湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：3.2 第2课时导数与函数的极值、最值

第三章导数及其应用

3.2导数的应用

第2课时导数与函数的极值、最值

题型一用导数解决函数极值问题

命题点1根据函数图象判断极值

例1(1)(2020·青岛模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()

(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 (1)C (2)D

解析 (1)由f ′(x )图象可知，x ＝0是函数f (x )的极大值点，x ＝2是f (x )的极小值点，故选C. (2)由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－22时，f ′(x )>0.

由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值

例2 (2020·泉州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a

e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．

(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．

解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a

e x .

又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－a

e ＝0，解得a ＝e.

(2)f ′(x )＝1－a

e

x ，

①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ，

当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，

在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．

综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；

当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值求参数

例3 (1)(2020·广州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.

(2)(2020·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范

围是( ) A ．(2，5

2)

B ．[2，5

2)

C ．(2，10

3)

D ．[2，10

3

)

答案 (1)－7 (2)C

解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则

⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝9， 经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.

(2)若函数f (x )在区间(1

2

，3)上无极值，

则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(1

2，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成

立．

当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，10

3)；

当x ∈(1

2，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，

即a ≤x ＋1

x

恒成立，a ≤2；

当x ∈(1

2，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，

即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥10

3

.

因此要使函数f (x )在(1

2，3)上有极值点，

实数a 的取值范围是(2，10

3)．

思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；

③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．

(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

(1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝1或－1或0

D ．x ＝0

(2)函数y ＝2x －1

x 2的极大值是________．

答案 (1)C (2)－3

解析 (1)∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，

∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝0或x ＝1或x ＝－1. 又当x <－1时，f ′(x )<0， 当－10. 当01时，f ′(x )>0，