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2002-2004河南专升本高等数学试卷

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河南专升本高等数学试题(含答案)

河南专升本高等数学试题(含答案)

高数试题练习一、函数、极限连续 1．函数)(x f y =的定义域是（ ）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y =的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是 2．以下说法不正确的是（ ）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 3．两函数相同则（ ）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同 4．函数y =的定义域为（ ）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4) 5．函数3()23sin f x x x =-的奇偶性为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(-+=-x xx f 则)(x f 等于( )A ．12-x xB ．x x 212--C ．121-+x xD ．xx212--7． 分段函数是( )A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数 8．下列函数中为偶函数的是( ) A ．x e y -= B ．)ln(x y -= C ．x x y cos 3= D ．x y ln =9．以下各对函数是相同函数的有( ) A ．x x g x x f -==)()(与 B ．xx g x x f cos )(sin 1)(2=-=与C ．1)()(==x g x xx f 与 D ．⎩⎨⎧<->-=-=2222)(2)(x xx x x g x x f 与10．下列函数中为奇函数的是( )A ．)3cos(π+=x y B ．x x y sin = C ．2xx e e y --=D ．23x x y +=11．设函数)(x f y =的定义域是[0,1],则)1(+x f 的定义域是( )A ．]1,2[--B ．]0,1[- C ．[0,1] D ． [1,2]12．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=20200022)(2x x x x x x f 的定义域是( )A ．)2,2(-B ．]0,2(-C ．]2,2(-D ． (0,2]13．若=---+-=)1(,23321)(f xx x x x f 则( )A ．3-B ．3C ．1-D ．1 14．若)(x f 在),(+∞-∞内是偶函数,则)(x f -在),(+∞-∞内是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x f15．设)(x f 为定义在),(+∞-∞内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F -+=必是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x F16． 设⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<-≤<--=42,021,1211,1)(2x x x x x x f 则)2(πf 等于 ( ) A ．12-π B ．182-π C ． 0 D ．无意义17．函数x x y sin 2=的图形（ ）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y =对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有( )A ．x x y cos = B ．13++=x x yC ．2xx e e y -+=D ．2xx e e y --=19.函数)(x f 与其反函数)(1x f -的图形对称于直线( )A ．0=y B ．0=x C ．x y = D ．x y -= 20. 曲线)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与在同一直角坐标系中,它们的图形( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y =轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(limx f x →，下列说法正确的是（ ） A ．若极限)(lim 0x f x →存在，则此极限是唯一的 B ．若极限)(lim 0x f x →存在，则此极限并不唯一C ．极限)(limx f x →一定存在D ．以上三种情况都不正确 22．若极限A )(lim=→x f x 存在，下列说法正确的是（ ）A ．左极限)(lim 0x f x -→不存在 B ．右极限)(lim 0x f x +→不存在C ．左极限)(lim 0x f x -→和右极限)(lim 0x f x +→存在，但不相等D ．A )(lim )(lim )(lim 00===→→→-+x f x f x f x x x23．极限ln 1limx e x x e→--的值是( )A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x xx→＋０的值是( )．A ． 0B ． 1C ．∞D ． 1-25．已知2sin lim20=+→xx bax x ，则（ ） A ．0,2==b aB ．1,1==b aC ．1,2==b aD ．0,2=-=b a26．设b a<<0，则数列极限l i m n n n n a b →+∞+是A ．aB ．bC ．1D ．b a + 27．极限xx 1321lim+→的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在28．∞→x lim xx 21sin 为( )A ．2B ．21C ．1D ．无穷大量29． n m nxmxx ,(sin sin lim 0→为正整数）等于（ ）A ．nm B ．mn C ．n m nm --)1( D ．mn m n --)1( 30．已知1tan lim230=+→xx bax x ，则（ ） A ．0,2==b aB ．0,1==b aC ．0,6==b aD ．1,1==b a31．极限xx xx x cos cos lim+-∞→( )A ．等于1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(limx f x ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 33．下列计算结果正确的是( )A ．e x x x =+→10)41(lim B ．410)41(lim e xx x =+→ C ．410)41(lim --→=+e x x x D ．4110)41(lim e x x x =+→34．极限x x xtan 0)1(lim +→等于( ) A ． 1 B ．∞ C ．0 D ．21 35．极限⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sinlim 0的结果是 A ．1- B ．1 C ．0 D ．不存在36．()01sinlim≠∞→k kxx x 为 ( )A ．kB ．k1C ．1D ．无穷大量37．极限xx sin lim 2π-→=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2π-38．当∞→x时,函数x x)11(+的极限是( )A ．eB ．e -C ．1D ．1-39．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01cos 001sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1-D ．不存在40．已知a xax x x 则,516lim21=-++→的值是( ) A ．7 B ．7- C ． 2 D ．341．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=020tan )(x x x xaxx f ,且)(limx f x →存在,则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．2D ．2- 42．无穷小量就是（ ）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是 43．当0→x 时，)2sin(3x x +与x 比较是( )A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小 ，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 44．当0→x 时，与x 等价的无穷小是（ ） A ．xx sin B ．)1ln(x + C ．)11(2x x -++ D ．)1(2+x x45．当0→x 时，)3tan(3x x +与x 比较是（ ）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小 ，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 46．设,1)(,)1(21)(x x g x xx f -=+-=则当1→x 时（ ）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小 D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小 47．当+→0x 时, 11)(-+=a x x f 是比x 高阶的无穷小,则( )A ．1>aB ．0>aC ．a 为任一实常数D ．1≥a48．当0→x 时，x 2tan 与2x 比较是（ ）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小 ，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 49．“当0x x→，A x f -)(为无穷小”是“A x f x x =→)(lim 0”的（ ）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件 50． 下列变量中是无穷小量的有( ) A ．)1ln(1lim0+→x x B ．)1)(2()1)(1(lim 1-+-+→x x x x xC ．x x x 1cos 1lim ∞→D ．x x x 1sin cos lim 0→ 51．设时则当0,232)(→-+=x x f x x ( )A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量 D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量 52． 当+→0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．x x 1sinB ．x e 1C ．x lnD ．x xsin 153． 当0→x 时,与2sin x 等价的无穷小量是 ( ) A ．)1ln(x + B ．x tan C ．()x cos 12- D ．1-x e54． 函数,1sin )(xx x f y ==当∞→x 时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量55． 当0→x 时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx 3B ．xx cos C ．x ln D ．xe -56． 当0→x 时,函数xxy sec 1sin +=是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量 57．若0x x→时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则( )A ．0)()(lim=→x g x f x x B ．∞=→)()(lim 0x g x f x xC ．)1,0()()(lim≠=→c c x g x f x x D ．)()(lim 0x g x f x x →不存在58．当0→x 时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( )A ．x 3tan B ．112-+x C ．x x cot csc - D ．xx x 1sin2+ 59．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件 60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（ ）A ．若极限A )(lim 0=→x f x x 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A 0x f ≠，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x +→与极限)(lim 0x f x x -→都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点 61．下列函数中,在其定义域内连续的为( )A ．x x x f sin ln )(+= B ．⎩⎨⎧>≤=00sin )(x ex xx f xC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01011)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f62．下列函数在其定义域内连续的有( ) A ．x x f 1)(=B ．⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01001)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f63．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠=021arctan )(x x x x f π 则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64．下列函数在0=x 处不连续的有( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-00)(2x x e x f xB ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=010sin )(21x x xx x f C ．⎩⎨⎧≥<-=00)(2x xx xx f D ．⎩⎨⎧≤->+=00)1ln()(2x xx x x f65．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=12111)(2x x x x x f , 则在点)(1x f x 处函数=( ) A ．不连续 B ．连续但不可导 C ．可导,但导数不连续 D ．可导,且导数连续 66．设分段函数⎩⎨⎧<+≥+=011)(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 点( )A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在 67．设函数)(x f y =,当自变量x 由0x 变到y x x ∆∆+相应函数的改变量时,0=( )A ．)(0x x f ∆+ B ．x x f ∆)('0 C ．)()(00x f x x f -∆+ D ．x x f ∆)(068．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=012000)(x x x x e x f x ，则函数)(x f ( )A ．当0→x 时,极限不存在B ．当0→x 时,极限存在C ．在0=x 处连续D ．在0=x 处可导69．函数)1ln(1-=x y 的连续区间是( )A ．),2[]2,1[+∞⋃B ．),2()2,1(+∞⋃C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 70．设nxnxx f x -=∞→13lim )(,则它的连续区间是( )A ．),(+∞-∞B ．处为正整数)(1n nx ≠C ．)0()0,(∞+⋃-∞D ．处及n x x 10≠≠71．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=031011)(x x x x x f ， 则函数在0=x 处( )A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00x x xx y ，则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在73．设11cot)(2-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的（ ）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2x y e x z y-+=的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(--B ．是曲线y e y -=上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(-D ．曲线2x y =上的任意点75．设2)1(42-+=x x y ,则曲线( ) A ．只有水平渐近线2-=y B ．只有垂直渐近线0=x C ．既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x D ．无水平,垂直渐近线76．当0>x时, xx y 1sin=( ) A ．有且仅有水平渐近线 B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线 二、一元函数微分学 77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（ ）A ．x yx f x ∆∆=→∆00lim)(' B ．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000C ．00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ D ．hx f h x f x f h )()21(lim)('0000--=→ 78．若e cos x y x =，则'(0)y =( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 79．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f ( )A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0=x f ,则h x f h x f h )()21(lim 000--→等于( )A ．1-B ．2C ．1D ．21-81．设)(x f 在a x =处可导,则xx a f x a f x )()(lim 0--+→=( )A ．)('a fB ．)('2a fC ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2=x 处可导，且2)2('=f ，则=--+→hh f h f h )2()2(lim（ ）A ．4B ．0C ．2D ．383．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（ ）A ．0B ．6-C ．1D ．3 84．设)(x f 在0=x 处可导，且1)0('=f ，则=--→hh f h f h )()(lim（ ）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0lim→h hx f f )()h - x (00-( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关 86．设)(x f 在1=x 处可导，且21)1()21(lim0=--→h f h f h ，则=)1('f （ ）A ．21B ． 21-C ． 41D ．41-87．设==-)0('')(2f e x f x 则( )A ．1-B ．1C ．2-D ．2 88．导数)'(log x a等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1 C ．x x a log 1 D ．x 1 89．若),1()2(249102+-++=x x x x y 则)29(y =( )A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×10 90．设',)(',)()(y x f e e f y x f x 则存在且==( )A ．)()()()('x f x x f x e e f e e f +B ．)(')(')(x f e e f x f x ⋅C ．)(')()(')()(x f e e f e e f x f x x f x x ⋅++D ．)()('x f x e e f91．设=---=)0('),100()2)(1()(f x x x x x f 则 ( )A ．100B ．100!C ．！100-D ．100- 92．若==',y x y x 则( )A ．1-⋅x x x B ．x xxln C ．不可导 D ．)ln 1(x x x +93．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 94．设==-',)2(y x y x 则( )A ．)1()2(x x x +--B ．2ln )2(x x -C ．)2ln 21()2(x x x+- D ．)2ln 1()2(x x x +--95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使96．设,)()(x g x f y =则=dx dy ( ) A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y - B ．])(1)(1[2x g x f y - C ．)()('21x g x f y ⋅ D ．)()('2x g x f y ⋅97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（ ）A ．若在)b a,(内0)('>x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('<x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('≥x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(y x f =在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（ ）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(yx f =为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（ ） A ．211k k =B ．121-=⋅k k C ．121=⋅k k D ．021=⋅k k100．设0x 为函数)(x f 在区间()b a ,上的一个极小值点，则对于区间()b a ,上的任何点x ，下列说法正确的是（ ）A ．)()(0x f x f >B ．)()(0x f x f <C ．)()(0x f x f -> D ．)()(0x f x f -<101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0=x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（ ）A ．若0x x <时, 0)('>x f ；而0x x >时, 0)('<x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值B ．若0x x <时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值C ．若0x x<时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时, )('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0=x f ,0)(''0≠x f ，若0)(''0>x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（ ）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点 103．b x a <<时，恒有0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在()b a ,内（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹 104．数()e x f x x =-的单调区间是( ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增 105．数43()2f x x x =-的极值为（ ）．A ．有极小值为(3)fB ．有极小值为(0)fC ．有极大值为(1)fD ．有极大值为(1)f -106．x e y =在点(0,1)处的切线方程为( )A ．x y +=1 B ．x y +-=1 C ．x y -=1 D ．x y --=1107．函数x x x x x f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23+++=轴交点的坐标是( ) A ．)0,61(- B ．)0,1(- C ．)0,61( D ．)0,1(108．抛物线xy =在横坐标4=x的切线方程为 ( )A ．044=+-y xB ．044=++y xC ．0184=+-y xD ．0184=-+y x109．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( )A ．1+-=x y B ．1--=x y C ．1+=x y D ．1-=x y 110．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的方程是( ) A ．12++-=x x y B ．12-+-=x x y C ．12++=x x y D ．12-+=x x y111．线22)121(++=x e y x 上的横坐标的点0=x 处的切线与法线方程( )A ．063023=-+=+-y x y x 与B ．063023=--=++-y x y x 与C ．063023=++=--y x y x 与D ．063023=+-=++y x y x 与112．函数处在点则0)(,)(3==x x f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0=x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( )A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点 115．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的( )A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点 117．数)(x f y =在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上( )A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值 118．下列结论正确的有( )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程y x e xy+=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( ) A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x120．=+=x y y xe y ',1则( )A ．yy xe e -1 B ．1-yy xe e C ．yyxe e -+11 D ．y e x )1(+121．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f （ ）A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -122．设x x g e x f x cos )(,)(-==，则=)]('[x g fA ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -123．设)(),(x t t f y φ==都可微，则=dyA ．dt t f )(' B ．)('x φdx C ．)('t f )('x φdt D ．)('t f dx124．设,2sin xey =则=dy （ ）A ．x d e x 2sinB ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin125．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( ) A ．与x ∆等价的无穷小量 B ．与x ∆同阶的无穷小量 C ．比x ∆低阶的无穷小量 D ．比x ∆高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --127．下面等式正确的有( ) A ．)(sin sin x x x xe d e dx e e= B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x =128．设)(sin x f y =,则=dy ( )A ．dx x f )(sin ' B ．x x f cos )(sin ' C ．xdx x f cos )(sin ' D ．xdx x f cos )(sin '-129．设,2sin x e y =则=dyA ．xd e x 2sin B ．x d ex2sinsin 2C ．x xd e xsin 2sin 2sinD ．x d e x sin 2sin三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．0)('=x f B ．)()(F'x f x = C ．0)(F'=x D ．0)(=x f131．若函数)(F x 和函数)(x Φ都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有( )A ．I x x x ∈∀=Φ),(F )('B ．I x x x ∈∀Φ=),()(FC ．I x x x ∈∀Φ=),()(F' D ．I x C x x ∈∀=Φ-,)()(F132．有理函数不定积分2d 1x x x⎰+等于（ ）．A ．2ln 12x x x C ++++B ．2ln 12x x x C --++ C ．2ln 12x x x C -+++ D ．2ln 122x xx C -+++ 133．不定积分x 等于（ ）．A ．2arcsin x C +B ．2arccos xC + C ．2arctan x C +D ．2cot arc x C +134．不定积分2e e (1)d xxx x-⎰-等于（ ）．A ．1exC x -++ B ．1e x C x -+ C ．1e x C x ++ D ．1e xC x--+135．函数x e x f 2)(=的原函数是( )A ．4212+x eB ．x e 22C ．3312+x eD ．x e 231 136．⎰xdx 2sin 等于( )A ．c x +2sin 21 B ．c x +2sin C ．c x +-2cos2 D ．c x +2cos 21137．若⎰⎰-=xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（ ）A ．x sinB ．x x sin C ．x cos D ．xxcos 138． 设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )('（ ）A ．c x e x+--)1( B ．c x e x ++--)1( C ．c x e x +--)1( D ． c x e x ++-)1(139．设,)(x e x f -= 则⎰=dx xx f )(ln ' ( ) A ．c x +-1 B ．c x+1C ．c x +-lnD ．c x +ln140．设)(x f 是可导函数，则()')(⎰dx x f 为（ ）A ．)(x f B ．c x f +)( C ．)('x f D ．c x f +)('141． 以下各题计算结果正确的是( )A ．⎰=+x x dxarctan 12B ．c xdx x +=⎰21 C ．⎰+-=c x xdx cos sin D ．⎰+=c x xdx 2sec tan142． 在积分曲线族⎰dx x x中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12+x B ．1)(525+x C ．x 2 D ．1)(255+x143．⎰dx x 31=( )A ．c x +--43 B ．c x+-221 C ． c x +-221 D ． c x +-221 144．设)(x f 有原函数x x ln ,则⎰dx x xf )(=( )A ．c x x++)ln 4121(2B ．c x x ++)ln 2141(2C ．c x x +-)ln 2141(2D ．c x x +-)ln 4121(2 145．⎰=xdx x cos sin ( )A ．c x +-2cos 41 B ．c x +2cos 41 C ．c x +-2sin 21 D ．c x +2cos 21146．积分=+⎰dx x ]'11[2( ) A ．211x + B ．c x++211 C ．x tan arg D ．c x +arctan 147．下列等式计算正确的是( )A ．⎰+-=c x xdx cos sinB ．c x dx x +=---⎰43)4( C ．c x dx x +=⎰32 D ．c dx x x +=⎰22 148．极限⎰⎰→xxx xdxtdt000sin lim的值为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．1149．极限⎰⎰→x xx dx x tdt 0202sin lim的值为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．1150．极限4030sin limx dt t xx ⎰→=( )A ．41 B ．31 C ．21D ．1 151．=⎰+2ln 01x t dt e dxd（ ）A ．)1(2+xe B ．ex C ．ex 2 D ．12+xe152．若⎰=xtdt dx d x f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(=B ．x x f cos 1)(+-=C ．c x x f +=sin )( D ．x x f sin 1)(-=153．函数()⎰+-=xdt t t tx 0213φ在区间]10[，上的最小值为（ ）A ．21 B ．31C ．41D ．0 154．若()⎰+==xtxc dt t e x f e x x g 02122213)(,)(，且23)(')('lim=+∞→x g x f x 则必有（ ）A ．0=cB ．1=cC ．1-=cD ．2=c 155．⎰=+xdt t dx d14)1(( )A ．21x + B ．41x + C ．2121x x+ D ．x x+121 156．=⎰]sin [02dt t dx d x( ) A ．2cos x B ．2cos 2x x C ．2sin x D ．2cos t157．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=⎰00sin )(20x ax x tdt x f x在0=x 点处连续,则a 等于（ ）A ．2B ．21C ．1D ．2- 158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b x a dt t f x F xa≤≤=⎰则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f ax x x F xa ⎰-=)(lim x F a x →=( ) A ．2a B ．)(2a f a C ． 0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是( )A ．c x +tanB ．c x +cotC ．c x +-cotD ． xsin 1-161．函数)(x f 在[a,b]上连续, ⎰=xadt t f x )()(ϕ,则( )A ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x ϕ的一个原函数C ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数 D ． )(x f 是)(x ϕ在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分=⎰+∞-0dx e x ( )A ．0B ．2C ．1D ．发散 163．=+⎰dx x π2cos 1( )A ．0B ． 2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x -=⎰( )A ．)(x FB ．)(x F -C ． 0D ． 2)(x F165．下列广义积分收敛的是（ ）A ．⎰+∞1xdx B ．⎰+∞1xxdx C ．dx x ⎰+∞1D ．⎰+∞132xdx166．下列广义积分收敛的是（ ）A ．⎰+∞13x dx B ．⎰+∞1cos xdx C ．dx x ⎰+∞1ln D ．⎰+∞1dx e x167．⎰+∞->apxp dx e )0(等于( ) A ．pae- B ．pae a-1 C ．pa e p -1 D ．)1(1pa e p --168．=⎰∞+ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．∞+(发散) 169．积分dx e kx-+∞⎰收敛的条件为（ ）A ．0>kB ．0<kC ．0≥kD ．0≤k170．下列无穷限积分中,积分收敛的有( ) A ．⎰∞-0dx e x B ．⎰+∞1xdxC ．⎰∞--0dx e xD ．⎰∞-0cos xdx171．广义积分⎰∞+edx xxln 为( ) A ．1 B ．发散 C ．21D ．2 172．下列广义积分为收敛的是( ) A ．⎰+∞edx x xln B ．⎰+∞e xx dx lnC ．⎰∞+edx x x 2)(ln 1D ．⎰+∞edx x x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是( ) A ．⎰+∞+0)1ln(dx x B ．⎰-42211dx x C ．⎰11-21dx x D ．⎰+03-11dx x174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分⎰badx x f )(在区间[a,b]上可积的（ ）． A ．必要条件 B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件 175．定积分121sin 1xdx x -+⎰等于（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 176．定积分⎰-122d ||x x x 等于（ ）． A ．0 B ． 1 C ．174 D ．174- 177．定积分x x x d e )15(405⎰+等于（ ）． A ．0 B ．5e C ．5-e D ．52e178．设)(x f 连续函数，则=⎰22)(dx x xf （ ）A ．⎰40)(21dx x f B ．⎰2)(21dx x f C ．⎰40)(2dx x f D ．⎰4)(dx x f179．积分⎰--=-11sin 2xdx x e e xx （）A ．0B ．1C ．2D ．3 180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分⎰+=Tl ldx x f I )(的值( )A ．与l 有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关 181．设)(x f 连续函数，则=⎰2)(dx xx f （ ） A ．⎰+210)(21dx x f B ．⎰+210)(2dx x f C ．⎰2)(dx x f D ．⎰2)(2dx x f182．设)(x f 为连续函数,则⎰1)2('dx x f 等于（ ）A ．)0()2(f f - B ．[])0()1(21f f - C ．[])0()2(21f f - D ．)0()1(f f - 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分⎰b adx x f )(的值必定( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零 184．下列定积分中,积分结果正确的有( ) A ．c x f dx x f ba+=⎰)()(' B ．)()()('a f b f dx x f ba+=⎰C ．)]2()2([21)2('a f b f dx x f ba-=⎰D ．)2()2()2('a f b f dx x f b a -=⎰185．以下定积分结果正确的是( ) A ．2111=⎰-dx x B ．21112=⎰-dx x C ．211=⎰-dx D ．211=⎰-xdx 186．⎰=adx x 0)'(arccos ( )A ．211x-- B ．c x+--211 C ．c a +-2arccos πD ．0arccos arccos -a187．下列等式成立的有( ) A ．0sin 11=⎰-xdx x B ．011=⎰-dx e xC ．a b xdx abtan tan ]'tan [-=⎰D ．xdx xdx d xsin sin 0=⎰188．比较两个定积分的大小( ) A ．⎰⎰<213212dx x dx x B ．⎰⎰≤213212dx x dx xC ．⎰⎰>213212dx x dx x D ．⎰⎰≥213212dx x dx x189．定积分⎰-+22221sin dx x xx 等于( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D ．0 190．⎰=11-x dx ( )A ．2B ．2-C ．1D ．1- 191．下列定积分中,其值为零的是( ) A ．⎰22-sin xdx x B ．⎰2cos xdx xC ．⎰+22-)(dx x e x D ．⎰+22-)sin (dx x x192．积分⎰-=21dx x ( )A ．0B ．21 C ．23 D ．25 193．下列积分中,值最大的是( ) A ．⎰12dx x B ．⎰13dx x C ．⎰14dx x D ．⎰15dx x194．曲线x y -=42与y 轴所围部分的面积为（）A ．[]⎰--2224dy y B ．[]⎰-224dy y C ．⎰-44dx x D ．⎰--444dx x195．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（ ）A ．()⎰-exxdx xe e1 B ．()⎰-1ln ln dy y y yC ．()⎰-1dx ex exD ．()⎰-edy y y y 1ln ln196．曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31- C ．1 D ．-1四、常微分方程 197．函数y c x =-（其中c 为任意常数）是微分方程1x y y '+-=的（ ）． A ．通解 B ．特解 C ．是解，但不是通解，也不是特解 D ．不是解 198．函数23x y e =是微分方程40y y ''-=的（ ）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解 199．2()sin y y x y x '''++=是（ ）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程 200．下列函数中是方程0y y '''+=的通解的是（ ）． A ．12sin cos y C x C x =+ B ．x y Ce -=C ．y C =D ．12x y C e C -=+专升本高等数学综合练习题参考答案1．B 2．C 3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x -≥且20x -≥，解得24x ≤≤，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以3()23sin f x x x =-是奇函数．6．解：令t x-=1，则t t t t t f 21212211)(--=---+=，所以xxx f 212)(--= ，故选D7．解：选D 8． 解：选D 9． 解：选B 10．解：选C 11． 解：110≤+≤x ，所以01≤≤-x ，故选B 12． 解：选C 13． 解：选B 14． 解：选B 15．解：选B 16． 解：)(x f 的定义域为)4,1[-，选D17．解：根据奇函数的定义知选C 18． 解：选C 19. 解：选C 20．解：因为函数)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与互为反函数，故它们的图形关于直线x y =轴对称，选C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlim x e x e x x e x e →→-==-,故选B ． 24．解：这是∞∞型未定式22csc ln cot sin cot lim lim lim lim 11ln sin cos sin cos x x x x xx x x x x x x x x xx→→→→-==-⋅=-=-＋＋＋＋００００ 故选D ．25．解：因为2sin lim20=+→x x b ax x 所以0)(lim 2=+→b ax x ，得0=b ，2sin lim 20=→x x ax x 所以2=a ，故选A 26．解：b b b b b a b b n n n n n n n nn ==+≤+≤=2选B27．解：选D28．解：因为∞→x lim2121lim 21sin==∞→x x x x x ,故选B29．解：nmnx mx nx mx x x ==→→00lim sin sin lim 故选A30．解：因为1tan lim230=+→x x b ax x 所以0)(lim 2=+→b ax x ，得0=b ，1tan lim 230=→x x ax x ,所以1=a ，故选B 31．解：1cos 1cos 1lim cos cos lim=+-=+-∞→∞→xxx x x x x x x x ，选A32．解：因为01lim )(lim 0=-=++→→）（xx x e x f ，11sin lim )(lim 00=+=--→→）（x x f x x 所以)(limx f x →不存在，故选D33．解：41414010])41(lim [)41(lim e xx x x x x =+=+→→,选D34．解：极限0sin lim cotx lnx - lim )1(lim 200tan 0===+++→→→xxx x x x x ，选C 35．解：110sin 11sinlim 0-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x ，选A 36．解：kkx x kx x x x 11lim 1sinlim ==∞→∞→选B 37．解：1sin lim 2=-→x x π，选B 38．解：选A 39． 解：选D40．解：06lim21=++→ax x x ,7-=a ,选B41．解：2),2(lim tan lim 00=+=-+→→a x xaxx x ，选C 42．解：根据无穷小量的定义知：以零为极限的函数是无穷小量，故选C43．解：因为22lim )2sin(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 44．解：因为11ln(lim0=+→xx x ），故选B45．解：因为33lim )3tan(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 46．解：因为21)1(21lim1)1(21lim11=++=-+-→→x x xx xx x ，故选C47．解：因为021lim 11lim 00==-+++→→xxx x ax ax ，所以1>a ，故选A48．解：因为02tan lim 20=→x xx ，故选D49．解：由书中定理知选C 50．解：因为01cos 1lim=∞→xx x ，故选C51．解：因为6ln 13ln 32ln 2lim 232lim00=+=-+→→x x x x x x x ，选B 52．解：选A 53．解：1sin )cos 1(2lim20=-→xx x ，选C54．解：因为1)(lim =+∞→x f x ，选A55．解：选A 56．解：0sec 1sin lim0=+→xxx ，选C57．解：选C58．解：,11sinlim20=+→xx x x x 选D59．解：根据连续的定义知选B 60．C 61．解：选A 62．解：选A 63．解：)0(2)(lim 0f x f x ≠=+→π, )0(2)(lim 0f x f x =-=-→π,选B64．解：选A65．解：因为21)1)(1(lim 11lim 21=-+-=--++→→x x x x x x x ，21)1)(1(lim 11lim 21-=-+--=----→→x x x x x x x ，选A66．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ==+→，又)0(1)(lim 0f x f x ==-→，所以)(x f 在0=x 点连续，但111lim )0()(lim )0('00=-+=-=--→→-xx x f x f f x x ，011lim )0()(lim )0('200=-+=-=++→→+xx x f x f f x x 所以)(x f 在0=x 点不可导，选C67．解：选C68．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ≠=+→，又)0(1)(lim 0f x f x ≠=-→，所以)(x f 在0=x 点不连续，从而在0=x 处不可导，但当0→x 时,极限存在，选B69．解：选B 70．解：313lim)(-=-=∞→nxnxx f x ，选A71．解：)0(2111limf x x x ≠=-+→，选A72．解：选C 73．解：因为0)11cot(lim )(lim211=-+=++→→x arc x x f x x ， π=-+=--→→)11cot(lim )(lim 211x arc x x f x x 故选B74．解：选D 75．解：因为2lim ,lim-=∞=∞→→y y x x ，曲线既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x ，选C76．解：因为11sinlim =+∞→xx x ，所以有水平渐近线1=y ，但无铅直渐近线，选A 77．D 78．C 解：e cos e sin x x y x x '=-，(0)101y '=-=．选C ．79．C 解：x x g cos )('=，所以x e x g f cos )]('[=，故选C ．80．解：=--→h x f h x f h )()21(lim 000 1)('21)21(21)()21(lim0000-=-=----→x f h x f h x f h ，选C 81．解：)('2])()()()([lim )()(lim 00a f xa f x a f x a f x a f x x a f x a f x x =---+-+=--+→→，选B82．解：因为=--+→h h f h f h )2()2(lim 0 +-+→h f h f h )2()2([lim 0 ])2()2(hf h f ---=)2('2f ，故选A83．解：)0('f 6)3)(2)(1(lim )0()(lim 00-=---=-=→→x x x x x x f x f x x ，故选B84．解：因为=--→h h f h f h )()(lim 0 +-→h f h f h )0()([lim 0 ])0()(hf h f ---=)0('2f ，故选C85．解：因为0lim→h )(')()h - x (000x f hx f f -=-,故选B86．解：因为=--→h f h f h )1()21(lim 021)1('222)1()21(lim 0=-=----→f h f h f h ）（ ，故选D87．解：222242)('',2)('xx x e x e x f xe x f ---+-=-=，2)0(''-=f 选C88．解：选B 89．解：01282829.....a x a x a x y ++++=，所以!29)29(=y ，选B90．解：)(')()('')()(x f e e f e e f y x f x x f x x ⋅+=+，选C91．解：!100)100()2)(1(lim )0()(lim)0('00=---=-=→→xx x x x x f x f f x x ，选B 92．解：)'('ln x x e y =)ln 1(x x x +=，选D。

专升本高数真题及答案

专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号-一一-——-——四五六总分核分人分数一、单项选择题(每小题2分，共计60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分•得分评卷人1.函数y =A. x 1B. 解:2.(A.C. ln(x_1)的定义域为为、5 -xx :: 5C. 1 ：： x :: 5 0X—1Q -x A0 下列函数)y =xcosxD.C.B.D.形关于y 轴对3 /y = x x 12■ 2^解：图形关于y轴对称，就是考察函数是否为偶函数,显然函数2 y=—2。

2偶函数,应选D.3.当x > 0时，与e x2-1等价的无穷小量是A. xB. x2C. 2xD. 2x2解：e x_1 〜x =4.Iim 1 -n—；5. n 2e x -1〜x2,应选B.A. C.5.4 e..2(n 1) Iimn T n二e2,应选 B.设 f (x)- 1 - •1 -'Xr-，X7在x = 0x=0处连续解:n2e D.nn 2(n 1) n2 2 +— in解：对方程xy =e x y 两边微分得xdy • ydx = e x y (dx • dy),即(y —e x 为)dx = (e x 旳 _x)dy ,(y -xy)dx = (xy -x)dy , 所以主二必卫，应选A.dy y(1-x)8. 设函数f (x)具有任意阶导数，且f (x) = [f (x)]2，则f (n)(x)= ( )A. n[f(x)]n1B. n![f(x)]n1C. (n 1)[f(x)]n1D. (n 1)![f(x)]n 3解：f (x) =2f(x)f (x) =2[f(x)]'二 f (x) = 2 3f 2(x)f (x) =3[f (x)]4, ……二 f (n )(x)= n![f(x)]n\应选 B.9. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是( )A. f (x) = 1 - x?,[ -1,1]B. f (x) = xe», [ -1,1]1C. f (x) F ,[-1,1]D • f(x) =|x|,[—1,1]1 -x解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定 ，只有f(x) =1 -x 2,[-1,1]满足,应选 A. 10.设 f (x) =(x-1)(2x 1),x (」：，：：)，则在(丄，1)内，f(x)单调 ()22 3数f (x)在(-,1)内单调减少，且曲线y = f(x)为凹的，应选B.A. 1B.-1C. 解：即（XT 冯匕匕翊x （1+J 口）=lim x >01-2 _-!,应选C.(1 J -x) 2D.6.设函数f(x)在点x =1处可导，且lim f(1「2h)「f(1)1，则 f (1)二A. B.C.D.2h) f (1) h--2 li lim 鮒的十）-2h —p-2h--2f (1)=丄二2f (1)7. 由方程xy = e x 审确定的隐函数 ( )A. x(y -1)B. y(x -1)C. y(1+x) y(1—x)x(1 —y)x(y —1)x(y)dx dyD.x(y 1) y(x-1)A.增加，曲线y = f(x)为凹的B. 减少，曲线y = f(x)为凹的C.增加，曲线y = f (x)为凸的D. 减少，曲线y = f (x)为凸的1解：在(孑1)内，显然有f (x) =(x -1)(2x • 1) ：：：0 ,而f (x) =4x-1 0 ,故函11.( A. C. 解： 12. 解:) 只有垂直渐近线 B. .既有垂直渐近线，又有水平渐近线,lim y = 1 = y X 只有水平渐近线D.无水平、垂直渐近线 应选C.设参数 A.-^D.3 比_ I dx C. b _ ~~2 ~~3~ a sin tb a 2 sin tcos 21 bcost __________ — x/ asintd 2y dx 21 1 13. 若 f (x)e x dx = e x A. -1 B. 解: 14.bcost 「 - -------- i < asint 丿x b 1 ----- X・2 a sin tf(x) C. 1两边对x 求导 f (x)e x 二e x ( .f (x)dx 二 F(x) C 1 ~2 x -asin t (A.C.)F (sin x) C F (cosx) CB.D. bcost 「 dt - --------- i 汉—— \、 asint 丿t dx应选 sin t B.D. )=f(x) 1 ~2 x则 ,应选B. cosxf (sin x)dx = -F (sin x) C -F (cosx) C解:cosxf (sin x)dx 二 f (sin x)d (sin x)二 F (sin x) C ,应选 A.15.下列广义积分发散的是 1 1 2dxB. 0 -bo A.- 0 1 x 1 - dx C. • 1-x 2 ：：^dxD.e x -bee "dx 解: 16.arcs in x严ln x 1 2 1 dx = (ln x) ■bo . -bo =00。

5河南专升本高数真题及答案

5河南专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分。

1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A 。

1>x B.5<x C.51<<x D. 51≤<x解:C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --= D 。

222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数，显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D 。

3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ) A. x B.2x C 。

x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B 。

2e C.3e D.4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B 。

5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a ( ）A 。

1 B.-1 C.21 D.21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ，应选C.6。

设函数)(x f 在点1=x 处可导，且21)1()21(lim0=--→h f h f h ，则=')1(f ( ）A. 1B.21-C.41 D 。

2002-2012年河南专升本高数试题+答案

2002-2012年河南专升本高数试题+答案

2002年考试2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ） A. x B.2x C. x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ）A. 1B. -1C. 21D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 （ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-= （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ）A.t a b 2sinB.t a b32sin -C.t a b 2cosD.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （ ）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰b a dx x f )(是)(x f 的一个原函数B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数 C.⎰ax dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x x z,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20c o s20)s i n ,c o s (a r d rr r f d ，应选C. 26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 ,1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n nn条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。

河南省专升本考试高等数学真题试卷

河南省专升本考试高等数学真题试卷

河南省专升本考试⾼等数学真题试卷2005年河南省普通⾼等学校选拔优秀专科毕业⽣进⼊本科阶段学习考试⾼等数学⼀、单项选择题1．已知xx y --=5)1ln(的定义域为（）A. x >1B. x <5C. 1D. 1A ．x x y cos = B. 13++=x x y C. 222x x y --= D 222xx y -+=3．当0→x 时，与12-x e 等价的⽆穷⼩量是（） A ．x B. x 2 C. 2x 2 D.2x4．极限=++∞→1)21(lim n n n（）A ．e B. 2e C . 3e D. 4e5．设函数=≠--=0,0,11)(x a x x xx f 在x =0处连续，则常数a= （） A ．1 B -1 C 0.5 D -0.5 6.设函数)(x f 在x =1处可导，且2 1)1()21(lim=-+→h f h f h ，则=')1(f ( )A 0.5B -0.5C 0.25D -0.25 7、由⽅程y x e xy += 确定的隐函数)(y x 的导函数=dydx（）A)1()1(x y y x -- B )1()1(y x x y -- C )1()1(-+y x x y D )1()1(-+x y y x8、设函数f (x )具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则=)()(x f n（）A []1)(+n x f n B []1)(!+n x f n C []1)()1(++n x f n D []1)()!1(++n x f n9、下列函数在给定区间上满⾜罗尔定理条件的是（） A 、]1,1[,12--=x y B 、]1,1[,11 2--=xy C 、]1,1[,-=x xe y D 、]1,1[,-=x y 10、曲线xex f 1)(-= （）A 、只有垂直渐近线B 、只有⽔平渐近线C 、既有⽔平渐近线、⼜有垂直渐近线D 、⽆⽔平、垂直渐近线11、设参数⽅程为==t b y t a x sin cos ，则⼆阶导数22dx yd =（）A 、t a b 2sin B 、t a b 3sin 2- C 、t a b 2cos D 、tt a b12、函数),(),12)(1(+∞-∞∈+-='x x x y ，则在(0.5,1)内，f (x )单调（） A 、递增且图像是凹的 B 、递增且图像是凸的曲线 C 、递减且图像是凹的 D 、递减且图像是凸的曲线 13、若=+=??dx x f C e dx e x f xx)(,)(11则（）A 、x 1B 、21xC 、21x- D 、x 1-14、若=+=??dx x xf C x F dx x f )(sin cos ,)()(则（） A 、C x F +)(sin B 、C x F +-)(sin C 、C x F +)(cos D 、C x F +-)(cos15、导数=?-11dx x x （）A 、2/3B 、0C 、4/3D 、-2/3 16、下列⼴义积分收敛的是（） A 、dx e x ?+∞-0 B 、?+∞ex xdx ln C 、?+∞+021x dxD 、?-10211dx x17、设f (x )在[-a,a]上连续，则定积分=-?-aadx x f )(A 、0B 、?a dx x f 0)(2 C 、?--a adx x f )( D 、?-aadx x f )(18、若直线的关系是与平⾯0122113=+--+=-=-z y x z y x （） A 、垂直 B 、相交但不垂直 C 、平⾏ D 、直线在平⾯上 19、设函数)(x f 的⼀个原函数是sinx ,则A 、C x x +-2sin 2121B 、C x x +--2sin 4121 C 、x 2sin 21-D 、C x +-2sin 2120、设函数f (x )在区间[a,b]上连续，则不正确的是（）A 、?badx x f )(是f (x )的⼀个原函数 B 、?xadt t f )(是f (x )的⼀个原函数C 、?xadt t f )(是-f (x )的⼀个原函数 D 、f (x )在[a,b]上可积21、函数 ),(y x f z =在点(x 0,y 0)处的两个偏导数yzx z 和存在是它在该点处可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、⽆关条件 22、下列级数中，条件收敛的是（）A 、∑∞=+-11)1(n nn n B 、∑∞=-13/21)1(n n n C 、∑∞=-121)1(n n n D 、∑∞=+-1)1()1(n n n n 23、下列命题正确的是（）A 、若级数收敛）（收敛，则级数与2111∑∑∑∞=∞=∞=+n n n n n n n v u v uB 、若级数收敛收敛，则级数与)(11∑∑∑∞=∞=∞=+n n nn n n n v u v u C 、若正项级数收敛）（收敛，则级数与2 111∑∑∑∞=∞=∞=+n n n n n n n v u v uD 、若级数收敛，与收敛，则级数∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n n v u v u24、微分⽅程y x y y x -='-2)2(的通解为（）A 、C y x =+22B 、C y x =+ C 、1+=x yD 、222C y xy x =+-25、微分⽅程022=+x dtxd x β的通解为 ( )A 、t C t C x ββsin cos 21+=B 、t t eC e C x ββ-+=21 C 、 t t x ββsin cos +=D 、t t e e x ββ-+= 26、设==)2,1(,2ln dz yxz 则（）A 、dx x y 2 B 、dy dx 2121- C 、dy dx 21- D 、dy dx 21+ 27、设L ：y =x 2从O(0,0)到B(1,1)的⼀段弧，则=+?L dy x xydx 22（） A 、2 B 、1 C 、-1 D 、-228、交换积分次序dy y x f dx x ),(2的积分次序后可化为（）A 、dx y x f dy y),(240?B 、dx y x f dy y),(040?? C 、dx y x f dy x),(2402?? D 、dx y x f dy y),(24029、设D 由上半圆周22x ax y -=和x 轴围成的闭区域，则= Ddxdy y x f ),(（）A 、rdr r r f d a)sin ,cos (2020θθθπB 、dr r r f d a)sin ,cos (2020θθθπC 、rdr r r f d a )sin ,cos (cos 2020θθθθπD 、dr r r f d a )sin ,cos (cos 2020θθθθπ30、⼆元函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极⼩值点是（）A 、(1,-1)B 、(-1,1)C 、(-1,-1)D 、(1,1)⼆、填空题31、设函数2)1(2+=+x x f ，则f (x-2)=32、526lim22=--+→x ax x x ，则a= 33、曲线x y arctan =在)4,1(π处的切线⽅程为34、x e y =的拐点为35、设函数xxx e x f 1)(=，则dy =36、函数x x x f ln 2)(2-=的单调递增区间是37、设函数)(x f 连续，且x dt t f x =?3)(，则)27(f =38、向量a={1,0,-1}与b={0,1,2}为邻边构成的平⾏四边形的⾯积为39、=+-?dx xx xcos sin 140、函数dt te y x t ?-=0的极⼩值是 41、设y z z x ln =,则yz x z ??+??= 42、设=≥≥==-==??Ddxdy x y y x y x y x y y x D 2)(},0,0,0,,1),{(则 43、设3)2(,2)2(,1)0(='==f f f ，则=''?1)2(dx x f x44、将223)(x x x f -+=展开为x 的幂级数是45、⽤待定系数法求⽅程x e x y y y 2)12(44+=+'-''的特解时，特解应设为三、计算题46、求xx e x xx 2sin 1lim 3202-→-- 47、求函数x x x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy48、计算不定积分?-dx xx 22449、计算定积分dx x x ?-+102)2()1ln(50、设函数),()2(xy x g y x f z ++=，其中),(),(v u g t f 为可微函数，求yz x z , 51、计算σd y x D2，其中D 由 1,2,===x x y x y 所围成的区域52、求微分⽅程0)12(2=+-+dx x xy dy x 的通解 53、将幂级数∑∞=--+1)1()3(1n nnx n 的收敛区间（不考虑端点的情况）四、应⽤题54、某公司的甲，⼄两⼚⽣产同⼀种产品，且⽉产量分别是x,y （千件），甲⼚的⽉⽣产成本是C 1=x 2-2x+5(千元)，⼄⼚的⽉⽣产成本是C 2=y 2-2y+3(千元)，若要求该产品每⽉总产量为8千件，并使总成本最⼩，求甲⼄两⼯⼚的最优产量和相应的最⼩成本。

2004年河南专升本高数真题+答案解析

2004年河南专升本高数真题+答案解析

2004年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共50分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 1．函数1ln y x=+的定义域为（ ） A ．(2,2)- B ．[0,1)(1,2]C ．(2,1)(1,2)-D ．(0,1)(1,2)【答案】D【解析】要使函数有意义，须使240x ->，即22x -<<，由ln 0x ≠，得0x >且1x ≠，则行数的定义域为(0,1)(1,2)．2．函数1sin y x=是定义域内的（ ）A ．周期函数B ．单调函数C ．有界函数D ．无界函数【答案】C 【解析】由于1sin 1x≤，显然在其定义域内是一个有界的函数．3．lim sinn xn n→∞⋅=（ ） A ．x B ．0 C ．∞ D ．1【答案】A【解析】变量是n ，则sinsinlim sin lim lim 1n n n x xx n n n x x x n n n→∞→∞→∞⋅==⋅=．中公学员 培训讲义2学员专用 请勿外泄4．当0x →时，sin x x -是比2x （ ） A ．低阶的无穷小 B ．高阶的无穷小C ．等价的无穷小D ．同阶但非等价的无穷小【答案】B【解析】2200001sin 1cos 2lim lim lim lim 0224x x x x xx x x x x xx →→→→--====，所以当0x →时，sin x x -是比2x 高阶的无穷小．5．设2arcsin(1)()1x f x x -=-，则1x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】B【解析】2111arcsin(1)arcsin(1)11lim ()limlim 1112x x x x x f x x x x →→→--==⋅=--+，间断点1x =处函数()f x 的左、右极限都存在且相等，所以1x =是()f x 的可去间断点．6．设()f x '在点0x x =的某个邻域内存在，且0()f x 为()f x 的极大值，则000(2)()limh f x h f x h→+-=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】0000000(2)()(2)()lim 2lim 2()2h h f x h f x f x h f x f x h h→→+-+-'==，而由题目知0()f x '存在，且()f x 在0x x =处取到极大值，则0x x =是()f x 的驻点，所以0()0f x '=．故选A ．7．下列函数中，在1x =处连续但不可导的是（ ）A ．211x y x -=- B ．1y x =-C ．cot(1)y x =-D ．2y x x =-【答案】B【解析】该题采用排除法．A 、C 显然在1x =处不连续，B 、D 都在1x =处连续，但D 在1x =处可导，故只有B 符合要求．8．下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．2ln xB ．xC ．cos xD ．211x - 【答案】C【解析】罗尔定理条件有三个：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在(,)a b 内可导；③()()f a f b =．A 不满足①，2ln x 在0x =处不连续；B 不满足②，x 在0x =处不可导；C 满足罗尔定理得条件；D 不满①、②和③．9．设()f x 点3x =的某个邻域内有定义，若23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，则在3x =处（ ）A ．()f x 的导数存在且(3)0f '≠B ．()f x 的导数不存在C ．()f x 取得极小值D ．()f x 取得极大值【答案】D 【解析】因为23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，所以存在3x =的某个去心邻域，使得2()(3)0(3)f x f x -<-．即无论3x >或3x <都有()(3)f x f <，又()f x 在3x =的某邻域有定义，所以()f x 在3x =处取得极大值．10．曲线232(2)x y x +=-的渐近线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条中公学员 培训讲义4学员专用 请勿外泄【答案】B【解析】232lim 0(2)x x x →∞+=-，所以曲线有水平渐近线0y =；2322lim (2)x x x →+=∞-，所以曲线有垂直渐近线2x =，故y 有两条渐近线．11． 下列函数对应的曲线在定义域内凹的是（ ）A ．x y e -=B ．2ln(1)y x =+C ．23y x x =-D ．sin y x =【答案】A【解析】x y e -=，x y e -'=-，0x y e -''=>，所以曲线x y e -=在定义域内时凹的．12．下列函数中，可以作为同一函数的原函数的是（ ） A ．21sin 2x 和1cos 24xB ．ln ln x 和2ln xC ．21sin 2x 和1cos 24x -D ．2tan 2x 和2csc 2x【答案】C【解析】2111sin 2sin cos sin 2222x x x x '⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，111cos 2(sin 2)2sin 2442x x x '⎛⎫-=--⋅= ⎪⎝⎭，故选C ．13．下列等式正确的是（ ） A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()d df x f xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx =⎰D ．()()d df x f x '=⎰【答案】C【解析】A 未加常数C ，而B 中()()d df x f x dx '=⎰，D 等号右端缺dx ．只有()()df x dx f x dx =⎰是对的，故选C ．14．设()f x '为连续函数，则102x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（ ）A ．12(0)2ff ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．[]2(1)(0)f f -C ．11(0)22f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．[]1(1)(0)2f f - 【答案】A 【解析】1111220000122()2()2(0)2222xu x x x f dx f d f u du f u f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=−−−→==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰．15．下列广义积分收敛的是（ ） A ．2ln e xdx x +∞⎰B ．1ln e dx x x +∞⎰C ．e+∞⎰D ．21ln edx x x+∞⎰【答案】D【解析】选项A ，223ln 1ln ln (ln )3ee e x dx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰；选项B ，11ln ln ln ln ln e ee dx d x x x x x+∞+∞+∞===+∞⎰⎰； 选项C ，112(ln )ln 2(ln )eeex d x x +∞+∞-+∞===+∞⎰⎰；选项D ，22111ln 1ln ln ln ee e dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰．16．设xy z e =，则(1,2)dz =（ ）A ．()xy e xdy ydx +B ．23eC ．222e dx e dy +D ．0【答案】C中公学员 培训讲义6学员专用 请勿外泄【解析】22(1,2)(1,2)()2xy xy dz e ydx e xdy e dx e dy =⋅+⋅=+．17．设22(,)(4)f x y x y =-+，则点(4,0)（ ） A ．不是驻点 B ．是驻点但非极值点C ．极大值点D ．极小值点【答案】D【解析】2(4)x f x =-，2y f y =，令两式等于0，解得4x =，0y =．2xx A f ==，0xy B f ==，2yy C f ==，240B AC -=-<，20A =>，所以点(4,0)为(,)f x y 的极小值点．18．设区域D 由y 轴及直线y x =，1y =所围成，则Dxdxdy =⎰⎰（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．16【答案】D【解析】12111300011(1)236x Dx xdxdy dx xdy x x dx x ⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰．19．设直线L 1：1312x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩与直线L 2：234112x y z ---==-的关系是（ ） A ．平行但不重合 B ．重合C ．垂直但不相交D ．垂直相交【答案】A【解析】两直线的方向向量分别为1(1,1,2)=--s ，2(1,1,2)=-s ，且112112--==-，所以两直线平行或重合，将第一条直线上的点(1,3,1)代入第二条直线方程显然不满足，所以两直线平行但不重合．20．方程2221x y -=表示的二次曲面是（ ）A ．球面B ．旋转抛物面C ．柱面D ．圆锥面【答案】C【解析】方程2221x y -=缺一个变量z ，因此表示一个母线平行于z 轴的柱面，由于它在xOy 坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表示的是双曲柱面．21．下列级数中绝对收敛的是（ ）A．n n ∞=B ．13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C ．32111(1)n n n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D ．11(1)nn n n∞=--∑ 【答案】C 【解析】选项A，n n ∞∞===，当n →∞~，级数发散；选项B ，1133(1)22nnnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，公比1q >的等比级数，发散；选项C ，332211111(1)n n n n n ∞∞-==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，1p >的p 级数，收敛，原级数绝对收敛； 选项D ，1111(1)nn n n n n n ∞∞==---=∑∑，1lim1n n n →∞-=，不满足级数收敛的必要条件，级数发散． 故选C ．22．下列级数中发散的是（ ）中公学员 培训讲义8学员专用 请勿外泄A ．1sin 2n n π∞=∑B ．111(1)1n n n ∞-=-+∑ C ．134nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑D ．311n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑【答案】A 【解析】limsin02n n π→∞≠，A 不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散．23．级数02!nn n ∞=∑的和为（ ）A ．0B ．eC ．2eD ．不存在【答案】C【解析】因为幂级数0!n x n x e n ∞==∑，(,)x ∈-∞+∞，所以202!n n e n ∞==∑．24．用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2()x y ax bx c e =++ B ．*2()x y x ax bx c e =++C ．*2()x y x ax b e =+D ．*22()x y x ax bx c e =++【答案】D【解析】方程2x y y y xe '''-+=对应的齐次方程20y y y '''-+=的特征方程为2210r r -+=，解得121r r ==．由()xf x xe =知1λ=是特征方程的二重根，故特解形式为*22()x y x ax bx c e =++．25．设L 为从点(1,0)A 沿x 轴到点(1,0)B -的直线段，则2L y dx =⎰（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】L ：0y =，x ：11→-，则12100Ly dx dx -==⎰⎰．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）1．设211(0)x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，则()f x =________．【答案】(1)x x - 【解析】令1x u x +=，解得11x u =-，代入原式变为()(1)f u u u =-，即()(1)f x x x =-．2．若lim 1n n x →∞=，则22lim 3n n n n x x x +-→∞++=________． 【答案】1【解析】由lim 1n n x →∞=，得2lim 1n n x +→∞=，2lim 1n n x -→∞=，故22lim 13n n n n x x x +-→∞++=．3．设21cos ,0(),0xx f x x k x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =________．【答案】12【解析】()f x 在0x =处连续，应有lim ()(0)x f x f →=，而22200011cos 12lim ()lim lim 2x x x xx f x x x →→→-===，(0)f k =，所以12k =．4．设3225x y x x e =++，则(10)y =________． 【答案】1022x e【解析】3225x y x x e =++，223102x y x x e '=++，226102x y x e ''=++，3262x y e '''=+，，(10)1022x y e =．5．设2tx t y e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则22d y dx =________．中公学员 培训讲义10学员专用 请勿外泄【答案】3(1)4t e t t - 【解析】()()2t dy y t e dx x t t '=='，22232(1)()4t te d dy t d y e t dt dx dx dx t t dt'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==='． 6．24sin 2lim x x tdt x→=⎰________．【答案】1 【解析】2220433000sin 2sin 2222lim lim lim 144x x x x tdt x x x x x x x→→→⋅⋅===⎰．7．3272y x x =-+在[]0,1上的最大值为________． 【答案】2【解析】3272y x x =-+，223273(9)y x x '=-=-，因为[]0,1x ∈，所以0y '<，从而函数在[]0,1上单调递减，故最大值为(0)2y =．8．设2()sin x f x tdt π-=⎰，则2f f π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________． 【答案】1-【解析】2()sin xf x tdt π-=⎰，则22sin 02f tdt πππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则0022(0)sin cos 12f f f tdt tπππ--⎡⎤⎛⎫===-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰．9．1ln exdx =⎰________．【答案】1【解析】111111ln ln ln (1)1ee e e exdx x x xd x e x dx e dx e e x =-=-⋅=-=--=⎰⎰⎰⎰．10．设2x e 为()f x 的一个原函数，则2()xe f x dx -=⎰________．【答案】2x C +【解析】利用分部积分法，因为()f x 的一个原函数为2x e ，则222222()2x x x x x e f x dx e de e e xdx x C ---==⋅⋅=+⎰⎰⎰．11．广义积分1101qdx x +⎰当________收敛． 【答案】0q <【解析】100111110000lim ln lim(ln1ln ),011lim 111lim lim 1,0q q q q x q dx dx x x q qx q εεεεεεεεεε+++++→→++→→→⎧=-=∞=⎪⎪==⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=--≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎰⎰， 第二式当0q <时极限为1q-，故0q <时，广义积分收敛．12．过原点且与直线L ：113213x y z -++==-垂直的平面方程为________． 【答案】230x y z +-=【解析】该平面的法向量可取直线的方向向量(2,1,3)-，又平面过点(0,0,0)，故平面的点法式方程为230x y z +-=．13．设2xy z e x=+，则2z x y ∂=∂∂________． 【答案】22yx-中公学员 培训讲义12学员专用 请勿外泄【解析】22221x xz y e y e x x x ∂⎛⎫=+⋅-=- ⎪∂⎝⎭，222z z y x y y x x ∂∂∂⎛⎫==- ⎪∂∂∂∂⎝⎭． 14．2221x y x ydxdy +≤=⎰⎰________．【答案】0【解析】在极坐标系下，区域D 可表示为0201r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以22212222222000111cos sin cos sin cos cos 55x y x ydxdy d r r rdr d d πππθθθθθθθθ+≤=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32011cos 053πθ=-⋅=．15．设222(,)ln(3)x y f x y x y +=--，则10lim (,)x y f x y →→=________． 【答案】2ln 2【解析】函数(,)f x y 在点(1,0)连续，故 2211022102lim (,)limln(3)ln(310)ln 2x x y y x y f x y x y →→→→+⋅+===----．三、判断是非题（每小题2分，共10分）1.若)(x f 在0x x =处连续，则)]([x f f 在点0x x =处一定连续．（ ） 【答案】×【解析】把0x x =代入)]([x f f 中，可得)]([0x f f ．)(x f 在0x x =处连续，并不可以得到)(x f 在)(0x f 处是连续的，故错误． 2. 若数列{}n x 有界，则{}n x 必收敛．（ ） 【答案】×【解析】3. 方程0)1ln(1=+x x 在]1,1[-e 上无实根．（ ）【答案】√ 【解析】 4.⎰⎰-<202cos cos ππxdx xdx ．（ ）【答案】× 【解析】5. 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，则),(y x f z =在点),(00y x 处可微．（ ）【答案】× 【解析】四、计算题 （每小题5 分，共40 分） 1．求极限11lim 1x x x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭．【答案】2e - 【解析】11(2)2212lim lim 111x x x x x e x x ++⋅---→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．2．设()y y x =是由方程221y x e y +=所确定的函数，求(1,0)dydx．【答案】2-【解析】方程221y x e y +=两边对x 求导得2220y y xe x e y y y ''++⋅=，代人1x =，0y =，得 (1,0)(1,0)2dy y dx'==-．中公学员 培训讲义14学员专用 请勿外泄3．计算不定积分32cos x x dx ⎰．【答案】22211sin cos 22x x x C ++【解析】()2322221111cos cos cos sin sin sin 2222x ux x dx x x dx u udu ud u u u udu ==−−−→==-⎰⎰⎰⎰⎰ ()2221111sin cos sin cos 222u u u C x x x C =++=++．4．计算0x⎰． 【答案】233π⎫⎪⎭【解析】x t =，则2x t =，2dx tdt =，当0x =时，0t =，当3x =时，3t =[]33322000012212arctan 23113x t tdt dt t t t t π⎫⎫=⋅=-=-=⎪⎪++⎝⎭⎭⎰．5．设(,)z f x y xy =+可微，求dz ． 【答案】1212()()dz f yf dx f xf dy ''''=+++ 【解析】12121zf f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂，12121z f f x f xf y ∂''''=⋅+⋅=+∂， 1212()()z zdz dx dy f yf dx f xf dy x y∂∂''''=+=+++∂∂．6．计算2112200y dy x y dx -+⎰．【答案】6π【解析】1131201236dy d r rdr r πππθ=⋅=⋅=⎰⎰⎰．7．求幂级数211(1)2n nn x ∞=+∑的收敛区间（不考虑端点情况）．【答案】(1)【解析】由于缺项，令2(1)x t +=，则2111(1)22nnn n n n t x ∞∞==+=∑∑，11112lim lim 122n n n n nn a a ρ++→∞→∞===，所以收敛半径2R =，所以22t -<<，即2(1)2x +<时级数收敛，解得收敛区间为(1)．8．求微分方程0y y ''-=的积分曲线方程，使其在(0,0)处与直线y x =相切． 【答案】1122x xy e e -=-【解析】0y y ''-=的特征方程为210r -=，得特征根1r =±，所以通解为12x x y C e C e -=+．由已知条件(0)0y =，01x y ='=，解得112C =，212C =-，于是所求积分曲线方程为1122x xy e e -=-．五、应用题 （每小题7 分，共 14 分）1．某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行培训，使其掌握此项技术，并开始在此地域推广．设经过时间t ，已掌握此技术人数为()x t （将()x t 视为连续可微变量）．其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为(0)k k >，求()x t ．【答案】505050()49ktkte x t e =+中公学员 培训讲义16学员专用 请勿外泄【解析】令()y x t =，由题意可知(50)y ky y '=-，(0)1y =， 分离变量(50)dykdt y y =-，两边同时积分(50)dykdt y y =-⎰⎰，解得ln ln(50)50y y kt C --=+．当0t =，1y =时，ln49C =-，故505050()49ktkte y x t e ==+．2．过点(1,0)P 做抛物线2y x =-的切线L ，L 与上述抛物线及x 轴所围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积． 【答案】6π【解析】设切点为00(2)x x -，切线的斜率为0022x x y x ='=-则切线方程为0002)22y x x x x -=--，切线经过(1,0)P ，代入解得03x =，即切点坐标为(3,1)，切线方程为1(1)2y x =-．故3222112(2)36x V x dx πππ=⋅⋅⋅--=⎰．六、证明题 （6 分）证明：当0x >时，22ln(1)1x x x +>+． 【解析】令22()ln(1)1f x x x x =++，则2222222211()10111(1)x x x f x x x x x x +-⎛⎫+'=+=> +++++⎝，所以()f x 单调递增，而0x >，则()(0)0f x f >=，故ln(x >．。

河南专升本高数真题及答案-专升本河南高数

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2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷1.函数xy -=5的定义域为为（）A.1>xB.5<xC.51<<xD.51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是（）A ．x x y cos = B.13++=x x yC.222x x y --=D.222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3.当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是（） A.x B.2x C.x 2 D.22x解：⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （） A.e B.2e C.3e D.4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n nn nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则常数=a （） A.1B.-1 C.21D.21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （）A.1B.21-C.41D.41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （） A.1)]([+n x f n B.1)]([!+n x f nC.1)]()[1(++n x f nD.1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=x x f D ．]1,1[|,|)(-=x x f解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调()A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解:在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（）A. 只有垂直渐近线B.只有水平渐近线C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D.无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （）A.t a b 2sinB.t a b 32sin - C.t a b 2cos D.t t a b 22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （）A.x 1-B.21x -C.x 1D.21x解：两边对x 求导22111)()1()(x x f x e e x f xx-=⇒-⨯=,应选B. 14.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(sin cos （）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A. 15.下列广义积分发散的是（）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x ; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （）A.0B.32C.34D.32-解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )(（）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )(（）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121C.x 2sin 21D.C x +-2sin 21解:x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是（）A.⎰b adx x f )(是)(x f 的一个原函数B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数D.)(x f 在],[b a 上可积解:⎰b adx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是（） A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz ∂∂和y z∂∂存在是它在该点处可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln =，则=)2,1(dz （）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C.23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是（） A.)1,1(- B.)1,1(- C.)1,1(-- D.)1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是（）A.⎰⎰402),(y dx y x f dy B.⎰⎰400),(ydx y x f dy C.⎰⎰422),(xdx y x f dy D.⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（） A.-1B.1 C.2D.-1解：L ：,2⎩⎨⎧==x y xx x 从0变到1, 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是（） A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n nn n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散,∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28.下列命题正确的是（）A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛，应选C 。

5河南专升本高数真题及答案

5河南专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A.1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D.222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ） A. x B.2x C.x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ）A. 1B.-1C.21D.21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f（ ）A. 1B.21-C.41D.41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dxyd （ ）A.t a b 2sin B.t a b32sin -C.t a b 2cosD.t t a b 22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B.21x -C.x 1D.21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos（ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x 解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x 。

(完整版)年河南专升本高等数学考试真题

(完整版)年河南专升本高等数学考试真题

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本试卷的试题答案必须答在答题卡上,答在试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

1．设函数)(x f 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)e f x -的定义域为A ．[2,2]-B ．(1, 1]-C ．(2, 0]-D ．(0, 2]2．若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是A ．()y x =，[1, 1]x ∈-B ．3()tan y xf x x =+，(π, π)x ∈-C ．3sin ()y x x f x =-，[1, 1]x ∈-D ．25()e sin x y f x x =,[π, π]x ∈- 3．当0→x 时,2e 1x -是sin3x 的A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小4．设函数2511sin , 0()e , 0xx x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是)(x f 的 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．连续点D ．第二类间断点5．下列方程在区间(0, 1)内至少有一个实根的为A ．220x +=B ．sin 1πx =-C ．32520x x +-=D ．21arctan 0x x ++=6．函数)(x f 在点0x x =处可导，且1)(0-='x f ，则000()(3)lim 2h f x f x h h →-+=A ．23B ．23-C ．32-D ．327．曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是A ．1-=x yB ．)1(+-=x yC ．1y x =-+D ．)1)(1(ln -+=x x y 8．设函数π2sin 5y =，则='y A．π2cos 5-B．CD．2πcos 55-9．若函数()f x 满足2d ()2sin d f x x x x =-，则()f x =A ．2cos xB ．2cos xC +C ．2sin x C +D ．2cos x C -+10．d e sin(12)d d b xa x x x--=⎰ A ．e sin(12)x x -- B ．e sin(12)d x x x -- C ．e sin(12)x x C --+D ．011．若()()f x f x -=，在区间(0, )+∞内,()0f x '>，()0f x ''>,则()f x 在区间(, 0)-∞内A ．()0f x '<，()0f x ''<B ．()0f x '>，()0f x ''>C ．()0f x '>，()0f x ''<D ．()0f x '<，()0f x ''>12．若函数()f x 在区间(, )a b 内连续,在点0x 处不可导，0(, )x a b ∈,则A ．0x 是()f x 的极大值点B ．0x 是()f x 的极小值点C ．0x 不是()f x 的极值点D ．0x 可能是()f x 的极值点13．曲线e x y x -=的拐点为A ．1x =B ．2x =C ．222, e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11, e ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．曲线2arctan 35xy x=+ A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线,又无垂直渐近线 15．若x cos 是)(x f 的一个原函数，则=⎰)(d x fA ．sin x C -+B ．sin xC +C ．cos x C -+D ．cos x C +16．设曲线()y f x =过点(0, 1)，且在该曲线上任意一点(, )x y 处切线的斜率为e x x +，则=)(xf A ．2e 2x x -B ．2e 2x x +C ．2e x x +D ．2e x x -17．2 π4πsin d 1x xx x -=+⎰ A ．2B ．0C ．1D ．1-18．设)(x f 是连续函数，则2 ()d x af t t ⎰是A ．)(x f 的一个原函数B ．)(x f 的全体原函数C ．)(22x xf 的一个原函数D ．)(22x xf 的全体原函数19．下列广义积分收敛的是A． 1x +∞⎰B ．2e ln d x x x +∞⎰C ． 2e1d ln x x x+∞⎰D ． 21d 1xx x+∞+⎰20．微分方程0)(224=-'+''y x y y x 的阶数是A ．1B ．2C ．3D ．421．已知向量{5, , 2}a x =-和{, 6, 4}b y =平行,则x 和y 的值分别为A ．4-,5B ．3-，10-C ．4-，10-D ．10-，3-22．平面1x y z ++=与平面2=-+z y x 的位置关系是A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是A ．221y z +=B ．22z x y =+C ．222z x y =+D ．22z x y =-24．关于函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩下列表述错误的是A ．(, )f x y 在点(0, 0)处连续B ．(0, 0)0x f =C ．(0, 0)0y f =D ．(, )f x y 在点(0, 0)处不可微25．设函数)ln(y x y x z -=，则=∂∂yz A ．)(y x y x - B ．2ln()x x y y -- C ．ln()()x y xy y x y -+- D ．2ln()()x x y xy y x y ---- 26．累次积分 2d (, )d x f x y y ⎰⎰写成另一种次序的积分是A ． 1 0 d (, )d yyy f x y x -⎰⎰B． 20 d (, )d y f x y x ⎰⎰C． 11d (,)d y f x y x -⎰⎰D． 1 1 11d (, )d y f x y x -⎰⎰27．设{(, )|D x y x =≤2, y ≤2}，则⎰⎰=Dy x d dA ．2B ．16C ．12D ．428．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则幂级数∑∞=-02)2(n n n x a 的收敛区间为A．( B ．(2, 2)R R -+C ．(, )R R -D．(2 229．下列级数绝对收敛的是A ．∑∞=-11)1(n nnB ．∑∞=-1223)1(n n nnC ．∑∞=-+-1121)1(n n n nD ．∑∞=--1212)1(n nn n30．若幂级数0(3)n n n a x ∞=-∑在点1x =处发散，在点5x =处收敛,则在点0x =，2x =，4x =，6x =中使该级数发散的点的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题(每空2分，共20分)31．设(32)f x -的定义域为(3, 4]-，则)(x f 的定义域为________． 32．极限limx =________．33．设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--，则(4)()f x =________．34．设参数方程22 1 31x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =，则22d d yx =________． 35．(ln 1)d x x +=⎰________．36．点(3, 2, 1)-到平面10x y z ++-=的距离是________． 37．函数(1)x z y =+在点(1, 1)处的全微分d z =________．38．设L 为三个顶点分别为(0, 0)，(1, 0)和(0, 1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则2322()d (3)d Lxy y x x y xy y -+-=⎰________．39．已知微分方程x ay y e =+'的一个特解为x x y e =,则a =________．40．级数03!nn n ∞=∑的和为________．三、计算题（每小题5分,共45分）41．求极限2040sin d (e 1)sin lim 1cos x x x t t x x x →⎛⎫- ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰．42．设由方程22e e y xy -=确定的函数为)(x y y =,求d d x yx=．43．求不定积分2xx ． 44．求定积分( 2d x x ⎰．45．求过点(1, 2, 5)-且与直线213 3 x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程．46．求函数x xy y x y x f 823),(22+-+=的极值． 47．将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数． 48．计算二重积分Dσ,其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域． 49．求微分方程069=+'-''y y y 的通解． 四、应用题（每小题8分，共16分）50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？ 51．平面图形D 由曲线2x y =,直线x y -=2及x 轴所围成．求：（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．五、证明题（9分）52．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且(0)0f =，(1)2f =．证明:在)1,0(内至少存在一点ξ,使得()21f ξξ'=+成立．新起点专升本提供。

河南专升本高等数学真题和详细答案,评分标准

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2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3]2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ） A ．高阶无穷小 B ．低阶无穷小 C ．等价无穷小 D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．4 6．设cos x y e =，则dy 等于（ ）A ．sin x x e e dx -B ．sin x x e e -C ．sin x x e e dxD ．sin x e dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a- D ．a b-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对 9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C +C ．()F x C +D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰ C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x→⎰等于（ ）A ．+∞B ．16C ． 0D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰ B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰ D ．11ln dx x+∞⎰ 16．0x y →→ ） A ． 0 B.12C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4d x d y +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交20．设(){}222,|,0D x y x y R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ） A. ()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11n n u ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞等于（ ） A ．1 B ．0 C ．+∞ D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑ 23．设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1n n nu ∞=∑ B．1n ∞= C ．11n nu ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n n x a ∑∞=0（n a 为常数， ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+ C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ）A ．x y y e -'=B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20x xy y e '+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ）A ．2212x x y C e C e -=+B ．()212x yC C x e =+ C ．212x y C C e =+D ．12cos2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ）A ．*2.y ax bx c =++B ．()*22y x ax bx c =++C ．()*y x ax b =+D ．()*2y x ax bx c =++ 二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33x f x x =+，则()()40f =________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________． 4．sin x x e e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 y x z x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()110,x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot limln x xx+→2．求函数12(12)x y x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z zx y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆.7．计算积分()3(sin )L x y dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x =-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间．四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分） 证明方程203021xx dte t--=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A. 2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C. 3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D. 4，【答案】B ．【解析】 因为204lim (2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2lim lim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ． 5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h →--()()()0(0)0lim h f h f f h f h→----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦= ()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6， 【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin x x x x x y e e e e e '''==-=-，所以sin x x dy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dtdy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4by a π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，应选C. 8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A. 10，【答案】C ．【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C. 11， 【答案】B ． 【解析】 ()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ． 12， 【答案】D. 13， 【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e ≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14， 【答案】D.【解析】 203tan lim xx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D. 15， 【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A. 16， 【答案】B.【解析】0x y →→012x y →→==，选 B. 17， 【答案】C. 【解析】23z y x x ∂=+∂；z x y∂=∂.故()23.z zdz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂ 所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x yf x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19， 【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--.因为12.0n n =，所以1n ⊥2n ，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20， 【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11n n u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-= 所以，()lim1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A. 22， 【答案】B. 【解析】 （1）1n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ； （3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12nn n∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23， 【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但11n n n∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ；（4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24， 【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin1n n n →∞=且211n n ∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ；（3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)nn ∞=-∑收敛；但1(1)n n ∞=-∑n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑. 25， 【答案】C.【解析】由题意，nn n x a ∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n n x a ∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A .【解析】21122y xdx x C ''==+⎰；23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++ ⎪⎝⎭⎰；34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++⎪⎝⎭⎰ 29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212x x y C e C e -=+，选A. 30， 【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220x f x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()1lim 1sin xx x →+=()sin 11sin 0lim 1sin xxxx x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3x f x x '=+；()263ln 3x f x x ''=+；()363ln 3x f x '''=+； ()()443ln 3x f x =.所以，()()440ln 3f =. 3，【答案】填20x y +=. 【解析】()221221(2)14y x x x ''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos x e c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5，【答案】填15π.【解析】 ()212015V x d x ππ==⎰. 6，【答案】填1ln y x yx y y -+.【解析】1ln y x zyx y y x-∂=+∂. 7，【答案】填()100,yI dy f x y dx =⎰⎰.【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后()100,yI dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n n a a ρ+→∞===，所以收敛半径为1 1.R ρ==9，【答案】填2x e .【解析】由展式()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nnnx n n x xe n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C = 【解析】①式可化为22sec sec tan tan x ydx dy x y=- ②②两边积分，得22sec sec tan tan x ydx dy x y=-⎰⎰，即11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C = 所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1， 【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x +→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x xx x+→=- ------------------------------------------3分0lim 1cos x xx x+→=-=---------------------------------------------4分 2， 【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得 ()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即 1.2ln(12)2y x y'=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.xy y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12z yf f x ∂''=+∂；12z xf f y∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x=+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分 原式化为2221441cos .sec tan .sec sin t tdt dt t t t ππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰分=-=----------------------------------4分注意：倒数第二步用到(sin=====6，【解析】2DI x y d x d y=⎰⎰122Dxy dxdy=⎰⎰------------------------------------------1 分（极坐标）2222002cos.sin.d r r rdrπθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分2223342200001182cos.sin.2sin.343||d r dr rππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分7，【解析】L的参数方程为2,:01,y xxx x⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分故()3(sin)Lx y dx x y dy--+⎰()1322(sin).2x x x x x dx⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin.2x x dx x xdx=--⎰⎰()114322001sin4|x x x d x⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x=-+=-------------4分8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n=-；2π的法向量是{}21,1,1n=-.--------------1分可取所求直线的方向向量为{}122312352,3,5111ij k s n n i j k =⨯=-=++=-----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z ---== ------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分 其中()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分 ()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为 ()()301.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即所以()()1.6y x y x x x '-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dx dx x x y x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ③又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x x dt f x e t =--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导.因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得 ().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又()2101x f x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根.注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1x e >，且2111x <+，故()2101x f x e x '=->+. .。

2004年河南专升本高数真题+答案解析

2004年河南专升本高数真题+答案解析

2004年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共50分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 1．函数1ln y x=+的定义域为（ ） A ．(2,2)- B ．[0,1)(1,2]C ．(2,1)(1,2)-D ．(0,1)(1,2)【答案】D【解析】要使函数有意义，须使240x ->，即22x -<<，由ln 0x ≠，得0x >且1x ≠，则行数的定义域为(0,1)(1,2)．2．函数1sin y x=是定义域内的（ ）A ．周期函数B ．单调函数C ．有界函数D ．无界函数【答案】C 【解析】由于1sin 1x≤，显然在其定义域内是一个有界的函数．3．lim sinn xn n→∞⋅=（ ） A ．x B ．0 C ．∞ D ．1【答案】A【解析】变量是n ，则sinsinlim sin lim lim 1n n n x xx n n n x x x n n n→∞→∞→∞⋅==⋅=．中公学员 培训讲义2学员专用 请勿外泄4．当0x →时，sin x x -是比2x （ ） A ．低阶的无穷小 B ．高阶的无穷小C ．等价的无穷小D ．同阶但非等价的无穷小【答案】B【解析】2200001sin 1cos 2lim lim lim lim 0224x x x x xx x x x x xx →→→→--====，所以当0x →时，sin x x -是比2x 高阶的无穷小．5．设2arcsin(1)()1x f x x -=-，则1x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】B【解析】2111arcsin(1)arcsin(1)11lim ()limlim 1112x x x x x f x x x x →→→--==⋅=--+，间断点1x =处函数()f x 的左、右极限都存在且相等，所以1x =是()f x 的可去间断点．6．设()f x '在点0x x =的某个邻域内存在，且0()f x 为()f x 的极大值，则000(2)()limh f x h f x h→+-=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】0000000(2)()(2)()lim 2lim 2()2h h f x h f x f x h f x f x h h→→+-+-'==，而由题目知0()f x '存在，且()f x 在0x x =处取到极大值，则0x x =是()f x 的驻点，所以0()0f x '=．故选A ．7．下列函数中，在1x =处连续但不可导的是（ ）A ．211x y x -=- B ．1y x =-C ．cot(1)y x =-D ．2y x x =-【答案】B【解析】该题采用排除法．A 、C 显然在1x =处不连续，B 、D 都在1x =处连续，但D 在1x =处可导，故只有B 符合要求．8．下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．2ln xB ．xC ．cos xD ．211x - 【答案】C【解析】罗尔定理条件有三个：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在(,)a b 内可导；③()()f a f b =．A 不满足①，2ln x 在0x =处不连续；B 不满足②，x 在0x =处不可导；C 满足罗尔定理得条件；D 不满①、②和③．9．设()f x 点3x =的某个邻域内有定义，若23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，则在3x =处（ ）A ．()f x 的导数存在且(3)0f '≠B ．()f x 的导数不存在C ．()f x 取得极小值D ．()f x 取得极大值【答案】D 【解析】因为23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，所以存在3x =的某个去心邻域，使得2()(3)0(3)f x f x -<-．即无论3x >或3x <都有()(3)f x f <，又()f x 在3x =的某邻域有定义，所以()f x 在3x =处取得极大值．10．曲线232(2)x y x +=-的渐近线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条中公学员 培训讲义4学员专用 请勿外泄【答案】B【解析】232lim 0(2)x x x →∞+=-，所以曲线有水平渐近线0y =；2322lim (2)x x x →+=∞-，所以曲线有垂直渐近线2x =，故y 有两条渐近线．11． 下列函数对应的曲线在定义域内凹的是（ ）A ．x y e -=B ．2ln(1)y x =+C ．23y x x =-D ．sin y x =【答案】A【解析】x y e -=，x y e -'=-，0x y e -''=>，所以曲线x y e -=在定义域内时凹的．12．下列函数中，可以作为同一函数的原函数的是（ ） A ．21sin 2x 和1cos 24xB ．ln ln x 和2ln xC ．21sin 2x 和1cos 24x -D ．2tan 2x 和2csc 2x【答案】C【解析】2111sin 2sin cos sin 2222x x x x '⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，111cos 2(sin 2)2sin 2442x x x '⎛⎫-=--⋅= ⎪⎝⎭，故选C ．13．下列等式正确的是（ ） A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()d df x f xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx =⎰D ．()()d df x f x '=⎰【答案】C【解析】A 未加常数C ，而B 中()()d df x f x dx '=⎰，D 等号右端缺dx ．只有()()df x dx f x dx =⎰是对的，故选C ．14．设()f x '为连续函数，则102x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（ ）A ．12(0)2ff ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．[]2(1)(0)f f -C ．11(0)22f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．[]1(1)(0)2f f - 【答案】A 【解析】1111220000122()2()2(0)2222xu x x x f dx f d f u du f u f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=−−−→==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰．15．下列广义积分收敛的是（ ） A ．2ln e xdx x +∞⎰B ．1ln e dx x x +∞⎰C ．e+∞⎰D ．21ln edx x x+∞⎰【答案】D【解析】选项A ，223ln 1ln ln (ln )3ee e x dx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰；选项B ，11ln ln ln ln ln e ee dx d x x x x x+∞+∞+∞===+∞⎰⎰； 选项C ，112(ln )ln 2(ln )eeex d x x +∞+∞-+∞===+∞⎰⎰；选项D ，22111ln 1ln ln ln ee e dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰．16．设xy z e =，则(1,2)dz =（ ）A ．()xy e xdy ydx +B ．23eC ．222e dx e dy +D ．0【答案】C中公学员 培训讲义6学员专用 请勿外泄【解析】22(1,2)(1,2)()2xy xy dz e ydx e xdy e dx e dy =⋅+⋅=+．17．设22(,)(4)f x y x y =-+，则点(4,0)（ ） A ．不是驻点 B ．是驻点但非极值点C ．极大值点D ．极小值点【答案】D【解析】2(4)x f x =-，2y f y =，令两式等于0，解得4x =，0y =．2xx A f ==，0xy B f ==，2yy C f ==，240B AC -=-<，20A =>，所以点(4,0)为(,)f x y 的极小值点．18．设区域D 由y 轴及直线y x =，1y =所围成，则Dxdxdy =⎰⎰（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．16【答案】D【解析】12111300011(1)236x Dx xdxdy dx xdy x x dx x ⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰．19．设直线L 1：1312x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩与直线L 2：234112x y z ---==-的关系是（ ） A ．平行但不重合 B ．重合C ．垂直但不相交D ．垂直相交【答案】A【解析】两直线的方向向量分别为1(1,1,2)=--s ，2(1,1,2)=-s ，且112112--==-，所以两直线平行或重合，将第一条直线上的点(1,3,1)代入第二条直线方程显然不满足，所以两直线平行但不重合．20．方程2221x y -=表示的二次曲面是（ ）A ．球面B ．旋转抛物面C ．柱面D ．圆锥面【答案】C【解析】方程2221x y -=缺一个变量z ，因此表示一个母线平行于z 轴的柱面，由于它在xOy 坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表示的是双曲柱面．21．下列级数中绝对收敛的是（ ）A．n n ∞=B ．13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C ．32111(1)n n n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D ．11(1)nn n n∞=--∑ 【答案】C 【解析】选项A，n n ∞∞===，当n →∞~，级数发散；选项B ，1133(1)22nnnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，公比1q >的等比级数，发散；选项C ，332211111(1)n n n n n ∞∞-==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，1p >的p 级数，收敛，原级数绝对收敛； 选项D ，1111(1)nn n n n n n ∞∞==---=∑∑，1lim1n n n →∞-=，不满足级数收敛的必要条件，级数发散． 故选C ．22．下列级数中发散的是（ ）中公学员 培训讲义8学员专用 请勿外泄A ．1sin 2n n π∞=∑B ．111(1)1n n n ∞-=-+∑ C ．134nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑D ．311n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑【答案】A 【解析】limsin02n n π→∞≠，A 不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散．23．级数02!nn n ∞=∑的和为（ ）A ．0B ．eC ．2eD ．不存在【答案】C【解析】因为幂级数0!n x n x e n ∞==∑，(,)x ∈-∞+∞，所以202!n n e n ∞==∑．24．用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2()x y ax bx c e =++ B ．*2()x y x ax bx c e =++C ．*2()x y x ax b e =+D ．*22()x y x ax bx c e =++【答案】D【解析】方程2x y y y xe '''-+=对应的齐次方程20y y y '''-+=的特征方程为2210r r -+=，解得121r r ==．由()xf x xe =知1λ=是特征方程的二重根，故特解形式为*22()x y x ax bx c e =++．25．设L 为从点(1,0)A 沿x 轴到点(1,0)B -的直线段，则2L y dx =⎰（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】L ：0y =，x ：11→-，则12100Ly dx dx -==⎰⎰．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）1．设211(0)x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，则()f x =________．【答案】(1)x x - 【解析】令1x u x +=，解得11x u =-，代入原式变为()(1)f u u u =-，即()(1)f x x x =-．2．若lim 1n n x →∞=，则22lim 3n n n n x x x +-→∞++=________． 【答案】1【解析】由lim 1n n x →∞=，得2lim 1n n x +→∞=，2lim 1n n x -→∞=，故22lim 13n n n n x x x +-→∞++=．3．设21cos ,0(),0xx f x x k x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =________．【答案】12【解析】()f x 在0x =处连续，应有lim ()(0)x f x f →=，而22200011cos 12lim ()lim lim 2x x x xx f x x x →→→-===，(0)f k =，所以12k =．4．设3225x y x x e =++，则(10)y =________． 【答案】1022x e【解析】3225x y x x e =++，223102x y x x e '=++，226102x y x e ''=++，3262x y e '''=+，，(10)1022x y e =．5．设2tx t y e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则22d y dx =________．中公学员 培训讲义10学员专用 请勿外泄【答案】3(1)4t e t t - 【解析】()()2t dy y t e dx x t t '=='，22232(1)()4t te d dy t d y e t dt dx dx dx t t dt'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==='． 6．24sin 2lim x x tdt x→=⎰________．【答案】1 【解析】2220433000sin 2sin 2222lim lim lim 144x x x x tdt x x x x x x x→→→⋅⋅===⎰．7．3272y x x =-+在[]0,1上的最大值为________． 【答案】2【解析】3272y x x =-+，223273(9)y x x '=-=-，因为[]0,1x ∈，所以0y '<，从而函数在[]0,1上单调递减，故最大值为(0)2y =．8．设2()sin x f x tdt π-=⎰，则2f f π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________． 【答案】1-【解析】2()sin xf x tdt π-=⎰，则22sin 02f tdt πππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则0022(0)sin cos 12f f f tdt tπππ--⎡⎤⎛⎫===-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰．9．1ln exdx =⎰________．【答案】1【解析】111111ln ln ln (1)1ee e e exdx x x xd x e x dx e dx e e x =-=-⋅=-=--=⎰⎰⎰⎰．10．设2x e 为()f x 的一个原函数，则2()xe f x dx -=⎰________．【答案】2x C +【解析】利用分部积分法，因为()f x 的一个原函数为2x e ，则222222()2x x x x x e f x dx e de e e xdx x C ---==⋅⋅=+⎰⎰⎰．11．广义积分1101qdx x +⎰当________收敛． 【答案】0q <【解析】100111110000lim ln lim(ln1ln ),011lim 111lim lim 1,0q q q q x q dx dx x x q qx q εεεεεεεεεε+++++→→++→→→⎧=-=∞=⎪⎪==⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=--≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎰⎰， 第二式当0q <时极限为1q-，故0q <时，广义积分收敛．12．过原点且与直线L ：113213x y z -++==-垂直的平面方程为________． 【答案】230x y z +-=【解析】该平面的法向量可取直线的方向向量(2,1,3)-，又平面过点(0,0,0)，故平面的点法式方程为230x y z +-=．13．设2xy z e x=+，则2z x y ∂=∂∂________． 【答案】22yx-中公学员 培训讲义12学员专用 请勿外泄【解析】22221x xz y e y e x x x ∂⎛⎫=+⋅-=- ⎪∂⎝⎭，222z z y x y y x x ∂∂∂⎛⎫==- ⎪∂∂∂∂⎝⎭． 14．2221x y x ydxdy +≤=⎰⎰________．【答案】0【解析】在极坐标系下，区域D 可表示为0201r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以22212222222000111cos sin cos sin cos cos 55x y x ydxdy d r r rdr d d πππθθθθθθθθ+≤=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32011cos 053πθ=-⋅=．15．设222(,)ln(3)x y f x y x y +=--，则10lim (,)x y f x y →→=________． 【答案】2ln 2【解析】函数(,)f x y 在点(1,0)连续，故 2211022102lim (,)limln(3)ln(310)ln 2x x y y x y f x y x y →→→→+⋅+===----．三、判断是非题（每小题2分，共10分）1.若)(x f 在0x x =处连续，则)]([x f f 在点0x x =处一定连续．（ ） 【答案】×【解析】把0x x =代入)]([x f f 中，可得)]([0x f f ．)(x f 在0x x =处连续，并不可以得到)(x f 在)(0x f 处是连续的，故错误． 2. 若数列{}n x 有界，则{}n x 必收敛．（ ） 【答案】×【解析】3. 方程0)1ln(1=+x x 在]1,1[-e 上无实根．（ ）【答案】√ 【解析】 4.⎰⎰-<202cos cos ππxdx xdx ．（ ）【答案】× 【解析】5. 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，则),(y x f z =在点),(00y x 处可微．（ ）【答案】× 【解析】四、计算题 （每小题5 分，共40 分） 1．求极限11lim 1x x x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭．【答案】2e - 【解析】11(2)2212lim lim 111x x x x x e x x ++⋅---→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．2．设()y y x =是由方程221y x e y +=所确定的函数，求(1,0)dydx．【答案】2-【解析】方程221y x e y +=两边对x 求导得2220y y xe x e y y y ''++⋅=，代人1x =，0y =，得 (1,0)(1,0)2dy y dx'==-．中公学员 培训讲义14学员专用 请勿外泄3．计算不定积分32cos x x dx ⎰．【答案】22211sin cos 22x x x C ++【解析】()2322221111cos cos cos sin sin sin 2222x ux x dx x x dx u udu ud u u u udu ==−−−→==-⎰⎰⎰⎰⎰ ()2221111sin cos sin cos 222u u u C x x x C =++=++．4．计算0x⎰． 【答案】233π⎫⎪⎭【解析】x t =，则2x t =，2dx tdt =，当0x =时，0t =，当3x =时，3t =[]33322000012212arctan 23113x t tdt dt t t t t π⎫⎫=⋅=-=-=⎪⎪++⎝⎭⎭⎰．5．设(,)z f x y xy =+可微，求dz ． 【答案】1212()()dz f yf dx f xf dy ''''=+++ 【解析】12121zf f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂，12121z f f x f xf y ∂''''=⋅+⋅=+∂， 1212()()z zdz dx dy f yf dx f xf dy x y∂∂''''=+=+++∂∂．6．计算2112200y dy x y dx -+⎰．【答案】6π【解析】1131201236dy d r rdr r πππθ=⋅=⋅=⎰⎰⎰．7．求幂级数211(1)2n nn x ∞=+∑的收敛区间（不考虑端点情况）．【答案】(1)【解析】由于缺项，令2(1)x t +=，则2111(1)22nnn n n n t x ∞∞==+=∑∑，11112lim lim 122n n n n nn a a ρ++→∞→∞===，所以收敛半径2R =，所以22t -<<，即2(1)2x +<时级数收敛，解得收敛区间为(1)．8．求微分方程0y y ''-=的积分曲线方程，使其在(0,0)处与直线y x =相切． 【答案】1122x xy e e -=-【解析】0y y ''-=的特征方程为210r -=，得特征根1r =±，所以通解为12x x y C e C e -=+．由已知条件(0)0y =，01x y ='=，解得112C =，212C =-，于是所求积分曲线方程为1122x xy e e -=-．五、应用题 （每小题7 分，共 14 分）1．某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行培训，使其掌握此项技术，并开始在此地域推广．设经过时间t ，已掌握此技术人数为()x t （将()x t 视为连续可微变量）．其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为(0)k k >，求()x t ．【答案】505050()49ktkte x t e =+中公学员 培训讲义16学员专用 请勿外泄【解析】令()y x t =，由题意可知(50)y ky y '=-，(0)1y =， 分离变量(50)dykdt y y =-，两边同时积分(50)dykdt y y =-⎰⎰，解得ln ln(50)50y y kt C --=+．当0t =，1y =时，ln49C =-，故505050()49ktkte y x t e ==+．2．过点(1,0)P 做抛物线2y x =-的切线L ，L 与上述抛物线及x 轴所围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积． 【答案】6π【解析】设切点为00(2)x x -，切线的斜率为0022x x y x ='=-则切线方程为0002)22y x x x x -=--，切线经过(1,0)P ，代入解得03x =，即切点坐标为(3,1)，切线方程为1(1)2y x =-．故3222112(2)36x V x dx πππ=⋅⋅⋅--=⎰．六、证明题 （6 分）证明：当0x >时，22ln(1)1x x x +>+． 【解析】令22()ln(1)1f x x x x =++，则2222222211()10111(1)x x x f x x x x x x +-⎛⎫+'=+=> +++++⎝，所以()f x 单调递增，而0x >，则()(0)0f x f >=，故ln(x >．。

2001-2013年河南专升本高数真题及答案

2001-2013年河南专升本高数真题及答案

4. lim1 2 n1 n n
（）
A. e
B. e 2
C. e 3
D. e 4
解： lim1 n
2 n1
n
lim1 n
2 n2(n1) 2n
n
lnim1
2 n

n 2

lim
（）
A. 垂直
B.相交但不垂直
C. 直线在平面上 D. 平行
解：s

{1,1,2},
n

{1,1,1)

s

n
,另一方面点 (3,0,2) 不在平面内,所以应
为平行关系,应选 D..
21.函数 z

f
(x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数
z x
和
z y
D. F(cos x) C
（）
解: cos xf (sin x)dx f (sin x)d(sin x) F(sin x) C ,应选 A.
15.下列广义积分发散的是
（
）
A. 1 dx
0 1 x2
B. 1 1 dx
0 1 x2
C.
ln x dx
ex
xdx

sin 2
xdx

1
cos 2x 2
dx


1 2
x

1 4
sin
2x

C
,应选
B.
19. 设 函 数 f (x) 在 区 间 [a, b] 上 连 续 , 则 不 正 确 的 是
（）
A. b f (x)dx 是 f (x) 的一个原函数 a

河南专升本高等数学真题和详细答案

河南专升本高等数学真题和详细答案

精品文档2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3] 2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．4 6．设cos xy e =，则dy 等于（ ）A ．sin xxe e dx - B ．sin xxe e - C ．sin xxe e dx D ．sin xe dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a -D ．ab-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对精品文档9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C + C ．()F x C + D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x →⎰等于（ ）A ．+∞B ．16 C ． 0 D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰D ．11ln dx x+∞⎰16．0x y →→ ）A ． 0 B.12 C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4dx dy +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交 20．设(){}222,|,0D x y xy R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ）A.()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11nn u ∞=-∑收敛，则lim n n u→∞等于（）A ．1B ．0C ．+∞D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．1n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑23．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1nn nu∞=∑ B．1n ∞= C ．11n n u ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n nx a∑∞=0（n a 为常数，Λ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ） A ．x yy e-'= B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20xxy y e'+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ） A ．2212xx y C eC e -=+ B ．()212x y C C x e =+C ．212xy C C e =+ D ．12cos 2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2.y ax bx c =++ B ．()*22y x ax bx c =++ C ．()*y x ax b =+ D ．()*2y x ax bx c =++二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33xf x x =+，则()()40f=________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________．4．sin x xe e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 yxz x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()11,xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-的收敛半径为________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot lim ln x xx+→ 2．求函数12(12)xy x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z z x y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆. 7．计算积分()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x=-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间． 四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分）证明方程203021x xdt e t --=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】要求0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A.2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C.3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B ．【解析】 因为204lim(2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2limlim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ．5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h→--()()()0(0)0lim h f h f f h f h →----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6，【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin xxxxxy e e e e e '''==-=-，所以sin xxdy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dt dy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4b y a π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，应选C.8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A.10，【答案】C ． 【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x 在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C.11，【答案】B ．【解析】()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ．12，【答案】D. 13，【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14，【答案】D.【解析】 203tan limxx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D.15，【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A.16，【答案】B.【解析】00x y →→0012x y →→==，选 B.17，【答案】C. 【解析】23zy x x∂=+∂；z x y ∂=∂.故()23.z z dz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x y f x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19，【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-u r；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--u u r .因为12.0n n =u r u u r ，所以1n u r ⊥2n u u r，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20，【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11nn u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-=所以，()lim 1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A.22，【答案】B. 【解析】 （1）n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=发散，排除A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ；（3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12n n n ∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23，【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n ∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ； （4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24，【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin 1n n n →∞=且211n n ∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ； （3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)n n ∞=-∑收敛；但1(1)nn ∞=-∑1n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑条件收敛.25，【答案】C. 【解析】由题意，nn nx a∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n nx a∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A . 【解析】21122y xdx x C ''==+⎰； 23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++⎪⎝⎭⎰； 34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭⎰29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212xx y C e C e -=+，选A.30，【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220xf x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()10lim 1sin xx x →+=()sin 11sin 0lim 1sin xxxx x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3xf x x '=+；()263ln 3xf x x ''=+；()363ln 3xf x '''=+；()()443ln 3x f x =.所以，()()440ln 3f =.3，【答案】填20x y +=. 【解析】()221221(2)14y x x x''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos xe c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5，【答案】填15π.【解析】 ()212015V x dx ππ==⎰. 6，【答案】填1ln y x yx y y -+.【解析】1ln y x zyx y y x-∂=+∂. 7，【答案】填()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n na a ρ+→∞===，所以收敛半径为11.R ρ==9，【答案】填2xe .【解析】由展式()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nn n x n n x x e n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C = 【解析】①式可化为22sec sec tan tan x ydx dy x y=- ② ②两边积分，得22sec sec tan tan x ydx dy x y=-⎰⎰，即 11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C = 所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1，【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x +→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x xx x+→=- ------------------------------------------3分0lim 1cos x xx x+→=-=---------------------------------------------4分2，【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得 ()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即 1.2ln(12)2y x y'=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.xy y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12zyf f x∂''=+∂；12z xf f y ∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x =+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分 原式化为2221441cos .sec tan .sec sin ttdt dt t ttππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰-----------------------3分3=-=----------------------------------4分注意：倒数第二步用到(sin arctan =====6，【解析】 2DI xy dxdy =⎰⎰ 122D xy dxdy =⎰⎰ ------------------------------------------1 分（极坐标）222202cos .sin .d r r rdr πθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分222334220001182cos .sin .2sin .343||d r dr r ππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分7，【解析】 L 的参数方程为2,:01,y x x x x ⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分 故()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰()13220(sin ).2x x x x x dx ⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin .2x x dx x xdx =--⎰⎰ ()114322001sin 4|x x x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x =-+=-------------4分8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n =-u r ；2π的法向量是{}21,1,1n =-u u r.--------------1分可取所求直线的方向向量为{}122312352,3,5111i j ks n n i j k =⨯=-=++=-r r r r u r u u r r r r----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z ---== ------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分其中()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为()()31.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即 所以()()1.6y x y x x x'-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dxdx xxy x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰③又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x xdtf x e t=--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导. 因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又()2101xf x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根. 注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1xe >，且2111x <+，故()2101xf x e x '=->+. .。

[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2004年

[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2004年
问题:12. 下列函数中，可以作为同一个函数的原函数的是______
A．
B．ln|lnx|和2lnx
C．
D．
答案:C[解析] 对于每一组答案中的两个函数分别求导，结果一样的，那组答案即为所求．A显然不是，对于B，令lnx＞0，则令lnx＜0，则
C答案正确．
问题:13. 下列等式正确的是______
A．∫f'(x)dx=f(x)
A．
B．
C．
D．
答案:D[解析]
问题:16. 若z=exy，则dz|(1，2)=______
A.exy(ydx+xdy)
B.3e2
C.2e2dx+e2dy
D.0
答案:C[解析]
问题:17. 设f(x，y)=(x-4)2+y2，则点(4，0)______
A.不是驻点
B.是驻点但非极值点
C.极大值点
D.极小值点
四、计算题
(每小题5分，共40分)
问题:1. 计算
答案:[解析]
问题:2. 设y=y(x)是由方程x2ey+y2=1所确定的函数，求
答案:[解析] 令F(x，y)=x2ey+y2-1
Fx=2xey，Fy=x2ey+2y，
另外，也可以注意y是x的函数，方程x2ey+y2=1两边对x求导．2xey+x2eyy'+2y·y'=0，解得所以，
问题:3. 计算∫x3cosx2dx．:[解析]
问题:5. 设z=f(x+y，xy)可微，求全微分dz．
答案:[解析] 令u=x+y，v=xy，z=f(u，v)，du=dx+dy，dv=ydx+xdy，

2003年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2003年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2003年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数y=(x-1)的定义域是( )A．(1，+∞)B．(2，+∞)C．[2，+∞)D．空集正确答案：C解析：因ln(x-1)≥0，得x-1≥1，即x≥2．2．函数y=1-arctanx是( )A．单调增加且有界函数B．单调减少且有界函数C．奇函数D．偶函数正确答案：B解析：因y’=＜0，所以函数单调减少，且有界3．下列等式成立的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：根据两个重要极限，很显然C正确．4．当x→0时，无穷小量1-cosx2是比x4的( )A．等价无穷小B．同阶无穷小C．较高阶无穷小D．较低阶无穷小正确答案：B解析：因x→0时，所以1-cosx2是比x4的同阶无穷小．5．x=0是函数f(x)=-1的( )A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点正确答案：D解析：因为=+∞，所以x=0为第二类间断点．6．下列方程在[0，1]上有实根的是( )A．sinx+x-=0B．x2+3x+1=0C．arcsinx+3=0D．x-sinx+=0正确答案：A解析：对于A，函数f(x)：sinx+x-满足在区间[0，1]上连续，且f(0)=＜0，f(1)=sinl+＞0，所以选A.7．若f(x)在点x0处不连续，则f(x)在点x0处( )A．必定不可导B．一定可导C．可能可导D．极限一定不存在正确答案：A解析：因连续为可导的必要条件，故f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处必不可导．8．曲线y=( )A．有水平渐近线，无垂直渐近线B．无水平渐近线，有垂直渐近线C．无水平渐近线，也无垂直渐近线D．有水平渐近线，也有垂直渐近线正确答案：B解析：因=∞，所以有垂直渐近线x=1；因=∞，所以无水平渐近线．9．已知f(x)=0，f’(0)=1，则( )A．2B．1C．0D．∞正确答案：B解析：10．若y=sine-x，则有( )A．dy=cose-xdxB．dy=e-xsine-xdxC．dy=-e-xcose-xdxD．dy=e-xcose-xdx正确答案：C解析：dy=(-1)cose-x.e-xdx．11．设( )A．B．2tC．1D．t正确答案：A解析：12．若f(x)在(a，b)内二阶可导，且f’(x)&gt;0，f’’(x)&lt;0，则f(x)在(a，b)内( )A．单调增加且是凸的B．单调增加且是凹的C．单调减少且是凸的D．单调减少且是凹的正确答案：A解析：因f’(x)＞0，且f’’(x)＜0，故曲线为单调增加且为凸的．13．已知f(x)在[0，+∞)上可导，且f’(x)&lt;0，f(0)&gt;0，则方程f(x)=0在[0，+∞)上( )A．有唯一根B．至少存在一个根C．不能确定有根D．没有根正确答案：C解析：题目所给条件无法判断是否有实根．14．函数f(x)=x-的极值点的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C解析：y’=，x=1是驻点，x=0是不可导点，根据判断极值的第一充分条件，x=1，x=0都是极值点．15．下列函数中，在[1，e]上满足拉格朗日中值足理条件的是( ) A．y=lnlnxB．y=lnxC．y=D．y=｜x-2｜正确答案：B解析：因为y=lnx在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，所以满足拉格朗日定理．16．若f(x)的一个原函数为ln2x，则f’(x)= ( )A．2xln2xB．ln2xC．D．正确答案：D解析：因f(x)=(ln2x)’=，所以f’(x)=17．dx =( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为18．设函数ψ(x)=,则ψ’(x)= ( )A．xeB．-xeC．D．正确答案：C解析：φ’(x)=2x.19．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：对于，当n＞1时，广义积分收敛；当n≤1时，广义积分发散，故收敛．20．直线与平面x+2y-z+3=0的位置关系是( )A．互相垂直B．互相平行但直线不在平面上C．直线在平面上D．斜交正确答案：C解析：因为直线的方向向量和平面的法向量满足{1，2，-}．{3，-1，1}=1×3+2×(-1)+(-1)×1=0，所以这两个向量垂直，那么对应的直线与平面平行，又因为直线上的点(1，-1，2)在平面上，所以直线在平面上．21．方程x=确定二元隐函数z=f(x，y)，则= ( )A．1B．exC．yexD．y正确答案：C解析：由x=得，z=yex，所以=yex22．设z=x3-3x-y，则它在点(1，0)处( )A．取得极大值B．无极值C．取得极小值D．无法判定是否有极值正确答案：B解析：因=-1，所以(1，0)不是驻点，函数不会存在极值．23．设D={(x，y)｜1≤x2+y2≤4}，则dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因为区域D：｛(x，y)｜≤x2+y2≤4}，则可另表示为D：{(r，θ)｜0≤θ＜2π，1≤r≤2}，所以原二重积分可化为24．设D由直线x+y=1，x=0，y=0所围成，则dxdy= ( )A．1B．2eC．e-1D．2e-1正确答案：A解析：25．设D={(x，y)，)｜(x-1)2+y2≤1}，则dxdy= ( )A．3πB．4πC．πD．π2正确答案：C解析：dxdy即为圆(x-1)2+y2=1的面积，dxdy=π26．设L为从点(1，1)到点(0，0)的直线段，则∫L(x2-y2)dx+xydy= ( )A．B．3C．0D．正确答案：D解析：∫L(x2-y2)dx+xydy=27．正项级数满足下列哪一个条件时必定收敛( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由正项级数敛散性比值判别法，当＜1时，收敛，由选项C：28．的收敛性为( )A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．无法确定正确答案：B解析：因为级数为交错级数，且满足莱布尼兹条件，所以收敛，又因为加绝对值后所成的级数发散，故该级数为条件收敛29．下列微分方程中，通解为y=(C1+C2x)e-3x的二阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’-6y’+9y=0B．y’’+6y’+9y=0C．y’’+6y’+9y：1D．y’’+6y’=0正确答案：B解析：因特征根r=-3为重根，所以对应的微分方程为y’’+6y’+9y=0．30．微分方程ylnxdx=xlnydy满足y｜x=1=1的特解是( )A．In2+In2y=0B．In2x+In2y=1C．In2x=In2yD．ln2x=In2y+1正确答案：C解析：变量分离得+C，因当x=1时，y=1，所以C=0填空题31．设f(x)=arctanc，g(x)=sin，则g[f(x-1)]=_______正确答案：解析：f(-1)=，所以g[f(-1)]=g32．函数f(x)=1-ln(2x+1)的反函数f-1(x)=____正确答案：y=(e1-x-1)，x∈R．解析：因ln(2x+1)=1-y,所以x=(e1-y-1)，所以f-1(x)=(e1-x-1)，x∈R33．[ln(1+x)-lnx]=________正确答案：1解析：原式=34．若f(x)=，在x=0处连续，则a=_______ 正确答案：解析：35．已知y=sinx，则y(10)=______正确答案：-sinx解析：由(sinx)(n)=sin(x+n.)知，y(10)=sin(x+)=-sinx36．设x2y-e2x=siny，则=_________正确答案：解析：方程两端分别对x求导，得2xy+x2y’-2e2x=cosy.y’所以y’= 37．设y=f（lntanx)，且f(x)可微，则=______正确答案：f’(lntanx)解析：=f’(lntanx)(lntanx)’=f’(lntanx)(tanx)’=f’(Ilntanx)38．曲线y在点(1，1)处的切线方程为_______正确答案：x+y-2=0解析：因y’=，所以y’｜x=1=-1，所求切线方程为：y-1=-(x-1)，即x+y-2=0 39．函数f(x)=x-ln(1+x2)在[-1，2]上的最大值为________正确答案：2-ln5解析：因y’=1-≥0，所以函数y为单调增加，在区间[-l，2]上的最大值为f(2)=2-ln5．40．曲线y=6x2-x3的拐点为________正确答案：(2，16)解析：因y’=12x-3x2，y’’=12-6x，令y’’=0，得x=2，当x2时，y’’=________正确答案：0解析：奇函数在对称区间上的定积分为0．42．由向量a=(2，2，1)，b=(4，5，3)为邻边构成的平行四边形面积为_________ 正确答案：3解析：因a×b=={1，-2，2}，所以｜a×b｜=3．43．设z=ln(x2+y2)，则=________正确答案：dx+dy解析：因dz=，则dz｜(1,1)=+dy．44．若I=dy，则交换积分顺序后I=_______正确答案：解析：由题意可知积分区域D可表示为{(x，y)｜1≤x≤e,0≤y≤lnx}，转化为先对x后对y的积分，则积分区域D表示为{(x，y)1 0≤y≤1，ey≤x≤e｝，于是I=45．微分方程y”=24x的通解为_______正确答案：y=x4+c1x2+c2x+c3(其中c1，c2，c3为常数)解析：y’’=12x2+c1，y’=4x3+c1x+c2，y=x4+c1x2+c2x+c3解答题解答时应写出推理、演算步骤。

5河南专升本高数真题及答案

5河南专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分。

1。

函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 ( ）A 。

1>x B.5<x C 。

51<<x D. 51≤<x解:C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2。

下列函数中，图形关于y 轴对称的是 （ ）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --= D 。

222xx y -+=解：图形关于y 轴对称，就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数，应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ) A 。

x B 。

2x C 。

x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B 。

4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A 。

e B 。

2e C 。

3e D.4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B 。

5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续,则 常数=a （ ）A 。

1B 。

—1C 。

21D 。

21-解:21)11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ，应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ，则=')1(f（ )A. 1B.21- C 。

河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷及答案

河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷及答案

河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入(jìnrù)本科阶段学习考试高等数学试卷及答案河南省普通高等学校(gāoděngxuéxiào)选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷及答案河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段(jiēduàn)学习考试高等数学试卷(shìjuàn)一. 单项选择题（每题2分，共计(ɡònɡ jì)60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码(dài mǎ)写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得(bu de)分.1. 函数的定义域为（）A. B. C. D. 解：.2.（）A.1B. 0C.D.解：.3. 点是函数(hánshù)的( )A.连续(liánxù)点B. 跳跃(tiàoyuè)间断点C.可去间断(jiànduàn)点D. 第二类间断(jiànduàn)点解: .4.下列极限存在的为（）A. B. C.D.解:显然只有,其他三个都不存在,应选 B.5.当时，是比的（）A．低阶无穷小 B．高阶无穷小 C．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小解:,.6.设函数(hánshù)，则（）A．在处连续(liánxù)，在0=x处不连续(li ánxù) B．在0=x处连续(liánxù)，在1-=x处不连续(liánxù)C．在1-=x，，处均连续 D．在x，0，处均不连续1-=解:)(x f在1-=x处连续;f在0=x处不连续;应选(x)A.7.过曲线上的点(0,1)处的法线方程为（）A. B.C. D.解: .8.设函数(h ánsh ù))(x f 在0=x 处可导，且，则（ ）A. -1B.1C. -3D. 3解：,应选(y īn ɡ xu ǎn)C.9.若函数(h ánsh ù) ，则（ ）A. B.C. D.解：)ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-,应选(y īn ɡ xu ǎn)B. 10.设函数(h ánsh ù)由参数方程确定，则（ ）A.-2B.-1C.D.解：=π=422x dx y d 234,应选(y īn ɡ xu ǎn)D.11.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理(d ìngl ǐ)条件的是 （ ）A. B.C.D.解：验证(y ànzh èng)罗尔中值定理的条件,只有21x y -=满足(m ǎnz ú),应选C.12. 曲线(q ūxi àn)的拐点是（ ）A.0=xB.C.无拐点D.解:)2,0(-,应选(y īn ɡ xu ǎn)B.13. 曲线(qūxiàn)（）A. 只有水平(shuǐpíng)渐进线B. 既有水平(shuǐpíng)渐进线又有垂直渐进线C. 只有垂直(chuízhí)渐进线D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线解：.14.如果)(x f的一个原函数是,那么（）A. B.C. D.解：,应选D.15.( )A . B.C.D.解: ,应选(y īn ɡ xu ǎn)A.16.设，则的取值范围(f ànw éi)为( )A . B. C.D.解:此题有问题,定积分是一个(y ī ɡè)常数,有,根据(g ēnj ù)定积分的估值性质,有121≤≤I ,但这个常数也在其它(q ít ā)三个区间,都应该正确,但真题中答案是B.17. 下列广义(gu ǎngy ì)积分收敛的是 （ ）A. B. C.D.解:显然(xi ǎnr án)应选D. 18.（ ） A.B.C.D.解：=-⎰-33|1|dx x ⎰⎰-+--3113)1()1(dxx dx x ,应选(y īn ɡ xu ǎn)D.19.若)(x f 可导函数(h ánsh ù)，，且满足(m ǎnzA.B.C.D.解：对⎰+-=xdtttt f x f 022cos 1sin )(22ln )(两边(li ǎngbi ān)求导有:,即有,还初始条件,代入得,应选(y īn ɡ xu ǎn)A.20. 若函数(h ánsh ù))(x f 满足(m ǎnz ú)，则=)(x f （ ）A. B.C.D.解：令,则,故有=)(x f 21+x ,应选(y īnɡ xu ǎn)C.21. 若 则( )AB CD解: ,应选(y īn ɡxu ǎn)C.22.直线(zh íxi àn)与平面(p íngmi àn)的位置(w èi zhi)关系为A. 直线与平面斜交B. 直线与平面垂直C. 直线在平面内D. 直线与平面平行解： ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D.23.（）A. 2B.3C. 1D.不存在解:,应选(yīnɡ xuǎn)A.24.曲面(qūmiàn)在点（1，2，5）处切平A． B． C．解:令,+zx,也可以(kěyǐ)把点y-2=54（1，2，5）代入方程验证(yànzhèng),应选A.25.设函数，则A. B. C.D.解:=∂∂∂xy z22233y x -,应选(y īn ɡ xu ǎn)B.26.如果(r úgu ǒ)区域D 被分成两个(li ǎn ɡ ɡè)子区域(q ūy ù)和且，,则( )A. 5B. 4C. 6D.1解:根据(g ēnj ù)二重积分的可加性, ,应选C.27.如果是摆线从点到点的一段弧，则( )A. B.C. D.解:有此积分与路径(lùjìng)无关,取直线段从变到0,则,应选(yīnɡ xuǎn)C.28.以通解(tōngjiě)为（为任意(rènyì)常数）的微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)为( )A. B. C. D.解: ,应选B.29. 微分方程的特解形式应设为（）A . B. C.D.解:-1是单特征方程的根,是一次多项式,应设,应选(yīnɡ xuǎn)A.30．下列四个级数(jí shù)中，发散的级数是（）A. B. C.D.解:级数(jí shù)∑∞=-110003 2nnn的一般(yībān)项的极限(jíxiàn)为,是发散的,应选B.二、填空题（每题2分，共30分）31．的____________条件是.解：显然为充要(充分且必要).32. 函数在区间单调，其曲线在区间内的凹凸性为的.解：在)2,0( 内单调增加,在内大于零,应为凹的.33.设方程(fāngchéng)为常数(chángshù))所确定的隐函数 ,则_____.解：.34. .解:.35. .解：函数(hánshù)在区间(qū jiān)是奇函数，所以(suǒyǐ).36. 在空间直角坐标系中,以为顶点的的面积为__ .解：，所以的面积为.37. 方程(fāngchéng)在空间(kōngjiān)直角坐标下的图形为__________.解:是椭圆柱面与平面(píngmiàn)的交线,为两条平行(píngxíng)直线.38.函数(hánshù)的驻点为 .解: .39.若，则 .解:.40.解: .41.直角坐标系下的二重积分(其中为环域)化为极坐标形式为___________________________.解：.42.以为通解的二阶常系数(x ìsh ù)线性齐次微分方程为 .解:由xxxe C eC y 3231--+=为通解知,有二重(èr zh òn ɡ)特征根-3,从而,微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch énɡ)为.43.等比级数(j í sh ù),当_______时级数(j í sh ù)收敛,当_______时级数发散.解: 级数是等比级数, 当时,级数收敛,当时,级数发散. 44.函数展开为x 的幂级数为__________________解:.45.的敛散性为________的级数.解:,级数发散.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求.解：.47. 求.解：.48.已知,求.解：.49. 计算(j ì su àn)不定积分.解：.50.求函数的全微分(w ēi f ēn).解：利用(l ìy òng)微分的不变性,.51．计算(j ì su àn)，其中(q ízh ōng)D 是由所围成的闭区域(q ūy ù). 解：积分区域D 如图所示:把区域看作 Y 型,则有x112,故.52．求微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch én ɡ)满足(m ǎnz ú)初始条件的特解.解:这是一阶线性非齐次微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch én ɡ),它对应的齐次微分方程的通解(tōngji ě)为,设是原方程(f āngch éng)解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解为,把初始条件1)0(-=y 代入得:,故所求的特解为.53．求级数的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径,而,故收敛(sh ōuli ǎn)半径.当时,级数(j í sh ù)化为,这是调和级数,发散(f ās àn)的;当时,级数(j í sh ù)化为,这是交错(jiāocu ò)级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的; 所以级数的收敛域为.四、应用题（每题7分，共计14分）54. 过曲线上一点作切线L ，D 是由曲线2x y ，切线L 及x 轴所围成的平面图形，求（1）平面图形D 的面积;（2）该平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积.xyo1 1解：平面图形D如图所示：因,所以切线L的斜率,切线L的方程为,即取x为积分变量，且.（1）平面图形D的面积为.（2）平面(píngmiàn)图形D绕x轴旋转一周所生成(shēnɡ chénɡ)旋转体的体积为.55.一块铁皮宽为24厘米(lí mǐ),把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积最大,求腰长x和它对底边(dǐ biān)的倾斜角.解: 梯形(tīxíng)截面的下底长为,上底长为,高为,所以截面面积为,即,令得唯一驻点.根据题意(t í y ì)可知,截面的面积最大值一定存在,且在内取得(q ǔd é),又函数在D 内只有一个可能的最值点,因此可以(k ěy ǐ)断定时,截面(ji émi àn)的面积最大.五、证明题（6分）56. 证明(zh èngm íng)方程在区间内仅有一个实根. 证明：构造函数 ,即有,显然函数)(x f 在区间连续,且有,由x 224-x α连续函数的零点定理知方程即⎰π--=02cos 1ln dxx e xx 在区间),(3e e 有至少有一实数根.另一方面,在区间),(3e e 内恒小于零,有方程0)(=x f ,即⎰π--=02cos 1ln dxx e xx 在区间),(3e e 有至多有一实数根.综上所述, 方程⎰π--=02cos 1ln dxx e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根.内容总结（1）河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷及答案。

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