由递推公式求通项公式的方法

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由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法

由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法

(宁波市北仑中学竺君祥 315800)

已知递推数列求其数列通项公式，是一类常见的问题，也是教学中的一个难点.本文介绍几种运用数列的递推关系求数列通项公式的几种常用方法.

一．迭加法

可化为型如)(1n f a a n n =-+的递推数列，用迭加法求其通项公式.且通项公式为

∑-=+=1

1)(n k n k f a a

证明：

例1：已知数列}{n a ,其中11=a ，521

++=+n a a n n ，求它的通项公式. 解：由已知得521+=-+n a a n n ，则51212+⨯=-a a ，52223+⨯=-a a ，53234+⨯=-a a ……5)1(21+-⨯=--n a a n n ，将以上)1(-n 个式子相加，得 )1(5)]1(321[21-+-++++⨯=-n n a a n ,故55)1(1-+-=-n n n a a n ,于是5421-++=n n a a n ,又11=a 即442-+=n n a n .

二．叠乘法

可化为型如)(1n f a a n

n =+的递推数列，用叠乘法求其通项公式. 例2：已知数列}{n a ,其中11

=a ，n n n a a 51=+，求它的通项公式. 解：由已知得n n n a a 51=+,则512=a a ，2235=a a ，3345=a a ，……,11

5--=n n n a a , 将以上)1(-n 个式子相乘，得2)1()1(3211

55--+++==n n n n a a ，又11=a ,故2)1(5-=n n n a . 三：差分法

常见递推数列求通项公式的七种方法

能的，数值 2 只有在（1，1）情况下才出现，而 3 的出现有
（1，2）、（2，1）两种情况，其它的数值可类推，在这儿把非等
可能误解为等可能.
正解：掷两枚骰子可能出现的情形为：（1，1），（1，2），
…，（1，6），（2，1）（2，2）， …，（2，6）， …，（6，1），（6，2）， …，
即 an+1-4an=1.………………………………②
①-②得
：an=
4n-1 3
，
当
n=1，2
时，a1=1，a2=5
适合上式，∴an=
4n-1 3
（n∈N*).
类型七：在递推关系中，既含项 an，又含前 n 项和 Sn，则 an Sn，n=1
Sn-Sn-1. n≥2
例 7. 设数列 an
的前
甘肃定西
730500）
（2007 全国卷 2 卷）从某批产品中，有放回的抽取产品
二次，每次随机抽取 1 件.假设事件 A：“取出的 2 件产品中
至多有 1 件是二等品”的概率 P（A）=0.96.
（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 P；
（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，S 表示

由递推公式求通项公式的方法

一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)

此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有

21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-

将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++- ，进而求解。例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求

注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错. 变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)

1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。

二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)

此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为

1()n n

a f n a +=，从而就有

321

(1),

(2),,

(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1

(1)(2)(1)n a f f f n a =⋅⋅⋅- ，进而求解。

例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)3

n n n a a a n n --==⋅≥+，求数列{}n a 的通项公式。

变式练习：在数列{}n a 中, n a >0,2

1112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .

由递推公式求通项公式的三种方法

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法．

1．累加法

[典例1] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *

)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11 [解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3.

[答案] B

[题后悟道]

对形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出a n －a 1与n 的关系式．

2．累乘法

[典例2] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝

n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；

(2)求{a n }的通项公式．

[解] (1)由S 2＝43

a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.

由S 3＝53

a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32

(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.

当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13

a n －1，

整理得a n ＝n ＋1n －1

数列递推公式求通项公式的方法

数列是指按照一定规律排列的一组数。而数列递推公式是指通过前一

项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以

下几种：

1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。这种方法常用于找出简单数列的通项公式，

如等差数列和等比数列。

2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，

找到规律并推导出通项公式。

3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的

基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公

式的正确性。

4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的

数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。然后，根据

新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。差分法

常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。

5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的

变化规律，推导出数列的通项公式的方法。比率法常用于等比数列或存在

比率规律的数列。

需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。

已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式;

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +,得

113222n n n n a a ++=+,则113222

n n n n a a ++-=

,故数列{}2n

n a 是以1222

a 1

1==为首项,以23

为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-;

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22

n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式;

二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式; 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =;

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+,即得数列{}n a 的通项公式;

例3 已知数列{}n a 满足112313n

根据递推关系求数列通项公式的几种方法

根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数

列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。在数学中，有几种方法可

以求解这类问题。

一、代数方法：

对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项

公式。这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1

我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为

待定数。

k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)

整理得：

k1a^2-k1a-k2=0。

解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。

二、特征根法：

特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的

常用方法。该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分

方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1

将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：

y''-y'-y=0

其中y=Fn。

解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2

通项公式可以表示为：

Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n

其中k1、k2为常数。

利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出

由递推公式求通项公式的方法

由数列递推公式求数列通项公式是数学中针对性较强的一种数学解题方法，它从一个侧面体现数学的研究方法，自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考

和高中数学联赛的热点之一. 一、一阶递推数列（一）、已知前后项的差是个新数列用累加法。

例1 在数列{n a }中，31=a ,)

1(1

1++=+n n a a n n ，求通项公式n a .

解：原递推式可化为：1

111+-+

=+n n a a n n 则,211112-+=a a 31

2123-+=a a

413134-+=a a ，……，n

n a a n n 1

111--+=-

逐项相加得：n a a n 111-+=.故n

a n 1

4-=.

（二）、已知前后项的商是个新数列用累乘法。

例 2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12

1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）.

解：原递推式可化为：

)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0，

1+=

+n n

a a n n 则

,43,32,21342312===a a a a a a ……，n

n a a n n 1

1-=

- 逐项相乘得：n

a a n 11=，即n a =n 1

（三）、构造法。

1、B Aa a n n +=+1（A 、B 为常数）型，可化为λ++1n a =A （λ+n a ）的形式.

例 3 已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a ()

由递推公式求通项的几种常见方法

作者：王玉君

来源：《成才之路》2011年第13期

递推公式是表示数列的一种方法。由于它比较抽象，是数列这章的难点，也是重点。而其中渗透的整体思维、化归、分类讨论思想，都是数学中的重要内容。

一、叠加法

人教版的等差数列通项公式的导出，为我们提供了一种方法，称之为叠加法。推导如下：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d……an-an-1

=d(n≥2)，这样就可把n-1个式子相加，得到an- a1=(n-1)，所以an= a1+(n-1)d，当n=1时也适合上式。由此就导出等差数列通项公式。只要递推公式满足an+1- an=f（n），都可以用此方法。

例如：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+()n,求通项an.

解：由题意，an+1-an=()n，所以a2-a1=，a3-a2=()2……，an-an-1=()n-1(n≥2)，把这n-1个式子相加，有an-a1=+()2+……()n-1(n≥2)，对右侧求和，整理得an-a1=，所以an=2-()n-1.当

n=1时显然也适合上式。

二、叠乘法

叠乘法的灵感，来自等比数列通项公式的推导。过程如下：=q,=q,=q......=q(n≥2)，这样可把n-1个式子相乘，得到=qn-1(n≥2)。显然，当n=1时也适合，所以an=a1qn-1.

例如：已知数列{an}满足a1=2,an+1=2n·an,求通项公式an.

解：由题意，an≠0，=2n，所以，=2,=22,=23......=2n-1(n≥2)，把n-1个式子相乘，得到

由递推公式求通项公式的几种方法

一. 迭加法：

例1. 已知数列{n a }中，n n n a a a 2,111=-=+，求n a

练习：已知数列{n a }中，12,111-=-=+n a a a n n ，求n a

二. 迭乘法：

例2. 已知数列{n a }中，1

,111+==+n n a a a n n ，求n a 练习：已知数列{n a }中，n n

n a a a 2,

111==+，求n a 三. 由p qa a n n +=+1型递推公式求n a .

例3. 已知数列{n a }中，12,111+==+n n a a a ，求n a

练习：1.已知数列{n a }中，22,111=-=+n n a a a ，求n a .

2.已知数列{n a }中，3

,211+==+n n n a a a a ，求n a . 四.由n n n q pa a +=+1型递推公式求n a .

例4.已知数列{n a }中，n n n a a a 32,111+==+，求n a .

练习：已知数列{n a }中，n

n n a a a 23,111+==+，求n a .

五.由b an pa a n n ++=+1型递推公式求n a .

例5.已知数列{n a }中，123,211-+==+n a a a n n ，求n a .

练习：已知数列{n a }中，462,211++==+n a a a n n ，求n a .

习题：

1、若数列}{n a 的前n 项和为13+=n n S ，则数列}{n a 的通项公式为___________;

求递推数列的通项公式的九种方法

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值

.自从二十世纪八十年代以来，

这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一

一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o

例1 在数列{

n a }中，31a ,)

1(11

n a a n n ，求通项公式

n a .

解：原递推式可化为：1

111

n n

a a n n

则,2

a a 3

1212

3a a 4

4a a ，……，n

n a a n

逐项相加得：n

a a n 11

.故n a n

二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12

n n n

n a a na a n （n=1,2,3…），

则它的通项公式是

n a =▁▁▁（2000年高考15题）

解：原递推式可化为：

)]()1[(1

n n

a a na a n =0 ∵

n n

a a 1

＞0，

n n a a n

n 则

3,32,213

2a a a a a a ……，

n a a n

n 11

逐项相乘得：

a a n 11

，即

n a =

三、换元法例3 已知数列{n a }，其中9

13,3

a a ，且当n ≥3时，)(3

n n

n a a a a ，

求通项公式

n a （1986年高考文科第八题改编）.

解：设

n n n

a a

b ，原递推式可化为：

}{,31

n n n

b b b 是一个等比数列，9

131

a a

b ，公比为

1.故

n n

b b )3

最全总结递推数列求通项公式的常用方法

递推数列求通项公式的常用方法一、公式法

例1、已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？【解析】：

1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 11

n n a a +=

，又112a =，

∴ 12n

n a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

二、归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例2、已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】：

11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=⋅⋅⋅⋅

猜测21n n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.

三、累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.

例3 、已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n

n a ⎛⎫

数列专项——递推公式求通项公式的几种方法

数列专项练习

由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

方法一：累加法

形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。

例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列

（1）求c 的值

（2）求{a n }的通项公式

解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列

22)2(2)(),3,2,1(111113

2===++⋅=+∴=+=⋅=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又

（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入

)

1(23

21342312-=-⨯=-⨯=-⨯=--n a a a a a a a a n n

将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2－n

又a 1＝2,a n ＝n 2－n ＋2

方法二：累乘法

形如a n +1a n

根据递推关系求数列通项公式的几种方法

根据递推关系数列通项公式的几种求法
一、定义法例 1、已知数列an 的递推公式，求an
1)a1 3, an1 an 2
1 2)a1 2, an 1 an 3
等差数列
等比数列
二、累加相消法（累加法）
形如：a1 a, an1 an f n
当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用累加法进行消元。
2 an 5 4n
例6、已知数列an 的递推关系为： an 1 a ，a1 3，求an
2 n
两边同取常用对数
an 3
2 n1
例4、已知数列an 的递推公式，求an
1 ）a1 1, an1 a 3
2 n
两边平方
an 3n 2
an 1 2）an 0, a1 1 ，an 3an 1 1
1 an 3n 2
取倒数
3）a1 1, an1 2an 1
形如：a1 a , an1 pan q
p 1 , 求a n ?
构造等比数列an ，使an 1 p(an ),
an 2 1
n
则q （p 1 ），
q 即 p1
4）a1 2, an1 2an 3
an 2
n1
an1 3 2(an 3)

递推数列通项公式的十四种求法

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………

2121

3、2,1, , , , ………

3253

4、1,-1,1,-1………

5、1、0、1、0………

◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n =1

n ②若已知数列的前项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式a n =⎧求解.

S -S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ≥2n -1⎧n

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1) n , n ≥1．求数列{a n }的通项公式.

②已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n

=n 2+n -1，求数列{a n }的通项公式.

③已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比0

{b n }的通项公式。

③解析：由题意，b n +1=a n +2+a n +3，又{a n }是等比数列，公比为q ∴

b n +1a n +2+a n +3

==q ，故数列{b n }是等比数列，b 1=a 2+a 3=a 1q +a 1q 2=q (q +1) ，b n a n +1+a n +2

∴b n =q (q +1) ⋅q n -1=q n (q +1)

◆三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项

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由递推公式求通项公式的方法

已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)

此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有

21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-

将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=++

+-，进而求解。例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求

解：依题意有

213211,3,

,23n n a a a a a a n --=-=-=- 逐项累加有221(123)(1)1323(1)212

n n n a a n n n n +---=++

+-==-=-+，从而223n a n n =-+。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)

1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()n n

a f n a +=，从而就有 3212

1(1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1

(1)(2)(1)n a f f f n a =⋅⋅⋅-，进而求解。例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)321

n n n a a a n n --==⋅≥+，求数列{}n a 的通项公式。

解：当2n ≥时，324123113523,,,,,57921n n a a a a n a a a a n --====+将这1n -个式子累乘，得到113(21)(21)n a a n n ⨯=-+，从而21311(21)(21)341

n a n n n ⨯=⨯=-+-，当1n =时，1211413a n ==-，所以2141

n a n =-。注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.

变式练习：在数列{}n a 中, n a >0,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .

提示：依题意分解因式可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=，而n a >0,所以1(1)0n n n a na ++-=，即11

n n a n a n +=+。三、q pa a n n +=+1型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设)(1m a p m a n n +=++，展开整理1n n a pa pm m +=+-，比较系数有pm m b -=，所以1b m p =-，所以1n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11

b a p +-。二是用作差法直接构造，1n n a pa q +=+, 1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。

例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。解法1：设13()n n a m a m -+=+，即有132n n a a m -=+

对比132n n a a -=+，得1m =，于是得113(1)n n a a -+=+，即31

11=++-n n a a 所以数列{1}n a +是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列

则1231n n a -=⋅-。

解法2：由已知递推式，得1132,32,(2)n n n n a a a a n +-=+=+≥，

上述两式相减，得113()n n n n a a a a +--=-，即31

1=---+n n n n a a a a 因此，数列1{}n n a a +-是以214a a -=为首项，以3为公比的等比数列。

所以1143n n n a a -+-=⋅，即13243n n n a a -+-=⋅，

所以1231n n a -=⋅-。

变式练习：已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.

注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.

四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数）此类数列可变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a ，则⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n n p a 可用累加法求出，由此求得n a . 例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .

解:将已知递推式两边同除以12n +得1131222n n n n a a ++=⨯+,设2n n n

a b =,故有132(2)2

n n b b ++=⨯+，15322n n n b -⨯=-,从而11532n n n a -+=⨯-. 注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.

若()f n 为n 的一次函数,则n a 加上关于n 的一次函数构成一个等比数列; 若()f n 为n 的二次函数, 则n a 加上关于n 的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.

例5．已知数列{}n a 满足1111,2,21,.2

n n n a n a a n a -=≥=+-当时求解:作n n b a An B =++,则n n a b An B =--,11(1)n n a b A n B --=---代入已知递推式中得:11111(2)(1)2222

n n b b A n A B -=++++-. 令1202111022

A A

B ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩46A B =-⎧⇒⎨=⎩ 这时112

n n b b -=

且46n n b a n =-+ 显然,132n n b -=,所以13462n n a n -=+-. 注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.

变式练习：（1）已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。

（2）已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列

{}n a 的通项公式。

提示：（2）中利用111,2n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，把已知条件转化成递推式。