二教材改编2.[P27A组T7]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B解析 第一类：甲在最左端，有A 55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法； 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有4A 44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法. 所以共有120＋96＝216(种)排法.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( ) A.180 B.240 C.540 D.630 答案 C解析 依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 36C 23C 11A 33＝360(种)；③每个国家各派2名，有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540. 6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ，E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答) 答案 45解析 设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).题型一 排列问题1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( ) A.96个 B.78个 C.72个 D.64个答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 44＝24(个)；当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 44－A 33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)留言.3.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法.答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法.方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理可知，共有A14A55＝480(种)不同的站法.思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员.解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C36种选法；第二步，选2名女运动员，有C24种选法.由分步乘法计数原理可得，共有C36·C24＝120(种)选法.(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法共有C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种).方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种).(3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C48；“只有女队长”的选法种数为C48；“男、女队长都入选”的选法种数为C38，所以共有2C48＋C38＝196(种)选法.方法二(间接法)从10人中任选5人有C510种选法，其中不选队长的方法有C58种.所以“至少有1名队长”的选法有C510－C58＝196(种).(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有(C48－C45)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)方法一(间接法)选取3种商品的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二(直接法)选取0种假货有C320种，选取1种假货有C115C220种，选取2种假货有C215C120种，因此共有选取方式C320＋C215C120＋C115C220＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例2 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为()A.2B.9C.72D.36答案 C解析可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A22种排法；第二步，3名女生排在一起有A33种排法，3名男生排在一起有A33种排法，故排法种数为A22A33A33＝72.命题点2相间问题例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案 B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例4 (2018·浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A，B，C，D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A项工作仅安排一人，甲同学不能从事B项工作，则不同的分配方案的种数为()A.96B.120C.132D.240答案 C解析当甲选A时，共有C24C13A22＝36(种)分配方案；当甲不选A时，若B安排两人，共有C14C23A22＝24(种)分配方案，若C或D安排两人，共有C14C13C23A22＝72(种)分配方案.所以一共有36＋24＋72＝132(种)分配方案.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).跟踪训练2 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法.于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种).(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法.有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种).1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A.360种B.480种C.600种D.720种答案 C解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C45A55＝600种，故选C.2.(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同的分配方案种数为()A.12B.36C.72D.108答案 B解析由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从4名志愿者中选出2名志愿者作为一组，其余2名志愿者各自为一组，共有C24种选法；第二步，将上述三组与3个路口对应，共有A33种分配方案.故不同的分配方案种数为C24A33＝36.故选B. 3.(2018·浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有()A.18种B.12种C.36种D.24种答案 D解析①甲单独一人时，则甲只能去B，C两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有C12C23A22＝12(种)；②甲与另外一人为一组，去B，C两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，则有C13C12A22＝12(种).由分类加法计数原理可得总的方案为24种，故选D.4.(2018·杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则盒中红色卡片的张数为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析设盒中白色卡片有x张，则C210－C210－x＝35，∴x2－19x＋70＝0，∴x＝5或x＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B.5.(2019·台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是()A.144B.216C.288D.432答案 D解析第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有C13C13A22＝18(种)排法；第二步剩余的学生全排列，共有A44＝24(种)排法，根据分步乘法计数原理得排法共有18×24＝432(种)，故选D.6.(2018·浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是()A.252B.253C.222D.223答案 C解析采用隔板法，在24名学生排列所形成的23个间隔中，任插入2个隔板，分成三组，共有C223＝253种，其中三组人数都相同的情况是(8，8，8)，1种；有两组人数相同的人数组合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，11，2)，则有两组人数相同的情况共有10×3＝30种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253－1－30＝222种.故选C.7.(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 260解析不含有0的四位数有C25×C23×A44＝720(个).含有0的四位数有C25×C13×C13×A33＝540(个).综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法.总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种).9.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C16A22＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C15A22＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).10.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个. 答案 240解析 由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A 35＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个).11.(2018·温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有______种情况. 答案 336解析 当语文和数学都安排在上午时，不同的功课安排有A 22A 34种情况；当语文和数学有一科安排在上午，一科安排在下午时，不同的功课安排有C 24C 12A 33C 12A 22种情况，所以不同的功课安排一共有A 22A 34＋C 24C 12A 33C 12A 22＝336(种)情况.12.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答) 答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)， 故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).13.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( ) A.120 B.240 C.360 D.480 答案 C解析 前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C 14C 13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A 25种方法；若相邻，有C 15A 22种，故共有C 14C 13(A 25＋C 15A 22)＝360(种)，故选C.14.设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有多少个？解 a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c ∈{1，2，3，…，9}.①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 19＝……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………119；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b )共有2C 29组，但当大数为底时，设a >b ，必须满足b <a <2b ，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况.同时，每个数组(a ，b )中的两个数字填上三个数位，有C 23种情况，故n 2＝C 23(2C 29－20)＝156.综上，n ＝n 1＋n 2＝165.15.设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5，6，7}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋…＋|x 7|≤4”的元素个数为( ) A.938 B.900 C.1 200 D.1 300 答案 A解析 A 中元素为有序数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，所以共有C 17×2＋C 27×22＋C 37×23＋C 47×24＝938(个).16.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有7个球，其中红色球2个(同色不加区分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有______种不同的排法(用数字回答). 答案 408解析 不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有A 44种排法，再将2个红色球(排一起)和黄色球插入5个空隙中，有A 25种排法，即此时排法共有A 44A 25＝480(种)，而最左边排白色球的排法共有A 33A 24＝72(种)，故符合条件的排法共有480－72＝408(种).。
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第十章 计数原理10.1 Word版含解析
姓名，年级：时间：§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲考情考向分析理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
以理解和应用两个基本原理为主,常以实际问题为载体，突出分类讨论思想,注重分析问题、解决问题能力的考查,常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以选择、填空题的形式出现。
1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2。
分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.3。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.概念方法微思考1.在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理.2。
两种原理解题策略有哪些？提示①分清要完成的事情是什么;②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系;③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同。
（×）(2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事。
( √）(3）在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.（√）(4）如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1，2，3,…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第十章 2 第2讲 排列与组合 含解析
[基础题组练]1．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为()A．12 B．18C．24 D．36解析：选C.从1，3，5中取两个数有C23种方法，从2，4中取一个数有C12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C23C12A12A22＝3×2×2×2×1＝24.2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．3．(2019·山西太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：选B.先排出舞蹈节目以外的5个节目，共A55种排法，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种插法，所以共有A55A26＝3 600(种)．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．(2019·惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为() A．24 B．18C．16 D．10解析：选D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.选D.7．(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．36种B．24种C．22种D．20种解析：选B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，故选B.8．(2019·沈阳教学质量监测(一))若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A．4种B．8种C．12种D．24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B.9．(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有() A．120种B．156种C．188种D．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A22A33，A22A33，C12A22A33，C13A22A33，C13A22A33，故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．10．(2019·石家庄模拟)用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.11．(2019·甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.12．(2019·福建三明一模)某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.甲所设密码共有C 34C 14C 13＝48种不同设法，乙所设密码共有C 24A 242！＝36种不同设法，丙所设密码共有C 24C 14A 23＝144种不同设法，丁所设密码共有A 44＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C.13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．解析：把g 、o 、o 、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g 和d ，共有A 24种排法；第二步：排两个o ，共1种排法，所以总的排法种数为A 24＝12(种)．其中正确的有1种，所以错误的共A 24－1＝12－1＝11(种)．答案：1114．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16(种)．法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．答案：1615．(一题多解)(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 23·C 14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 13·C 11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C 23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A 24种方法．由分步乘法计数原理得共有C 23·A 24＝36种报法．答案：3616．(2019·河南南阳模拟)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有________种.解析：根据题意，对于A ，B 中任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，有C 24＝6种情况，对于C ，D 两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．答案：96[综合题组练]1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )A ．144种B ．108种C ．72种D ．36种解析：选C.从4种小车中选取2种有C 24种选法，从4个车库中选取2个车库有C 24种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A 22种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有C 24C 24A 22＝72种不同的放法．故选C.2．(2019·江西赣州联考)将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有( )A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种解析：选C.先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C 24·C 222！·A 22＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)． 3．(综合型)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对． 解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C 26－3)对，两个正四面体有(C 26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C 26－3)×2×2＝48(对)．答案：484．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N 1，其中N 2、N 3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N 1<N 2<N 3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C13A25C12A22＝240.答案：2405．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种放入方式．6．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有A46·A24·A44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C14·C16·A44＝576种不同的测试方法．。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第十章 第2讲 排列与组合
[提醒] (1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元 素的个数及相邻元素的排列数． (2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．
Hale Waihona Puke 组合应用题要从 5 名女生，7 名男生中选出 5 名代表，按下列要求， 分别有多少种不同的选法？ (1)至少有 1 名女生入选； (2)男生甲和女生乙入选； (3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
【解】 (1)法一：至少有 1 名女生入选包括以下几种情况： 1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，5 女． 由分类加法计数原理知总选法数为 C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)． 法二：“至少有 1 名女生入选”的反面是“全是男代表”，可 用间接法求解．从 12 人中任选 5 人有 C512种选法，其中全是男 代表的选法有 C57种．
求解有限制条件排列问题的主要方法 分 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成 类 几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由 直 法 分类加法计数原理得出总数 接 分 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完 法 步 成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法 法 计数原理得出总数
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个 捆绑法 整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的
3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的 排队方案的方法种数． (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起．
2020版高考数学(浙江专用版)新增分大一轮课件：第十章计数原理10.2
性质
n！ (3)0！＝ 1 ； An n ＝_____
n－m m m m－1 (4)Cm ＝ C ； C ＝ C ＋ C ＋ n n n 1 __________ n n
【概念方法微思考】
1.排列问题和组合问题的区别是什么？
提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？
B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐， 则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______ 45 种.(用数字作答) 解析 设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相
符的坐法， 设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有 BADC ，
1
2
3
4
5
6
题组三 易错自纠 4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同
的排法共有
A.192种 C.240种 B.216种 √ D.288种
解析 第一类：甲在最左端，有 A5 5＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A4 4＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.
因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3 4＝4×3×2＝24.
1
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6
3.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数 为
√
A.8 B.24 C.48 D.120 1 解析 末位数字排法有 A2种，其他位置排法有 A3 4种，
3 共有 A1 A 2 4＝48(种)排法，所以偶数的个数为 48.
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第十章 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
为止，则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同
情况)共有( )
A．10 种
B．15 种
C．20 种
D．30 种
解析：选 C.首先分类计算假如甲赢，比分 3∶0 是 1 种情况； 比分 3∶1 共有 3 种情况，分别是前 3 局中(因为第四局肯定要 赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是 3∶2 共 有 6 种情况，就是说前 4 局 2∶2，最后一局获胜，前 4 局中， 用排列方法，从 4 局中选 2 局获胜，有 6 种情况．甲一共有 1 ＋3＋6＝10 种情况获胜．所以加上乙获胜情况，共有 10＋10 ＝20 种情况．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在 分 类 加 法 计 数 原 理 中 ， 两 类 不 同 方 案 中 的 方 法 可 以 相 同．( × ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这 件事．( √ ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是 各不相同的．( √ ) (4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一 个单独的步骤都能完成这件事．( × )
(2)根据题意，将十位上的数字按 1，2，3，4，5，6，7，8 的 情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个， 7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8＋7＋6＋5 ＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 【答案】 (1)A (2)36
与两个计数原理有关问题的解题策略 (1)在综合应用两个计数原理解决问题时，一般是先分类再分 步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理． (2)对于较复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当地画出 示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第十章 核心素养提升(十)
X2 40 60 80
P
12 63
1 6
X2 的期望为 E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60， X2 的方差为 D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2× 16＝4030. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的
方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.
①第 n 次操作后袋中有(a＋k)个白球，显然每次取球后，球的 总数保持不变，即(a＋b)个(此时黑球有(b－k)个)，第(n＋1) 次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为 pk·aa＋＋kb； ②第 n 次操作后袋中有(a＋k－1)个白球，第(n＋1)次取出来的 是黑球，由于球的总数保持不变，为(a＋b)个，故此时黑球的 个数为 b－k＋1，这种情况发生的概率为 pk－1·b－a＋k＋b 1(k≥1)． 故 P(Xn＋1＝a＋k)＝pk·aa＋＋kb＋pk－1·b5－(ak＋＋b1) (k≥1)．
1．【解】 因为两球颜色相同包含：一是从两袋中都取得白球， 二是从两袋中都取得黑球，三是从两袋都取得红球，这三种情 况对应的三个事件是互斥的，在两个口袋中都取得球是相互独 立事件，所以两球颜色相同的概率 P＝16×26＋26×36＋36×16＝3116. 2．【解】 我认为获奖的概率小于 0.5，理由如下： 甲箱子里有 3 个白球、2 个黑球，从甲箱中摸出一个白球的概 率为35，乙箱子里有 2 个白球、2 个黑球，从乙箱中摸出一个 白球的概率为24＝12，
3．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾 客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的 袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所 获的奖励额． (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
2020版高考数学新增分大一轮新高考第十章 10.2 排列与组合 Word版含解析
§排列与组合最新考纲.通过实例，理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．．排列与组合的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列从个不同元素中取出(≤)个元素组合合成一组.排列数与组合数()排列数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．．排列数、组合数的公式及性质()＝(－)(－)…(－＋)＝公式()＝＝＝()！＝；＝！性质()＝；＝＋概念方法微思考．排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．．排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示()排列数与组合数之间的联系为＝.()两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．．解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)()一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)()两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)()(＋)！－！＝·！.(√)()若组合式＝，则＝成立．(×)()＝.(√)题组二教材改编．把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()．．．．。
浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第10章 第2讲排列与组合含解析
第2讲 排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1.排列与组合的概念(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.(2)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(3)若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立.( ) (4)k C k n ＝n C k －1n －1.( )解析 元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若C x n ＝C m n ，则x＝m或n－m，故(3)不正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )A.12B.24C.64D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A34＝24.答案 B3.(选修2－3P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A.18B.24C.30D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.答案 C4.(2017·浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有________个.解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A66＝720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有A33A34＝144个.答案720 1445.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).解析末位数字排法有A12，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.答案486.(2017·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种.甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49(种)选法.法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法.其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种).答案49考点一排列问题【例1】(2017·河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法.(3)法一(位置分析法) 因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A2 5种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法.法二(元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生，有A36种排法，其余位置无限制，有A55种排法，因此共有A36·A55＝14 400(种)不同排法.(4)8名学生的所有排列共A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，∴符合要求的排法种数为12A88＝20 160(种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A16种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A16种；其余人6个人进行全排列，有A66种.共有A16·A16·A66种.由分类加法计数原理，共有A77＋A16·A16·A66＝30 960(种).法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A17种，余下7个位置全排，有A77种，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30960(种).法三(间接法)8个人全排，共A88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A7 7种，乙在最右边时，有A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种.因此共有A88－2A77＋A66＝30 960(种).规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】(1)(2017·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )A.120B.240C.360D.480(2)(2017·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30B.600C.720D.840解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.(2)若只有甲乙其中一人参加，有C 12C 35A 44＝480种方法；若甲乙两人都参加，有C 22C 25A 44＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.答案 (1)C (2)C 考点二 组合问题【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C 234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C 334种或者C 335－C 234＝C 334＝5 984种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C 120C 215＝2 100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C 120C 215种，选取3件假货有C 315种，共有选取方式C 120C 215＋C 315＝2 100＋455＝2 555种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种. (5)选取3件的总数为C 335，因此共有选取方式C 335－C 315＝6 545－455＝6 090种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 规律方法 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】 (1)(2017·邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是( ) A.90B.115C.210D.385(2)(2017·湖州市质检)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A.60种B.63种C.65种D.66种解析 (1)分三类，取2个黑球有C 24C 26＝90种，取3个黑球有C 34C 16＝24种，取4个黑球有C 44＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种).答案 (1)B (2)D考点三 排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法. (3)确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法.故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种).规律方法 (1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A.A 26C 24B.12A 26C 24 C.A 26A 24D.2A 26(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答). 解析 (1)法一 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26(种).所以不同的安排方法有12C 24A 26(种).法二 先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24C 22＝12A 26C 24(种).(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案 (1)B (2)60[思想方法]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.[易错防范]1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72解析由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D.答案 D2.(2017·东阳调研)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A.16种B.36种C.42种D.60种解析 法一 (直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A 34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C 23A 24种方法.由分类加法计数原理知共A 34＋C 23A 24＝60(种)方法.法二 (间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种). 答案 D3.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )A.C 27A 55B.C 27A 22C.C 27A 25D.C 27A 35解析 首先从后排的7人中抽2人，有C 27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A 25种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C 27A 25.答案 C4.(2017·金华调研)甲、乙两人从4门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________种( ) A.30B.36C.60D.72解析 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：当甲、乙所选的课程中2门均不相同时，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C 24C 22＝6种方法；当甲、乙所选的课程中有且只有1门相同时，分为2步：①从4门中选1门作为相同的课程，有C 14＝4种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门有C 13C 12＝6种选法，由分步乘法计数原理此时共有C 14C 13C 12＝24种方法.综上，共有6＋24＝30种方法.答案 A5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36种 B.42种 C.48种D.54种解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C1 3A33种排法.依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案.答案 B6.(2016·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( )A.10B.16C.20D.24解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20种坐法.答案 C7.(2017·浙江五校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品中2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”.有A22A34＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33·A22·A22＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).答案 B8.(2017·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A.18种B.24种C.36种D.72种解析一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种).∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种).答案 C二、填空题9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答).解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C3 6种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C36＝20(种).答案2010.(2017·余姚质检)3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数有________；任两个女生不相邻的排法有________(均用数字作答).解析分别把3男3女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，3男3女内部也要全排，故有A33A33A22＝72种；把3名女学生插入到3名男学生排列后所形成的4个空中的3个，故有A33·A34＝144种.答案72 14411.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种).答案1112.(2017·金丽衢十二校联考)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答).解析甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有C25C14＋C15C24＝70种方法.答案7013.(2017·淮北一模)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种(用数字作答).解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有：BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相等座位的坐法有9×5＝45种坐法.答案45能力提升题组(建议用时：20分钟)14.(2017·武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( )A.72B.144C.240D.288解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有C13A22＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有C12A22C12＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A33＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种，故选D.答案 D15.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130解析因为x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i 中至少两个为0，至多四个为0.①x i (i ＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A 有2C 15个元素； ②x i 中3个0，2个为－1或1，A 有C 25×2×2＝40个元素； ③x i 中2个0，3个为－1或1，A 有C 35×2×2×2＝80个元素； 从而，集合A 中共有2C 15＋40＋80＝130个元素. 答案 D16.(2017·慈溪调考)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答).解析 若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C 12C 13A 33＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C 12A 22A 23＝24种.故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60. 答案 6017.(2017·诸暨模拟)从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有________个(用数字作答).解析 根据题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，①1，2，4，5；②0，3，4，5；③0，2，3，4；④0，1，3，5；⑤0，1，2，3；①时，共可以组成A 44＝24个四位数；②时，0不能在首位，此时可以组成3×A 33＝3×3×2×1＝18个四位数， 同理，③、④、⑤时，都可以组成18个四位数， 则这样的四位数共24＋4×18＝96个. 答案 9618.(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？(2)已知集合A ＝{5}，B ＝{1，2}，C ＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？ 解 (1)法一 每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C27×2＝42(种)；若分配到3所学校有C37＝35(种).∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法.所以名额分配的方法共有84种.(2)①从集合B中取元素2时，确定C13A33个点.②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个.∴由分类加法计数原理，共确定C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)不同点.。
2020年浙江高三数学总复习：排列与组合复习讲义
第二节排列与组合_备考方向明确、--------------------------- f方向比券力更重要i ---------知识链条完善----------把散落的知识连起来-----------网络构建排列与组合1. 概念(公式)理解(1) 组合与排列问题都是从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的计数问题，它们的差别是：排列考虑元素顺序，组合不考虑元素顺序.⑵A：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面每个因数都比前面因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.(3) 公式c m=A m体现了组合数与排列数的关系.Am(4) 当m,n较大或对含有字母的排列数或组合数的式子进行变形和证明时，常用公式A m = n!或c m= n!.(n —m ) m! (n —m )(5) 当m>2时，常利用组合数的性质将计算c m转化为计算c：』.2. 与排列(数)组合(数)有关的结论(1) 若c n=c n,贝S x=y 或x+y二n.(2) A m= n A：占A：二c：• A m.(3) c：+c：i + c： 2+…+ c m = c：?.(4) ( n+1)!=( n+1) • n!,(n+1)!-n!=n • n!.(5) k c n= n c n-r.1. 若A L=10A3,则n 等于(B )(A)1 (B)8 (C)9 (D)10解析:A2n=10A：,所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),所以n=8.2. 若c n=c4,则卫的值为(c )3!(n -3 )(A)1 (B)20 (C)35 (D)7解析:由c3 = c：,得n=7,可求出n!二7沃6®4!=^5=353!(n-3) 3!4! 3 X2 汉13. 有5张卡片分别写有数字123,4,5.(1) 从中任取4张,共有_______ 种不同取法；(2) 从中任取4张,排成一个四位数，共组成_______ 个不同的四位数.答案:(1)5 (2)1204. 大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有_______ 种.(用数字作答)解析：先从3人中选择2人看成一个整体，有C2 =3(种)方法,再将这个整体和另1个人安排坐四部电梯，有A4=12(种)方法,则不同的乘坐方式有3X 12=36(种).答案:36-高频考点突破 --------- 在训练中掌握方辻------------ 考点一排列的应用问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1) 选5人排成一排；⑵排成前后两排，前排3人，后排4人；(3) 全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4) 全体排成一排，女生必须站在一起；(5) 全体排成一排，男生互不相邻.解:(1)从7人中选5人排列，有A7=7X6X 5X4X 3=2 520(种).(2) 法一分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A：种方法，共有A3• A：=5 040(种).法二（分排问题直排法）前排3人，后排4人，可视为7人排成一排, 其中前3人为前排，后4人为后排，排法有A；=5 040（种）.（3）法一（特殊元素优先法）先排甲,有5种方法,其余6人有A6种排列方法,共有5X A6 =3 600（种）.法二（特殊位置优先法）首尾位置可安排另6人中的两人，有A6种排法,其他有A5种排法，共有A6A5=3 600（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法,再将女生全排列,有A4种方法,共有A4• A4=576（种）.（5）（插空法）先排女生，有A4种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A3种方法，共有A4• A5=1 440（种）.圧8求解排列应用问题的主要方法1. 四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为(A )(A) A：A4-2A4A： (B) A：A6-A4A：(C) A5A 5 -2 A 4 A 4 (D) A5A；-A4A4解析：四位男演员互不相邻可用插入法，有种排法，其中女演员甲站在两端的方法有2A4A4,因此所求排法数为A5A；-2A：A4.故选A.2. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(B )(A)36 种(B)42 种(C)48 种(D)54 种解析:分两类,第一类:甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A4种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C3种排法,其他3个节目有A种排法,故有C l A3种排法.依分类加法计数原理，共有A4+C13A3=42种编排方案.考点二组合的应用问题【例2】有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数少于男生；(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.解：(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(C5C2+C4C1)种,排列方法有A5种,所以满足题意的选法有(c5c2 + c；c3) • A5=5 400(种).(2) 除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A：=840(种)选法.⑶先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有c4种选法，排列方法有C4A：种,所以选法共有C：C：A4=3 360(种).(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有c6种选法,该男生的安排方法有c3种,其余3人全排列,有A3种,因此满足题意的选法共有c3 c；A3=360(种).组合问题常见以下几个题型(1) “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2) “至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.(3) 名额分配问题：将n个名额分给m个单位,每个单位至少有一个名额可以看作将n 个相同的小球放入m个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，其放法为将n个小球串成一串.从(n-1)个间隙里选(m-1)个插入隔板,有c防种放法,即名额分配问题隔板法.［甘迂務逊蜒1. (2018 •浙江杭州二中模拟)浙江省高考制度改革以来，学生可以从7门选考科目(物理、化学、生物、历史、地理、政治、技术)中任意选取3门作为自己的选考科目.目前报考C学校的A 专业需要选考物理、技术、化学，报考C学校的B专业需要选考技术、政治、历史，同时报考A,B专业只要考生的选考科目中有一门满足条件即可报考.甲同学想报考C学校的A和B专业，则甲同学选择选考科目的方法共有(C )(A)15 种(B)19 种(C)27 种(D)31 种解析：由已知可得，甲同学如果选了技术，那么他只要从剩下的6门科目中任意选2门即可，此时有C6=15(种)选法.若甲同学不选技术，那么他可以先从物理、化学中选择1门,再从政治、历史中选择1门,最后从剩下的2门中选择1门，此时有c12 c12 c12 =8(种)选法；或者同时选择物理和化学，再从政治和历史中选1门，此时有2种选法;或者同时选择政治和历史，再从物理和化学中选1门,也有2种选法.故甲同学选择选考科目的方法共有15+8+2+2=27种),故选C.2. 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” “立定跳远”“肺活量” “握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶” 项目,其余项目上、下午都各测试1人•则不同的安排方式有____________________________________种.(用数字作答)解析：(分类讨论思想)上午测试安排有A4种方式,下午测试分为:(1) 若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种安排方式;(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则该同学有c3种安排方式，其余三位同学选1人测试“握力”，有c；种安排方式,其余两人只有1种安排方式，则共有c3 • c3=9(种),因此安排方式共有A4 (2+9)=264(种).答案:264考点三分组、分配问题【例3】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1) 分成三份,1份1本,1份2本,1份3本；(2) 甲、乙、丙三人中，一人得1本,一人得2本,一人得3本；(3) 平均分成三份，每份2本；(4) 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5) 分成三份,1份4本,另外两份每份1本；(6) 甲、乙、丙三人中，一人得4本,另外两人每人得1本；⑺甲得1本,乙得1本,丙得4本.解：(1)无序不均匀分组问题.先选1本,有C6种选法；再从余下的5本中选2本,有C5种选法；最后余下3本全选,有C3种选法.故共有C；C2C3 =60(种).(2) 有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上,还应考虑再分配，共有C16C5 C A3=36O(种).(3) 无序均匀分组问题.2 2 2分配方式有^£*=15(种).A 3(4) 有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人，2 2 2共有分配方式C6C3C2• A3=C6C2C2 =90(种).A3(5) 无序部分均匀分组问题.共有竿21=15(种).(6) 有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人，4 11共有分配方式毕® • A3=90(种).A2⑺直接分配问题. 甲选1本,有C6种方法；乙从余下的5本中选1本,有c5种方法,余下4 本留给丙,有c4种方法,故共有分配方式c6 c15 c：=30（种）.©SQ觀（1）均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.（2）分配问题：先将元素分组，再将各组排列，或者逐一分配.1•将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（D ）（A）30 种（B）60 种（C）90 种（D）150 种解析:5名教师分成3组有2,2,1;3,1,1 两种情况，2 2第一种情况的分法有=15（种）,A2第二种情况的分法有c5 = 10（种）,所以5名教师分成3组的分法有15+10=25（种）,3个组分配到3个班的分法有A3=6（种）,由分步乘法计数原理知不同的分配方案有25X 6=150（种）.故选D.2.某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为（A ）(A)60 (B)40 (C)120 (D)240解析：由题意得,先将4名大学生平均分为两组，共有字=3(种)不同的分法,再将两组安排在其中的两个部门，共有3X A5=60(种)不同的安排方法.故选A.。
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[基础达标]1．不等式A x 8＜6×A x －28的解集为( )A ．[2，8]B ．[2，6]C ．(7，12)D ．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x ）！＜6×8！（10－x ）！，所以x 2－19x ＋84＜0，解得7＜x ＜12.又x ≤8，x －2≥0，所以7＜x ≤8，x ∈N *，即x ＝8.2．(2019·浙江金华等三市部分学校高三期中)如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A ．96B ．84C ．60D ．48解析：选B.法一：分三类：种两种花有A 24种种法；种三种花有2A 34种种法；种四种花有A 44种种法．共有A 24＋2A 34＋A 44＝84.法二：按A －B －C －D 顺序种花，可分A ，C 同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.3．(2019·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )A ．540B ．480C ．360D ．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C 15C 15A 22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C 14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C 14×C 15C 15A 22＝200(个)．4．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为( )A ．36B ．72C ．108D ．144解析：选B.3本数学书的放法有A 33种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A 33种，故同类书不相邻的放法有2A 33A 33＝2×6×6＝72(种)，故选B.5．(2019·金华十校期末调研)A 、B 、C 、D 、E 五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，(红包中金额相同视为相同红包)，则A 、B 两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C.A 、B 两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD ，ABCE ，ABDE ，在每类情况中，获奖的情况有：C 24·A 22＝12种，所以由分步乘法原理得：A 、B 两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有：3×12＝36种．6．(2019·宁波高考模拟)从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．30解析：选B.根据题意，要求奇数位上必须是奇数的三位数，则这个三位数的百位、个位为奇数，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，安排在三位数的个位和百位，有C23A22＝6种情况，②在剩余的3个数字中任选1个，将其安排在三位数的十位，有C13＝3种情况，则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．7．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为() A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．8．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.9．(2019·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有()A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1，2，3，4，5.要求1，4不相邻．分四类：①先排4，5时，则1只有1种排法，2，3在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；②先排3，5时，则4只有1种排法，2，1在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；③先排1，2时，则4只有1种排法，3，5在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；④先排1，3时，则这样的数只有两个，即21534，43512，只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法，故选B.10．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的个数为()A．60 B．90C．120 D．130解析：选D.设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1说明x1，x2，x3，x4，x5中有一个为－1或1，其他为0，所以有2×C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1，x2，x3，x4，x5中有两个为－1或1，其他为0，所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1，x2，x3，x4，x5中有三个为－1或1，其他为0，所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3，从而，共有10＋40＋80＝130个元素满足1≤t≤3.11．(2019·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2，5相邻，则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．解析：先把2，5捆挷有2种方法，再把它与4排列有2种排法，此时共有3个空供数字1、3插入有A 23＝6种方法，故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．答案：2412．(2019·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．解析：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中，则共有1×A 36＝120种情况，由于甲必须坐在三人中间，则有符合要求的坐法有13×120＝40(种)． 答案：4013．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对． 解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C 26－3)对，两个正四面体有(C 26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C 26－3)×2×2＝48(对)．答案：4814．如图A ，B ，C ，D 为海上4个小岛，要建立3座大桥，将4个小岛连接起来，则不同的建桥方案有________种．解析：法一：任2个岛之间建立1座桥，则共需C 24＝6座桥，现只建其中3座，有C 36种建法，但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的，类似这样的情况有C 34种，则共有C 36－C 34＝16种建桥方案．法二：依题意，满足条件的建桥方案分两类．第一类，如图(2)，此时有C 14种方法．第二类，如图(3)，此时有12A 44＝12种方法． 由分类加法计数原理得，共有4＋12＝16种建桥方案．答案：1615．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么有男生________人、女生________人．解析：设男、女同学的人数分别为m 和n ，则有，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ·A 33＝90，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ＝15. 由于m ，n ∈N ＋，则m ＝3，n ＝5.答案：3 516．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．解析：程序A有A12＝2种结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理得，实验顺序的编排共有2×48＝96种方法．答案：9617．规定C m x＝x（x－1）…（x－m＋1）m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x＝1，这是组合数C m n(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广，则C3－15＝________；若x>0，则x＝________时，C3x（C1x）2取到最小值，该最小值为________．解析：由规定：C3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3×2×1＝－680，由C3x（C1x）2＝x（x－1）（x－2）6x2＝16⎝⎛⎭⎫x＋2x－3.因为x>0，x＋2x≥22，当且仅当x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，得最小值22－36.答案：－680222－36[能力提升]1．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有C24·A22＝A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有A46·A24·A44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C14·C16·A44＝576种不同的测试方法．2．现有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法，不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有(C48－C45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．3．证明下列各题：(1)A k n＋k A k－1n＝A k n＋1(k≤n，n≥0)；(2)C k n C m －k n －k ＝C m n C k m (k ≤m ≤n ，n ≥0)． 证明：(1)左边＝n ！（n －k ）！＋k ·n ！（n －k ＋1）！＝n ！[（n －k ＋1）＋k ]（n －k ＋1）！＝（n ＋1）！（n ＋1－k ）！＝A k n ＋1＝右边．(2)左边＝n ！k ！（n －k ）！·（n －k ）！（m －k ）！（n －m ）！＝n ！k ！（m －k ）！（n －m ）！， 右边＝n ！m ！（n －m ）！·m ！k ！（m －k ）！＝n ！（n －m ）！k ！（m －k ）！， 所以左边＝右边．4．集合A ＝{x ∈Z |x ≥10}，集合B 是集合A 的子集，且B 中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B 中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B 中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B 中的元素从小到大排列，求第1 081个元素．解：将0，1，…，9这10个数字按照和为9进行配对，(0，9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C 25×22×A 22－C 14×2＝72(个)；三位数有C 35×23×A 33－C 24×22×A 22＝432(个)．(2)存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数．(3)四位数共有C 45×24×A 44－C 34×23×A 33＝1 728(个)，因此第1 081个元素是四位数，且是第577个四位数，我们考虑千位，千位为1，2，3的四位数有3×C 34×23×A 33＝576(个)，因此第1 081个元素是4 012.。