74离散系统数学模型

R(z)
z； z 1
C(z)
z
；
(z 2 6z 8)(z 1)
1 1； 2 2； 3 4；
C(z) z z z ； 3(z 1) 2(z 2) 6(z 4)
c(nT ) 1 2 3 2n 4n ，n 0 ； 6
习题7-8 (2) c*(t+2T )+2c*(t+T)+c*(t)=r*(t),
这里，通过3个简单示例，介绍本质离散系 统差分方程的建立方法。
例 T形电阻网络如下，建立节点电压差分方程。
V0
V1
Vk-1
Vk
Vk +1
Vn
R
E
2R
R
R
2R
2R
2R
2R 2R
解： 根据T形电阻网络，得到简化的局部电路图
Vk-1 2I Vk I Vk+1
R
R
2R
I 2R I/2 2R
I/2
得到 Vk= 0.5Vk-1，V0= E；( k为节点的序号。)
c(2) 1 0.51.5 0.5 1.25； c(3) 1 0.51.25 0.51.5 0.875；
c(4) 1 0.5 0.875 0.51.25 0.8125；
c(5) 1 0.5 0.8125 0.5 0.875 0.96875； c(6) 1 0.5 0.96875 0.5 0.8125 1.078125；
例7-16 已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下
c(k) 5c(k 1) 6c(k 2) r(k)； r(k) 1(k)； c(0) 0, c(1) 1。
试用递推法计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,…,10。
解 采用递推关系 c(k+2) = 1+5c(k+1)- 6c(k)；
c(kn) a1c(kn 1) a2c(kn 2) anc(k) b1r(kn 1) b2r(kn 2) bmr(kn m)；
n
m
c(k n) aic(k n i) bjr(k n j)；
i 1
j 1
前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换 法计算初始条件不为零的解。
上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书 写简便可采用时间移动算子。
如何建立采样系统的差分方程，将在“脉冲 传递函数”小节中讨论。
2. 线性常系数差分方程及其解法
c(k
)
a1c(k b1r(k
11))ba22rc((kk22))bamnrc((kk
n) m)；
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)；
i 1
j 1
后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。
1. 离散系统的数学定义
c(k) F[r(k)，r(i)；c(i)]； k 0, 1, 2, ；i k 1, k 2, ；
式中 k、i是整数；对于自变量为时间t的采样系
统，k、i分别表示kT、i T，即采用周期 T 作为时 间变量的单位；
r(k)是系统输入； c(k)是系统输出。
c(k) F[r(k)，r(i)；c(i)]；
；
d z (z 1)2 z1 d z (z 1)2 z1
c(nT ) T (n 1) T (n 1)(1)n ；
4
4
c(nT )
T
(n
0 1)
/
2
n 0, 2, 4, 。 n 1, 3, 5,
习题7-8 (3)
c(k+3)+6 c(k+2)+11c(k+1)+6 c(k ) = 0,
c(0) 0； c(1) 1； c(2) 4；
c(3) 15； c(4) 56； c(5) 209；
习题7-8 试用Z变换法解下列差分方程： (1) c*(t+2T )-6c*(t+T)+8c*(t)=r*(t),
r*(t)=1(t), c*(t)=0 (t≤0)；
解： z 2C(z) 6 z C(z) 8C(z) R(z)；
0.1 0.4 16k 0.3 81k
c(nT
)
0.1 0.8 16k 0.1 1.6 16k
0.9 81k 2.7 81k
0.1 3.2 16k 8.1 81k
k 0, 1, 2, 3, 4, ；
n 4k
n 4k 1 ； n 4k 2
n 4k 3
3. 脉冲传递函数(定义、意义) 使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离
7-4 离散系统的数学模型
1. 离散系统的数学定义 2. 线性常系数差分方程及其解法 3. 脉冲传递函数 4. 组合环节的等效脉冲传递函数 5. 闭环系统的脉冲传递函数计算 6. Z变换的局限性及修正Z变换
离散系统的数学模型
与连续系统类似，单输入单输出线性时不变 离散系统数学模型有三大类：差分方程 ( 时域 ) 、 脉冲传递函数 ( 复数域 ) 和状态空间模型。本节重 点讨论差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本 概念、开环和闭环脉冲传递函数的建立方法。
表明：讨论离散系统时，仅关注采样时刻上 的各信号间的关系。
(1) 线性离散系统
c(k) F[a r1(k) b r2 (k)，a r1(i) b r2 (i)，c(i)] F[a r1(k)，ar1F(i[)b，r2a(ck1)(，i)]b r2 (i)，bc2 (i)] a c1(k) bc2 (k)
(2) 线性时不变离散系统 系统输入输出关系不随时间改变的线性离散
系统，称为线性时不变离散系统。
(3)离散系统差分方程的建立 根据有无对应的连续系统，离散系统可分为
两类：
采样系统 通过对连续系统进行采样而获 得的系统离散数学模型，简称为采样系统；
本质离散系统 客观存在的无对应连续系 统的离散系统，可称为本质离散系统。
得 c(0) 0；c(1) 1； c(2) 1 5 6； c(3) 1 5 6 6 25； c(4) 1 5 25 6 6 90； c(5) 1 5 90 6 25 301；
┇
c(10) 1 5 28501 6 9330 86526；
例7-16-1 已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下
c(k) 4c(k 1) c(k 2) 0； c(0) 0, c(1) 1。
计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,3,4。
解一： 递推法计算 c(k+2) =4c(k+1)- c(k)；
c(0) 0； c(1) 1；
c(2) 4 1 0 4； c(3) 4 4 1 15；
例7-17 用 Z 变换法解下列(齐次)差分方程
c(k 2) 3c(k 1) 2c(k) 0；c(0) 0, c(1) 1。
解： z2{C(z) z1} 3zC(z) 2C(z) 0
(z2 3z 2)C(z) z； C(z)
z；
z2 3z 2
c(kT) z z k1
易知该差分方程解为
Vk= 0.5kE。
例 建立教育储蓄余额(每月存款一次)差分方程。
设 c(k)为第k个月存款前的存款余额，r(k)为 新加入的存款额，0 < b < 1%是存款月利率。 解 差分方程为 c(k+1)=(1+b)[c(k)+r(k)]， c(0)=0；
k 1
差分方程解为 c(k) (1 b)i r(i)。
解 超前差分方程 c(k+2) -5c(k+1)+ 6c(k) = r(k) ；
z 2{C(z) z 1} 5 z C(z) 6C(z) R(z)；
R(z) z ； C(z) z z(z 1) ；
z 1
(z 1)(z 2 5z 6)
例7-16-2续
C(z)
z2
；
(z 1)(z 2)(z 3)
i0
例 建立产量与库存量(每月统计一次)差分方程。 设 c(k)为第k个月统计前的产品库存量， r(k)
为当月生产量， b(k)为当月销售量。 解 差分方程为 c(k+1)= c(k)+r(k)-b(k)， c(0)=c0；
k 1
差分方程解为 c(k) c0 r(i) b(i)。
i0
采样系统差分方程的系数不仅与原连续系统 参数有关，而且与采样周期T 的大小及采样开关 后是否有零阶保持器有关。
时间移动算子q：
q x(k) x(k 1)； q1x(k) x(k 1)； 前向差分： A(q)c(k) B(q)r(k)
后向差分： qn A(q)c(k) qn B(q)r(k)
A(q) q n a1qn1 a2qn2 an1q an B(q) b1qn1 b2qn2 bm1q bm
c(nT ) 5.5 (1)n 7 (2)n 2.5 (3)n，n 0；
习题7-8 (4)
c(k+2)+5 c(k+1)+6 c(k ) = cos(k / 2)，
c(0) = c(1) =0； 解： z 2C(z) 5 z C(z) 6C(z) R(z)；
Z
cos
2T
kT
z2 ； z2 1
c(0) = c(1) = 1, c(2) =0；
解： z3 C(z) 1 z 1 6z2 C(z) 1 z1
11z C(z) 1 6C(z) 0；
C(z) z3 7z 2 17z ； (z 1)(z 2)(z 3)
C(z) 5.5 z 7 z 2.5 z ； z 1 z 2 z 3
c(4) 4 15 4 56；
解习二题：7-7Z续变换法计算 c(k+2) - 4c(k+1)+ c(k)= 0；
z 2{C(z) z 1} 4 z C(z) C(z) 0；