最新人教版数学八年级上册解题技巧专题：选择合适的方法因式分解
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
(完整word版)人教版八年级数学因式分解方法技巧.docx
因式分解方法技巧专题一分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：1、漏项，特别是漏掉2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化3、分解不彻底首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”［例题］把下列各式因式分解：1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)22. a5-a3.3(x 2-4x) 2-48[点拨 ]看出其中所含的公式是关键练习1、3x 12 x3 2 、2a( x21) 22ax23、3a26a4、56x3yz+14x 2y2z－21xy 2z25、－ 4a3＋ 16a2b－ 26ab26、m416n 4二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1 提公因式法 2 平方差公式法。
先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：A 、多项式为二项式或可以转化成二项式；B 、两项的符号相反；C、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；E、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式[例题 ]分解因式： 3(x+y) 2-27[点拨 ]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解练习1)x 5－ x32) m416n43)25－ 16x221222124)9a －4b .5）25－ 16x ;6） 9a －4b .专题三三项式的分解因式 : 如果一个能分解因式，一般用到下面 2 种方法： 1 提公因式法 2 完全平方公式法。
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧因式分解是代数学中的重要概念和技巧，它在解题和简化表达式中起到关键作用。
在本文中，我们将探讨因式分解的方法与技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、提取公因式法提取公因式法是因式分解中最基本和常用的方法之一、它的基本思想是找出多项式中各项的公共因子，并将其提取出来。
具体步骤如下：1.找出多项式中的最大公因子。
2.用公因子除每一项，将其化简为最简形式。
例如，对于多项式2x²+4x，我们可以发现2是每一项的公因子，因此可以提取出来，即2(x²+2x)。
二、分组分解法分组分解法是常用于四项以上的多项式因式分解中的一种方法。
它的基本思想是将多项式中的项进行重新分组，将一些项之间的关系呈现出来，以便于进行因式分解。
具体步骤如下：1.对多项式进行重新分组，将相邻的项组合在一起。
通常是将相邻的两项组合在一起，但也可以根据需要进行更多项的分组。
2.在每一组中找出公共因子，并做相关的因式分解。
3.观察各组之间是否存在公共因子，并将其提取出来。
例如，考虑多项式2x² + 3xy + 4x + 6y，我们可以将其进行分组，得到(2x² + 4x) + (3xy + 6y)。
然后在每一组中分别提取公因子，得到2x(x + 2) + 3y(x + 2)。
最后观察到(x + 2)是两组的公共因子，因此我们可以进一步提取出来，得到(x + 2)(2x + 3y)。
三、平方法平方法是一种特殊的因式分解方法，适用于具有特殊形式的二次多项式。
它的基本思想是将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式，然后进行因式分解。
具体步骤如下：1.将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式。
2.使用平方差或平方和公式进行因式分解。
例如，考虑二次多项式x²-9，我们可以将其写成(x+3)(x-3)的形式。
这是因为x²-9可以被分解为(x+3)(x+3)-6(x+3)+9，然后再根据平方差公式得到(x+3)(x-3)。
因式分解掌握方法和技巧
因式分解掌握方法和技巧因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个多项式分解为多个乘积的形式。
掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和解题是非常重要的。
在本文中，我将介绍因式分解的方法和技巧，并给出一些例子进行详细的讲解。
一、因式分解的基本方法因式分解的基本方法是将一个多项式表示为多个乘积的形式。
在进行因式分解时，我们需要找到多项式中的共同因子，并将其提取出来，最终将多项式表示为乘积的形式。
例如，我们将多项式x^2+3x+2进行因式分解，首先观察多项式的各项之间是否存在其中一种数学关系，如果没有明显的数学关系，我们可以尝试将多项式进行因式分解。
我们可以发现，该多项式的第一项和最后一项都是平方项，且它们之和等于中间项的系数。
也就是说，x^2+3x+2可以写成(x+1)(x+2)的形式。
因此，我们可以将x^2+3x+2分解为(x+1)(x+2)。
二、因式分解的常见技巧除了基本的方法外，因式分解还有一些常见的技巧，这些技巧可以帮助我们更快地找到多项式的因式。
1.提取公因子法提取公因子法是因式分解中最常用的技巧之一、通过提取多项式的公共因子，可以将多项式表示为乘积的形式。
例如，我们将多项式6x^3+9x^2+12x进行因式分解，首先观察多项式中各项的系数，我们可以发现它们都可以被3整除。
因此，我们可以将多项式进行公因子提取，6x^3+9x^2+12x可以写成3x(2x^2+3x+4)的形式。
2.完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为两个平方数的差。
例如，我们将多项式x^2-4进行因式分解，首先观察多项式中的平方项和常数项，我们可以发现它们之间的差是常数4因此，我们可以应用完全平方公式，将多项式进行因式分解，x^2-4可以写成(x+2)(x-2)的形式。
3.差的平方公式差的平方公式是指一个平方项和一个常数的乘积可以表示为两个相同数的平方的差。
例如，我们将多项式x^2-4x+4进行因式分解，我们可以发现它是一个平方项和一个常数的乘积，且常数乘积等于平方项的系数的平方。
人教版八年级数学上册-解题技巧专题：选择合适的方法因式分解
学好数学的秘密1、学完多思考要想学好数学一定要多思考。
主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。
独立思考是学习数学必须具备的能力。
同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。
2、多做练习题要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。
只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。
3、善于总结规律我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。
解题技巧专题：选择合适的方法因式分解——学会选择最优方法n)．(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝______________________＝______________________；(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18；【方法22】(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________7．阅读：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x ＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.参考答案与解析1．C2．解：(1)原式＝x2y(3xy2－y2＋2x2)；(2)原式＝(x＋y)2·[2－(x＋y)]＝(x＋y)2·(2－x－y)．3．A4．解：(1)原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2；(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y －1)(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a －b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．6．解：(1)原式＝(x＋9)(x－2)．(2)7，－7，2，－2解析：若x2＋px －8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)；(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x ＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．。
508.八年级新人教版数学上册10.解题技巧专题：选择合适的方法因式分解(解题技巧)
解题技巧专题：选择合适的方法因式分解——学会选择最优方法◆类型一一步(提公因式或套公式)分解因式1．(2016·宁德中考)下列分解因式正确的是（）A．－ma－m＝－m(a－1)B．a2－1＝(a－1)2C．a2－6a＋9＝(a－3)2D．a2＋3a＋9＝(a＋3)22．分解因式：(1)3x3y3－x2y3＋2x4y；(2)2(x＋y)2－(y＋x)3.◆类型二两步(先提后套或二次分解)分解因式2．3．(2016·梅州中考)分解因式a2b－b3，结果正确的是（）A．b(a＋b)(a－b) B．b(a－b)2C．b(a2－b2) D．b(a＋b)24．分解因式：(1)－2a3＋12a2－18a;(2)(x2＋1)2－4x2.*◆类型三特殊的因式分解法(分组分解法、十字相乘法、配方法)5．阅读下列材料并解答问题：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝______________________＝______________________；(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18；【方法22】(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________7．阅读：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.参考答案与解析1．C2．解：(1)原式＝x2y(3xy2－y2＋2x2)；(2)原式＝(x＋y)2·[2－(x＋y)]＝(x＋y)2·(2－x－y)．3．A4．解：(1)原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2；(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y －1)(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a －b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．6．解：(1)原式＝(x＋9)(x－2)．(2)7，－7，2，－2解析：若x2＋px －8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)；(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x ＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
人教版八年级上册数学知识点归纳
新人教版八年级数学上册知识点总结（上）（含思维导图）因式分解：1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；'（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；…（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；!（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.|16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方2．平方根的性质：（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.&8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数.三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）》几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识："1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边. 10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.@12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；—②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.附思维导图：.。
八年级数学(上册)-因式分解的方法汇总
（3）原式=
x4 2x2 1 2x(x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题 的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已 知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种 方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在 此基础上分解因式。
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
(x y xy)2 2(x y xy) 1 (x y xy 1)2 (x 1)2 ( y 1)2
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
初中因式分解的方法与技巧
初中因式分解的方法与技巧初中数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。
它是将一个多项式拆分成若干个因式的过程，可以帮助我们简化计算和解决问题。
本文将介绍初中因式分解的方法与技巧。
一、什么是因式分解因式分解是指将一个多项式分解成若干个因式的乘积。
多项式是由若干个单项式相加或相减而成的表达式，而单项式则是只包含一个变量的系数与指数的乘积。
因式分解可以理解为将多项式进行拆解，找到能够整除原多项式的因子，然后将其写成多个因子的乘积。
二、常见的因式分解方法与技巧1.提取公因式法提取公因式法是最基础也是最常用的因式分解方法之一。
该方法适用于多项式中存在公因式的情况。
具体步骤如下：（1）观察多项式，找出可以整除所有项的最大公因式。
（2）将最大公因式提取出来，将剩余的部分写成括号内的形式。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以观察到2是所有项的公因式，因此可以将公因式2提取出来，将原多项式分解为2(x+2y)。
2.根据公式进行因式分解在初中数学中，我们学习到了一些常见的平方差公式和完全平方式，可以利用这些公式来进行因式分解。
具体步骤如下：（1）观察多项式，判断是否符合某个公式的形式。
（2）根据公式进行拆解，将多项式写成公式中的形式。
例如，对于多项式x^2-4y^2，我们可以观察到它是一个平方差的形式，即x^2-（2y）^2。
根据平方差公式，我们知道（a+b）（a-b）=a^2-b^2，因此可以将原多项式分解为（x+2y）（x-2y）。
3.分组分解法分组分解法适用于多项式中存在四项以上的情况。
具体步骤如下：（1）将多项式按照适当的方式进行分组，使得每组中的项都有公因式。
（2）对每组进行提取公因式和化简。
（3）将每组提取出的公因式写在一起，得到最终的因式分解形式。
例如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，我们可以将其分组为（x^3+3x^2）+（2x+6）。
然后对每组进行提取公因式，得到x^2（x+3）+2（x+3）。
(完整word版)人教版八年级数学因式分解方法技巧
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最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~12因式分解方法技巧专题一分解因式的常用方法：一提二套三分 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：1、漏项，特别是漏掉2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化3、分解不彻底［例题］把下列各式因式分解：1. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)22. a 5-a3. 3(x 2-4x)2-48[点拨]看出其中所含的公式是关键练习1、3123x x -2、2222)1(2ax x a -+3、a a 632-4、56x 3yz+14x 2y 2z －21xy 2z 25、－4a 3＋16a 2b －26ab 26、4416n m -3专题二二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。
先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式；B 、 两项的符号相反；C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式[例题]分解因式：3(x+y)2-27[点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解练习1)x 5－x 3 2)4416n m 3)25－16x 24)9a 2－41b 2. 5）25－16x 2; 6）9a 2－41b 2.专题三三项式的分解因式:如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方公式法。
因式分解掌握方法和技巧
因式分解掌握方法和技巧因式分解是数学中重要的一部分，它是将一个数、一个多项式或一个方程表示为一系列乘积的形式。
因式分解的掌握方法和技巧可以帮助我们更好地理解和应用因式分解的概念。
一、因式分解整数的方法和技巧：1.常见因数法：对于已知的整数，我们首先可以尝试用一些常见的因数来除进行因式分解。
比如，对于偶数，可以首先尝试用2进行除法运算；对于整数末尾为0的数（比如10、100等），可以首先尝试将其因式分解为10的因数乘积的形式。
2.质因数分解法：质因数分解是将一个数分解为质因数的乘积。
它是因式分解整数最常用的方法。
我们首先可以通过试除法将一个数分解为若干个质数（或合数）相乘的形式，再继续将每个质数（或合数）进行质因数分解，直到不能再分解为止。
例如，将120分解为质因数的乘积，我们可以首先用2进行除法运算得到60，然后继续将60分解为2和30的乘积，再将30分解为2和15的乘积，以此类推，最终得到120=2^3*3*5的质因数分解式。
3.分拆法：分拆法是一种灵活的因式分解方法，它适用于一些特殊的数。
通过观察数的特点，我们可以将其分解为两个或多个整数的和或差的形式。
例如，将30分解为两个整数的和，我们可以分解为15+15的形式。
将差分解法求出一方，再通过乘法，将另一方分解为两个或多个数的乘积。
二、因式分解多项式的方法和技巧：1.分组法：分组法是因式分解多项式的一种主要方法。
通过将多项式中的项进行合理的分组，可以使得每一组的项具有相同的因式，从而可以进行因式分解。
分组法的核心思想是提取出每组项的公因式。
例如，对于多项式2x^3+6x^2+3x+9，我们可以将其分组为(2x^3+6x^2)+(3x+9)的形式，然后分别提取出每组的公因式，得到2x^2(x+3)+3(x+3)，进而可以将公因式(x+3)提取出来，得到(x+3)(2x^2+3)的因式分解式。
2.公式法：有些多项式具有特定的公式形式，可以直接应用这些公式进行因式分解。
八年级因式分解的四种方法
一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：年月日(星期 )3.因式分解(公式法):(1) 4x2-9；解：原式二(2) 16x2 + 24x + 9 ； 解：原式二(3) -4x2 + 4xy -y2 ；解：原式二 (4) 9(m + n)2 - (m - n)2 ； 解：原式二1.下列由左到右的变形，是因式分解的是 ________________ .①-3x2y2 --3-X2 - y2 ； (2)((2 + 3)(〃 - 3) = "2 一9 ； ④ 2mR + 2mr = 2m(R + r)；③ “2 — Z?2 +1 = (〃 + b)(a -Z?) + l ； (S)x2 -xy + x = x(x - y);⑦尸4y + 4 = (y-2)2.2.因式分解(提公因式法)：(1) 12a2b - 24ab2 + 6ab ；解：原式二- 4 = (m + 2)(m - 2)； (2)一“3 — a2 + Cl ； 解：原式二 (3) (a-Z?)(m + l)-(Z?-a)(M-l);解：原式二⑷ x(x-y)2-y(y-x)2 ；解：原式二(5 ) Xm + Xm-1 . 解：原式二(5)(x + 3y)2 -2(x + 3y)(4x-3y) + (4x-3y)2 ；解：原式二(6) x2(2x-5) + 4(5 -2x)；解：原式二(7) -8ax2 +16axy - 8ay2 ；(8) x4 - y4 ；解：原式二解：原式二(9) a4 -2a2 +1 ；(10) (a2 + b2)2 -4a2b2.解：原式二解：原式二4.因式分解（分组分解法）：(1) 2ax -10ay + 5by - bx；(2) m2 —5m一mn +5n；解：原式二解：原式二(3) 1 -4a2 -4ab-b2 ；(4) a2 + 6a + 9-9b2 ；解：原式二解：原式二♦【典型例题】因式分解(十字相乘法)：(1) x 2 + 4 x + 3 ；解：原式二(2) x2 + x一6 ；解：原式二(3) -x2 + 2x + 3 ；解：原式二(4) 2x2 + x-1 ；解：原式二(5) 3x2 + xy -2y2 ；解：原式二(6) 2x2 +13xy +15y2 ；解：原式二【巩固练习】1.因式分解(分组分解法)：(1)9 ax 2 + 9 bx 2 - a一b；解：原式二(2) a2 -2a + 4b-4b2. 解：原式二2.因式分解(十字相乘法):(1)x 3 - 2 x 2 - 8 x；解：原式二33) x4 -6x2 -27 . 解：原式二(2) x4 一7x2 +12 ；解：原式二三、随堂检测用适当的方法因式分解:(1) (2a一b)2 + 8ab；解：原式二(2) x2 - 2xy + y2 - 2x + 2y +1.解：原式二四、课堂小结五、课后作业用适当的方法因式分解：(1) a 2 - 8 ab +16b 2一c2 ；解：原式二(2) 4xy2 -4x2y- y3 ；解：原式二(3) 2(a -1)2 -12(a-1) +16 ；(4) (x +1)(x + 2) -12 ；解：原式二解：原式二因式分解拓展提高板块一：因式分解知识回顾1、列式子从左边到右边的变形中是分解因式的是( )A. x2 - x + 2 = x(x -1)+ 2 C. x2 -1 =(x + 1)Q -1)B. (a +b)aD. x -1 = x-b)=(.(1 \1 -72-b 2提公因式法一形如ma+mb+mc=m(a+b+c)分解因式：(1) 2a2bc2 + 8ac2 -4abc(2) m(m + n)3 + m(m + n)2 一m(m + n)(m 一n)运用公式法一平方差：a2 - b2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a2 土2ab+b2 = (a土b)2(1) a8 -1 (2) 4a2 +12ab + 9b2(3) 16(2m + n)2 一8n(2m + n) + n2 (4)(x2 + 4y2)2-16x2y2十字相乘法：x 2 + (p + q) x + pq = (x + p)(x + q)(1) x2 + 3x + 2 (2) 6a4 + 11a2b2 + 3b2 (3) x2 -(2m + 1)x + m2 + m - 2分组分解法：分组后能提取公因式，分组后能直接运用公式分解因式(1)3ax+4by+4ay+3bx (2)4x2 -4x- y2 + 4y-3板块二：综合应用例 1 ① x (x -1) + y (y +1) - 2 xy②(xy -1)2 + (x + y - 2)( x + y - 2 xy)③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1) (xy-1)例 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x 3+6 x 2 +11 x + 6板块三：实际应用例3求证：一个三位数的百位数字与个位数字交换后，得到的数与原数之差能被99整除。
因式分解最好方法
因式分解最好方法因式分解是一种数学方法，用于将一个多项式分解成若干个乘积。
它在代数运算中具有重要的应用，能够帮助我们简化计算、理解问题的本质和发现数学规律。
在本文中，我将详细介绍因式分解的最佳方法。
因式分解的最佳方法包括两个关键步骤：提取公因式和分解二次因式。
第一步是提取公因式。
当我们面对一个多项式时，首先要做的是找出多项式中每一项的公因式。
公因式是多项式中可以整除每一项的因子。
提取公因式的最佳方法是观察并找出多项式中所有项的最高公因式，并将其提出。
例如，对于多项式3x^2+9x，我们可以观察到其中每一项都可以被3整除，因此可以提取出公因式3，从而得到3(x^2+3x)。
第二步是分解二次因式。
如果多项式的项数超过两项，我们就需要考虑是否可以将其分解为二次因式的乘积。
分解二次因式的最佳方法是寻找两个因式，并将它们相乘以得到原始多项式。
常用的分解二次因式的方法包括提取平方根、配方法和求和与积等。
在用提取平方根的方法分解二次因式时，我们需要找到一个二次因式的平方，使得乘以这个平方后能够得到原始多项式。
例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以观察到它可以被分解为(x+3)(x+3)，其中x+3是一个平方因式，因为(x+3)(x+3)=x^2+6x+9在配方法中，我们将多项式的项进行重新排列，然后根据一些数学规律进行分解。
例如，对于多项式x^2+5x+6，我们可以将其重新排列为x^2+2x+3x+6，然后根据分组的原则，将其分解为(x^2+2x)+(3x+6)，再继续进行分解为x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)。
在求和与积方法中，我们需要寻找两个因式，使得它们的和与积分别等于原始多项式中相邻项的系数。
例如，对于多项式x^2+7x+10，我们可以观察到x^2的系数为1，而10的系数为10，因此我们需要找到两个数，它们的和为7，积为10。
根据这个规律，我们可以将其分解为(x+2)(x+5)。
因式分解的最佳方法还应该考虑到多项式是否存在特定的模式。
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解题技巧专题：选择合适的方法因式分解——学会选择最优方法
◆类型一一步(提公因式或套公式)分解因式
1．下列分解因式正确的是（）
A．－ma－m＝－m(a－1)
B．a2－1＝(a－1)2
C．a2－6a＋9＝(a－3)2
D．a2＋3a＋9＝(a＋3)2
2．分解因式：
(1)3x3y3－x2y3＋2x4y；
(2)2(x＋y)2－(y＋x)3.
◆类型二两步(先提后套或二次分解)分解因式
2．分解因式a2b－b3，结果正确的是（）
A．b(a＋b)(a－b) B．b(a－b)2
C．b(a2－b2) D．b(a＋b)2
4．分解因式：
(1)－2a3＋12a2－18a;
(2)(x2＋1)2－4x2.
*◆类型三特殊的因式分解法(分组分解法、十字相乘法、配方法)
5．阅读下列材料并解答问题：
将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝______________________＝
______________________；
(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.
6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
(1)分解因式：x2＋7x－18；【方法22】
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是
__________________
7．阅读：分解因式x2＋2x－3.
解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x ＋3)(x－1)．
上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：
(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.
参考答案与解析
1．C
2．解：(1)原式＝x2y(3xy2－y2＋2x2)；
(2)原式＝(x＋y)2·[2－(x＋y)]＝(x＋y)2·(2－x－y)．
3．A
4．解：(1)原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2；
(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.
5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y－1)
(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a－b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．
6．解：(1)原式＝(x＋9)(x－2)．
(2)7，－7，2，－2 解析：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.
7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－
1)＝(x－1)(x－3)；
(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．。