2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第35讲数列性质的证明

第35讲 数列性质的证明

【知识要点】

一、数列性质的证明一般有两种方法：

方法一：利用等差数列等比数列的定义来证明.

1(2,)n n a a d n n N *--=≥∈⇔{}n a 是等差数列

1

(2,)n

n a q n n N a *-=≥∈⇔数列{}n a 是等比数列

方法二：利用等差等比数列的中项公式来证明.

11

(2,)2

n n n a a a n n N *+-+=

≥∈{n a ⇔}是等差数列

211(2,)n n n a a a n n N *-+=≥∈⇔ 数列{}n a 是等比数列

【方法讲评】

【例1】已知数列{}n a 满足4

4

4,311

++=

=+n n n a a a a

（1

）求证：数列⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧-+22n n a a 为等比数列；

（2）设p n m N p n m <<∈,,,*，问：数列{}n a 中是否存在三项p n m a a a ,,，使p n m a a a ,,成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.

而

052

2

11≠=-+a a ， ∴ ⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧-+22n n a a 是以5为首项，3为公比的等比数列

.

【点评】利用定义证明数列{}n a 等比，只要把已知条件代入1

n

n a a -化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止.

【反馈检测1】已知数列{}n a ，2n a ≠，158

23

n n n a a a +-=

-，13a =

（1）证明：数列1

{

}2

n a -是等差数列． （2）设2n n b a =-，数列1{}n n b b +的前n 项和为n S ，求使2(21)2n n n S ++⋅⋅1

(23)2192n n +>-⋅+成立

的最小正整数n ．

【反馈检测2】已知数列{}n a 满足：12n n a a a n a +++=- ，其中*n N ∈. （1）求证：数列{}1n a -是等比数列；

（2）令(2)(1)n n b n a =--，求数列{}n b 的最大项.

【例2】已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和(1)(1)12

n n S n a =++

-. ①求数列{}n a 的通项公式； ②设数列11n n a a +⎧

⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立？若存

在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．

（2） 由（1）知21n a n =+ ∴ 111

(21)(23)n n a a n n +=

++ 111()22123

n n =-++ ∴ 111111111

()2355721212123

n T n n n n =

-+-++-+--+++ 111()2323n =-

+16< 则要使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，只要max ()n T M ≤，所以只要1

6M ≥

∴ 存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，且M 的最小值为1

6

【点评】已知n S 、n 和n a 的关系，一般利用公式11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项.

【反馈检测3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，其中A B ，为常数.

(Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列； (Ⅲ)

1对任何正整数m n ，都成立.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第35讲：

数列性质的证明参考答案

【反馈检测1答案】（1）证明见后面解析；（2）6n

=.

【反馈检测2答案】（1）证明见后面解析；（2）数列{}n b 的最大项为431

8

b b ==. 【反馈检测2详细解析】（1）当1n =时，111a a =-，∴11

2

a =， 又∵12111n n a a a n a +++++=+- ，

∴111n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=+，∴11

1(1)2

n n a a +-=

-. 又∵1112a -=-，∴数列{}1n a -是首项为1

2

-，公比为12的等比数列；

（2）由（1）知，1111

1()()()222

n n n a --=-⨯=-，

∴2(2)(1)2n n n n b n a -=-⋅-=

， ∴1111223222

n n n n n n n n

b b ++++----=-= ， 当3n <时，10n n b b +->，即123b b b <<， 当3n =时，43b b =， 当3n >时，10n n b b +-<，即456b b b >>> ， ∴数列{}n b 的最大项为431

8

b b ==

. 【反馈检测3答案】(Ⅰ) 20A =-，8B =-；(Ⅱ)证明见后面解析；(Ⅲ)证明见解析. 【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=. 由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知 213

2372122S S A B S S A B --=+⎧⎨

-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，

， 解得 20A =-，8B =-

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-.

1>

，只要证51mn m n a a a >++因为54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，

故只要证5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++