数理方法复习提纲

复变函数论复数平面：在直角坐标平面xOy 上，把复数iy x z +=用坐标为),(y x 的点来表示，这个直角坐标平面xOy 叫做复数平面。

复数平面复数的模：复数iy x z +=的对应点),(y x 的极坐标的极径或矢量→Oz 的长度ρ称为复数z 的模z ，记做22y x z +==ρ。

复数的辐角：复数iy x z +=对应点),(y x 的极坐标的极角或向量→Oz 与x 轴正方向的夹角θ称为z 的辐角，记做θ=Argz 。

一个复数iy x z +=的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差π2的整数倍，通常把满足条件ππ≤<-Argz 或π20<≤Argz 的一个特定值，称为辐角的主值，表示为z arg ，则z 的任意辐角可表示为： ,...)2,1,0(2arg ±±=+==k k z Argz πθ复数iy x z +=的三角式： )sin (cos θθi r iy x z +=+= 复数iy x z +=的指数式：θθθθθθi i re z i e i r iy x z =⇒⎭⎬⎫+=+=+=)(sin cos )sin (cos 欧拉公式 复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次乘方的三角和指数形式：θθθin n n n e r n i n r z =+=)sin (cos复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次方根的三角和指数形式：)1,...1,0(2arg ,)sin (cos -=+==+==n k k z e r ni n r z w n innnπθθθθ复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有：),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iy x z +==⇒⎭⎬⎫+==+=初等复变函数：指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 例题：)2222()4sin 4(cos 3343i e i e ei+=+=--+-πππ三角函数： ()iz iz e e i z --=21sin , z z z cos sin tan =, zz z sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。

3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±212121s i n c o s c o s s i n )s i n (z z z z z z ±=± 1c o s s i n22=+z z 双曲线函数：()z z e e shz --=21 ， ()z z e e chz -+=21 ， chzshzthz = 因为shz i z sh =+)2(π，chz i z ch =+)2(π，所以shz ，chz 有纯虚数周期π2i 注意：双曲函数与三角函数的关系为)sin(iz i shz -=，)cos(iz chz =，)tan(iz i thz -=对数函数：指数函数的反函数，当有指数函数z e w =，则称复数z 为w 的对数函数，记作Lnw z =。

设：iArgw iy x iy x z e w e e e e w ====+， 则可得：w x w e x ln =⇒=，Argw y =所以有： i A r g ww L n w iy x z +==+=ln 复变函数)(z f w =通常取z 为自变量，w 为函数值，则可写出对数函数：iArgz z Lnz iv u w +==+=ln例题. ,...)2,1,0(2)1(2±±=+==-+k k i i Lne Ln k i i ππππ 幂函数：为复常数）（αααααArgzi z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数）（αααααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的极限：如果对任意一个0>ε，总可找到一个0>δ，使得所有在0z 的δ邻域内的点，其所对应的点w 都在0w 的ε邻域内，即如果有不等式δ<-<00z z （0z 本身可以除外），必可得出ε<-0)(w z f ，我们说当0z z →时，函数)(z f w =的极限存在且为0w ，表示为：0)(lim 0w z f z z =→。

由定义可见，极限值与0z z →的方式无关，换句话说，当z 以不同的方式趋近于0z 时，如果函数)(z f w =的极限值不一样，则其极限不存在。

如果令：000iy x z +=，000iv u w +=，则复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==的极限等价为如下两个极限：0),(lim 0u y x u y y x x =→→，0),(lim 00v y x v y y x x =→→特别：当000000(,),(,)u u x y v v x y ==时，称函数)(z f w =在0z 点连续，记作： )()(lim 00z f z f z z =→ ⇔ ),(),(lim 0000y x u y x u y y x x =→→，),(),(lim 0000y x v y x v y y x x =→→复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限zz f z z f z w z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为:)()()()(lim lim00z f dzz df z z f z z f z wz z '==∆-∆+=∆∆→∆→∆复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数x y x u ∂∂),(，y y x u ∂∂),(，x y x v ∂∂),(，yy x v ∂∂),(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即： y y x v x y x u ∂∂=∂∂),(),(，xy x v y y x u ∂∂-=∂∂),(),( 解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(z f 在0z 点及其邻域内处处可导，那么称)(z f 在0z 点解析。

如果)(z f 在区域E 内每一点都解析，那么称)(z f 在E 内解析，或称()f z 为E 内的一个解析函数。

注：)(z f 在某点0z 解析⇒在该点可导⇒该点连续⇒该点有极限区域解析⇔区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。

解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数. 复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：⎰⎰⎰⎰++-=++=CCCCdy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u idy dx y x iv y x u dz z f ),(),(),(),())](,(),([)(复变函数积分的计算方法：曲线C 由参数方程)(t x x =，)(t y y =，21t t t ≤≤给出则有dt t y i dt t x dt t z idy dx dz )()()('+'='=+=，可得积分的计算公式dtt y t y t x u t x t y t x v i dt t y t y t x v t x t y t x u dtt y i t x t y t x iv t y t x u dtt z t y t x iv t y t x u dt t z t z f dz z f t t t t t t t t t t C})()](),([)()](),([{)}()](),([)()](),([{)]()()]}[(),([)](),([{)()]}(),([)](),([{)()]([)(2121212121⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+'+'-'='+'+='+=''=由复变函数积分的定义可得积分的一个重要性质：设)(max z f M =为复变函数)(z f 在曲线C 上的最大值，又设l 为曲线C 的长度，则有：Ml dz z f C≤⎰)(证明：已知∑∑∑===∆≤∆≤∆ni i i ni i i ni i z M z f z f 01)()(ζζ，在上式两边取∞→n 的极限，并考虑复变函数积分的定义，以及l z ni i n =∆∑=∞→0lim ，即可得不等式Ml dz z f C≤⎰)(例题. 计算回路积分⎰-C nz z dz)(0，其中n 为任意整数，如图，曲线C 是以0z 为圆心，r 为半径的圆。

解：设000iy x z +=，则：圆周的参数方程为φcos 0r x x +=，φsin 0r y y +=πφ20≤≤。

n n n i r z z )sin (cos )(0φφ+=-⎰⎰⎰-+-=++-=--ππφφφφφφφφ201200])1sin()1[cos(1)sin (cos )cos sin ()(d n i n r i d i r i r z z dz n nn C n⎩⎨⎧≠==-+-=-⎰⎰-1,01,2])1sin()1[cos(1)(2010n n i d n i n r i z z dz n C n πφφφπ单连通区域的柯西定理：如果函数)(z f 在单连通区域E 内是解析的，则在区域E 内的任何分段光滑封闭曲线C 上的回路积分为零，即0)(=⎰Cdz z f复连通区域的柯西定理：（不失一般性，图中只画出了C ，1C ，2C ）如果函数)(z f 在复连通区域E 内是解析的，在E 上是连续的，那么它沿着这区域的边界的积分等于零：0)()(1=+∑⎰⎰=nk C Ckdz z f dz z f如图：式中C 为区域E 的外边界，k C 分别为区域E 的各个内边界，在通过这些边界时，积分均沿边界的正方向进行，即C 取逆时针方向，各个k C 取顺时针方向原函数：若)(z f 是解析函数)(z F 的导数，即)()(z f z F ='，则称)(z F 为)(z f 的原函数。