多元方差分析
数据分析知识：数据分析中的多元方差分析
数据分析知识：数据分析中的多元方差分析多元方差分析(MANOVA)是一种广泛使用的统计方法，其目的是研究多个因变量在一个或多个自变量的作用下的差异。相对于单变量方差分析(ANOVA)，MANOVA能够更全面地分析因变量之间的关系，并提供更准确的结果。
在多元方差分析中，我们可以用一个例子来说明其基本概念。假设我们对两组人群（A组和B组）进行了测试，包括三种变量：IQ、记忆力和反应时间。我们想要确定自变量（组别）对这些因变量（IQ、记忆力和反应时间）的影响是否显著。在这种情况下，我们可以使用MANOVA来分析这些数据。
在MANOVA中，先对原始数据进行标准化处理，然后通过矩阵运算得到多元自变量和多元因变量矩阵。接下来，我们可以计算处理组和控制组之间因变量矩阵协方差的差异。如果两个组之间的协方差矩阵存在显著差异，则说明自变量对于因变量有影响。
MANOVA还可以执行后续的单向或双向ANOVA。在我们的例子中，
如果发现处理组和控制组之间的协方差矩阵存在显著差异，则可以进
一步使用单向或双向ANOVA来确定哪个因变量受到自变量的影响最大。
MANOVA的优势之一是它可以同时分析多个因变量之间的关系，而
这些因变量可能是高度相关的。在我们的例子中，如果IQ、记忆力和
反应时间之间存在很强的关联，则MANOVA能够捕捉到这种关系，从而
提供更精确的结果。
MANOVA还可以用于其他领域的数据分析，例如医学、生态学和教
育研究等。在这些领域中，研究人员通常面临着多个因变量和自变量
的复杂关系。使用MANOVA可以帮助研究人员更好地理解这些关系，并
第一讲多元方差分析
课 程 安 排
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 多元方差分析 重复测量方差分析 多重线性回归和Logistics回归 Cox生存分析 主成分分析 判别分析 聚类分析 典型相关 因子分析
第一讲 多元方差分析
(multivariate analysis of variance, MANOVA)
例1-1 问三组贫血患者其血红蛋白浓度（X1，%）是否 有差异？
A组 X1 3.9 4.2 3.7 4.0 4.4 5.2 2.7 2.4 3.6 5.5 2.9 3.3 B组 X1 4.8 4.7 5.4 4.5 4.6 4.4 5.9 5.5 4.3 5.1 C组 X1 4.4 3.7
ANOVA
1.离均差
ssii xik x i
k 1 n
n
2
ssij xik x i x jk x j
k 1
本例为了全面反映这两个变量的变异，可将各变量的 离均差平方和、离均差积和用矩阵的形式排列，得离 均差平方和与离均差积和用矩阵，简称离差阵。
ss11 SS ss 21
Betw een Groups Within Groups Total X1 Sum of Squares 13753.958 47426.042 61180.000 df 2 27 29 Mean Square 6876.979 1756.520 F 3.915 Sig. .032
多元方差分析范文
多元方差分析范文
多元方差分析的基本原理是通过比较组间和组内的变异来确定因变量之间的差异是否显著。具体来说，多元方差分析可以将多个因变量组合成一个线性组合，称为联合因变量。然后，通过计算组间和组内的协方差矩阵来比较组间和组内的变异。如果组间的协方差矩阵与组内的协方差矩阵之间存在显著差异，则说明多个因变量之间存在显著差异。
在进行多元方差分析之前，需要满足以下几个假设：
1.自变量是分类变量；
2.具有独立观测的数据；
3.各组的协方差矩阵在不同组之间是相等的。
在进行多元方差分析之后，需要进行统计检验来确定组间和组内的变异是否显著。常用的统计检验包括Wilks' lambda检验、Pillai's trace 检验、Hotelling-Lawley trace检验和Roy's largest root检验等。这些检验统计量的值越大，说明因变量之间的差异越显著。
总之，多元方差分析是一种有力的统计方法，用于检验多个自变量对多个因变量之间是否存在显著差异。它在实践中广泛应用于各种领域的研究，包括医学、社会科学和生物科学等。通过比较组间和组内的变异，我们可以得出结论并进一步探究自变量对因变量的影响。
SPSS分析技术：多元方差分析
SPSS分析技术：多元⽅差分析
下⾯要介绍多元的内容，多元⽅差分析是研究多个⾃变量与多个因变量相互关系的⼀种统计理论⽅法，⼜称多变量分析。多元⽅差分析实质上是单因变量⽅差分析（包括单因素和多因素⽅差分析）的发展和推⼴，适⽤于⾃变量同时对两个或两个以上的因变量产⽣影响的情况，⽤来分析⾃变量取不同⽔平时这些因变量的均值是否存在显著性差异。
分析原理
多元⽅差分析可以看做是多因素⽅差分析和协⽅差分析合并后的拓展，能够⼀次性做两个以上因变量的多因素⽅差分析和协⽅差分析。多元⽅差分析的优点是可以在⼀次研究中同时检验具有多个⽔平的多个因素各⾃对多个因变量的影响以及各因素交互作⽤后对多个因变量的影响，以及多个因变量作为⼀个整体模型，⾃变量对模型的影响。
多元⽅差分析的条件是：各个⾃变量的每个⽔平必须是独⽴的随机样本，服从正态分布且各总体⽅差相等。因变量和协变量必须是数值型变量且协变量与因变量相关。⾃变量可以是数值型分类变量，也可以是字符型分类变量，这是⽅差分析的基本条件。
案例分析
随着经济的发展，城市⽣活的节奏也是越来越快，⽩领的健康状况成为了社会的热门话题。⼈们晨练和早餐的状况很能够反映⼈们的⽣活习惯和健康状况，所以有研究者对不同婚姻状况、性别、年龄阶段的⼈做了⼀次较⼤规模的随机调查，获得880个有效数据。现在⽤多元⽅差分析⽅法分析不同婚姻状况、性别和年龄阶段的⼈的晨炼状况和早餐状况是否有显著性的差别。
（例题数据⽂件已经上传到QQ群中，需要的朋友可以前往下载）
分析步骤
1、选择菜单【分析】-【⼀般线性模型】-【多变量】，选择“锻炼情况”和“早餐状况”作为因变量；再选择“年龄”、“婚姻状况”和“性别”作为⾃变量。本题中不涉及协变量，所以不⽤选择协变量。按照下图所⽰操作。
多元方差分析
3.Wilk’s lambda
Βιβλιοθήκη Baidu
第二部分： Wilk’s lambda = |E|/|H+E|
MANOVA与 4.Roy’s largest root
ANOVA
Roy’s largest root = max(λi) or the maximum eigenvalue of HE-1
之比较
第一部分：Wilk’s Lambda近似F值的计算
75
98
52，53，63， 71，75，86， 59，60，73， 76，82，92，
71
88
77
93
3
54，57，68， 65，70，77， 63，64，76， 71，76，86，
69
81
78
90
第MAA二NNOO部VVAA分与：注人因 3：均个素收水入一为平年，均，单位百元 之比较 文化程度指15岁以上小学毕业文化程度者所占百分比
第一部分： MANOVA表
MANOVA
原理讲
解
来源
d.f.
处理
g－1
误差
第二部分： MANOVA与 总
ANOVA
之比较
N－g N －1
SSCP H E T
第一部分统：计显著与否的判断
MANOVA 原理讲 解
ANOVA：通过比较计算的F值 与查临界值表的F值判断是否 显著。
第4章多元方差分析
ABCS表
C1 B1 B2 B3 B4 A1 3 4 A2 8 7 A3 8 9 A4 5 4 C2 A2 2 3 A3 3 2 A4 12 13 A1 8 7 C3 A3 6 5 A4 4 3 A1 5 6 A2 12 11 C4 A4 9 8 A1 7 6 A2 6 4 A3 7 5
单因素拉丁方实验的方差分析表
3、混合设计(Mixed Design) 指一个实验中既有被试内自变量，有又被试间自变量。 它也是重复测量实验设计的一种形式。是一种最有实用价 值的实验设计。
4.2 一些常用实验设计的方差分析
4.2.1 单因素的实验设计 1、单因素完全随机实验设计
（1）适用条件
一个自变量，自变量有两个或多于两个水平（P2） （2）被试分配
a1
被试1 被试2 被试3 被试4 S1 S2 S3 S4
a2
S1 S2 S3 S4
a3
S1 S2 S3 S4
a4
S1 S2 S3 S4
(3) 平方和分解
SS总变异＝SS被试间+SS被试内 ＝SS被试间+（SSA+SS残差） np-1 n-1 p-1 n(p-1)
例4.4 研究4种文章的生字密度对阅读理解的影 响。研究者仅用8名被试，每名被试阅读4篇生 字密度不同的文章，并测量阅读理解分数。
3、拉丁方设计(Latin Square Design) 可以利用随机区组设计的思想，不同的是它能区分 出两个无关变异，可以进一步提高实验的精度。
多元方差分析2篇
多元方差分析2篇
第一篇：多元方差分析概述及应用实例
1. 多元方差分析概述
多元方差分析（MANOVA）是一种常用的统计分析方法，主要用于研究两个或两个以上自变量对多个因变量的影响。多元方差分析不仅可以检验不同自变量的主效应，还可以考虑交互作用效应和调节效应。该方法可以有效地比较各组之间的差异，较为全面地描述实验结果，具有较高的精度和可靠性，是社会科学、医学和心理学等领域中常用的方法之一。
2. 应用实例
以医药行业作为研究对象，采用多元方差分析方法来探究两个自变量（药物种类、给药途径）对多个因变量（疗效、不良反应、治疗费用）的影响。
选取两种常见的药物种类进行比较，分别为A药和B药，给药途径分为口服和注射两种。选取250名患者分为四组进行实验，每组患者分别接受A药口服、A药注射、B药口服、B
药注射治疗，分别观测疗效、不良反应和治疗费用三个因变量。数据处理采用SPSS软件，进行多元方差分析。
结果显示，不同药物种类在疗效和不良反应方面都存在
显著差异，在治疗费用方面差异不显著。不同给药途回路在三个因变量上均无显著差异。两个自变量的交互作用未达到显著水平。结果表明，在选择治疗方案时需要综合考虑药物种类和给药途径，进行个体化治疗。
3. 结论
多元方差分析是一种非常有效的研究方法，可以全面地描述实验结果，提供实验数据的更多信息，对于研究者来说具有重要的参考价值。在医药行业中，该方法可用于评估不同药物种类、给药途径和治疗方案的优劣，提供科学的依据，具有十分广泛的应用价值。
第二篇：多元方差分析模型建立及数据处理方法
常用多元分析方法
常用多元分析方法
常用多元分析方法包括三类。一是多元方差分析、多元回归分析和协方差分析，称为线性模型方法，用以研究确定的自变量与因变量之间的关系；二是判别函数分析和聚类分析,用以研究对事物的分类；三是主成分分析、典型相关和因素分析，研究如何用较少的综合因素代替为数较多的原始变量。
多元方差是把总变异按照其来源分为多个部分，从而检验各个因素对因变量的影响以及各因素间交互作用的统计方法。
判别函数是判定个体所属类别的统计方法。其基本原理是：根据两个或多个已知类别的样本观测资料确定一个或几个线性判别函数和判别指标，然后用该判别函数依据判别指标来判定另一个个体属于哪一类。
统计学中的多元回归与方差分析
统计学中的多元回归与方差分析多元回归是指多个自变量（影响因素）对一个因变量（效果）
的影响进行定量分析的方法。方差分析则是一种用于分析因变量
被一些分类变量影响的方法。虽然两种方法的应用场景不尽相同，但是它们都很重要，是统计学中的基础知识之一。
一、多元回归
多元回归分析常用于解释因变量如何受到多个自变量的影响。
例如，一个经济学家可能想要知道一个人购买食品的数量与哪些
因素有关。他可能会考虑许多不同的自变量，如收入、食品价格、家庭规模、家庭成员的年龄、偏好等。他可能会尝试研究这些变
量与购买食品数量之间的关系，并尝试建立一个数学模型来预测
购买食品数量。这就是多元回归分析所涵盖的内容。
在这个例子中，我们将购买的食品数量称为因变量，自变量包
括收入、食品价格、家庭规模、家庭成员的年龄和偏好等。我们
假设这些自变量互相独立，不会相互影响。我们还假设它们与因
变量之间的关系是线性的。在多元回归分析中，我们尝试建立一
个包含所有自变量的方程来解释因变量的变化。
二、方差分析
方差分析也称为变量分析或ANOVA，是用于分析因变量受到一些分类变量影响的方法。例如，在一组实验中，我们可能会测试不同的肥料品牌对玉米的产量是否有影响。我们还可能想比较不同的播种密度，田间间隔以及其他因素的影响。我们可以使用方差分析来确定这些因素对玉米产量的影响程度。
在执行方差分析时，我们首先要将数据分成不同的组，然后计算每组的平均值。接下来，我们将计算每组的平均值，以确定这些差异是否达到了统计上的显著性。如果这些差异是显著的，我们可以确定哪些因素是造成差异的原因。
高级心理统计2-多元方差分析
其中，p表示因变量个数，k表示水平个数，μpk表示变量p在第k个 水平上的均值。MANOVA 的零假设即为各水平的均值向量相等
4.多元方差分析的过程
研究设计 多元方差分析的假设 估计模型及模型的整体性检验 结果解释
4.1研究设计
（1）因变量的选择 （2）样本量 （3）因素设计 （4）协方差分析
4.11因变量的选择
MANOVA 可以处理多个因变量的问题，但在研究中所选 用的因变量个数也不宜过多，一般在 5 个及以下为好。 因变量的选择要有理可依，不能将一些没有意义的变量 选入进去。
所选用的因变量之间的相关不宜过高，否则就会出现多 重共线性的问题。
在 MANOVA 中，除了以上的基本假设，还应该关注因变 量之间的关系是否为线性关系、因变量之间是否存在共线 性，以及数据中是否有极端数据。
另外，因变量之间不能有很高的相关，因为那样会使测量 变得冗余，还会减低统计效率。
4.3 估计模型及模型的整体性检验
当假设条件都满足时，就可以进行 MANOVA 分析了。基于 广义线性模型（general linear model, GLM）的估计模 型被广泛使用
多元方差分析中，因变量必须为连续型变量，自变量 为分类变量。为了保证多元方差分析的有效性，必须 满足三个基本假设：
多元方差分析与重复测量方差分析
多元方差分析与重复测量方差分析
多元方差分析（MANOVA）是一种多变量分析方法，它将多个因变量同
时考虑在内，通过比较组别之间的多个平均值来进行分析。多元方差分析
的核心思想是基于协方差矩阵的比较，通过检验各个组别的协方差矩阵是
否相等来判断组别之间的差异是否显著。多元方差分析可以同时比较多个
因变量之间的差异，从而避免了多次进行单变量方差分析可能带来的问题。
重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）也是一种常用的分
析方法，主要用于分析同一组个体在不同时间点或不同实验条件下的多次
测量结果之间的差异。重复测量方差分析通常包括对同一组个体在不同时
间点或实验条件下的多次测量结果进行统计分析，以比较各个时间点或实
验条件之间的平均差异是否显著。它通过考虑同一组个体之间的相关性，
来提高统计分析的效果。
与多元方差分析不同，重复测量方差分析主要关注不同时间点或不同
实验条件下的变化趋势和差异，而不是直接比较组别之间的差异。重复测
量方差分析可以用于研究个体在一段时间内的发展趋势，或在不同实验条
件下的变化情况，从而揭示出时间和实验因素对变量的影响。
数据结构方面，多元方差分析通常要求每个组别有多个观测值，每个
观测值都对应于多个因变量的取值。而重复测量方差分析要求在相同的个
体或实验单位上进行多次测量，并将多次测量结果作为相同个体或实验单
位的多个观测值。
分析方法方面，多元方差分析主要依赖协方差矩阵的比较来进行统计
推断。而重复测量方差分析通常使用协方差矩阵的分解来提取主要成分，
并通过分析主要成分之间的差异来进行统计推断。
多元统计分析方法
多元统计分析方法
多元统计分析是指同时考虑多个自变量与一个因变量之间关系的统计
方法。它可以帮助我们更全面深入地分析、理解和解释数据，揭示出变量
之间的相互关系和影响，并基于这些关系提供对因变量的预测和解释。以
下将介绍多元统计分析的常见方法。
一、回归分析
回归分析是通过建立一个数学模型，研究自变量与因变量之间的关系。它可以帮助我们确定自变量对因变量的影响程度和方向，并进行预测和解释。回归分析包括简单线性回归、多元线性回归、逐步回归、Logistic
回归等方法。
1.简单线性回归分析：研究一个自变量对因变量的影响。
2.多元线性回归分析：研究多个自变量对因变量的共同影响。
3.逐步回归分析：逐步选择和删除自变量，建立较为准确的回归模型。
4. Logistic回归分析：适用于因变量为二分类变量的情况，研究自
变量对因变量的影响。
二、方差分析
方差分析用于比较两个或多个组别之间的平均差异是否显著。它可以
帮助我们了解不同组别之间的差异和相关因素。
1.单因素方差分析：比较一个自变量对因变量的影响。
2.双因素方差分析：比较两个自变量对因变量的影响，同时考虑两个
自变量以及它们之间的交互作用。
3.多因素方差分析：比较多个自变量对因变量的影响，并可以考虑它
们的交互作用。
三、协方差分析
协方差分析是一种特殊的方差分析方法，用于比较两个或多个组别之
间的平均差异，并控制其他因素对该差异的影响。它可以帮助我们研究特
定因素对组别间差异的贡献程度。
四、主成分分析
主成分分析是一种降维方法，用于将原始的高维数据降低到更低维度
的数据。它可以帮助我们发现数据中的主要组成部分，提高数据的解释性
统计学中的多元协方差分析
统计学中的多元协方差分析统计学中的多元协方差分析是一种常用的数据分析方法，用于研究多个变量之间的关系。通过多元协方差分析，我们可以了解不同变量之间的相关性，并对其进行统计推断。本文将详细介绍多元协方差分析的原理、应用以及数据分析步骤。
一、多元协方差分析的原理和假设
多元协方差分析是基于方差分析（ANOVA）的扩展，适用于多个自变量和多个因变量之间的关系。在进行多元协方差分析时，我们需要满足以下几个假设：
1. 多变量正态性假设：变量在总体中应该是正态分布的。
2. 方差-协方差的同质性假设：各组的方差-协方差矩阵相等。
3. 独立性假设：不同组别之间的观测值应该是相互独立的。
4. 线性关系假设：变量之间的关系可以用线性模型来描述。
如果以上假设满足，我们就可以进行多元协方差分析来研究变量之间的关系。
二、多元协方差分析的步骤
进行多元协方差分析时，我们需要按照以下步骤进行：
1. 数据收集：首先我们需要收集多个变量的数据。这些变量可以是连续型的，也可以是分类型的。
2. 建立假设：根据研究目的和理论基础，我们需要建立相应的假设。例如，我们想要研究不同教育水平对于多个心理指标的影响，那么我
们需要建立关于教育水平与心理指标之间关系的假设。
3. 数据预处理：在进行多元协方差分析之前，我们需要对数据进行
预处理，包括数据清洗、缺失值处理和异常值处理等。
4. 方差共线性检验：由于多元协方差分析要求各组别的方差-协方差矩阵相等，我们需要进行方差共线性检验，以确定假设是否成立。
5. 多元协方差分析：在通过了方差共线性检验后，我们可以进行多
SPSS多元方差分析
SPSS多元方差分析
分析3种药品对2种疾病的疗效是否与性别有关，观测数据如下表。试进行多元多因素方差分析，分析药品与性别对疗效的影响是否显著。
1. SPSS2
2.0的分析过程
选择【分析】→【一般线性模型】→【多变量】
将因子“疗效1”和“疗效2”放入因变量框，将药品和性别放入固定因子框。并设置各类选项。
模型为默认选项，即“全因子”。
对比选项中对比方法更改为“差值”。
绘制设定中，将药品拖入水平轴，将性别拖入单图，点击添加按钮，绘制“药品*性别”轮廓图。
两两比较选项中，选择药品进行两两比较。性别只有两个水平，无需再进行多重比较。
选项中选OVERALL，即全部因子，并选择方差齐性检验。可以根据自己的需求选择输出描述性统计等指标。
2. 结果分析
（1）误差方差等同性的Levene检验表
疗效1和疗效2在各组总体方差相等。（2）多元方差分析表
多元反差分析药品与性别两个主效应他们的四种检验统计量结果都相同（sig都小于0.05），显著性p值分别0.000和0.013，说明药品与性别两个因素对疗效1和疗效2两个指标影响显著，单其交互作用的影响不显著，p值均大于0.05，说明药品与性别对两个指标的影响不存在协同作用。
（3）主体间效应的检验
疗效1在药品与性别两个因素都有差别（p值分别为0.000和0.004），而疗效2只在药
品上有差别（p值为0.000），在性别间没有显著性（p值0.056）。药品与性别交互作用在疗效1和疗效2上都没有显著性。
（4）多重比较结果
疗效1和疗效2在药物为1、2间没有显著性差异，而在1与3、2与3之间有显著性差异。
MANOVA方差分析操作方法
MANOVA方差分析操作方法
MANOVA（多元方差分析）是一种多变量的统计分析方法，用于比较两组或多组之间的差异。它是一种扩展的方差分析方法，适用于多个因变量和一个或多个自变量的情况。在MANOVA中，我们使用多元回归模型来分析多个因变量与自变量之间的关系。
1.确定研究设计：首先需要确定研究中的自变量和因变量，并确定实施MANOVA的样本数量和分组情况。
2.设定假设：明确研究中的零假设（即组间无差异）和备择假设（即组间存在差异）。
3.数据准备：收集和整理数据，并进行必要的数据清洗和转换。
4.运行MANOVA：根据研究设计和数据特点，选择适当的统计软件（如SPSS、R等），运行MANOVA分析。
5. 输出结果：分析软件将提供关于组间差异的统计指标和显著性水平。关注Wilks' Lambda（维尔克斯λ）值、F值、p值等。
6.结果解读：根据输出结果，判断组间的差异是否显著。如果p值小于显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝零假设，说明组间存在显著差异。
7.后续分析：如果MANOVA结果显著，可以进行进一步的后续分析，以确定具体哪些因变量或自变量之间存在差异。常用的后续分析方法包括协方差矩阵、判别分析、聚类分析等。
8.结果报告：将MANOVA的结果整理成报告，包括原始数据的描述统计指标、MANOVA结果的统计指标和解读、后续分析的结果等。
需要注意的是，MANOVA分析需要满足一些前提条件，包括数据的正
态性、方差齐性和相关性。如果数据不符合这些前提条件，可能需要进行
数据转换或选择其他的统计方法。
多元方差分析
ANOVA的原假设
H0：u1=u2=u3=u4 Ui 代表什么？
MANOVA的原假设
： = uA1
H0
uB1
uC1
= uA2
uB2 uC2
= uA3
uB3 uC3
uA4 uB4 uC4
uAi uBi 代表什么？ uCi
ANOVA总平方和的分解
SSerror : SSwithin SStreatment: SSbetween, SShypothesis
备选方法： 1 对各因变量分别进行单因素方差分析. 2 用Bonferroni修正的两两比较.
MANOVA实际操作 ——以SPSS16.0为例
潘璐
分析实例
为了研究某种疾病特征表现在不同年龄段患者中是 否有差异，对一批人同时测量了四个指标：
β脂蛋白(X1)、甘油三酯(X2)、α脂蛋白(X3)和前β脂 蛋白(X4)，对人群按年龄分为低(10-25岁)、中(2540岁)、高(40---65岁)三组，分别对应编号1、2、3。 试验数据见表3.1，试做统计分析。
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
(3)Levene’s检验
• Levene’s检验结果是按照自变量的取值水平组合，考察 每个反应变量在不同的水平组合间的方差是否齐性的方差 检验结果。上表表明4个变量的方差均齐。
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MANOVA的4个检验统计量
1.Pillai’s trace Pillai’s trace = trace[H(H+E)-1]
MANOVA 总SSCP矩阵T的分解
E: error SSCP H: hypothesis SSCP
ANOVA
MANOVA
Sums of squares (SS)
Sums of squares and cross product matrix (SSCP matrix)
Mean squares (MS; Mean squares and mean also called variance) products matrix (also
MANOVA原理讲解
一元方差分析的回顾
• 单因素方差分析(one-way ANOVA)：主要 用于检验一种因素（自变量）对所研究变量 （响应变量）的影响大小。
• 多因素方差分析(two/more-way ANOVA)： 检验两个或两个以上自变量的变化对某一响 应变量的影响。
MANOVA原理讲解
多元方差分析的基本思想 定义：对有一种以上响应变量(~因变量)
u22
H0: = ... = … = … =
up1
up2
或H0:u1=u2=…=un
Ha: u1,u2,…,un不全相等
u1n u2n …
upn
MANOVA原理讲解
检验统计量的计算
单因子多元方差分析：
SSCPT= SH+SE 来源
df
自由度
SSCP ……
组间
k1
H
威尔克斯统 计量
组内
Nk
E
总和
N1 THE
MANOVA原理讲解
二因子多元方差分析(MANOVA table)：
SSCPT= SA+SB+SAB+SE
MANOVA原理讲解
多元方差分析的四个检验统计量
• Pillai’s迹：恒为正数，值越大，表明该效应项对模型的贡 献越大；
• Wilks’Lambda：取值范围在0～1之间，值越小，说明该效 应项对模型的贡献越大；
何为多元方差分析？
MANOVA原理讲解
单因素检验的回顾
• t-检验：检验两个样本(k=2)的平均值差异程 度，适用于较大样本(两样本总量大于等于 30)。
• 方差分析(ANOVA)：通过分解样本方差，比 较若干个(k>2)样本均值，检验不同的处理所 产生的效应的差异是否显著。方差分析被认 为是t-检验的推广。
g ni
E =
(Yij yi)(Yij yi)
i1 j1
4 -4
=
-4 12
g
H =
ni(yi y) (yi y)
i1
30 30
=
30 30
ANOVA表
来源 d.f. SS
MS
F
处理 误差 总
g－1 N－g
SStreat SSerror
SStreat MStreat /(g－1) /MSerror SSerror /(N－g)
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
• 结果显示，各反应变量服从正态分布。
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
N－1 SStotal
MANOVA表
来源 处理 误差 总
d.f. g－1 N－g N －1
SSCP H E T
统计显著与否的判断
ANOVA：通过比较计算的F值与查 临界值表的F值判断是否显著。
MANOVA：4个统计检验量； 没有与之相对的临界值表； 计算近似的F值，然后判断。
• The reason for 4 different statistics and for approximations is that the mathematics of MANOVA get so complicated in some cases that on one has ever been able to solve them.
表3.1 身体指标化数据
比较三个组(k=3)的4项指标(p=4)间是否有差异，就 是检验多样本均值向量是否相等。
SPSS中的实现方式有2种： 1）通过菜单：GLM过程 2）通过编程：MANOVA过程
区别：对分类变量进行参数估计时应用的矩阵不同。
• GLM过程以某一水平为参照水平，其他水平与参 照水平进行比较，即Indicator对比(Indicator Contrast) 或Simple对比(Simple Contrast)。
Wilk’s Lambda近似F值的计算
其中：
ANOVA post hoc comparison
multiple comparison ： Fisher’s LSD Tukey’s W Student-Newman-Keuls Duncan’s Scheffé’s S …
MANOVA post hoc comparison
Ab1
Aj1
Ag1
2
Ah2
Ab2
Aj2
Ag2
…
…
…
…
…
10
Ah10
Ab10
Aj10
Ag10
One-way MANOVA原始数据
N=n1+n2+…+ng p: 响应变量个数
One-way MANOVA举例
来自黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光 合效率(A)，叶片长度(B)，开花时间(C)上有无显 著差异，每地各量测10株。
• MANOVA过程各水平与各水平的平均值进行比较， 即Deviation对比(Deviation Contrast)。
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
正态性检验
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
(Yij yi)2
i1 j1
SStreat
= 34
g
=
ni(yi
i1
y)2
= 160
MANOVA的SSCP计算示例
处理
观测值
高 Y1 5 3 Y2 4 6
中 Y1 1 1 Y2 3 1
低 Y1 6 5 Y2 5 9
样本 总均 均值 值向 向量 量
44 55
14 25
76 77
2.Hotelling-Lawley’s trace Hotelling-Lawley’s trace = trace(HE-1)
3.Wilk’s lambda Wilk’s lambda = |E|/|H+E|
4.Roy’s largest root Roy’s largest root = max(λi) or the maximum eigenvalue of HE-1
黑龙江(h) 北京(b) 江苏(j) 广东(g)
1
Ah1
Ab1
Bh1
Bb1
Aj1 Bj1
Ag1 Bg1
Ch1
Cb1
Cj1
Cg1
2
Ah2
Ab2
Aj2
Ag2
Bh2
Bb2
Bj2
Bg2
Ch2
Cb2
Cj2
Cg2
…
…
…
…
…
10
Ah10 Bh10 Ch10
Ab10 Bb10 Cb10
Aj10 Bj10 Cj10
Ag10 Bg10 Cg10
数据的方差分析
• 在考虑多个响应变量时，MANOVA把多个 响应变量看成一个整体，分析因素（因变 量）对多个响应变量整体的影响，发现不 同总体的最大组间差异。
MANOVA原理讲解
多元方差分析的基本思想 • 将响应变量的差异分解为两部分：一部分
为组间变异(处理效应)，一部分为组内变 异(误差效应)，对这两部分的变异进行比 较。
可以用多次的ANOVA检验 代替MANOVA检验吗？
适用情况比较:t-Test vs. Hotelling’s T2
ANOVA vs. MAVOVA
样本个数 k=2
响应变量个数
一個 (一元)
t-Test
超过一個 (多元)
Hotelling’s T2
k>2
ANOVA
MANOVA
MANOVA原理讲解
多元方差分析 (Multivariate Analysຫໍສະໝຸດ Baidus of Variance)
第一组
第一部分：MANOVA原理讲解 ——古 牧
第二部分：MANOVA与ANOVA之比较 ——胡凤琴
第三部分：MANOVA实际操作(SPSS) ——潘 璐
第一部分 MANOVA原理讲解
古牧
问题的提出
•例 在温室中种植多年生草本大金鸡菊 (Coreopsis lanceolata)，随机对其进行高 中低三个不同的营养(施肥)处理，考察不同 营养水平对种子数量和种子均重的影响。
• Hotelling迹：检验矩阵特征根之和，值总比Pillai’s轨迹的 值大。与Pillai’s轨迹相似，值越大贡献越大；
• Roy最大根统计量：为检验矩阵特征根中最大值，因此它总 是小于或等于Hotelling轨迹。
当模型建立的前提条件不满足时，Pillai’s迹最为稳 健。
小结
MANOVA原理讲解
(重复) 用ni表示各处理的重复数 N=n1+n2+…+ng
One-way ANOVA举例
芦苇(Phragmites australis)是广布种。欲检验产 于黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光合效 率(A)上有无显著差异，每地各量测10株。
黑龙江(h) 北京(b) 江苏(j) 广东(g)
1
Ah1
多元方差分析的基本假设
• 各响应变量的联合分布为多元正态分布。 • 数据来自随机样本，观察值间独立。 • 每个样本的协方差矩阵均相同 • 响应变量间存在一定相关关系
MANOVA原理讲解
分析原理-多元方差分析-原假设
p个响应变量 n个因子水平
多元方差分析的统计原假设的向量形式如下：
u11
u12
u21
(1)组间变量
• 组间变量（Between-Subjects Factors）为年龄，各自 的自变量取值水平对应的样本数分别为20、20、20。
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
(2)Box检验
• Box检验是对于各组间协方差矩阵是否为齐性的检验。上 表 中 ， Box 检 验 量 统 计 量 =22.461 ， 换 算 后 F=1.008 ， p=0.448，说明三组反应变量的协方差矩阵相等。
t-Test
ANOVA MAVOVA
目的
检验两组均值 是否差异
检验k组(k>2) 以上均值是
否有差异
检验k组间在 两个以上响 应变量间是
否有差异
自变量
响应变 量
一个 一个
一个或多个 一个或多个
一个
多个
MANOVA的强化理解 （与ANOVA作比较）
胡凤琴
One-way ANOVA的原始数据
处理水平个数(treatment levels)
ANOVA的原假设
H0：u1=u2=u3=u4 Ui 代表什么？
MANOVA的原假设
： = uA1
H0
uB1
uC1
= uA2
uB2 uC2
= uA3
uB3 uC3
uA4 uB4 uC4
uAi uBi 代表什么？ uCi
ANOVA总平方和的分解
SSerror : SSwithin SStreatment: SSbetween, SShypothesis
called covariance matrix)
ANOVA的SS计算示例
例：3个营养梯度下一枝黄花(Solidago spp.)的生物量是否有显著差异，每个营 养梯度下有5棵植株
营养
生物量(g)
均值
高5
4
8
6
7
6
中1
3
1
3
2
2
低 10 13 7
9 11 10
total
6
SSerror =
g ni
备选方法： 1 对各因变量分别进行单因素方差分析. 2 用Bonferroni修正的两两比较.
MANOVA实际操作 ——以SPSS16.0为例
潘璐
分析实例
为了研究某种疾病特征表现在不同年龄段患者中是 否有差异，对一批人同时测量了四个指标：
β脂蛋白(X1)、甘油三酯(X2)、α脂蛋白(X3)和前β脂 蛋白(X4)，对人群按年龄分为低(10-25岁)、中(2540岁)、高(40---65岁)三组，分别对应编号1、2、3。 试验数据见表3.1，试做统计分析。
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
(3)Levene’s检验
• Levene’s检验结果是按照自变量的取值水平组合，考察 每个反应变量在不同的水平组合间的方差是否齐性的方差 检验结果。上表表明4个变量的方差均齐。