2019-2020学年高考数学总复习 基础知识 第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一) 理.doc.doc

2019-2020学年高考数学总复习 基础知识 第二章 第十三节导数在

研究函数中的应用(一) 理

知识梳理

一、函数的导数与函数的单调性的关系 1．函数单调性的充分条件．

设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，如果在这个区间内y ′>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内为________；如果在这个区间内y ′<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内为________．

2．函数单调性的必要条件．

设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，如果函数y ＝f (x )在这个区间内为增函数，那么在这个区间内______；如果函数y ＝f (x )在这个区间内为______，那么在这个区间内______．

3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法． (1)确定函数f (x )的定义域．

(2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根． (3)把函数f (x )的间断点[]即（fx ）的无定义的点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f (x )的定义域分成若干个小区间．

(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小区间的增减性[若f ′(x )>0，则f (x )在相应区间内为增函数；若f ′(x )<0，则f (x )在相应区间内为减函数]．

二、函数的极值

1．函数极值的定义． 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是_______，记作_________，x 0是________．

如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是________，记作_________，x 0是极小值点．极大值与极小值统称为________．

2．判别f (x 0)是极大值、极小值的方法．

若x 0满足f ′(x 0)＝0，且在x 0的两侧f (x )的导数异号，则x 0是f (x )的极值点，f (x 0)是极值，并且如果f ′(x )在x 0两侧满足“左正右负”，那么x 0是f (x )的________，f (x 0)是________；如果f ′(x )在x 0两侧满足“________”，那么x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值．

3．求可导函数f (x )的极值的步骤．

(1)确定函数的定义区间，求导数________．

1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．

2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．

(2)求方程________的根．

(3)用函数的导数为0的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成

________，并列成表格．检查f ′(x )在______，如果________，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果________，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右________，那么f (x )在这个根处________．

三、函数的最大值与最小值 1．函数的最大值与最小值．

在闭区间[]a ，b 上图象连续不断的函数f (x )在[]a ，b 上________最大值与最小值． 2．利用导数求函数的最值的步骤． 设函数f (x )在(a ，b )内可导，在闭区间[]a ，b 上图象连续不断，求函数f (x )在[]a ，b 上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求f (x )在(a ，b )内的________．

(2)将f (x )的各________与________比较，得出函数f (x )在[]a ，b 上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

基础自测

1．函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2

，5π2

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π D ．(π，2π)

解析：∵y ＝x sin x ＋cos x ，∴y ′＝x cos x .

当x ∈(π，3π)时，要使y ′＝x cos x ＞0，只要cos x ＞0，结合选项知，只有B 满足． 答案：B

2．函数f (x )＝ax 3

＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a ≥0 B ．a >0 C ．a ≤0 D ．a <0

解析：f ′(x )＝3ax 2＋1，若函数有极值，则方程3ax 2＋1＝0必有实数根，显然a ≠0，

所以x 2＝－1

3a

>0，所以a <0.故选D.

答案：D

3．函数f (x )＝13

x 3－x 2

＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是

________．

解析：∵f (x )＝1

3x 3－x 2＋ax －5，

∴f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1.

如果函数f (x )＝13

x 3－x 2

＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧

f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，

解得a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)．

答案：(－3,1)

4．(2013·武汉质检)已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝x 2

－x ，则当x ＝________时，函数f (x )取得极大值．

解析：当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以当x ＝0时，函数f (x )取得极大值．

答案：0