人教版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 1.4.1 曲边梯形面积与定积分(1)
高中数学人教b版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分 含解析
1．4 定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点)2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)3．理解定积分的几何意义与性质．(易混点)[基础·初探]教材整理1 曲边梯形阅读教材P36，完成下列问题．由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图1-4-1)．图1-4-1【答案】y＝f(x)教材整理2 定积分的定义阅读教材P38，完成下列问题．设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图1-4-2)．用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把________________叫做____________________上的定积分，记作∫b af(x)dx ，即∫b af(x)dx ＝lim λ→0∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i .其中f(x)叫做________，a 叫____________，b 叫________，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a ，b]上________．图1-4-2【答案】 和式I n 的极限 函数f(x)在区间[a ，b] 被积函数 积分下限 积分上限 可积教材整理3 定积分的性质与几何意义 阅读教材P 39，完成下列问题． 1．定积分的性质(1)⎠⎛a b cf(x)dx ＝____________________________(c 为常数)．(2)设f(x)，g(x)可积，则⎠⎛a b [f(x)±g(x)]dx ＝⎠⎛abf(x)dx ±________________________.【答案】 1.(1)c ⎠⎛a b f(x)dx (2)⎠⎛a b g(x)dx2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分⎠⎛a b f(x)dx 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)dx 的几何意义．【答案】 f(x)≥0 直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f(x)dx ＝⎠⎛ab f(t)dt.( )(2)⎠⎛a b f(x)dx 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )dx ＝⎠⎛a b x 2dx ＋⎠⎛a b 2x dx.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2．填空(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2) ⎠⎛-11f(x)dx ＝⎠⎛-10f(x)dx ＋__________.(3)⎠⎛012x dx__________⎠⎛022x dx.(填“<”“＝”或“>”) 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos xdx (2)⎠⎛01f(x)dx (3)< [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]。
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2教学设计 1.4.1曲边梯形面积
1．4.1定积分的概念一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：1.掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．2.定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法： 探析归纳，讲练结合 教学过程： （一）．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？（二）．新课讲授1. 曲边梯形的面积，汽车行驶的路程问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．【解析】：（1）分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑=221111102n n n nn n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim limlim 112323nn n n n i i S S v nn n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．2、定积分的概念、几何意义、性质前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 1）．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121ii nax x x x x x b将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：11()()n nni i i i b aS f xf n如果x 无限接近于0（亦即n）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
2019版数学人教B版选修2-2课件：1.4.1曲边梯形面积与定积分
1 ������2
[0
+
1
+
2
+
⋯+(n-1)]=2+
1 ������2
·������(���2���-1)
=
2
+
���2���-���1��� ,
所以
2 1
(1 + ������)d������ = lim
������ →+∞
2
+
������-1 2������
=
2
+
1 2
=
52.
答案：5
2
-8-
1.4 定积分与微积分基本定理
-1-
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
-2-
1.4.1 曲边梯形面积 与定积分
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1.了解曲边梯形的面积,掌握“分割、近似代替、求和、取极限” 的数学思想.
2.掌握定积分的概念,会用定义求定积分,理解定积分的几何意义, 理解定积分的性质.
2.用定义求定积分的一般步骤.
(1)分割:n 等分区间[a,b];
(2)近似代替:在每个小区间任取 ξi;
(3)求和:
������ -1
∑ ������(������������)
������=0
·bn-a
;
(4)取极限:
b a
������(������)d������
=
������������������
2பைடு நூலகம்
+
������-1 ������
,
������
从而 ∑ ������(������������)Δ������������
人教B版高中数学选修2-2课件 1.4.1 曲边梯形面积与定积分课件1
＝n83i＝n1[n(i－1)－(i－1)2]
＝n82[0＋
1＋
2＋…＋(n
－1)]
－
8 n3
[02
＋12
＋22＋…
＋(n－
1)2]
＝n82nn2－1－n83n－1n62n－1 ＝4nn－1－4n－13n22n－1， 从而得到 S 的近似值 S≈Sn＝4nn－1－4n－13n22 n－1.
(4)取极限： S＝lni→m∞Sn＝lni→m∞[4nn－1－4n－13n22 n－1]＝43. 所以由 y＝2x－x2，y＝0,0≤x≤2 围成图形的面积为43.
a
＝a、x＝b 之间的各部分图形 面积的代数和 ，在 x 轴上方的 面积取 正号，在 x 轴下方的面积取 负号 .
求曲边梯形的面积
求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1) 围成的图形面积．
【思路探究】 按分割、近似代替、求和、取极限四个 步骤进行求解．
【自主解答】 (1)分割 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－n 1 把区间[0,1]等分成 n 个小区间： [0，1n]，[1n，2n]，…，[i－n 1，ni ]，…，[n－n 1，nn]， 简写作[i－n 1，ni](i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为 Δx＝ni －i－n 1＝1n.过各分点作 x 轴的 垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记 作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间[i－n 1， ni ]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取 ξi 为小区 间的左端点，用 f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－(i－n 1)(i－n 1－1)为其 一边长，以小区间长度 Δx＝1n为另一边长的小矩形对应的面 积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为 ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－(i－n 1)(i－n 1－1)·1n(i＝1,2，…，n)．
高中数学人教B版选修2-2配套课件： 1.4 第1课时曲边梯形面积与定积分
n－1 n＋i
n
3 1 15 3 1 ＝1＋2＋1＋4＝ 4 . · n
[ 说明]
(1)曲边梯形不是我们常见的规则四边形，所以不
能直接用已有的公式求其面积，可以将它分割成许多小的曲边 梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些面积 近似求和，就得到了梯形面积的近似值，当分割无限变细时， 这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． 1 (2)在求和时，可先提取 n ，再将和式进行化简处理，求得 S的值．
n＋i＋1 n＋i 1 个小区间的长度为Δx＝ － n ＝ n ，过各分点作x轴的 n 垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，再分别用小
n＋i 1 3 区间的左端点的纵坐标 为高，Δx＝ n 为底作小矩形，于 n n＋1 n＋2 1 3 1 是图中曲线之下小矩形面积依次为1 · ， · ， n n n n
a
a
n－1 i＝0
被积函数 ，a叫____________ 积分下限 ，b f (ξi)Δxi，其中f(x)叫做____________
积分上限 ，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间 叫____________ 可积 ． [ a，b]] 上________
2．定积分的性质
b c f(x)dx b a (1) cf ( x )d x ＝ _____________ (c为常数)；
3 3
2n－1 1 1 3 · ， „ ， . n · n n
所有这些小矩形的面积和(图中阴影部分面积) Sn ＝
n－1 n＋i 3
i＝0
n
高中数学选修2-2讲义：第一章 4 1 曲边梯形面积与定积分 含答案
1.4定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分如图，阴影部分是由直线x＝1，x ＝2，y ＝0和曲线f (x )＝x 2所围成的曲边梯形，问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．曲边梯形曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，称为曲边梯形． 2．求曲边梯形面积的方法求由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形如图①的面积的步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．[对应学生用书P25]问题1：求曲边梯形的面积与变力所做功的步骤是什么？ 提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间[a ，b ]等分吗？ 提示：可以．定积分的概念设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .把区间[a ，b ]分成n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i =0n －1f (ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m λ→0 ∑i =0n －1f (ξi )Δx i .其中f (x )叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”．例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等分数越多，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a bx 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26][例1] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[思路点拨] 按分割、近似代替、求和、取极限求值四步骤进行． [精解详析] 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i =1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝i =1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i =1n i 2＋2. ＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143. [一点通] 求曲边梯形面积的过程：1．下列关于函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 内各点处的函数值的说法正确的是( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 内的值相差很小，所以函数值相差很小，故选D.2．用以直代曲的思想，求由y ＝3x ，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替：用小矩形面积ΔS i (i ＝1,2，…，n )近似代替小曲边梯形面积，ΔS i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2()i －1，(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i =1nΔS i ＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n. (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i =1nΔS i ＝li m n →∞32·n －1n ＝32.[例2] 利用定积分表示由曲线y ＝x －2，x ＝y 2围成的平面区域的面积S .[思路点拨] 用定积分表示平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当公式S ＝⎠⎛a b|f (x )－g (x )|d x 中的f (x )或g (x )是分段函数时，面积要分块表示．[精解详析] 曲线所围成的平面区域如图所示， S ＝A1＋A 2，其中，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成， A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ＝⎠⎛012x d x .A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝⎠⎛012 x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .(1)定积分的几何意义：当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图像以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题．定积分的值可正可负可为零，而面积是正值．3．利用定积分表示下图中阴影部分的面积，答案：(1)⎠⎛121⎠⎛2121xd x (2)⎠⎛-11(－x 2＋1)d x 4．利用定积分表示由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．解：由题意，作图形，并解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0，得x ＝2，y ＝4.所以y 2＝8x 与直线x ＋y －6＝0的交点为(2,4)． 所以所求面积为S ＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x .[例3] (12分)说明下列定积分的几何意义，并根据其几何意义求出定积分．(1)⎠⎛023d x ； (2)⎠⎛232x d x ；(3)⎠⎛-a a a 2－x 2d x .[精解详析] (1)⎠⎛023d x 表示的是图(1)中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积是6，所以⎠⎛023d x ＝6.(4分)(2)⎠⎛232x d x 表示的是图(2)中阴影所示的梯形面积，其面积为5. ∴⎠⎛232x d x ＝5.(8分)(3)⎠⎛-a aa 2－x 2d x 表示的是图(3)中阴影部分的面积，该图形是一个以原点为圆心，半径为a 的上半圆的面积，其面积为π2a 2.∴⎠⎛-a aa 2－x 2d x ＝π2a 2.(12分)[一点通] 利用定积分的几何意义求定积分⎠⎛a bf (x )d x ，关键是确定由曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算．5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式．(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ；(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .答案：(1)＞ (2)< (3)＜6．利用定积分的几何意义，说明下列等式． (1)⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，而S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛-111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方部分的面积．由S 半圆＝π2，得⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.几类曲边梯形的面积与定积分的关系1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为( )A.1n B.2n C.2n －1D.2n ＋1解析：每个小区间长度为：1－(－1)n ＝2n .答案：B2．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤t (i －1)n ，ti nD.⎣⎡⎦⎤t (i －2)n ，t (i －1)n 解析：每个小区间长度为t n ，故第i －1个区间的左端点为：0＋(i －2)×t n ＝t (i －2)n ，右端点为t (i －2)n ＋t n ＝t (i －1)n.答案：D3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．答案：C4．如图，阴影部分的面积为( )[对应课时跟踪训练(十)]A.⎠⎛a bf (x )d x B.⎠⎛a bg (x )d x C.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛a b[g (x )－f (x )]d x解析：由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )， ∴阴影部分的面积为⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x . 答案：C5．把y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵当0<x <π2时，sin x >0，∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎛02πsin x d x .答案：⎠⎛2πsin x d x .6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝________(如图1)； (2)S 2＝________(如图2)； (3)S 3＝________(如图3)．答案：(1)⎠⎛3π0⎠⎛ππ3sin x d x (2)⎠⎛-42x 22d x (3)⎠⎛49x 12d x 7．利用定积分表示曲线y ＝x 2与x ＋y ＝2所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2得交点的横坐标为x ＝1及x ＝－2，如图，∴S ＝⎠⎛-21[(2－x )－x 2]d x ＝⎠⎛-21(2－x －x 2)d x .8．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可化为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛-114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB ·BC ＝2 3.∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
人教B版高中数学选修2-2课件1.4.1曲边梯形面积与定积分
n
x 0, f (xi )x S i 1
(n )
Oa
xi-1 xi xi
x
bx
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:
分割---以直代曲----求和------逼近.
小矩形面积和Sn
n i 1
f (xi )x
n i 1
ba f (xi ) n
的面积?
y
yf (x)
S1
b
y a
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
说明
• 本课件是根据网上老师们的作品结合 新课标的教材改编而成。
y
个曲边三角形的面积为:
S
lim
n
Sn
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
Sn
n i1
Si'
n i1
f (i 1)x n
n i1
(i 1)2 n
1 n
0
1 n
1 2 n
1 n
2 n
2
1 n
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
Oa
b f (x)dx
c
f (x)dx
b f (x)dx。
a
a
c
人教B版选修2-2高中数学1.4.1《曲边梯形面积与定积分》ppt课件(1)
似代替、求和、取极
oa
bx
值的方法求出其面积.
图1.5 1
15
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
14
可以证明,取f
x
x2在区间i
1, n
i n
上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
S
lim
n
n i1
f
ξi
Δx
1 lim f n n
ξi
1. 3
一般地,对如图1.5 1 y 所示的曲边梯形,我们 fb
y fx
也可以采用分割、近 fa
1 n
1
1 2n
.
11
y y x2
y y x2
y y x2
y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
图1.5 5
图1.5 5的演变过程,也可以用几何画板演示.
4取极限 分别将区间0,1等分成4,8,,20, 等份
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
5
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯形与" 直边图形" 的主要区
y y x2
别是,前者有一边是曲线段,
人教B版高中数学高二选修2-2学案 1.4.1 曲边梯形面积与定积分(一)
1．4.1 曲边梯形面积与定积分(一)明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S ＝lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (x i )Δx ，克服弹簧的拉力的变力所做的功：W ＝lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (x i )Δx .任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一求曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in ](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f (i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，in]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答 都能求出S ＝13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，1]，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx ＝1n 作为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即 ΔS i ≈(i －1n )2·1n.(3)求和曲边梯形的面积近似值为 S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n(i －1n )2·1n＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋(2n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2] ＝13(1－1n )(1－12n )． (4)取极限 曲边梯形的面积为 S ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13. 反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2(x ≥0)y ＝4， 得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2] n 等分，则Δx ＝2n ， 取ξi ＝2(i －1)n .(2)近似代替求和 S n ＝∑i ＝1n[2(i －1)n ]2·2n＝8n 3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83(1－1n )(1－12n )． (3)取极限S ＝lim n →∞S n＝lim n →∞ 83(1－1n )(1－12n )＝83. ∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.探究点二 求变力做功思考 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？答 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功．解 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx (N)，其中k 为比例系数．将[0，e ]n 等分，记Δx ＝e n ，分点依次为x 0＝0，x 1＝e n ，x 2＝2en ，…，x n －1＝(n －1)e n ，x n ＝e .当n 很大时，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力约为kx i ，所做的功ΔW i ≈kx i Δx ＝kx i en .则从0到e 所做的总功W 近似地等于∑i ＝0n －1ΔW i ＝∑i ＝0n －1kx i ·Δx ＝∑i ＝0n －1k ·ie n ·en＝ke 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝ke 2n 2·n (n －1)2＝ke 22⎝⎛⎭⎫1－1n . ∴弹簧从平衡位置拉长到e 处所做的功为： W ＝lim n →＋∞∑i ＝0n －1ΔW i ＝ke 22. 答 克服弹力所做的功为ke 22J.反思与感悟 以“不变代变”的方法，把变力做功问题转化为求常力做功问题．跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S (单位：km)是多少？ 解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为ΔS i (i＝1,2，…，n )，则显然有S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )．于是ΔS i ≈ΔS ′i ＝v (2i n )·Δt ＝[3(2i n )2＋2]·2n＝24i 2n 3＋4n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和S n ＝∑i ＝1nΔS ′i ＝∑i ＝1n(24i 2n 3＋4n )＝24n3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4 ＝8(1＋1n )(1＋12n )＋4.从而得到S 的近似值S ≈S n . (4)取极限S ＝lim n →＋∞S n＝lim n →＋∞[8(1＋1n )(1＋12n )＋4]＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案 D解析 当n 很大，即Δx 很小时，在区间[i －1n ，in ]上，可以认为f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数．3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于 110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； (3)求和：∑i ＝0n －1f (ξi )·b －a n；(4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝0n －1f (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．。
高中数学人教B版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)
1.4.1曲边梯形面积与定积分(二)明目标、知重点1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．定积分的概念、几何意义及性质探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?答(1)定积分ʃb a f(x)d x是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n→∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃb a f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．解令f (x )＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和 取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (i n)·Δx＝∑ni ＝1 (i n)3·1n＝1n 4∑n i ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n )2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n＝lim n →∞14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1用定义计算ʃ21(1＋x )d x .解(1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为 Δx ＝1n.(2)近似代替、求和：在⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in 上取点ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而得∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1n (2＋i －1n )·1n ＝i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋n －12n.(3)取极限：S ＝limn →∞⎝⎛⎭⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52. 探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃb a f (x )d x 表示什么？ 答当函数f (x )≥0时，定积分ʃb a f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃb a f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于b －a n>0，f (ξi )≤0，故f (ξi )b －a n ≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃb af (x )d x ＝－S .当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃb a f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb a f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3.例2用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)322sin ;xdx ππ⎰(3)⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ； (4)⎠⎛ab (x －a )(b －x )d x (b >a )．解(1)如图1阴影部分面积为(2＋5)×12＝72， 从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积， 从而322sin xdx ππ⎰＝0.(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分⎠⎛3－3f (x )d x 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6， ∴⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4. (4)令y ＝f (x )＝(x －a )(b －x )，则有(x －a ＋b 2)2＋y 2＝(b －a 2)2(y ≥0)，f (x )表示以(a ＋b2，0)为圆心，半径为b －a 2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2＝π2(b －a 2)2＝π(b －a )28，由定积分的几何意义可知⎠⎛ab(x －a )(b －x )d x ＝π(b －a )28.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .解(1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·32. 由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2d x ＝92π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？ 答定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃb a f n (x )d x ；②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb c n f (x )d x (其中n ∈N ＋)．思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa 0g (x )d x .例3计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： (1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解(1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154 ＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是() ①ʃ10x 3d x ＝i ＝1n i 3n 3·1n；②ʃ10x 3d x ＝lim n ＋∞i ＝1n (i －1)3n3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n ＋∞i ＝1n i 3n 3·1n. A ．0B ．1C ．2D ．3 答案C解析②③成立．2．定积分ʃb a f (x )d x 的大小()A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案A3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x .答案①>②<4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案3 解析令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0，T ]n 等分，则Δx ＝T n .(2)近似代替、求和 取ξi ＝T in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝i ＝1n (T i n)2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n )． (3)取极限S ＝lim n →∞T 36×2＝T 33＝9,∴T 3＝27，∴T ＝3. [呈重点、现规律]1．定积分ʃb a f (x )d x 是一个和式i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．。
人教B版选修22高中数学141《曲边梯形面积与定积分》同步练习4
曲边梯形面积与定积分得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分）1、函数y=x2co sx的导数为…………………………………………………………………【】A、y′=2x co sx－x2s i nxB、y′=2x co sx+x2s i nxC、y′=x2co sx－2xs i nxD、y′=x co sx－x2s i nx2、下列结论中正确的是……………………………………………………………………【】A、导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【】B、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误！超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值C、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效.,右侧错误!超链接引用无效。
,那么错误！超链接引用无效.是极小值D、如果在错误!超链接引用无效。
附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误!超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值3、曲线错误！超链接引用无效。
与坐标轴围成的面积是…………………………………【】A、4B、错误！超链接引用无效。
C、3D、24、函数错误!超链接引用无效.,错误!超链接引用无效.的最大值是…………………………………………【】A、1B、错误！超链接引用无效。
C、0 错误！超链接引用无效。
D、-15、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处,则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【】A 、0、28J B、0、12J C、0、26J D、0、18J6、给出以下命题:⑴若错误！超链接引用无效。
，则f(x)>0; ⑵错误!超链接引用无效。
;⑶f （x)的原函数为F(x）,且F（x）是以T为周期的函数，则错误！超链接引用无效。
；其中正确命题的个数为…【】A、1B、2C、3D、07、若函数错误！超链接引用无效.是R上的单调函数，则实数m的取值范围是………【】A、错误!超链接引用无效。
推荐-高中数学人教B版选修2-2课件1.4.1 曲边梯形面积与定积分(1)
12
目标导航
知识梳理
重难聚 焦
典例透析 随堂演练
【做一做 2-1】
定积分
������ ������
������d������(������为常数)
的几何意义是
.
答案：表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=c所围成的矩形的面积
【做一做 2-2】
由
y=sin
x,x=0,x=
π 2
,
������
和;(4)取极限.
2.物体作变速直线运动所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)在时
间区间[0,t]上的定积分, 即 s=
������ 0
������(������)d������.
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重难聚 焦
典例透析 随堂演练
题型一 题型二 题型三
定积分的几何意义
【例题 2】
用定积分的几何意义求
������ ������
������=0
·bn-a
;
(4)取极限:
b a
������(������)d������
=
������������������
n →+∞
������ -1
∑ ������(������������)
������=0
·���������-���������.
12
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知识梳理
重难聚 焦
典例透析 随堂演练
lim ������������
������ →+∞
=
������������������
n →+∞
1 2
������������2
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高中数学 第1章 1.4第1课时 曲边梯形面积与定积分课时
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第1章 1.4第1课时 曲边梯形面积与定积分课时作业 新人教B 版选修2-2一、选择题1．设f (x )是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的积分⎠⎛－a af (x )d x ，由定积分的几何意义得⎠⎛－a af (x )d x 的值为( )A ．0B ．2⎠⎛－a 0f (x )d x C. ⎠⎛－a 0f (x )d x D ．⎠⎛0a f (x )d x[答案] B[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，对称区间上面积相等．2．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2] B ．[0,2] C ．[1,2] D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝exy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 近似代替；③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 代替f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D ．⎠⎛0112d x [答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·b －anC.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n写成定积分是________．[答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：(1)sin x d x ；(2)⎠⎛-42 12x 2d x ；(3)－⎠⎛49(－x 12 )d x .一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A[解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ⎠⎛2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛-22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛-224－x 2d x ＝π·222＝2π.(2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝[n n ＋12]2)[解析] 将[0,2]平均分成n 等份，每份2n ，第i 个小曲边梯形的面积S 1＝2n ·(2i n)3，S＝lim n →＋∞ 2n [(2n )3＋(4n )3＋…＋(2n n )3]＝lim n →＋∞ 16n4(13＋23＋…＋n 3)＝lim n →＋∞4n ＋12n 2＝4.。
2019-2020学年人教B版数学选修2-2讲义：第1章 1.4 1.4.1 曲边梯形面积与定积分
姓名，年级：时间：1。
4 定积分与微积分基本定理1.4。
1 曲边梯形面积与定积分学习目标核心素养1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点）2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)3．理解定积分的几何意义与性质．（易混点)1．通过定积分概念的学习,培养学生的数学抽象素养。
2．借助对定积分的几何意义的理解和性质的应用,提升学生的直观想象、数学运算素养.一、曲边梯形由直线x＝a，x＝b（a≠b),y＝0和曲线y＝f(x）所围成的图形称为曲边梯形(如图）．二、定积分的定义设函数y＝f（x)定义在区间[a,b］上（如图)．用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜x n－1＜x n＝b把区间［a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δx i＝x i＋1－x i,i＝0,1,2，…，n－1．记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi,作和式I n＝错误!(ξi）Δx i，当λ→0时，如果和式的极限存在,我们把和式I n的极限叫做函数f（x）在区间[a,b］上的定积分，记作错误!f(x)d x，即错误!f(x)d x＝错误!错误!（ξi）Δx i。
其中f（x）叫做被积函数,a叫积分下限，b叫积分上限，f（x)d x叫做被积式．此时称函数f（x）在区间［a，b]上可积．三、定积分的性质与几何意义1．定积分的性质（1)错误!c f (x )d x＝c 错误!f (x )d x (c 为常数）．（2)设f (x )，g (x )可积,则错误![f （x )±g (x ）]d x ＝错误!f (x )d x ±错误!g （x )d x . 2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x ）连续且恒有f （x ）≥0，那么定积分错误!f （x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f （x ）所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分错误!f （x )d x 的几何意义．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”） （1)错误!f （x ）d x ＝错误!f (t )d t 。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》
1.曲边梯形：由直线 和曲线 所围成的图形称为曲边梯形。
2.
2引例：求曲线 与直线 所围成的区域的面积
将区间 等分为个小区间： ，每个小区间的长度为
，过各分点作 轴的垂线，把曲边梯形分成 个小曲边梯形，再分别用
小区间左端点的纵坐标为高，为底座小矩形，ຫໍສະໝຸດ 是，这些小矩形的面积依次是
所有这些小矩形的面积之和为 =
化简得： =
所以 ==
思考：如果去小区间的右端点的纵坐标 为高，则这些小矩形的面积之和为 =
化简得： =
所以 ==
3定积分的定义：如果函数f在区间[a,b]上连续，用分
将区间[a,b]等分成n个小区间 ，其长度依次为 。在每个小区间 上任取一点ξi（i=1，2，⋯，n），作和式
当 →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f在区间[a,b]上的定积分，记作 即
这里， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数 叫被积函数， 叫做被积式，叫做积分变量。
4定积分 的几何意义．
从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f连续且恒有 ，那么定积分 表示由由直线 和曲线 所围成的图形称为曲边梯形。
1.4.1曲边梯形的面积与定积分
知识与技能目标
（1）体会“无限分割思想”求曲边梯形的面积；
（2）理解定积分的概念；
过程与方法
借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；
情感态度与价值观
通过求曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想
重点：定积分的概念；
难点：如何把曲线围成区域的面积转化成矩形面积的和。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》4
教学设计《曲边梯形的面积与定积分》辽宁省实验中学营口分校裴大新一、教学内容解析本节课是人教B版选修2-2第一章第4节定积分与微积分基本定理中第一小节的第一课时。
定积分对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习在“割圆术”中接触过不足近似值和过剩近似值的知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的微积分基本定理是对本节内容的升华，在高考中占有一定的分量。
本节内容的学习主要是为让学生理解定积分的概念。
同时，通过定积分概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、教学目标1、知识与技能目标：（1）借助于几何直观体会定积分的基本思想：分割、以直代曲、逼近了解定积分的概念；（2）能用定积定义求简单的定积分；（3）通过定积分定义理解掌握定积分的几何意义和性质。
2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。
3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。
三、教学重点与难点1、重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．2、难点：定积分的概念、定积分的几何意义．四、教学过程 1．创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积，再求出n 个小矩形的面积和Sn ，当n 接近无穷大时Sn 接近曲边梯形的面积S 。
微积分思想——无穷分割下的极限思想=2、直线=1和轴所围成的曲边梯形（此时特殊为曲边三角形） 的面积。
（1）分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[0等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i x n n n-∆=-=分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形， 他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑（2）近似代替记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值1i f n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代曲”，则有221111(1,2,,)i i i i i S S f x x i n n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①（3）求和 由①，（4）取极限分别将区间[]0,1等分8，16，2021等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111111lim lim lim 11323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 2、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和式：()()11n nii i i b af x f nξξ==-∆=∑∑当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
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第一章 §1.4 课时作业11
一、选择题
1．在“近似代替”中，函数f (x )在区间上近似值等于( )
A ．只能是左端点的函数值f (x i )
B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)
C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈)
D ．以上答案均正确
解析：作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是上任一点f (ξi )． 答案：C
2．在求由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形的过程中，下列说法正确的是( )
A ．n 个小曲边梯形的面积和等于S
B ．n 个小曲边梯形的面积和小于S
C ．n 个小曲边梯形的面积和大于S
D ．n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定
解析：由题意内容知A 选项正确．
答案：A
3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )
A.13
B.12 C ．1 D.32
解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12
即为这段时间内物体所走的路程．
答案：B
4．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：将区间n 等分，记第i 个区间为hslx3y3h a (i －1)n ，ai n 0,100,100,21,21＋i －1n ，1＋i n
－(1＋i n )2＋2(1＋i n )·1n ＝－1n 3＋2n 2 ＝－1n 3hslx3y3h 2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )·(2＋1n
)＋3＋1n 0,10,10，1n 1n ，2n n －1n ，1i －1n ，i n (i －1)n ·(i －1n －1)hslx3y3h·1n |＝i －1n 2·(1－i －1n
)(i ＝1,2，…，n )．
(3)求和
把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n 个小矩形的面积的和
S n ＝∑i ＝1n
|f (i －1n )·Δx |＝∑i ＝1n i －1n 2·(1－i －1n )＝16·(1－1n 2)， 从而得到所求图形面积的近似值S ≈16·(1－1n 2)． (4)取极限
S ＝lim n →∞ 16·(1－1n 2)＝16
， 即直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16
.。