第十章 重积分练习题(答案)
第十章第3节 三重积分
D xy ,
上的连续函数，于是有
6
在直角坐标系下 dv dxdydz
f ( x , y , z )dv
f ( x , y , z )dxdydz
z
z z2 ( x , y )
若闭区域 在 xoy 如图， D xy ,
面上的投影为闭区域
z2 S 2
S1 : S2 :
第十章 重 积 分
第一节 第二节
第三节
二重积分的概念与性质 二重积分的计算法
三重积分 重积分的应用
第四节
1
第三节
三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算 三、小结及作业
2
一、三重积分的概念
引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,密度函数为 ( x , y , z ) C ,求分布在 内的物质的
y0
z0
xz
2
及抛物面 y
x
所围成的区域.
2
解法一:采用先对z 积分,将 区域投影到xoy 面上.
0 z x 2 : 0 y x D : xy 0 x 2
z
sin x z d z
0
y
I
M
x , y , z d v
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分
(A)
1．填空题
(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<
()σd y x P D
⎰⎰, ()⎰⎰D
d y x Q σ,
(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D
的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小
(1) ()⎰⎰+D
d y x σ2与()⎰⎰+D
d y x σ3
，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰
+D
d y x σ3
，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()
⎰⎰++=D
d y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域
422≤+y x 。
4．交换积分()⎰
⎰
--a a
x ax x
a dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰
-21
20
,y
dx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰
+-a
a y y a y x f dy 0
2
2,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+D
d y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。 8．计算()⎰⎰+D
d y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+D
yd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
重积分练习题
重积分练习题1：（往年期末试题） 一．填空 1. 设
=>≤+=--⎰⎰
a a a y x D dxdy y x a D
则：其中)0(,3222222π
2. 设D 为2x y =与1=y 所围的平面区域，D f 是上的连续函数,则=+⎰⎰dxdy y x
xf D
)(22
3. 由1,2==y x y 所围成的均匀薄片对x 轴的转动惯量 。
4. 下半球面0,
12
2
2
≤=++z z y x 的表面积为 5.⎰
⎰-=x
dy y x f dx I 10
1
),(交换积分顺序后为
6. 将ρρθρθρθπ
θ⎰
⎰
=
40
cos 0
)sin ,cos (a d f d I 化为直角坐标系下先y 后x 的二次积分：
二．求下列积分
1 计算积分dx x
x
dy I y
⎰
⎰
=660
cos π
π
2. ⎰⎰
1
1
2
x
y dy e dx
3.
dx e dy dx e dy y
y
x
y y
x
y ⎰⎰⎰
⎰+12
12
1214
1
三. 计算
1. 已知D 是由中心在原点，半径为a 的圆周所围成的封闭区域，求⎰⎰--D
y x dxdy e 2
2
。
2. 计算22-==⎰⎰x y x y D xydxdy
D
及直线是由抛物线所围区域。
3. 确定常数m ，使⎰⎰=+D
dxdy y x m ,2)cos(其中D 是直线2
,2,
π
=
==x x y x y 所围成的区域
4. 计算二重积分2
0,2
0:)cos(π
π
δ
≤
≤≤
≤+=⎰⎰y x D d y x I D
。
4.)(x f 为连续函数，计算二重积分[]
⎰⎰++D
dxdy y y x xf )(
22，其中区域1,2,
高等数学 课后习题答案 第十章
习题十
1. 根据二重积分性质，比较
ln()d D
x y σ
+⎰⎰与
2
[ln()]d D
x y σ+⎰⎰的大小，其中：
（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；
（2）D 表示矩形区域
{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.
解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有
图10-1
12x y ≤+≤
从而
0l n ()
1
x y ≤+<
故有
2l n ()[l n ()]
x y x y +≥+ 所以
2
l n ()d [l n ()]d
D
D
x y x y
σσ+≥+⎰⎰⎰⎰
（2）区域D 如图10-2所示.显然，当
(,)x y D ∈时，有3x y +≥.
图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有
2l n ()[l n ()]
x y x y +<+ 所以
2
l n ()d [l n ()]d
D
D
x y x y
σσ+<+⎰⎰⎰⎰
2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：
（1）,{(,)|02,02}
I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰
;
（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}
D
I x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;
（3）
2222(49)d ,{(,)|4}
D
I x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.
解：（1）因为当
(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤
因而
04xy ≤≤.
从而
2≤
≤
故
2d D
D σσσ
≤≤⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
即2d d D
D
σσσ
≤≤⎰⎰⎰⎰
而
d D
σσ
=⎰⎰
（σ为区域D 的面积），由σ=4
重积分习题及解答
重积分练习
一. 填空
1.⎰⎰1
2
),(x
x dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.
2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ω
dv z y x f
其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)
________
__________),,(2
22
22
2
1111111
1
==⎰
⎰
⎰--+-------dz z y x f dy
dx
I y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题
1. =+⎰
⎰-dy y x dx
x x
2
43221
( ).
A. ⎰⎰30
2
πθrdr d . B.
⎰⎰2
3
2
ππ
θrdr d C.
⎰⎰30
2
2
πθdr r d . D.
⎰⎰23
2
2
ππθdr r d
2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰D
dxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )
A.⎰⎰πθθθθ
0cos 20
)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-
ππθ
θθθcos 20
)sin ,cos (rdr r r f d
C.⎰⎰2
0cos 20
)sin ,cos (2πθ
θθθ
rdr r r f d D. ⎰⎰-
2
2
cos 20
)sin ,cos (ππθ
θθθrdr r r f d
三．计算
1．. 计算⎰
⎰-+=+-⋅+2
2)
(41
2
2
2
2
2
x a a x
a
dy y x a y x dx
2． 计算
⎰⎰-D
dxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.
同济大学第七版高等数学上第十章重积分
e x2 y2 dxdy
e x2 y2 dxdy
D1
S
ex2 y2 0
e x2 y2 dxdy.
D2
2021/3/17
26
I
e x2 y2 dxdy
S
R
e
x2 dx
R
e
y2 dy
0
0
I1
e x2 y2 dxdy
D1
2d
R
2
ed
0
0
(
R
e
x2 dx)2;
0
(1 e R2 ); 4
I2
e x2 y2 dxdy (1 e 2R2 );
4
D1
sin( )
d
d
4
2 d
2 sin d 4
0
1
例 5 写出积分
1
1 x2
dx
f (x, y)dy
0
1x
的极坐标二次积分形式
解 如图：在极坐标系下
x cos
y
sin
0
2
圆方程为 1
直线方程为
sin
1
cos
x2 y2 1
x y 1
1
1 x2
dx
f (x, y)dy
2 ( )
1( ) 2 ( ).
1( )
2013年重修高数A(二)第十章
1 Dxy : x y 4
2 2
z 2x x
z 2y y
2
-1
A 1 4 x 4 y dxdy d
2 D
0
2
1 2 0
-0.5 0 0.5 11 0.5 0
-0.5
1 4r 2 rdr
1 1 2 2 2 2 d 1 4r d (1 4r ) ( 2 2 1) 0 8 0 6
4、计算法 (将重积分化为单次积分)．具体如下
（１）直角坐标系下 P139(1)、(2)
X 型： f ( x , y )d dx
a D
b
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy.
Y 型： f ( x , y )d dy
c D
d
2 ( y )
D xy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz .
关键是找到闭区域 的顶和底（确定z的上下限）； 再求闭区域 在xoy面的投影区域．
18
例 1 计算 ，其中 是由三个坐标面 及平面 x y z 1 所围的立体.
解 : 将往yox面上投影Dxy :
yD
0 )
I xy dxdy xdx y 2 dy 0
(高起专)第十章二重积分习题解答
(高起专)第十章二重积分习题解答
(一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1
．1
220
0I dy x y dx =
⎰
，则交换积分次序后得 C 。
（A
）1
220
I dy x y dy =⎰
； （B
）1
220
3I x y dy =⎰；
（C ）2
1
1220
3x I dx x y dx -=
⎰
⎰
； （D ）2
1
1220
3x I dx x y dy +=
⎰
⎰
。
2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则
x y
D
e
dxdy +=⎰⎰ D. .
(A)
2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ;
3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则
(,)D f x y dxdy =⎰⎰ C
(A)
1
20
(,)x
x
dx f x y dy -⎰⎰
, (B) 21
(,)y
y
dy
f x y dx -⎰⎰
, (C) 2
1
2(,)x
x
dx f x y dy -⎰⎰, (D) 1
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰.;
4．2
2
x y D
I e dxdy --=
⎰⎰，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。
（A ）2
21
[]r I e
dr d π
θ-=
⎰
⎰；
（B ）2
1
2
04[]r I e dr d π
θ-=⎰
⎰；
（C ）2
1
20
2[]r I e rdr d π
θ-=⎰
⎰；
（D ）2
21
[]r I e rdr d π
θ-=
⎰⎰。
5. 2
D
I xy d σ=
⎰⎰
高数第十章习题(二重积分)
f ( i ,i ) i ，
( i 1,2,, n) ，
f ( i , i ) i ，
i 1
3
n
二重积分习题课
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x , y )d ，
1 0
1 x 2
(C ) 4 d r f ( r )dr
2 0 1 2 0
0
f ( x y )dy ( B ) 4 2 d r f (1)dr
2 2 1 0
( D ) d r f ( r )dr
0 0
y
2
0 1
解
因被函数是偶函数, 积分区域关于坐标轴对称.
24
O
x2 y2 1 1 1 2 2 2 2 dxdy 2 2 ( x y )dxdy a b 2a b D D
R 1 4 1 1 1 1 1 2 2 2 2 d r rdr R 2 2 0 4 b 2a b 0 a
1
y
I
x =1– y
D1
D1 D2
dy
0
1
1 y
0
f ( x, y )dx
重积分部分练习题
题目部分， (卷面共有 100 题 ,分 ,各大题标有题量和总分 ) 一、选择 (16 小题 ,共分 )
(2 分 )[1]
2
(3 分 )[2] 二重积分
xydxdy (此中 D ： 0≤ y ≤ x ,0≤ x ≤ 1)的值为
D
1
1
1
1 （ A ）
（ B ）
（ C ）
（ D ） 6
12
2
4
答 (
)
(3 分 )[3] 若地区
D 为 0≤ y ≤ x 2,| x| ≤ 2,则
xy 2 dxdy
=
D
（A ）0；
（ B ）
32
（ C ）
64
（ D ） 256
3
3
(3 分 )[4] 设
D 1 是由
ox 轴， oy
轴及直线
答 (
x+y=1 所圈成的有界闭域， )
f 是地区
D ：| x|+| y| ≤ 1 上
的连续函数，则二重积分
f ( x 2, y 2 ) dxdy __________
f ( x 2 , y 2 )dxdy
D
D 1
（A ）2
（ B ）4
（ C ）8
（D ）
1
2
答 (
)
(3 分 )[5] 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分
0 1 x 2
1
dx
f ( x, y) dy
x 1
1 y 1
2 y 2
1
(A)
dy
1 f ( x, y)dx
dy
f (x, y)dx
0 1
1
(B)
1 y 1
dy
1 f ( x, y)dx
1 y 1
2
y 2 1
(C)
dy 1 f ( x, y)dx
dy f (x, y)dx
1 1
(D)
2
y 2
1
dy
1 f (x, y)dx
答 (
)
x y dxdy
(3 分 )[6] 设函数 f(x,y)在地区 D ：y
2
≤－ x
,y ≥ x 2 上连续，则二重积分f
可
( , )
第10章重积分习题与答案
第10章 重积分
一、填空题
1．设区域2
2
:1, 0, 0D x y x y +≤≥≥，则
D
σ=__________
2．设D 是由直线2, 2, 3y x x y x y ==+=所围的三角形区域，则D
dxdy =⎰⎰__________
3．设区域D 由曲线2
x y =与1=y 所围成，则
()2
21D
y xf x
y dxdy ⎡⎤++=⎣⎦⎰⎰__________
4．交换下列积分次序：1220
1
(,)(,)x
x
dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰
⎰⎰
__________
二、选择题 1．设31ln ()D
I x y dxdy =
+⎰⎰，3
2()D
I x y dxdy =+⎰⎰，[]3
3sin()D
I x y dxdy =+⎰⎰，其中D 由0x =，0y =，1
2
x y +=，1x y +=围成，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为__________
2．设函数()f u 连续，区域{}22(,)|2D x y x y y =+≤，则()D
f xy dxdy ⎰⎰等于
__________
(A)
1
1
()dx f xy dy -⎰
(B)
2
2()dy f xy dx ⎰
(C)
2sin 2
(sin cos )d f r dr π
θ
θθθ⎰
⎰
(D)
2sin 20
(sin cos )d f r rdr π
θ
θθθ⎰
⎰
3．改变积分次序后，2
1
10
1(,)y y
dy f x y dy +-=⎰⎰
__________
(A) 1
1
21
11
(,)(,)x
dx f x y dy dx f x y dy -+⎰
高等数学下册第十章 重积分
DMU
第一节 二重积分
1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
f (k , k )
Байду номын сангаас
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
小曲顶柱体
(k ,k )
2)“常代变”
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
D 的面积为 ,
则有 m f (x, y)d M D
(7)(二重积分的中值定理)
在闭区域D上
连续, 为D 的面积 ,则 f (x, y)d f (, ) , D
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
直角坐标系下化为二次积分
设
则
z y 2(x)
y
表示以曲面
为顶的曲
D
顶柱体体积.如图所示.
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
第十章二重积分练习题
二、填空题
1.交换二次积分的次序：
1
dy
2 y2
f ( x, y)dx =
0
y
。
1
dx
1x2 f (x 2 y 2 )dy
2.将 0 0
化为极坐标系下的二重积分
。
3.二重积分 d , D : x 2 y 2 1的值为 ___________。
D
4.设 D : 1 x 1,0 y 1,则 y 2 sin 3 xdxdy
12、计算 x2 y2 dxdy ，其中 D : x2 y2 2x 。
D
13.计算 2xy2dxdy ，其中 D 由 y2 x 与 y x 2 所围成。 D
14.计算
1
dx
1 x2e y2 dy 。
0
x
15.计算 2xy x2 y2 dxdy ，其中 D : x2 y2 1。
高等数学第十章二重积分练习题
一、选择题
a
a2 y2
1.将 dy
f (x, y)dx 化为极坐标形式为
0
0
（）
A. 2 d a f (r cos , r sin )rdr
0
0
B. 2 d cos f (r cos , r sin )dr
0
0
C. 2 d a f (r cos , r sin )rdr
重积分习题(含答案)
xdw ，其中 由三个坐标面与平面 2 x y z 1 所围成。
解：先对 z 积分， z 的变化范围是 0 z 1 2 x 2 y ， D 可表示为： 0 x
1 ， 2
0 y 1 2x ，
原式
1 2 0
dx
1 2 x 0
dy
1 2 x y 0
xd z dx
1 2 0
1 2 x 0
1 1 2 x1 2 x y dy 2 x1 2 x dx 2 0 96
1
4．求锥面 z
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
解 曲面 z x2 y 2 与 z22x 的交线在 xOy 面上的投影为 所求曲面在 xOy 在上的投影区域为 D{(x y)|x2y22x}
注意到
2 0
cosd 0 ，因此
2
x z dv 0
d 4 d r 3 sin cos dr
0 0
1
2
4 0
sin cos d
sin 2
2 2
4 0
8
0, 。因此积分区域变成 ： 0 r 1 ， 0 2 ， 0 ， 4 2
重积分习题与答案
第九章重积分A
1、填空题
1）交换下列二次积分的积分次序
（1）
______________________________________________ （2）
______________________________________________ （3）
_______________________________________________ （4）
___________________________________________ （5）
______________________________________________ （6）
________________________________________
2）积分
的值等于__________________________________
3)设
，试利用二重积分的性质估计
的
值则。
4)设区域
是有
轴、
轴与直线
所围成，根据二重积分的性质，试比较积分
与
的大小________________________________
5）设
，则积分
___________________________________________
6)已知
是由
所围，按先
后
再
的积分次序将
化为累次积分，则
7）设
是由球面
与锥面
的围面，则三重积分
在球面坐标系下的三次积分表达式为
2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值
1）
2）
3、利用极坐标计算下列各题
1）
，其中
是由圆周
及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.
2）
，其中
是由圆周
及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.
10-3三重积分
该直线先通过平面 z = 0, 再通过平面 z =1 – x – 2y .
例2 计算三重积分
其中是上半球体
解 积分域在xoy面上的投影D： x2 y2 a2 竖坐标从 z = 0 变到 z a2 x2 y2 因此有
z d x d y d z
a2 x2 y2
dxd y
zdz
D z1 ( x, y)
x
记作
dxd y z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z z1(x, y)
y D
D : y1(x) y y2 (x), a x b, 得
dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
b
dx
2
d
1 r 3dr
2
dz
0
0
0
2
2
O
1
y
1
y
x
x
例8. 计算三重积分 z x2 y2dV , 其中 是曲面 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 围成的区域.
解 如图, 在 xoy 面的投影域为 Dxy ：x2 y2 1
0 2 , 0 r 1, r2 z 2 r
f (x, y, z)dv 表示空间有限闭体的质量.
特别地, 当被积函数 f (x, y, z) = 1时,
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1.填空:
(1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+⎰⎰≥3
()D x y d σ+⎰⎰.
(2)设⎰⎰++=D d y x I σ)94(22,其中(){}
4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π.
(3)交换积分次序:=⎰⎰-2210),(y y dx y x f dy ⎰⎰⎰⎰-+222021
010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D
),(⎰⎰为两个不同次序的二次积分是⎰⎰⎰⎰x
x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022
0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。
2.选择:
(1)设平面区域(){}(){}
0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ).
(A)⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)⎰⎰⎰⎰=1
4D D xydxdy xydxdy
.
(C)14D D =. (D)⎰⎰⎰⎰=1
4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+⎰⎰D
dxdy y x xy )sin cos (( A ).
(A)⎰⎰1sin cos 2
D ydxdy x . (B)⎰⎰12D xydxdy . (C)⎰⎰+1
)sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0.
(3)设⎰⎰
⎰⎰⎰⎰+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D
2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){}
1,22≤+=y x y x D ,则( A ).
(A)123I I I >>. (B)321I I I >>.
(C)312I I I >>. (D)213I I I >>.