湖北省孝感市高考数学备考资料 研究专题1(必修)：必修4.pptx
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必考考点 三角函数的图象及其性质，两角和与差的正弦、余弦及正切公式，解三角形，平面向量
的数量积.
考情分析 高考中三角函数与平面向量的考题仍主要为中等难度，主要考查以下五个方面的内容：1
、考查两角和与差的正弦、余弦及正切公式，二倍角的正弦、余弦及正切公式. 2、考查三角函数的图象与性质. 3、有关解三角形问题. 4、三角函数解答题仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型，以三角函数为载体的立意新 颖的应用性试题将备受命题者青睐. 5、对平面向量基本概念、平面向量的加减运算、平面向量的基本定理等的考查仍以客观题 形式呈现，对向量平行、向量垂直、数量积问题应多加重视，这在未来高考中仍是命题的 重 点与热点.
我们可以从中得到更多的启示——“稳定和创新”是 2013 年湖北省高考命题的方向，
学海无涯
“规避高考模式化”是湖北省高考命题的指导思想.展望 2013 年湖北省高考的命题趋势，我 们可以从 2012 年的高考试卷中得到一些感悟——新课标高考的理念已经渗透，“综合性、 开放性、探索性、创新性”试题将会得到更好的体现.
有关三角函数的小题主要考查解析式，图象与图象的变化，两域（定义域，值域），四 性（单调性、奇偶性、对称性、周期性），简单的三角恒等变换等.有关向量的小题主要考查 向量的线性运算以及平面向量的数量积等知识.
【示例】1：函数 f (x) Asin(x ), ( 0,| | , x R) 的部分图象如图所示，则
1. 考查要求的变化 ①将 2012 年《考试说明》中的第（1）、（4）条合并为第（1）条，以便于师生记忆 和掌控； ②将 2012 年《考试说明》中“强调探究性、综合性、应用性.突出数学试题的能力立 意，坚持素质教育导向”修改为“注重问题的多样化，体现思维的严谨性、抽象性和发散性” ， 表述得更具体，以便于师生实际操作.
【示例】6：已知△ABC 的面积S 满足 3 ≤S≤ 3 ，且 AB BC 3 ， AB 与 BC 的夹角为 ．
22
1 求 的取值范围； 2 求函数 f（ ）=3sin2 +2 3 sin ·cos +cos2 的最大值及最小值．
【示例】7：（2012 年全国课标卷）已知 a,b, c 分别为ABC 三个内角 A, B,C 的对边，
2. 要求层次的变化 ①将 2012 年《考试说明》中诱导公式、同角三角函数的基本关系式由理解（B）上升 为掌握（C），凸显其地位和工具性作用； ②在三角函数中只要学生了解（A）周期函数的定义，删掉了三角函数的周期性，请注 意这一细微变化，广大考生不要在这些内容上挖的太深；
3. 题型示例的变化 增添了部分 2012 年高考湖北卷真题，删减了部分其它省市往年高考真题，明确的要求 广大考生“胸怀湖北，放眼全国”.
三角函数、平面向量和解三角形中的正、余弦定理相互交织，是高考考查的热点.纵观 近几年的高考试题，我们发现许多新颖别致的三角函数解答题就是以此为出发点设计的， 在 这类试题中平面向量往往只是起到“包装”的作用，实质上是考查考生综合运用三角 函数 的性质、三角恒等变换和正、余弦定理解决问题的能力.解决这类问题的基本思路是 “脱掉 向量的外衣，抓住问题的实质，灵活地实现问题的转化，选择合理的解决方法”. 在解题过 程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意挖掘题目中隐含的各种限 制条件，做 到推理严谨、计算准确、表达确切.
b (cos x sin x, 2 3 cosx) ，设函数 f (x) a b (x R) 的图象关于直线 x π 对
称，其中 ， 为常数，且 (1 , 1) .
2
（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期
； （Ⅱ）若
y
f
(x)
的图象经过点(π
,0) ，求函数
f
(x)
在区间[0,
3π] 上的取值范围.
学海无涯
专题 1——考试说明对比研究之必修④
应 城 市 第 一 高 级 中 学 陶治国 余必贵
下表为湖北考试说明 2012 年与 2013 年的知识要求的对比：
必修 4 的内容
知识要求
要求变换
了解（A) 理解（B) 掌握（C) 不 变 变 12 13 12 13 12 13 变 大 小
基
任意角的概念、弧度制
3
应的函数为奇函数, 则的最小值为 ▲
【示例】3：设△ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C， a c sin( A C) b c sin A sin C
（Ⅰ）求 A 的值
；
（Ⅱ）求函数
f (x)
2 sin x
A cos x A
2 2
2
3 的单调递增
区间。
趋势 2 考大题，难度明显降低 近几年，有关三角函数的大题即解答题，不再单纯地通过公式变形转换来考查考生的逻
辑思维能力，而是着重考查基础知识、基本技能和基本数学思想，难度明显降低.大题中的
向量多与三角、圆锥曲线及立体几何等相结合进行综合命题，着重体现其工具性作用.
【示例】4：（2012 年湖北卷）已知向量a (cosx sinx, sinx) ，
用数量积判断两个平面向量的垂直关
系
√ √√ √
√√
√
√√
√
√√
√
√
√√ √
√√
√
√√
√
学海无 涯
向量的 应用 用向量方法解决简单问题
√√
√
第一部分 2013 年湖北高考数学《考试说明》本专题解读
与 2012 年湖北高考《考试说明》对照比较，发现考试性质、命题指导思想、考核目标 与要求（知识要求、能力要求）、考试范围与要求层次（考试范围）、考试形式与试卷结构均 未变.只对考核目标与要求中的考查要求、考试范围与要求层次中的要求层次、题型示例作 了微调，下面针对本专题作说明:
a cos C 3a sin C b c 0 （1）求 A （2）若 a 2 ， ABC 的面积为 3 ；求 b, c 。
趋势 4 解斜三角形是平面几何研究的主体内容，高考对考生应用正弦、余弦定理的考查主 要体现在以下两个方面
其一是考查考生是否能通过对正弦、余弦定理变形技巧的熟练掌握，实现边角转换；其 二是在解斜三角形问题中，考查考生能否根据题目的条件，实现正弦、余弦定理的优化选择 ， 得到最佳解答. 【示例】8：（2012 年浙江卷）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c．已知 cosA＝ 2 ， sinB＝ 5 cosC．
第二部分 探究 2013 年湖北高考本专题的命题趋势
纵观近两年高考数学试题，我们可以发现试卷中出现了一些富有时代气息的三角函数 与平面向量的考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问 题和处理交汇性问题的能力.高考试卷中涉及的三角函数与平面向量的考题可以说是精彩 纷 呈，奇花斗艳.其特点如下： 趋势 1 考小题，重基础
√
恒 等 变 换 、
解
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 三角恒
二倍角的正弦、余弦、正切公式 等变换
简单的三角恒等变换
√√ √
√√ √
√√
√
三 角
解三 正弦定理、余弦定理
√√ √
形 角形 解三角形及其简单应用
√√
√
平面 向量 平面向量的相关概念
√√
√
向量的 平面向量的线性运算及其几何意义
线性运 平面向量的线性运算的性质及其几何
2 f (x) 的解析式为（ ）
学海无 涯
A. f (x) 4sin( x )
84
B. f (x) 4sin( x )
84
C. f (x) 4sin( x )
84
D. f (x) 4sin( x )
84
y 4
-2
O
x 6
-4
（示例 1 图
【示例】2：将函数 y sin(2x ) 的图像向左平移 0个单位后, 所得到的图像对
4
5
【示例】5：已知 F (1,0) , P 是平面上一动点, P 到直线l : x 1上的射影为点 N ，且满
足
uuur (PN
1
uuur NF )
•
uuur NF
0
2
（Ⅰ）求点 P 的轨迹C 的方程;
（Ⅱ）过点 M (1,2) 作曲线C 的两条弦 MA, MB , 设 MA, MB 所在直线的斜率分别为k1,k2 ,
算 意义
√√
√√ √ √
平面向 平面向量的基本定理
√√
量的基 平面向量的正交分解及其坐标表示 平 面 本定理 用坐标表示平面向量的加法、减法与数
向 量
及坐标 乘运算
表示 用坐标表示平面向量共线的条件
平面向量数量积的概念
数量积与向量投影的关系 平面向 量的数 数量积的坐标表示
√√
量积 用数量积表示两个向量的夹角
3 (Ⅰ)求 tanC 的值； (Ⅱ)若 a＝ 2 ，求 ABC 的面积．
【示例】9：在△ABC 中， a 2bcos c ，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
当 k1,k2 变化且满足k1 k2 1 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点坐标．
学海无涯
趋势 3 考应用，融入三角形与解析几何之中 该类试题既能考查解三角形、圆锥曲线的有关知识与方法，又能考查运用三角公式进行
恒等变换的技能，深受命题者的青睐.解该类试题的关键是充分利用三角形内角和定理，正、 余弦定理，三角形的面积公式，向量夹角公式，向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积 等知识.
√√
√
本
初
任意角的正弦、余弦、正切的定义
√√
√
等
函 数
诱导公式、同角三角函数的基本关系式
√√
√
Ⅱ 三角
（ 三 角 函
函数 周期函数的定义
√√
三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象
和性质
√√
√ √
数
）、
函数 y=Asin(ωx+φ）的图象和性质
√√
√
三 角
三角函数模型的简单应用
√√
的数量积.
考情分析 高考中三角函数与平面向量的考题仍主要为中等难度，主要考查以下五个方面的内容：1
、考查两角和与差的正弦、余弦及正切公式，二倍角的正弦、余弦及正切公式. 2、考查三角函数的图象与性质. 3、有关解三角形问题. 4、三角函数解答题仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型，以三角函数为载体的立意新 颖的应用性试题将备受命题者青睐. 5、对平面向量基本概念、平面向量的加减运算、平面向量的基本定理等的考查仍以客观题 形式呈现，对向量平行、向量垂直、数量积问题应多加重视，这在未来高考中仍是命题的 重 点与热点.
我们可以从中得到更多的启示——“稳定和创新”是 2013 年湖北省高考命题的方向，
学海无涯
“规避高考模式化”是湖北省高考命题的指导思想.展望 2013 年湖北省高考的命题趋势，我 们可以从 2012 年的高考试卷中得到一些感悟——新课标高考的理念已经渗透，“综合性、 开放性、探索性、创新性”试题将会得到更好的体现.
有关三角函数的小题主要考查解析式，图象与图象的变化，两域（定义域，值域），四 性（单调性、奇偶性、对称性、周期性），简单的三角恒等变换等.有关向量的小题主要考查 向量的线性运算以及平面向量的数量积等知识.
【示例】1：函数 f (x) Asin(x ), ( 0,| | , x R) 的部分图象如图所示，则
1. 考查要求的变化 ①将 2012 年《考试说明》中的第（1）、（4）条合并为第（1）条，以便于师生记忆 和掌控； ②将 2012 年《考试说明》中“强调探究性、综合性、应用性.突出数学试题的能力立 意，坚持素质教育导向”修改为“注重问题的多样化，体现思维的严谨性、抽象性和发散性” ， 表述得更具体，以便于师生实际操作.
【示例】6：已知△ABC 的面积S 满足 3 ≤S≤ 3 ，且 AB BC 3 ， AB 与 BC 的夹角为 ．
22
1 求 的取值范围； 2 求函数 f（ ）=3sin2 +2 3 sin ·cos +cos2 的最大值及最小值．
【示例】7：（2012 年全国课标卷）已知 a,b, c 分别为ABC 三个内角 A, B,C 的对边，
2. 要求层次的变化 ①将 2012 年《考试说明》中诱导公式、同角三角函数的基本关系式由理解（B）上升 为掌握（C），凸显其地位和工具性作用； ②在三角函数中只要学生了解（A）周期函数的定义，删掉了三角函数的周期性，请注 意这一细微变化，广大考生不要在这些内容上挖的太深；
3. 题型示例的变化 增添了部分 2012 年高考湖北卷真题，删减了部分其它省市往年高考真题，明确的要求 广大考生“胸怀湖北，放眼全国”.
三角函数、平面向量和解三角形中的正、余弦定理相互交织，是高考考查的热点.纵观 近几年的高考试题，我们发现许多新颖别致的三角函数解答题就是以此为出发点设计的， 在 这类试题中平面向量往往只是起到“包装”的作用，实质上是考查考生综合运用三角 函数 的性质、三角恒等变换和正、余弦定理解决问题的能力.解决这类问题的基本思路是 “脱掉 向量的外衣，抓住问题的实质，灵活地实现问题的转化，选择合理的解决方法”. 在解题过 程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意挖掘题目中隐含的各种限 制条件，做 到推理严谨、计算准确、表达确切.
b (cos x sin x, 2 3 cosx) ，设函数 f (x) a b (x R) 的图象关于直线 x π 对
称，其中 ， 为常数，且 (1 , 1) .
2
（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期
； （Ⅱ）若
y
f
(x)
的图象经过点(π
,0) ，求函数
f
(x)
在区间[0,
3π] 上的取值范围.
学海无涯
专题 1——考试说明对比研究之必修④
应 城 市 第 一 高 级 中 学 陶治国 余必贵
下表为湖北考试说明 2012 年与 2013 年的知识要求的对比：
必修 4 的内容
知识要求
要求变换
了解（A) 理解（B) 掌握（C) 不 变 变 12 13 12 13 12 13 变 大 小
基
任意角的概念、弧度制
3
应的函数为奇函数, 则的最小值为 ▲
【示例】3：设△ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C， a c sin( A C) b c sin A sin C
（Ⅰ）求 A 的值
；
（Ⅱ）求函数
f (x)
2 sin x
A cos x A
2 2
2
3 的单调递增
区间。
趋势 2 考大题，难度明显降低 近几年，有关三角函数的大题即解答题，不再单纯地通过公式变形转换来考查考生的逻
辑思维能力，而是着重考查基础知识、基本技能和基本数学思想，难度明显降低.大题中的
向量多与三角、圆锥曲线及立体几何等相结合进行综合命题，着重体现其工具性作用.
【示例】4：（2012 年湖北卷）已知向量a (cosx sinx, sinx) ，
用数量积判断两个平面向量的垂直关
系
√ √√ √
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学海无 涯
向量的 应用 用向量方法解决简单问题
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第一部分 2013 年湖北高考数学《考试说明》本专题解读
与 2012 年湖北高考《考试说明》对照比较，发现考试性质、命题指导思想、考核目标 与要求（知识要求、能力要求）、考试范围与要求层次（考试范围）、考试形式与试卷结构均 未变.只对考核目标与要求中的考查要求、考试范围与要求层次中的要求层次、题型示例作 了微调，下面针对本专题作说明:
a cos C 3a sin C b c 0 （1）求 A （2）若 a 2 ， ABC 的面积为 3 ；求 b, c 。
趋势 4 解斜三角形是平面几何研究的主体内容，高考对考生应用正弦、余弦定理的考查主 要体现在以下两个方面
其一是考查考生是否能通过对正弦、余弦定理变形技巧的熟练掌握，实现边角转换；其 二是在解斜三角形问题中，考查考生能否根据题目的条件，实现正弦、余弦定理的优化选择 ， 得到最佳解答. 【示例】8：（2012 年浙江卷）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c．已知 cosA＝ 2 ， sinB＝ 5 cosC．
第二部分 探究 2013 年湖北高考本专题的命题趋势
纵观近两年高考数学试题，我们可以发现试卷中出现了一些富有时代气息的三角函数 与平面向量的考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问 题和处理交汇性问题的能力.高考试卷中涉及的三角函数与平面向量的考题可以说是精彩 纷 呈，奇花斗艳.其特点如下： 趋势 1 考小题，重基础
√
恒 等 变 换 、
解
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 三角恒
二倍角的正弦、余弦、正切公式 等变换
简单的三角恒等变换
√√ √
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三 角
解三 正弦定理、余弦定理
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形 角形 解三角形及其简单应用
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平面 向量 平面向量的相关概念
√√
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向量的 平面向量的线性运算及其几何意义
线性运 平面向量的线性运算的性质及其几何
2 f (x) 的解析式为（ ）
学海无 涯
A. f (x) 4sin( x )
84
B. f (x) 4sin( x )
84
C. f (x) 4sin( x )
84
D. f (x) 4sin( x )
84
y 4
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x 6
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（示例 1 图
【示例】2：将函数 y sin(2x ) 的图像向左平移 0个单位后, 所得到的图像对
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【示例】5：已知 F (1,0) , P 是平面上一动点, P 到直线l : x 1上的射影为点 N ，且满
足
uuur (PN
1
uuur NF )
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（Ⅰ）求点 P 的轨迹C 的方程;
（Ⅱ）过点 M (1,2) 作曲线C 的两条弦 MA, MB , 设 MA, MB 所在直线的斜率分别为k1,k2 ,
算 意义
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平面向 平面向量的基本定理
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量的基 平面向量的正交分解及其坐标表示 平 面 本定理 用坐标表示平面向量的加法、减法与数
向 量
及坐标 乘运算
表示 用坐标表示平面向量共线的条件
平面向量数量积的概念
数量积与向量投影的关系 平面向 量的数 数量积的坐标表示
√√
量积 用数量积表示两个向量的夹角
3 (Ⅰ)求 tanC 的值； (Ⅱ)若 a＝ 2 ，求 ABC 的面积．
【示例】9：在△ABC 中， a 2bcos c ，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
当 k1,k2 变化且满足k1 k2 1 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点坐标．
学海无涯
趋势 3 考应用，融入三角形与解析几何之中 该类试题既能考查解三角形、圆锥曲线的有关知识与方法，又能考查运用三角公式进行
恒等变换的技能，深受命题者的青睐.解该类试题的关键是充分利用三角形内角和定理，正、 余弦定理，三角形的面积公式，向量夹角公式，向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积 等知识.
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初
任意角的正弦、余弦、正切的定义
√√
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函 数
诱导公式、同角三角函数的基本关系式
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Ⅱ 三角
（ 三 角 函
函数 周期函数的定义
√√
三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象
和性质
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函数 y=Asin(ωx+φ）的图象和性质
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三 角
三角函数模型的简单应用
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